Area di un triangolo isoscele per lato e base. Designazioni delle grandezze adottate nelle formule considerate. Come trovare l'area di una figura se un angolo è retto

A seconda del tipo di triangolo, ci sono diverse opzioni per trovare la sua area. Ad esempio, per calcolare l'area triangolo rettangolo si usa la formula S= a * b / 2, dove a e b sono le sue gambe. Se vuoi conoscere la zona triangolo isoscele, quindi è necessario dividere per due il prodotto della sua base e altezza. Cioè, S= b*h / 2, dove b è la base del triangolo e h è la sua altezza.

Successivamente, potrebbe essere necessario calcolare l'area di un triangolo rettangolo isoscele. Qui viene in soccorso la seguente formula: S = a * a / 2, dove le gambe "a" e "a" devono necessariamente avere gli stessi valori.

Inoltre, abbiamo spesso bisogno di calcolare l'area triangolo equilatero. Si trova con la formula: S= a * h/ 2, dove a è il lato del triangolo e h è la sua altezza. O secondo questa formula: S= √3/ 4 *a^2, dove a è il lato.

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo

Devi trovare l'area di un triangolo rettangolo, ma allo stesso tempo le condizioni del problema non indicano le dimensioni delle sue due gambe contemporaneamente? Quindi non saremo in grado di utilizzare direttamente questa formula (S= a * b / 2).

Considera diverse possibili soluzioni:

• Se non conosci la lunghezza di una gamba, ma vengono fornite le dimensioni dell'ipotenusa e della seconda gamba, allora ci rivolgiamo al grande Pitagora e, secondo il suo teorema (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), calcola la lunghezza della gamba sconosciuta, quindi usala per calcolare l'area del triangolo.
• Se sono date la lunghezza di una gamba e la pendenza in gradi dell'angolo opposto ad essa: troviamo la lunghezza della seconda gamba usando la formula - a=b*ctg(C).
• Data: la lunghezza di una gamba e la pendenza in gradi dell'angolo ad essa adiacente: per trovare la lunghezza della seconda gamba, utilizziamo la formula - a=b*tg(C).
• E infine, dati: l'angolo e la lunghezza dell'ipotenusa: calcoliamo la lunghezza di entrambe le sue gambe, secondo le seguenti formule - b=c*sin(C) e a=c*cos(C).

Come trovare l'area di un triangolo isoscele

L'area di un triangolo isoscele può essere trovata molto facilmente e rapidamente usando la formula S \u003d b * h / 2, ma, in assenza di uno degli indicatori, il compito diventa molto più complicato. Dopotutto, sono necessari ulteriori passaggi.

Possibili opzioni di attività:

• Data: la lunghezza di uno dei lati e la lunghezza della base. Troviamo attraverso il teorema di Pitagora l'altezza, cioè la lunghezza della seconda gamba. A condizione che la lunghezza della base, divisa per due, sia la gamba, e il lato inizialmente noto sia l'ipotenusa.
• Dati: base e angolo tra lato e base. Calcoliamo l'altezza usando la formula h = c * ctg (B) / 2 (non dimenticare di dividere il lato "c" per due).
• Dati: l'altezza e l'angolo formato dalla base e dal lato: utilizzare la formula c=h*tg(B)*2 per trovare l'altezza e moltiplicare il risultato per due. Successivamente, calcoliamo l'area.
• Noto: la lunghezza del lato e l'angolo che si formava tra esso e l'altezza. Soluzione: usa le formule - c=a*sin(C)*2 e h=a*cos(C) per trovare la base e l'altezza, dopodiché calcoliamo l'area.

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo isoscele

Se tutti i dati sono noti, utilizzando la formula standard S = a * a / 2 calcoliamo l'area di un triangolo rettangolo isoscele, ma se alcuni indicatori non sono indicati nell'attività, vengono eseguite azioni aggiuntive.

Ad esempio: non conosciamo le lunghezze di entrambi i lati (ricordiamo che sono uguali in un triangolo rettangolo isoscele), ma è data la lunghezza dell'ipotenusa. Applichiamo il teorema di Pitagora per trovare gli stessi lati "a" e "a". Formula pitagorica: a^2+b^2=c^2. Nel caso di un triangolo rettangolo isoscele, viene convertito in questo: 2a^2 = c^2. Si scopre che per trovare la gamba "a", è necessario dividere la lunghezza dell'ipotenusa per la radice di 2. Il risultato della soluzione sarà la lunghezza di entrambe le gambe di un triangolo rettangolo isoscele. Quindi, trova l'area.

Come trovare l'area di un triangolo equilatero

Usando la formula S= √3/ 4*a^2, puoi facilmente calcolare l'area di un triangolo equilatero. Se si conosce il raggio della circonferenza del triangolo, allora l'area può essere trovata con la formula: S= 3√3/ 4*R^2, dove R è il raggio del cerchio.

Questo articolo discuterà come trovarlo area di un triangolo isoscele e formule per soluzioni.
Un triangolo isoscele è un triangolo i cui due lati paralleli alla base sono uguali . È mostrato nell'immagine.

Vale la pena notare che le lettere che indicano i lati e gli angoli sono utilizzate nelle formule per comodità.
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Area di una formula triangolo isoscele.

La prima formula dice che l'area è se conosciamo solo un lato e la base del triangolo. Abbiamo ottenuto questa formula usando formula generale. Quando la formula di Heron è quella principale e i lati della figura sono uguali, sembrerà di per sé più semplice.

La seconda formula dice che l'area è finita lati e l'angolo tra di loro. O il peccato dell'angolo posto tra i lati, moltiplicato per la metà del quadrato di uno dei lati. Quando disegniamo l'altezza sul lato, la sua lunghezza è uguale a a*sin?. Poiché conosciamo la lunghezza del lato, conosciamo anche la sua altezza. Di conseguenza, l'area di un triangolo isoscele sarà la metà della loro espressione. Per essere più precisi. quindi l'intero fa l'area del triangolo. Dividendo l'altezza del rettangolo, otteniamo due piccoli triangoli rettangoli. La diagonale sarà il lato del triangolo, a sua volta divide la figura in due parti uguali. Da cui ne consegue che il valore che stiamo cercando si trova come metà del valore di un lato moltiplicato per l'altezza.

Nella terza formula, l'area viene trovata utilizzando un lato parallelo, base e angolo posti in alto. In altre parole, possiamo dire questo: quando è noto almeno un angolo in un triangolo isoscele, può essere utilizzato per scoprire gli altri due. Questa formula è simile alla seconda formula, puoi usarne e ricordarne una qualsiasi. Ma la quinta formula uscirà da questa formula, che descriverò di seguito.

La quarta formula mostra che puoi trovare l'area conoscendo la dimensione della base e l'angolo ad essa. Tutti gli angoli alla base sono gli stessi e il quadrato del lato della base diviso per 4 tg è il pavimento dell'angolo che emerge dai suoi lati. Quando guardi da vicino, puoi vedere che il lato del pavimento della base b/2, quando moltiplicato per tg (? /2) dà l'altezza. Che, a sua volta, svolge il ruolo di mediana e bisettrice, il che significa tg (? / 2) = (b / 2) / h, da cui h = b / (2tg (? / 2)) e può essere ridotto a una formula semplificata n. 5.

Quindi la quinta formula dice che puoi trovare l'area usando l'altezza che ha origine all'apice del triangolo e termina alla sua base, mentre lo divide in triangoli rettangoli. E poi come nella terza e nella quarta formula. Il valore del pavimento del valore dell'altezza moltiplicato per il valore di base.

Sesta e ultima formula. Appare nel corso della risoluzione dell'area di un triangolo attraverso il teorema di Pitagora. Abbiamo bisogno dell'altezza trovata nella formula precedente. Ha anche una gamba da un triangolo rettangolo, ricavata dal lato, metà della base più altezza. L'ipotenusa sarà il lato laterale, dal quadrato dell'ipotenusa (a) sottraiamo la seconda gamba nel quadrato. Poiché è uguale a metà della base (b/2), allora quadrato = b2/4. Prendendo la radice del risultato, troviamo l'altezza.

Per aiutare il bambino con le lezioni, i genitori devono sapere molte cose da soli. Come trovare l'area di un triangolo isoscele, in che modo il turnover del participio differisce dal participio, qual è l'accelerazione della caduta libera?

Con una qualsiasi di queste domande, tuo figlio o tua figlia potrebbero avere problemi e si rivolgeranno a te per chiarimenti. Per non cadere con la faccia per terra e mantenere la tua autorità agli occhi dei bambini, vale la pena rinfrescare nella tua memoria alcuni elementi del curriculum scolastico.

Prendi, ad esempio, la questione di un triangolo isoscele. La geometria a scuola è difficile per molti e dopo la scuola viene dimenticata più velocemente.

Ma quando i tuoi figli andranno in terza media, dovrai ricordare le formule in merito forme geometriche. Il triangolo isoscele è uno dei più figure semplici in termini di ricerca dei suoi parametri.

Se tutto ciò che hai imparato una volta sui triangoli è stato dimenticato, ricordiamolo. Un triangolo isoscele è quello in cui 2 lati hanno la stessa lunghezza. Questi bordi uguali sono chiamati i lati di un triangolo isoscele. Il terzo lato è il suo fondamento.

Esiste una tale opzione in cui tutti e 3 i lati sono uguali tra loro. Si chiama triangolo equilatero. È soggetto a tutte le formule applicabili agli isoscele e, se necessario, uno qualsiasi dei suoi lati può essere chiamato base.

Per trovare l'area, dobbiamo dividere la base a metà. Una linea retta tracciata fino al punto ottenuto dal vertice che collega i lati intersecherà la base ad angolo retto.

Tale è la proprietà di triangoli simili: la mediana, cioè la retta dal vertice al centro del lato opposto, in un triangolo isoscele è la sua bisettrice (la retta che divide a metà l'angolo) e la sua altezza (perpendicolare dalla parte opposta).

Per trovare l'area di un triangolo isoscele, devi moltiplicare la sua altezza per la base, quindi dividere questo prodotto a metà.

Per trovare l'area di un triangolo, la formula è semplice: S=ah/2, dove a è la lunghezza della base, h è l'altezza.

Questo può essere spiegato chiaramente come segue. Ritaglia una figura simile dalla carta, trova il centro della base, disegna un'altezza fino a questo punto e taglia con cura lungo questa altezza. Otterrai due triangoli rettangoli.

Se li attacchi l'uno all'altro con le ipotenuse (lati lunghi), si formerà un rettangolo, un lato del quale sarà uguale all'altezza della nostra figura e l'altra metà della sua base. Cioè, la formula sarà confermata.

La dimostrazione visiva è molto importante. Se tuo figlio impara a non memorizzare le formule senza pensare, ma a comprenderne il significato, la geometria non gli sembrerà più un argomento difficile.

Il miglior studente della classe non è uno studente che memorizza, ma pensa e, soprattutto, comprensivo.

Come trovare l'area di una figura se un angolo è un angolo retto?

Può risultare che l'angolo tra i lati di una data figura triangolare è di 90°. Quindi questo triangolo sarà chiamato triangolo rettangolo, i suoi lati - gambe e la base - l'ipotenusa.

L'area di una tale figura può essere calcolata con il metodo sopra (troviamo la metà dell'ipotenusa, disegniamo l'altezza su di essa, la moltiplichiamo per l'ipotenusa, dividiamo a metà). Ma il problema può essere risolto molto più facilmente.

Partiamo dalla visibilità. Un triangolo isoscele rettangolo è esattamente mezzo quadrato se tagliato in diagonale. E se l'area di un quadrato si trova semplicemente alzando il suo lato alla seconda potenza, allora l'area della cifra di cui abbiamo bisogno sarà la metà.

S \u003d a 2 / 2, dove a è la lunghezza della gamba.

L'area di un triangolo rettangolo isoscele è uguale alla metà del quadrato del suo lato. Il problema si è rivelato non così grave come sembrava a prima vista.

Soluzione problemi geometrici non richiede sforzi sovrumani e potrebbe essere utile non solo ai bambini, ma anche a te quando trovi risposte a qualsiasi domanda pratica.

La geometria è una scienza esatta. Se approfondisci le sue basi, ci saranno poche difficoltà e la coerenza delle prove può essere molto accattivante per tuo figlio. Devi solo aiutarlo un po'. Qualunque buon insegnante non l'ha capito, l'aiuto dei genitori non sarà superfluo.

E nel caso dello studio della geometria, il metodo sopra menzionato sarà molto utile: visibilità e semplicità di spiegazione.

Allo stesso tempo, non bisogna dimenticare l'accuratezza delle formulazioni, altrimenti questa scienza può essere resa molto più complicata di quanto non sia in realtà.

Sorge non solo davanti agli scolari o agli studenti, ma anche nella vita reale e pratica. Ad esempio, durante la costruzione, diventa necessario rifinire la parte della facciata sotto il tetto. Come calcolare la quantità di materiale necessaria?

Spesso tali compiti sono affrontati da artigiani che lavorano con il tessuto o la pelle. In effetti, molti dei dettagli che il maestro deve ritagliare hanno proprio la forma di un triangolo isoscele.

Quindi, ci sono diversi modi per aiutare a trovare l'area di un triangolo isoscele. Il primo è calcolarlo per base e altezza.

Per risolverlo, abbiamo bisogno di costruire un triangolo MNP con base MN e altezza PO per chiarezza. Ora finiamo di costruire qualcosa nel disegno: dal punto P traccia una linea parallela alla base e dal punto M una linea parallela all'altezza. Chiamiamo il punto di intersezione Q. Per scoprire come trovare l'area di un triangolo isoscele, dobbiamo considerare il quadrilatero risultante MOPQ, in cui il lato laterale del triangolo MP che ci è stato dato è già la sua diagonale.

Dimostriamo innanzitutto che è un rettangolo. Dal momento che l'abbiamo costruito noi stessi, sappiamo che i lati di MO e OQ sono paralleli. E anche i lati QM e OP sono paralleli. L'angolo POM è retto, quindi anche l'angolo OPQ è retto. Pertanto, il quadrilatero risultante è un rettangolo. Trovare la sua area non è difficile, è uguale al prodotto di PO e OM. OM è metà della base di questo triangolo MPN. Ne consegue che l'area del rettangolo che abbiamo costruito è uguale alla metà del prodotto dell'altezza del triangolo rettangolo e della sua base.

La seconda fase del compito che ci viene proposto, come determinare l'area di un triangolo, è dimostrare il fatto che il rettangolo che abbiamo ottenuto corrisponde a un dato triangolo isoscele nell'area, cioè che l'area del triangolo è anche uguale alla metà del prodotto della base e dell'altezza.

Per prima cosa confrontiamo il triangolo PON e PMQ. Sono entrambi rettangolari, poiché l'angolo retto in uno di essi è formato dall'altezza e l'angolo retto nell'altro è l'angolo del rettangolo. Le ipotenuse in esse sono i lati di un triangolo isoscele, quindi sono anche uguali. Anche le gambe PO e QM sono uguali ai lati paralleli del rettangolo. Quindi, l'area del triangolo PON e del triangolo PMQ sono uguali tra loro.

L'area del rettangolo QPOM è uguale alla somma dei triangoli PQM e MOP. Sostituendo il triangolo incorporato QPM con il triangolo PON, otteniamo in totale il triangolo che ci è stato dato per la derivazione del teorema. Ora sappiamo come trovare l'area di un triangolo isoscele data la base e l'altezza: calcolarne la metà.

Ma puoi imparare a trovare l'area di un triangolo isoscele data la base e il lato. Ci sono anche due opzioni qui: il teorema di Heron e di Pitagora. Consideriamo una soluzione usando il teorema di Pitagora. Ad esempio, prendiamo lo stesso PMN con un'altezza di PO.

In un triangolo rettangolo, POM MP è l'ipotenusa. Il suo quadrato è uguale alla somma dei quadrati di PO e OM. E poiché OM è metà della base che conosciamo, possiamo facilmente trovare OM e quadrare il numero. Sottraendo il numero risultante dal quadrato dell'ipotenusa, scopriamo il perché è uguale a quadrato l'altra gamba, che in un triangolo isoscele è l'altezza. Trovando dalla differenza e conoscendo l'altezza di un triangolo rettangolo, possiamo dare una risposta al compito che ci viene proposto.

Devi solo moltiplicare l'altezza per la base e dividere il risultato a metà. Perché questo dovrebbe essere fatto, abbiamo spiegato nella prima versione della dimostrazione.

Succede che devi fare calcoli sul lato e sull'angolo. Quindi troviamo l'altezza e la base usando la formula con seni e coseni, e, ancora, moltiplichiamoli e dividiamo il risultato a metà.