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In quale geometria si intersecano le rette parallele? Assiomatica della geometria di Lobachevsky Dichiarazione della geometria di Lobachevsky

In quale geometria si intersecano le rette parallele? Assiomatica della geometria di Lobachevsky Dichiarazione della geometria di Lobachevsky

aereo Lobachevskij

Geometria di Lobachevsky (geometria iperbolica ascolta)) è una delle geometrie non euclidee, una teoria geometrica basata sulle stesse premesse di base della geometria euclidea ordinaria, ad eccezione dell'assioma parallelo, che è sostituito dall'assioma parallelo di Lobachevsky.

L'assioma euclideo delle parallele dice:

per un punto che non giace su una retta data, c'è solo una retta che giace con la retta data sullo stesso piano e non la interseca.

Nella geometria di Lobachevsky, invece, viene accettato il seguente assioma:

per un punto che non giace su una retta data passano almeno due rette che giacciono con la retta data nello stesso piano e non la intersecano.

La geometria di Lobachevsky ha ampie applicazioni sia in matematica che in fisica. Il suo significato storico sta nel fatto che con la sua costruzione Lobachevsky mostrò la possibilità di una geometria diversa da quella euclidea, che segnò una nuova era nello sviluppo della geometria e della matematica in generale.

Storia

Tentativi di dimostrare il quinto postulato

Il punto di partenza della geometria di Lobachevsky era il quinto postulato di Euclide, un assioma equivalente all'assioma delle parallele. Era incluso nell'elenco dei postulati negli Elementi di Euclide). La relativa complessità e non-intuitività della sua formulazione evocava un sentimento della sua natura secondaria e diede origine a tentativi di derivarla dal resto dei postulati di Euclide.

Tra coloro che hanno cercato di dimostrare c'erano i seguenti scienziati:

antichi matematici greci Tolomeo (II secolo), Proclo (V secolo) (basato sul presupposto che la distanza tra due paralleli sia finita),
Ibn al-Haytham dall'Iraq (fine - inizio secolo) (basato sul presupposto che la fine di un movimento perpendicolare a una linea retta descriva una linea retta),
I matematici iraniani Omar Khayyam (seconda metà - inizio del XII secolo) e Nasir ad-Din at-Tusi (XIII secolo) (basati sul presupposto che due linee convergenti non possono continuare a divergere senza incrociarsi),
matematico tedesco Clavius (),
matematici italiani
- Cataldi (pubblica per la prima volta nel 1603 un'opera interamente dedicata alla questione dei parallelismi),
Il matematico inglese Wallis ( , pubblicato in ) (basato sul presupposto che per ogni figura esiste una figura simile, ma non uguale ad essa),
Il matematico francese Legendre () (basato sul presupposto che attraverso ogni punto all'interno di un angolo acuto si possa tracciare una linea che interseca entrambi i lati dell'angolo; ha avuto anche altri tentativi di dimostrazione).

In questi tentativi di provare il quinto postulato, i matematici introdussero alcune nuove asserzioni, che sembravano loro più ovvie.

Sono stati fatti tentativi per utilizzare la prova per assurdo:

il matematico italiano Saccheri () (avendo formulato un'affermazione contraddittoria al postulato, ne dedusse alcune conseguenze e, riconoscendone erroneamente alcune come contraddittorie, riteneva il postulato provato),
Il matematico tedesco Lambert (circa, pubblicato in) (dopo aver condotto ricerche, ha ammesso di non trovare contraddizioni nel sistema che ha costruito).

Infine, si è cominciato a capire che è possibile costruire una teoria basata sul postulato opposto:

I matematici tedeschi F. Schweikart () e Taurinus () (tuttavia, non si rendevano conto che una tale teoria sarebbe stata altrettanto logicamente coerente).

Creazione della geometria non euclidea

Lobachevsky nella sua opera "On the Principles of Geometry" (), la sua prima opera a stampa sulla geometria non euclidea, affermava chiaramente che il postulato V non può essere dimostrato sulla base di altre premesse della geometria euclidea e che l'assunzione di un postulato opposto al postulato di Euclide permette di costruire una geometria altrettanto significativa, come quella euclidea, e priva di contraddizioni.

Contemporaneamente e indipendentemente, Janos Bolyai giunse a conclusioni simili e Carl Friedrich Gauss giunse a tali conclusioni anche prima. Tuttavia, gli scritti di Bolyai non hanno attirato l'attenzione e presto ha abbandonato l'argomento, mentre Gauss si è astenuto dal pubblicare affatto e le sue opinioni possono essere giudicate solo da poche lettere e annotazioni di diario. Ad esempio, in una lettera del 1846 all'astronomo G.H. Schumacher, Gauss parla del lavoro di Lobachevsky nel modo seguente:

Questo lavoro contiene le basi della geometria che dovrebbe realizzarsi e, inoltre, costituirebbe un tutto rigorosamente coerente, se la geometria euclidea non fosse vera ... Lobachevsky la chiama "geometria immaginaria"; Sai che per 54 anni (dal 1792) ho condiviso le stesse opinioni con qualche sviluppo, che non voglio qui menzionare; quindi, non ho trovato nulla di veramente nuovo per me stesso nel lavoro di Lobachevsky. Ma nello sviluppo del soggetto, l'autore non ha seguito la strada che io stesso ho seguito; è magistralmente realizzato da Lobachevsky in uno spirito veramente geometrico. Mi ritengo obbligato a richiamare la vostra attenzione su questo lavoro, che sicuramente vi darà un piacere del tutto eccezionale.

Di conseguenza, Lobachevsky ha agito come il primo propagandista più brillante e coerente di questa teoria.

Sebbene la geometria di Lobachevsky si sia sviluppata come teoria speculativa e Lobachevsky stesso la chiamasse "geometria immaginaria", tuttavia, è stato Lobachevsky a considerarla non come un gioco della mente, ma come una possibile teoria delle relazioni spaziali. Tuttavia, la prova della sua consistenza è stata data in seguito, quando sono state indicate le sue interpretazioni, e così è stata completamente risolta la questione del suo vero significato, la coerenza logica.

Dichiarazione della geometria di Lobachevsky

l'angolo è ancora più difficile.

Modello Poincaré

Il contenuto della geometria di Lobachevsky

Matita di rette parallele nella geometria di Lobachevsky

Lobachevsky costruì la sua geometria, partendo dai concetti geometrici di base e dal suo assioma, e dimostrò teoremi con un metodo geometrico, simile a come si fa nella geometria di Euclide. La teoria delle rette parallele è servita come base, poiché è qui che inizia la differenza tra la geometria di Lobachevsky e la geometria di Euclide. Tutti i teoremi che non dipendono dall'assioma delle parallele sono comuni ad entrambe le geometrie e formano la cosiddetta geometria assoluta, che comprende, ad esempio, i teoremi sull'uguaglianza dei triangoli. Seguendo la teoria delle parallele, sono state costruite altre sezioni, tra cui la trigonometria ei principi della geometria analitica e differenziale.

Presentiamo (in notazione moderna) diversi fatti della geometria di Lobachevsky che la distinguono dalla geometria di Euclide e furono stabiliti dallo stesso Lobachevsky.

Attraverso il punto P non sdraiato sulla linea data. R(vedi figura), ci sono infinite rette che non si intersecano R e si trova con esso sullo stesso piano; tra loro ci sono due estremi X, y, che prendono il nome di rette parallele R nel senso di Lobachevskij. Nei modelli di Klein (Poincaré) sono rappresentati da accordi (archi di cerchio) aventi con un accordo (arco) R un fine comune (che, per definizione del modello, è escluso, in modo che queste linee non abbiano punti comuni).

Angolo tra perpendicolare PB da P sul R e ciascuno dei paralleli (chiamati angolo di parallelismo) quando il punto viene rimosso P decresce dalla retta da 90° a 0° (nel modello di Poincaré gli angoli in senso usuale coincidono con gli angoli nel senso di Lobachevsky, e quindi questo fatto si può vedere direttamente su di esso). Parallelo X da un lato (e y opposto) si avvicina asintoticamente un, e d'altra parte, si allontana da esso all'infinito (nei modelli, le distanze sono difficili da determinare, e quindi questo fatto non è direttamente visibile).

Per un punto situato da una data retta a distanza PB = a(vedi figura), Lobachevsky ha fornito una formula per l'angolo di parallelismo Papà) :

Qui qè una costante correlata alla curvatura dello spazio di Lobachevsky. Può fungere da unità assoluta di lunghezza allo stesso modo in cui nella geometria sferica il raggio della sfera occupa una posizione speciale.

Se le linee hanno una perpendicolare comune, divergono all'infinito su entrambi i lati di essa. Ad ognuna di esse è possibile ripristinare perpendicolari che non raggiungono l'altra linea.

Nella geometria di Lobachevsky non ci sono triangoli simili ma disuguali; i triangoli sono congruenti se i loro angoli sono uguali.

La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di π e può essere arbitrariamente vicina a zero. Questo è direttamente visibile nel modello Poincaré. La differenza δ \u003d π - (α + β + γ) , dove α , β , γ sono gli angoli del triangolo, è proporzionale alla sua area:

Si può vedere dalla formula che esiste un'area massima di un triangolo, e questo è un numero finito: π q 2 .

Una linea di uguale distanza da una retta non è una retta, ma una curva speciale chiamata equidistante, o iperciclo.

Il limite dei cerchi di raggio infinitamente crescente non è una retta, ma una curva speciale chiamata cerchio limite, o un orociclo.

Il limite delle sfere di raggio infinitamente crescente non è un piano, ma una superficie speciale: la sfera limite, o orosfera; è notevole che la geometria euclidea regga. Ciò servì a Lobachevsky come base per la derivazione di formule trigonometriche.

La circonferenza non è proporzionale al raggio, ma cresce più velocemente. In particolare, nella geometria di Lobachevsky, il numero π non può essere definito come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.

Più piccola è la regione nello spazio o sul piano di Lobachevsky, meno le relazioni geometriche in questa regione differiscono dalle relazioni della geometria euclidea. Possiamo dire che in una regione infinitesimale si realizza la geometria euclidea. Ad esempio, più piccolo è il triangolo, meno la somma dei suoi angoli differisce da π; più piccolo è il cerchio, meno il rapporto tra la sua lunghezza e il raggio differisce da 2π, ecc. Ridurre l'area equivale formalmente ad aumentare la lunghezza dell'unità, quindi, con un aumento infinito della lunghezza dell'unità, le formule della geometria di Lobachevsky si trasformano in formule della geometria euclidea. La geometria euclidea è in questo senso il caso "limitante" della geometria di Lobachevsky.

Applicazioni

Lo stesso Lobachevsky applicò la sua geometria al calcolo degli integrali definiti.
Nella teoria delle funzioni di una variabile complessa, la geometria di Lobachevsky ha contribuito a costruire la teoria delle funzioni automorfe. Il collegamento con la geometria di Lobachevsky è stato qui il punto di partenza della ricerca di Poincaré, che ha scritto che "la geometria non euclidea è la chiave per risolvere l'intero problema".
La geometria di Lobachevsky trova applicazione anche nella teoria dei numeri, nei suoi metodi geometrici, uniti sotto il nome di "geometria dei numeri".
È stata stabilita una stretta connessione tra la geometria di Lobachevsky e la cinematica della teoria della relatività speciale (privata). Questa connessione si basa sul fatto che l'uguaglianza esprime la legge di propagazione della luce

quando si divide per t 2, cioè per la velocità della luce, dà

- l'equazione della sfera nello spazio con le coordinate v X , v y , v z- componenti di velocità lungo gli assi X, a, z(in "spazio di velocità"). Le trasformazioni di Lorentz preservano questa sfera e, essendo lineari, trasformano gli spazi di velocità diretta in rette. Quindi, secondo il modello di Klein, nello spazio delle velocità all'interno di una sfera di raggio Insieme a, cioè per velocità inferiori alla velocità della luce, si verifica la geometria di Lobachevsky.

La geometria di Lobachevsky ha trovato una notevole applicazione nella teoria della relatività generale. Se consideriamo uniforme la distribuzione delle masse di materia nell'Universo (questa approssimazione è accettabile su scala cosmica), allora risulta che in determinate condizioni lo spazio ha la geometria di Lobachevsky. Pertanto, l'assunzione di Lobachevsky della sua geometria come possibile teoria dello spazio reale era giustificata.
Utilizzando il modello di Klein, viene fornita una dimostrazione molto semplice e breve

Geometria di Lobachevsky

introduzione

Capitolo I. La storia dell'emergere della geometria non euclidea

Capitolo II. Geometria di Lobachevsky

2.1 Concetti di base

2.2 Coerenza della geometria di Lobachevsky

2.3 Modelli della geometria di Lobachevsky

2.4 Difetto del triangolo e del poligono

2.5 Unità assoluta di lunghezza nella geometria di Lobachevsky

2.6 Definizione di una retta parallela. Funzione P(x)

2.7 Modello Poincaré

Parte pratica

1. La somma degli angoli di un triangolo

2. La questione dell'esistenza di tali figure

3. La principale proprietà del parallelismo

4. Proprietà della funzione P(x)

Conclusione. conclusioni

Applicazioni

Elenco della letteratura usata

introduzione

Questo lavoro mostra le somiglianze e le differenze delle due geometrie sull'esempio della dimostrazione di uno dei postulati di Euclide e la continuazione di questi concetti nella geometria di Lobachevsky, tenendo conto delle conquiste della scienza in quel momento.

Qualsiasi teoria della scienza moderna è considerata corretta fino a quando non viene creata la successiva. Questa è una specie di assioma dello sviluppo della scienza. Questo fatto è stato confermato molte volte.

La fisica di Newton è diventata relativistica e quella - quantistica. La teoria del flogisto divenne chimica. Tale è il destino di tutte le scienze. Questo destino non ha aggirato la geometria. La geometria tradizionale di Euclide è diventata geometria. Lobachevskij. Questo lavoro è dedicato a questo ramo della scienza.

Lo scopo di questo lavoro: considerare la differenza tra la geometria di Lobachevsky e la geometria di Euclide.

Gli obiettivi di questo lavoro: confrontare i teoremi della geometria di Euclide con teoremi simili della geometria di Lobachevsky;

risolvendo problemi, derivare le posizioni della geometria di Lobachevsky.

Conclusioni: 1. La geometria di Lobachevsky si basa sul rifiuto del quinto postulato di Euclide.

2. Nella geometria di Lobachevsky:

non ci sono triangoli simili che non sono uguali;

due triangoli sono uguali se i loro angoli sono uguali;

la somma degli angoli di un triangolo non è uguale a 180 0, ma minore (la somma degli angoli di un triangolo dipende dalle sue dimensioni: maggiore è l'area, più la somma differisce da 180 0; e viceversa, il minore è l'area, più vicina è la somma dei suoi angoli a 180 0);

per un punto esterno ad una retta si può tracciare più di una retta parallela alla retta data.

Capitolo 1. La storia dell'emergere della geometria non euclidea

1.1 V postulato di Euclide, tenta di dimostrarlo

Euclide è l'autore della prima costruzione logica rigorosa della geometria che sia giunta fino a noi. La sua esposizione è così perfetta per l'epoca che per duemila anni dal momento della comparsa della sua opera "Elements" fu l'unica guida per gli studenti di geometria.

"Beginnings" è composto da 13 libri dedicati alla geometria e all'aritmetica in una presentazione geometrica.

Ogni libro degli Elementi inizia con una definizione di concetti che si incontrano per la prima volta. Seguendo le definizioni, Euclide fornisce postulati e assiomi, cioè affermazioni accettate senza prova.

Il postulato V di Euclide dice: e che quando una linea si interseca con altre due linee, forma con esse angoli interni unilaterali, la cui somma è minore di due linee, queste linee si intersecano dal lato in cui questa somma è minore di due righe.

L'inconveniente più importante del sistema degli assiomi euclidei, compresi i suoi postulati, è la sua incompletezza, cioè la loro insufficienza per una costruzione strettamente logica della geometria, in cui ogni frase, se non compare nell'elenco degli assiomi, deve essere logicamente dedotto dai loro ultimi. Pertanto, Euclide, nel dimostrare i teoremi, non si basava sempre su assiomi, ma ricorreva all'intuizione, alla visualizzazione e alle percezioni "sensoriali". Ad esempio, ha attribuito un carattere puramente visivo al concetto di "tra"; supponeva tacitamente che una linea retta passante per un punto interno di un cerchio dovesse certamente intersecarla in due bastoncini. Allo stesso tempo, si basava solo sulla visibilità e non sulla logica; non diede prova di questo fatto da nessuna parte, e non poteva darla, poiché gli mancavano gli assiomi della continuità. Gli mancano anche altri assiomi, senza i quali una dimostrazione strettamente logica dei teoremi non è possibile.

Ma nessuno dubitava della verità dei postulati di Euclide, per quanto riguarda il quinto postulato. Intanto, già nell'antichità, fu proprio il postulato delle parallele ad attirare l'attenzione speciale di alcuni geometri, che ritenevano innaturale collocarlo tra i postulati. Ciò era probabilmente dovuto alla relativamente meno ovvietà e visibilità del postulato V: implicitamente, esso presuppone la raggiungibilità di qualsiasi parte del piano arbitrariamente distante, esprimendo una proprietà che si trova solo con un'estensione infinita di rette.

Lo stesso Euclide e molti scienziati hanno cercato di dimostrare il postulato dei parallelismi. Alcuni hanno cercato di dimostrare il postulato delle parallele, utilizzando solo altri postulati e quei teoremi che si possono dedurre da questi ultimi, senza utilizzare il postulato V stesso. Tutti questi tentativi non hanno avuto successo. Il loro difetto comune è che qualche ipotesi, equivalente al postulato dimostrato, è stata implicitamente applicata nella dimostrazione. Altri hanno suggerito di ridefinire le rette parallele o di sostituire il postulato V con qualcosa che ritenevano più ovvio.

Ma i tentativi secolari di provare il quinto postulato di Euclide alla fine hanno portato all'emergere di una nuova geometria, che differisce in quanto il quinto postulato non è soddisfatto in essa. Questa geometria è ora chiamata non euclidea e in Russia porta il nome di Lobachevsky, che per primo pubblicò un'opera con la sua presentazione.

E uno dei prerequisiti per le scoperte geometriche di N.I. Lobachevsky (1792-1856) era proprio il suo approccio materialistico ai problemi della cognizione. Lobachevsky, era fermamente convinto dell'esistenza oggettiva del mondo materiale e della possibilità della sua conoscenza, indipendente dalla coscienza umana. Nel suo discorso "Sui temi più importanti dell'educazione" (Kazan, 1828), Lobachevsky cita con simpatia le parole di F. Bacon: "lasciali lavorare invano, cercando di estrarre da loro tutta la saggezza; chiedi alla natura, lei conserva tutte le verità e risponderà a tutte le tue domande immancabilmente e in modo soddisfacente. Nel suo saggio “Sui principi della geometria”, che è la prima pubblicazione della geometria da lui scoperta, Lobachevsky scrive: “I primi concetti da cui parte ogni scienza devono essere chiari e ridotti al minimo numero. Solo allora possono servire come base solida e sufficiente per la dottrina. Tali concetti sono acquisiti dai sensi; innato - non dovrebbe essere creduto.

I primi tentativi di Lobachevsky di provare il quinto postulato risalgono al 1823. Nel 1826 giunse alla conclusione che il quinto postulato non dipende dal resto degli assiomi della geometria di Euclide, e l'11 (23 febbraio) 1826, in una riunione della facoltà dell'Università di Kazan, fece una relazione " Una sintetica presentazione dei principi della geometria con una rigorosa dimostrazione del teorema delle parallele”, in cui sono stati tratteggiati gli inizi della “geometria immaginaria” da lui scoperta, come chiamava il sistema, divenuto poi geometria non euclidea . Il rapporto del 1826 fu incluso nella prima pubblicazione di Lobachevsky sulla geometria non euclidea: l'articolo "Sui principi della geometria", pubblicato nel giornale dell'Università di Kazan "Kazan Vestnik" nel 1829-1830. ulteriori sviluppi e applicazioni della geometria da lui scoperta sono stati dedicati alle memorie "Imaginary Geometry", "The Application of Imaginary Geometry to Some Integrals" e "New Beginnings of Geometry with a Complete Theory of Parallels", pubblicate in "Scientific Notes" rispettivamente nel 1835, 1836 e 1835-1838. . Un testo rivisto della "Geometria immaginaria" apparve in una traduzione francese a Berlino, ibid., nel 1840. sono stati pubblicati come un libro separato in tedesco "Studi geometrici sulla teoria delle linee parallele" di Lobachevsky. Infine, nel 1855 e nel 1856. ha pubblicato a Kazan in russo e francese "Pangeometry". Apprezzò molto gli "Studi geometrici" di Gauss, che fece di Lobachevsky (1842) un membro corrispondente della Società scientifica di Göttingen, che era in sostanza l'Accademia delle scienze del regno di Hannover. Tuttavia, Gauss non ha pubblicato una valutazione del nuovo sistema geometrico.

1.2 Postulati di parallelismo di Euclide e Lobachevsky

Il punto principale da cui inizia, come sapete, la divisione della geometria in euclidea ordinaria (comune) e non euclidea (geometria immaginaria o "pangeometria") è il postulato delle rette parallele.

La geometria ordinaria si basa sul presupposto che per un punto che non giace su una retta data, si può tracciare al massimo una retta nel piano definito da questo punto e la retta, non intersecante la retta data. Il fatto che per un punto non giacente su una determinata retta passi almeno una retta che non interseca tale retta si riferisce alla "geometria assoluta", cioè può essere dimostrato senza l'ausilio del postulato delle rette parallele.

La retta BB passante per P perpendicolarmente alla perpendicolare PQ calata da AA 1 non interseca la retta AA 1 ; questa linea in geometria euclidea è detta parallela ad AA 1 .

Contrariamente al postulato di Euclide, Lobachevsky prende il seguente assioma come base per costruire la teoria delle rette parallele:

Per un punto non giacente su una retta data, nel piano definito da questo punto e dalla retta, si può tracciare più di una retta che non intersechi la retta data.

Ciò implica direttamente l'esistenza di un numero infinito di rette che passano per lo stesso punto e non intersecano la retta data. Lascia che la linea СС 1 non intersechi AA 1; quindi anche tutte le rette passanti all'interno dei due angoli verticali VRS e B 1 PC 1 non si intersecano con la retta AA 1 .

Capitolo 2. Geometria di Lobachevsky.

2.1 Concetti di base

Nelle sue memorie On the Principles of Geometry (1829), Lobachevsky riprodusse innanzitutto il suo rapporto del 1826.

Geometria di Lobachevsky

(1) geometria euclidea; (2) geometria di Riemann; (3) Geometria di Lobachevsky

L'assioma euclideo sui paralleli (più precisamente, una delle sue affermazioni equivalenti) dice:

Per un punto che non giace su una retta data, passa al massimo una retta che giace con la retta data sullo stesso piano e non la interseca.

Nella geometria di Lobachevsky, invece, viene accettato il seguente assioma:

Per un punto che non giace su una retta data passano almeno due rette che giacciono con la retta data sullo stesso piano e non la intersecano.

È un'idea sbagliata ampiamente diffusa che le linee parallele si intersechino nella geometria di Lobachevsky. La geometria di Lobachevsky ha ampie applicazioni sia in matematica che in fisica. Il suo significato storico e filosofico sta nel fatto che con la sua costruzione Lobachevsky mostrò la possibilità di una geometria diversa da quella euclidea, che segnò una nuova era nello sviluppo della geometria, della matematica e della scienza in generale.

Storia

Tentativi di dimostrare il quinto postulato

Il punto di partenza della geometria di Lobachevsky era il quinto postulato di Euclide, un assioma equivalente all'assioma delle parallele. Era nell'elenco dei postulati negli Elementi di Euclide. La relativa complessità e non-intuitività della sua formulazione evocava un sentimento della sua natura secondaria e diede origine a tentativi di derivarlo come teorema dal resto dei postulati di Euclide.

Tra i tanti che tentarono di dimostrare il quinto postulato vi furono, in particolare, i seguenti eminenti scienziati.

In questi tentativi di dimostrare il quinto postulato, i matematici hanno introdotto (esplicitamente o implicitamente) qualche nuova affermazione che sembrava loro più ovvia.

Sono stati fatti tentativi per utilizzare la prova per assurdo:

il matematico italiano Saccheri () (avendo formulato un'affermazione contraddittoria al postulato, ne dedusse alcune conseguenze e, riconoscendone erroneamente alcune come contraddittorie, riteneva il postulato provato),
Il matematico tedesco Lambert (circa, pubblicato in) (dopo aver condotto ricerche, ha ammesso di non trovare contraddizioni nel sistema che ha costruito).

Infine, si è cominciato a capire che è possibile costruire una teoria basata sul postulato opposto:

I matematici tedeschi Schweikart () e Taurinus () (tuttavia, non si rendevano conto che una tale teoria sarebbe logicamente altrettanto coerente).

Creazione della geometria non euclidea

Questo lavoro contiene le basi della geometria che dovrebbe realizzarsi e, inoltre, costituirebbe un tutto rigorosamente coerente, se la geometria euclidea non fosse vera ... Lobachevsky la chiama "geometria immaginaria"; Sai che per 54 anni (dal 1792) ho condiviso le stesse opinioni con qualche sviluppo, che non voglio qui menzionare; quindi, non ho trovato nulla di veramente nuovo per me stesso nel lavoro di Lobachevsky. Ma nello sviluppo del soggetto, l'autore non ha seguito la strada che io stesso ho seguito; è magistralmente realizzato da Lobachevsky in uno spirito veramente geometrico. Mi ritengo obbligato a richiamare la vostra attenzione su questo lavoro, che sicuramente vi darà un piacere del tutto eccezionale.

Di conseguenza, Lobachevsky ha agito come il primo propagandista più brillante e coerente della nuova geometria. Sebbene la geometria di Lobachevsky si sia sviluppata come teoria speculativa, e Lobachevsky stesso la chiamasse "geometria immaginaria", tuttavia, fu lui che per primo la propose apertamente non come un gioco della mente, ma come una possibile e utile teoria delle relazioni spaziali. Tuttavia, la prova della sua coerenza è stata data successivamente, quando sono state indicate le sue interpretazioni (modelli).

Dichiarazione della geometria di Lobachevsky

Modello Poincaré

Il contenuto della geometria di Lobachevsky

Lobachevsky costruì la sua geometria, partendo dai concetti geometrici di base e dal suo assioma, e dimostrò teoremi con un metodo geometrico, simile a come si fa nella geometria di Euclide. La teoria delle rette parallele è servita come base, poiché è qui che inizia la differenza tra la geometria di Lobachevsky e la geometria di Euclide. Tutti i teoremi che non dipendono dall'assioma delle parallele sono comuni ad entrambe le geometrie; formano la cosiddetta geometria assoluta, a cui appartengono, ad esempio, i teoremi sull'uguaglianza dei triangoli. Seguendo la teoria delle parallele, sono state costruite altre sezioni, tra cui la trigonometria ei principi della geometria analitica e differenziale.

Presentiamo (in notazione moderna) diversi fatti della geometria di Lobachevsky che la distinguono dalla geometria di Euclide e furono stabiliti dallo stesso Lobachevsky.

Per un punto situato da una data retta a distanza PB = a(vedi figura), Lobachevsky ha fornito una formula per l'angolo di parallelismo Papà) :

Se le linee hanno una perpendicolare comune, divergono all'infinito su entrambi i lati di essa. Ad ognuna di esse è possibile ripristinare perpendicolari che non raggiungono l'altra linea.

Nella geometria di Lobachevsky non ci sono triangoli simili ma disuguali; i triangoli sono congruenti se i loro angoli sono uguali.

La somma degli angoli di qualsiasi triangolo è più piccola e può essere arbitrariamente vicina a zero. Questo è direttamente visibile nel modello Poincaré. La differenza , dove , , sono gli angoli del triangolo, è proporzionale alla sua area:

Si può vedere dalla formula che esiste un'area massima di un triangolo, e questo è un numero finito: .

Una linea di uguale distanza da una retta non è una retta, ma una curva speciale chiamata equidistante, o iperciclo.

Il limite dei cerchi di raggio infinitamente crescente non è una retta, ma una curva speciale chiamata cerchio limite, o un orociclo.

La circonferenza non è proporzionale al raggio, ma cresce più velocemente. In particolare, nella geometria di Lobachevsky, il numero non può essere definito come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.

Più piccola è la regione nello spazio o sul piano di Lobachevsky, meno le relazioni geometriche in questa regione differiscono dalle relazioni della geometria euclidea. Possiamo dire che in una regione infinitesimale si realizza la geometria euclidea. Ad esempio, più piccolo è il triangolo, meno differisce la somma dei suoi angoli da ; più piccolo è il cerchio, minore è il rapporto tra la sua lunghezza e il raggio differisce da , ecc. Una diminuzione dell'area è formalmente equivalente a un aumento dell'unità di lunghezza, quindi, con un aumento infinito dell'unità di lunghezza, il Lobachevsky le formule della geometria passano nelle formule della geometria euclidea. La geometria euclidea è in questo senso il caso "limitante" della geometria di Lobachevsky.

Riempire il piano e lo spazio con politopi regolari

Tassellatura del piano di Lobachevsky con triangoli regolari ((3;7))

Il piano di Lobachevsky può essere affiancato non solo con triangoli, quadrati ed esagoni regolari, ma anche con qualsiasi altro poligono regolare. Allo stesso tempo, almeno 7 triangoli, 5 quadrati, 4 pentagoni ed esagoni e 3 poligoni con più di 6 lati devono convergere in un vertice del parquet.Ogni piastrellatura (M N-goni convergono in un vertice) richiede una dimensione rigorosamente definita di un'unità N-gon, in particolare, la sua area dovrebbe essere uguale a:

Riempire lo spazio di Lobachevsky con dodecaedri regolari ((5,3,4))

A differenza dello spazio ordinario, che può essere riempito con poliedri regolari in un solo modo (8 cubi per vertice), lo spazio tridimensionale di Lobachevsky può essere riempito con poliedri regolari in quattro modi:

(3,5,3) (12 icosaedri per vertice)
(4,3,5) (20 cubetti per parte superiore)
(5,3,4) (8 dodecaedri per vertice)
(3,5,3) (20 dodecaedri per vertice)

Inoltre, ci sono 11 modi per riempire lo spazio di Lobachevsky con regolari orosfere a mosaico.

Applicazioni

Lo stesso Lobachevsky applicò la sua geometria al calcolo degli integrali definiti.
Nella teoria delle funzioni di una variabile complessa, la geometria di Lobachevsky ha contribuito a costruire la teoria delle funzioni automorfe. Il collegamento con la geometria di Lobachevsky è stato qui il punto di partenza della ricerca di Poincaré, che ha scritto che "la geometria non euclidea è la chiave per risolvere l'intero problema".
La geometria di Lobachevsky trova applicazione anche nella teoria dei numeri, nei suoi metodi geometrici, uniti sotto il nome di "geometria dei numeri".
È stata stabilita una stretta connessione tra la geometria di Lobachevsky e la cinematica della teoria della relatività speciale (privata). Questa connessione si basa sul fatto che l'uguaglianza esprime la legge di propagazione della luce

diviso per , cioè per la velocità della luce, dà - l'equazione di una sfera nello spazio con coordinate , , - componenti della velocità lungo gli assi X, a, z(in "spazio di velocità"). Le trasformazioni di Lorentz preservano questa sfera e, essendo lineari, trasformano gli spazi di velocità diretta in rette. Quindi, secondo il modello di Klein, nello spazio delle velocità all'interno di una sfera di raggio Insieme a, cioè per velocità inferiori alla velocità della luce, si verifica la geometria di Lobachevsky.

La geometria di Lobachevsky ha trovato una notevole applicazione nella teoria della relatività generale. Se consideriamo uniforme la distribuzione delle masse di materia nell'Universo (questa approssimazione è accettabile su scala cosmica), allora risulta che in determinate condizioni lo spazio ha la geometria di Lobachevsky. Pertanto, l'assunzione di Lobachevsky della sua geometria come possibile teoria dello spazio reale era giustificata.
Utilizzando il modello di Klein, viene fornita una dimostrazione molto semplice e breve del teorema della farfalla nella geometria euclidea.

Guarda anche

Appunti

Le opere dei fondatori

N. I. Lobachevsky"Indagini geometriche sulla teoria delle rette parallele". - 1941.
Sulle basi della geometria. Raccolta di opere classiche sulla geometria di Lobachevsky e lo sviluppo delle sue idee. Mosca: Gostekhizdat, 1956.

Letteratura

Aleksandrov AD, Netsvetaev N. Yu. Geometria, - Nauka, Mosca, 1990.
Aleksandrov P.S. Cos'è la geometria non euclidea, - URSS, Mosca, 2007.
Delaunay B. N. Una prova elementare della consistenza della planimetria di Lobachevsky, Gostekhizdat, Mosca, 1956.
Iovlev N. N."Introduzione alla geometria elementare e alla trigonometria di Lobachevsky". - M.-L.: Giz., 1930. - S. 67.
Klein F."Geometria non euclidea". - M.-L.: ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G.

Il 7 febbraio 1832 Nikolai Lobachevsky presentò al giudizio dei suoi colleghi il suo primo lavoro sulla geometria non euclidea. Quel giorno segnò l'inizio di una rivoluzione nella matematica e il lavoro di Lobachevsky fu il primo passo verso la teoria della relatività di Einstein. Oggi "RG" ha raccolto le cinque idee sbagliate più comuni sulla teoria di Lobachevsky, che esistono tra persone lontane dalla scienza matematica

Mito uno. La geometria di Lobachevsky non ha nulla in comune con quella euclidea.

In effetti, la geometria di Lobachevsky non differisce molto dalla geometria euclidea a cui siamo abituati. Il fatto è che dei cinque postulati di Euclide, i primi quattro Lobachevsky rimasero immutati. Cioè, è d'accordo con Euclide che una retta può essere tracciata tra due punti qualsiasi, che può sempre essere estesa all'infinito, che un cerchio di raggio qualsiasi può essere tracciato da qualsiasi centro e che tutti gli angoli retti sono uguali a ciascuno Altro. Lobachevsky non era d'accordo solo con il quinto postulato, il più dubbio dal suo punto di vista, di Euclide. La sua formulazione suona estremamente complicata, ma se la traduciamo in un linguaggio comprensibile a una persona comune, si scopre che, secondo Euclide, due linee non parallele si intersecheranno sicuramente. Lobachevsky è riuscito a dimostrare la falsità di questo messaggio.

Mito due. Nella teoria di Lobachevsky, le rette parallele si intersecano

Questo non è vero. In effetti, il quinto postulato di Lobachevsky suona così: "Sul piano, per un punto che non giace su una retta data, passa più di una retta che non interseca quella data". In altre parole, per una retta è possibile tracciare almeno due rette per un punto che non la intersecheranno. Cioè, in questo postulato di Lobachevsky non si parla affatto di rette parallele! Parliamo solo dell'esistenza di più linee non intersecanti sullo stesso piano. Così, l'ipotesi sull'intersezione di rette parallele è nata a causa della banale ignoranza dell'essenza della teoria del grande matematico russo.

Mito tre. La geometria di Lobachevsky è l'unica geometria non euclidea

Le geometrie non euclidee sono un intero strato di teorie in matematica, la cui base è il quinto postulato diverso da euclideo. Lobachevsky, a differenza di Euclide, per esempio, descrive uno spazio iperbolico. C'è un'altra teoria che descrive uno spazio sferico: questa è la geometria di Riemann. Qui è dove le rette parallele si intersecano. Un classico esempio di questo dal curriculum scolastico sono i meridiani sul globo. Se osservi il modello del globo, risulta che tutti i meridiani sono paralleli. Nel frattempo, vale la pena mettere uno schema sulla sfera, poiché vediamo che tutti i meridiani precedentemente paralleli convergono in due punti: ai poli. Insieme le teorie di Euclide, Lobachevsky e Riemann sono chiamate "tre grandi geometrie".

Mito quattro. La geometria di Lobachevsky non è applicabile nella vita reale

Al contrario, la scienza moderna arriva a comprendere che la geometria euclidea è solo un caso speciale della geometria di Lobachevsky e che il mondo reale è descritto in modo più accurato e preciso dalle formule dello scienziato russo. L'impulso più forte per l'ulteriore sviluppo della geometria di Lobachevsky è stata la teoria della relatività di Albert Einstein, che ha mostrato che lo spazio stesso del nostro Universo non è lineare, ma è una sfera iperbolica. Nel frattempo, lo stesso Lobachevsky, nonostante avesse lavorato per tutta la vita allo sviluppo della sua teoria, la definì "geometria immaginaria".

Mito cinque. Lobachevsky fu il primo a creare una geometria non euclidea

Questo non è del tutto vero. Parallelamente a lui e indipendentemente da lui, il matematico ungherese Janos Bolyai e il famoso scienziato tedesco Carl Friedrich Gauss giunsero a conclusioni simili. Tuttavia, le opere di Janos non furono notate dal grande pubblico e Karl Gauss preferì non essere pubblicate affatto. Pertanto, è il nostro scienziato che è considerato un pioniere in questa teoria. Tuttavia, c'è un punto di vista alquanto paradossale che lo stesso Euclide sia stato il primo a inventare la geometria non euclidea. Il fatto è che considerava autocriticamente il suo quinto postulato non ovvio, quindi dimostrò la maggior parte dei suoi teoremi senza farvi ricorso.