Cosa significa il modello matematico della situazione. Modelli matematici di problemi di programmazione lineare. Riduzione di un problema generale di programmazione lineare a forma canonica
Nell'articolo portato alla vostra attenzione, offriamo esempi di modelli matematici. Inoltre, presteremo attenzione alle fasi di creazione dei modelli e analizzeremo alcuni dei problemi associati alla modellazione matematica.
Un altro dei nostri problemi sono i modelli matematici in economia, esempi di cui prenderemo in considerazione una definizione poco dopo. Proponiamo di iniziare la nostra conversazione con il concetto stesso di “modello”, di considerare brevemente la loro classificazione e di passare alle nostre principali domande.
Il concetto di "modello"
Si sente spesso la parola "modello". Che cos'è? Questo termine ha molte definizioni, eccone solo tre:
- un oggetto specifico creato per ricevere e memorizzare informazioni, che riflettono alcune proprietà o caratteristiche, e così via, dell'originale di questo oggetto (questo oggetto specifico può essere espresso in diverse forme: mentale, descrizione tramite segni e così via);
- un modello significa anche una visualizzazione di qualsiasi situazione, vita o gestione specifica;
- una piccola copia di un oggetto può fungere da modello (vengono creati per uno studio e un'analisi più dettagliati, poiché il modello riflette la struttura e le relazioni).
Sulla base di tutto quanto detto in precedenza, possiamo trarre una piccola conclusione: il modello consente di studiare in dettaglio un sistema o un oggetto complesso.
Tutti i modelli possono essere classificati secondo una serie di criteri:
- per ambito di utilizzo (didattico, sperimentale, scientifico e tecnico, ludico, simulativo);
- dalla dinamica (statica e dinamica);
- per branca delle conoscenze (fisiche, chimiche, geografiche, storiche, sociologiche, economiche, matematiche);
- secondo la modalità di presentazione (materiale e informativa).
I modelli informativi, a loro volta, si dividono in segnici e verbali. E iconico - su computer e non computer. Passiamo ora a una considerazione dettagliata di esempi di un modello matematico.
Modello matematico
Come puoi immaginare, un modello matematico riflette alcune caratteristiche di un oggetto o fenomeno utilizzando speciali simboli matematici. La matematica è necessaria per modellare le leggi del mondo nel suo linguaggio specifico.
Il metodo di modellazione matematica ha avuto origine molto tempo fa, migliaia di anni fa, insieme all'avvento di questa scienza. Tuttavia, l'impulso per lo sviluppo di questo metodo di modellazione è stato dato dalla comparsa dei computer (computer elettronici).
Passiamo ora alla classificazione. Può anche essere effettuato secondo alcuni segni. Sono presentati nella tabella seguente.
Proponiamo di soffermarci a dare un'occhiata più da vicino all'ultima classificazione, poiché riflette i modelli generali di modellazione e gli obiettivi dei modelli in fase di creazione.
Modelli descrittivi
In questo capitolo ci proponiamo di soffermarci più in dettaglio sui modelli matematici descrittivi. Per rendere tutto molto chiaro, verrà fornito un esempio.
Per cominciare, questa vista può essere definita descrittiva. Ciò è dovuto al fatto che facciamo semplicemente calcoli e previsioni, ma non possiamo influenzare in alcun modo l'esito dell'evento.
Un esempio lampante di modello matematico descrittivo è il calcolo della traiettoria di volo, della velocità, della distanza dalla Terra di una cometa che ha invaso le distese del nostro sistema solare. Questo modello è descrittivo, poiché tutti i risultati ottenuti possono solo avvertirci di un qualche tipo di pericolo. Sfortunatamente, non possiamo influenzare l'esito dell'evento. Tuttavia, sulla base dei calcoli ottenuti, è possibile adottare qualsiasi misura per preservare la vita sulla Terra.
Modelli di ottimizzazione
Ora parleremo un po' di modelli economici e matematici, esempi dei quali possono essere varie situazioni. In questo caso noi stiamo parlando sui modelli che aiutano a trovare la risposta giusta in determinate condizioni. Devono avere alcuni parametri. Per chiarire, consideriamo un esempio della parte agraria.
Abbiamo un granaio, ma il grano si deteriora molto rapidamente. In questo caso, dobbiamo scegliere il giusto regime di temperatura e ottimizzare il processo di archiviazione.
Possiamo così definire il concetto di "modello di ottimizzazione". In senso matematico, si tratta di un sistema di equazioni (lineari e non), la cui soluzione aiuta a trovare la soluzione ottimale in una particolare situazione economica. Abbiamo considerato un esempio di modello matematico (ottimizzazione), ma vorrei aggiungere un'altra cosa: questo tipo appartiene alla classe dei problemi estremi, aiutano a descrivere il funzionamento del sistema economico.
Notiamo un'altra sfumatura: i modelli possono essere di natura diversa (vedi la tabella seguente).
Modelli multicriteri
Ora ti invitiamo a parlare un po' del modello matematico dell'ottimizzazione multiobiettivo. Prima di ciò, abbiamo fornito un esempio di un modello matematico per ottimizzare un processo in base a un criterio qualsiasi, ma cosa succede se ce ne sono molti?
Un esempio lampante di un compito multicriterio è l'organizzazione di un'alimentazione corretta, sana e allo stesso tempo economica di grandi gruppi di persone. Tali compiti sono spesso affrontati nell'esercito, nelle mense scolastiche, nei campi estivi, negli ospedali e così via.
Quali criteri ci vengono dati in questo compito?
- Il cibo dovrebbe essere sano.
- Le spese alimentari dovrebbero essere ridotte al minimo.
Come puoi vedere, questi obiettivi non coincidono affatto. Ciò significa che quando si risolve un problema, è necessario cercare la soluzione ottimale, un equilibrio tra i due criteri.
Modelli di gioco
Parlando di modelli di gioco, è necessario comprendere il concetto di "teoria dei giochi". In poche parole, questi modelli riflettono modelli matematici di conflitti reali. Vale solo la pena capire che, a differenza di un conflitto reale, un modello matematico di gioco ha le sue regole specifiche.
Ora darò un minimo di informazioni dalla teoria dei giochi, che ti aiuteranno a capire cos'è un modello di gioco. E così, nel modello ci sono necessariamente i partiti (due o più), che di solito vengono chiamati giocatori.
Tutti i modelli hanno determinate caratteristiche.
Il modello di gioco può essere accoppiato o multiplo. Se abbiamo due soggetti, allora il conflitto è accoppiato, se più - multiplo. Si può anche distinguere un gioco antagonista, detto anche gioco a somma zero. Questo è un modello in cui il guadagno di uno dei partecipanti è uguale alla perdita dell'altro.
modelli di simulazione
In questa sezione ci concentreremo sui modelli matematici di simulazione. Esempi di attività sono:
- modello della dinamica del numero di microrganismi;
- modello di moto molecolare, e così via.
In questo caso si tratta di modelli che si avvicinano il più possibile ai processi reali. In generale, imitano qualsiasi manifestazione in natura. Nel primo caso, ad esempio, possiamo modellare la dinamica del numero di formiche in una colonia. In questo caso, puoi osservare il destino di ogni individuo. In questo caso, la descrizione matematica è usata raramente, più spesso ci sono condizioni scritte:
- dopo cinque giorni la femmina depone le uova;
- dopo venti giorni la formica muore, e così via.
Così usato per descrivere grande sistema. La conclusione matematica è l'elaborazione dei dati statistici ricevuti.
Requisiti
È molto importante sapere cosa questa specie i modelli hanno alcuni requisiti, tra cui quelli riportati nella tabella seguente.
Versatilità | Questa proprietà consente di utilizzare lo stesso modello quando si descrivono gruppi di oggetti dello stesso tipo. È importante notare che i modelli matematici universali sono completamente indipendenti natura fisica oggetto in studio |
Adeguatezza | Qui è importante capire che questa proprietà consente la riproduzione più corretta dei processi reali. Nei problemi operativi, questa proprietà della modellazione matematica è molto importante. Un esempio di modello è il processo di ottimizzazione dell'uso di un sistema a gas. In questo caso vengono confrontati gli indicatori calcolati ed effettivi, di conseguenza viene verificata la correttezza del modello compilato. |
Precisione | Questo requisito implica la coincidenza dei valori che otteniamo calcolando il modello matematico e i parametri di input del nostro oggetto reale |
Economia | Il requisito dell'economia per qualsiasi modello matematico è caratterizzato da costi di implementazione. Se il lavoro con il modello viene eseguito manualmente, è necessario calcolare quanto tempo ci vorrà per risolvere un problema utilizzando questo modello matematico. Se parliamo di progettazione assistita da computer, vengono calcolati gli indicatori del tempo e della memoria del computer |
Passi di modellazione
In totale, è consuetudine distinguere quattro fasi nella modellazione matematica.
- Formulazione di leggi che collegano parti del modello.
- Studio di problemi matematici.
- Scoprire la coincidenza di risultati pratici e teorici.
- Analisi e ammodernamento del modello.
Modello economico e matematico
In questa sezione, evidenzieremo brevemente il problema. Esempi di attività possono essere:
- formazione di un programma di produzione per la produzione di prodotti a base di carne, garantendo il massimo profitto della produzione;
- massimizzare il profitto dell'organizzazione calcolando il numero ottimale di tavoli e sedie da produrre in un mobilificio, e così via.
Il modello economico-matematico mostra un'astrazione economica, che si esprime utilizzando termini e segni matematici.
Modello matematico al computer
Esempi di un modello matematico al computer sono:
- attività idrauliche utilizzando diagrammi di flusso, diagrammi, tabelle e così via;
- problemi sulla meccanica solida e così via.
Un modello al computer è un'immagine di un oggetto o di un sistema, presentato come:
- tavoli;
- schemi a blocchi;
- diagrammi;
- grafica e così via.
Allo stesso tempo, questo modello riflette la struttura e le interconnessioni del sistema.
Costruire un modello economico e matematico
Abbiamo già parlato di cosa sia un modello economico-matematico. Un esempio di risoluzione del problema verrà considerato in questo momento. Dobbiamo analizzare il programma di produzione per identificare la riserva per aumentare i profitti con uno spostamento dell'assortimento.
Non considereremo pienamente il problema, ma costruiremo solo un modello economico e matematico. Il criterio del nostro compito è la massimizzazione del profitto. Allora la funzione ha la forma: Л=р1*х1+р2*х2… tendente al massimo. In questo modello, p è il profitto per unità, x è il numero di unità prodotte. Inoltre, in base al modello costruito, è necessario effettuare calcoli e riassumere.
Un esempio di costruzione di un semplice modello matematico
Un compito. Il pescatore è tornato con il seguente pescato:
- 8 pesci - abitanti dei mari del nord;
- 20% del pescato: gli abitanti dei mari del sud;
- non è stato trovato un solo pesce dal fiume locale.
Quanti pesci ha comprato al negozio?
Quindi, un esempio di costruzione di un modello matematico di questo problema è il seguente. Indichiamo il numero totale di pesci come x. Seguendo la condizione, 0,2x è il numero di pesci che vivono alle latitudini meridionali. Ora combiniamo tutte le informazioni disponibili e otteniamo un modello matematico del problema: x=0,2x+8. Risolviamo l'equazione e otteniamo la risposta alla domanda principale: ha comprato 10 pesci nel negozio.
Modelli matematici
Modello matematico - opi approssimatividescrizione dell'oggetto di modellazione, espressa mediantesimbolismo matematico schyu.
I modelli matematici sono comparsi insieme alla matematica molti secoli fa. Un enorme impulso allo sviluppo della modellazione matematica è stato dato dalla comparsa dei computer. L'uso dei computer ha permesso di analizzare e mettere in pratica molti modelli matematici che in precedenza non erano stati oggetto di ricerca analitica. Matematica implementata al computermodello del cielo chiamato modello matematico informatico, un eseguire calcoli mirati utilizzando un modello informatico chiamato esperimento computazionale.
Fasi del computer matematico mocancellazione mostrato in figura. Il primopalcoscenico - definizione degli obiettivi di modellazione. Questi obiettivi possono essere diversi:
- è necessario un modello per capire come funziona un particolare oggetto, qual è la sua struttura, le proprietà di base, le leggi di sviluppo e di interazione
con il mondo esterno (comprensione); - è necessario un modello per imparare a gestire un oggetto (o processo) e determinare i modi migliori per gestire determinati obiettivi e criteri (gestione);
- il modello è necessario per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione delle modalità e delle forme di impatto specificate sull'oggetto (forecasting).
Un esempio da un'area completamente diversa: convivendo pacificamente con popolazioni stabili di due specie di individui con una base alimentare comune, iniziano "improvvisamente" a cambiare drasticamente il loro numero. E qui la modellizzazione matematica permette (con un certo grado di certezza) di stabilirne la causa (o almeno di confutare una certa ipotesi).
Lo sviluppo del concetto di gestione degli oggetti è un altro possibile obiettivo della modellazione. Quale modalità di volo dell'aeromobile dovrebbe essere scelta affinché il volo sia sicuro ed economicamente più vantaggioso? Come programmare centinaia di tipi di lavori per la costruzione di una grande struttura in modo che si concluda il prima possibile? Molti di questi problemi sorgono sistematicamente davanti a economisti, designer e scienziati.
Infine, prevedere le conseguenze di determinati impatti su un oggetto può essere sia una questione relativamente semplice nei sistemi fisici semplici, sia estremamente complessa - sull'orlo della fattibilità - nei sistemi biologici, economici, sociali. Se è relativamente facile rispondere alla domanda sul cambiamento della modalità di propagazione del calore in un'asta sottile con cambiamenti nella sua lega costituente, allora è incomparabilmente più difficile tracciare (prevedere) le conseguenze ambientali e climatiche della costruzione di un grande centrale idroelettrica o le conseguenze sociali delle modifiche alla normativa fiscale. Forse, anche in questo caso, i metodi di modellazione matematica forniranno un'assistenza più significativa in futuro.
Seconda fase: definizione dei parametri di input e output del modello; suddivisione dei parametri di input in base al grado di importanza dell'impatto delle loro modifiche sull'output. Questo processo è chiamato classifica, o divisione per grado (vedi sotto). "Formalizzazione e modellismo").
Terza fase: costruzione di un modello matematico. In questa fase si passa dalla formulazione astratta del modello a una formulazione che ha uno specifico rappresentazione matematica. Un modello matematico è costituito da equazioni, sistemi di equazioni, sistemi di disequazioni, equazioni differenziali o sistemi di tali equazioni, ecc.
Quarto stadio: scelta del metodo per lo studio del modello matematico. Molto spesso qui vengono utilizzati metodi numerici, che si prestano bene alla programmazione. Di norma, diversi metodi sono adatti per risolvere lo stesso problema, che differiscono per precisione, stabilità, ecc. Il successo dell'intero processo di modellazione dipende spesso dalla corretta scelta del metodo.
Quinta tappa: lo sviluppo di un algoritmo, la compilazione e il debug di un programma per computer è un processo difficile da formalizzare. Tra i linguaggi di programmazione, molti professionisti della modellazione matematica preferiscono FORTRAN: sia per tradizione che per l'efficienza insuperabile dei compilatori (per il lavoro di calcolo) e per la presenza di enormi librerie di programmi standard scritti in esso, accuratamente debuggate e ottimizzate metodi matematici. Sono in uso anche linguaggi come PASCAL, BASIC, C, a seconda della natura del compito e delle inclinazioni del programmatore.
Sesta fase: test del programma. Il funzionamento del programma viene testato su un problema di prova con una risposta nota. Questo è solo l'inizio di una procedura di test difficile da descrivere in modo formalmente esaustivo. Solitamente, il test termina quando l'utente, in base alle sue caratteristiche professionali, ritiene che il programma sia corretto.
Settima tappa: l'esperimento computazionale vero e proprio, durante il quale si scopre se il modello corrisponde a un oggetto reale (processo). Il modello è sufficientemente adeguato al processo reale se alcune caratteristiche del processo ottenuto al computer coincidono con le caratteristiche sperimentalmente ottenute con un determinato grado di accuratezza. Se il modello non corrisponde al processo reale, si torna a una delle fasi precedenti.
Classificazione dei modelli matematici
La classificazione dei modelli matematici può essere basata su vari principi. È possibile classificare i modelli per branche della scienza (modelli matematici in fisica, biologia, sociologia, ecc.). Può essere classificato in base all'apparato matematico applicato (modelli basati sull'uso di equazioni differenziali ordinarie, equazioni differenziali alle derivate parziali, metodi stocastici, trasformazioni algebriche discrete, ecc.). Infine, se procediamo dai compiti generali di modellazione nelle diverse scienze, indipendentemente dall'apparato matematico, la seguente classificazione è del tutto naturale:
- modelli descrittivi (descrittivi);
- modelli di ottimizzazione;
- modelli multicriteri;
- modelli di gioco.
Spieghiamolo con esempi.
Modelli descrittivi (descrittivi).. Ad esempio, modellando il movimento di una cometa che ha invaso sistema solare, è realizzato per prevedere la traiettoria del suo volo, la distanza alla quale passerà dalla Terra, ecc. In questo caso, gli obiettivi della modellazione sono descrittivi, poiché non c'è modo di influenzare il movimento della cometa, di cambiare qualcosa in essa.
Modelli di ottimizzazione sono usati per descrivere i processi che possono essere influenzati nel tentativo di raggiungere un determinato obiettivo. In questo caso, il modello include uno o più parametri che possono essere influenzati. Ad esempio, modificando il regime termico in un granaio, si può fissare l'obiettivo di scegliere tale regime al fine di ottenere la massima conservazione del grano, ad es. ottimizzare il processo di archiviazione.
Modelli multicriteri. Spesso è necessario ottimizzare il processo in più parametri contemporaneamente e gli obiettivi possono essere molto contraddittori. Ad esempio, conoscendo i prezzi del cibo e il fabbisogno alimentare di una persona, è necessario organizzare i pasti per grandi gruppi di persone (nell'esercito, campo estivo per bambini, ecc.) fisiologicamente correttamente e, allo stesso tempo, nel modo più economico possibile. È chiaro che questi obiettivi non coincidono affatto; durante la modellazione verranno utilizzati diversi criteri, tra i quali si deve cercare un equilibrio.
Modelli di gioco può essere correlato non solo ai giochi per computer, ma anche a cose molto serie. Ad esempio, prima di una battaglia, in presenza di informazioni incomplete sull'esercito avversario, un comandante deve sviluppare un piano: in quale ordine portare in battaglia determinate unità, ecc., Tenendo conto della possibile reazione del nemico. C'è una sezione speciale della matematica moderna - la teoria dei giochi - che studia i metodi del processo decisionale in condizioni di informazione incompleta.
A corso scolastico Informatica, gli studenti ricevono una comprensione iniziale della modellazione matematica del computer nell'ambito di corso base. Al liceo, la modellazione matematica può essere approfondita in un corso di istruzione generale per classi di fisica e matematica, nonché all'interno di un corso specialistico opzionale.
Le principali forme di insegnamento della modellazione matematica informatica nelle scuole superiori sono lezioni frontali, laboratori e lezioni di credito. Di solito, il lavoro di creazione e preparazione per lo studio di ogni nuovo modello richiede 3-4 lezioni. Nel corso della presentazione del materiale, vengono stabiliti compiti che in futuro dovrebbero essere risolti dagli studenti da soli, in termini generali, vengono delineati i modi per risolverli. Vengono formulate domande, le cui risposte dovrebbero essere ottenute durante l'esecuzione di compiti. È indicata la letteratura aggiuntiva, che consente di ottenere informazioni ausiliarie per completare con successo le attività.
La forma di organizzazione delle classi nello studio di nuovo materiale è solitamente una lezione. Dopo il completamento della discussione del prossimo modello studenti avere a disposizione le informazioni teoriche necessarie e una serie di compiti per ulteriori lavori. In preparazione al compito, gli studenti scelgono il metodo di soluzione appropriato, utilizzando una soluzione privata nota, testano il programma sviluppato. In caso di possibili difficoltà nel portare a termine i compiti, viene data la consultazione, viene avanzata una proposta per elaborare queste sezioni in modo più dettagliato nella letteratura.
Più rilevante per la parte pratica della formazione Simulazione computerizzataè il metodo del progetto. Il compito è formulato per lo studente sotto forma di progetto educativo e si svolge in più lezioni, e la principale forma organizzativa in questo caso è il lavoro di laboratorio informatico. È possibile implementare la formazione di modelli utilizzando il metodo del progetto di apprendimento diversi livelli. Il primo è una definizione del problema del processo di attuazione del progetto, che è guidato dall'insegnante. Il secondo è la realizzazione del progetto da parte degli studenti sotto la guida di un insegnante. Il terzo è l'attuazione indipendente da parte degli studenti di un progetto di ricerca educativa.
I risultati del lavoro dovrebbero essere presentati in forma numerica, sotto forma di grafici, diagrammi. Se possibile, il processo viene presentato sullo schermo del computer in modo dinamico. Al termine dei calcoli e dei risultati ottenuti, vengono analizzati, confrontati con fatti noti dalla teoria si conferma l'attendibilità e si effettua un'interpretazione significativa, che si riflette successivamente in una relazione scritta.
Se i risultati soddisfano lo studente e l'insegnante, allora il lavoro conta completato, e la sua fase finale è la preparazione di una relazione. La relazione include brevi informazioni teoriche sull'argomento in studio, una formulazione matematica del problema, un algoritmo di soluzione e la sua giustificazione, un programma per computer, i risultati del programma, l'analisi dei risultati e delle conclusioni, un elenco di riferimenti.
Quando tutte le relazioni sono state compilate, nella lezione di prova, gli studenti parlano brevi messaggi sul lavoro svolto, difendere il loro progetto. Questa è una forma efficace di segnalazione da parte del team di progetto alla classe, inclusa la definizione del problema, la costruzione di un modello formale, la scelta dei metodi per lavorare con il modello, l'implementazione del modello su un computer, il lavoro con il modello finito, l'interpretazione dei risultati, previsione. Di conseguenza, gli studenti possono ottenere due voti: il primo è per l'elaborazione del progetto e il successo della sua difesa, il secondo è per il programma, l'ottimalità del suo algoritmo, interfaccia, ecc. Gli studenti ricevono anche voti nel corso di sondaggi sulla teoria.
Una domanda essenziale è quali strumenti utilizzare in un corso di informatica scolastica per la modellazione matematica? L'implementazione informatica dei modelli può essere effettuata:
- utilizzando un foglio di calcolo (solitamente MS Excel);
- creando programmi nei linguaggi di programmazione tradizionali (Pascal, BASIC, ecc.), così come nelle loro versioni moderne (Delphi, Visual
Base per l'applicazione, ecc.); - utilizzando pacchetti applicativi speciali per la risoluzione di problemi matematici (MathCAD, ecc.).
A livello di scuola elementare, il primo rimedio sembra essere quello preferito. Tuttavia, nel Scuola superiore Quando la programmazione è, insieme alla modellazione, un argomento chiave dell'informatica, è auspicabile coinvolgerla come strumento di modellazione. Nel processo di programmazione, i dettagli delle procedure matematiche diventano disponibili per gli studenti; inoltre, sono semplicemente costretti a padroneggiarli, e questo contribuisce anche all'educazione matematica. Per quanto riguarda l'uso di pacchetti software speciali, questo è appropriato in un corso di informatica di profilo come supplemento ad altri strumenti.
Esercizio :
- Delineare i concetti chiave.
Immagina un aeroplano: ali, fusoliera, coda, tutto questo insieme - un vero aereo enorme, immenso, intero. E puoi fare un modello di aeroplano, piccolo, ma tutto è reale, le stesse ali, ecc., ma compatto. Così è il modello matematico. C'è compito di testo, ingombrante, puoi guardarlo così, leggerlo, ma non capirlo bene, e ancor di più non è chiaro come risolverlo. Ma cosa succede se ne facciamo un piccolo modello, un modello matematico, da un grande compito verbale? Cosa significa matematica? Quindi, usando le regole e le leggi della notazione matematica, ricostruisci il testo in una rappresentazione logicamente corretta usando numeri e segni aritmetici. Così, Un modello matematico è una rappresentazione di una situazione reale utilizzando un linguaggio matematico.
Cominciamo in modo semplice: il numero è maggiore del numero di. Dobbiamo scriverlo senza usare le parole, solo il linguaggio della matematica. Se di più, si scopre che se sottraiamo, la differenza stessa di questi numeri rimarrà uguale. Quelli. o. Hai il succo?
Ora è più complicato, ora ci sarà un testo che dovresti provare a presentare sotto forma di modello matematico, finché non leggerai come lo farò, provalo tu stesso! Ci sono quattro numeri: , e. Un prodotto e più prodotti e due volte.
Quello che è successo?
Sotto forma di un modello matematico, sarà simile a questo:
Quelli. il prodotto è correlato come due a uno, ma questo può essere ulteriormente semplificato:
Va bene, avanti semplici esempi hai capito il succo, suppongo. Passiamo a compiti a tutti gli effetti in cui anche questi modelli matematici devono essere risolti! Ecco il compito.
Modello matematico in pratica
Compito 1
Dopo la pioggia, il livello dell'acqua nel pozzo può aumentare. Il ragazzo misura il tempo di caduta dei sassolini nel pozzo e calcola la distanza dall'acqua usando la formula, dove è la distanza in metri ed è il tempo di caduta in secondi. Prima della pioggia, il tempo per la caduta dei sassi era il s. Di quanto deve salire il livello dell'acqua dopo la pioggia affinché il tempo misurato cambi in s? Esprimi la tua risposta in metri.
Oh Dio! Quali formule, che tipo di pozzo, cosa sta succedendo, cosa fare? Ti ho letto nel pensiero? Rilassati, in compiti di questo tipo le condizioni sono ancora più terribili, la cosa principale da ricordare è che in questo compito sei interessato alle formule e alle relazioni tra variabili e cosa significa tutto ciò nella maggior parte dei casi non è molto importante. Cosa vedi utile qui? personalmente vedo. Il principio per risolvere questi problemi è il seguente: prendi tutte le quantità conosciute e le sostituisci.Ma a volte devi pensare!
Seguendo il mio primo consiglio e sostituendo tutti quelli conosciuti nell'equazione, otteniamo:
Sono stato io che ho sostituito il tempo del secondo, e ho trovato l'altezza che la pietra volava prima della pioggia. E ora dobbiamo contare dopo la pioggia e trovare la differenza!
Ora ascolta il secondo consiglio e pensaci, chiarisce la domanda, "di quanto deve salire il livello dell'acqua dopo la pioggia affinché il tempo misurato cambi di s". Devi capirlo subito, quindi, dopo la pioggia il livello dell'acqua aumenta, il che significa che il tempo necessario per la caduta della pietra al livello dell'acqua è inferiore, e qui la frase decorata "in modo che il tempo misurato cambi" richiede su un significato preciso: il tempo di caduta non aumenta, ma si riduce dei secondi specificati. Ciò significa che nel caso di un lancio dopo la pioggia, dobbiamo solo sottrarre c dal tempo iniziale c, e otteniamo l'equazione per l'altezza a cui il sasso volerà dopo la pioggia:
E infine, per trovare di quanto dovrebbe salire il livello dell'acqua dopo la pioggia, in modo che il tempo misurato cambi di s, basta sottrarre il secondo dalla prima altezza della caduta!
Otteniamo la risposta: al metro.
Come puoi vedere, non c'è niente di complicato, soprattutto, non preoccuparti troppo di dove un tale incomprensibile e talvolta equazione complessa nelle condizioni da cui proviene e cosa significa tutto ciò che contiene, credetemi sulla parola, la maggior parte di queste equazioni sono prese dalla fisica e lì i jolly sono peggiori che in algebra. A volte mi sembra che questi compiti siano stati inventati per intimidire lo studente all'esame con un'abbondanza di formule e termini complessi e nella maggior parte dei casi non richiedono quasi nessuna conoscenza. Basta leggere attentamente la condizione e sostituire i valori noti nella formula!
Ecco un altro problema, non più in fisica, ma dal mondo della teoria economica, anche se qui non è richiesta ancora una volta la conoscenza di scienze diverse dalla matematica.
Compito 2
La dipendenza del volume della domanda (unità al mese) per i prodotti di un'impresa monopolistica dal prezzo (migliaia di rubli) è data dalla formula
Le entrate mensili dell'azienda (in migliaia di rubli) vengono calcolate utilizzando la formula. Determina il prezzo più alto al quale le entrate mensili saranno di almeno mille rubli. Dai la risposta in mille rubli.
Indovina cosa farò adesso? Sì, inizierò a sostituire ciò che sappiamo, ma, ancora, devi ancora pensare un po'. Andiamo dalla fine, dobbiamo trovare a quale. Quindi, c'è, uguale ad alcuni, troviamo a cos'altro è uguale, ed è uguale, e lo scriveremo. Come puoi vedere, non mi preoccupo particolarmente del significato di tutte queste quantità, guardo solo dalle condizioni, cosa è uguale a cosa, questo è quello che devi fare. Torniamo al compito, ce l'hai già, ma come ricordi, da un'equazione con due variabili, nessuna di esse può essere trovata, cosa fare? Sì, abbiamo ancora una particella inutilizzata nella condizione. Qui ci sono già due equazioni e due variabili, il che significa che ora è possibile trovare entrambe le variabili: fantastico!
Riuscite a risolvere un sistema del genere?
Risolviamo per sostituzione, l'abbiamo già espresso, il che significa che lo sostituiremo nella prima equazione e lo semplificheremo.
Si scopre che qui c'è una tale equazione quadratica: , risolviamo, le radici sono così, . Nell'attività, è necessario trovare il prezzo più alto al quale verranno soddisfatte tutte le condizioni che abbiamo preso in considerazione durante la compilazione del sistema. Oh, si scopre che era il prezzo. Fantastico, quindi abbiamo trovato i prezzi: e. Il prezzo più alto, dici? Ok, il più grande di loro, ovviamente, lo scriviamo in risposta. Bene, è difficile? Penso di no, e non c'è bisogno di approfondire troppo!
Ed ecco per te una fisica spaventosa, o meglio, un altro problema:
Compito 3
Per determinare la temperatura effettiva delle stelle viene utilizzata la legge di Stefan-Boltzmann, secondo la quale, dove è la potenza radiante della stella, è una costante, è la superficie della stella ed è la temperatura. È noto che la superficie di una certa stella è uguale e la potenza della sua radiazione è uguale a W. Trova la temperatura di questa stella in gradi Kelvin.
Dove è chiaro? Sì, la condizione dice cosa è uguale a cosa. In precedenza, consigliavo di sostituire immediatamente tutte le incognite, ma qui è meglio esprimere prima l'incognita ricercata. Guarda com'è semplice tutto: c'è una formula e sono conosciuti in essa, e (questa è la lettera greca "sigma". In generale, i fisici amano le lettere greche, ci si abitua). La temperatura è sconosciuta. Esprimiamolo sotto forma di una formula. Come si fa, spero che tu lo sappia? Tali incarichi per il GIA nel grado 9 di solito danno:
Ora resta da sostituire i numeri al posto delle lettere sul lato destro e semplificare:
Ecco la risposta: gradi Kelvin! E che compito terribile è stato!
Continuiamo a tormentare i problemi di fisica.
Compito 4
L'altezza da terra di una palla lanciata cambia secondo la legge, dove è l'altezza in metri, è il tempo in secondi che è trascorso dal lancio. Quanti secondi sarà la palla ad un'altezza di almeno tre metri?
Quelle erano tutte le equazioni, ma qui è necessario determinare quanto fosse la palla ad un'altezza di almeno tre metri, il che significa ad un'altezza. Cosa faremo? Disuguaglianza, sì! Abbiamo una funzione che descrive come vola la palla, dove è esattamente la stessa altezza in metri, abbiamo bisogno dell'altezza. Significa
E ora risolvi semplicemente la disuguaglianza, soprattutto, non dimenticare di cambiare il segno di disuguaglianza da più o uguale a minore o uguale quando moltiplichi per entrambe le parti della disuguaglianza per eliminare il meno davanti.
Ecco le radici, costruiamo intervalli per la disuguaglianza:
Siamo interessati all'intervallo in cui il segno è meno, poiché la disuguaglianza assume valori negativi lì, da entrambi inclusi. E ora accendiamo il cervello e pensiamo attentamente: per la disuguaglianza, abbiamo usato un'equazione che descrive il volo della palla, in qualche modo vola lungo una parabola, ad es. decolla, raggiunge una vetta e cade, come capire quanto durerà ad un'altezza di almeno metri? Abbiamo trovato 2 punti di svolta, ovvero il momento in cui si libra sopra i metri e il momento in cui raggiunge la stessa boa cadendo, questi due punti sono espressi nella nostra forma sotto forma di tempo, cioè sappiamo in quale secondo del volo è entrato nella zona di nostro interesse (sopra i metri) e in cui è uscito (è sceso sotto il metro). Quanti secondi era in questa zona? È logico che prendiamo il tempo di uscita dalla zona e sottraiamo da esso il tempo di ingresso in questa zona. Di conseguenza: - tanto era nella zona sopra i metri, questa è la risposta.
Sei così fortunato che la maggior parte degli esempi su questo argomento possono essere presi dalla categoria dei problemi di fisica, quindi prendine un altro, è l'ultimo, quindi spingiti, è rimasto davvero poco!
Compito 5
Per un elemento riscaldante di un determinato dispositivo, è stata ottenuta sperimentalmente la dipendenza della temperatura dal tempo di funzionamento:
Dov'è il tempo in minuti. È noto che a una temperatura dell'elemento riscaldante sopra il dispositivo potrebbe deteriorarsi, quindi deve essere spento. Trova attraverso quale il periodo più lungo dopo aver iniziato il lavoro, spegnere il dispositivo. Esprimi la tua risposta in pochi minuti.
Agiamo secondo uno schema consolidato, tutto ciò che viene dato, scriviamo prima:
Ora prendiamo la formula e la eguagliamo al valore di temperatura a cui il dispositivo può essere riscaldato il più possibile fino a bruciarlo, ovvero:
Ora sostituiamo i numeri al posto delle lettere dove sono noti:
Come puoi vedere, viene descritta la temperatura durante il funzionamento del dispositivo equazione quadrata, il che significa che è distribuito lungo una parabola, cioè il dispositivo si riscalda fino a una certa temperatura, quindi si raffredda. Abbiamo ricevuto risposte e, quindi, durante e durante i minuti di riscaldamento, la temperatura è critica, ma tra un minuto e l'altro è anche superiore al limite!
Quindi, è necessario spegnere il dispositivo dopo un minuto.
MODELLI MATEMATICI. IN BREVE SUL PRINCIPALE
Molto spesso, i modelli matematici sono usati in fisica: dopotutto, probabilmente hai dovuto memorizzare dozzine di formule fisiche. E la formula è la rappresentazione matematica della situazione.
Nell'OGE e nell'Esame di Stato unificato ci sono compiti proprio su questo argomento. In USE (profilo) questa è l'attività numero 11 (ex B12). Nell'OGE - compito numero 20.
Lo schema risolutivo è ovvio:
1) Dal testo della condizione, è necessario "isolare" informazioni utili - ciò che scriviamo in problemi di fisica sotto la parola "Dato". Queste informazioni utili sono:
- Formula
- Grandezze fisiche note.
Cioè, a ogni lettera della formula deve essere assegnato un certo numero.
2) Prendi tutte le quantità conosciute e sostituiscile nella formula. Il valore sconosciuto rimane come una lettera. Ora devi solo risolvere l'equazione (di solito abbastanza semplice) e la risposta è pronta.
Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.
Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se hai letto fino alla fine, allora sei nel 5%!
Ora la cosa più importante.
Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, è... è semplicemente super! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.
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Istruzione
Il metodo di modellazione statistica (test statistici) è comunemente noto come metodo "Monte Carlo". Questo metodo è un caso speciale di modellazione matematica e si basa sulla creazione di modelli probabilistici di fenomeni casuali. La base di qualsiasi casuale è una variabile casuale o un processo casuale. In questo caso, un processo casuale da un punto di vista probabilistico è descritto come una variabile casuale n-dimensionale. La probabilità totale di una variabile casuale dà la sua densità di probabilità. La conoscenza di questa legge di distribuzione consente di ottenere modelli digitali di processi casuali su un computer, non esperimenti su larga scala con essi. Tutto questo è possibile solo in forma discreta e in tempi discreti, di cui bisogna tener conto quando si creano modelli statici.
Nella modellazione statica, ci si dovrebbe allontanare dal considerare un fenomeno specifico, concentrandosi solo sulle sue caratteristiche probabilistiche. Ciò consente di utilizzare per modellare i fenomeni più semplici che hanno indicatori probabilistici con il fenomeno simulato. Ad esempio, qualsiasi evento che si verifica con una probabilità di 0,5 può essere simulato semplicemente lanciando una moneta simmetrica. Ogni singola fase della modellazione statistica è chiamata lotteria. Quindi, per determinare la stima dell'aspettativa matematica, saranno necessari N estrazioni di una variabile casuale (CV) X.
Lo strumento principale per la modellazione al computer sono i sensori di numeri casuali uniformi sull'intervallo (0, 1). Quindi, nell'ambiente Pascal, un tale numero casuale viene chiamato usando il comando Casuale. Sulle calcolatrici, per questo caso è previsto il pulsante RND. Ci sono anche tabelle di tali numeri casuali (fino a 1.000.000 di dimensione). Il valore dell'uniforme su (0, 1) SW Z è indicato con z.
Si consideri una tecnica per modellare una variabile casuale arbitraria utilizzando una trasformazione non lineare della funzione di distribuzione. Questo metodo non ha errori metodologici. Sia data la legge di distribuzione di SW X continuo dalla densità di probabilità W(x). Da qui, inizia a prepararti per la simulazione e la sua implementazione.
Trova la funzione di distribuzione X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Prendi Z=z e risolvi l'equazione z=F(x) rispetto a x (questo è sempre possibile poiché sia Z che F(x) vanno da zero a uno). Scrivi la soluzione x=F^(-1) (z). Questo è l'algoritmo di modellazione. F^(-1) è l'inverso di F. Resta solo da ottenere costantemente i valori xi del modello digitale X* CD X usando questo algoritmo.
Esempio. SW è dato dalla densità di probabilità W(x)=λexp(-λx), x≥0 (distribuzione esponenziale). Trova un modello digitale Soluzione.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1-exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Poiché sia z che 1-z hanno valori nell'intervallo (0, 1) e sono uniformi, allora (1-z) può essere sostituito da z. 3. La procedura per modellare il SW esponenziale viene eseguita secondo la formula x=(-1/λ)∙lnz. Più precisamente, xi=(-1/λ)ln(zi).
Secondo il libro di testo di Sovetov e Yakovlev: "un modello (modulo latino - misura) è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, che fornisce lo studio di alcune proprietà dell'originale". (p. 6) "La sostituzione di un oggetto con un altro per ottenere informazioni sulle proprietà più importanti dell'oggetto originale con l'aiuto di un oggetto modello è chiamata modellazione." (p. 6) “Sotto la modellazione matematica comprenderemo il processo per stabilire la corrispondenza a un dato oggetto reale di un oggetto matematico, chiamato modello matematico, e lo studio di questo modello, che permette di ottenere le caratteristiche dell'oggetto reale in esame . Il tipo di modello matematico dipende sia dalla natura dell'oggetto reale che dai compiti di studio dell'oggetto e dall'affidabilità e precisione richieste per risolvere questo problema.
Infine, la definizione più sintetica di un modello matematico: "Un'equazione che esprime l'idea».
Classificazione del modello
Classificazione formale dei modelli
La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruito sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno dei popolari insiemi di dicotomie è:
e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico, ... Naturalmente sono possibili anche tipi misti: concentrati in un aspetto (in termini di parametri), modelli distribuiti in un altro, ecc.
Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato
Insieme alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano l'oggetto:
- Modelli strutturali o funzionali
Modelli strutturali rappresentare un oggetto come un sistema con un proprio dispositivo e meccanismo di funzionamento. modelli funzionali non utilizzare tali rappresentazioni e riflettere solo il comportamento (funzionamento) percepito esternamente dell'oggetto. Nella loro estrema espressione, vengono anche chiamati modelli “black box”. Sono anche possibili tipi combinati di modelli, a volte indicati come "modelli" scatola grigia».
Contenuto e modelli formali
Quasi tutti gli autori che descrivono il processo di modellazione matematica indicano che prima viene costruita una speciale costruzione ideale, modello di contenuto. Non esiste una terminologia consolidata qui, e altri autori chiamano questo oggetto ideale modello concettuale , modello speculativo o premodello. In questo caso viene chiamata la costruzione matematica finale modello formale o semplicemente un modello matematico ottenuto a seguito della formalizzazione di questo modello di contenuto (pre-modello). La costruzione di un modello significativo può essere effettuata utilizzando un insieme di idealizzazioni già pronte, come in meccanica, dove molle ideali, corpi rigidi, pendoli ideali, mezzi elastici, ecc. danno un ready-made elementi strutturali per una modellazione significativa. Tuttavia, nelle aree della conoscenza in cui non esistono teorie formalizzate completamente completate (l'avanguardia della fisica, della biologia, dell'economia, della sociologia, della psicologia e della maggior parte degli altri campi), la creazione di modelli significativi è drammaticamente più complicata.
Classificazione significativa dei modelli
Nessuna ipotesi scientifica può essere provata una volta per tutte. Richard Feynman lo ha detto molto chiaramente:
“Abbiamo sempre la capacità di smentire una teoria, ma nota che non possiamo mai dimostrare che è corretta. Supponiamo di avanzare un'ipotesi di successo, calcolare dove porta e scoprire che tutte le sue conseguenze sono confermate sperimentalmente. Questo significa che la tua teoria è corretta? No, significa semplicemente che non sei riuscito a confutarlo.
Se viene costruito un modello del primo tipo, significa che viene temporaneamente riconosciuto come vero e ci si può concentrare su altri problemi. Tuttavia, questo non può essere un punto di ricerca, ma solo una pausa temporanea: lo stato del modello del primo tipo può essere solo temporaneo.
Tipo 2: Modello fenomenologico (comportarsi come se…)
Il modello fenomenologico contiene un meccanismo per descrivere il fenomeno. Tuttavia, questo meccanismo non è abbastanza convincente, non può essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non concorda bene con le teorie disponibili e le conoscenze accumulate sull'oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta ed è necessario continuare la ricerca dei "veri meccanismi". Peierls riferisce, ad esempio, al secondo tipo il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari.
Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo, può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo stato di ipotesi. Allo stesso modo, nuove conoscenze possono entrare gradualmente in conflitto con modelli-ipotesi del primo tipo, e possono essere trasferite al secondo. Pertanto, il modello dei quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; l'atomismo in fisica è nato come una soluzione temporanea, ma con il corso della storia è passato al primo tipo. Ma i modelli eterici sono passati dal tipo 1 al tipo 2 e ora sono al di fuori della scienza.
L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione è un'altra. Peierls distingue tre tipi di semplificazioni nella modellazione.
Tipo 3: Approssimazione (qualcosa è considerato molto grande o molto piccolo)
Se è possibile costruire equazioni che descrivano il sistema in esame, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'ausilio di un computer. Una tecnica comune in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. L'esempio standard è la legge di Ohm.
Ed ecco il tipo 8, ampiamente utilizzato nei modelli matematici dei sistemi biologici.
Tipo 8: Dimostrazione di possibilità (la cosa principale è mostrare la coerenza interna della possibilità)
Anche questi sono esperimenti mentali. con entità immaginarie che lo dimostrano presunto fenomeno coerenti con i principi di base e internamente coerenti. Questa è la principale differenza rispetto ai modelli di tipo 7, che rivelano contraddizioni nascoste.
Uno dei più famosi di questi esperimenti è la geometria di Lobachevsky (Lobachevsky la chiamava "geometria immaginaria"). Un altro esempio è la produzione di massa di modelli formalmente cinetici di oscillazioni chimiche e biologiche, onde automatiche, ecc. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen è stato concepito come un modello di tipo 7 per dimostrare l'incoerenza della meccanica quantistica. In un modo completamente non pianificato, alla fine si è trasformato in un modello di tipo 8, una dimostrazione della possibilità del teletrasporto quantistico delle informazioni.
Esempio
Consideriamo un sistema meccanico costituito da una molla fissata ad un'estremità e un carico con una massa fissata all'estremità libera della molla. Assumeremo che il carico possa muoversi solo nella direzione dell'asse della molla (ad esempio, il movimento avviene lungo l'asta). Costruiamo un modello matematico di questo sistema. Descriveremo lo stato del sistema in base alla distanza dal centro del carico alla sua posizione di equilibrio. Descriviamo l'interazione tra una molla e un carico utilizzando La legge di Hooke() dopo di che usiamo la seconda legge di Newton per esprimerla sotto forma di un'equazione differenziale:
dove indica la derivata seconda di rispetto al tempo: .
L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".
Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza di forze esterne, sull'assenza di attrito, sulla piccolezza delle deviazioni, ecc.), Che in realtà potrebbero non essere soddisfatte.
In relazione alla realtà, questo è spesso un modello di tipo 4. semplificazione("omettiamo alcuni dettagli per chiarezza"), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio la dissipazione) vengono omesse. In qualche approssimazione (diciamo, fintanto che lo scostamento del carico dall'equilibrio è piccolo, con poco attrito, per un tempo non troppo lungo e soggetto a determinate altre condizioni), un tale modello descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale, poiché il i fattori scartati hanno un effetto trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con una portata più ampia (anche se ancora limitata).
Tuttavia, quando il modello viene perfezionato, la complessità del suo studio matematico può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso, un modello più semplice consente di esplorare meglio e più a fondo il sistema reale rispetto a uno più complesso (e, formalmente, "più corretto").
Se applichiamo il modello dell'oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo stato significativo potrebbe essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere attribuito al tipo 6 analogia(“Prendiamo in considerazione solo alcune caratteristiche”).
Modelli duri e morbidi
L'oscillatore armonico è un esempio di un cosiddetto modello "duro". È ottenuto come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Per risolvere il problema della sua applicabilità, è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. In altre parole, occorre indagare il modello "soft", che si ottiene con una piccola perturbazione di quello "duro". Può essere data, ad esempio, dalla seguente equazione:
Ecco - qualche funzione, che può tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidità della molla dal grado del suo allungamento - qualche piccolo parametro. La forma esplicita della funzione non ci interessa al momento. Se dimostriamo che il comportamento di un modello soft non differisce fondamentalmente dal comportamento di uno hard (a prescindere dalla forma esplicita dei fattori perturbatori, se sono sufficientemente piccoli), il problema si riduce allo studio del modello hard. Diversamente, l'applicazione dei risultati ottenuti nello studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche. Ad esempio, la soluzione dell'equazione di un oscillatore armonico sono funzioni della forma , cioè oscillazioni con ampiezza costante. Ne consegue che un vero oscillatore oscillerà indefinitamente con un'ampiezza costante? No, perché considerando un sistema con un attrito arbitrariamente piccolo (sempre presente in un sistema reale), si ottengono oscillazioni smorzate. Il comportamento del sistema è cambiato qualitativamente.
Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo sotto una piccola perturbazione, si dice strutturalmente stabile. L'oscillatore armonico è un esempio di un sistema strutturalmente instabile (non grezzo). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare i processi su intervalli di tempo limitati.
Universalità dei modelli
I modelli matematici più importanti di solito hanno proprietà importante universalità: fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni di un pendolo, fluttuazioni del livello del liquido in un recipiente a forma di variazione della forza di corrente in un circuito oscillatorio. Quindi, studiando un modello matematico, studiamo subito un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo di leggi espresso da modelli matematici in vari segmenti conoscenza scientifica, l'impresa di Ludwig von Bertalanffy di creare la "Teoria generale dei sistemi".
Problemi diretti e inversi di modellistica matematica
Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. In primo luogo, è necessario elaborare lo schema di base dell'oggetto modellato, per riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Quindi, un vagone si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi realizzati con materiali diversi, ogni materiale è dato come sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopodiché vengono redatte, lungo il percorso, le equazioni alcuni dettagli vengono scartati in quanto insignificanti, si fanno i calcoli, si confrontano le misurazioni, si raffina il modello e così via. Tuttavia, per lo sviluppo di tecnologie di modellazione matematica, è utile disassemblare questo processo nei suoi principali elementi costitutivi.
Tradizionalmente, ci sono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.
Problema diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è studiare il modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico può sopportare il ponte? Come reagirà a un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno a velocità diverse), come l'aereo supererà la barriera del suono, se si sfalderà per svolazzare - questi sono esempi tipici di un compito diretto. L'impostazione del problema diretto corretto (porre la domanda corretta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, il ponte può crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, un ponte di metallo sul fiume Tey crollò in Gran Bretagna, i progettisti del quale costruirono un modello di ponte, lo calcolarono per un margine di sicurezza di 20 volte per il carico utile, ma dimenticarono i venti che soffiavano costantemente in quei luoghi . E dopo un anno e mezzo è crollato.
Nel caso più semplice (un'equazione dell'oscillatore, per esempio), il problema diretto è molto semplice e si riduce a una soluzione esplicita di questa equazione.
Problema inverso: sono noti molti modelli possibili, è necessario scegliere un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Molto spesso, la struttura del modello è nota ed è necessario determinare alcuni parametri sconosciuti. Informazioni aggiuntive può consistere in dati empirici aggiuntivi, o nei requisiti per l'oggetto ( compito di progettazione). Ulteriori dati possono venire indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato durante la soluzione ( sorveglianza attiva).
Uno dei primi esempi di una soluzione virtuosa di un problema inverso con l'uso più completo possibile dei dati disponibili è stato il metodo costruito da I. Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.
Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è lo sviluppo di metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Quelli. l'insieme dei possibili modelli è limitato da modelli probabilistici. In problemi specifici, l'insieme dei modelli è più limitato.
Sistemi di simulazione al computer
Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi matematici informatici, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante simulazione. Modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi (il più delle volte grafici), il cui insieme e collegamento sono specificati dal diagramma del modello.
Ulteriori esempi
modello Malthus
Il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione. È descritto dall'equazione differenziale
dove è un certo parametro determinato dalla differenza tra il tasso di natalità e il tasso di mortalità. La soluzione di questa equazione è una funzione esponenziale. Se il tasso di natalità supera il tasso di mortalità (), la dimensione della popolazione aumenta indefinitamente e molto rapidamente. È chiaro che in realtà ciò non può avvenire a causa delle risorse limitate. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere il modello logistico, descritto dall'equazione differenziale di Verhulst
dove è la dimensione della popolazione "di equilibrio", alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in un tale modello tende al valore di equilibrio e questo comportamento è strutturalmente stabile.
sistema predatore-preda
Diciamo che in una determinata zona vivono due tipi di animali: i conigli (che si nutrono di piante) e le volpi (che si nutrono di conigli). Sia il numero dei conigli, il numero delle volpi. Utilizzando il modello Malthus con le dovute correzioni, tenendo conto del consumo di conigli da parte delle volpi, si arriva al seguente sistema, che porta il nome modelli a vassoio - Volterra:
Questo sistema ha uno stato di equilibrio in cui il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato porta a fluttuazioni nel numero di conigli e volpi, simili alle fluttuazioni dell'oscillatore armonico. Come nel caso dell'oscillatore armonico, questo comportamento non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nel modello (tenendo ad esempio conto delle limitate risorse necessarie ai conigli) può portare ad un cambiamento qualitativo nel comportamento. Ad esempio, lo stato di equilibrio può diventare stabile e le fluttuazioni della popolazione svaniranno. È possibile anche la situazione opposta, quando qualsiasi piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Alla domanda su quale di questi scenari si realizzi, il modello Volterra-Lotka non dà risposta: qui sono necessarie ulteriori ricerche.
Appunti
- "Una rappresentazione matematica della realtà" (Enciclopedia Britanica)
- Novik I.B., Sulle questioni filosofiche della modellazione cibernetica. M., La conoscenza, 1964.
- Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., rivista. e aggiuntivo - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
- Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Modellazione matematica. Idee. Metodi. Esempi. - 2a ed., corretta. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
- Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
- Sevostyanov, A.G. Modellazione dei processi tecnologici: libro di testo / A.G. Sevostyanov, PA Sevostyanov. - M.: Facile e industria alimentare, 1984. - 344 pag.
- Wikizionario: modelli matematici
- CliffsNotes.com. Glossario di Scienze della Terra. 20 settembre 2010
- Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
- “Una teoria è considerata lineare o non lineare, a seconda di quale - lineare o non lineare - apparato matematico, quali - lineari o non lineari - modelli matematici utilizza. ...senza negare quest'ultimo. Un fisico moderno, se gli capitasse di ridefinire un'entità così importante come non linearità, molto probabilmente agirebbe in modo diverso e, preferendo la non linearità come il più importante e comune dei due opposti, definirebbe la linearità come "non-non- linearità". Danilov Yu. A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Synergetics: dal passato alla serie futura. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 pag. ISBN 5-484-00183-8
- “I sistemi dinamici modellati da un numero finito di equazioni differenziali ordinarie sono chiamati sistemi concentrati o puntiformi. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Uno stesso sistema in condizioni diverse può essere considerato concentrato o distribuito. I modelli matematici dei sistemi distribuiti sono equazioni alle derivate parziali, equazioni integrali o equazioni di ritardo ordinarie. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e sono necessari un numero infinito di dati per determinarne lo stato. Anishchenko VS, Sistemi dinamici, Soros Educational Journal, 1997, n. 11, p. 77-84.
- “A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continuo. La modellazione deterministica mostra processi deterministici, cioè processi in cui si presume l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica mostra processi ed eventi probabilistici. … La modellazione statica viene utilizzata per descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento, mentre la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta serve a descrivere i processi che si presume siano discreti, rispettivamente la modellazione continua consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione continua discreta viene utilizzata per i casi in cui si desidera evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A. ISBN 5-06-003860-2
- Solitamente, il modello matematico riflette la struttura (dispositivo) dell'oggetto modellato, le proprietà e le interconnessioni dei componenti di tale oggetto che sono essenziali ai fini dello studio; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo come funziona l'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, viene chiamato funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
- “Ovvio, ma la fase iniziale più importante della costruzione o della scelta di un modello matematico è ottenere l'idea più chiara possibile dell'oggetto modellato e perfezionarne il modello di contenuto sulla base di discussioni informali. Tempo e sforzi non dovrebbero essere risparmiati in questa fase; il successo dell'intero studio dipende in gran parte da questo. Più di una volta è successo che una notevole quantità di lavoro è stata spesa per risolvere problema matematico, si è rivelato inefficace o addirittura sprecato a causa della scarsa attenzione a questo aspetto della questione. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
- « Descrizione del modello concettuale del sistema. In questa sottofase di costruzione di un modello di sistema: a) il modello concettuale M è descritto in termini e concetti astratti; b) viene fornita una descrizione del modello utilizzando schemi matematici tipici; c) le ipotesi e le ipotesi sono definitivamente accettate; d) è motivata la scelta di una procedura per approssimare i processi reali nella costruzione di un modello. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., rivista. e aggiuntivo - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pag. 93.
- Blekhman I. I., Myshkis AD,