Media educazione generale

Linea UMK G.K. Muravina. Algebra e inizi analisi matematica(10-11) (profondo)

Linea UMK Merzlyak. L'algebra e gli inizi dell'analisi (10-11) (U)

Matematica

Preparazione all'esame di matematica ( livello di profilo): compiti, soluzioni e spiegazioni

Analizziamo compiti e risolviamo esempi con l'insegnante

Carta d'esame il livello del profilo dura 3 ore e 55 minuti (235 minuti).

Soglia minima- 27 punti.

La prova d'esame si compone di due parti, che differiscono per contenuto, complessità e numero di compiti.

La caratteristica distintiva di ogni parte del lavoro è la forma dei compiti:

• la parte 1 contiene 8 attività (compiti 1-8) con una breve risposta sotto forma di numero intero o frazione decimale finale;
• la parte 2 contiene 4 compiti (compiti 9-12) con una risposta breve sotto forma di un numero intero o una frazione decimale finale e 7 compiti (compiti 13-19) con una risposta dettagliata (record completo della decisione con la motivazione del azioni eseguite).

Panova Svetlana Anatolievna, docente di matematica della massima categoria della scuola, esperienza lavorativa di 20 anni:

“Per ottenere un certificato scolastico, un laureato deve superare due esami obbligatori in UTILIZZA modulo, uno dei quali è la matematica. In accordo con il concetto per lo sviluppo dell'educazione matematica in Federazione Russa L'USO in matematica è diviso in due livelli: di base e specialistico. Oggi considereremo le opzioni per il livello di profilo.

Compito numero 1- verifica la capacità dei partecipanti USE di applicare le competenze acquisite nel corso delle classi 5-9 in matematica elementare, in attività pratiche. Il partecipante deve avere capacità di calcolo, essere in grado di lavorare con numeri razionali, essere in grado di arrotondare decimali essere in grado di convertire un'unità di misura in un'altra.

Esempio 1 Un misuratore di spesa è stato installato nell'appartamento in cui vive Petr acqua fredda(contatore). Il primo maggio il contatore ha registrato un consumo di 172 metri cubi. m di acqua e il primo giugno - 177 metri cubi. m. Quale importo dovrebbe pagare Peter per l'acqua fredda per maggio, se il prezzo di 1 cu. m di acqua fredda è 34 rubli 17 copechi? Dai la tua risposta in rubli.

Soluzione:

1) Trova la quantità di acqua spesa al mese:

177 - 172 = 5 (mc)

2) Scopri quanto denaro verrà pagato per l'acqua spesa:

34.17 5 = 170.85 (sfregamento)

Risposta: 170,85.

Compito numero 2- è uno dei compiti più semplici dell'esame. La maggior parte dei laureati lo affronta con successo, il che indica il possesso della definizione del concetto di funzione. Il tipo di attività n. 2 in base al codificatore dei requisiti è un'attività per l'utilizzo delle conoscenze e abilità acquisite nelle attività pratiche e Vita di ogni giorno. Il compito n. 2 consiste nel descrivere, utilizzando funzioni, varie relazioni reali tra quantità e interpretarne i grafici. L'attività numero 2 verifica la capacità di estrarre informazioni presentate in tabelle, diagrammi, grafici. I laureati devono essere in grado di determinare il valore di una funzione in base al valore dell'argomento quando vari modi definire una funzione e descrivere il comportamento e le proprietà della funzione secondo il suo grafico. È anche necessario essere in grado di trovare il massimo o valore più piccolo e costruire grafici delle funzioni studiate. Gli errori commessi sono di natura casuale nella lettura delle condizioni del problema, nella lettura del diagramma.

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Esempio 2 La figura mostra la variazione del valore di scambio di un'azione di una società mineraria nella prima metà di aprile 2017. Il 7 aprile, l'uomo d'affari ha acquistato 1.000 azioni di questa società. Il 10 aprile ha venduto tre quarti delle azioni acquistate e il 13 aprile tutte le restanti. Quanto ha perso l'imprenditore a seguito di queste operazioni?

Soluzione:

2) 1000 3/4 = 750 (azioni) - costituiscono 3/4 di tutte le azioni acquistate.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubli) - l'uomo d'affari ha ricevuto dopo la vendita di 1000 azioni.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rubli) - l'uomo d'affari ha perso a causa di tutte le operazioni.

Risposta: 15000.

Compito numero 3- è un compito del livello base della prima parte, verifica la capacità di eseguire azioni con forme geometriche sui contenuti del corso "Planimetria". L'attività 3 verifica la capacità di calcolare l'area di una figura su carta a scacchi, la capacità di calcolare le misure di gradi degli angoli, calcolare i perimetri, ecc.

Esempio 3 Trova l'area di un rettangolo disegnato su carta a scacchi con una dimensione della cella di 1 cm per 1 cm (vedi figura). Dai la tua risposta in centimetri quadrati.

Soluzione: Per calcolare l'area di questa figura, puoi utilizzare la formula del Picco:

Per calcolare l'area di questo rettangolo, utilizziamo la formula del Picco:

S= B+	G
	2

dove V = 10, G = 6, quindi

S = 18 +	6
	2

Risposta: 20.

Vedi anche: Unified State Examination in Physics: risoluzione dei problemi di vibrazione

Compito numero 4- il compito del corso "Teoria e Statistica della Probabilità". Viene testata la capacità di calcolare la probabilità di un evento nella situazione più semplice.

Esempio 4 Ci sono 5 punti rossi e 1 blu sul cerchio. Determina quali poligoni sono più grandi: quelli con tutti i vertici rossi o quelli con uno dei vertici blu. Nella tua risposta, indica quanti più di uno rispetto all'altro.

Soluzione: 1) Usiamo la formula per il numero di combinazioni da n elementi di K:

tutti i cui vertici sono rossi.

3) Un pentagono con tutti i vertici rossi.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligoni con tutti i vertici rossi.

i cui vertici sono rossi o con un vertice blu.

i cui vertici sono rossi o con un vertice blu.

8) Un esagono i cui vertici sono rossi con un vertice blu.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligoni che hanno tutti i vertici rossi o un vertice blu.

10) 42 - 16 = 26 poligoni che utilizzano il punto blu.

11) 26 - 16 = 10 poligoni - quanti poligoni, in cui uno dei vertici è un punto blu, sono più dei poligoni, in cui tutti i vertici sono solo rossi.

Risposta: 10.

Compito numero 5- il livello base della prima parte verifica la capacità di risolvere le equazioni più semplici (irrazionali, esponenziali, trigonometriche, logaritmiche).

Esempio 5 Risolvi l'equazione 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Soluzione. Dividiamo i due data equazione per 5 3 + X≠ 0, otteniamo

2 3 + X	= 0,4 o		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

da cui segue che 3 + X = 1, X = –2.

Risposta: –2.

Compito numero 6 in planimetria per trovare grandezze geometriche (lunghezze, angoli, aree), modellando situazioni reali nel linguaggio della geometria. Lo studio dei modelli costruiti utilizzando concetti e teoremi geometrici. La fonte delle difficoltà è, di regola, l'ignoranza o l'errata applicazione dei necessari teoremi di planimetria.

Area di un triangolo ABCè uguale a 129. DE- linea mediana parallela al lato AB. Trova l'area del trapezio UN LETTO.

Soluzione. Triangolo CDE simile a un triangolo TAXI a due angoli, poiché l'angolo al vertice C generale, angolo CDE uguale all'angolo TAXI come gli angoli corrispondenti a DE || AB secante corrente alternata. Perché DEè la linea mediana del triangolo dalla condizione, quindi dalla proprietà della linea mediana | DE = (1/2)AB. Quindi il coefficiente di somiglianza è 0,5. Le aree di figure simili sono correlate come il quadrato del coefficiente di somiglianza, quindi

Di conseguenza, SABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Compito numero 7- verifica l'applicazione della derivata allo studio della funzione. Per un'implementazione di successo, è necessario un possesso significativo e non formale del concetto di derivato.

Esempio 7 Al grafico della funzione y = f(X) nel punto con l'ascissa X 0 viene tracciata una tangente, che è perpendicolare alla retta passante per i punti (4; 3) e (3; -1) di questo grafico. Trova f′( X 0).

Soluzione. 1) Usiamo l'equazione di una retta passante per due punti dati e troviamo l'equazione di una retta passante per i punti (4; 3) e (3; -1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-uno)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, dove K 1 = 4.

2) Trova la pendenza della tangente K 2 che è perpendicolare alla retta y = 4X– 13, dove K 1 = 4, secondo la formula:

3) La pendenza della tangente è la derivata della funzione nel punto di contatto. Significa, f′( X 0) = K 2 = –0,25.

Risposta: –0,25.

Compito numero 8- verifica tra i partecipanti all'esame la conoscenza della stereometria elementare, la capacità di applicare formule per trovare superfici e volumi di figure, angoli diedrici, confrontare i volumi di figure simili, essere in grado di eseguire azioni con figure geometriche, coordinate e vettori , eccetera.

Il volume di un cubo circoscritto ad una sfera è 216. Trova il raggio della sfera.

Soluzione. 1) V cubo = un 3 (dove unè la lunghezza del bordo del cubo), quindi

un 3 = 216

un = 3 √216

2) Poiché la sfera è inscritta in un cubo, significa che la lunghezza del diametro della sfera è uguale alla lunghezza del bordo del cubo, quindi d = un, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Compito numero 9- richiede al laureato di trasformare e semplificare le espressioni algebriche. Compito n. 9 di un maggiore livello di complessità con una breve risposta. Le attività della sezione "Calcoli e trasformazioni" in USE sono divise in diversi tipi:

trasformazioni di espressioni razionali numeriche;

trasformazioni di espressioni e frazioni algebriche;

trasformazioni di espressioni irrazionali numeriche/lettere;

azioni con gradi;

trasformazione di espressioni logaritmiche;

1. conversione di espressioni trigonometriche numeriche/lettere.

Esempio 9 Calcola tgα se è noto che cos2α = 0,6 e

3π	< α < π.
4

Soluzione. 1) Usiamo la formula del doppio argomento: cos2α = 2 cos 2 α - 1 e troviamo

abbronzatura 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Quindi, tan 2 α = ± 0,5.

3) Per condizione

3π	< α < π,
4

quindi α è l'angolo del secondo quarto e tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Risposta: –0,5.

#INSERT_ADVERTISING# Compito numero 10- verifica la capacità degli studenti di utilizzare le prime conoscenze e abilità acquisite nelle attività pratiche e nella vita quotidiana. Possiamo dire che questi sono problemi di fisica e non di matematica, ma nella condizione sono fornite tutte le formule e le quantità necessarie. I compiti si riducono alla risoluzione di un'equazione lineare o quadratica, o di una disuguaglianza lineare o quadratica. Pertanto, è necessario essere in grado di risolvere tali equazioni e disuguaglianze e determinare la risposta. La risposta deve essere sotto forma di un numero intero o di una frazione decimale finale.

Due corpi di massa m= 2 kg ciascuno, che si muovono alla stessa velocità v= 10 m/s con un angolo di 2α tra loro. L'energia (in joule) rilasciata durante la loro collisione assolutamente anelastica è determinata dall'espressione Q = mv 2 peccato 2 α. A quale angolo minimo 2α (in gradi) devono muoversi i corpi in modo che almeno 50 joule vengano rilasciati a seguito della collisione?
Soluzione. Per risolvere il problema, dobbiamo risolvere la disuguaglianza Q ≥ 50, sull'intervallo 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Poiché α ∈ (0°; 90°), risolveremo solo

Rappresentiamo graficamente la soluzione della disuguaglianza:

Poiché per ipotesi α ∈ (0°; 90°), significa che 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Compito numero 11- è tipico, ma risulta essere difficile per gli studenti. La principale fonte di difficoltà è la costruzione di un modello matematico (elaborazione di un'equazione). L'attività numero 11 verifica la capacità di risolvere problemi di parole.

Esempio 11. Durante le vacanze di primavera, Vasya, studente di 11 anni, ha dovuto risolvere 560 problemi di allenamento per prepararsi all'esame. Il 18 marzo, l'ultimo giorno di scuola, Vasya ha risolto 5 problemi. Poi ogni giorno risolveva lo stesso numero di problemi in più rispetto al giorno precedente. Determina quanti problemi Vasya ha risolto il 2 aprile l'ultimo giorno di vacanza.

Soluzione: Denota un 1 = 5 - il numero di compiti che Vasya ha risolto il 18 marzo, d– numero giornaliero di compiti risolti da Vasya, n= 16 - il numero di giorni dal 18 marzo al 2 aprile compreso, S 16 = 560 - il numero totale di attività, un 16 - il numero di compiti che Vasya ha risolto il 2 aprile. Sapendo che ogni giorno Vasya ha risolto lo stesso numero di compiti in più rispetto al giorno precedente, puoi utilizzare le formule per trovare la somma di una progressione aritmetica:

560 = (5 + un 16) 8,

5 + un 16 = 560: 8,

5 + un 16 = 70,

un 16 = 70 – 5

un 16 = 65.

Risposta: 65.

Compito numero 12- verificare la capacità degli studenti di compiere azioni con funzioni, saper applicare la derivata allo studio della funzione.

Trova il punto massimo di una funzione y= 10 ln( X + 9) – 10X + 1.

Soluzione: 1) Trova il dominio della funzione: X + 9 > 0, X> –9, cioè x ∈ (–9; ∞).

2) Trova la derivata della funzione:

4) Il punto trovato appartiene all'intervallo (–9; ∞). Definiamo i segni della derivata della funzione e rappresentiamo il comportamento della funzione nella figura:

Il punto massimo desiderato X = –8.

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Compito numero 13- un maggiore livello di complessità con una risposta dettagliata, che verifica la capacità di risolvere le equazioni, la soluzione più efficace tra le attività con una risposta dettagliata di un livello di complessità maggiore.

a) Risolvi l'equazione 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento.

Soluzione: a) Sia log 3 (2cos X) = t, quindi 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ perché |cos X| ≤ 1,
	log3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

allora cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π K
		6
	X = –	π	+ 2π K, K ∈ Z
		6

b) Trova le radici che giacciono sul segmento.

Si può vedere dalla figura che il segmento dato ha radici

11π	e	13π	.
6		6

Risposta: un)	π	+ 2π K; –	π	+ 2π K, K ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Compito numero 14- il livello avanzato si riferisce ai compiti della seconda parte con una risposta dettagliata. L'attività verifica la capacità di eseguire azioni con forme geometriche. L'attività contiene due elementi. Nel primo paragrafo, il compito deve essere dimostrato e nel secondo paragrafo deve essere calcolato.

Il diametro della circonferenza della base del cilindro è 20, la generatrice del cilindro è 28. Il piano interseca le sue basi lungo corde di lunghezza 12 e 16. La distanza tra le corde è 2√197.

a) Dimostrare che i centri delle basi del cilindro giacciono dallo stesso lato di questo piano.

b) Trova l'angolo tra questo piano e il piano della base del cilindro.

Soluzione: a) Una corda di lunghezza 12 è a una distanza = 8 dal centro del cerchio di base, e una corda di lunghezza 16, similmente, è a una distanza di 6. Pertanto, la distanza tra le loro proiezioni su un piano parallelo al basi dei cilindri è 8 + 6 = 14 o 8 − 6 = 2.

Quindi anche la distanza tra gli accordi è

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Secondo la condizione, è stato realizzato il secondo caso, in cui le sporgenze delle corde giacciono su un lato dell'asse del cilindro. Ciò significa che l'asse non interseca questo piano all'interno del cilindro, cioè le basi giacciono su un lato di esso. Cosa doveva essere dimostrato.

b) Indichiamo i centri delle basi come O 1 e O 2. Tracciamo dal centro della base con una corda di lunghezza 12 la bisettrice perpendicolare a questa corda (ha lunghezza di 8, come già notato) e dal centro dell'altra base ad un'altra corda. Si trovano sullo stesso piano β perpendicolare a queste corde. Chiamiamo il punto medio della corda minore B, maggiore di A, e la proiezione di A sulla seconda base H (H ∈ β). Allora AB,AH ∈ β e, quindi, AB,AH sono perpendicolari alla corda, cioè alla linea di intersezione della base con il piano dato.

Quindi l'angolo richiesto è

∠ABH = arctano	AH	= arco	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Compito numero 15- un aumento del livello di complessità con una risposta dettagliata, verifica la capacità di risolvere le disuguaglianze, il compito risolto con maggior successo con una risposta dettagliata di un livello di complessità maggiore.

Esempio 15 Risolvi la disuguaglianza | X 2 – 3X| registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Soluzione: Il dominio di definizione di questa disuguaglianza è l'intervallo (–1; +∞). Considera tre casi separatamente:

1) Lascia X 2 – 3X= 0, cioè X= 0 o X= 3. In questo caso, questa disuguaglianza diventa vera, quindi questi valori sono inclusi nella soluzione.

2) Lascia ora X 2 – 3X> 0, cioè X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). In questo caso, questa disuguaglianza può essere riscritta nella forma ( X 2 – 3X) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 e dividere per un'espressione positiva X 2 – 3X. Otteniamo il registro 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 o X≤ -0,5. Tenendo conto del dominio di definizione, abbiamo X ∈ (–1; –0,5].

3) Infine, considera X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). In questo caso, la disuguaglianza originaria sarà riscritta nella forma (3 X – X 2) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Dopo aver diviso per un'espressione positiva 3 X – X 2, otteniamo il log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Tenendo conto dell'area, abbiamo X ∈ (0; 1].

Combinando le soluzioni ottenute si ottiene X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Risposta: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Compito numero 16- il livello avanzato si riferisce ai compiti della seconda parte con una risposta dettagliata. L'attività verifica la capacità di eseguire azioni con forme geometriche, coordinate e vettori. L'attività contiene due elementi. Nel primo paragrafo, il compito deve essere dimostrato e nel secondo paragrafo deve essere calcolato.

In un triangolo isoscele ABC con angolo di 120° al vertice A, si traccia una bisettrice BD. Il rettangolo DEFH è inscritto nel triangolo ABC in modo che il lato FH si trovi sul segmento BC e il vertice E si trovi sul segmento AB. a) Dimostrare che FH = 2DH. b) Trova l'area del rettangolo DEFH se AB = 4.

Soluzione: un)

1) ΔBEF - rettangolare, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, quindi EF = BE per la proprietà della gamba opposta all'angolo di 30°.

2) Sia EF = DH = X, quindi BE = 2 X, BF = X√3 per il teorema di Pitagora.

3) Poiché ΔABC è isoscele, allora ∠B = ∠C = 30˚.

BD è la bisettrice di ∠B, quindi ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Considera ΔDBH - rettangolare, perché DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Risposta: 24 – 12√3.

Compito numero 17- un compito con una risposta dettagliata, questo compito verifica l'applicazione delle conoscenze e delle abilità nelle attività pratiche e nella vita quotidiana, la capacità di costruire ed esplorare modelli matematici. Questo compito - compito di testo con contenuto economico.

Esempio 17. Il deposito per un importo di 20 milioni di rubli dovrebbe essere aperto per quattro anni. Alla fine di ogni anno, la banca aumenta il deposito del 10% rispetto alla sua entità all'inizio dell'anno. Inoltre, all'inizio del terzo e quarto anno, il depositante ricostituisce annualmente il deposito entro X milioni di rubli, dove X - totale numero. Trova valore più alto X, a cui la banca aggiungerà meno di 17 milioni di rubli al deposito in quattro anni.

Soluzione: Alla fine del primo anno, il contributo sarà di 20 + 20 · 0,1 = 22 milioni di rubli e alla fine del secondo - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milioni di rubli. All'inizio del terzo anno, il contributo (in milioni di rubli) sarà (24,2 + X), e alla fine - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). All'inizio del quarto anno il contributo sarà (26,62 + 2,1 X), e alla fine - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Per condizione, devi trovare l'intero più grande x per il quale la disuguaglianza

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

La soluzione intera più grande a questa disuguaglianza è il numero 24.

Risposta: 24.

Compito numero 18- un compito di maggiore complessità con una risposta dettagliata. Questo compito è destinato alla selezione competitiva di università con maggiori requisiti per preparazione matematica candidati. Un'attività di alto livello di complessità non è un'attività per l'applicazione di un metodo di soluzione, ma per una combinazione di metodi diversi. Per completare con successo l'attività 18, oltre a solide conoscenze matematiche, è richiesto anche un alto livello di cultura matematica.

A cosa un sistema delle disuguaglianze

	X 2 + y 2 ≤ 2Ay – un 2 + 1
	y + un ≤ |X| – un

ha esattamente due soluzioni?

Soluzione: Questo sistema può essere riscritto come

	X 2 + (y– un) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – un

Se disegniamo sul piano l'insieme delle soluzioni alla prima disuguaglianza, otteniamo l'interno di una circonferenza (con bordo) di raggio 1 centrata nel punto (0, un). L'insieme delle soluzioni della seconda disuguaglianza è la parte del piano che giace sotto il grafico della funzione y = | X| – un, e quest'ultimo è il grafico della funzione
y = | X| , spostato verso il basso di un. La soluzione di questo sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di ciascuna delle disuguaglianze.

Quindi due soluzioni questo sistema avrà solo nel caso mostrato in Fig. uno.

I punti di contatto tra il cerchio e le linee saranno le due soluzioni del sistema. Ciascuna delle rette è inclinata rispetto agli assi di un angolo di 45°. Quindi il triangolo PQR- isoscele rettangolari. Punto Q ha coordinate (0, un), e il punto R– coordinate (0, – un). Inoltre, tagli PR e PQ sono uguali al raggio del cerchio uguale a 1. Quindi,

QR= 2un = √2, un =	√2	.
	2

Risposta: un =	√2	.
	2

Compito numero 19- un compito di maggiore complessità con una risposta dettagliata. Questo compito è destinato alla selezione competitiva di università con requisiti aumentati per la preparazione matematica dei candidati. Un'attività di alto livello di complessità non è un'attività per l'applicazione di un metodo di soluzione, ma per una combinazione di metodi diversi. Per portare a termine con successo il compito 19, è necessario essere in grado di cercare una soluzione, scegliendo vari approcci tra quelli noti, modificando i metodi studiati.

Permettere sn somma P membri di una progressione aritmetica ( una pag). È risaputo che S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Dai la formula P esimo membro di questa progressione.

b) Trova la somma modulo più piccola S n.

c) Trova il più piccolo P, al quale S n sarà il quadrato di un numero intero.

Soluzione: a) Ovviamente, un = S n – S n- uno . Usando questa formula otteniamo:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

significa, un = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) perché S n = 2n 2 – 25n, quindi considera la funzione S(X) = | 2X 2 – 25x|. Il suo grafico può essere visto nella figura.

È ovvio che il valore più piccolo si raggiunge nei punti interi più vicini agli zeri della funzione. Ovviamente questi sono punti. X= 1, X= 12 e X= 13. Poiché, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, allora il valore più piccolo è 12.

c) Dal comma precedente risulta che sn positivo da allora n= 13. Poiché S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), allora il caso ovvio in cui questa espressione è un quadrato perfetto si realizza quando n = 2n- 25, cioè con P= 25.

Resta da controllare i valori da 13 a 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Si scopre che per valori più piccoli P il quadrato pieno non viene raggiunto.

Risposta: un) un = 4n- 27; b) 12; c) 25.

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*Da maggio 2017, il gruppo editoriale congiunto DROFA-VENTANA fa parte della Russian Textbook Corporation. La società comprendeva anche la casa editrice Astrel e la piattaforma educativa digitale LECTA. Alexander Brychkin, laureato all'Accademia finanziaria sotto il governo della Federazione Russa, candidato di scienze economiche, responsabile dei progetti innovativi della casa editrice DROFA nel campo dell'educazione digitale ( moduli elettronici libri di testo, "Scuola elettronica russa", piattaforma educativa digitale LECTA). Prima di entrare a far parte della casa editrice DROFA, ha ricoperto la carica di vicepresidente per lo sviluppo strategico e gli investimenti della holding editoriale EKSMO-AST. Oggi, la Russian Textbook Publishing Corporation ha il più grande portafoglio di libri di testo incluso nell'elenco federale: 485 titoli (circa il 40%, esclusi i libri di testo per scuola di recupero). Le case editrici della società possiedono le più popolari Scuole russe serie di libri di testo di fisica, disegno, biologia, chimica, tecnologia, geografia, astronomia - aree di conoscenza necessarie per sviluppare il potenziale produttivo del Paese. Il portafoglio della società comprende libri di testo e guide di studio per scuola elementare insignito del Premio Presidenziale per l'Educazione. Si tratta di libri di testo e manuali su aree tematiche necessarie per lo sviluppo del potenziale scientifico, tecnico e industriale della Russia.

UTILIZZO 2017. Matematica. Compito 16. Planimetria. Sadovnichiy Yu.V.

M.: 2017. - 144 pag.

Questo libro dedicato ai compiti del 16° esame di matematica (compito di planimetria). Vengono presi in considerazione vari metodi per risolvere tali problemi e viene prestata molta attenzione alle illustrazioni grafiche. Il libro sarà utile per studenti delle scuole superiori, insegnanti di matematica, tutor.

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CONTENUTO
Introduzione 4
§uno. Teorema di Pitagora e triangoli rettangoli 5
Compiti per decisione indipendente 11
§2. Teoremi di seno e coseno, area di un triangolo... 13
Compiti per una soluzione indipendente 24
§3. Bisettrice e mediana di un triangolo 28
Compiti per soluzione indipendente 35
§quattro. Segmenti proporzionali e somiglianza dei triangoli... 37
Compiti per una soluzione indipendente 47
§5. Lemmi dell'area 50
Compiti per soluzione indipendente 63
§6. Angoli nei cerchi 67
Compiti per una soluzione indipendente 82
§7. Toccare cerchi, toccare una linea e un cerchio...87
Compiti per una soluzione indipendente 97
§otto. Lunghezze e aree associate al cerchio 100
Compiti per soluzione indipendente 109
§9. Quadrangolo 111
Compiti per soluzione indipendente 124
§dieci. Dimostrazione di alcuni teoremi e formule 127
Risposte ai compiti per una soluzione indipendente 137

Questo libro è dedicato a compiti simili al compito 16 dell'esame di stato unificato in matematica (compito sulla planimetria). Insieme ai problemi 18 (un problema con un parametro) e 19 (un problema che utilizza le proprietà degli interi), il problema 16 è il più difficile nella variante. Ciò è spiegato, in primo luogo, dalla mancanza di soluzioni algoritmiche per problemi di planimetria. Inoltre, possono sorgere difficoltà già durante la costruzione del disegno. L'esempio 5 del paragrafo 9 mostra come un disegno corretto possa fornire un indizio per risolvere un problema. Questo libro discute vari metodi per risolvere i problemi planimetrici.
I primi tre paragrafi presentano problemi relativi al calcolo in triangoli. Oltre ai noti teoremi (il teorema del seno e il teorema del coseno), vengono fornite varie formule per il calcolo delle lunghezze della bisettrice e della mediana.
Le sezioni 4 e 5 sono dedicate alla somiglianza dei triangoli e al rapporto delle aree. Il ruolo chiave qui è svolto dal teorema di Menelao e dai cosiddetti "lemmi di area". Tali problemi contengono già meno calcoli rispetto ai problemi dei primi tre paragrafi.

In un trapezio isoscele ABCD AD BC, AD = 21, AB = 10, BC = 9. Le diagonali AC e BD rompono il trapezio in quattro triangoli sovrapposti DAB, ABC, BCD, CDA. Ogni triangolo è inscritto rispettivamente con cerchi w1, w2, w3, w4, i cui centri si trovano nei punti O1, O2, O3, O4.

A) Dimostrare che il quadrilatero O1O2O3O4 è un rettangolo.

Le altezze del triangolo isoscele ABC con la base AC si intersecano nel punto H, l'angolo B è di 30 gradi. Il raggio CH per la seconda volta interseca il cerchio ω descritto attorno al triangolo ABH nel punto K.

A) Dimostrare che BA è la bisettrice dell'angolo KBC.

B) Il segmento BC interseca la circonferenza w nel punto E. Trova BE se AC = 12.

La bisettrice CL dell'angolo C del triangolo ABC divide in due l'angolo compreso tra la mediana CM e l'altezza CH tracciata dallo stesso vertice.

a) Dimostra che il triangolo ABC è un triangolo rettangolo.

B) Trova gli angoli del triangolo ABC se S_(CHL)/S_(CHM) = 1/3

Si dà il triangolo ABC, in cui ci sono tre circonferenze uguali ω_(1), ω_(2), ω_(3), con centri nei punti I_(1), I_(2), I_(3), passanti per un comune punto T. Il cerchio ω_(1) tocca i lati AB e AC, il cerchio ω_(2) tocca i lati BA e BC, il cerchio ω_(3) tocca i lati CB e CA. Sia I il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ABC, ed O il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

A) Dimostrare che i punti I, T, O giacciono sulla stessa retta.

B) Trova il raggio di tre cerchi uguali se i lati del triangolo ABC sono rispettivamente 13, 14, 15.

In un trapezio rettangolare ABCD con basi AB e CD uguali rispettivamente ad a e c, c< а, боковая сторона BC перпендикулярна основаниям и равна b. Из точки P стороны AD, делящей её так, что AP: PD = n: m, n >= m, su questo lato viene disegnata una perpendicolare, che interseca il lato BC nel punto Q. Trova l'area del quadrilatero APQB, PQCD

A) Dimostrare che la somma degli angoli A, B, C, D, E ai vertici di una stella a 5 punte arbitraria è uguale a 180 gradi (Fig. 1).

B) Trovare l'area di una stella a 5 punte, i cui vertici coincidono con i cinque vertici di un esagono regolare, se è noto che il lato di quest'ultimo è 6 (Fig. 2).

Larin 16) Il punto E è il centro del lato laterale CD del trapezio ABCD. Prendi il punto K sul lato AB in modo che le linee CK e AE siano parallele. I segmenti CK e BE si intersecano nel punto O.

A) Dimostra che CO=KO.

B) Trova il rapporto tra le basi del trapezio BC e AD se l'area del triangolo BCK è 0,09 dell'area del trapezio ABCD.

Nel parallelogramma ABCD, il punto E è il punto medio del lato AD. Il segmento BE interseca la diagonale AC nel punto P. AB=PD.

A) Dimostrare che il segmento BE è perpendicolare alla diagonale AC.

B) Trova l'area del parallelogramma se AB = 2 cm, BC = 3 cm.

Sul prolungamento del lato AC oltre il vertice A del triangolo ABC, si traccia il segmento AD, uguale al lato AB. Una retta passante per il punto A parallela a BD interseca il lato BC nel punto M.

A) Dimostrare che AM è la bisettrice dell'angolo BAC.

B) Trova l'area del trapezio AMBD se l'area del triangolo ABC è 200 ed è noto il rapporto AC:AB = 2:3.

La circonferenza passa per i vertici B e C del triangolo ABC e interseca AB e AC rispettivamente nei punti C1 e B1.

A) Dimostra che il triangolo ABC è simile al triangolo AB1C1.

B) Calcola il raggio di questo cerchio se l'angolo A = 150°, BC = 6 e l'area del triangolo AB1C1 è tre volte minore dell'area del quadrilatero BC1C1.

Le bisettrici AD e la mediana CE sono disegnate in un triangolo ad angolo acuto ABC, e i punti K e L sono proiezioni dei punti D ed E sul lato AC, rispettivamente, con AK=4KC, AL=(3/7)LC.

A) Dimostra che AB=AC.

B) Trovare la relazione AD:CE.

Le diagonali AC e CE di un esagono regolare ABCDEF sono separate da punti M e N in modo che AM:AC = CN:CE e i punti B, M e N giacciono sulla stessa linea.

A) Dimostrare che i punti B, O, N e D giacciono sullo stesso cerchio (il punto O è il centro dell'esagono)

B) Trova il rapporto AM: AC.

Viene dato il triangolo ABC. La bisettrice perpendicolare al lato AB si interseca con la bisettrice dell'angolo BAC nel punto K, che giace sul lato BC.

A) Dimostrare che AC^2 =BC*CK.

B) Trova il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo AKS se sinB = 0,8 e lato AC = 30.

Nel trapezio ABCD basi AD e BC. La diagonale AC lo divide in due triangoli isoscele con basi AD e AB.

A) Dimostrare che il raggio DB è la bisettrice dell'angolo ADC.
b) Trova AB se sono note le lunghezze delle diagonali del trapezio: BD=8 e AC=5.

Dato un cerchio. Le continuazioni del diametro AB e della corda RK si intersecano di un angolo di 30 gradi nel punto C. È noto che CB:AB=1:4; AK interseca BP nel punto T.

A) Dimostra che AP:AT=3:4.

B) Trova l'area di un quadrilatero con i vertici nei punti A, B, P e K, se il raggio della circonferenza è 4.

Nel cubo ABCDA1B1C1D1, il punto M giace sul bordo BB1 in modo che BM:B1M=1:3. Il piano beta viene tracciato attraverso i punti M e C1 paralleli a BD1.

A) Dimostrare che il piano beta passa per il punto medio del bordo AA1.

B) Trova l'area della sezione trasversale del cubo dal piano beta, se è noto che AB \u003d 12.

Nel triangolo ABC, in cui la lunghezza del lato AC è minore della lunghezza del lato BC, è inscritta una circonferenza di centro O. Il punto B1 è simmetrico al punto B rispetto a CO.

A) Dimostrare che A, B, O e B1 giacciono sullo stesso cerchio.

B) Trova l'area del quadrilatero AOBB1 se AB=10, AC=6 e BC=8.

Il cerchio inscritto nel trapezio ABCD tocca i suoi lati AB e CD rispettivamente nei punti M e N. È noto che AM=8MB e DN=2CN.

A) Dimostra che AD=4BC.

B) Trova la lunghezza del segmento MN se il raggio della circonferenza è sqrt(6)

Il cerchio inscritto nel quadrato ABCD tocca il suo lato AB nel punto T, ei lati AD nel punto P. I segmenti CT e CP intersecano il cerchio rispettivamente nei punti M e N. Il lato della piazza è quadrato (10).

A) Dimostrare che la retta TP è parallela alla retta MN.

Nel trapezio ABCD, il punto E è il punto medio della base AD, il punto M è il punto medio del lato AB.

A) Dimostrare che le aree del quadrilatero AMOE e del triangolo COD sono uguali se O è il punto di intersezione dei segmenti CE e DM.

B) Trova quale parte dell'area del trapezio è l'area del quadrilatero AMOE, se BC = 5, AD = 7.

Dato un trapezio isoscele KLMN con basi KN e LM. Un cerchio di centro O, costruito sul lato laterale di KL come diametro, tocca il lato laterale di MN e attraversa una seconda volta la base maggiore di KN nel punto H, il punto Q è il punto medio di MN.

A) Dimostra che NQOH è un parallelogramma.

B) Trova KN se l'angolo è LKN = 75° e LM = 4.

Due cerchi si toccano internamente nel punto A, con il cerchio più piccolo che passa per il centro O di quello più grande. Il diametro BC del cerchio più grande interseca per la seconda volta il cerchio più piccolo nel punto M, che è diverso dal punto A. I raggi AO e AM intersecano per la seconda volta il cerchio più grande rispettivamente nei punti P e Q. Il punto C giace sull'arco AQ di un cerchio più grande che non contiene il punto P.

A) Dimostrare che le rette PQ e BC sono parallele.

B) È noto che sin AOC = sqrt(15)/4. Le linee PC e AQ si intersecano nel punto K. Trova il rapporto QK:KA

Due cerchi di centri O1 e O1 si intersecano nei punti A e B, e i punti O1 e O2 giacciono ai lati opposti della linea AB. La continuazione del diametro CA della prima circonferenza e la corda CB della stessa circonferenza intersecano la seconda circonferenza rispettivamente nei punti D ed E.

A) Dimostra che i triangoli CBD e O1AO2 sono simili.

B) Trova AD se gli angoli DAE e BAC sono uguali, il raggio della seconda circonferenza è quattro volte il raggio della prima e AB=2.

Il punto M è il punto medio dell'ipotenusa AB del triangolo ABC. La bisettrice perpendicolare all'ipotenusa interseca la gamba BC nel punto N.

A) Dimostrare che angolo CAN = angolo CMN

B) Trova il rapporto tra i raggi delle circonferenze dei triangoli ANB e CBM se tgBAC = 4/3

Nel triangolo ABC, i punti A1, B1 e C sono i punti medi dei lati BC, AC e AB, rispettivamente, altezza AH, angolo BAC = 60°, angolo BCA = 45°.

A) Dimostrare che i punti A1, B1, C1 e H giacciono sullo stesso cerchio.

B) Trova A1H se BC = 2sqrt(3).

In un triangolo ad angolo acuto ABC, le altezze AP e CQ sono abbassate dai vertici A e C ai lati BC e AB. È noto che l'area del triangolo ABC è 18, l'area del triangolo BPQ è 2 e la lunghezza del segmento PQ è 2sqrt(2)

A) Dimostra che i triangoli QBP e CBA sono simili.

B) Calcola il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

Cerchi di raggio 2 e 4 si toccano nel punto B. Per il punto B si traccia una retta che interseca una seconda volta il cerchio più piccolo nel punto A e quello più grande nel punto C.
a) Dimostrare che BC=2AB.
b) Trova BC se AC=3sqrt(2).

Il cerchio tocca le linee AB e BC rispettivamente nei punti D ed E. Il punto A si trova tra B e D e la corrente C si trova tra B ed E. I punti A, D, E, C giacciono sullo stesso cerchio.

A) Dimostra che i triangoli ABC e DBE sono simili.
b) Trova l'area di ABC se AC = 8 e il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC è 1.

Nel quadrato ABCD, di lato uguale ad "a", i punti P e Q sono rispettivamente i punti medi dei lati AD e CD. I segmenti BP e AQ si intersecano nel punto R

A) dimostrare che le circonferenze possono essere circoscritte ai quadrilateri BCQR e DPRQ
b) Trova la distanza tra i centri di questi cerchi.

Sul lato AB del triangolo ABC è segnato un punto M, diverso dai vertici, che MC=AC. Il punto P è simmetrico al punto A rispetto alla linea BC.

A) Dimostrare che una circonferenza può essere circoscritta vicino al quadrilatero VMSR.
B) Trova la lunghezza del segmento MP, se è noto che AB=6, BC=5, CA=3

I punti K, L e M sono presi rispettivamente dai lati AB, BC e AC del triangolo ABC e AK:KB=2:3, BL:LC=1:2, CM:MA=3:1.

A) Dimostrare che le aree dei triangoli BKL e KLM sono uguali.
b) In quale rapporto il segmento KL divide il segmento BM?

La bisettrice AD ​​è disegnata in un triangolo isoscele ABC di base AC. Una retta è tracciata parallela alla base dal punto D e interseca il lato AB nel punto K.

A) Dimostra che il triangolo AKD è isoscele
b) Trova la lunghezza del segmento AD se AC=5, AB=BC=20

La distanza tra i centri dei cerchi di raggio 1 e 9 è 17. Il terzo cerchio tocca questi cerchi e la loro tangente interna comune.

A) Dimostrare che il suo punto di contatto con la retta coincide con il punto di contatto di uno dei primi due cerchi.

b) Trova il raggio del terzo cerchio.

In un triangolo ABC di lati AB=16, AC=24, CB=18, si traccia una retta mediana MN parallela al lato AC (il punto M è sul lato AB), su cui si prende K, in modo che KM sia uguale a 5 intero 1/3.

1. Dimostra che i triangoli KMB e ABC sono simili
2. Trova la distanza dal punto K al punto B

Il primo cerchio inscritto nel triangolo isoscele ABC tocca la base AC nel punto M. Il secondo cerchio tocca la base AC e le estensioni dei lati.

A) Dimostrare che la lunghezza della base del triangolo è la media geometrica dei diametri del primo e del secondo cerchio.

B) Trova il raggio del secondo cerchio, se il raggio del primo è 3, e BM=8.

Alla circonferenza inscritta nel quadrato ABCD si traccia una tangente che interseca i lati AB e AD rispettivamente nei punti M e P.

a) Dimostrare che il perimetro del triangolo AMP è uguale al lato del quadrato.
B) La retta MP interseca la retta CD nel punto K. Una retta passante per il punto K e il centro della circonferenza interseca la retta AB nel punto E. Trova il rapporto BE:BM se AM:MB=1:3.

Il punto M giace sul lato BC del quadrilatero convesso ABCD, dove B e C sono i vertici di triangoli isoscele con basi AM e DM, rispettivamente, e le linee AM e MD sono perpendicolari.

A) Dimostrare che le bisettrici degli angoli ai vertici B e C del quadrilatero ABCD si intersecano sul lato AD.

B) Sia N il punto di intersezione di queste bisettrici. Trova l'area del quadrilatero ABCD se è noto che BM:MC=1:3 e l'area del quadrilatero i cui lati giacciono sulle linee AM, DM, BN e CN è 18.

Il punto B giace sul segmento AC. La retta passante per il punto A tocca la circonferenza di diametro BC nel punto M e interseca per la seconda volta la circonferenza di diametro AB nel punto K. La continuazione del segmento MB interseca la circonferenza di diametro AB nel punto D.

A) Dimostrare che le rette AD e MC sono parallele.

B) Trova l'area del triangolo DBC se AK=3 e MK=12.

La corda AB della circonferenza è parallela alla tangente passante per il punto C giacente sulla circonferenza. Una retta passante per il punto C e il centro della circonferenza interseca la circonferenza una seconda volta nel punto P.

a) Dimostra che il triangolo ABP è un triangolo isoscele.

B) Trova il rapporto in cui la corda AB divide il diametro CP se è noto che l'angolo APB = 150 gradi.

In un triangolo rettangolo ABC, sappiamo che BC=2*AC. Un quadrato ABEF è costruito sull'ipotenusa AB al di fuori del triangolo. La retta CE interseca AB nel punto O.

A) Dimostra che OA:OB=3:4.
B) Trova il rapporto tra le aree dei triangoli AOC e BOE.

I punti E e P sono segnati sulla diagonale AC del parallelogramma ABCD, e AE:EP:PC=1:2:1. Le linee DE e DP intersecano i lati AB e BC rispettivamente nei punti K e M.

A) Dimostra che KM || COME.

B) Trova l'area del parallelogramma ABCD, se è noto che l'area del pentagono BKERM è 30.

Dato un quadrato ABCD. I punti K, L, M sono rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC e CD. AL interseca DK in P; DL interseca AM a T; AM interseca DK nel punto O.

A) Dimostrare che i punti P, L, T, O giacciono sulla stessa circonferenza;
B) Trova il raggio della circonferenza inscritta nel quadrilatero PLTO se AB=4.

Si traccia una tangente alla circonferenza inscritta nel quadrato ABCD, che interseca i lati AB e AD rispettivamente nei punti M e N.

a) Dimostrare che il perimetro del triangolo AMN è uguale al lato del quadrato.

B) La retta MN interseca la retta CD nel punto P. In quale rapporto la retta passante per il punto P e il centro della circonferenza divide il lato BC se AM:MB=1:2?

Dato un trapezio isoscele ABCD con basi AD e BC. Il cerchio di centro O, costruito sul lato laterale di AB come un diametro, tocca il lato laterale di CD e incrocia una seconda volta la base maggiore di AD nel punto H, il punto Q è il punto medio di CD.

A) Dimostrare che il quadrilatero DQOH è un parallelogramma.

B) Trova AD se ∠BAD=60° e BC=2.

In un triangolo isoscele ABC, angolo BAC = 45°. L'estensione della bisettrice CD del triangolo interseca la circonferenza circoscritta θ_(1) nel punto E. La circonferenza circoscritta θ_(2) del triangolo ADE interseca l'estensione del lato AC nel punto F.

A) Dimostrare che il centro della circonferenza θ_(1) giace sulla retta FB.

B) Trova il raggio del cerchio θ_(2) se è noto che AC=6, AF=2.

Due cerchi si toccano esternamente nel punto L. La linea AB tocca il primo cerchio nel punto A e il secondo nel punto B. La linea BL interseca il primo cerchio nel punto D, la linea AL interseca il secondo cerchio nel punto C.

A) Dimostrare che le rette AD e BC sono parallele.
b) Trova l'area del triangolo ALB se è noto che i raggi dei cerchi sono 8 e 2.

A triangolo rettangolo ABC con angolo retto A e gambe AB = 2; AC = 6 quadrati ADEF è inscritto.

In un triangolo rettangolo ABC con angolo retto A e gambe AB = 3; AC = 5 quadrati ADEF è inscritto.

A) Dimostra che i triangoli BDE ed EFC sono simili.
b) Trova il rapporto tra l'area del triangolo EFC e l'area del quadrato ADEF.

Il cerchio inscritto nel triangolo ABC tocca il suo lato laterale e la continuazione della base AC.

A) Dimostrare che il raggio di questa circonferenza è uguale all'altezza BH del triangolo ABC.

B) Trova l'area del triangolo ABC se il raggio del cerchio è 4 e AC*AB = 30.

Il cerchio ω centrato nel punto O è tangente al lato BC del triangolo ABC nel punto M e alle estensioni dei lati AB e AC. Un cerchio inscritto in questo triangolo centrato nel punto E tocca il lato BC nel punto K.

A) Dimostra che BK=SM.

B) Trova l'area del quadrilatero OKEM se è noto che AC=5, BC=6, AB=4.

Il Pentagono ABCDE è inscritto in un cerchio. Le perpendicolari AF, AH, AP e AQ vengono calate dal vertice A rispettivamente alle linee DE, BE, CD e BC.

A) Dimostrare che angolo FAH = angolo PAQ.
b) Trova AH se AF = a, AP = b e AQ = c.

I punti B1 e C1 giacciono sui lati AC e AB del triangolo ABC, rispettivamente, e AB1:B1C = AC1:C1B. Diretto BB1 e CCi
intersecano nel punto O.

A) Dimostrare che la linea AO divide in due il lato BC.

B) Trova il rapporto tra l'area del quadrilatero AB1OC1 e l'area del triangolo ABC, se è noto che AB1:B1C= AC1:C1B = 1:4.

Un triangolo rettangolo ABC con ipotenusa AB è inscritto in una circonferenza centrata nel punto O. Il punto D è preso sulla gamba più grande BC in modo che AC=BD. Il punto E è il centro dell'arco DIA.

A) Dimostrare che angolo CED = 90°.

B) Trova l'area del pentagono AODEC se è noto che AB=13, AC=5.

I punti P, Q, W dividono i lati del quadrilatero convesso ABCD rispetto ad AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4; il raggio della circonferenza circoscritta attorno al triangolo PQW è uguale a 10, PQ=16, QW=12.

A) Dimostra che il triangolo PQW è un triangolo rettangolo.

Due cerchi si toccano internamente. Il terzo cerchio tocca i primi due e la loro linea di centri.

A) Dimostrare che il perimetro di un triangolo con i vertici al centro di tre cerchi è uguale al diametro del più grande di questi cerchi.

B) Trova il raggio del terzo cerchio, se è noto che i raggi dei primi due sono 3 e 2.

Il punto K giace sul diametro AB di una circonferenza di centro O. C e D sono punti della circonferenza che si trovano su un lato di AB, e angolo OCK = angolo ODK.

A) Dimostrare che angolo CKB = angolo DKA.

B) Trova l'area di un quadrilatero con i vertici nei punti A, B, C, D, se è noto che OK = 3,6, BK = 9,6, angolo OCK = angolo ODK = 30°.

Nel triangolo ABC BA=8, BC=7, angolo B=120°. Il cerchio w inscritto nel triangolo tocca il lato AC nel punto M.

a) Dimostrare che AM=BC.

B) Trova la lunghezza di un segmento con estremità ai lati AB e AC, perpendicolare ad AB e tangente alla circonferenza w.

Il segmento di linea che collega i punti medi M e N delle basi BC e AD, rispettivamente, del trapezio ABCD lo divide in due trapezi, ciascuno dei quali può essere inscritto con un cerchio.

a) Dimostrare che il trapezio ABCD è isoscele.
b) È noto che il raggio di questi cerchi è 3 e la base minore BC del trapezio originale è 8. Trova il raggio del cerchio tangente al lato laterale AB, la base AN del trapezio ABMN e il cerchio inscritto .

Tre tangenti comuni sono disegnate a due cerchi che non hanno punti in comune: uno esterno e due interni. Siano A e B i punti di intersezione della tangente esterna comune con quelle interne comuni.

A) Dimostrare che il punto medio del segmento che collega i centri dei cerchi è alla stessa distanza dai punti A e B.

B) Trovare la distanza tra i punti A e B, se è noto che i raggi dei cerchi sono rispettivamente 6 e 3 e la distanza tra i centri dei cerchi è 15.

Una circonferenza di centro O è inscritta in un angolo di 60°. In questo angolo è inscritta anche una circonferenza di raggio maggiore con centro O1 e passante per il punto O.

A) Dimostrare che il raggio della seconda circonferenza è doppio del raggio della prima.

B) Trova la lunghezza della corda comune di questi cerchi, se è noto che il raggio del primo cerchio è 2sqrt(3).

Nel trapezio ABCD, il lato di AB è perpendicolare alle basi. Una linea perpendicolare AH è calata dal punto A al lato CD. Il punto E è segnato sul lato AB in modo che le linee CD e CE siano perpendicolari.

A) Dimostrare che le rette BH ed ED sono parallele.

B) Trova il rapporto HH:ED se l'angolo BCD=135 gradi

In un quadrilatero convesso ABCD, i punti K, M, P, E sono rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA.

A) Dimostrare che l'area del quadrilatero KMPE è uguale alla metà dell'area del quadrilatero ABCD.

B) Trova la diagonale più lunga del quadrilatero KMPE se è noto che AC=6, BD=8, e la somma delle aree dei triangoli AKE e CMP è 3sqrt(3).

Le diagonali AC e BD del quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza si intersecano nel punto P, e BC=CD.

A) Dimostra che AB:BC=AP:PD.

B) Trovare l'area del triangolo COD, dove O è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ABD, se è inoltre noto che BD è il diametro della circonferenza circoscritta al quadrilatero ABCD, AB=5, e BC=5sqrt(2)

Dato un triangolo ABC di lati AB=5, BC=9 e AC=10.

A) Dimostrare che la retta passante per il punto di intersezione delle mediane e il centro della circonferenza inscritta è parallela al lato BC.
B) Trova la bisettrice del triangolo ABC ricavata dal vertice A.

a) Dimostrare che il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo è metà la differenza tra la somma delle gambe e l'ipotenusa.

B) Trova il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo rettangolo se i raggi dei cerchi inscritti nei triangoli in cui è diviso per l'altezza tracciata all'ipotenusa sono uguali a 4 e 5.

Due cerchi si toccano esternamente nel punto K. La linea tocca il primo cerchio nel punto A e il secondo nel punto B. La linea BK interseca il primo cerchio nel punto D, la linea AK interseca il secondo cerchio nel punto C.

A) Dimostrare che le rette AD e BC sono parallele.
b) Trova l'area del triangolo DKS, se è noto che i raggi dei cerchi sono 4 e 9.

Un cerchio è inscritto in un trapezio isoscele.

A) Dimostrare che il diametro del cerchio è uguale alla media geometrica delle lunghezze delle basi del trapezio.

(La media geometrica di due numeri positivi aeb è il valore dell'espressione sqrt(ab))

B) Trovare l'area di un quadrilatero con i vertici ai punti tangenti della circonferenza ai lati del trapezio, se è noto che le lunghezze delle basi del trapezio sono 8 e 18.

Le diagonali AC e BD del quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza si intersecano nel punto P, e BC=CD.

A) Dimostra che AB:BC=AP:PD.

B) Trovare l'area del triangolo COD, dove O è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ABD, se è inoltre noto che BD è il diametro della circonferenza circoscritta al quadrilatero ABCD, AB=5, e BC=5√2

Un trapezio ABCD con basi AD e BC è circoscritto vicino ad una circonferenza di centro O.

A) Dimostrare che ∠BOC+∠AOD=180°
B) Trova il rapporto tra le basi del trapezio se è noto che AB \u003d CD e l'area del quadrilatero con i vertici nei punti di contatto del cerchio con i lati del trapezio è 8 /25 dell'area del trapezio ABCD.

La bisettrice dell'angolo C del trapezio ABCD interseca la base AD nel punto M.

A) Dimostrare che la bisettrice dell'angolo D passa per il punto medio del segmento CM.

B) Trova il rapporto tra le basi del trapezio se il lato AD
è perpendicolare al lato AB ed è noto che AM:MD = 1:2 e AB:CD = 4:5.

Ai lati AD e BC del parallelogramma ABCD si prendono rispettivamente i punti M e N con BN:NC = 1:3. Si è scoperto che le linee AN e AC dividevano il segmento BM in tre parti uguali.

A) Dimostrare che il punto M è il punto medio del lato AD del parallelogramma.

B) Trova l'area del parallelogramma ABCD se è noto che l'area del quadrilatero delimitata dalle linee AN, AC, BM e BD è 16.

I cerchi ω1 e ω2 si toccano esternamente. A1A2 e B1B2 sono le loro tangenti esterne comuni (A1 e B1 sono punti tangenti di ω1, A2 e B2 sono punti tangenti con ω2).

A) Dimostrare che la distanza tra le corde A1B1 e A2B2 è uguale alla media armonica dei diametri dei cerchi. (la media armonica di due numeri positivi aeb è il valore dell'espressione 2/(1/a + 1/b))

B) Trova l'area del quadrilatero A1A2B2B1 se i raggi delle circonferenze sono rispettivamente 9 e 4.

Il punto O è il centro di una circonferenza circoscritta triangolo acuto ABC, I - il centro del cerchio in esso inscritto, H - il punto di intersezione delle altezze. È risaputo che

Angolo BAC = angolo OBC + angolo OCB

A) Dimostrare che il punto I giace su una circonferenza circoscritta al triangolo BOC.

B) Trova l'angolo OIH se l'angolo ABC = 55 gradi

Nel triangolo ABC‍ le bisettrici AA‍1‍ e CC‍1,‍ K e M sono le basi delle perpendicolari cadute dal punto B‍ alle linee AA‍1‍ e CC‍1.‍

A) Dimostra che MK||AC.‍

B) Trova l'area del triangolo KBM se è noto che AC=10, BC=6, AB=8.

Il cerchio di centro O‍ tocca il lato laterale AB‍ del triangolo isoscele ABC,‍ l'estensione del lato laterale AC‍ e l'estensione della base BC‍ nel punto N.‍ Il punto M è il punto medio della base BC.‍

A) Dimostrare che AN = OM.‍

B) Trova OM‍ se i lati del triangolo ABC‍ sono 10, 10 e 12.

I punti K,‍ L,‍ M‍ e N‍ sono contrassegnati sui lati AB,‍ BC,‍ CD‍ e AD‍ del parallelogramma ABCD‍, rispettivamente, e ‍AK/KB=‍BL‍/LC=‍CM‍/MD=‍DN‍/NA.‍

A) Dimostrare che il quadrilatero KLMN è un parallelogramma e il suo centro coincide con il centro del parallelogramma ABCD.

B) Trova il rapporto tra le aree dei parallelogrammi KLMN‍ e ABCD, se è noto che ‍AK/KB=2.‍

Dato un triangolo ABC di lati AB=4, BC=6 e AC=8.

A) Dimostrare che la retta passante per il punto di intersezione delle mediane e il centro della circonferenza inscritta è parallela al lato BC.

B) Trova la lunghezza della bisettrice del triangolo ABC tratto dal vertice A.

A trapezio isoscele ABCD con basi AD e BC è un cerchio inscritto, CH è l'altezza di un trapezio.

A) Dimostrare che il centro del cerchio inscritto nel trapezio giace sul segmento BH.

B) Trova la diagonale AC se sai che la mediana del trapezio è 2sqrt(7) e l'angolo AOD=120 gradi, dove O è il centro del cerchio inscritto nel trapezio e AD è la base maggiore.

Due cerchi hanno un centro comune O. Un punto F viene scelto su un cerchio di raggio maggiore.

A) Dimostrare che la somma delle distanze al quadrato dal punto F agli estremi del diametro del cerchio minore non dipende dalla scelta del punto F, né dalla scelta del diametro.

B) È noto che i raggi dei cerchi sono 10 e 24. Trova l'area del triangolo i cui vertici sono le estremità del diametro del cerchio più piccolo e il punto F, la tangente dell'angolo F di questo triangolo è 1/4.

Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza di raggio R, P è il punto di intersezione delle sue diagonali, AB=CD=5, AD>BC. L'altezza dal punto B al lato AD è 3 e l'area del triangolo ADP è 25/2.

a) Dimostrare che ABCD è un trapezio isoscele.
B) Trova i lati AD, BC e il raggio R del cerchio.

Ai lati AC e BC del triangolo ABC, i quadrati ACDE e BFKC sono costruiti all'esterno del triangolo. Il punto M è la metà di AB.

A) Dimostra che CM=(1/2)DK
b) Trova la distanza dal punto M al centro dei quadrati, se AC=6, BC=10, angolo DIA=30 gradi

Dato un trapezio KLMN con basi KN e LM. I cerchi disegnati sui lati KL e MN come diametri si intersecano nei punti A e B.

A) Dimostrare che la linea mediana del trapezio giace sulla bisettrice perpendicolare al segmento AB.

B) Trova AB se sai che i lati del trapezio sono 26 e 28 e la linea mediana del trapezio è 15.

In un trapezio rettangolare ABCD con un angolo retto al vertice A, ci sono due cerchi. Uno di essi tocca i lati e la base maggiore dC, il secondo tocca i lati, la base minore BC e il primo cerchio.

A) Una retta passante per i centri delle circonferenze interseca la base AD nel punto P. Dimostrare che AP/PD = sinD.

B) Trova l'area del trapezio se i raggi dei cerchi sono 5/2 e 1/2

Il primo cerchio di centro O inscritto nel triangolo isoscele KLM tocca il lato KL nel punto B e la base ML nel punto A. Il secondo cerchio di centro O1 tocca la base ML e le estensioni dei lati.

A) Dimostra che il triangolo OLO1 è un triangolo rettangolo.
b) Trova il raggio del secondo cerchio se sai che il raggio del primo è 6 e AK=16.

I punti P e Q sono segnati sulla diagonale BD del parallelogramma ABCD e BP=PQ=QD.
a) Dimostrare che le linee AP e AQ passano rispettivamente per i punti medi M e N dei lati BC e CD.
b) Trova il rapporto tra l'area del pentagono CMPQN e l'area del parallelogramma ABCD.

Dato un triangolo ABC con lati AB = 24, AC = 15 e BC = 18. Si prende il punto D dal lato BC e si prende il punto O dal segmento AD, con CD = 6 e AO = 3OD. Il cerchio centrato in O passa per il punto C. Trova la distanza dal punto C al punto di intersezione di questo cerchio con la linea AB.

Cerchi con centri O1 e O2 di raggio diverso si intersecano nei punti A e B. La corda AC del cerchio più grande interseca il cerchio più piccolo nel punto M ed è diviso in due da questo punto.
a) Dimostrare che la proiezione del segmento O1O2 sulla linea AC
quattro volte meno di AC.
b) Trova O1O2 se sai che il raggio dei cerchi è 10 e 15 e AC = 24.

Una circonferenza di raggio R è inscritta nel triangolo ABC, tangente al lato AC nel punto M, inoltre AM=2R e CM=3R.
a) Dimostra che il triangolo ABC è un triangolo rettangolo.
b) Trovare la distanza tra i centri dei suoi cerchi inscritti e circoscritti, se è noto che R=2.

Un cerchio inscritto in un triangolo isoscele ABC (con base AC) tocca i suoi lati nei punti M e N. Il punto M divide il lato nei segmenti 10 e 7, contando dalla base del triangolo ABC.

A) Dimostra che i triangoli MBN e ABC sono simili.

B) Trova il rapporto tra le aree del triangolo MBN e del trapezio AMNC.

Due cerchi si toccano internamente nel punto A, con il cerchio più piccolo che passa per il centro di quello più grande. La corda BC del cerchio più grande tocca il cerchio più piccolo nel punto R. Le corde AB e AC intersecano il cerchio più piccolo rispettivamente nei punti D ed E.

A) Dimostrare che DE è parallelo a BC.

B) L - il punto di intersezione di RA e DE. Trova AL se il raggio del cerchio più grande è 17 e BC = 30.

Il cerchio disegnato sul lato AD‍ del parallelogramma ABCD‍ come diametro passa per il punto di intersezione delle diagonali del parallelogramma.
a) Dimostra che ABCD è un rombo.
b) Questo cerchio interseca il lato AB‍ nel punto M,‍ inoltre AM: MB = 2: 1.‍ Trova la diagonale AC,‍ se conosci AD = sqrt(6)

Le mediane AA1, BB1 e CC1 del triangolo ABC si intersecano nel punto M. È noto che AC = ZMB.

a) Dimostra che il triangolo ABC è un triangolo rettangolo.

B) Trova la somma dei quadrati delle mediane AA1 e CC1 se è noto che AC = 30.

Il lato CD‍ del rettangolo ABCD‍ tocca un cerchio nel punto M.‍ L'estensione del lato AD‍ interseca successivamente il cerchio nei punti P‍ e Q,‍ la linea BC‍ tocca il cerchio e il punto Q‍ giace sulla linea BM.‍
a) Dimostrare che ∠DMP = ∠CBM.‍
b) Sappiamo che CM = 5‍ e CD = 8. Trova il lato AD.‍

Il punto C è preso sul segmento BD‍.‍ La bisettrice BL‍ del triangolo isoscele ABC‍ con base BC‍ è un lato laterale del triangolo isoscele BLD‍ con base BD.‍
a) Dimostra che il triangolo DCL‍ è isoscele.
b) È noto che cos ∠ABC = ‍1/3.‍ In quale rapporto la retta DL‍ divide il lato AB?‍

Il segmento di retta che collega i punti medi M‍ e N‍ delle basi BC‍ e AD‍ rispettivamente del trapezio ABCD, lo divide in due trapezi, ciascuno dei quali può essere inscritto con un cerchio.
a) Dimostrare che il trapezio ABCD‍ è isoscele.
b) È noto che il raggio di questi cerchi è 2 e la base minore BC‍ del trapezio originale è 6. Trova il raggio del cerchio tangente al lato laterale AB, la base AN‍ del trapezio ABMN‍ e il cerchio inscritto .

Nel compito 16 del profilo USE livello in matematica - un problema geometrico, cioè planimetrico. Il livello di difficoltà è alto in base alla scala USE e alla geometria della scuola, quindi è necessario iniziare questo compito con una buona preparazione. Consiglio di iniziare l'attività a chi ha più di 5 conoscenze di geometria. Quindi diamo un'occhiata a una delle opzioni.

Analisi delle opzioni tipiche per gli incarichi n. 16 USO in matematica a livello di profilo

La prima versione dell'attività (versione demo 2018)

Due cerchi si toccano esternamente nel punto K. La linea AB tocca il primo cerchio nel punto A e il secondo nel punto B. La linea BK interseca il primo cerchio nel punto D, la linea AK interseca il secondo cerchio nel punto C.

a) Dimostrare che le rette AD e BC sono parallele.

b) Trova l'area del triangolo AKB se è noto che i raggi dei cerchi sono 4 e 1.

Algoritmo di soluzione:

1. Facciamo il disegno.
2. Utilizzando la proprietà tangente per determinare il tipo di triangolo
3. Mostriamo che AD e BC sono paralleli.

1. Introduciamo la certezza rispetto ai raggi dei cerchi. E dimostriamo la somiglianza dei triangoli VKS e AKD.
2. Determina il rapporto dell'area.
3. Determina l'area richiesta.

Soluzione:

1. Eseguiamo il disegno, tenendo conto delle condizioni del problema.

Siano O 1 e O 2 i centri di questi cerchi, e M sia il punto di intersezione della tangente comune e della tangente tracciata ai cerchi nel punto K.

2. Per la proprietà delle tangenti tratte da un punto, AM=KM e. KM=BN. Un triangolo la cui mediana è uguale alla metà del lato su cui è disegnato è un triangolo rettangolo.

3. L'angolo inscritto ∠AKD è un angolo retto, quindi poggia sul diametro AD Quindi, AD⊥AB. Similmente otteniamo che BC⊥AB Pertanto, le rette AD e BC sono parallele.

1. Lascia che il raggio del primo cerchio sia 4, quindi il raggio del secondo sia 1.

Considera i triangoli BKC e AKD.

e angolo comune.

Sulla base della somiglianza. Questi triangoli sono simili.

Permettere , poi

2. I triangoli AKD e AKB hanno un'altezza comune, quindi, questo è Allo stesso modo, L'area del trapezio ABCD è 25S

Calcola l'area del trapezio ABCD Per fare ciò, abbassiamo la perpendicolare O2H ad AD La sua lunghezza è uguale all'altezza del trapezio. Lo determiniamo dal triangolo O2HO1 usando il teorema di Pitagora:

Abbiamo: 25S=20 da cui S=0,8

Risposta: 3.2.

La seconda opzione (da Yaschenko, n. 1)

Nel trapezio ABCD, la base di AD è la metà della base di BC. Il punto M viene preso all'interno del trapezio in modo che gli angoli BAM e CDM siano retti.

a) Dimostrare che VM = SM.

b) Trovare l'angolo LBC se l'angolo BCD è 64° e la distanza dal punto M alla retta BC è uguale al lato AD.

Algoritmo di soluzione:

1. Eseguiamo il disegno in base alla condizione.
2. Stabilire relazioni tra quantità.
3. Traiamo una conclusione

1. Disegniamo una perpendicolare al lato del sole.
2. Stabiliamo le corrispondenze necessarie.
3. Determiniamo il valore desiderato dell'angolo.

Soluzione:

1. Eseguiamo il disegno, in base alla condizione.

2. Le linee AB e CD si intersecano per condizione. Indichiamo il punto della loro intersezione con la lettera L. Allora il triangolo BLC è simile ad ALD, e il coefficiente di somiglianza è uguale a 2, perché BC = 2AD. Quindi, A e D sono rispettivamente i punti medi dei lati BL e CL.

Allora AM e DM sono bisettrici perpendicolari ai lati del triangolo BLC. Da ciò segue che M è il centro di una circonferenza circoscritta ad essa da una circonferenza.

3. Quindi, BM = CM come i raggi di questo cerchio

1. Sia H il punto medio di BC, allora MH è la bisettrice perpendicolare a BC. Allora i triangoli BHM e SNM sono isoscele e ad angolo retto. Perché ∠BCM=90° .

UTILIZZO a livello di profilo matematico

Il lavoro si compone di 19 compiti.
Parte 1:
8 compiti con una breve risposta del livello di complessità di base.
Parte 2:
4 compiti con una risposta breve
7 compiti con una risposta dettagliata di alto livello di complessità.

Tempo di esecuzione - 3 ore 55 minuti.

Esempi di assegnazioni USE

Risolvere compiti USE in matematica.

Problema con la soluzione:

Alla destra piramide triangolare Sono noti ABC con archi in base ABC: AB = 5 radici su 3, SC = 13.
Trova l'angolo formato dal piano della base e dalla retta passante per il punto medio degli spigoli AS e BC.

Soluzione:

1. Poiché SABC - piramide destra, quindi ABC triangolo equilatero, e il resto delle facce sono uguali tra loro triangoli isoscele.
Cioè, tutti i lati della base sono 5 sqrt(3) e tutti i bordi laterali sono 13.

2. Sia D il punto medio di BC, E il punto medio di AS, SH l'altezza dal punto S alla base della piramide, EP l'altezza dal punto E alla base della piramide.

3. Trova AD dal triangolo rettangolo CAD usando il teorema di Pitagora. Ottieni 15/2 = 7,5.

4. Poiché la piramide è regolare, il punto H è il punto di intersezione di altezze / mediane / bisettrici del triangolo ABC, il che significa che divide AD in un rapporto di 2: 1 (AH = 2 AD).

5. Trova SH dal triangolo rettangolo ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, dal teorema di Pitagora SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. I triangoli AEP e ASH sono entrambi rettangoli e hanno un angolo comune A, quindi simili. Per ipotesi, AE = AS/2, quindi sia AP = AH/2 che EP = SH/2.

7. Resta da considerare il triangolo rettangolo EDP (a noi interessa solo l'angolo EDP).
EP = SH/2 = 6;
PS = AD 2/3 = 5;

Angolo tangente EDP = EP/DP = 6/5,
Angolo EDP = arctg(6/5)

Risposta:

All'ufficio di cambio 1 grivna costa 3 rubli 70 copechi.
I vacanzieri hanno scambiato i rubli con la grivna e hanno acquistato 3 kg di pomodori al prezzo di 4 grivna per 1 kg.
Quanto è costato loro questo acquisto? Arrotonda la tua risposta al numero intero più vicino.

Masha ha inviato messaggi SMS con gli auguri di Capodanno ai suoi 16 amici.
Il costo di un messaggio SMS è di 1 rublo e 30 copechi. Prima di inviare il messaggio, Masha aveva 30 rubli sul suo conto.
Quanti rubli avrà Masha dopo aver inviato tutti i messaggi?

La scuola dispone di tende turistiche triple.
Qual è il numero minimo di tende da portare in un'escursione con 20 persone?

Il treno Novosibirsk-Krasnoyarsk parte alle 15:20 e arriva alle 4:20 del giorno successivo (ora di Mosca).
Quante ore percorre il treno?

Sai cosa?

Tra tutte le figure con lo stesso perimetro, il cerchio ne avrà di più grande piazza. Al contrario, tra tutte le figure con la stessa area, il cerchio avrà il perimetro più piccolo.

Leonardo da Vinci derivò la regola che il quadrato del diametro di un tronco d'albero è uguale alla somma dei quadrati dei diametri dei rami, presi ad un'altezza fissa comune. Studi successivi lo hanno confermato con una sola differenza: il grado nella formula non è necessariamente uguale a 2, ma è compreso tra 1,8 e 2,3. Tradizionalmente si credeva che questo schema fosse spiegato dal fatto che un albero con una tale struttura ha un meccanismo ottimale per fornire rami nutrienti. Tuttavia, nel 2010, il fisico americano Christoph Elloy ha trovato una spiegazione meccanica più semplice per il fenomeno: se consideriamo un albero come un frattale, la legge di Leonardo riduce al minimo la probabilità che i rami si rompano sotto l'influenza del vento.

Studi di laboratorio hanno dimostrato che le api sono in grado di scegliere la strada migliore. Dopo aver localizzato i fiori posti in luoghi diversi, l'ape compie un volo e ritorna in modo tale che il percorso finale sia il più breve. Pertanto, questi insetti affrontano efficacemente il classico "problema del commesso viaggiatore" dell'informatica, che i computer moderni, a seconda del numero di punti, possono impiegare più di un giorno per risolvere.

Se moltiplichi la tua età per 7, quindi moltiplichi per 1443, il risultato è la tua età scritta tre volte di seguito.

Consideriamo i numeri negativi qualcosa di naturale, ma non è sempre stato così. Per la prima volta i numeri negativi furono legalizzati in Cina nel III secolo, ma furono usati solo per casi eccezionali, in quanto considerati, in generale, privi di significato. Poco dopo, i numeri negativi iniziarono ad essere usati in India per denotare i debiti, ma non misero radici a ovest: il famoso Diofanto di Alessandria sostenne che l'equazione 4x + 20 = 0 è assurda.

Il matematico americano George Dantzig, essendo uno studente laureato all'università, un giorno era in ritardo per una lezione e ha scambiato le equazioni scritte sulla lavagna per compiti a casa. Gli sembrava più complicato del solito, ma dopo pochi giorni è riuscito a portarlo a termine. Si è scoperto che ha risolto due problemi "irrisolvibili" nelle statistiche con cui molti scienziati hanno lottato.

Nella letteratura matematica russa, lo zero non lo è numero naturale, mentre in quello occidentale, al contrario, appartiene all'insieme dei numeri naturali.

Il sistema dei numeri decimali che utilizziamo è dovuto al fatto che una persona ha 10 dita sulle mani. La capacità del conteggio astratto non è apparsa immediatamente nelle persone e si è rivelato più conveniente usare le dita per il conteggio. La civiltà Maya, e indipendentemente da loro, i Chukchi storicamente usavano il sistema dei numeri decimali, usando non solo le dita delle mani, ma anche le dita dei piedi. La base dei sistemi duodecimali e sessagesimali comuni nell'antica Sumer e Babilonia era anche l'uso delle mani: le falangi delle altre dita del palmo, il cui numero è 12, venivano contate con il pollice.

Una signora familiare ha chiesto a Einstein di chiamarla, ma ha avvertito che il suo numero di telefono è molto difficile da ricordare: - 24-361. Ricorda? Ripetere! Einstein sorpreso rispose: - Certo, mi ricordo! Due dozzine e 19 al quadrato.

Stephen Hawking è uno dei più grandi fisici teorici e divulgatore della scienza. In una storia su se stesso, Hawking ha menzionato di essere diventato un professore di matematica, non avendo ricevuto alcuna educazione matematica da allora Scuola superiore. Quando Hawking iniziò a insegnare matematica a Oxford, lesse il suo libro di testo due settimane prima dei suoi studenti.

Il numero massimo che può essere scritto in numeri romani senza violare le regole di Schwartzman (regole per scrivere i numeri romani) è 3999 (MMMCMXCIX) - non puoi scrivere più di tre cifre di seguito.

Ci sono molte parabole su come una persona ne offre un'altra per pagargli un servizio come segue: metterà un chicco di riso nella prima casella della scacchiera, due nella seconda e così via: ogni casella successiva è il doppio come il precedente. Di conseguenza, chi paga in questo modo è destinato a essere rovinato. Ciò non sorprende: si stima che il peso totale del riso sarà di oltre 460 miliardi di tonnellate.

In molte fonti, spesso con l'obiettivo di incoraggiare gli studenti con scarsi risultati, si afferma che Einstein bocciava la matematica a scuola o, inoltre, studiava male in tutte le materie. In realtà, non era tutto così: Albert era ancora dentro gioventù iniziò a mostrare talento in matematica e lo conosceva ben oltre il curriculum scolastico.

USA 2019 nell'attività di matematica 16 con una soluzione

Demo versione dell'esame 2019 matematica

Esame Unificato di Stato in Matematica 2019 in formato pdf Livello base | Livello del profilo

Compiti per la preparazione all'esame di matematica: livello base e profilo con risposte e soluzioni.

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USA 2019 nel compito di matematica 16

UTILIZZA 2019 nell'attività a livello di profilo di matematica 16 con una soluzione

Il triangolo rettangolo ABC ha perimetro 54.
Una circonferenza di raggio 6, il cui centro giace sulla gamba BC, è tangente alle linee AB e AC.
Trova l'area del triangolo ABC.

Soluzione:

Sia AC = AH = x, BH = y, BO = z.
Allora il perimetro del triangolo è 2x+y+z+6 = 54.

Esprimiamo x, yez attraverso l'angolo alfa (a):

Dal triangolo rettangolo AHO:
x = 6/tg(a/2).
Dal triangolo rettangolo BHO:
y = 6tg(a), z = 6/cos(a)

Quindi l'espressione per il perimetro diventa:

12/tg(a/2)+6 tg(a)+6/cos(a)+6 = 54
1/cos(a) + 2/tg(a/2) + tg(a) = 8.

Qui è conveniente esprimere tutto in termini di tangente di un mezzo angolo:
(1+(tg(a/2)) 2)/(1-(tg(a/2)) 2) + 2/tg(a/2) + 2 tg(a/2)/(1-(tg (a/2)) 2) = 8.

Denotiamo t = tg(a/2), otteniamo
(1+t 2)/(1-t 2)+2/t+2t/(1-t 2) = 8

Con semplici trasformazioni, lo portiamo alla forma
9t 2 - 9t + 2 = 0

(1) t1 = 1/3
(2) t2 = 2/3

Esprimiamo xez indietro (in linea di principio, non abbiamo più bisogno di y, poiché l'area del triangolo sarà uguale alla metà del prodotto delle gambe, ovvero x (z + 6) / 2. Sebbene y è bene anche calcolare e verificare se il perimetro si ottiene pari a 54).

Quindi, per il caso (1) abbiamo:
z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7,5
x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18.
S=x(z+6)/2=121,5

Per il caso (2) abbiamo:
z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15,6
x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9.
S=x(z+6)/2=97,2

Risposta:

121.5, 97.2

USA 2019 nel compito di matematica 16

Il cerchio S passa per il vertice C dell'angolo retto e interseca i suoi lati nei punti 14 e 48 dal vertice C. Trova il raggio del cerchio inscritto nell'angolo dato e toccando il cerchio S.

Innanzitutto, nota che, come di solito accade in C4, qui possono esserci due casi: il secondo cerchio può toccare il primo sia dall'interno (linee blu nella figura) che dall'esterno (linea rossa).

Quindi, AC = 14, BC = 48, l'angolo C è retto. Quindi AB è il diametro del primo cerchio ed è uguale a sqrt(14 2 +48 2) = 50.
Il punto O, essendo il centro della circonferenza, biseca AB. Ciò significa che anche le perpendicolari scese da esso ai segmenti AC e BC li dividono a metà.

Sia O1 il centro della seconda circonferenza e R il suo raggio. Si consideri un triangolo rettangolo OKO1 con ipotenusa OO1 e cateti paralleli ai raggi dell'angolo.

Nel caso "blu":
OK = 24 - R
O1K=R-7
OO1 = 25 - R

Scriviamo il teorema di Pitagora:
(24 - D) 2 + (D - 7) 2 = (25 - D) 2
Decidiamo, otteniamo due radici: 0 e 12. Il caso zero non ci interessa molto.

Nel caso "rosso", tutto è uguale, solo OK = R - 24 e, soprattutto, OO1 = 25 + R.
E lì, risolvendo la stessa equazione, otteniamo la seconda radice 112.