Equazione di una retta su 2 punti online. Equazione di una retta passante per due punti dati. Equazione di una retta per un punto e un vettore normale

Lascia che la retta passi per i punti M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). L'equazione di una retta passante per il punto M 1 ha la forma y- y 1 \u003d K (x - x 1), (10.6)

dove K - coefficiente ancora sconosciuto.

Poiché la retta passa per il punto M 2 (x 2 y 2), le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione (10.6): y 2 -y 1 \u003d K (x 2 -x 1).

Da qui troviamo Sostituendo il valore trovato K nell'equazione (10.6), otteniamo l'equazione di una retta passante per i punti M 1 e M 2:

Si presume che in questa equazione x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Se x 1 \u003d x 2, la retta passante per i punti M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) è parallela all'asse y. La sua equazione è x = x 1 .

Se y 2 \u003d y I, l'equazione della retta può essere scritta come y \u003d y 1, la retta M 1 M 2 è parallela all'asse x.

Equazione di una retta in segmenti

Lascia che la retta intersechi l'asse Ox nel punto M 1 (a; 0) e l'asse Oy - nel punto M 2 (0; b). L'equazione assumerà la forma:
quelli.
. Questa equazione è chiamata l'equazione di una retta in segmenti, perché i numeri aeb indicano quali segmenti taglia la retta sugli assi delle coordinate.

Equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore

Troviamo l'equazione di una retta passante per un dato punto Mo (x O; y o) perpendicolare ad un dato vettore diverso da zero n = (A; B).

Prendi un punto arbitrario M(x; y) sulla retta e considera il vettore M 0 M (x - x 0; y - y o) (vedi Fig. 1). Poiché i vettori n e M o M sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è uguale a zero: cioè

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Viene chiamata l'equazione (10.8). equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore .

Il vettore n = (A; B) perpendicolare alla retta si dice normale vettore normale di questa linea .

L'equazione (10.8) può essere riscritta come Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

dove A e B sono le coordinate del vettore normale, C \u003d -Ax o - Vu o - membro libero. Equazione (10.9) c'è equazione generale dritto(vedi Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Equazioni canoniche della retta

,

Dove
sono le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea, e
- vettore di direzione.

Curve del secondo ordine Cerchio

Una circonferenza è l'insieme di tutti i punti di un piano equidistanti da un dato punto, che è detto centro.

Equazione canonica di una circonferenza di raggio R centrato su un punto
:

In particolare, se il centro della puntata coincide con l'origine, l'equazione sarà simile a:

Ellisse

Un'ellisse è un insieme di punti su un piano, la somma delle distanze da ciascuno di essi a due punti dati e , che sono chiamati fuochi, è un valore costante
, maggiore della distanza tra i fuochi
.

L'equazione canonica di un'ellisse i cui fuochi giacciono sull'asse Ox e la cui origine è nel mezzo tra i fuochi ha la forma
G de un la lunghezza del semiasse maggiore; b è la lunghezza del semiasse minore (Fig. 2).

Relazione tra parametri dell'ellisse
e è espresso dal rapporto:

(4)

Eccentricità dell'ellissechiamato rapporto di distanza interfocale2sall'asse maggiore2a:

Direttrici ellisse sono chiamate rette parallele all'asse y, che sono a una distanza da questo asse. Equazioni direttrici:
.

Se nell'equazione dell'ellisse
, quindi i fuochi dell'ellisse si trovano sull'asse y.

Così,

Considera come scrivere l'equazione di una retta passante per due punti, usando degli esempi.

Esempio 1

Scrivi l'equazione di una retta passante per i punti A(-3; 9) e B(2;-1).

1 modo: comporremo l'equazione di una retta con una pendenza.

L'equazione di una retta con pendenza ha la forma . Sostituendo le coordinate dei punti A e B nell'equazione di una retta (x= -3 e y=9 - nel primo caso, x=2 e y= -1 - nel secondo), otteniamo un sistema di equazioni , da cui troviamo i valori di k e b:

Sommando termine per termine la 1a e la 2a equazione, otteniamo: -10=5k, da cui k= -2. Sostituendo k= -2 nella seconda equazione, troviamo b: -1=2 (-2)+b, b=3.

Quindi, y= -2x+3 è l'equazione desiderata.

2 vie: comporremo l'equazione generale di una retta.

L'equazione generale di una retta ha la forma . Sostituendo le coordinate dei punti A e B nell'equazione, otteniamo il sistema:

Poiché il numero di incognite è maggiore del numero di equazioni, il sistema non è risolvibile. Ma è possibile esprimere tutte le variabili attraverso una. Ad esempio, attraverso b.

Moltiplicando la prima equazione del sistema per -1 e aggiungendo termine per termine alla seconda:

otteniamo: 5a-10b=0. Quindi a=2b.

Sostituiamo l'espressione ricevuta nella seconda equazione: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3b.
Sostituisci a=2b, c= -3b nell'equazione ax+by+c=0:

2bx+di-3b=0. Resta da dividere entrambe le parti per b:

L'equazione generale di una retta si riduce facilmente all'equazione di una retta con pendenza:

3 vie: comporremo l'equazione di una retta passante per 2 punti.

L'equazione di una retta passante per due punti è:

Sostituisci in questa equazione le coordinate dei punti A(-3; 9) e B(2;-1)

(cioè x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

e semplificare:

da cui 2x+y-3=0.

A corso scolastico Viene spesso utilizzata l'equazione di una retta con un coefficiente di pendenza. Ma il modo più semplice è ricavare e utilizzare la formula per l'equazione di una retta passante per due punti.

Commento.

Se, sostituendo le coordinate di determinati punti, uno dei denominatori dell'equazione

risulta essere uguale a zero, quindi l'equazione desiderata si ottiene eguagliando a zero il numeratore corrispondente.

Esempio 2

Scrivi l'equazione di una retta passante per due punti C(5; -2) e D(7; -2).

Sostituisci nell'equazione di una retta passante per 2 punti le coordinate dei punti C e D.

Proprietà di una retta nella geometria euclidea.

Ci sono infinite linee che possono essere tracciate attraverso qualsiasi punto.

Attraverso due punti qualsiasi non coincidenti, c'è solo una linea retta.

Due linee non coincidenti nel piano si intersecano in un unico punto o sono

parallelo (segue dal precedente).

Nello spazio tridimensionale, ci sono tre opzioni per la posizione relativa di due linee:

• le linee si intersecano;

• le rette sono parallele;

• le linee rette si intersecano.

Dritto lineaè una curva algebrica del primo ordine: in sistema cartesiano coordinate in linea retta

è data sul piano da un'equazione di primo grado (equazione lineare).

Equazione generale di una retta.

Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

e costante A, B non uguale a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata generale

equazione di linea retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e DA Sono possibili i seguenti casi speciali:

. C = 0, LA ≠ 0, B ≠ 0- la linea passa per l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Di + C = 0)- retta parallela all'asse Oh

. B = 0, LA ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- retta parallela all'asse UO

. B = C = 0, LA ≠ 0- la linea coincide con l'asse UO

. A = C = 0, B ≠ 0- la linea coincide con l'asse Oh

L'equazione di una retta può essere rappresentata in varie forme a seconda di un dato

condizioni iniziali.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale.

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B)

perpendicolare alla retta data dall'equazione

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per un punto A(1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Soluzione. Componiamo in A \u003d 3 e B \u003d -1 l'equazione della retta: 3x - y + C \u003d 0. Per trovare il coefficiente C

nell'espressione risultante sostituiamo le coordinate del punto A. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi

C = -1. Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione di una retta passante per due punti.

Siano dati due punti nello spazio M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), poi equazione di linea retta,

passando per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero. Sul

piano, l'equazione di una retta scritta sopra è semplificata:

Se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, Se x 1 = x 2 .

Frazione = k chiamato fattore di pendenza dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula sopra, otteniamo:

Equazione di una retta per un punto e una pendenza.

Se l'equazione generale di una retta Ah + Wu + C = 0 portare al modulo:

e designare , quindi viene chiamata l'equazione risultante

equazione di una retta di pendenza k.

L'equazione di una retta su un punto e un vettore direzionale.

Per analogia con il punto considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, puoi inserire l'attività

una retta passante per un punto e un vettore di direzione di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1 , α 2), i cui componenti soddisfano la condizione

Aα 1 + Bα 2 = 0 chiamato vettore di direzione della retta.

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + di + C = 0. Secondo la definizione,

i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * LA + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x=1, y=2 noi abbiamo C/LA = -3, cioè. equazione desiderata:

x + y - 3 = 0

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora, dividendo per -C, otteniamo:

o dove

senso geometrico coefficienti in quanto il coefficiente a è la coordinata del punto di intersezione

dritto con asse Oh, un b- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse UO.

Esempio. Viene data l'equazione generale di una retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta in segmenti.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ah + Wu + C = 0 dividere per numero , che è chiamato

fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equazione normale di una retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale μ * C< 0.

R- la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla linea,

un φ - l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse Oh.

Esempio. Data l'equazione generale di una retta 12x - 5 anni - 65 = 0. Obbligatorio per scrivere tipi diversi equazioni

questa linea retta.

L'equazione di questa retta in segmenti:

L'equazione di questa retta con la pendenza: (dividi per 5)

Equazione di una retta:

cos φ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette,

parallela agli assi o passante per l'origine.

Angolo tra le linee su un piano.

Definizione. Se vengono fornite due righe y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, quindi l'angolo acuto tra queste linee

sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2. Due le rette sono perpendicolari,

Se k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Diretto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono paralleli quando i coefficienti sono proporzionali

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se anche С 1 \u003d λС, quindi le linee coincidono. Coordinate del punto di intersezione di due rette

si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

L'equazione di una retta passante per un dato punto è perpendicolare a una data retta.

Definizione. Una retta passante per un punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y = kx + b

rappresentato dall'equazione:

La distanza da un punto a una linea.

Teorema. Se viene assegnato un punto M(x 0, y 0), poi la distanza dalla linea Ah + Wu + C = 0 definito come:

Prova. Lascia il punto M 1 (x 1, y 1)- la base della perpendicolare scesa dal punto M per una data

diretto. Poi la distanza tra i punti M e M1:

(1)

Coordinate x 1 e 1 può essere trovata come soluzione al sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolarmente

riga data. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Questo articolo rivela la derivazione dell'equazione di una retta passante per due punti dati in un sistema di coordinate rettangolare situato su un piano. Deriviamo l'equazione di una retta passante per due punti dati in un sistema di coordinate rettangolare. Mostreremo visivamente e risolveremo diversi esempi relativi al materiale trattato.

Prima di ottenere l'equazione di una retta passante per due punti dati, è necessario prestare attenzione ad alcuni fatti. C'è un assioma che dice che attraverso due punti non coincidenti su un piano è possibile tracciare una retta e una sola. In altre parole, due punti dati del piano sono determinati da una retta passante per questi punti.

Se il piano è dato dal sistema di coordinate rettangolare Oxy, qualsiasi linea retta in esso rappresentata corrisponderà all'equazione della retta sul piano. C'è anche una connessione con il vettore direzionale della retta Questi dati sono sufficienti per elaborare l'equazione di una retta passante per due punti dati.

Considera un esempio di risoluzione di un problema simile. È necessario comporre l'equazione di una retta a passante per due punti non corrispondenti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) situati nel sistema di coordinate cartesiane.

Nell'equazione canonica di una retta su un piano, avente la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , viene specificato un sistema di coordinate rettangolare O x y con una retta che si interseca con essa in un punto con coordinate M 1 (x 1, y 1) con un vettore guida a → = (a x , a y) .

È necessario comporre l'equazione canonica della retta a, che passerà per due punti di coordinate M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .

La retta a ha un vettore direzionale M 1 M 2 → con coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), poiché interseca i punti M 1 e M 2. Abbiamo ottenuto i dati necessari per trasformare l'equazione canonica con le coordinate del vettore di direzione M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e le coordinate dei punti M 1 su di esse giacenti (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2) . Otteniamo un'equazione della forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considera la figura seguente.

Seguendo i calcoli, scriviamo le equazioni parametriche di una retta in un piano che passa per due punti di coordinate M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Otteniamo un'equazione della forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Diamo un'occhiata più da vicino ad alcuni esempi.

Esempio 1

Scrivi l'equazione di una retta passante per 2 punti dati con coordinate M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Soluzione

Equazione canonica per una retta intersecante in due punti di coordinate x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . In base alle condizioni del problema, abbiamo che x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. È necessario sostituire i valori numerici nell'equazione x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Da qui otteniamo che l'equazione canonica assumerà la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Risposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Se è necessario risolvere un problema con un diverso tipo di equazione, per cominciare puoi passare a quella canonica, poiché è più facile arrivare a qualsiasi altra da essa.

Esempio 2

Componi l'equazione generale di una retta passante per punti di coordinate M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) nel sistema di coordinate O x y.

Soluzione

Per prima cosa devi scrivere l'equazione canonica di una data retta che passa per i due punti dati. Otteniamo un'equazione della forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Portiamo l'equazione canonica nella forma desiderata, quindi otteniamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Risposta: x - 3 y + 2 = 0 .

Esempi di tali compiti sono stati discussi in libri di testo scolastici a lezione di algebra. I compiti scolastici differivano in quanto era nota l'equazione di una retta con un coefficiente di pendenza, avente la forma y \u003d k x + b. Se è necessario trovare il valore della pendenza k e il numero b, a cui l'equazione y \u003d k x + b definisce una linea nel sistema O x y che passa per i punti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , dove x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , allora la pendenza assume il valore di infinito, e la retta M 1 M 2 è definita da un'equazione generale incompleta della forma x - x 1 = 0 .

Perché i punti M1 e M2 sono su una retta, allora le loro coordinate soddisfano l'equazione y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. È necessario risolvere il sistema di equazioni y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b rispetto a k e b.

Per fare ciò, troviamo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con tali valori di k e b, l'equazione di una retta passante per dati due punti assume la forma seguente y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

La memorizzazione di un numero così elevato di formule contemporaneamente non funzionerà. Per fare ciò, è necessario aumentare il numero di ripetizioni nella risoluzione dei problemi.

Esempio 3

Scrivi l'equazione di una retta con pendenza passante per punti di coordinate M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Soluzione

Per risolvere il problema, utilizziamo una formula con una pendenza che ha la forma y \u003d k x + b. I coefficienti k e b devono assumere un valore tale che questa equazione corrisponda ad una retta passante per due punti di coordinate M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .

punti M1 e M2 situato su una linea retta, le loro coordinate dovrebbero invertire l'equazione y = k x + b l'uguaglianza corretta. Da qui otteniamo che - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Uniamo l'equazione nel sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e risolviamo.

Dopo la sostituzione, lo otteniamo

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ora i valori k = 2 3 e b = - 1 3 vengono sostituiti nell'equazione y = k x + b . Otteniamo che l'equazione desiderata passante per i punti dati sarà un'equazione che ha la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Questo modo di risolvere predetermina il dispendio di una grande quantità di tempo. C'è un modo in cui il compito viene risolto letteralmente in due passaggi.

Scriviamo l'equazione canonica di una retta passante per M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5) , avente la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Passiamo ora all'equazione della pendenza. Otteniamo che: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Risposta: y = 2 3 x - 1 3 .

Se nello spazio tridimensionale esiste un sistema di coordinate rettangolare O x y z con due punti dati non coincidenti con coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), il retta M passante per essi 1 M 2 , occorre ottenere l'equazione di tale retta.

Abbiamo che le equazioni canoniche della forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e le equazioni parametriche della forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sono in grado di impostare una retta nel sistema di coordinate O x y z passante per punti di coordinate (x 1, y 1, z 1) con un vettore direzionale a → = (a x, a y, a z) .

Dritto M 1 M 2 ha un vettore di direzione della forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , dove la retta passa per il punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione canonica può essere della forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, a sua volta, parametrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Si consideri una figura che mostra 2 punti dati nello spazio e l'equazione di una retta.

Esempio 4

Scrivi l'equazione di una retta definita in un sistema di coordinate rettangolare O x y z dello spazio tridimensionale, passante per i due punti dati con coordinate M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).

Soluzione

Dobbiamo trovare l'equazione canonica. Perché noi stiamo parlando sullo spazio tridimensionale, il che significa che quando una retta passa per determinati punti, l'equazione canonica desiderata assumerà la forma x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Per condizione, abbiamo che x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ne consegue che le equazioni necessarie possono essere scritte come segue:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Risposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Si danno due punti M(X 1 ,In 1) e N(X 2,y 2). Troviamo l'equazione della retta passante per questi punti.

Poiché questa linea passa per il punto M, quindi secondo la formula (1.13) la sua equazione ha la forma

In – Y 1 = K(X-x 1),

Dove Kè la pendenza sconosciuta.

Il valore di questo coefficiente è determinato dalla condizione che la retta desiderata passi per il punto N, il che significa che le sue coordinate soddisfano l'equazione (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Da qui puoi trovare la pendenza di questa linea:

,

O dopo la conversione

(1.14)

La formula (1.14) definisce Equazione di una retta passante per due punti M(X 1, Y 1) e N(X 2, Y 2).

Nel caso particolare quando i punti M(UN, 0), N(0, B), MA ¹ 0, B¹ 0, giace sugli assi delle coordinate, l'equazione (1.14) assume una forma più semplice

Equazione (1.15) chiamato Equazione di una retta in segmenti, qui MA e B denotano segmenti tagliati da una linea retta sugli assi (Figura 1.6).

Figura 1.6

Esempio 1.10. Scrivi l'equazione di una retta passante per i punti M(1, 2) e B(3, –1).

. Secondo (1.14), l'equazione della retta desiderata ha la forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Trasferendo tutti i termini sul lato sinistro, otteniamo infine l'equazione desiderata

3X + 2Y – 7 = 0.

Esempio 1.11. Scrivi un'equazione per una retta passante per un punto M(2, 1) e il punto di intersezione delle rette X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Troviamo le coordinate del punto di intersezione delle rette risolvendo insieme queste equazioni

Se sommiamo queste equazioni termine per termine, otteniamo 2 X+ 1 = 0, da cui . Sostituendo il valore trovato in una qualsiasi equazione, troviamo il valore dell'ordinata In:

Ora scriviamo l'equazione di una retta passante per i punti (2, 1) e :

o .

Quindi o -5( Y – 1) = X – 2.

Infine, otteniamo l'equazione della retta desiderata nella forma X + 5Y – 7 = 0.

Esempio 1.12. Trova l'equazione di una retta passante per punti M(2.1) e N(2,3).

Usando la formula (1.14), otteniamo l'equazione

Non ha senso perché il secondo denominatore è zero. Dalla condizione del problema si evince che le ascisse di entrambi i punti hanno lo stesso valore. Quindi, la retta richiesta è parallela all'asse OY e la sua equazione è: X = 2.

Commento . Se, scrivendo l'equazione di una retta secondo la formula (1.14), uno dei denominatori risulta essere uguale a zero, allora l'equazione desiderata può essere ottenuta uguagliando a zero il numeratore corrispondente.

Consideriamo altri modi per impostare una retta su un piano.

1. Sia un vettore diverso da zero perpendicolare a una retta data l, e il punto M 0(X 0, Y 0) giace su questa linea (Figura 1.7).

Figura 1.7

Denota M(X, Y) un punto arbitrario sulla retta l. Vettori e Ortogonale. Usando le condizioni di ortogonalità per questi vettori, otteniamo o MA(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Abbiamo ottenuto l'equazione di una retta passante per un punto M 0 è perpendicolare al vettore. Questo vettore è chiamato Vettore normale ad una linea retta l. L'equazione risultante può essere riscritta come

Oh + Wu + DA= 0, dove DA = –(MAX 0 + Di 0), (1.16),

Dove MA e A sono le coordinate del vettore normale.

Otteniamo l'equazione generale di una retta in forma parametrica.

2. Una retta su un piano può essere definita come segue: sia parallelo ad una retta data un vettore diverso da zero l e punto M 0(X 0, Y 0) giace su questa riga. Ancora una volta, prendi un punto arbitrario M(X, y) su una linea retta (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vettori e collineare.

Scriviamo la condizione di collinearità di questi vettori: , dove Tè un numero arbitrario, chiamato parametro. Scriviamo questa uguaglianza in coordinate:

Queste equazioni sono chiamate Equazioni parametriche Dritto. Escludiamo da queste equazioni il parametro T:

Queste equazioni possono essere scritte nella forma

. (1.18)

L'equazione risultante viene chiamata L'equazione canonica di una retta. Chiamata vettoriale Direzione vettore dritto .

Commento . È facile vedere che se è il vettore normale della linea l, allora il suo vettore di direzione può essere il vettore , poiché , cioè .

Esempio 1.13. Scrivi l'equazione di una retta passante per un punto M 0(1, 1) parallelo alla linea 3 X + 2In– 8 = 0.

Soluzione . Il vettore è il vettore normale alle linee date e desiderate. Usiamo l'equazione di una retta passante per un punto M 0 con un dato vettore normale 3( X –1) + 2(In– 1) = 0 o 3 X + 2 anni- 5 \u003d 0. Abbiamo ottenuto l'equazione della retta desiderata.