Il seno di un angolo è uguale al rapporto. Seno, coseno, tangente e cotangente: definizioni in trigonometria, esempi, formule. Costruzione di un impalcato a traliccio secondo questo calcolo
Viene chiamato il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa seno di un angolo acuto triangolo rettangolo.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo
Viene chiamato il rapporto tra la gamba più vicina e l'ipotenusa coseno di un angolo acuto triangolo rettangolo.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo
Viene chiamato il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente tangente ad angolo acuto triangolo rettangolo.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo
Viene chiamato il rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta cotangente di un angolo acuto triangolo rettangolo.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Seno di un angolo arbitrario
Si chiama l'ordinata del punto della circonferenza unitaria a cui corrisponde l'angolo \alpha seno di un angolo arbitrario rotazione \alfa .
\peccato \alfa=y
Coseno di un angolo arbitrario
Si chiama l'ascissa del punto della circonferenza unitaria a cui corrisponde l'angolo \alpha coseno di un angolo arbitrario rotazione \alfa .
\cos \alpha=x
Tangente di un angolo arbitrario
Viene chiamato il rapporto tra il seno di un angolo di rotazione arbitrario \alfa e il suo coseno tangente di un angolo arbitrario rotazione \alfa .
tg \alfa = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Cotangente di un angolo arbitrario
Viene chiamato il rapporto tra il coseno di un angolo di rotazione arbitrario \alfa e il suo seno cotangente di un angolo arbitrario rotazione \alfa .
ctg \alfa =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Un esempio di trovare un angolo arbitrario
Se \alpha è un angolo AOM , dove M è un punto sulla circonferenza unitaria, allora
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Ad esempio, se \angolo AOM = -\frac(\pi)(4), allora: l'ordinata del punto M è -\frac(\sqrt(2))(2), l'ascissa è \frac(\sqrt(2))(2) ed ecco perché
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \sinistra (-\frac(\pi)(4) \destra)=-1.
Tabella dei valori dei seni dei coseni delle tangenti delle cotangenti
Nella tabella sono riportati i valori dei principali angoli riscontrati di frequente:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(6)\destra) | 45^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(4)\destra) | 60^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(3)\destra) | 90^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(2)\destra) | 180^(\circ)\sinistra(\pi\destra) | 270^(\circ)\sinistra(\frac(3\pi)(2)\destra) | 360^(\circ)\sinistra(2\pi\destra) | |
| \peccato\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alfa | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Conoscendo una delle gambe di un triangolo rettangolo, puoi trovare la seconda gamba e l'ipotenusa usando le relazioni trigonometriche: il seno e la tangente di un angolo noto. Poiché il rapporto tra la gamba opposta all'angolo e l'ipotenusa è uguale al seno di questo angolo, quindi, per trovare l'ipotenusa, la gamba deve essere divisa per il seno dell'angolo. a/c=peccatoα c=a/peccatoα
La seconda gamba può essere trovata dalla tangente dell'angolo noto, come rapporto tra la gamba nota e la tangente. a/b=abbronzaturaα b=a/abbronzaturaα
Per calcolare l'angolo sconosciuto in un triangolo rettangolo, devi sottrarre l'angolo α da 90 gradi. β=90°-α
Il perimetro e l'area di un triangolo rettangolo attraverso la gamba e l'angolo opposto ad essa possono essere espressi sostituendo nelle formule le espressioni ottenute in precedenza per la seconda gamba e l'ipotenusa. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 abbronzaturaα)
Puoi anche calcolare l'altezza attraverso relazioni trigonometriche, ma già nel triangolo rettangolo interno di lato a, che forma. Per fare ciò, è necessario il lato a, come l'ipotenusa di un tale triangolo, moltiplicato per il seno dell'angolo β o per il coseno di α, poiché secondo identità trigonometriche sono equivalenti. (fig. 79.2) h=a cosα
La mediana dell'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa o della gamba nota a divisa per due seni α. Per trovare le mediane delle gambe, portiamo le formule nella forma appropriata per il lato e gli angoli conosciuti. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2 α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/abbronzatura^2α +a^2/peccato ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Poiché la bisettrice di un angolo retto in un triangolo è il prodotto di due lati e la radice di due, divisa per la somma di questi lati, sostituendo uno dei cateti con il rapporto del cateto noto per la tangente, otteniamo quanto segue espressione. Allo stesso modo, sostituendo il rapporto nella seconda e nella terza formula, si possono calcolare le bisettrici degli angoli α e β. (fig.79.4) l_с=(aa/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+ca))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c) (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+cb))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /peccatoα)))/(a+a/peccatoα)=(un peccatoα √(2c(a+a/peccatoα)))/(un peccatoα+a)
La linea di mezzo corre parallela a uno dei lati del triangolo, mentre ne forma un altro simile triangolo rettangolo con gli stessi angoli, in cui tutti i lati sono la metà di quello dell'originale. Sulla base di ciò, le linee di mezzo possono essere trovate usando le seguenti formule, conoscendo solo la gamba e l'angolo opposto ad essa. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Il raggio del cerchio inscritto è uguale alla differenza tra le gambe e l'ipotenusa divisa per due, e per trovare il raggio del cerchio circoscritto, devi dividere l'ipotenusa per due. Sostituiamo la seconda gamba e l'ipotenusa con i rapporti rispettivamente della gamba a al seno e alla tangente. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+bc)/2=(a+a/tanα -a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
Qual è il seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo ti aiuterà a capire un triangolo rettangolo.
Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, l'ipotenusa e le gambe: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto (nel nostro esempio, questo è il lato \ (AC \) ); le gambe sono i due lati rimanenti \ (AB \) e \ (BC \) (quelli adiacenti angolo retto), inoltre, se consideriamo le gambe rispetto all'angolo \ (BC \) , allora la gamba \ (AB \) è la gamba adiacente e la gamba \ (BC \) è quella opposta. Quindi, ora rispondiamo alla domanda: quali sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?
Seno di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Coseno di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Angolo tangente- questo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).
Nel nostro triangolo:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangente di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).
Nel nostro triangolo:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Queste definizioni sono necessarie ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere per cosa, devi capirlo chiaramente in tangente e cotangente solo le gambe siedono e l'ipotenusa appare solo dentro seno e coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:
coseno→tocco→tocco→adiacente;
Cotangente→tocco→tocco→adiacente.
Innanzitutto, è necessario ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come rapporti dei lati di un triangolo non dipendono dalle lunghezze di questi lati (ad un angolo). Non fidarti? Quindi assicurati guardando l'immagine:
Si consideri, ad esempio, il coseno dell'angolo \(\beta \) . Per definizione, da un triangolo \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ma possiamo calcolare il coseno dell'angolo \(\beta \) dal triangolo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo.
Se capisci le definizioni, vai avanti e correggile!
Per il triangolo \(ABC \) , mostrato nella figura seguente, troviamo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Bene, hai capito? Quindi prova tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo \(\beta \) .
Risposte: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Cerchio unitario (trigonometrico).
Comprendendo i concetti di grado e radiante, abbiamo considerato una circonferenza di raggio pari a \ (1 \) . Un tale cerchio è chiamato separare. È molto utile nello studio della trigonometria. Pertanto, ci soffermiamo su di esso un po 'più in dettaglio.
Come puoi vedere, questo cerchio è integrato sistema cartesiano coordinate. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio giace all'origine, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse \(x \) (nel nostro esempio, questo è il raggio \(AB \) ).
Ogni punto del cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse \(x \) e la coordinata lungo l'asse \(y \) . Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa hanno a che fare con l'argomento in questione? Per fare ciò, ricorda il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra, puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera il triangolo \(ACG \) . È rettangolare perché \(CG \) è perpendicolare all'asse \(x \).
Che cos'è \(\cos \ \alpha \) dal triangolo \(ACG \) ? Giusto \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Inoltre, sappiamo che \(AC \) è il raggio del cerchio unitario, quindi \(AC=1 \) . Sostituisci questo valore nella nostra formula del coseno. Ecco cosa succede:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
E cos'è \(\sin \ \alpha \) dal triangolo \(ACG \) ? Beh, certo, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Sostituisci il valore del raggio \ (AC \) in questa formula e ottieni:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Quindi, puoi dirmi quali sono le coordinate del punto \(C \) , che appartiene al cerchio? Beh, non c'è modo? Ma cosa succede se ti rendi conto che \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde \(\cos \alpha \)? Bene, ovviamente, la coordinata \(x \) ! E a quale coordinata corrisponde \(\sin \alpha \)? Esatto, la coordinata \(y \)! Quindi il punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Cosa sono allora \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \) ? Esatto, usiamo le definizioni appropriate di tangente e cotangente e otteniamolo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ma \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
E se l'angolo fosse maggiore? Qui, ad esempio, come in questa immagine:
Cosa è cambiato questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, ci rivolgiamo di nuovo a un triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un angolo (come adiacente all'angolo \(\beta \) ). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente per un angolo \(((C)_(1))((LA)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Esatto, aderiamo alle definizioni pertinenti funzioni trigonometriche:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angolo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angolo ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angolo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata \ (y \) ; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata \ (x \) ; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni sono applicabili a qualsiasi rotazione del vettore raggio.
Si è già detto che la posizione iniziale del vettore raggio è lungo la direzione positiva dell'asse \(x \). Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di una certa dimensione, ma sarà solo negativo. Pertanto, ruotando il vettore del raggio in senso antiorario, otteniamo angoli positivi, e ruotando in senso orario - negativo.
Quindi, sappiamo che l'intera rivoluzione del vettore raggio attorno al cerchio è \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . È possibile ruotare il vettore del raggio di \(390()^\circ \) o di \(-1140()^\circ \) ? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), quindi il vettore raggio eseguirà una rotazione completa e si fermerà a \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Nel secondo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ovvero il vettore raggio compirà tre rivoluzioni complete e si fermerà alla posizione \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Pertanto, dagli esempi precedenti, possiamo concludere che gli angoli che differiscono di \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è un numero intero) corrispondono alla stessa posizione del vettore raggio.
La figura seguente mostra l'angolo \(\beta =-60()^\circ \) . La stessa immagine corrisponde all'angolo \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) eccetera. Questo elenco può essere continuato all'infinito. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale \(\beta +360()^\circ \cdot m \) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è un numero intero)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando il cerchio unitario, prova a rispondere a cosa sono uguali i valori:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\testo(tg)\ 180()^\circ =\testo(tg)\ \pi =?\\\testo(ctg)\ 180()^\circ =\testo(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Ecco una cerchia di unità per aiutarti:
Qualche difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure dell'angolo. Bene, cominciamo con ordine: l'angolo dentro \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corrisponde a un punto con coordinate \(\left(0;1 \right) \) , quindi:
\(\peccato 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- non esiste;
\(\testo(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli dentro \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corrispondono a punti con coordinate \(\sinistra(-1;0 \destra),\testo( )\sinistra(0;-1 \destra),\testo( )\sinistra(1;0 \destra),\testo( )\sinistra(0 ;1 \destra) \), rispettivamente. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Prima prova tu stesso, quindi controlla le risposte.
Risposte:
\(\ displaystyle \ sin \ 180()^ \ circ =\ sin \ \ pi = 0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \\pi =-1 \)
\(\testo(tg)\ 180()^\circ =\testo(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- non esiste
\(\peccato \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Freccia destra \text(tg)\ 270()^\circ \)- non esiste
\(\testo(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\peccato \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\testo(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- non esiste
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Freccia destra \text(tg)\ 450()^\circ \)- non esiste
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Possiamo quindi fare la seguente tabella:
Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(È necessario ricordare o essere in grado di eseguire l'output!! \) !}
Ed ecco i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) riportato nella tabella seguente, è necessario ricordare:
Non c'è bisogno di aver paura, ora mostreremo uno degli esempi di una memorizzazione abbastanza semplice dei valori corrispondenti:
Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure angolari ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), nonché il valore della tangente dell'angolo in \(30()^\circ \) . Conoscendo questi valori \(4 \), è abbastanza facile ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sapendo questo, è possibile ripristinare i valori per \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Il numeratore “\(1 \) ” corrisponderà a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) e il denominatore “\(\sqrt(\text(3)) \) ” corrisponderà a \ (\testo (tg)\ 60()^\circ \ \) . I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce mostrate in figura. Se lo capisci e ricordi lo schema con le frecce, sarà sufficiente ricordare solo \(4 \) valori dalla tabella.
Coordinate di un punto su una circonferenza
È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e l'angolo di rotazione? Beh, certo che puoi! Ricaviamo una formula generale per trovare le coordinate di un punto. Qui, ad esempio, abbiamo un tale cerchio:
Ci è stato dato quel punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)è il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è \(1,5 \) . È necessario trovare le coordinate del punto \(P \) ottenute ruotando il punto \(O \) di \(\delta \) gradi.
Come si può vedere dalla figura, la coordinata \ (x \) del punto \ (P \) corrisponde alla lunghezza del segmento \ (TP=UQ=UK+KQ \) . La lunghezza del segmento \ (UK \) corrisponde alla coordinata \ (x \) del centro del cerchio, ovvero è uguale a \ (3 \) . La lunghezza del segmento \(KQ \) può essere espressa usando la definizione di coseno:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Quindi abbiamo quello per il punto \(P \) la coordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Con la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto \(P\) . In questo modo,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Quindi dentro vista generale le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), dove
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordinate del centro del cerchio,
\(r\) - raggio del cerchio,
\(\delta \) - angolo di rotazione del raggio del vettore.
Come puoi vedere, per il cerchio unitario che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono zero e il raggio è uguale a uno:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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Seno l'angolo acuto α di un triangolo rettangolo è il rapporto opposto catetere all'ipotenusa.
Si denota come segue: sin α.
Coseno l'angolo acuto α di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
Si denota come segue: cos α.
Tangente l'angolo acuto α è il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.
Si denota come segue: tg α.
Cotangente l'angolo acuto α è il rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta.
È designato come segue: ctg α.
Seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo dipendono solo dalla grandezza dell'angolo.
Regole:
Identità trigonometriche di base in un triangolo rettangolo:
(α - angolo acuto opposto alla gamba B e adiacente alla gamba un . Lato da - ipotenusa. β - il secondo angolo acuto).
B | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
un | 1 | |
B | 1 | |
un | 1 1 | |
sinα |
All'aumentare dell'angolo acutosinα etg α aumentare, ecos α diminuisce.
Per qualsiasi angolo acuto α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = peccato α
Esempio esplicativo:
Sia in un triangolo rettangolo ABC
AB = 6,
BC = 3,
angolo A = 30º.
Trova il seno dell'angolo A e il coseno dell'angolo B.
Soluzione.
1) Innanzitutto, troviamo il valore dell'angolo B. Qui tutto è semplice: poiché in un triangolo rettangolo la somma degli angoli acuti è 90º, quindi l'angolo B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Calcola sin A. Sappiamo che il seno è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa. Per l'angolo A, la gamba opposta è lato BC. Così:
BC 3 1
peccato A = -- = - = -
AB 6 2
3) Ora calcoliamo cos B. Sappiamo che il coseno è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Per l'angolo B, la gamba adiacente è dello stesso lato BC. Ciò significa che dobbiamo nuovamente dividere BC in AB, ovvero eseguire le stesse azioni del calcolo del seno dell'angolo A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Il risultato è:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Ne consegue che in un triangolo rettangolo il seno di un angolo acuto uguale al coseno un altro angolo acuto e viceversa. Questo è esattamente ciò che significano le nostre due formule:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = peccato α
Diamo un'occhiata di nuovo:
1) Sia α = 60º. Sostituendo il valore di α nella formula del seno, otteniamo:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Sia α = 30º. Sostituendo il valore di α nella formula del coseno, otteniamo:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = peccato 30º.
(Per ulteriori informazioni sulla trigonometria, vedere la sezione Algebra)
Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova all'origine, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse (nel nostro esempio, questo è il raggio).
Ogni punto del cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse e la coordinata lungo l'asse. Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa hanno a che fare con l'argomento in questione? Per fare ciò, ricorda il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra, puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera un triangolo. È rettangolare perché è perpendicolare all'asse.
A cosa è uguale da un triangolo? Giusto. Inoltre, sappiamo che è il raggio della circonferenza unitaria, e quindi, . Sostituisci questo valore nella nostra formula del coseno. Ecco cosa succede:
E a cosa è uguale da un triangolo? Beh, certo, ! Sostituisci il valore del raggio in questa formula e ottieni:
Allora, puoi dirmi quali sono le coordinate di un punto che appartiene al cerchio? Beh, non c'è modo? E se te ne rendi conto e sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde? Bene, certo, le coordinate! A quale coordinata corrisponde? Esatto, coordinati! Quindi, il punto.
E cosa sono allora uguali e? Esatto, usiamo le definizioni appropriate di tangente e cotangente e otteniamo che, a.
E se l'angolo fosse maggiore? Qui, ad esempio, come in questa immagine:
Cosa è cambiato in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, ci rivolgiamo di nuovo a un triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo: un angolo (come adiacente a un angolo). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo? Esatto, aderiamo alle corrispondenti definizioni di funzioni trigonometriche:
Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni sono applicabili a qualsiasi rotazione del vettore raggio.
Si è già detto che la posizione iniziale del vettore raggio è lungo la direzione positiva dell'asse. Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di una certa dimensione, ma sarà solo negativo. Pertanto, ruotando il vettore del raggio in senso antiorario, otteniamo angoli positivi, e ruotando in senso orario - negativo.
Quindi, sappiamo che un'intera rivoluzione del vettore raggio attorno al cerchio è o. È possibile ruotare il vettore raggio di o di? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, quindi, il vettore raggio compirà un giro completo e si fermerà in posizione o.
Nel secondo caso, cioè, il vettore raggio farà tre giri completi e si fermerà alla posizione o.
Pertanto, dagli esempi precedenti, possiamo concludere che angoli che differiscono per o (dove è un numero intero) corrispondono alla stessa posizione del vettore raggio.
La figura seguente mostra un angolo. La stessa immagine corrisponde all'angolo e così via. Questo elenco può essere continuato all'infinito. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale o (dove è un numero intero)
Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando il cerchio unitario, prova a rispondere a cosa sono uguali i valori:
Ecco una cerchia di unità per aiutarti:
Qualche difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:
Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure dell'angolo. Bene, cominciamo con ordine: lo spigolo a corrisponde ad un punto con coordinate, quindi:
Non esiste;
Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli corrispondono rispettivamente a punti con coordinate. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Prima prova tu stesso, quindi controlla le risposte.
Risposte:
Non esiste
Non esiste
Non esiste
Non esiste
Possiamo quindi fare la seguente tabella:
Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:
Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e, riportati nella tabella seguente, deve essere ricordato:
Non aver paura, ora mostreremo uno degli esempi memorizzazione piuttosto semplice dei valori corrispondenti:
Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo (), nonché il valore della tangente dell'angolo in. Conoscendo questi valori, è abbastanza facile ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:
Sapendo questo, puoi ripristinare i valori per. Il numeratore " " corrisponderà e il denominatore " " corrisponderà. I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce mostrate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare l'intero valore dalla tabella.
Coordinate di un punto su una circonferenza
È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e angolo di rotazione?
Beh, certo che puoi! Tiriamo fuori formula generale per trovare le coordinate di un punto.
Qui, ad esempio, abbiamo un tale cerchio:
Abbiamo dato che il punto è il centro della circonferenza. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il punto di gradi.
Come si può vedere dalla figura, la coordinata del punto corrisponde alla lunghezza del segmento. La lunghezza del segmento corrisponde alla coordinata del centro del cerchio, cioè è uguale a. La lunghezza di un segmento può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:
Quindi abbiamo quello per il punto la coordinata.
Con la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto. In questo modo,
Quindi, in termini generali, le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:
Coordinate del centro del cerchio,
raggio del cerchio,
Angolo di rotazione del vettore raggio.
Come puoi vedere, per il cerchio unitario che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono zero e il raggio è uguale a uno:
Bene, proviamo queste formule per un assaggio, esercitandoti a trovare punti su un cerchio?
1. Trova le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria ottenuta ruotando un punto.
2. Trova le coordinate di un punto su un cerchio unitario ottenuto ruotando un punto.
3. Trova le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria ottenuta ruotando un punto.
4. Punto: il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il vettore raggio iniziale di.
5. Punto: il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il vettore raggio iniziale di.
Hai difficoltà a trovare le coordinate di un punto su una circonferenza?
Risolvi questi cinque esempi (o capisci bene la soluzione) e imparerai come trovarli!
1.
Si può vedere che. E sappiamo cosa corrisponde a un giro completo del punto di partenza. Pertanto, il punto desiderato sarà nella stessa posizione di quando si gira a. Sapendo questo, troviamo le coordinate desiderate del punto:
2. Il cerchio è unità con un centro in un punto, il che significa che possiamo usare formule semplificate:
Si può vedere che. Sappiamo cosa corrisponde a due rotazioni complete del punto di partenza. Pertanto, il punto desiderato sarà nella stessa posizione di quando si gira a. Sapendo questo, troviamo le coordinate desiderate del punto:
Seno e coseno sono valori tabulari. Ricordiamo i loro valori e otteniamo:
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
3. Il cerchio è unità con un centro in un punto, il che significa che possiamo usare formule semplificate:
Si può vedere che. Descriviamo l'esempio considerato nella figura:
Il raggio forma angoli con l'asse uguale a e. Sapendo che i valori tabulari del coseno e del seno sono uguali e dopo aver determinato che il coseno qui assume un valore negativo e il seno è positivo, abbiamo:
Di più esempi simili capire quando si studiano formule per ridurre le funzioni trigonometriche nell'argomento.
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
4.
Angolo di rotazione del vettore raggio (per condizione)
Per determinare i corrispondenti segni di seno e coseno, costruiamo una circonferenza unitaria e un angolo:
Come puoi vedere, il valore, cioè, è positivo e il valore, cioè, è negativo. Conoscendo i valori tabulari delle corrispondenti funzioni trigonometriche, otteniamo che:
Sostituiamo i valori ottenuti nella nostra formula e troviamo le coordinate:
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
5. Per risolvere questo problema, utilizziamo formule in forma generale, dove
Le coordinate del centro del cerchio (nel nostro esempio,
Raggio del cerchio (per condizione)
Angolo di rotazione del vettore raggio (per condizione).
Sostituisci tutti i valori nella formula e ottieni:
e - valori della tabella. Li ricordiamo e li sostituiamo nella formula:
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
RIASSUNTO E FORMULA BASE
Il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.
Il coseno di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.
La tangente di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).
La cotangente di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).