I. Definizione, proprietà di base e grafici delle funzioni iperboliche. Dati di riferimento sulle funzioni iperboliche - proprietà, grafici, formule Funzioni iperboliche inverse, loro proprietà e grafici

Tangente, cotangente

Definizioni di funzioni iperboliche, loro domini di definizioni e valori

sh x- seno iperbolico
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
cap x- coseno iperbolico
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ a< +∞ .
grazie- tangente iperbolica
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
ct x- cotangente iperbolica
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Grafici di funzioni iperboliche

Grafico del seno iperbolico y = sh x

Grafico del coseno iperbolico y = cap x

Grafico della tangente iperbolica y= grazie

Grafico della cotangente iperbolica y = ct x

Formule con funzioni iperboliche

Relazione con le funzioni trigonometriche

peccato iz = io sh z ; cos iz = ch z
sh iz = io peccato z ; ch iz = cos z
tgiz = io th z ; ctg iz = - io cth z
th iz = io tg z ; cth iz = - io ctg z
Qui i è un'unità immaginaria, i 2 = - 1 .

Applicando queste formule alle funzioni trigonometriche, otteniamo formule relative alle funzioni iperboliche.

Parità

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -esimo x; cth(-x) = - cth x.

Funzione ch(x)- anche. Funzioni sh(x), grazie), cth(x)- strano.

Differenza di quadrati

cat 2 x - sh 2 x = 1.

Formule per somma e differenza di argomenti

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
cat 2 x = cat 2 x + sh 2 x = 2 cat 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formule per prodotti di seno e coseno iperbolici

,
,
,

,
,
.

Formule per la somma e la differenza di funzioni iperboliche

,
,
,
,
.

Relazione di seno e coseno iperbolici con tangente e cotangente

, ,
, .

Derivati

,

Integrali di sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Espansioni in serie

Funzioni inverse

Areasine

A - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areacosina

In 1 ≤ x< ∞ e 0 ≤ a< ∞ ci sono formule:
,
.

Il secondo ramo dell'areacosina si trova a 1 ≤ x< ∞ e - ∞< y ≤ 0 :
.

Areatangente

In - 1 < x < 1 e - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Altre denominazioni: sinh X, Sh X, cosh x, cap X, tg X, tan X, Th X. Grafici vedi fig. uno.

Rapporti di base:

geometrico G. f. simile all'interpretazione delle funzioni trigonometriche (Fig. 2). parametrico le equazioni di un'iperbole permettono di interpretare l'ascissa e l'ordinata di un punto di un'iperbole equilatera come un'iperbole. coseno e seno; iperbolico segmento tangente AB. Il parametro t è uguale al doppio dell'area del settore OAM, dove SONO- arco di iperbole. Per un punto (a ), il parametro t è negativo. Funzioni iperboliche inverse sono definiti dalle formule:

Derivate e integrali di base di G. f.:

Nell'intero piano della variabile complessa z, il G. f. e può essere definito dalla serie:

così,

Ci sono ampie tavole per G. f. Valori G. f. si possono ricavare anche dalle tabelle per es e ex.

Illuminato.: Yanke E., Emde F., Lesh F., Funzioni speciali. Formule, grafici, tabelle, 2a ed., Per. dal tedesco., M., 1968; Tabelle di seni e coseni circolari e iperbolici nella misura della radiazione angolare, M., 1958; tavoli es e ex, M., 1955. V. I. Bityutskov.

Enciclopedia matematica. - M.: Enciclopedia sovietica. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

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Libri

• Funzioni iperboliche , Yanpolsky A.R. Il libro descrive le proprietà delle funzioni iperboliche e iperboliche inverse e fornisce la relazione tra esse e altre funzioni elementari. Applicazioni delle funzioni iperboliche a...

Può essere scritto in forma parametrica usando funzioni iperboliche (questo spiega il loro nome).

Denota y= b·sht , quindi x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Donde x=± a·cht .

Quindi, arriviamo alle seguenti equazioni parametriche dell'iperbole:

Y= in sht , –< t < . (6)

Riso. uno.

Il segno "+" nella formula in alto (6) corrisponde al ramo destro dell'iperbole e il segno ""– "" corrisponde al ramo sinistro (vedi Fig. 1). I vertici dell'iperbole A(– a; 0) e B(a; 0) corrispondono al valore del parametro t=0.

Per confronto, possiamo fornire le equazioni parametriche di un'ellisse usando funzioni trigonometriche:

X=un costo ,

Y=in sint , 0 t 2p . (7)

3. Ovviamente la funzione y=chx è pari e assume solo valori positivi. La funzione y=shx è dispari, perché :

Le funzioni y=thx e y=cthx sono dispari come quozienti di una funzione pari e dispari. Si noti che, a differenza delle funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sono periodiche.

4. Studiamo il comportamento della funzione y= cthx nell'intorno del punto di discontinuità x=0:

Quindi l'asse y è l'asintoto verticale del grafico della funzione y=cthx . Definiamo gli asintoti obliqui (orizzontali):

Pertanto, la linea y=1 è l'asintoto orizzontale destro del grafico della funzione y=cthx . A causa della stranezza di questa funzione, il suo asintoto orizzontale sinistro è la retta y= –1. È facile mostrare che queste linee sono simultaneamente asintoti per la funzione y=thx. Le funzioni shx e chx non hanno asintoti.

2) (chx)"=shx (visualizzato in modo simile).

4)

C'è anche una certa analogia con le funzioni trigonometriche. Una tabella completa delle derivate di tutte le funzioni iperboliche è fornita nella Sezione IV.

FUNZIONI IPERBOLICHE- Seno iperbolico (sh x) e coseno (ch x) sono definiti dalle seguenti uguaglianze:

Tangente e cotangente iperbolica sono definite per analogia con tangente e cotangente trigonometriche:

La secante iperbolica e la cosecante sono definite in modo simile:

Ci sono formule:

Le proprietà delle funzioni iperboliche sono per molti aspetti simili alle proprietà (vedi). Le equazioni x=cos t, y=sin t determinano la circonferenza x²+y² = 1; le equazioni x=сh t, y=sh t definiscono l'iperbole x² - y²=1. Poiché le funzioni trigonometriche sono determinate da un cerchio di raggio unitario, così le funzioni iperboliche sono determinate da un'iperbole isoscele x² - y² = 1. L'argomento t è la doppia area del triangolo curvilineo ombreggiato OME (Fig. 48), analogamente al fatto che per le funzioni circolari (trigonometriche) l'argomento t è numericamente uguale al doppio dell'area del triangolo curvilineo OKE ( Fig. 49):

per cerchio

per iperbole

I teoremi di addizione per le funzioni iperboliche sono simili ai teoremi di addizione per le funzioni trigonometriche:

Queste analogie sono facilmente visibili se la variabile complessa r viene presa come argomento x Le funzioni iperboliche sono correlate alle funzioni trigonometriche dalle seguenti formule: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, dove i è uno dei i valori della radice √-1. Le funzioni iperboliche sh x, così come ch x: possono assumere qualsiasi valore grande ​​(quindi, ovviamente, unità grandi), in contrasto con le funzioni trigonometriche sin x, cos x, che per valori reali non possono essere maggiore di uno in valore assoluto.
Le funzioni iperboliche svolgono un ruolo nella geometria di Lobachevsky (vedi), sono utilizzate nello studio della resistenza dei materiali, nell'ingegneria elettrica e in altri rami della conoscenza. Ci sono anche designazioni di funzioni iperboliche in letteratura come sinh x; cosh x; ghx.