Da questi sistemi di disuguaglianze. Il sistema delle disuguaglianze è la soluzione. Sistema di disuguaglianze lineari. Esempi di soluzioni a sistemi di disuguaglianze

Disuguaglianze e sistemi di disuguaglianze è uno degli argomenti trattati in Scuola superiore in algebra. In termini di difficoltà, non è il più difficile, perché ha regole semplici (su di loro un po 'più tardi). Di norma, gli scolari imparano abbastanza facilmente la soluzione dei sistemi di disuguaglianza. Ciò è dovuto anche al fatto che gli insegnanti semplicemente "formano" i loro studenti su questo argomento. E non possono che farlo, perché viene studiato in futuro con l'uso di altre grandezze matematiche, ed è anche verificato per l'OGE e l'Unified State Examination. A libri di testo scolastici il tema delle disuguaglianze e dei sistemi di disuguaglianze è trattato in modo molto dettagliato, quindi se hai intenzione di studiarlo, allora è meglio ricorrere a loro. Questo articolo racconta solo materiali di grandi dimensioni e potrebbero esserci delle omissioni.

Il concetto di sistema di disuguaglianze

Se ti rivolgi a linguaggio scientifico, allora possiamo definire il concetto di "sistema delle disuguaglianze". Questo è un tale modello matematico, che rappresenta diverse disuguaglianze. Questo modello, ovviamente, richiede una soluzione, e sarà la risposta generale per tutte le disuguaglianze del sistema proposto nel compito (di solito vi è scritto, ad esempio: "Risolvi il sistema delle disuguaglianze 4 x + 1 > 2 e 30 - x > 6..."). Tuttavia, prima di passare ai tipi e ai metodi delle soluzioni, è necessario capire qualcos'altro.

Sistemi di disequazioni e sistemi di equazioni

In fase di studio nuovo argomento molto spesso ci sono incomprensioni. Da un lato è tutto chiaro e preferirei iniziare a risolvere dei compiti, ma dall'altro alcuni momenti rimangono "in ombra", non sono ben compresi. Inoltre, alcuni elementi delle conoscenze già acquisite possono essere intrecciati con quelli nuovi. Come risultato di questa "sovrapposizione" si verificano spesso errori.

Pertanto, prima di procedere all'analisi del nostro argomento, dovremmo ricordare le differenze tra equazioni e disuguaglianze, i loro sistemi. Per fare ciò, è necessario spiegare ancora una volta quali sono questi concetti matematici. Un'equazione è sempre un'uguaglianza, ed è sempre uguale a qualcosa (in matematica, questa parola è indicata dal segno "="). La disuguaglianza è un modello in cui un valore è maggiore o minore di un altro o contiene l'affermazione che non sono la stessa cosa. Quindi, nel primo caso, è opportuno parlare di uguaglianza, e nel secondo, per quanto ovvio possa sembrare dal nome stesso, di disuguaglianza dei dati iniziali. I sistemi di equazioni e disequazioni praticamente non differiscono tra loro e i metodi per la loro soluzione sono gli stessi. L'unica differenza è che il primo usa le uguaglianze, mentre il secondo usa le disuguaglianze.

Tipi di disuguaglianze

Esistono due tipi di disuguaglianze: numeriche e con una variabile sconosciuta. Al primo tipo vengono forniti valori (numeri) disuguali tra loro, ad esempio 8 > 10. Il secondo sono le disuguaglianze contenenti una variabile sconosciuta (indicata da qualche lettera dell'alfabeto latino, il più delle volte X). Questa variabile deve essere trovata. A seconda di quante sono, il modello matematico distingue tra disuguaglianze con una (costituiscono un sistema di disuguaglianze con una variabile) o più variabili (costituiscono un sistema di disuguaglianze con più variabili).

Gli ultimi due tipi, in base al grado di costruzione e al livello di complessità della soluzione, si dividono in semplici e complessi. Quelle semplici sono anche dette disuguaglianze lineari. A loro volta, sono divisi in severi e non severi. Rigorosamente "dire" in modo specifico che un valore deve essere inferiore o superiore, quindi questa è pura disuguaglianza. Ci sono diversi esempi: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, ecc. Anche quelli non rigidi includono l'uguaglianza. Cioè, un valore può essere maggiore o uguale a un altro valore (segno "≥") o minore o uguale a un altro valore (segno "≤"). Anche in disuguaglianze lineari ah la variabile non è alla radice, quadrata, divisibile per nulla, per questo si chiamano "semplici". Quelli complessi includono variabili sconosciute, la cui ricerca richiede più operazioni matematiche. Sono spesso in un quadrato, in un cubo o sotto la radice, possono essere modulari, logaritmici, frazionari, ecc. Ma poiché il nostro compito è capire la soluzione dei sistemi di disequazioni, parleremo di un sistema di disequazioni lineari. Tuttavia, prima di ciò, dovrebbero essere dette alcune parole sulle loro proprietà.

Proprietà delle disuguaglianze

Le proprietà delle disuguaglianze includono le seguenti disposizioni:

1. Il segno di disuguaglianza è invertito se viene applicata l'operazione di modifica della sequenza dei lati (ad esempio, se t 1 ≤ t 2, allora t 2 ≥ t 1).
2. Entrambe le parti della disuguaglianza ti consentono di aggiungere lo stesso numero a te stesso (ad esempio, se t 1 ≤ t 2, allora t 1 + numero ≤ t 2 + numero).
3. Due o più disuguaglianze che hanno il segno della stessa direzione consentono di sommare le loro parti sinistra e destra (ad esempio, se t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, allora t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Entrambe le parti della disuguaglianza si lasciano moltiplicare o dividere per lo stesso numero positivo (ad esempio, se t 1 ≤ t 2 e il numero ≤ 0, allora il numero t 1 ≥ il numero t 2).
5. Due o più disuguaglianze che hanno termini positivi e segno della stessa direzione si lasciano moltiplicare tra loro (ad esempio se t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 quindi t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Entrambe le parti della disuguaglianza si lasciano moltiplicare o dividere per lo stesso numero negativo, ma il segno di disuguaglianza cambia (ad esempio, se t 1 ≤ t 2 e il numero ≤ 0, allora il numero t 1 ≥ numero t 2).
7. Tutte le disuguaglianze hanno la proprietà della transitività (ad esempio, se t 1 ≤ t 2 e t 2 ≤ t 3, allora t 1 ≤ t 3).

Ora, dopo aver studiato le principali disposizioni della teoria relativa alle disuguaglianze, si può procedere direttamente alla considerazione delle regole per la risoluzione dei loro sistemi.

Soluzione di sistemi di disuguaglianze. Informazione Generale. Soluzioni

Come accennato in precedenza, la soluzione sono i valori della variabile che si adattano a tutte le disuguaglianze del sistema dato. La soluzione dei sistemi di disuguaglianze è l'implementazione di operazioni matematiche che alla fine portano alla soluzione dell'intero sistema o dimostrano che non ha soluzioni. In questo caso, si dice che la variabile si riferisce all'insieme numerico vuoto (scritto in questo modo: una lettera che indica una variabile∈ (segno "appartiene") ø (segno "insieme vuoto"), ad esempio x ∈ ø (si legge: "La variabile "x" appartiene all'insieme vuoto"). Esistono diversi modi per risolvere i sistemi di disequazioni: grafico, algebrico, metodo di sostituzione. Va notato che lo sono modelli matematici, che hanno diverse variabili sconosciute. Nel caso in cui ce ne sia uno solo, è adatto il metodo dell'intervallo.

Modo grafico

Consente di risolvere un sistema di disuguaglianze con più incognite (da due o più). Grazie a questo metodo, il sistema delle disuguaglianze lineari viene risolto abbastanza facilmente e rapidamente, quindi è il metodo più comune. Questo perché il tracciamento riduce la quantità di operazioni matematiche di scrittura. Diventa particolarmente piacevole prendersi una piccola pausa dalla penna, prendere una matita con un righello e procedere con ulteriori azioni con il loro aiuto quando è stato svolto molto lavoro e si desidera un po' di varietà. Tuttavia, ad alcuni non piace questo metodo a causa del fatto che devi staccarti dal compito e passare la tua attività mentale al disegno. Tuttavia, è un modo molto efficace.

Per risolvere un sistema di disuguaglianze utilizzando un metodo grafico, è necessario trasferire tutti i membri di ciascuna disuguaglianza alla loro sinistra. I segni verranno invertiti, zero dovrebbe essere scritto a destra, quindi ogni disuguaglianza dovrebbe essere scritta separatamente. Di conseguenza, le funzioni saranno ottenute dalle disuguaglianze. Dopodiché, puoi ottenere una matita e un righello: ora devi disegnare un grafico di ogni funzione ottenuta. L'intero insieme di numeri che saranno nell'intervallo della loro intersezione sarà la soluzione del sistema delle disuguaglianze.

Modo algebrico

Consente di risolvere un sistema di disuguaglianze con due variabili sconosciute. Inoltre, le disuguaglianze devono avere lo stesso segno di disuguaglianza (cioè devono contenere solo il segno "maggiore di" o solo il segno "minore di", ecc.) Nonostante i suoi limiti, questo metodo è anche più complicato. Si applica in due fasi.

Il primo include le azioni per sbarazzarsi di una delle variabili sconosciute. Per prima cosa devi selezionarlo, quindi verificare la presenza di numeri davanti a questa variabile. Se non ce ne sono (quindi la variabile apparirà come una singola lettera), allora non cambiamo nulla, se c'è (il tipo di variabile sarà, ad esempio, 5y o 12y), allora è necessario assicurarsi che in ogni disuguaglianza il numero davanti alla variabile selezionata è lo stesso. Per fare ciò, devi moltiplicare ogni membro delle disuguaglianze per un fattore comune, ad esempio, se 3y è scritto nella prima disuguaglianza e 5y è scritto nella seconda, allora devi moltiplicare tutti i membri della prima disuguaglianza di 5 e il secondo di 3. Risulterà rispettivamente 15y e 15y.

La seconda fase della decisione. È necessario trasferire il lato sinistro di ciascuna disuguaglianza sul lato destro con un cambiamento nel segno di ogni termine al contrario, scrivere zero a destra. Poi arriva la parte divertente: eliminare la variabile scelta (altrimenti nota come "riduzione") sommando le disuguaglianze. Otterrai una disuguaglianza con una variabile che deve essere risolta. Dopodiché, dovresti fare lo stesso, solo con un'altra variabile sconosciuta. I risultati ottenuti saranno la soluzione del sistema.

Metodo di sostituzione

Consente di risolvere un sistema di disuguaglianze quando è possibile introdurre una nuova variabile. Di solito questo metodo viene utilizzato quando la variabile incognita in un termine della disuguaglianza viene elevata alla quarta potenza e nell'altro termine al quadrato. Pertanto, questo metodo mira a ridurre il grado di disuguaglianza nel sistema. La disuguaglianza campionaria x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 viene risolta in questo modo come segue. Viene introdotta una nuova variabile, ad esempio t. Scrivono: "Let t = x 2", quindi il modello viene riscritto in una nuova forma. Nel nostro caso, otteniamo t 2 - t - 1 ≤0. Questa disuguaglianza deve essere risolta con il metodo dell'intervallo (su di essa un po' più tardi), quindi tornare alla variabile X, quindi fare lo stesso con un'altra disuguaglianza. Le risposte ricevute saranno decisione del sistema.

Metodo di spaziatura

Questo è il modo più semplice per risolvere i sistemi di disuguaglianze, e allo stesso tempo è universale e diffuso. È usato al liceo e anche al liceo. La sua essenza sta nel fatto che lo studente sta cercando intervalli di disuguaglianza sulla linea dei numeri, che viene disegnata su un quaderno (questo non è un grafico, ma solo una normale linea retta con numeri). Dove gli intervalli delle disuguaglianze si intersecano, si trova la soluzione del sistema. Per utilizzare il metodo di spaziatura, è necessario seguire questi passaggi:

1. Tutti i membri di ciascuna disuguaglianza vengono trasferiti sul lato sinistro con un cambio di segno nell'opposto (a destra viene scritto zero).
2. Le disuguaglianze vengono scritte separatamente, viene determinata la soluzione di ciascuna di esse.
3. Si trovano le intersezioni delle disuguaglianze sulla retta reale. Tutti i numeri a questi incroci saranno la soluzione.

Quale modo utilizzare?

Ovviamente quello che sembra il più facile e conveniente, ma ci sono momenti in cui le attività richiedono un certo metodo. Molto spesso, dicono che devi risolvere usando un grafico o usando il metodo dell'intervallo. Il metodo algebrico e la sostituzione sono usati molto raramente o per niente, poiché sono piuttosto complessi e confusi, e inoltre sono più usati per risolvere sistemi di equazioni piuttosto che disequazioni, quindi dovresti ricorrere a disegnare grafici e intervalli. Portano visibilità, che non può che contribuire allo svolgimento efficiente e veloce delle operazioni matematiche.

Se qualcosa non funziona

Durante lo studio di un particolare argomento in algebra, ovviamente, possono sorgere problemi con la sua comprensione. E questo è normale, perché il nostro cervello è progettato in modo tale da non essere in grado di comprendere materiale complesso in una volta sola. Spesso è necessario rileggere un paragrafo, farsi aiutare da un insegnante o esercitarsi a risolvere problemi tipici. Nel nostro caso si presentano, ad esempio, così: "Risolvi il sistema delle disuguaglianze 3 x + 1 ≥ 0 e 2 x - 1 > 3". Pertanto, l'impegno personale, l'aiuto di persone di terze parti e la pratica aiutano a comprendere qualsiasi argomento complesso.

Reshebnik?

E anche il libro delle soluzioni è molto adatto, ma non per imbrogliare i compiti, ma per l'autoaiuto. Puoi trovare sistemi di disuguaglianze con una soluzione al loro interno, guardarli (come schemi), cercare di capire come esattamente l'autore della soluzione ha affrontato il compito e quindi provare a farlo da solo.

conclusioni

L'algebra è una delle materie più difficili a scuola. Dunque, cosa puoi fare? La matematica è sempre stata così: per alcuni arriva facilmente, per altri è difficile. Ma in ogni caso, ricordalo programma di educazione generale progettato in modo che qualsiasi studente possa gestirlo. Inoltre, devi tenere a mente un numero enorme di assistenti. Alcuni di loro sono stati menzionati sopra.

In questa lezione inizieremo lo studio dei sistemi di disuguaglianza. In primo luogo, considereremo sistemi di disequazioni lineari. All'inizio della lezione considereremo dove e perché sorgono sistemi di disuguaglianze. Successivamente, studieremo cosa significa risolvere un sistema e ricorderemo l'unione e l'intersezione degli insiemi. Alla fine, risolveremo esempi specifici per sistemi di disequazioni lineari.

Argomento: dietadisuguaglianze reali e loro sistemi

Lezione:Principaleconcetti, soluzione di sistemi di disequazioni lineari

Finora abbiamo risolto le disuguaglianze individuali e applicato ad esse il metodo dell'intervallo, potrebbero essere disuguaglianze lineari, e quadrato e razionale. Passiamo ora alla risoluzione dei sistemi di disuguaglianze, prima sistemi lineari. Diamo un'occhiata a un esempio da cui nasce la necessità di considerare i sistemi di disuguaglianza.

Trova l'ambito di una funzione

Trova l'ambito di una funzione

La funzione esiste quando esistono entrambe le radici quadrate, cioè

Come risolvere un tale sistema? È necessario trovare tutte x che soddisfino sia la prima che la seconda disuguaglianza.

Disegna sull'asse x l'insieme delle soluzioni della prima e della seconda disuguaglianza.

L'intervallo di intersezione di due raggi è la nostra soluzione.

Questo metodo per rappresentare la soluzione di un sistema di disuguaglianze è talvolta chiamato metodo del tetto.

La soluzione del sistema è l'intersezione di due insiemi.

Rappresentiamolo graficamente. Abbiamo un insieme A di natura arbitraria e un insieme B di natura arbitraria che si intersecano.

Definizione: L'intersezione di due insiemi A e B è un terzo insieme che consiste di tutti gli elementi inclusi sia in A che in B.

Si consideri, utilizzando esempi specifici di risoluzione di sistemi lineari di disequazioni, come trovare le intersezioni degli insiemi di soluzioni delle disuguaglianze individuali inclusi nel sistema.

Risolvi il sistema delle disuguaglianze:

Risposta: (7; 10].

4. Risolvi il sistema

Da dove può venire la seconda disuguaglianza del sistema? Ad esempio, dalla disuguaglianza

Denotiamo graficamente le soluzioni di ciascuna disuguaglianza e troviamo l'intervallo della loro intersezione.

Quindi, se abbiamo un sistema in cui una delle disuguaglianze soddisfa qualsiasi valore di x, allora può essere eliminata.

Risposta: il sistema è incoerente.

Abbiamo considerato problemi tipici di supporto, ai quali si riduce la soluzione di qualsiasi sistema lineare di disuguaglianze.

Considera il seguente sistema.

7.

A volte un sistema lineare è dato da una doppia disuguaglianza; si consideri questo caso.

8.

Abbiamo considerato sistemi di disuguaglianze lineari, compreso da dove provengono, considerato sistemi tipici a cui tutti i sistemi lineari si riducono, e ne abbiamo risolti alcuni.

1. Mordkovich AG e altri Algebra 9° grado: Proc. Per l'istruzione generale Istituzioni - 4a ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich AG e altri Algebra Grade 9: Taskbook per studenti istituzioni educative/ AG Mordkovich, TN Mishustina e altri - 4a ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. Grado 9: libro di testo. per studenti di istruzione generale. istituzioni / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7a ed., Rev. e aggiuntivo - M.: Mnemosine, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Grado 9 16a ed. - M., 2011. - 287 pag.

5. Mordkovich AG Algebra. Grado 9 Alle 14 Parte 1. Un libro di testo per gli studenti delle istituzioni educative / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12a ed., cancellato. — M.: 2010. — 224 pag.: ill.

6. Algebra. Grado 9 Alle ore 2. Parte 2. Libro delle attività per studenti di istituzioni educative / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e altri; ed. AG Mordkovich. - 12a ed., Rev. — M.: 2010.-223 p.: ill.

1. Portale di Scienze Naturali ().

2. Elettronica complesso formativo e metodologico per preparare i gradi 10-11 per gli esami di ammissione in informatica, matematica, lingua russa ().

4. Centro Educativo "Tecnologia dell'Educazione" ().

5. Sezione di College.ru sulla matematica ().

1. Mordkovich AG et al.. Algebra Grade 9: Taskbook per studenti di istituzioni educative / A. G. Mordkovich, TN Mishustina et al. - 4a ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. n. 53; 54; 56; 57.

In questa lezione, continueremo la nostra considerazione delle disuguaglianze razionali e dei loro sistemi, vale a dire: un sistema di disequazioni lineari e quadratiche. Ricordiamo innanzitutto cos'è un sistema di due disuguaglianze lineari con una variabile. Successivamente, consideriamo un sistema di disuguaglianze quadratiche e un metodo per risolverle utilizzando l'esempio di problemi specifici. Diamo un'occhiata più da vicino al cosiddetto metodo del tetto. Analizzeremo soluzioni tipiche dei sistemi e alla fine della lezione considereremo la soluzione di un sistema con disequazioni lineari e quadratiche.

2. Complesso didattico e metodologico elettronico per la preparazione dei gradi 10-11 per gli esami di ammissione in informatica, matematica, lingua russa ().

3. Centro Educativo "Tecnologia dell'Educazione" ().

4. Sezione di College.ru sulla matematica ().

1. Mordkovich AG et al.. Algebra Grade 9: Taskbook per studenti di istituzioni educative / A. G. Mordkovich, TN Mishustina et al. - 4a ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. n. 58 (a, c); 62; 63.

Nell'articolo considereremo soluzione delle disuguaglianze. Parliamo chiaramente di come costruire una soluzione alle disuguaglianze con esempi chiari!

Prima di considerare la soluzione delle disuguaglianze con esempi, affrontiamo i concetti di base.

Introduzione alle disuguaglianze

disuguaglianzaè chiamata un'espressione in cui le funzioni sono collegate da segni di relazione >, . Le disuguaglianze possono essere sia numeriche che alfabetiche.
Le disuguaglianze con due segni di relazione sono dette doppie, con tre - triple, ecc. Per esempio:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Le disuguaglianze che contengono il segno > o or non sono rigorose.
Soluzione di disuguaglianzaè qualsiasi valore della variabile per cui questa disuguaglianza è vera.
"Risolvi la disuguaglianza" significa che devi trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni. Ce ne sono varie metodi per risolvere le disuguaglianze. Per soluzioni di disuguaglianza usa una retta numerica infinita. Per esempio, risolvere la disuguaglianza x > 3 è un intervallo da 3 a +, e il numero 3 non è incluso in questo intervallo, quindi il punto sulla linea è indicato da un cerchio vuoto, perché la disuguaglianza è severa.
+
La risposta sarà: x (3; +).
Il valore x=3 non è incluso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi è rotonda. Il segno di infinito è sempre racchiuso tra parentesi. Il segno significa "appartenenza".
Considera come risolvere le disuguaglianze usando un altro esempio con il segno:
x2
-+
Il valore x=2 è incluso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi quadra e il punto sulla retta sono indicati da un cerchio pieno.
La risposta sarà: x)