Geometria
Come dimostrare i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli. Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli. Cosa abbiamo imparato

Come dimostrare i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli. Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli. Cosa abbiamo imparato

Ricordiamo dal materiale della lezione precedente che un triangolo rettangolo è detto triangolo se ha almeno uno degli angoli della retta (cioè uguale a 90°).

Ritenere primo segno uguaglianza triangolare: se due gambe di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali a due gambe di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Illustriamo questo caso:

Riso. 1. Triangoli retti uguali

Prova:

Richiama la prima uguaglianza dei triangoli arbitrari.

Riso. 2

Se due lati e l'angolo tra loro di un triangolo e i due lati corrispondenti e l'angolo tra loro del secondo triangolo sono uguali, allora questi triangoli sono congruenti. Lo afferma il primo segno di uguaglianza dei triangoli, cioè:

Segue una dimostrazione simile per i triangoli rettangoli:

I triangoli sono uguali nel primo segno.

Consideriamo il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli. Se la gamba e l'angolo acuto ad essa adiacente di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'angolo acuto adiacente di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Riso. 3

Prova:

Riso. quattro

Usiamo il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli:

Una dimostrazione simile per i triangoli rettangoli:

I triangoli sono uguali nel secondo criterio.

Consideriamo il terzo criterio per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli: se l'ipotenusa e l'angolo ad essa adiacente di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e all'angolo adiacente ad un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Prova:

Riso. 5

Ricordiamo il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli:

Riso. 6

Questi triangoli sono congruenti se:

Poiché è noto che una coppia di angoli acuti nei triangoli rettangoli è uguale a (∠А = ∠А 1), l'uguaglianza dell'altra coppia di angoli (∠B = ∠B 1) si dimostra come segue:

Poiché AB \u003d A 1 B 1 (per condizione), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Pertanto, i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono uguali nel secondo segno.

Considera il seguente criterio per l'uguaglianza dei triangoli:

Se la gamba e l'ipotenusa di un triangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'ipotenusa di un altro triangolo, tali triangoli rettangoli sono congruenti.

Riso. 7

Prova:

Sovrapponiamo i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1. Supponiamo che i vertici A e A 1 , così come C e C 1 si sovrappongano, ma il vertice B e il punto B 1 non corrispondano. Questo caso è mostrato nella figura seguente:

Riso. otto

In questo caso, possiamo vedere triangolo isosceleАВВ 1 (per definizione - secondo la condizione АВ = АВ 1). Pertanto, per proprietà, ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Considera la definizione di un angolo esterno. angolo esterno triangolo è l'angolo adiacente a qualsiasi angolo del triangolo. La sua misura dei gradi è uguale alla somma dei due angoli di un triangolo che non sono adiacenti ad esso. La figura mostra questo rapporto:

Riso. 9

L'angolo 5 è l'angolo esterno del triangolo ed è uguale a ∠5 = ∠1 + ∠2. Ne consegue che l'angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli che non sono adiacenti ad esso.

Quindi, ∠ABB 1 è un angolo esterno per il triangolo ABC ed è uguale alla somma ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Quindi, ∠AB 1 B (che è un angolo acuto in triangolo rettangolo ABB 1) non può essere uguale all'angolo ∠ABB 1, poiché tale angolo è ottuso come dimostrato.

Ciò significa che la nostra ipotesi sulla posizione dei punti B e B 1 si è rivelata errata, quindi questi punti coincidono. Ciò significa che i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono sovrapposti. Pertanto, sono uguali (per definizione).

Pertanto, queste funzionalità non vengono introdotte invano, perché possono essere utilizzate per risolvere alcuni problemi.

Omsk Università Statale ().
Portale di riferimento calc.ru ().
Portale insegnanti ().

1. No. 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., a cura di Sadovnichiy V.A. Geometry 7. M .: Istruzione. 2010

2. In base ai dati mostrati in figura, indicare eventuali triangoli uguali.

3. In base ai dati mostrati in figura, indicare i triangoli uguali, se presenti. Tieni presente che AC = AF.

4. In un triangolo rettangolo, la mediana e l'altezza sono disegnate sull'ipotenusa. L'angolo tra loro è di 20°. Determina la dimensione di ciascuno degli angoli acuti del triangolo rettangolo dato.

Ricordiamo dal materiale della lezione precedente che un triangolo rettangolo è detto triangolo se ha almeno uno degli angoli della retta (cioè uguale a 90°).

Illustriamo questo caso:

Riso. 1. Triangoli retti uguali

Prova:

Richiama la prima uguaglianza dei triangoli arbitrari.

Riso. 2

Segue una dimostrazione simile per i triangoli rettangoli:

I triangoli sono uguali nel primo segno.

Riso. 3

Prova:

Riso. quattro

Usiamo il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli:

Una dimostrazione simile per i triangoli rettangoli:

I triangoli sono uguali nel secondo criterio.

Prova:

Riso. 5

Ricordiamo il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli:

Riso. 6

Questi triangoli sono congruenti se:

Poiché è noto che una coppia di angoli acuti nei triangoli rettangoli è uguale a (∠А = ∠А 1), l'uguaglianza dell'altra coppia di angoli (∠B = ∠B 1) si dimostra come segue:

Poiché AB \u003d A 1 B 1 (per condizione), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Pertanto, i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono uguali nel secondo segno.

Considera il seguente criterio per l'uguaglianza dei triangoli:

Se la gamba e l'ipotenusa di un triangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'ipotenusa di un altro triangolo, tali triangoli rettangoli sono congruenti.

Riso. 7

Prova:

Riso. otto

In questo caso, possiamo notare un triangolo isoscele ABB 1 (per definizione - dalla condizione AB = AB 1). Pertanto, per proprietà, ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Considera la definizione di un angolo esterno. angolo esterno triangolo è l'angolo adiacente a qualsiasi angolo del triangolo. La sua misura dei gradi è uguale alla somma dei due angoli di un triangolo che non sono adiacenti ad esso. La figura mostra questo rapporto:

Riso. 9

L'angolo 5 è l'angolo esterno del triangolo ed è uguale a ∠5 = ∠1 + ∠2. Ne consegue che l'angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli che non sono adiacenti ad esso.

Quindi, ∠ABB 1 è un angolo esterno per il triangolo ABC ed è uguale alla somma ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Quindi, ∠AB 1 B (che è un angolo acuto in un triangolo rettangolo ABB 1) non può essere uguale all'angolo ∠ABB 1, perché questo angolo è ottuso come dimostrato.

Pertanto, queste funzionalità non vengono introdotte invano, perché possono essere utilizzate per risolvere alcuni problemi.

Università statale di Omsk ().
Portale di riferimento calc.ru ().
Portale insegnanti ().

1. No. 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., a cura di Sadovnichiy V.A. Geometry 7. M .: Istruzione. 2010

2. In base ai dati mostrati in figura, indicare eventuali triangoli uguali.

3. In base ai dati mostrati in figura, indicare i triangoli uguali, se presenti. Tieni presente che AC = AF.

In realtà, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma proprio non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

E l'angolo? C'è una gamba che è opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!

Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Ovviamente il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente e

E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è fantastico:

Passiamo ora a tangente e cotangente.

Come metterlo in parole ora? Qual è la gamba rispetto all'angolo? Di fronte, ovviamente - "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Allora cosa abbiamo ottenuto?

Vedi come si invertono numeratore e denominatore?

E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:

Riepilogo

Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ti ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema sia vero. Come lo proveresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Vedi come abbiamo abilmente diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.

Qual è l'area del quadrato più grande?

Correttamente, .

E l'area più piccola?

Certo, .

Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno all'altro con le ipotenuse.

Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Trasformiamo:

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Seno di un angolo acuto è uguale al rapporto gamba opposta all'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due gambe

II. Per gamba e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e angolo acuto

un)

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscano dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli?

Guarda l'argomento "e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari" è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro, o tre lati.

Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza di triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

I. Angolo acuto

II. Su due gambe

III. Per gamba e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Considera un intero rettangolo invece di un triangolo rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Così è successo

- mediana:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che bene si può ricavare dal fatto che la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma in un triangolo c'è un solo punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO DEscritto. Allora, cos'è successo?

Allora cominciamo con questo "inoltre...".

Diamo un'occhiata a i.

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Che utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo i rapporti delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Bene, ora, applicando e combinando queste conoscenze con altre, risolverai qualsiasi problema con un triangolo rettangolo!

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa accadrà ora?

Di nuovo risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

Entrambe queste formule vanno ricordate molto bene e quella più comoda da applicare.

Scriviamoli di nuovo.

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

su due gambe:
lungo la gamba e l'ipotenusa: o
lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

uno spigolo acuto: o
dalla proporzionalità delle due gambe:
dalla proporzionalità della gamba e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:
Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:
La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:
La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:.

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale a metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

attraverso i cateteri:

1. I primi due segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli.

Perché due triangoli siano uguali, è sufficiente che tre elementi di un triangolo siano uguali agli elementi corrispondenti dell'altro triangolo, e almeno un lato deve essere compreso nel numero di questi elementi.

Poiché tutti gli angoli retti sono uguali tra loro, i triangoli rettangoli hanno già un elemento uguale, ovvero un angolo retto.

Ne consegue che i triangoli rettangoli sono uguali:

se le gambe di un triangolo sono rispettivamente uguali alle gambe di un altro triangolo (Fig. 153);

se la gamba e l'angolo acuto adiacente di un triangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'angolo acuto adiacente di un altro triangolo (Fig. 154).

Dimostriamo ora due teoremi che stabiliscono altri due criteri per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli.

Teoremi sui segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

Teorema 1. Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli rettangoli sono congruenti.

Per dimostrare questo teorema, costruiamo due archi rettangolari ABC e A'B'C', in cui gli angoli A e A' sono uguali, anche le ipotenuse AB e A'B' sono uguali e gli angoli C e C' sono uguali a destra (fig. 157) .

Imponiamo il triangolo A'B'C'al triangolo ABC in modo che il vertice A' coincida con il vertice A, l'ipotenusa A'B' coincida con l'uguale ipotenusa AB. Quindi, per l'uguaglianza degli angoli A e A', la gamba A'C' andrà lungo la gamba AC; la gamba B'C' sarà allineata alla gamba BC: entrambe sono perpendicolari tracciate ad una retta AC da un punto B. Ciò significa che i vertici C e C' saranno allineati.

Il triangolo ABC è allineato con il triangolo A'B'C'.

Pertanto, \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.

Questo teorema fornisce il 3° criterio per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli (per ipotenusa e angolo acuto).

Teorema 2. Se l'ipotenusa e la gamba di un triangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e alla gamba di un altro triangolo, allora tali triangoli rettangoli sono congruenti.

Per dimostrarlo, costruiamo due triangoli rettangoli ABC e A'B'C', in cui gli angoli C e C' sono diritti, le gambe AC e A'C' sono uguali, le ipotenuse AB e A'B' sono anche uguali (Fig. 158) .

Tracciamo una linea MN e segniamo su di essa un punto C, da questo punto tracciamo una SC perpendicolare alla linea MN. Quindi imponiamo l'angolo retto del triangolo ABC all'angolo retto KSM in modo che i loro vertici siano allineati e la gamba AC vada lungo il raggio SK, quindi la gamba BC vada lungo il raggio CM. Mettiamo l'angolo retto del triangolo A'B'C' sull'angolo retto KCN in modo che i loro vertici siano allineati e la gamba A'C' vada lungo il raggio SK, quindi la gamba C'B' vada lungo il raggio CN . I vertici A e A' coincideranno per l'uguaglianza delle gambe AC e A'C'.

I triangoli ABC e A'B'C' formeranno insieme un triangolo isoscele BAB', in cui AC sarà l'altezza e la bisettrice, e quindi l'asse di simmetria del triangolo BAB'. Ne consegue che \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.

Questo teorema fornisce il 4° criterio per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli (lungo l'ipotenusa e la gamba).

Quindi, tutti i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

1. Se due gambe di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali a due gambe di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli rettangoli sono uguali
2. Se la gamba e l'angolo acuto ad essa adiacente di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e l'angolo acuto ad essa adiacente di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli rettangoli sono uguali
3. Se la gamba e l'angolo acuto opposto di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'angolo acuto opposto di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli rettangoli sono uguali
4. Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli rettangoli sono uguali
5. Se la gamba e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'ipotenusa di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli rettangoli sono uguali

Per stabilire l'uguaglianza dei triangoli rettangoli, basta sapere che due elementi di un triangolo sono rispettivamente uguali a due elementi di un altro triangolo (escluso l'angolo retto). Questo, ovviamente, non si estende all'uguaglianza di due angoli di un triangolo con due angoli di un altro triangolo.

Poiché in un triangolo rettangolo l'angolo tra due gambe è una retta e due angoli retti qualsiasi sono uguali, dal primo criterio per l'uguaglianza dei triangoli segue:

Se le gambe di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali alle gambe di un altro, allora tali triangoli sono uguali (Figura 5).

Se la gamba e l'angolo acuto ad essa adiacente di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali alla gamba e all'angolo adiacente di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 6).

Considera altri due segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli.

TEOREMA . Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono uguali all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 7).

PROVA. Dalla proprietà 1є § segue che in tali triangoli anche gli altri due angoli acuti sono uguali, quindi i triangoli sono uguali secondo il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, cioè lungo il lato (ipotenusa) e due angoli adiacenti.

QED

TEOREMA . Se l'ipotenusa e la gamba di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e alla gamba di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

PROVA. Consideriamo i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 , i cui angoli C e C 1 sono retti, AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 (Fig. 8).

Perché< C = < C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина C совместится с вершиной C 1 , а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C 1 A 1 и C 1 B 1 , поскольку CB = C 1 B 1 , то вершина B совместится с вершиной B 1 . Но тогда вершины A и A 1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A 2 луча C 1 A 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании A 1 A 2 не равны (на рисунке < A 2 - острый, а < A 1 - тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A 1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A 1 B 1 C 1 , то есть они равны.

QED

teorema di Pitagora

Il suo significato sta nel fatto che la maggior parte dei teoremi della geometria possono essere dedotti da essa o con il suo aiuto. Uno dei teoremi permette di verificare che se ad essa si disegnano da un punto esterno alla retta una retta perpendicolare ed obliqua, allora: a) le rette oblique sono uguali se le loro proiezioni sono uguali; b) quello obliquo è maggiore, che ha una proiezione maggiore.

Il teorema di Pitagora fu la prima affermazione a mettere in relazione le lunghezze dei lati dei triangoli. Poi hanno imparato a trovare le lunghezze dei lati e gli angoli acuti e triangoli ottusi. Sorse un'intera scienza della trigonometria ("trigono" - in greco significa "triangolo"). Questa scienza ha trovato applicazione nel rilevamento del territorio. Ma anche prima, con il suo aiuto, hanno imparato a misurare triangoli immaginari nel cielo, le cui sommità erano stelle. Ora la trigonometria viene utilizzata anche per misurare le distanze tra i veicoli spaziali.

Utilizzando le proprietà delle aree dei poligoni, stabiliremo ora una relazione notevole tra l'ipotenusa e le gambe di un triangolo rettangolo. Il teorema che dimostreremo è chiamato teorema di Pitagora, che è il teorema più importante della geometria.

Dato un triangolo,

E ad angolo retto,

Questo è il quadrato dell'ipotenusa

Possiamo sempre trovare facilmente:

Costruiamo le gambe in un quadrato,

Troviamo la somma dei gradi

E in un modo così semplice

Verremo al risultato.

TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

PROVA. Si consideri un triangolo rettangolo con le gambe a, b e c (Fig. 9 a).

Dimostriamo che c 2 = a 2 + b 2 . Completeremo il triangolo in un quadrato di lato a + b, come mostrato in figura (Fig. 9 b).

L'area di un tale quadrato con lato a + b è (a + b) 2 . D'altra parte, questo quadrato è formato da quattro triangoli rettangoli uguali di area ab e un quadrato di lato c, quindi

Quindi, (a + b) 2 =2ab + c 2 , da cui c 2 = a 2 + b 2 .

QED

CONSEGUENZA 1 . In un triangolo rettangolo, una delle due gambe è minore dell'ipotenusa.

PROVA. Secondo il teorema di Pitagora, AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 . Poiché BC 2 >0, quindi AC 2<АВ, То есть АС<АВ.

CONSEGUENZA 2. Per qualsiasi angolo acuto b cosb<1.

EVIDENZA. Per definizione di coseno cosb = . Ma nel Corollario 1 è stato dimostrato che AC<АВ, quindi la frazione è minore di 1.

I triangoli rettangoli i cui lati sono interi sono detti triangoli pitagorici.

Si può dimostrare che le gambe a, b e l'ipotenusa c di tali triangoli sono espresse dalle formule a=2kmn; b \u003d k (m 2 -n 2); c=k(m 2 +n 2), dove k, m e n sono numeri naturali tali che m>n. I triangoli con i lati le cui lunghezze sono 3, 4, 5 sono chiamati triangoli egizi, perché erano conosciuti dagli antichi egizi.

Inverso al teorema di Pitagora.

Se il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, allora il triangolo è un triangolo rettangolo.

PROVA.

Sia nel triangolo ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 . Dimostriamo che l'angolo C è un angolo retto. Si consideri un triangolo rettangolo A 1 B 1 C 1 con angolo retto C 1 , dove A 1 C 1 = AC e B 1 C 1 = BC. Per il teorema di Pitagora A 1 B 1 2 =A 1 C 1 2 +B 1 C 1 2 , e quindi A 1 B 1 2 = AC 2 +BC 2 . Ma AC 2 + BC 2 = AB 2 per l'ipotesi del teorema. Quindi A 1 B 1 2 = AB 2 , donde A 1 B 1 = AB. I triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono uguali su tre lati, quindi< C = < C 1 , то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

QED