Qual è il valore più grande della funzione. Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento. Il valore più grande e più piccolo di una funzione: definizioni, illustrazioni

Sia definita e continua la funzione $z=f(x,y)$ in un dominio chiuso limitato $D$. Sia la funzione data derivate parziali finite del primo ordine in questa regione (con la possibile eccezione di un numero finito di punti). Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una data regione chiusa, sono necessari tre passaggi di un semplice algoritmo.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=f(x,y)$ nel dominio chiuso $D$.

1. Trova i punti critici della funzione $z=f(x,y)$ che appartengono alla regione $D$. Calcola i valori delle funzioni nei punti critici.
2. Indagare il comportamento della funzione $z=f(x,y)$ sul confine della regione $D$ trovando i punti dei possibili valori massimo e minimo. Calcola i valori della funzione nei punti ottenuti.
3. Dai valori della funzione ottenuti nei due paragrafi precedenti, scegli il più grande e il più piccolo.

Quali sono i punti critici? mostra nascondi

Sotto punti critici implicano punti in cui entrambe le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero (cioè $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o almeno una derivata parziale non esiste.

Spesso vengono chiamati i punti in cui le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero punti stazionari. Pertanto, i punti stazionari sono un sottoinsieme di punti critici.

Esempio 1

Trova i valori più grande e più piccolo della funzione $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in un'area chiusa, delimitato da linee$x=3$, $y=0$ e $y=x+1$.

Seguiremo quanto sopra, ma prima tratteremo il disegno di una determinata area, che indicheremo con la lettera $D$. Ci vengono fornite le equazioni di tre rette, che limitano quest'area. La retta $x=3$ passa per il punto $(3;0)$ parallelo all'asse y (asse Oy). La retta $y=0$ è l'equazione dell'asse delle ascisse (asse Ox). Bene, per costruire una retta $y=x+1$ troviamo due punti attraverso i quali tracciare questa retta. Ovviamente puoi sostituire un paio di valori arbitrari invece di $x$. Ad esempio, sostituendo $x=10$, otteniamo: $y=x+1=10+1=11$. Abbiamo trovato il punto $(10;11)$ che giace sulla linea $y=x+1$. Tuttavia, è meglio trovare quei punti in cui la linea $y=x+1$ si interseca con le linee $x=3$ e $y=0$. Perché è meglio? Perché deporremo un paio di piccioni con una fava: otterremo due punti per costruire la retta $y=x+1$ e allo stesso tempo scopriremo in quali punti questa retta interseca altre rette che delimitano la data la zona. La retta $y=x+1$ interseca la retta $x=3$ nel punto $(3;4)$, e la retta $y=0$ - nel punto $(-1;0)$. Per non ingombrare il corso della soluzione con spiegazioni ausiliarie, porrò in una nota la questione dell'ottenimento di questi due punti.

Come sono stati ottenuti i punti $(3;4)$ e $(-1;0)$? mostra nascondi

Partiamo dal punto di intersezione delle rette $y=x+1$ e $x=3$. Le coordinate del punto desiderato appartengono sia alla prima che alla seconda linea, quindi per trovare coordinate sconosciute, è necessario risolvere il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(allineato) & y=x+1;\\ & x=3. \end(allineato) \right. $$

La soluzione di un tale sistema è banale: sostituendo $x=3$ nella prima equazione avremo: $y=3+1=4$. Il punto $(3;4)$ è il punto di intersezione desiderato delle rette $y=x+1$ e $x=3$.

Ora troviamo il punto di intersezione delle rette $y=x+1$ e $y=0$. Ancora una volta, componiamo e risolviamo il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(allineato) & y=x+1;\\ & y=0. \end(allineato) \right. $$

Sostituendo $y=0$ nella prima equazione, otteniamo: $0=x+1$, $x=-1$. Il punto $(-1;0)$ è il punto di intersezione desiderato delle rette $y=x+1$ e $y=0$ (asse delle ascisse).

Tutto è pronto per costruire un disegno che assomiglierà a questo:

La domanda della nota sembra ovvia, perché dalla figura si vede tutto. Tuttavia, vale la pena ricordare che il disegno non può fungere da prova. La figura è solo un'illustrazione per chiarezza.

La nostra area è stata impostata utilizzando le equazioni di rette che la limitano. È ovvio che queste linee definiscono un triangolo, vero? O non del tutto ovvio? O forse ci viene assegnata un'area diversa, delimitata dalle stesse linee:

Naturalmente, la condizione dice che l'area è chiusa, quindi l'immagine mostrata è sbagliata. Ma per evitare tali ambiguità, è meglio definire le regioni in base alle disuguaglianze. Ci interessa la parte del piano situata sotto la linea $y=x+1$? Ok, quindi $y ≤ x+1$. La nostra area dovrebbe trovarsi sopra la linea $y=0$? Ottimo, quindi $y ≥ 0$. A proposito, le ultime due disuguaglianze sono facilmente combinabili in una: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(allineato) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(allineato) \right. $$

Queste disuguaglianze definiscono il dominio $D$ e lo definiscono in modo univoco, senza ambiguità. Ma in che modo questo ci aiuta nella domanda all'inizio della nota a piè di pagina? Aiuterà anche :) Dobbiamo controllare se il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$. Sostituiamo $x=1$ e $y=1$ nel sistema di disuguaglianze che definisce questa regione. Se entrambe le disuguaglianze sono soddisfatte, il punto si trova all'interno della regione. Se almeno una delle disuguaglianze non è soddisfatta, il punto non appartiene alla regione. Così:

$$ \left \( \begin(allineato) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(allineato) \right. \;\; \left \( \begin(allineato) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(allineato) \right.$$

Entrambe le disuguaglianze sono vere. Il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$.

Ora è il turno di indagare il comportamento della funzione sul confine del dominio, cioè vai a. Iniziamo con la retta $y=0$.

La retta $y=0$ (asse delle ascisse) limita la regione $D$ alla condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituisci $y=0$ nella funzione data $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. La funzione di sostituzione risultante di una variabile $x$ sarà indicata come $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cpunto 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ora per la funzione $f_1(x)$ dobbiamo trovare i valori più grandi e più piccoli sull'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Trova la derivata di questa funzione e uguagliala a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Il valore $x=2$ appartiene al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, quindi aggiungiamo anche $M_2(2;0)$ all'elenco dei punti. Inoltre, calcoliamo i valori della funzione $z$ alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè nei punti $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A proposito, se il punto $M_2$ non appartenesse al segmento in esame, ovviamente non sarebbe necessario calcolare il valore della funzione $z$ in esso contenuto.

Quindi, calcoliamo i valori della funzione $z$ nei punti $M_2$, $M_3$, $M_4$. Ovviamente puoi sostituire le coordinate di questi punti nell'espressione originale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ad esempio, per il punto $M_2$ otteniamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cpunto 2\cpunto 0-0^2-4\cpunto 2=-4.$$

Tuttavia, i calcoli possono essere leggermente semplificati. Per fare ciò, vale la pena ricordare che sul segmento $M_3M_4$ abbiamo $z(x,y)=f_1(x)$. Lo spiego in dettaglio:

\begin(allineato) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunto (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunto 3=-3. \end(allineato)

Naturalmente, di solito non sono necessarie voci così dettagliate e in futuro inizieremo a scrivere tutti i calcoli in un modo più breve:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cpunto 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunto (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cpunto 3=-3.$$

Passiamo ora alla retta $x=3$. Questa linea delimita il dominio $D$ nella condizione $0 ≤ y ≤ 4$. Sostituisci $x=3$ nella funzione data $z$. Come risultato di tale sostituzione, otteniamo la funzione $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cpunto 3\cpunto y-y^2-4\cpunto 3=-y^2+6y-3. $$

Per la funzione $f_2(y)$, devi trovare i valori più grandi e più piccoli nell'intervallo $0 ≤ y ≤ 4$. Trova la derivata di questa funzione e uguagliala a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Il valore $y=3$ appartiene al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, quindi aggiungiamo $M_5(3;3)$ ai punti trovati in precedenza. Inoltre, è necessario calcolare il valore della funzione $z$ nei punti alle estremità del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, cioè nei punti $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. Al punto $M_4(3;0)$ abbiamo già calcolato il valore di $z$. Calcoliamo il valore della funzione $z$ nei punti $M_5$ e $M_6$. Ti ricordo che sul segmento $M_4M_6$ abbiamo $z(x,y)=f_2(y)$, quindi:

\begin(allineato) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cpunto 4-3=5. \end(allineato)

E, infine, considera l'ultimo limite di $D$, cioè riga $y=x+1$. Questa linea delimita la regione $D$ nella condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituendo $y=x+1$ nella funzione $z$, avremo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cpunto (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ancora una volta abbiamo una funzione di una variabile $x$. E ancora, devi trovare i valori più grande e più piccolo di questa funzione sul segmento $-1 ≤ x ≤ 3$. Trova la derivata della funzione $f_(3)(x)$ e uguagliala a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Il valore $x=1$ appartiene all'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, allora $y=x+1=2$. Aggiungiamo $M_7(1;2)$ all'elenco dei punti e scopriamo qual è il valore della funzione $z$ a questo punto. I punti alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè i punti $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ sono stati considerati in precedenza, abbiamo già trovato in essi il valore della funzione.

$$z_7=f_3(1)=2\cpunto 1^2-4\cpunto 1-1=-3.$$

Il secondo passaggio della soluzione è completato. Abbiamo sette valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Passiamo a. Scegliendo i valori più grandi e più piccoli da quei numeri che sono stati ottenuti nel terzo paragrafo, avremo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Il problema è risolto, resta solo da scrivere la risposta.

Risposta: $z_(min)=-4; \; z_(massimo)=6$.

Esempio #2

Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=x^2+y^2-12x+16y$ nella regione $x^2+y^2 ≤ 25$.

Costruiamo prima un disegno. L'equazione $x^2+y^2=25$ (questa è la linea di confine dell'area data) definisce un cerchio con un centro all'origine (cioè nel punto $(0;0)$) e un raggio di 5. La disuguaglianza $x^2 +y^2 ≤ 25$ soddisfa tutti i punti all'interno e sul cerchio menzionato.

Agiremo su. Troviamo le derivate parziali e scopriamo i punti critici.

$$ \frac(\z parziale)(\x parziale)=2x-12; \frac(\z parziale)(\y parziale)=2y+16. $$

Non ci sono punti in cui le derivate parziali trovate non esistono. Scopriamo in quali punti entrambe le derivate parziali sono contemporaneamente uguali a zero, cioè trovare punti stazionari.

$$ \left \( \begin(allineato) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(allineato) \right. \;\; \left \( \begin(allineato) & x =6;\\ & y=-8.\end(allineato) \right.$$

Abbiamo un punto stazionario $(6;-8)$. Tuttavia, il punto trovato non appartiene alla regione $D$. Questo è facile da mostrare senza nemmeno ricorrere al disegno. Verifichiamo se vale la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$, che definisce il nostro dominio $D$. Se $x=6$, $y=-8$, allora $x^2+y^2=36+64=100$, cioè la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$ non è soddisfatta. Conclusione: il punto $(6;-8)$ non appartiene alla regione $D$.

Pertanto, non ci sono punti critici all'interno di $D$. Andiamo avanti, a. Abbiamo bisogno di indagare il comportamento della funzione sul confine di un'area data, ad es. sul cerchio $x^2+y^2=25$. Ovviamente puoi esprimere $y$ in termini di $x$, quindi sostituire l'espressione risultante nella nostra funzione $z$. Dall'equazione del cerchio otteniamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sostituendo, ad esempio, $y=\sqrt(25-x^2)$ nella funzione data, avremo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

L'ulteriore soluzione sarà del tutto identica allo studio del comportamento della funzione sul confine della regione nel precedente esempio n. 1. Tuttavia, mi sembra più ragionevole in questa situazione applicare il metodo di Lagrange. Siamo interessati solo alla prima parte di questo metodo. Dopo aver applicato la prima parte del metodo di Lagrange, otterremo dei punti ed esamineremo la funzione $z$ per i valori minimo e massimo.

Componiamo la funzione di Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Troviamo le derivate parziali della funzione di Lagrange e componiamo il corrispondente sistema di equazioni:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (allineato) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(allineato) \ destra. \;\; \left \( \begin(allineato) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( allineato)\destra.$$

Per risolvere questo sistema, indichiamo subito che $\lambda\neq -1$. Perché $\lambda\neq -1$? Proviamo a sostituire $\lambda=-1$ nella prima equazione:

$$ x+(-1)\cpunto x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contraddizione risultante $0=6$ dice che il valore $\lambda=-1$ non è valido. Uscita: $\lambda\neq -1$. Esprimiamo $x$ e $y$ in termini di $\lambda$:

\begin(allineato) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(allineato)

Credo che qui diventi ovvio il motivo per cui abbiamo specificamente stabilito la condizione $\lambda\neq -1$. Questo è stato fatto per adattare l'espressione $1+\lambda$ ai denominatori senza interferenze. Cioè, per essere sicuri che il denominatore sia $1+\lambda\neq 0$.

Sostituiamo le espressioni ottenute per $x$ e $y$ nella terza equazione del sistema, cioè in $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dall'uguaglianza risultante segue che $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Quindi, abbiamo due valori del parametro $\lambda$, ovvero: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Di conseguenza, otteniamo due coppie di valori $x$ e $y$:

\begin(allineato) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(allineato)

Quindi, abbiamo due punti di un possibile estremo condizionale, cioè $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Trova i valori della funzione $z$ nei punti $M_1$ e $M_2$:

\begin(allineato) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cpunto(-3)+16\cpunto 4=125. \end(allineato)

Dovremmo scegliere i valori più grandi e più piccoli tra quelli che abbiamo ottenuto nel primo e nel secondo passaggio. Ma in questo caso, la scelta è piccola :) Abbiamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(massimo)=125. $$

Risposta: $z_(min)=-75; \; z_(massimo)=125$.

Spesso è necessario risolvere problemi in cui è necessario trovare il valore più grande o più piccolo dall'insieme di quei valori che una funzione assume su un segmento.

Passiamo, ad esempio, al grafico della funzione f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 sul segmento [-1; 2]. Per lavorare con una funzione, dobbiamo tracciare il suo grafico.

Dal grafico tracciato, si può vedere che valore più alto su questo segmento, uguale a 2, la funzione assume nei punti: x = -1 e x = 1; valore più piccolo, uguale a -7, la funzione assume x = 2.

Il punto x \u003d 0 è il punto minimo della funzione f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4. Ciò significa che esiste un intorno del punto x \u003d 0, ad esempio l'intervallo (-1/2; 1/2) - tale che in questo intorno la funzione assume il valore più piccolo in x \u003d 0. Tuttavia, su un intervallo maggiore, ad esempio, sul segmento [ -one; 2], la funzione assume il valore più piccolo alla fine del segmento e non al punto minimo.

Pertanto, per trovare il valore più piccolo di una funzione su un determinato segmento, è necessario confrontare i suoi valori alle estremità del segmento e nei punti minimi.

In generale, supponiamo che la funzione f(x) sia continua su un segmento e che la funzione abbia una derivata in ogni punto interno di questo segmento.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento, è necessario:

1) trova i valori della funzione alle estremità del segmento, ad es. i numeri f(a) e f(b);

2) trova i valori della funzione in punti stazionari che appartengono all'intervallo (a; b);

3) scegliere il più grande e il più piccolo tra i valori trovati.

Applichiamo nella pratica le conoscenze acquisite e consideriamo il problema.

Trova i valori più grande e più piccolo della funzione f (x) \u003d x 3 + x / 3 sul segmento.

Soluzione.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

L'intervallo (1/2; 2) contiene un punto stazionario x 1 = 1, f(1) = 4.

3) Dei numeri 6 1/8, 9 ½ e 4, il più grande è 9 ½, il più piccolo è 4.

Risposta. Il valore della caratteristica più grande è 9 ½, il valore della caratteristica più piccolo è 4.

Spesso, quando si risolvono problemi, è necessario trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione non su un segmento, ma su un intervallo.

Nei problemi pratici, la funzione f(x) ha solitamente un solo punto stazionario su un dato intervallo: un punto massimo o un punto minimo. In questi casi, la funzione f(x) assume il valore più grande in un dato intervallo nel punto massimo, e nel punto minimo, il valore più piccolo in questo intervallo. Veniamo al problema.

Il numero 36 è scritto come prodotto di due numeri positivi, la cui somma è il più piccolo.

Soluzione.

1) Sia x il primo fattore, quindi il secondo fattore è 36/x.

2) La somma di questi numeri è x + 36/x.

3) Secondo le condizioni del problema, x è un numero positivo. Quindi, il problema si riduce a trovare il valore di x - in modo tale che la funzione f (x) \u003d x + 36 / x assuma il valore più piccolo sull'intervallo x > 0.

4) Trova la derivata: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) Punti stazionari x 1 = 6, x 2 = -6. Sull'intervallo x > 0 c'è un solo punto stazionario x = 6. Passando per il punto x = 6, la derivata cambia segno “–” in segno “+”, e quindi x = 6 è il punto minimo. Di conseguenza, la funzione f(x) = x + 36/x assume il valore più piccolo sull'intervallo x > 0 nel punto x = 6 (questo è il valore f(6) = 12).

Risposta. 36 = 6 ∙ 6.

Quando si risolvono alcuni problemi in cui è necessario trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione, è utile utilizzare la seguente affermazione:

se i valori della funzione f(x) sono non negativi su un certo intervallo, allora questa funzione e la funzione (f(x)) n , dove n è numero naturale, prendi il valore più grande (minimo) nello stesso punto.

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Nel luglio 2020, la NASA lancia una spedizione su Marte. Il veicolo spaziale consegnerà su Marte un vettore elettronico con i nomi di tutti i membri registrati della spedizione.

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Un altro capodanno... gelo e fiocchi di neve sui vetri della finestra... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo sui... frattali e su ciò che Wolfram Alpha ne sa. In questa occasione, c'è un articolo interessante in cui ci sono esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui vedremo di più esempi complessi frattali tridimensionali.

Un frattale può essere rappresentato visivamente (descritto) come una figura o un corpo geometrico (il che significa che entrambi sono un insieme, in questo caso, un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale stessa. Cioè, è una struttura auto-simile, considerando i dettagli di cui, quando ingranditi, vedremo la stessa forma senza ingrandimento. Mentre nel caso del solito figura geometrica(non un frattale), quando ingrandiamo, vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla figura originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte di un'ellisse appare come un segmento di linea retta. Questo non accade con i frattali: con ogni loro aumento, vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che ad ogni aumento verrà ripetuta ancora e ancora.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, nel suo articolo Fractals and Art for Science ha scritto: "I frattali sono forme geometriche tanto complesse nei dettagli quanto lo sono nei loro forma generale. Cioè, se una parte di un frattale viene ingrandita alle dimensioni di un intero, sembrerà un intero, esattamente o forse con una leggera deformazione.

I valori più grande e più piccolo della funzione

concetti analisi matematica. Il valore assunto da una funzione in un punto dell'insieme su cui è definita questa funzione è chiamato il valore più grande (minimo) su questo insieme se la funzione non ha un valore maggiore (minore) in nessun altro punto dell'insieme. N. e n. h. f. rispetto ai suoi valori in tutti i punti sufficientemente vicini sono chiamati estremi (rispettivamente massimi e minimi) della funzione. N. e n. h. f., data su un segmento, può essere ottenuta sia nei punti in cui la derivata è uguale a zero, sia nei punti in cui non esiste, sia alle estremità del segmento. Una funzione continua data su un segmento raggiunge necessariamente i suoi valori massimo e minimo; se si considera una funzione continua su un intervallo (cioè un segmento con estremità escluse), allora tra i suoi valori su questo intervallo potrebbe non esserci un massimo o un minimo. Ad esempio, la funzione a = X, dato sull'intervallo , raggiunge rispettivamente il valore più grande e quello più piccolo a X= 1 e X= 0 (cioè, alle estremità del segmento); se consideriamo questa funzione sull'intervallo (0; 1), allora tra i suoi valori su questo intervallo non c'è né il più grande né il più piccolo, poiché per ogni x0 c'è sempre un punto di questo intervallo che giace a destra (a sinistra) x0, e tale che il valore della funzione a questo punto sarà maggiore (rispettivamente, minore) rispetto al punto x0. Dichiarazioni simili sono valide per funzioni di più variabili. Vedi anche Estremo.

Grande enciclopedia sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Guarda quali sono "I valori più grandi e più piccoli di una funzione" in altri dizionari:

Grande dizionario enciclopedico

Concetti di analisi matematica. Il valore assunto dalla funzione in un punto dell'insieme su cui è data questa funzione è chiamato il più grande (il più piccolo) su questo insieme, se in nessun altro punto la funzione ha un più grande (minore) ... ... dizionario enciclopedico

I concetti di matematica. analisi. Il valore assunto dalla funzione in un punto particolare dell'insieme, per cui questa funzione viene data, chiamata. più grande (più piccolo) su questo set, se in nessun altro punto la funzione ha un valore maggiore (minore) ... Scienze naturali. dizionario enciclopedico

FUNZIONE MASSIMA E MINIMA- rispettivamente, i valori più grandi e più piccoli della funzione rispetto ai suoi valori in tutti i punti sufficientemente vicini. I punti alti e bassi sono chiamati punti estremi... Grande Enciclopedia del Politecnico

Il valore più grande e, di conseguenza, il più piccolo di una funzione che assume valori reali. Viene chiamato il punto del dominio di definizione della funzione in questione, in cui prende un massimo o un minimo. rispettivamente il punto massimo o il punto minimo ... ... Enciclopedia matematica

Una funzione ternaria nella teoria dei sistemi funzionali e della logica ternaria è una funzione di tipo, dove è un insieme ternario, ed è un intero non negativo, chiamato arità o località della funzione. Gli elementi del set sono digitali... ...Wikipedia

Rappresentazione di funzioni booleane mediante forme normali (vedi Forme normali di funzioni booleane). il più semplice rispetto a una certa misura di complessità. Di solito, la complessità di una forma normale è intesa come il numero di lettere in essa contenute. In questo caso, si chiama la forma più semplice ... ... Enciclopedia matematica

Una funzione che riceve incrementi infinitesimali quando l'argomento aumenta in modo infinitesimale. Una funzione a valore singolo f(x) si dice continua per il valore dell'argomento x0, se per tutti i valori dell'argomento x che differiscono sufficientemente poco da x0... Grande enciclopedia sovietica

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- (dal latino massimo e minimo, il più grande e il più piccolo) (matematico), i valori più grandi e più piccoli di una funzione rispetto ai suoi valori in punti sufficientemente vicini. I punti alti e bassi sono chiamati punti estremi... Enciclopedia moderna

\(\blacktriangleright\) Per trovare il valore più grande/più piccolo di una funzione sul segmento \(\) , è necessario rappresentare schematicamente il grafico della funzione su questo segmento.
Nei problemi di questo sottoargomento, questo può essere fatto usando la derivata: trova gli intervalli di aumento (\(f">0\) ) e decremento (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Non dimenticare che la funzione può assumere il valore massimo/minimo non solo nei punti interni del segmento \(\) , ma anche alle sue estremità.

\(\blacktriangleright\) Il valore più grande/più piccolo della funzione è il valore della coordinata \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) La derivata di una funzione complessa \(f(t(x))\) viene ricercata secondo la regola: \[(\Grande(f"(x)=f"(t)\cpunto t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

Compito 1 #2357

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova il valore più piccolo della funzione \(y = e^(x^2 - 4)\) sull'intervallo \([-10; -2]\) .

ODZ: \(x\) - arbitrario.

1) \

\ Quindi \(y" = 0\) quando \(x = 0\) .

3) Troviamo intervalli di segno costante \(y"\) sul segmento considerato \([-10; -2]\) :

4) Schizzo del grafico sul segmento \([-10; -2]\) :

Pertanto, la funzione raggiunge il suo valore più piccolo su \([-10; -2]\) a \(x = -2\) .

\ Totale: \(1\) è il valore più piccolo della funzione \(y\) su \([-10; -2]\) .

Risposta 1

Compito 2 #2355

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) sul segmento \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - arbitrario.

1) \

Troviamo i punti critici (cioè i punti interni del dominio della funzione, in cui la sua derivata è uguale a \(0\) o non esiste): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Freccia destra-sinistra\qquad x = 0\,.\] La derivata esiste per qualsiasi \(x\) .

2) Trova gli intervalli di segno costante \(y"\) :

3) Troviamo intervalli di segno costante \(y"\) sul segmento considerato \([-1; 1]\) :

4) Schizzo del grafico sul segmento \([-1; 1]\) :

Pertanto, la funzione raggiunge il suo valore massimo su \([-1; 1]\) in \(x = -1\) o in \(x = 1\) . Confrontiamo i valori della funzione in questi punti.

\ Totale: \(2\) è il valore più grande della funzione \(y\) su \([-1; 1]\) .

Risposta: 2

Compito 3 #2356

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova il valore più piccolo della funzione \(y = \cos 2x\) sull'intervallo \(\) .

ODZ: \(x\) - arbitrario.

1) \

Troviamo i punti critici (cioè i punti interni del dominio della funzione, in cui la sua derivata è uguale a \(0\) o non esiste): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] La derivata esiste per qualsiasi \(x\) .

2) Trova gli intervalli di segno costante \(y"\) :

(qui c'è un numero infinito di intervalli in cui si alternano i segni della derivata).

3) Troviamo gli intervalli di costanza \(y"\) sul segmento considerato \(\) :

4) Schizzo del grafico sul segmento \(\) :

Pertanto, la funzione raggiunge il suo valore più piccolo su \(\) a \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Totale: \(-1\) è il valore più piccolo della funzione \(y\) su \(\) .

Risposta 1

Compito 4 #915

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova il valore più grande di una funzione

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Decidiamo su ODZ:

1) Indica \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , quindi \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Troviamo i punti critici (cioè i punti interni del dominio della funzione, in cui la sua derivata è uguale a \(0\) o non esiste): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– sulla ODZ, da dove troviamo la radice \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . La derivata della funzione \(y\) non esiste per \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , ma data equazione discriminante negativo, quindi non ha soluzioni. Per trovare il valore più grande/più piccolo di una funzione, è necessario capire come appare schematicamente il suo grafico.

2) Trova gli intervalli di segno costante \(y"\) :

3) Schizzo grafico:

Pertanto, la funzione raggiunge il suo valore massimo in \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

Totale: \(0\) è il valore più grande della funzione \(y\) .

Risposta: 0

Compito 5 #2344

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova il valore più piccolo di una funzione

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Decidiamo su ODZ:

1) Denota \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , quindi \(y(t)=\log_(3)t\) .

Troviamo i punti critici (cioè i punti interni del dominio della funzione, in cui la sua derivata è uguale a \(0\) o non esiste): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Freccia destra-sinistra\qquad 2x+8 = 0\]- su ODZ, da dove troviamo la radice \ (x \u003d -4 \) . La derivata della funzione \(y\) non esiste per \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , ma questa equazione ha un discriminante negativo, quindi non ha soluzioni. Per trovare il valore più grande/più piccolo di una funzione, è necessario capire come appare schematicamente il suo grafico.

2) Trova gli intervalli di segno costante \(y"\) :

3) Schizzo grafico:

Pertanto, \(x = -4\) è il punto minimo della funzione \(y\) e in essa viene raggiunto il valore più piccolo:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Totale: \(1\) è il valore più piccolo della funzione \(y\) .

Risposta 1

Compito 6 #917

Livello del compito: più difficile dell'esame

Trova il valore più grande di una funzione

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).