Superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare. Come calcolare l'area di una piramide: base, laterale e piena? La base è un poligono irregolare.

Prima di studiare domande su questa figura geometrica e le sue proprietà, è necessario comprendere alcuni termini. Quando una persona sente parlare della piramide, immagina enormi edifici in Egitto. Ecco come appaiono i più semplici. Ma sono disponibili in diversi tipi e forme, il che significa che la formula di calcolo per le forme geometriche sarà diversa.

Tipi di figure

Piramide - figura geometrica , che denota e rappresenta più facce. In effetti, questo è lo stesso poliedro, alla base del quale si trova un poligono, e ai lati ci sono triangoli che si collegano in un punto: il vertice. La figura è di due tipi principali:

• corretta;
• troncato.

Nel primo caso, la base è un poligono regolare. Qui tutte le superfici laterali sono uguali tra loro e la figura stessa soddisferanno l'occhio di un perfezionista.

Nel secondo caso, ci sono due basi: una grande in fondo e una piccola tra la parte superiore, ripetendo la forma di quella principale. In altre parole, una piramide tronca è un poliedro con una sezione formata parallelamente alla base.

Termini e notazioni

Termini di base:

• Triangolo regolare (equilatero). Una figura con tre angoli identici e lati uguali. In questo caso, tutti gli angoli sono di 60 gradi. La figura è la più semplice dei poliedri regolari. Se questa figura si trova alla base, un tale poliedro sarà chiamato triangolare regolare. Se la base è un quadrato, la piramide sarà chiamata piramide quadrangolare regolare.
• Vertice- il punto più alto dove si incontrano i bordi. L'altezza della sommità è formata da una linea retta che si estende dalla sommità alla base della piramide.
• bordoè uno dei piani del poligono. Può avere la forma di un triangolo nel caso di una piramide triangolare, o di un trapezio per una piramide tronca.
• sezione trasversale- una figura piatta formata a seguito della dissezione. Da non confondere con una sezione, poiché una sezione mostra anche cosa c'è dietro la sezione.
• Apotema- un segmento disegnato dalla sommità della piramide alla sua base. È anche l'altezza della faccia in cui si trova il secondo punto di altezza. Questa definizione giusto solo per poliedro regolare. Ad esempio, se non è una piramide tronca, la faccia sarà un triangolo. In questo caso, l'altezza di questo triangolo diventerà un apotema.

Formule di zona

Trova l'area della superficie laterale della piramide qualsiasi tipo può essere fatto in diversi modi. Se la figura non è simmetrica ed è un poligono con lati diversi, in questo caso è più facile da calcolare area totale superfici attraverso la raccolta di tutte le superfici. In altre parole, devi calcolare l'area della faccia della spiaggia e sommarle.

A seconda dei parametri noti, possono essere necessarie formule per il calcolo di un quadrato, un trapezio, un quadrilatero arbitrario, ecc. Le formule stesse in diversi casi sarà anche diverso.

Nel caso di una figura regolare, trovare l'area è molto più facile. È sufficiente conoscere solo alcuni parametri chiave. Nella maggior parte dei casi, i calcoli sono richiesti proprio per tali cifre. Pertanto, le formule corrispondenti verranno fornite di seguito. Altrimenti, dovresti dipingere tutto su più pagine, il che non farà altro che confondere e confondere.

Formula base per il calcolo superficie laterale piramide corretta sarà simile a questo:

S \u003d ½ Pa (P è il perimetro della base ed è l'apotema)

Consideriamo uno degli esempi. Il poliedro ha una base con segmenti A1, A2, A3, A4, A5 e sono tutti uguali a 10 cm Lascia che l'apotema sia uguale a 5 cm Per prima cosa devi trovare il perimetro. Poiché tutte e cinque le facce della base sono le stesse, può essere trovata come segue: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm Successivamente, applichiamo la formula di base: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm al quadrato .

Superficie laterale di una piramide triangolare regolare il più facile da calcolare. La formula si presenta così:

S =½* ab *3, dove a è l'apotema, b è la sfaccettatura della base. Il fattore tre qui indica il numero di facce della base e la prima parte è l'area della superficie laterale. Considera un esempio. Data una figura con un apotema di 5 cm e una faccia di base di 8 cm, calcoliamo: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm al quadrato.

Superficie laterale di una piramide troncaè un po' più difficile da calcolare. La formula è simile alla seguente: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, dove p_01 e p_02 sono i perimetri delle basi ed è l'apotema. Considera un esempio. Supponiamo, per una figura quadrangolare, che le dimensioni dei lati delle basi siano 3 e 6 cm, l'apotema sia 4 cm.

Qui, per cominciare, dovresti trovare i perimetri delle basi: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Resta da sostituire i valori nella formula principale e ottenere: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm al quadrato.

Pertanto, è possibile trovare l'area della superficie laterale di una piramide regolare di qualsiasi complessità. Attenzione a non confondere questi calcoli con l'area totale dell'intero poliedro. E se hai ancora bisogno di farlo, è sufficiente calcolare l'area della base più grande del poliedro e aggiungerla all'area della superficie laterale del poliedro.

video

Per consolidare le informazioni su come trovare la superficie laterale di diverse piramidi, questo video ti aiuterà.

Piramide- una delle varietà di poliedro formato da poligoni e triangoli che giacciono alla base e ne sono le facce.

Inoltre, in cima alla piramide (cioè in un punto), tutte le facce sono combinate.

Per calcolare l'area della piramide, vale la pena determinare che la sua superficie laterale è composta da diversi triangoli. E possiamo facilmente trovare le loro aree usando

varie formule. A seconda dei dati dei triangoli che conosciamo, stiamo cercando la loro area.

Elenchiamo alcune formule con cui puoi trovare l'area dei triangoli:

1. S = (a*h)/2 . In questo caso, conosciamo l'altezza del triangolo h , che viene abbassato di lato un .
2. S = a*b*sinβ . Qui i lati del triangolo un , b , e l'angolo tra di loro è β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Qui i lati del triangolo a, b, c . Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Il raggio del cerchio circoscritto attorno al triangolo è R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Questa formula dovrebbe essere applicata solo se il triangolo è un triangolo rettangolo.
6. S = (a²*√3)/4 . Applichiamo questa formula a un triangolo equilatero.

Solo dopo aver calcolato le aree di tutti i triangoli che sono le facce della nostra piramide, possiamo calcolare l'area della sua superficie laterale. Per fare ciò, utilizzeremo le formule di cui sopra.

Per calcolare l'area della superficie laterale della piramide non sorgono difficoltà: bisogna scoprire la somma delle aree di tutti i triangoli. Esprimiamo questo con la formula:

Sp = ΣSi

Qui si è l'area del primo triangolo, e S P è l'area della superficie laterale della piramide.

Diamo un'occhiata a un esempio. Data una piramide regolare, le sue facce laterali sono formate da diversi triangoli equilateri,

« La geometria è lo strumento più potente per il raffinamento delle nostre facoltà mentali.».

Galileo Galilei.

e il quadrato è la base della piramide. Inoltre, il bordo della piramide ha una lunghezza di 17 cm Troviamo l'area della superficie laterale di questa piramide.

Ragioniamo così: sappiamo che le facce della piramide sono triangoli, sono equilateri. Sappiamo anche qual è la lunghezza del bordo di questa piramide. Ne consegue che tutti i triangoli hanno i lati uguali, la loro lunghezza è di 17 cm.

Per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, puoi utilizzare la seguente formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Poiché sappiamo che il quadrato si trova alla base della piramide, risulta che abbiamo quattro triangoli equilateri. Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide può essere facilmente calcolata utilizzando la seguente formula: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

La nostra risposta è la seguente: 500.548 cm² - questa è l'area della superficie laterale di questa piramide.

tipico problemi geometrici sul piano e nello spazio tridimensionale sono i problemi di determinare le aree superficiali di diverse figure. In questo articolo presentiamo la formula per l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare.

Cos'è una piramide?

Diamo una definizione geometrica rigorosa di una piramide. Supponiamo che ci sia un poligono con n lati e n angoli. Scegliamo un punto arbitrario nello spazio che non sarà nel piano dell'n-gon specificato e lo colleghiamo a ciascun vertice del poligono. Otterremo una figura che ha un certo volume, che è chiamata piramide n-gonale. Ad esempio, mostriamo nella figura seguente come appare una piramide pentagonale.

Due elementi importanti di qualsiasi piramide sono la sua base (n-gon) e la parte superiore. Questi elementi sono collegati tra loro da n triangoli, che in generale non sono uguali tra loro. La perpendicolare caduta dall'alto alla base è chiamata altezza della figura. Se interseca la base nel centro geometrico (coincide con il centro di massa del poligono), tale piramide viene chiamata linea retta. Se, oltre a questa condizione, la base è un poligono regolare, l'intera piramide è detta regolare. La figura seguente mostra come appaiono le piramidi regolari con basi triangolari, quadrangolari, pentagonali ed esagonali.

La superficie della piramide

Prima di passare alla questione dell'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare, è necessario soffermarsi più in dettaglio sul concetto di superficie stessa.

Come accennato in precedenza e mostrato nelle figure, qualsiasi piramide è formata da un insieme di facce o lati. Un lato è la base e n lati sono triangoli. La superficie dell'intera figura è la somma delle aree di ciascuno dei suoi lati.

È conveniente studiare la superficie usando l'esempio di una figura che si dispiega. Una scansione per una piramide quadrangolare regolare è mostrata nelle figure seguenti.

Vediamo che la sua superficie è uguale alla somma di quattro aree di triangoli isoscele identici e l'area di un quadrato.

L'area totale di tutti i triangoli che formano i lati della figura è chiamata area della superficie laterale. Successivamente, mostriamo come calcolarlo per una piramide quadrangolare regolare.

Superficie laterale di una piramide regolare rettangolare

Per calcolare l'area della superficie laterale della figura specificata, passiamo nuovamente allo sweep sopra. Supponiamo di conoscere il lato della base quadrata. Indichiamolo con il simbolo a. Si può notare che ciascuno dei quattro triangoli identici ha una base di lunghezza a. Per calcolare la loro area totale, devi conoscere questo valore per un triangolo. Dal corso della geometria è noto che l'area del triangolo S t è uguale al prodotto della base e dell'altezza, che dovrebbe essere divisa a metà. Questo è:

Dove h b - altezza triangolo isoscele attratto alla base a. Per una piramide, questa altezza è l'apotema. Resta ora da moltiplicare l'espressione risultante per 4 per ottenere l'area S b della superficie laterale per la piramide in questione:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Questa formula contiene due parametri: l'apotema e il lato della base. Se quest'ultimo è noto nella maggior parte delle condizioni dei problemi, allora il primo deve essere calcolato conoscendo altre quantità. Ecco le formule per calcolare l'apotema h b per due casi:

• quando è nota la lunghezza della nervatura laterale;
• quando si conosce l'altezza della piramide.

Se indichiamo la lunghezza del bordo laterale (il lato di un triangolo isoscele) con il simbolo L, allora l'apotema h b è determinato dalla formula:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Questa espressione è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora per il triangolo della superficie laterale.

Se si conosce l'altezza h della piramide, l'apotema h b può essere calcolato come segue:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Inoltre non è difficile ottenere questa espressione se consideriamo l'interno della piramide triangolo rettangolo, formata dalle gambe h e a/2 e dall'ipotenusa h b .

Mostreremo come applicare queste formule risolvendone due compiti interessanti.

Problema con la superficie nota

È noto che l'area della superficie laterale di un quadrangolare è di 108 cm 2 . È necessario calcolare il valore della lunghezza del suo apotema h se l'altezza della piramide è 7 cm.

Scriviamo la formula per l'area S b della superficie laterale attraverso l'altezza. Abbiamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Qui abbiamo semplicemente sostituito la corrispondente formula di apotema nell'espressione per S b . Cerchiamo di quadrare entrambi i lati dell'equazione:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Per trovare il valore di a, facciamo un cambio di variabili:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Sostituisci ora valori noti e decidere equazione quadrata:

t2 + 196*t - 11664 = 0.

Abbiamo scritto solo la radice positiva di questa equazione. Quindi i lati della base della piramide saranno uguali a:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Per ottenere la lunghezza dell'apotema, basta usare la formula:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Superficie laterale della piramide di Cheope

Determiniamo il valore del lato per la più grande piramide egizia. È noto che alla sua base giace un quadrato con una lunghezza laterale di 230.363 metri. L'altezza della struttura era originariamente di 146,5 metri. Sostituendo questi numeri nella formula corrispondente per S b , otteniamo:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230.363 2 / 4) * 230.363 ≈ 85860 m 2.

Il valore trovato è leggermente più area 17 campi da calcio.

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Quale forma chiamiamo piramide? Innanzitutto, è un poliedro. In secondo luogo, alla base di questo poliedro c'è un poligono arbitrario e i lati della piramide (facce laterali) hanno necessariamente la forma di triangoli convergenti in un vertice comune. Ora, affrontato il termine, scopriamo come trovare la superficie della piramide.

È chiaro che la superficie di tale corpo geometricoè costituito dalla somma delle aree della base e di tutta la sua superficie laterale.

Calcolo dell'area della base della piramide

La scelta della formula di calcolo dipende dalla forma del poligono che giace alla base della nostra piramide. Può essere corretto, cioè con lati della stessa lunghezza, o errato. Consideriamo entrambe le opzioni.

Alla base c'è un poligono regolare

Da corso scolastico conosciuto:

• l'area del quadrato sarà uguale alla lunghezza del suo lato al quadrato;
• quadrato triangolo equilateroè uguale al quadrato del suo lato diviso 4 volte Radice quadrata su tre.

Ma c'è anche formula generale, per calcolare l'area di un qualsiasi poligono regolare (Sn): è necessario moltiplicare il valore del perimetro di tale poligono (P) per il raggio del cerchio in esso inscritto (r), quindi dividere il risultato per due : Sn=1/2P*r.

La base è un poligono irregolare.

Lo schema per trovare la sua area è dividere prima l'intero poligono in triangoli, calcolare l'area di ciascuno di essi usando la formula: 1/2a * h (dove a è la base del triangolo, h è l'altezza abbassato a questa base), sommare tutti i risultati.

Superficie laterale della piramide

Ora calcoliamo l'area della superficie laterale della piramide, ad es. la somma delle aree di tutti i suoi lati. Ci sono anche 2 opzioni qui.

1. Prendiamo una piramide arbitraria, ad es. uno la cui base è un poligono irregolare. Quindi dovresti calcolare separatamente l'area di ciascuna faccia e aggiungere i risultati. Poiché i lati della piramide, per definizione, possono essere solo triangoli, il calcolo si basa sulla formula sopra menzionata: S=1/2a*h.
2. Sia corretta la nostra piramide, cioè alla sua base si trova un poligono regolare, e la proiezione della sommità della piramide è al centro. Quindi, per calcolare l'area della superficie laterale (Sb), basta trovare la metà del prodotto del perimetro del poligono di base (P) e l'altezza (h) del lato (la stessa per tutte le facce) : Sb \u003d 1/2 P * h. Il perimetro di un poligono è determinato sommando le lunghezze di tutti i suoi lati.

La superficie totale di una piramide regolare si trova sommando l'area della sua base con l'area dell'intera superficie laterale.

Esempi

Ad esempio, calcoliamo algebricamente le aree della superficie di diverse piramidi.

Superficie di una piramide triangolare

Alla base di una tale piramide c'è un triangolo. Secondo la formula So \u003d 1 / 2a * h, troviamo l'area della base. Applichiamo la stessa formula per trovare l'area di ciascuna faccia della piramide, che ha anche una forma triangolare, e otteniamo 3 aree: S1, S2 e S3. L'area della superficie laterale della piramide è la somma di tutte le aree: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Sommando le aree dei lati e della base, otteniamo la superficie totale della piramide desiderata: Sp \u003d So + Sb.

Superficie di una piramide quadrangolare

L'area della superficie laterale è la somma di 4 termini: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, ciascuno dei quali viene calcolato utilizzando la formula dell'area del triangolo. E l'area della base dovrà essere ricercata, a seconda della forma del quadrilatero: corretta o irregolare. La superficie totale della piramide si ottiene ancora sommando l'area di base e la superficie totale della piramide data.