Una piramide triangolare ha tutte le facce. Figure geometriche. Piramide. Tipi di sezioni in una piramide quadrangolare regolare

Qui vengono raccolte le informazioni di base sulle piramidi e relative formule e concetti. Tutti sono studiati con un tutor in matematica in preparazione all'esame.

Considera un piano, un poligono giacente in essa e un punto S non giacente in essa. Collega S a tutti i vertici del poligono. Il poliedro risultante è chiamato piramide. I segmenti sono chiamati bordi laterali. Il poligono è chiamato base e il punto S è chiamato cima della piramide. A seconda del numero n, la piramide è detta triangolare (n=3), quadrangolare (n=4), pentagonale (n=5) e così via. Nome alternativo per la piramide triangolare - tetraedro. L'altezza di una piramide è la perpendicolare tracciata dal suo vertice al piano di base.

Una piramide si dice corretta se un poligono regolare, e la base dell'altezza della piramide (la base della perpendicolare) ne è il centro.

Il commento del tutor:
Non confondere il concetto di "piramide regolare" e "tetraedro regolare". In una piramide regolare, i bordi laterali non sono necessariamente uguali ai bordi della base, ma in un tetraedro regolare, tutti i 6 bordi dei bordi sono uguali. Questa è la sua definizione. È facile dimostrare che l'uguaglianza implica che il centro P del poligono con una base di altezza, quindi un tetraedro regolare è una piramide regolare.

Cos'è un apotema?
L'apotema di una piramide è l'altezza della sua faccia laterale. Se la piramide è regolare, allora tutti i suoi apotemi sono uguali. Non è vero il contrario.

Tutor di matematica sulla sua terminologia: il lavoro con le piramidi è costruito per l'80% attraverso due tipi di triangoli:
1) Contenente apotema SK e altezza SP
2) Contenente il bordo laterale SA e la sua sporgenza PA

Per semplificare i riferimenti a questi triangoli, è più conveniente per un insegnante di matematica nominare il primo di essi apotemico, e secondo costale. Sfortunatamente, non troverai questa terminologia in nessuno dei libri di testo e l'insegnante deve introdurla unilateralmente.

Formula del volume piramidale:
1) , dove è l'area della base della piramide, ed è l'altezza della piramide
2) , dove è il raggio della sfera inscritta, ed è la superficie totale della piramide.
3) , dove MN è la distanza di due spigoli incrociati qualsiasi, ed è l'area del parallelogramma formata dai punti medi dei quattro spigoli rimanenti.

Proprietà della base dell'altezza della piramide:

Il punto P (vedi figura) coincide con il centro del cerchio inscritto alla base della piramide se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
1) Tutti gli apotemi sono uguali
2) Tutte le facce laterali sono ugualmente inclinate verso la base
3) Tutti gli apotemi sono ugualmente inclinati all'altezza della piramide
4) L'altezza della piramide è ugualmente inclinata su tutte le facce laterali

Commento del tutor di matematica: nota che tutti i punti sono uniti da una proprietà comune: in un modo o nell'altro, le facce laterali partecipano ovunque (gli apotemi sono i loro elementi). Pertanto, il tutor può offrire una formulazione meno precisa, ma più conveniente per la memorizzazione: il punto P coincide con il centro del cerchio inscritto, la base della piramide, se vi sono uguali informazioni sulle sue facce laterali. Per dimostrarlo, basta mostrare che tutti i triangoli apotemici sono uguali.

Il punto P coincide con il centro del cerchio circoscritto vicino alla base della piramide, se una delle tre condizioni è vera:
1) Tutti i bordi laterali sono uguali
2) Tutte le nervature laterali sono ugualmente inclinate verso la base
3) Tutte le nervature laterali sono ugualmente inclinate all'altezza

• apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, che è disegnata dalla sua sommità (inoltre, l'apotema è la lunghezza della perpendicolare, che è abbassata dal centro di un poligono regolare a 1 dei suoi lati);
• facce laterali (ASB, BSC, CSD, DSA) - triangoli che convergono in alto;
• nervature laterali ( COME , BS , CS , DS ) - lati comuni delle facce laterali;
• cima della piramide (v.S) - un punto che collega i bordi laterali e che non giace nel piano della base;
• altezza ( COSÌ ) - un segmento della perpendicolare, che viene disegnato attraverso la sommità della piramide al piano della sua base (le estremità di tale segmento saranno la sommità della piramide e la base della perpendicolare);
• sezione diagonale di una piramide- sezione della piramide, che passa per la sommità e la diagonale della base;
• base (ABC) è un poligono a cui non appartiene la sommità della piramide.

proprietà piramidali.

1. Quando tutti i bordi laterali sono della stessa dimensione, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide sarà proiettata al centro di questo cerchio;
• le nervature laterali formano angoli uguali con il piano di base;
• inoltre vale anche il contrario, cioè quando le nervature laterali si formano con il piano di base angoli uguali, o quando un cerchio può essere descritto vicino alla base della piramide e la sommità della piramide sarà proiettata al centro di questo cerchio, il che significa che tutti i bordi laterali della piramide hanno la stessa dimensione.

2. Quando le facce laterali hanno un angolo di inclinazione rispetto al piano della base dello stesso valore, allora:

• vicino alla base della piramide, è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide sarà proiettata al centro di questo cerchio;
• le altezze delle facce laterali sono di uguale lunghezza;
• l'area della superficie laterale è ½ il prodotto del perimetro della base e l'altezza della faccia laterale.

3. Una sfera può essere descritta vicino alla piramide se la base della piramide è un poligono attorno al quale può essere descritto un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano per i punti medi dei bordi della piramide perpendicolari ad essi. Da questo teorema concludiamo che una sfera può essere descritta sia attorno a qualsiasi triangolare che attorno a qualsiasi piramide regolare.

4. Una sfera può essere inscritta in una piramide se le bisettrici degli angoli diedri interni della piramide si intersecano nel 1° punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto diventerà il centro della sfera.

La piramide più semplice.

In base al numero di angoli della base della piramide, sono divisi in triangolari, quadrangolari e così via.

La piramide lo farà triangolare, quadrangolare, e così via, quando la base della piramide è un triangolo, un quadrilatero e così via. Una piramide triangolare è un tetraedro - un tetraedro. Quadrangolare - pentaedro e così via.

Questa lezione fornisce la definizione e le proprietà di una piramide triangolare regolare e del suo caso speciale: un tetraedro (vedi sotto). Alla fine della lezione sono forniti collegamenti ad esempi di risoluzione dei problemi.

Definizione

Piramide triangolare regolare- Questa è una piramide, la cui base è un triangolo regolare e la parte superiore è proiettata al centro della base.

La figura mostra:
ABC- Base piramidi
Sistema operativo - Altezza
KS - Apotema
OK - raggio del cerchio inscritto nella base
AO - raggio di un cerchio circoscritto alla base di una piramide triangolare regolare
SKO - l'angolo diedro tra la base e la faccia della piramide (sono uguali in una piramide regolare)

Importante. In una piramide triangolare regolare, la lunghezza del bordo (nella figura AS, BS, CS) può non essere uguale alla lunghezza del lato della base (nella figura AB, AC, BC). Se la lunghezza del bordo di una piramide triangolare regolare è uguale alla lunghezza del lato della base, allora tale piramide è chiamata tetraedro (vedi sotto).

Proprietà di una piramide triangolare regolare:

• i bordi laterali di una piramide regolare sono uguali
• tutte le facce laterali di una piramide regolare lo sono triangoli isoscele
• in una piramide triangolare regolare, puoi sia inscrivere che descrivere una sfera attorno ad essa
• se i centri delle sfere inscritte e circoscritte attorno ad una piramide triangolare regolare coincidono, allora la somma degli angoli piani alla sommità della piramide è uguale a π (180 gradi), e ciascuno di essi, rispettivamente, è uguale a π / 3 (pi diviso per 3 o 60 gradi).
• l'area della superficie laterale di una piramide regolare è uguale alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'apotema
• la sommità della piramide è proiettata sulla base al centro del corretto triangolo equilatero, che è il centro del cerchio inscritto e il punto di intersezione delle mediane

Formule per una piramide triangolare regolare

La formula per il volume di una piramide triangolare regolare è:

V è il volume di una piramide regolare con un triangolo regolare (equilatero) alla base
h - l'altezza della piramide
a - la lunghezza del lato della base della piramide
R - raggio del cerchio circoscritto
r - raggio del cerchio inscritto

Poiché una piramide triangolare regolare è un caso speciale di una piramide regolare, le formule che sono vere per una piramide regolare sono vere anche per una piramide triangolare regolare - vedere le formule per una piramide regolare.

Esempi di risoluzione dei problemi:

tetraedro

Un caso speciale di una piramide triangolare regolare è tetraedro.

tetraedro- questo è poliedro regolare(piramide triangolare regolare) in cui tutte le facce sono triangoli regolari.

Al tetraedro:

• Tutti i bordi sono uguali
• 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli
• Tutti gli angoli diedri ai bordi e tutti gli angoli a tre vertici sono uguali

Mediana di un tetraedro- questo è un segmento che collega il vertice al punto di intersezione delle mediane della faccia opposta (le mediane di un triangolo equilatero opposto al vertice)

tetraedro bimediano- questo è un segmento che collega i punti medi dei bordi incrociati (che collega i punti medi dei lati di un triangolo, che è una delle facce di un tetraedro)

Altezza del tetraedro- questo è un segmento che collega il vertice con un punto della faccia opposta e perpendicolare a questa faccia (cioè è l'altezza ricavata da qualsiasi faccia, coincide anche con il centro del cerchio circoscritto).

tetraedro ha quanto segue proprietà:

• Tutte le mediane e le bimediane di un tetraedro si intersecano in un punto
• Questo punto divide le mediane in un rapporto di 3:1, contando dall'alto
• Questo punto divide in due i bimediani