Soluzione della funzione y ax2 bx c. Come costruire una parabola? Cos'è una parabola? Come si risolvono le equazioni quadratiche? Compiti per soluzione indipendente
Presentazione e lezione sull'argomento:
"Grafico della funzione $y=ax^2+bx+c$. Proprietà"
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Ragazzi, nelle ultime lezioni abbiamo costruito un gran numero di grafici, tra cui molte parabole. Oggi riassumeremo le conoscenze acquisite e impareremo a costruire grafici di questa funzione nella forma più generale.
consideriamo trinomio quadrato$a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ sono detti coefficienti. Possono essere qualsiasi numero, ma $a≠0$. $a*x^2$ è chiamato termine principale, $a$ è chiamato coefficiente principale. Vale la pena notare che i coefficienti $b$ e $c$ possono essere uguali a zero, ovvero il trinomio sarà composto da due termini e il terzo è uguale a zero.
Consideriamo la funzione $y=a*x^2+b*x+c$. Questa funzione è detta "quadratica" perché la potenza più alta è la seconda, cioè un quadrato. I coefficienti sono gli stessi definiti sopra.
Nell'ultima lezione dell'ultimo esempio, abbiamo analizzato la costruzione di un grafico di una funzione simile.
Dimostriamo che qualsiasi funzione quadratica di questo tipo può essere ridotta alla forma: $y=a(x+l)^2+m$.
Il grafico di tale funzione viene costruito utilizzando un sistema di coordinate aggiuntivo. Nella grande matematica, i numeri sono piuttosto rari. Quasi tutti i problemi devono essere dimostrati nel caso più generale. Oggi analizzeremo una di queste prove. Ragazzi, potete vedere tutta la potenza dell'apparato matematico, ma anche la sua complessità.
Selezioniamo il quadrato intero dal trinomio quadrato:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Abbiamo ottenuto ciò che volevamo.
Qualsiasi funzione quadratica può essere rappresentata come:
$y=a(x+l)^2+m$, dove $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Per tracciare $y=a(x+l)^2+m$, devi tracciare la funzione $y=ax^2$. Inoltre, la parte superiore della parabola sarà nel punto di coordinate $(-l;m)$.
Quindi, la nostra funzione $y=a*x^2+b*x+c$ è una parabola.
L'asse della parabola sarà la retta $x=-\frac(b)(2a)$, e le coordinate del vertice della parabola lungo l'ascissa, come possiamo vedere, sono calcolate con la formula: $x_ (c)=-\frac(b)(2a) $.
Per calcolare la coordinata del vertice di una parabola lungo l'asse y, puoi:
- usa la formula: $y_(c)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
- sostituisci direttamente la coordinata $x$ del vertice nella funzione originale: $y_(c)=ax_(c)^2+b*x_(c)+c$.
Se vuoi descrivere alcune proprietà o rispondere ad alcune domande specifiche, non è sempre necessario tracciare una funzione. Le principali domande a cui è possibile rispondere senza costruzione saranno considerate nell'esempio seguente.
Esempio 1
Senza tracciare la funzione $y=4x^2-6x-3$, rispondi alle seguenti domande:
Soluzione.
a) L'asse della parabola è la retta $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4)$ .
b) Abbiamo trovato l'ascissa del vertice sopra $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Troviamo l'ordinata del vertice per sostituzione diretta nella funzione originale:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Il grafico della funzione richiesta sarà ottenuto per trasferimento parallelo del grafico $y=4x^2$. I suoi rami guardano in alto, il che significa che anche i rami della parabola della funzione originale cercheranno in alto.
In generale, se il coefficiente $a>0$, i rami guardano in alto, se il coefficiente $a
Esempio 2
Grafico della funzione: $y=2x^2+4x-6$.
Soluzione.
Trova le coordinate del vertice della parabola:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Annotare la coordinata del vertice sull'asse delle coordinate. A questo punto, come se nuovo sistema coordinate, costruiamo una parabola $y=2x^2$.
Ci sono molti modi per semplificare la costruzione di grafici a parabola.
- Possiamo trovare due punti simmetrici, calcolare il valore della funzione in questi punti, contrassegnarli piano delle coordinate e collegarli alla sommità della curva che descrive la parabola.
- Possiamo costruire un ramo di parabola a destra oa sinistra della cima e poi rifletterlo.
- Possiamo costruire per punti.
Esempio 3
Trova il più grande e valore più piccolo funzioni: $y=-x^2+6x+4$ sul segmento $[-1;6]$.
Soluzione.
Costruiamo un grafico di questa funzione, selezioniamo l'intervallo richiesto e troviamo i punti più bassi e più alti del nostro grafico.
Trova le coordinate del vertice della parabola:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Nel punto di coordinate $(3;13)$ costruiamo una parabola $y=-x^2$. 
Selezionare l'intervallo richiesto. 
Il punto più basso ha una coordinata di -3, il punto più alto ha una coordinata di 13.
$y_(nome)=-3$; $y_(naib)=13$.
Compiti per soluzione indipendente
1. Senza tracciare la funzione $y=-3x^2+12x-4$, rispondere alle seguenti domande:a) Indicare la retta che funge da asse della parabola.
b) Trova le coordinate del vertice.
c) Dove punta la parabola (in alto o in basso)?
2. Rappresentare graficamente la funzione: $y=2x^2-6x+2$.
3. Rappresentare graficamente la funzione: $y=-x^2+8x-4$.
4. Trova il valore più grande e più piccolo della funzione: $y=x^2+4x-3$ sul segmento $[-5;2]$.
Riassunto della lezione di algebra per l'8° grado della secondaria scuola media
Argomento della lezione: Funzione
Lo scopo della lezione:
· Educativo: definire il concetto di funzione quadratica della forma (confrontare i grafici delle funzioni e ), mostrare la formula per trovare le coordinate del vertice della parabola (spiegare come applicare in pratica questa formula); formare la capacità di determinare le proprietà di una funzione quadratica da un grafico (trovare l'asse di simmetria, le coordinate del vertice della parabola, le coordinate dei punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate).
· Educativo: sviluppo del discorso matematico, capacità di esprimere i propri pensieri in modo corretto, coerente e razionale; sviluppo della capacità di scrittura corretta di un testo matematico utilizzando simboli e notazioni; sviluppo del pensiero analitico; sviluppo dell'attività cognitiva degli studenti attraverso la capacità di analizzare, sistematizzare e generalizzare il materiale.
· Educativo: educazione all'indipendenza, capacità di ascoltare gli altri, formazione di accuratezza e attenzione nel discorso matematico scritto.
Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.
Metodi di insegnamento:
generalizzato-riproduttivo, induttivo-euristico.
Requisiti per le conoscenze e le abilità degli studenti
sapere cos'è una funzione quadratica della forma, la formula per trovare le coordinate del vertice di una parabola; essere in grado di trovare le coordinate del vertice della parabola, le coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate, determinare le proprietà di una funzione quadratica dal grafico della funzione.
Attrezzatura:
Piano di lezione
IO. Organizzare il tempo(1-2 minuti)
II. Aggiornamento delle conoscenze (10 min)
III. Presentazione di nuovo materiale (15 min)
IV. Consolidamento nuovo materiale (12 min)
V. Debriefing (3 min)
VI. Compiti a casa (2 min)
Durante le lezioni
I. Momento organizzativo
Salutare, controllare gli assenti, raccogliere quaderni.
II. Aggiornamento della conoscenza
Insegnante: Nella lezione di oggi impareremo nuovo tema: "Funzione". Ma prima, esaminiamo ciò che abbiamo imparato finora.
Sondaggio frontale:
1) Cosa si chiama funzione quadratica? (Una funzione in cui i numeri reali dati, , una variabile reale, è chiamata funzione quadratica.)
2) Qual è il grafico di una funzione quadratica? (Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.)
3) Quali sono gli zeri di una funzione quadratica? (Gli zeri di una funzione quadratica sono i valori a cui svanisce.)
4) Elenca le proprietà della funzione. (I valori della funzione sono positivi a e uguali a zero a ; il grafico della funzione è simmetrico rispetto agli assi delle ordinate; alla funzione aumenta, a - diminuisce.)
5) Elenca le proprietà della funzione. (Se , allora la funzione assume valori positivi per , se , allora la funzione assume valori negativi per , il valore della funzione è solo 0; la parabola è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate; se , allora la funzione aumenta per e diminuisce per , se , allora la funzione aumenta per , diminuisce - a .)
III. Presentazione di nuovo materiale
Insegnante: Iniziamo ad imparare nuovo materiale. Apri i tuoi quaderni, scrivi la data e l'argomento della lezione. Presta attenzione al tabellone.
scrittura su lavagna: Numero.
Funzione .
Insegnante: Sulla lavagna vedi due grafici di funzioni. Il primo grafico e il secondo. Proviamo a confrontarli.
Conosci le proprietà della funzione. Sulla base di essi, e confrontando i nostri grafici, possiamo evidenziare le proprietà della funzione.
Allora, cosa ne pensi, cosa determinerà la direzione dei rami della parabola?
Studenti: La direzione dei rami di entrambe le parabole dipenderà dal coefficiente.
Insegnante: Giusto. Puoi anche notare che entrambe le parabole hanno un asse di simmetria. Per il primo grafico di funzione, qual è l'asse di simmetria?
Studenti: Per una parabola della forma, l'asse di simmetria è l'asse y.
Insegnante: Destra. Qual è l'asse di simmetria di una parabola?
Studenti: L'asse di simmetria di una parabola è una retta che passa per il vertice della parabola, parallela all'asse y.
Insegnante: Correttamente. Quindi, chiameremo l'asse di simmetria del grafico della funzione una retta passante per il vertice della parabola, parallela all'asse y.
E la parte superiore della parabola è un punto con coordinate. Sono determinati dalla formula:
Scrivi la formula sul tuo quaderno e cerchiala in una casella.
Scrivere alla lavagna e sui quaderni
Coordinate del vertice della parabola.
Insegnante: Ora, per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 1: Trova le coordinate del vertice della parabola.
Soluzione: secondo la formula
Insegnante: Come abbiamo già notato, l'asse di simmetria passa per la sommità della parabola. Guarda la scrivania. Disegna questa immagine sul tuo quaderno.
Scrivendo alla lavagna e nei quaderni:
Insegnante: Nel disegno: - l'equazione dell'asse di simmetria della parabola con il vertice nel punto in cui è l'ascissa del vertice della parabola.
Considera un esempio.
Esempio 2: Dal grafico della funzione, determinare l'equazione per l'asse di simmetria della parabola.
L'equazione dell'asse di simmetria ha la forma: , da cui l'equazione dell'asse di simmetria della parabola data.
Risposta: - l'equazione dell'asse di simmetria.
IV. Consolidamento di nuovo materiale
Insegnante: Ci sono compiti alla lavagna che devono essere risolti in classe.
scrittura su lavagna: № 609(3), 612(1), 613(3)
Insegnante: Ma prima, risolviamo un esempio non da manuale. Decideremo alla lavagna.
Esempio 1: Trova le coordinate del vertice di una parabola
Soluzione: secondo la formula
Risposta: le coordinate del vertice della parabola.
Esempio 2: Trova le coordinate dei punti di intersezione della parabola 
con assi coordinati.
Soluzione: 1) Con asse:
Quelli. 
Secondo il teorema di Vieta:
Punti di intersezione con l'asse delle ascisse (1;0) e (2;0).
2) Con asse:
Punto di intersezione con l'asse y (0;2).
Risposta: (1;0), (2;0), (0;2) sono le coordinate dei punti di intersezione con gli assi delle coordinate.
La presentazione "Funzione y=ax 2 , il suo grafico e le sue proprietà" è aiuto visivo, che viene creato per accompagnare la spiegazione dell'argomento da parte dell'insegnante. Questa presentazione discute in dettaglio la funzione quadratica, le sue proprietà, le caratteristiche del tracciamento, l'applicazione pratica dei metodi utilizzati per risolvere i problemi in fisica.
Fornendo un alto grado di visibilità, questo materiale aiuterà l'insegnante ad aumentare l'efficacia dell'insegnamento, fornirà l'opportunità di allocare più razionalmente il tempo nella lezione. Con l'aiuto di effetti di animazione, evidenziando concetti e punti importanti con il colore, l'attenzione degli studenti si concentra sull'argomento studiato, si ottiene una migliore memorizzazione delle definizioni e il corso del ragionamento durante la risoluzione dei problemi.
La presentazione inizia con un'introduzione al titolo della presentazione e al concetto di funzione quadratica. Viene sottolineata l'importanza di questo argomento. Gli studenti sono invitati a memorizzare la definizione di funzione quadratica come dipendenza funzionale della forma y=ax 2 +bx+c, in cui è una variabile indipendente, e sono numeri, mentre a≠0. Separatamente, nella diapositiva 4, si ricorda che il dominio di questa funzione è l'intero asse dei valori reali. Convenzionalmente, questa affermazione è indicata con D(x)=R.
Un esempio di funzione quadratica è la sua importante applicazione in fisica: la formula di dipendenza dal percorso per moto uniformemente accelerato dal momento. Parallelamente, nelle lezioni di fisica, gli studenti studiano le formule per vari tipi di movimento, quindi avranno bisogno della capacità di risolvere tali problemi. Nella diapositiva 5 si ricorda agli studenti che quando il corpo si muove con accelerazione e all'inizio del riferimento temporale, la distanza percorsa e la velocità del movimento sono note, allora la dipendenza funzionale che rappresenta tale movimento sarà espressa dalla formula S=( a 2)/2+v 0 t+S 0 . Quello che segue è un esempio di trasformare questa formula in una data funzione quadratica se i valori di accelerazione = 8, velocità iniziale = 3 e percorso iniziale = 18. In questo caso la funzione assumerà la forma S=4t 2 +3t+18.
Nella diapositiva 6 viene considerata la forma della funzione quadratica y=ax 2, in cui viene presentata a. Se =1, allora la funzione quadratica ha la forma y=x 2 . Si noti che il grafico di questa funzione sarà una parabola.
La parte successiva della presentazione è dedicata alla tracciatura di un grafico di una funzione quadratica. Si propone di considerare la costruzione di un grafico della funzione y=3x 2 . Innanzitutto, la tabella segna la corrispondenza tra i valori della funzione e i valori dell'argomento. Si noti che la differenza tra il grafico costruito della funzione y=3x 2 e il grafico della funzione y=x 2 è che ogni suo valore sarà tre volte maggiore di quello corrispondente. In una vista tabellare, questa differenza è ben tracciata. Nelle vicinanze della rappresentazione grafica è ben visibile anche la differenza nel restringimento della parabola.
La diapositiva successiva esamina il tracciamento di una funzione quadratica y=1/3 x 2 . Per costruire un grafico, è necessario indicare nella tabella i valori della funzione in un certo numero di suoi punti. Si noti che ogni valore della funzione y=1/3 x 2 è 3 volte inferiore al valore corrispondente della funzione y=x 2 . Questa differenza, oltre alla tabella, è ben visibile nel grafico. La sua parabola è più espansa rispetto all'asse y rispetto alla parabola della funzione y=x 2 .
Gli esempi aiutano a comprendere la regola generale, secondo la quale si possono poi costruire in modo più semplice e veloce i grafici corrispondenti. Nella diapositiva 9, viene evidenziata una regola separata secondo cui il grafico della funzione quadratica y \u003d ax 2 può essere tracciato in base al valore del coefficiente allungando o restringendo il grafico. Se a>1, il grafico viene allungato dall'asse x in tempi. Se 0 La conclusione sulla simmetria dei grafici delle funzioni y=ax 2 e y=-ax2 (a ≠0) relativa all'asse delle ascisse è evidenziata separatamente nella diapositiva 12 per la memorizzazione e visualizzata chiaramente sul grafico corrispondente. Inoltre, il concetto di grafico di una funzione quadratica y=x 2 viene esteso a un caso più generale della funzione y=ax 2 , argomentando che tale grafico sarà anche chiamato parabola. La diapositiva 14 discute le proprietà della funzione quadratica y=ax 2 per positivo. Si noti che il suo grafico passa per l'origine e tutti i punti, ad eccezione di, giacciono nel semipiano superiore. Si nota la simmetria del grafico rispetto all'asse y, specificando che i valori opposti dell'argomento corrispondono agli stessi valori della funzione. Si indica che l'intervallo di decremento di questa funzione è (-∞;0], e l'aumento della funzione viene eseguito sull'intervallo. I valori di questa funzione coprono l'intera parte positiva dell'asse reale, è uguale a zero nel punto e non ha il valore massimo. La diapositiva 15 descrive le proprietà della funzione y=ax 2 se negativa. Si noti che anche il suo grafico passa per l'origine, ma tutti i suoi punti, ad eccezione di, giacciono nel semipiano inferiore. Si nota la simmetria del grafico rispetto all'asse e i valori opposti dell'argomento corrispondono a valori uguali della funzione. La funzione aumenta sull'intervallo, diminuisce su. I valori di questa funzione si trovano nell'intervallo, è uguale a zero nel punto e non ha il valore più piccolo. Riassumendo le caratteristiche considerate, la diapositiva 16 mostra che i rami della parabola sono diretti verso il basso e verso l'alto verso. La parabola è simmetrica rispetto all'asse e il vertice della parabola si trova nel punto della sua intersezione con l'asse. La parabola y=ax 2 ha un vertice - l'origine. Inoltre, un'importante conclusione sulle trasformazioni della parabola è mostrata nella diapositiva 17. Presenta opzioni per trasformare il grafico di una funzione quadratica. Si noti che il grafico della funzione y=ax 2 viene trasformato da una visualizzazione simmetrica del grafico attorno all'asse. È anche possibile comprimere o espandere il grafico relativo all'asse. Nell'ultima diapositiva si traggono conclusioni generali sulle trasformazioni del grafico della funzione. Vengono presentate le conclusioni che il grafico della funzione è ottenuto da una trasformazione simmetrica attorno all'asse. E il grafico della funzione è ottenuto dalla compressione o dall'allungamento del grafico originale dall'asse. In questo caso, nel caso in cui si osserva l'allungamento dall'asse nei tempi. Contraendosi all'asse di 1/a volte, si forma il grafico nel caso. La presentazione "Funzione y=ax 2 , il suo grafico e le sue proprietà" può essere utilizzata dall'insegnante come ausilio visivo in una lezione di algebra. Inoltre, questo manuale tratta bene l'argomento, fornendo una comprensione approfondita dell'argomento, in modo che possa essere offerto agli studenti per uno studio indipendente. Inoltre, questo materiale aiuterà l'insegnante a dare una spiegazione durante l'apprendimento a distanza. Si consideri un'espressione della forma ax 2 + in + c, dove a, b, c sono numeri reali e a è diverso da zero. Questa espressione matematica è nota come trinomio quadrato. Ricordiamo che ax 2 è il termine principale di questo trinomio quadrato, ed è il suo coefficiente principale. Ma il trinomio quadrato non ha sempre tutti e tre i termini. Prendiamo ad esempio l'espressione 3x 2 + 2x, dove a=3, b=2, c=0. Passiamo alla funzione quadratica y \u003d ax 2 + in + c, dove a, b, c sono numeri arbitrari. Questa funzione è quadratica perché contiene un termine di secondo grado, cioè x al quadrato. È abbastanza facile tracciare una funzione quadratica, ad esempio, puoi utilizzare il metodo del quadrato intero. Considera un esempio di tracciare una funzione y uguale a -3x 2 - 6x + 1. Per fare ciò, la prima cosa da ricordare è lo schema per evidenziare il quadrato intero nel trinomio -3x 2 - 6x + 1. Togliamo -3 dai primi due termini tra parentesi. Abbiamo -3 volte la somma di x più 2x e aggiungiamo 1. Sommando e sottraendo l'unità tra parentesi, otteniamo la formula per il quadrato della somma, che può essere compressa. Otteniamo -3 volte la somma (x + 1) al quadrato meno 1, aggiungi 1. Aprendo le parentesi e aggiungendo termini simili, si ottiene l'espressione: -3 volte il quadrato della somma (x + 1) aggiungi 4. Costruiamo un grafico della funzione risultante andando al sistema di coordinate ausiliario con l'origine nel punto con coordinate (-1; 4). Nella figura del video, questo sistema è indicato da linee tratteggiate. Leghiamo la funzione y uguale a -3x 2 al sistema di coordinate costruito. Per comodità, prendiamo i punti di controllo. Ad esempio, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Allo stesso tempo, li mettiamo da parte nel sistema di coordinate costruito. La parabola ottenuta durante la costruzione è il grafico di cui abbiamo bisogno. Nella figura, questa è una parabola rossa. Applicando il metodo di selezione del quadrato intero, abbiamo una funzione quadratica della forma: y = a * (x + 1) 2 + m. Il grafico della parabola y \u003d ax 2 + bx + c è facile da ottenere dalla parabola y \u003d ax 2 mediante traslazione parallela. Ciò è confermato da un teorema che può essere dimostrato prendendo il quadrato pieno del binomio. L'espressione ax 2 + bx + c dopo successive trasformazioni si trasforma in un'espressione della forma: a * (x + l) 2 + m. Tracciamo un grafico. Eseguiamo un movimento parallelo della parabola y \u003d ax 2, combinando il vertice con il punto con coordinate (-l; m). L'importante è che x = -l, che significa -b / 2a. Quindi questa retta è l'asse della parabola ax 2 + bx + c, il suo vertice è nel punto con l'ascissa x, zero è uguale a meno b diviso 2a e l'ordinata è calcolata dalla formula ingombrante 4ac - b 2 /. Ma questa formula non è necessaria per memorizzare. Poiché, sostituendo il valore dell'ascissa nella funzione, otteniamo l'ordinata. Per determinare l'equazione dell'asse, la direzione dei suoi rami e le coordinate del vertice della parabola, si consideri il seguente esempio. Prendiamo la funzione y \u003d -3x 2 - 6x + 1. Dopo aver elaborato l'equazione per l'asse della parabola, abbiamo che x \u003d -1. E questo valore è la coordinata x della parte superiore della parabola. Resta da trovare solo l'ordinata. Sostituendo il valore -1 nella funzione, otteniamo 4. La parte superiore della parabola è nel punto (-1; 4). Il grafico della funzione y \u003d -3x 2 - 6x + 1 è stato ottenuto mediante trasferimento parallelo del grafico della funzione y \u003d -3x 2, il che significa che si comporta in modo simile. Il coefficiente principale è negativo, quindi i rami sono diretti verso il basso. Vediamo che per ogni funzione della forma y = ax 2 + bx + c, la domanda più semplice è l'ultima domanda, cioè la direzione dei rami della parabola. Se il coefficiente a è positivo, i rami sono in alto, se negativo, sono in basso. La prossima domanda più difficile è la prima domanda, perché richiede calcoli aggiuntivi. E la più difficile è la seconda, perché oltre ai calcoli è necessaria anche la conoscenza delle formule con cui x è zero e y è zero. Tracciamo la funzione y \u003d 2x 2 - x + 1. Determiniamo immediatamente: il grafico è una parabola, i rami sono diretti verso l'alto, poiché il coefficiente principale è 2 e questo è un numero positivo. Secondo la formula, troviamo che l'ascissa x è zero, è uguale a 1,5. Per trovare l'ordinata, ricorda che zero è uguale a una funzione di 1,5, calcolando otteniamo -3,5. In alto - (1,5; -3,5). Asse - x=1,5. Prendi i punti x=0 e x=3. y=1. Nota questi punti. Sulla base di tre punti noti, costruiamo il grafico richiesto. Per tracciare la funzione ax 2 + bx + c, è necessario: Trova le coordinate del vertice della parabola e segnale nella figura, quindi disegna l'asse della parabola; Sull'asse x, prendi due punti simmetrici rispetto all'asse della parabola, trova il valore della funzione in questi punti e segnali sul piano delle coordinate; Attraverso tre punti, costruisci una parabola, se necessario puoi prendere qualche punto in più e costruire un grafico basato su di essi. Nell'esempio seguente impareremo come trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione -2x 2 + 8x - 5 sul segmento. Secondo l'algoritmo: a \u003d -2, b \u003d 8, quindi x zero è 2 e zero y è 3, (2; 3) è la parte superiore della parabola e x \u003d 2 è l'asse. Prendiamo i valori x=0 e x=4 e troviamo le ordinate di questi punti. Questo è -5. Costruiamo una parabola e determiniamo che il valore più piccolo della funzione è -5 in x=0 e il più grande è 3 in x=2. Lezione: come costruire una parabola o una funzione quadratica? Una parabola è un grafico di una funzione descritta dalla formula ax 2 +bx+c=0. 1) Formula della parabola y=ax 2 +bx+c, 2) , si trova dalla formula x=(-b)/2a, sostituiamo la x trovata nell'equazione della parabola e troviamo y; 3)Zero di funzione ovvero i punti di intersezione della parabola con l'asse OX, sono anche detti radici dell'equazione. Per trovare le radici, uguagliamo l'equazione a 0 ax2+bx+c=0; Tipi di equazioni: a) L'equazione quadratica completa è ax2+bx+c=0 ed è risolto dal discriminante; 4) Trova alcuni punti aggiuntivi per costruire la funzione. E così ora, con un esempio, analizzeremo tutto per azioni: x -4 -3 -1 0 Sostituiamo invece di x nell'equazione y \u003d x 2 + 4x + 3 valori Esempio n. 2: Esempio #3 Prendiamo alcuni punti arbitrari vicini alla parte superiore x=0 sottoscrivi al canale YOUTUBE per essere sempre aggiornato su tutte le novità e prepararsi con noi agli esami.
PARTE TEORICA
Per costruire una parabola, devi seguire un semplice algoritmo di azioni:
Se a>0 quindi vengono diretti i rami della parabola su,
e poi si dirigono i rami della parabola fino in fondo.
membro libero c questo punto interseca la parabola con l'asse OY;
b) Equazione quadratica incompleta della forma ax2+bx=0. Per risolverlo, devi togliere x tra parentesi, quindi equiparare ogni fattore a 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 e ax+b=0;
c) Equazione quadratica incompleta della forma ax2+c=0. Per risolverlo, devi spostare l'ignoto da una parte e il noto dall'altra. x =±√(c/a);PARTE PRATICA
Esempio 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=3. I rami della parabola guardano in alto perché a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 la cima è al punto (-2;-1)
Trova le radici dell'equazione x 2 +4x+3=0
Troviamo le radici dal discriminante
a=1 b=4 c=3
Re=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Prendiamo alcuni punti arbitrari vicini alla parte superiore x=-2
si 3 0 0 3
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Dai valori della funzione si può vedere che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x \u003d -2
y=-x 2 +4x
c=0 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=0. I rami della parabola guardano in basso perché a=-1 -1 Trova le radici dell'equazione -x 2 +4x=0
Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0. Per risolverlo, devi togliere x tra parentesi, quindi equiparare ogni fattore a 0.
x(-x+4)=0, x=0 e x=4.
Prendiamo alcuni punti arbitrari vicini al vertice x=2
x 0 1 3 4
si 0 3 3 0
Sostituiamo invece di x nell'equazione y \u003d -x 2 +4x valori
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Dai valori della funzione si può vedere che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x \u003d 2
y=x 2 -4
c=4 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=4. I rami della parabola guardano in alto perché a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 il vertice è al punto (0;-4 )
Trova le radici dell'equazione x 2 -4=0
Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0. Per risolverlo, devi spostare l'ignoto da una parte e il noto dall'altra. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2
x -2 -1 1 2
si 0 -3 -3 0
Sostituiamo invece di x nell'equazione y \u003d x 2 -4 valori
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Dai valori della funzione si evince che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x=0