Proprietà delle rette e dei piani. §3 Retta e piano nello spazio L'equazione canonica della retta

Nella planimetria l'aereo è una delle figure principali, quindi è molto importante averne una chiara comprensione. Questo articolo è stato creato per trattare questo argomento. Innanzitutto viene fornito il concetto di piano, la sua rappresentazione grafica e vengono mostrate le designazioni dei piani. Successivamente si considera il piano insieme a un punto, una linea retta o un altro piano e le opzioni derivano dalla posizione relativa nello spazio. Nel secondo, terzo e quarto paragrafo dell'articolo vengono analizzate tutte le opzioni per la posizione relativa di due piani, una retta e un piano, nonché punti e piani, vengono forniti gli assiomi di base e le illustrazioni grafiche. In conclusione, vengono forniti i principali metodi per definire un piano nello spazio.

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Piano: concetti di base, simboli e immagini.

Il più semplice ed elementare forme geometriche nello spazio tridimensionale ci sono un punto, una linea e un piano. Abbiamo già un'idea di un punto e di una linea su un piano. Se posizioniamo un piano su cui sono rappresentati punti e linee nello spazio tridimensionale, otteniamo punti e linee nello spazio. L'idea di un piano nello spazio ci permette di ottenere, ad esempio, la superficie di un tavolo o di una parete. Tuttavia, un tavolo o un muro hanno dimensioni finite e il piano si estende oltre i suoi confini fino all'infinito.

I punti e le linee nello spazio sono designati allo stesso modo di un piano, rispettivamente in lettere latine grandi e piccole. Ad esempio, i punti A e Q, le linee a e d. Se vengono dati due punti che giacciono su una linea, allora la linea può essere denotata con due lettere corrispondenti a questi punti. Ad esempio, la retta AB o BA passa per i punti A e B. Gli aerei sono solitamente indicati con lettere greche minuscole, ad esempio aerei o.

Quando si risolvono i problemi, diventa necessario rappresentare gli aerei in un disegno. Un piano è solitamente rappresentato come un parallelogramma o una regione chiusa semplice arbitraria.

Un piano viene solitamente considerato insieme a punti, linee rette o altri piani e si presentano varie opzioni per le loro posizioni relative. Passiamo alla loro descrizione.

La posizione relativa del piano e del punto.

Partiamo dall'assioma: ci sono punti su ogni piano. Da ciò segue la prima opzione per la posizione relativa del piano e del punto: il punto può appartenere al piano. In altre parole, un piano può passare per un punto. Per indicare che un punto appartiene ad un piano si usa il simbolo “”. Ad esempio, se l'aereo passa per il punto A, puoi scrivere brevemente .

Dovrebbe essere chiaro che su un dato piano nello spazio ci sono infiniti punti.

Il seguente assioma mostra quanti punti nello spazio devono essere segnati affinché definiscano un determinato piano: per tre punti che non giacciono sulla stessa linea passa un piano, e uno solo. Se si conoscono tre punti che giacciono su un piano, il piano può essere indicato con tre lettere corrispondenti a questi punti. Ad esempio, se un aereo passa attraverso i punti A, B e C, può essere designato ABC.

Formuliamo un altro assioma, che dà la seconda versione della posizione relativa del piano e del punto: ci sono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano. Quindi, un punto nello spazio potrebbe non appartenere al piano. Infatti, in virtù dell'assioma precedente, un piano passa per tre punti nello spazio, e il quarto punto può giacere o meno su questo piano. Quando scrivi brevemente, usa il simbolo “”, che equivale alla frase “non appartiene”.

Ad esempio, se il punto A non giace nel piano, utilizzare la notazione breve.

Retta e piano nello spazio.

Innanzitutto una linea retta può giacere su un piano. In questo caso almeno due punti di questa linea giacciono nel piano. Ciò è stabilito dall'assioma: se due punti di una linea giacciono su un piano, allora tutti i punti di questa linea giacciono sul piano. Per registrare brevemente l'appartenenza di una certa linea ad un dato piano, utilizzare il simbolo “”. Ad esempio, la notazione significa che la linea retta a giace nel piano.

In secondo luogo, una linea retta può intersecare un piano. In questo caso la retta e il piano hanno un unico punto in comune, che si chiama punto di intersezione della retta e del piano. Quando scrivo brevemente indico l'intersezione con il simbolo “”. Ad esempio, la notazione significa che la retta a interseca il piano nel punto M. Quando un piano interseca una certa linea retta, nasce il concetto di angolo tra la linea retta e il piano.

Separatamente, vale la pena concentrarsi sulla linea retta che interseca il piano ed è perpendicolare a qualsiasi linea retta giacente su questo piano. Tale retta si dice perpendicolare al piano. Per registrare brevemente la perpendicolarità utilizzare il simbolo “”. Per uno studio più approfondito della materia si può fare riferimento all'articolo perpendicolarità di una retta e di un piano.

Di particolare importanza nella risoluzione dei problemi relativi al piano è il cosiddetto vettore normale del piano. Un vettore normale di un piano è qualsiasi vettore diverso da zero che giace su una linea perpendicolare a questo piano.

In terzo luogo, una linea retta può essere parallela al piano, cioè può non avere punti in comune. Quando si scrive brevemente la concorrenza, utilizzare il simbolo "". Ad esempio, se la linea a è parallela al piano, allora possiamo scrivere . Ti consigliamo di studiare questo caso in modo più dettagliato facendo riferimento all'articolo parallelismo di una linea e di un piano.

Va detto che una retta giacente in un piano divide questo piano in due semipiani. La retta in questo caso si chiama confine dei semipiani. Due punti qualsiasi dello stesso semipiano giacciono sullo stesso lato di una linea, e due punti di semipiani diversi giacciono su lati opposti della linea di confine.

Disposizione reciproca degli aerei.

Due piani nello spazio possono coincidere. In questo caso hanno almeno tre punti in comune.

Due piani nello spazio possono intersecarsi. L'intersezione di due piani è una linea retta, stabilita dall'assioma: se due piani hanno un punto comune, allora hanno una linea retta comune su cui giacciono tutti i punti comuni di questi piani.

In questo caso sorge il concetto di angolo tra piani che si intersecano. Di particolare interesse è il caso in cui l'angolo tra i piani è di novanta gradi. Tali piani sono chiamati perpendicolari. Ne abbiamo parlato nell'articolo perpendicolarità dei piani.

Infine, due piani nello spazio possono essere paralleli, cioè non avere punti in comune. Ti consigliamo di leggere l'articolo Parallelismo dei piani per comprendere appieno questa opzione per la disposizione relativa dei piani.

Metodi per definire un piano.

Ora elencheremo i modi principali per definire un piano specifico nello spazio.

Innanzitutto un piano può essere definito fissando tre punti nello spazio che non giacciono sulla stessa retta. Questo metodo si basa sull'assioma: attraverso tre punti qualsiasi che non giacciono sulla stessa linea passa un unico piano.

Se un piano è fisso e specificato nello spazio tridimensionale indicando le coordinate dei suoi tre punti diversi che non giacciono sulla stessa retta, allora possiamo scrivere l'equazione del piano passante per i tre punti dati.

I due metodi successivi per definire un piano sono una conseguenza del precedente. Si basano sui corollari dell'assioma del piano passante per tre punti:

• un piano passa per una retta e un punto non giacente su di essa, e uno solo (vedi anche l'articolo equazione del piano passante per una retta e un punto);
• Per due rette che si intersecano passa un solo piano (ti consigliamo di leggere il materiale nell'articolo: equazione del piano che passa per due rette che si intersecano).

Il quarto modo per definire un piano nello spazio si basa sulla definizione di linee parallele. Ricordiamo che due rette nello spazio si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non si intersecano. Pertanto, indicando due linee parallele nello spazio, determineremo l'unico piano in cui giacciono queste linee.

Se un piano è dato nel modo indicato nello spazio tridimensionale rispetto a un sistema di coordinate rettangolari, allora possiamo creare un'equazione per un piano che passa attraverso due linee parallele.

Lo so Scuola superiore Nelle lezioni di geometria si dimostra il seguente teorema: per un punto fisso dello spazio passa un unico piano perpendicolare ad una data linea. Pertanto, possiamo definire un piano se specifichiamo il punto attraverso il quale passa e una linea ad esso perpendicolare.

Se un sistema di coordinate rettangolari è fissato nello spazio tridimensionale e un piano è specificato nel modo indicato, allora è possibile costruire un'equazione per un piano che passa per un dato punto perpendicolare a una data linea retta.

Invece di una linea perpendicolare al piano, puoi specificare uno dei vettori normali di questo piano. In questo caso è possibile scrivere

INTRODUZIONE

Capitolo 1. Piano nello spazio

1 Punto di intersezione di una retta con un piano

1 Vari casi di posizione di una linea nello spazio

2 Angolo formato da una retta e da un piano

CONCLUSIONE

ELENCO DELLE FONTI UTILIZZATE

INTRODUZIONE

Qualsiasi equazione di primo grado rispetto alle coordinate x, y, z

Per + Cz + D = 0

definisce un piano, e viceversa: qualsiasi piano può essere rappresentato da un'equazione, che si chiama equazione del piano.

Il vettore n (A, B, C) ortogonale al piano è detto vettore normale al piano. Nell'equazione i coefficienti A, B, C non sono contemporaneamente uguali a 0. Casi particolari dell'equazione

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - il piano passa per l'origine.

C = 0, Ax+By+D = 0 - il piano è parallelo all'asse Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 - l'aereo passa attraverso l'asse Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 - il piano è parallelo al piano Oyz.

Equazioni piani coordinati: x = 0, y = 0, z = 0.

Una linea retta nello spazio può essere specificata:

) come linea di intersezione di due piani, cioè sistema di equazioni:

UN 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2z+D 2 = 0;

) dai suoi due punti M 1(X 1, sì 1, z 1) e M 2(X 2, sì 2, z 2), allora la retta che li attraversa è data dalle equazioni:

=;

) punto M 1(X 1, sì 1, z 1), ad esso appartenente, e il vettore a (m, n, p), collineare ad esso. Quindi la retta è determinata dalle equazioni:

Le equazioni sono chiamate equazioni canoniche della retta.

Il vettore a è detto vettore direttivo della retta.

Otteniamo equazioni parametriche di una linea retta uguagliando ciascuno dei rapporti al parametro t:

X 1+mt, y = y 1+nt, z = z1 + punto.

Risolvere il sistema come sistema equazioni lineari relativamente alle incognite x e y si arriva alle equazioni della retta in proiezioni o alle equazioni ridotte della retta:

Mz + a, y = nz + b

Dalle equazioni si può passare alle equazioni canoniche trovando z da ciascuna equazione ed uguagliando i valori risultanti:

Dalle equazioni generali (3.2) puoi passare a quelle canoniche in altro modo, se trovi un punto qualsiasi su questa retta e il suo vettore di direzione n = , dove n 1(UN 1, B 1, C 1) e n 2(UN 2, B 2, C 2) - vettori normali di determinati piani. Se uno dei denominatori m, n o p nelle equazioni (3.4) risulta essere uguale a zero, allora il numeratore della frazione corrispondente deve essere impostato uguale a zero, ad es. sistema

è equivalente al sistema ; tale retta è perpendicolare all'asse del Bue.

Sistema è equivalente al sistema x = x 1,y = y 1; la retta è parallela all'asse Oz.

Bersaglio lavoro del corso: studiare le linee rette e i piani nello spazio.

Obiettivi del corso:considera un piano nello spazio, la sua equazione e considera anche un piano nello spazio.

Struttura dei corsi:introduzione, 2 capitoli, conclusione, elenco delle fonti utilizzate.

Capitolo 1. Piano nello spazio

.1 Punto di intersezione di una retta e di un piano

Sia il piano Q dato dall'equazione tipo generale: Ax+By+Cz+D=0, e la retta L in forma parametrica: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, quindi per trovare il punto di intersezione della retta L con il piano Q, è necessario trovare il valore del parametro t in cui il punto della retta giacerà sul piano. Sostituendo il valore x, y, z nell'equazione del piano ed esprimendo t, otteniamo

Il valore di t sarà unico se la linea e il piano non sono paralleli.

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità di una retta e di un piano

Consideriamo la retta L:

e l'aereo?:

Linea L e aereo? :

a) perpendicolari tra loro se e solo se il vettore direzione è rettilineo e vettore normale i piani sono collineari, cioè

b) paralleli tra loro se e solo se i vettori E perpendicolare, cioè

e Am + Bn + Ср = 0.

.2 Angolo formato da una retta e da un piano

Angolo ?tra il vettore normale del piano e il vettore direttivo della retta calcolato con la formula:

Gruppo di aerei

L'insieme di tutti i piani che passano per una data retta L si chiama fascio di piani, e la retta L si chiama asse del fascio. Lascia che l'asse della trave sia dato dalle equazioni

Moltiplichiamo la seconda equazione del termine del sistema per la costante e la aggiungiamo alla prima equazione:

UN 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(UN 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Questa equazione ha il primo grado rispetto a x, y, z e, quindi, per qualsiasi valore numerico ?definisce un piano. Poiché questa equazione è una conseguenza di due equazioni, le coordinate di un punto che soddisfano queste equazioni soddisferanno anche questa equazione. Pertanto, per qualsiasi valore numerico ?Questa equazione è l'equazione di un piano passante per una data linea. L'equazione risultante è equazione di un fascio di piani.

Esempio.Scrivi l'equazione del piano passante per il punto M 1(2, -3, 4) parallele alle rette

Soluzione.Scriviamo l'equazione per un gruppo di aerei che passano questo punto M1 :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Poiché il piano desiderato deve essere parallelo a queste linee, il suo vettore normale deve essere perpendicolare ai vettori di direzione queste linee rette. Pertanto, come vettore N possiamo prendere prodotto vettoriale vettori:

Di conseguenza, A = 4, B = 30, C = - 8. Sostituendo i valori trovati di A, B, C nell'equazione per collegare i piani, otteniamo

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 oppure 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

Esempio.Trova il punto di intersezione di una linea e piano 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Soluzione.Scriviamo le equazioni di questa retta in forma parametrica:

Sostituiamo queste espressioni a x, y, z nell'equazione del piano:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Sostituiamo t = 1 nelle equazioni parametriche della retta. Noi abbiamo

Quindi la retta e il piano si intersecano nel punto M(3, 2, 7).

Esempio.Trova l'angolo ?tra la linea retta e il piano 4x-2y-2z+7=0. Soluzione.Applichiamo la formula (3.20). Perché

Quello

Quindi,? = 30°.

Una linea retta nello spazio è infinita, quindi è più conveniente definirla come un segmento. Da corso scolastico La geometria euclidea conosce l’assioma: “attraverso due punti nello spazio si può tracciare una linea retta e, per di più, una sola”. Di conseguenza, una linea retta su un diagramma può essere definita da due proiezioni frontali e due orizzontali di punti. Ma poiché una linea retta è una linea retta (e non una curva), allora con con buona ragione possiamo collegare questi punti con un segmento di retta e ottenere proiezioni frontali e orizzontali della retta (Fig. 13).

Dimostrazione del contrario: nei piani di proiezione V e H sono date due proiezioni a" b" e ab (Fig. 14). Disegniamo dei piani attraverso di essi, perpendicolari ai piani delle proiezioni V e H (Fig. 14), la linea di intersezione dei piani sarà la retta AB.

.1 Vari casi di posizione di una linea nello spazio

Nei casi considerati, le rette non erano né parallele né perpendicolari ai piani di proiezione V, H, W. La maggior parte delle rette occupano esattamente questa posizione nello spazio e sono chiamate rette posizione generale. Possono essere ascendenti o discendenti (capitelo voi stessi).

Nella fig. La Figura 17 mostra una linea retta in posizione generale, definita da tre proiezioni. Consideriamo una famiglia di linee che hanno proprietà importanti: linee parallele a qualsiasi piano di proiezione.

Nella fig. La Figura 17 mostra una linea retta in posizione generale, definita da tre proiezioni.

Consideriamo una famiglia di linee che hanno proprietà importanti: linee parallele a qualsiasi piano di proiezione.

a) Linea retta orizzontale (altrimenti - orizzontale, linea retta livello orizzontale). Questo è il nome di una linea retta parallela al piano di proiezione orizzontale. La sua immagine nello spazio e sul diagramma è mostrata in Fig. 18.

La linea orizzontale è facilmente riconoscibile nel diagramma “in persona”: la sua proiezione frontale è sempre parallela all'asse del BUE. Completamente proprietà più importante orizzontali sono formulati come segue:

In orizzontale, la proiezione frontale è parallela all'asse del BUE e quella orizzontale riflette le dimensioni reali. Lungo il percorso, la proiezione orizzontale della linea orizzontale sul diagramma consente di determinare l'angolo della sua inclinazione rispetto al piano V (angolo b) e al piano W (y) - Fig. 18.

b) La retta frontale (frontale, retta del piano frontale) è una retta parallela al piano frontale delle proiezioni. Non lo illustriamo con un'immagine visiva, ma mostriamo i suoi diagrammi (Fig. 19).

Il diagramma frontale è caratterizzato dal fatto che le sue proiezioni orizzontali e di profilo sono parallele rispettivamente agli assi X e Z, e la proiezione frontale è posizionata arbitrariamente e mostra la dimensione naturale del frontale. Lungo il percorso, il diagramma mostra gli angoli di inclinazione della linea retta rispetto ai piani di proiezione orizzontale (a) e profilo (y). Quindi ancora:

Nella parte anteriore: la proiezione orizzontale è parallela all'asse del BUE e quella frontale riflette le dimensioni reali

c) Linea retta del profilo. Ovviamente si tratta di una linea retta parallela al piano del profilo delle proiezioni (Fig. 20). È anche ovvio che la dimensione naturale della retta del profilo è disponibile sul piano delle proiezioni del profilo (proiezione a"b" - Fig. 20) e qui si possono vedere gli angoli della sua inclinazione rispetto ai piani H (a) e V(b).

La prossima famiglia di linee, sebbene non così importante come le linee di livello, sono le linee sporgenti.

Le rette perpendicolari ai piani di proiezione sono dette sporgenti (per analogia con i raggi sporgenti - Fig. 21).

AB pl. H - dritto sporgente orizzontalmente; pl. V - diritto, sporgente in avanti; quadrato. W - profilo dritto sporgente.

2.2 Angolo formato da una retta e da un piano

triangolo piano angolo retto

Metodo triangolo rettangolo

Una linea retta in posizione generale, come abbiamo già detto, è inclinata rispetto ai piani di proiezione di un angolo arbitrario.

L'angolo tra una retta e un piano è determinato dall'angolo formato dalla retta e dalla sua proiezione su questo piano (Fig. 22). L'angolo a determina l'angolo di inclinazione del segmento AB rispetto al quadrato. N. Dalla fig. 22: Ab1 |1pl. N; Sib1 = Sib - Laa = Z Fig. 22

In un triangolo rettangolo ABb1 il cateto Ab1 è uguale alla proiezione orizzontale ab; e l'altra gamba Bb1 è uguale alla differenza delle distanze dei punti A e B dal quadrato. H. Se tracciamo una perpendicolare dal punto B sulla proiezione orizzontale della linea ab e tracciamo su di essa il valore Z, quindi collegando il punto a con il punto risultante b0, otteniamo l'ipotenusa ab0, pari al valore naturale del segmento AB. Nel diagramma appare così (Fig. 23):

L'angolo di inclinazione della retta rispetto al piano frontale delle proiezioni (b) è determinato in modo simile - fig. 24.

Nota: quando si costruisce sulla proiezione orizzontale di una linea, posticipiamo il valore Z sulla linea ausiliaria; quando si traccia su una proiezione frontale: il valore Y.

Il metodo considerato è chiamato triangolo rettangolo. Con il suo aiuto, puoi determinare la dimensione naturale di qualsiasi segmento che ci interessa, nonché gli angoli della sua inclinazione rispetto ai piani di proiezione.

Posizione reciproca delle linee

In precedenza, abbiamo considerato la questione se un punto appartiene a una linea: se un punto appartiene a una linea, le sue proiezioni giacciono sulle stesse proiezioni della linea (regola di appartenenza, vedere Fig. 14). Da un corso di geometria scolastica, ricordiamo: due linee si intersecano in un punto (oppure: se due linee hanno un punto in comune, allora si intersecano in questo punto).

Le proiezioni delle linee che si intersecano sul diagramma hanno una caratteristica pronunciata: le proiezioni del punto di intersezione giacciono sulla stessa linea di collegamento (Fig. 25). Infatti: il punto K appartiene sia ad AB che a CD; nel diagramma il punto k" si trova sulla stessa linea di collegamento con il punto k.

Linee dirette AB e CD - si intersecano

La successiva possibile disposizione reciproca di due linee nello spazio è che le linee si intersechino. Ciò è possibile nel caso in cui le linee non sono parallele, ma non si intersecano. Tali rette possono sempre essere racchiuse in due piani paralleli (Fig. 26). Ciò non significa che due rette che si intersecano giacciano necessariamente su due piani paralleli; ma solo che attraverso di essi si possono tracciare due piani paralleli.

Le proiezioni di due linee che si intersecano possono intersecarsi, ma i loro punti di intersezione non giacciono sulla stessa linea di collegamento (Fig. 27).

Lungo il percorso, risolveremo il problema dei punti concorrenti (Fig. 27). Nella proiezione orizzontale vediamo due punti (e,f), e nella proiezione frontale si fondono in uno solo (e"f"), e non è chiaro quale dei punti sia visibile e quale non sia visibile (punti concorrenti) .

Due punti le cui proiezioni frontali coincidono sono detti concorrenti frontalmente.

Abbiamo considerato un caso simile in precedenza (Fig. 11), studiando l'argomento "posizione reciproca di due punti". Applichiamo quindi la regola:

Di due punti concorrenti, quello la cui coordinata è maggiore è considerato visibile.

Dalla fig. 27 si vede che la proiezione orizzontale del punto E (e) è più lontana dall'asse OX rispetto al punto f. Pertanto la coordinata “Y” del punto “e” è maggiore di quella del punto f; pertanto sarà visibile il punto E. Nella proiezione frontale il punto f" è tra parentesi come invisibile.

Un'altra conseguenza: il punto e appartiene alla proiezione della retta ab, ciò significa che nella proiezione frontale la retta a"b" si trova "sopra" la retta c"d".

Linee parallele

Le linee parallele su un diagramma sono facili da riconoscere a vista, perché le proiezioni di due linee parallele con lo stesso nome sono parallele.

Nota: hanno lo stesso nome! Quelli. le proiezioni frontali sono parallele tra loro e quelle orizzontali sono parallele tra loro (Fig. 29).

Dimostrazione: nella Figura 28 sono date nello spazio due rette parallele AB e CD. Disegniamo attraverso di essi i piani sporgenti Q e T: risulteranno paralleli (perché se due linee che si intersecano di un piano sono parallele a due linee che si intersecano di un altro piano, allora tali piani sono paralleli).

Nel diagramma 30a sono indicate le linee parallele, nel diagramma 30b sono indicate le linee che si incrociano, sebbene in entrambi i casi le proiezioni frontale e orizzontale siano tra loro parallele.

Esiste tuttavia una tecnica con la quale è possibile determinare la posizione relativa di due linee di profilo senza ricorrere alla costruzione di terze proiezioni. Per fare ciò, è sufficiente collegare le estremità delle sporgenze con linee rette ausiliarie, come mostrato in Fig. 30. Se si scopre che i punti di intersezione di queste linee rette giacciono sulla stessa linea di connessione, le linee rette del profilo sono paralleli tra loro - Fig. Z0a. In caso contrario, linee rette in sezione trasversale (Fig. 306).

Casi particolari di posizione delle rette:

Proiezioni angolo retto

Se due linee generali si intersecano ad angolo retto, le loro proiezioni formano un angolo diverso da 90° (Fig. 31).

E poiché quando due piani paralleli si intersecano con un terzo, nell'intersezione si ottengono linee parallele, allora le proiezioni orizzontali ab e cd sono parallele.

Se ripetiamo l'operazione e proiettiamo le rette AB e CD sul piano frontale delle proiezioni, otterremo lo stesso risultato.

Un caso particolare è rappresentato da due rette di profilo, definite da proiezioni frontali e orizzontali (Fig. 30). Come si è detto, per le linee di profilo, le proiezioni frontale e orizzontale sono tra loro parallele, tuttavia, in base a questa caratteristica, è impossibile giudicare il parallelismo di due linee di profilo senza costruire una terza proiezione.

Compito. Costruisci un triangolo rettangolo isoscele ABC, il cui cateto BC giace sulla linea MN (Fig. 34).

Soluzione. Dal diagramma è chiaro che la retta MN è una linea orizzontale. E a seconda delle condizioni, il triangolo richiesto è rettangolo.

Usiamo la proprietà della proiezione di un angolo retto e abbassiamo la proiezione perpendicolare HA mn dal punto “a” (il nostro angolo retto viene proiettato sul quadrato H senza distorsione) - Fig. 35.

Come linea ausiliaria tracciata dall'estremità del segmento perpendicolare a questo, utilizziamo parte della proiezione orizzontale della linea, vale a dire bm (Fig. 36). Tracciamo su di esso il valore della differenza delle coordinate Z, prelevate dalla proiezione frontale, e colleghiamo il punto “a” all'estremità del segmento risultante. Otterremo la dimensione effettiva della gamba AB (ab ; ab).

Le figure 31 e 32 mostrano due rette di posizione generale che formano tra loro un angolo di 90° (nella figura 32 queste rette giacciono nello stesso piano P). Come puoi vedere, nei diagrammi l'angolo formato dalle proiezioni delle rette non è uguale a 90°.

Consideriamo la proiezione di un angolo retto come una questione separata per il seguente motivo:

Se uno dei lati dell'angolo retto è parallelo a qualsiasi piano di proiezione, l'angolo retto viene proiettato su questo piano senza distorsioni (Fig. 33).

Non dimostreremo questo punto (lavoreremo su di esso da soli), ma considereremo i vantaggi che possono derivare da questa regola.

Innanzitutto notiamo che a seconda della condizione, uno dei lati di un angolo retto è parallelo a un qualsiasi piano di proiezione, quindi uno dei lati sarà frontale o orizzontale (magari una retta di profilo) - Fig. 33.

E il frontale e l'orizzontale sul diagramma sono facilmente riconoscibili “a vista” (una delle proiezioni è necessariamente parallela all'asse del OX), oppure possono essere facilmente costruiti se necessario. Inoltre, il frontale e l'orizzontale hanno la proprietà più importante: una delle loro proiezioni riflette necessariamente

Utilizzando la regola di appartenenza, troviamo la proiezione frontale del punto b" utilizzando la linea di comunicazione. Ora abbiamo una gamba AB (a"b";ab).

Per mettere la gamba BC sul lato MN, devi prima determinare la dimensione effettiva del segmento AB (a D ; ab). Per fare ciò, utilizzeremo la regola del triangolo rettangolo già studiata.

CONCLUSIONE

Equazioni generali linea retta nello spazio

L'equazione di una retta può essere considerata come l'equazione della retta d'intersezione di due piani. Come discusso in precedenza, un piano in forma vettoriale può essere specificato dall'equazione:

× + D = 0, dove

Piano normale; - il raggio è il vettore di un punto arbitrario sul piano.

Siano dati due piani nello spazio: × +D 1= 0 e × +D 2= 0, i vettori normali hanno coordinate: (UN 1, B 1, C 1), (UN 2, B 2, C 2); (x, y, z). Quindi le equazioni generali della retta in forma vettoriale:

Equazioni generali di una retta in forma di coordinate:

Per fare ciò, devi trovare un punto arbitrario sulla linea e i numeri m, n, p. In questo caso, il vettore direzione della linea può essere trovato come il prodotto vettoriale dei vettori normali ai piani indicati.

Equazione di un piano nello spazio

Consideriamo il punto dato e vettore diverso da zero (questo è , Dove

dato che è il vettore normale.

Se , , , ..., quindi l'equazione può essere convertito nel modulo . Numeri , E , E

Permettere - qualche punto sull'aereo, - vettore perpendicolare al piano. Poi l'equazione è l'equazione di questo piano.

Probabilità , ; nell'equazione del piano sono le coordinate di un vettore perpendicolare al piano.

Se l'equazione del piano viene divisa per un numero pari alla lunghezza del vettore , allora otteniamo l'equazione del piano in forma normale.

Equazione di un piano che passa per un punto e perpendicolare al vettore diverso da zero, ha la forma .

Qualsiasi equazione di primo grado definisce un singolo piano nello spazio delle coordinate che è perpendicolare al vettore con coordinate .

L'equazione è l'equazione del piano passante per il punto e perpendicolare ad un vettore diverso da zero.

Ogni aereo specificato in un sistema di coordinate rettangolari , , equazione della forma.

purché tra i coefficienti , , ce ne sono diversi da zero, definisce un piano nello spazio in un sistema di coordinate rettangolari. Il piano nello spazio è specificato in un sistema di coordinate rettangolari , , equazione della forma , purché .

È vero anche il contrario: un'equazione della forma dato che definisce un piano nello spazio in un sistema di coordinate rettangolari.

Dove , , , , ,

Il piano nello spazio è dato dall'equazione , Dove , , , sono numeri reali e , , sono contemporaneamente diversi da 0 e costituiscono le coordinate del vettore , perpendicolare a questo piano e chiamato vettore normale.

Consideriamo il punto dato e vettore diverso da zero (questo è ). Quindi l'equazione vettoriale del piano , Dove - punto arbitrario del piano) assume la forma - Equazione di un piano per punto e vettore normale.

Ogni equazione di primo grado dato che entra in gioco sistema rettangolare coordinate l'unico piano per il quale il vettore è il vettore normale.

Se , , , , quindi l'equazione può essere convertito nel modulo . Numeri , E sono uguali alla lunghezza dei segmenti che il piano taglia sugli assi , E rispettivamente. Quindi l'equazione è detta equazione del piano “a segmenti”.

ELENCO DELLE FONTI UTILIZZATE

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Osservazioni preliminari

1. Nella stereometria studiano corpi geometrici e figure spaziali, i cui punti non giacciono tutti sullo stesso piano. Le figure spaziali sono raffigurate nel disegno utilizzando disegni che producono approssimativamente la stessa impressione sull'occhio della figura stessa. Questi disegni sono realizzati secondo determinate regole basate su proprietà geometriche figure.
Uno dei modi per rappresentare le figure spaziali su un piano verrà indicato più avanti (§ 54-66).

CAPITOLO UNO RETTILINEA E PIANI

I. DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE DELL'AEREO

2. Immagine di un aereo. Nella vita di tutti i giorni, molti oggetti, la cui superficie ricorda un piano geometrico, hanno la forma di un rettangolo: la rilegatura di un libro, il vetro di una finestra, la superficie di una scrivania, ecc. Inoltre, se guardiamo questi oggetti da un punto di vista angolo e da grande distanza, ci sembrano avere la forma di un parallelogramma. Pertanto, è consuetudine rappresentare l'aereo nel disegno come un parallelogramma 1. Questo piano è solitamente indicato da una lettera, ad esempio “piano M” (Fig. 1).

1 Insieme all'immagine indicata dell'aereo è anche possibile, come nei disegni 15-17, ecc.
(Nota dell'editore)

3. Proprietà fondamentali del piano. Indichiamo le seguenti proprietà del piano, che sono accettate senza dimostrazione, cioè sono assiomi:

1) Se due punti su una linea appartengono ad un piano, allora ogni punto su questa linea appartiene al piano.

2) Se due piani hanno un punto in comune, allora si intersecano lungo una retta passante per questo punto.

3) Attraverso tre punti qualsiasi che non giacciono sulla stessa linea si può tracciare un piano, e solo uno.

4. Conseguenze. Dall’ultima frase si possono dedurre i seguenti corollari:

1) Attraverso una retta e un punto esterno ad essa si può tracciare un piano (e uno solo). In effetti, un punto esterno a una linea, insieme a circa due punti su questa linea, costituiscono tre punti attraverso i quali è possibile tracciare un piano (e uno per giunta).

2) Attraverso due linee che si intersecano puoi disegnare un piano (e solo uno). Infatti, prendendo il punto di intersezione e un altro punto su ciascuna linea, avremo tre punti attraverso i quali potremo tracciare un piano (e, per di più, uno).

3) Attraverso due linee parallele è possibile tracciare un solo piano. Infatti, le rette parallele, per definizione, giacciono sullo stesso piano; questo piano è unico, poiché al massimo si può tracciare un piano per uno dei paralleli e qualche punto dell'altro.

5. Rotazione dell'aereo attorno ad una linea retta. Attraverso ogni linea retta dello spazio si possono tracciare infiniti piani.

Diamoci infatti una linea retta UN (Fig. 2).

Prendiamo un punto A al di fuori di esso. Per il punto A e la retta UN passa attraverso un unico piano (§4). Chiamiamolo piano M. Prendi un nuovo punto B fuori dal piano M. Attraverso il punto B e la linea retta UN a sua volta passa l'aereo. Chiamiamolo piano N. Non può coincidere con M, poiché contiene il punto B, che non appartiene al piano M. Possiamo allora prendere un altro nuovo punto C nello spazio fuori dai piani M e N. Per il punto C e la retta UN passa un nuovo aereo. Chiamiamolo P. Non coincide né con M né con N, poiché contiene un punto C che non appartiene né al piano M né al piano N. Continuando a prendere sempre più nuovi punti nello spazio, otterremo sempre più e più nuovi punti in questo modo e nuovi piani che passano attraverso questa linea UN . Ci saranno innumerevoli numeri di tali aerei. Tutti questi piani possono essere considerati come posizioni diverse dello stesso piano, che ruota attorno ad una linea retta UN .

Possiamo quindi esprimere un'altra proprietà del piano: un piano può ruotare attorno a qualsiasi retta giacente su questo piano.

6. Problemi di costruzione nello spazio. Tutte le costruzioni realizzate in planimetria sono state eseguite su un piano utilizzando strumenti di disegno. Per le costruzioni nello spazio gli strumenti di disegno diventano inadatti, poiché è impossibile disegnare figure nello spazio. Inoltre, quando si costruisce nello spazio, appare un altro nuovo elemento: un piano, la cui costruzione nello spazio non può essere eseguita con mezzi così semplici come costruire una linea retta su un piano.

Pertanto, quando si costruisce nello spazio, è necessario determinare con precisione cosa significa realizzare questa o quella costruzione e, in particolare, cosa significa costruire un piano nello spazio. In tutte le costruzioni nello spazio assumeremo:

1) che un piano può essere costruito se si trovano gli elementi che ne determinano la posizione nello spazio (§ 3 e 4), cioè che possiamo costruire un piano passante per tre punti dati, per una retta e per un punto esterno ad essa, per due linee che si intersecano o due parallele;

2) che se sono dati due piani che si intersecano, allora è data anche la retta della loro intersezione, cioè che si può trovare la retta di intersezione di due piani;

3) che se nello spazio è dato un piano, allora in esso possiamo realizzare tutte le costruzioni che venivano eseguite in planimetria.

Realizzare qualsiasi costruzione nello spazio significa ridurla ad un numero finito delle costruzioni fondamentali appena indicate. Con l'aiuto di questi compiti di base è possibile risolvere problemi più complessi.

Queste frasi risolvono problemi che coinvolgono la costruzione in stereometria.

7. Un esempio di problema di costruzione nello spazio.
Compito. Trova il punto di intersezione di una determinata linea UN (Fig. 3) con un dato piano R.

Prendiamo un punto A sul piano P. Attraverso il punto A e la retta UN traccia il piano Q. Interseca il piano P lungo una certa retta B . Nel piano Q troviamo il punto C dell'intersezione delle rette UN E B . Questo punto sarà quello che stiamo cercando. Se dritto UN E B risultano paralleli, il problema non avrà soluzione.

Due rette nello spazio sono parallele se giacciono sullo stesso piano e non si intersecano.

Due rette nello spazio si intersecano se non esiste un piano in cui giacciono entrambe.

Segno di attraversamento delle linee. Se una delle due rette giace su un certo piano e l'altra retta interseca questo piano in un punto che non appartiene alla prima retta, queste rette si intersecano.

Un piano e una retta non appartenente al piano sono paralleli se non hanno punti in comune.

Un segno di parallelismo tra una linea e un piano. Se una linea che non appartiene al piano è parallela a una qualsiasi linea che appartiene al piano, allora è parallela anche al piano.

Proprietà di un piano e di una retta parallela al piano:

1) se un piano contiene una linea parallela ad un altro piano e interseca questo piano, allora la linea di intersezione dei piani è parallela a questa linea;

2) se i piani che si intersecano vengono tracciati attraverso ciascuna di due linee parallele, la linea della loro intersezione è parallela a queste linee.

Due piani sono paralleli se non hanno punti in comune.

Un segno di parallelismo dei piani, se due linee che si intersecano di un piano sono rispettivamente parallele a due linee che si intersecano di un altro piano, allora questi piani sono paralleli.

Una retta è perpendicolare ad un piano se è perpendicolare ad una qualunque retta appartenente al piano.

Segno di perpendicolarità di una retta e di un piano: se una retta è perpendicolare a due rette che si intersecano giacenti su un piano, allora è perpendicolare al piano.

Proprietà di una retta perpendicolare ad un piano.

1) se una delle due rette parallele è perpendicolare ad un piano, allora l'altra retta è perpendicolare a questo piano;

2) una retta perpendicolare ad uno dei due piani paralleli è anche perpendicolare all'altro piano.

Un segno di perpendicolarità dei piani. Se un piano contiene una perpendicolare ad un altro piano, allora è perpendicolare a quel piano.

Una retta che interseca un piano ma non è perpendicolare ad esso si dice inclinata al piano.

Teorema delle tre perpendicolari. Perché una retta giacente in un piano sia perpendicolare ad una inclinata, è necessario e sufficiente che sia perpendicolare alla proiezione di questa retta inclinata sul piano.

Nella Figura 1 c'è una linea retta B− inclinato rispetto al piano, dritto C- proiezione di questo piano inclinato e da allora UN┴ Con, Quello UN┴ B

L'angolo tra l'inclinato e il piano è l'angolo tra l'inclinato e la sua proiezione sul piano. Nella Figura 2 c'è una linea retta B- inclinato verso l'aereo, dritto UNè la proiezione di questo piano inclinato sul piano, α è l'angolo tra questo piano inclinato e il piano.

Un angolo diedro è formato dall'intersezione di due piani. La retta ottenuta dall'intersezione di due piani si chiama spigolo dell'angolo diedro. Due semipiani con uno spigolo in comune si dicono facce di un angolo diedro.

Semipiano il cui confine coincide con lo spigolo di un angolo diedro e che divide l'angolo diedro in due angoli uguali, è chiamato piano bisettore.

L'angolo diedro è misurato dal corrispondente angolo lineare. L'angolo lineare di un angolo diedro è l'angolo compreso tra le perpendicolari tracciate su ciascuna faccia fino al bordo.

Prisma

Un poliedro le cui due facce sono uguali N- quadrati che giacciono su piani paralleli e il resto N le facce sono parallelogrammi, chiamati N- prisma di carbonio.

Due N- i quadrati sono le basi del prisma, i parallelogrammi sono le facce laterali. I lati delle facce sono chiamati bordi del prisma e le estremità dei bordi sono chiamati vertici del prisma.

L'altezza di un prisma è il segmento perpendicolare compreso tra le basi del prisma.

La diagonale di un prisma è un segmento che collega due vertici di basi che non giacciono sulla stessa faccia.

Un prisma diritto è un prisma i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi (Fig. 3).

Prisma inclinato chiamato prisma, le cui nervature laterali sono inclinate rispetto ai piani delle basi (Fig. 4).

Il volume e la superficie di un prisma di altezza h si trovano utilizzando le formule:

La superficie laterale di un prisma diritto può essere calcolata utilizzando la formula.

Volume e superficie il prisma inclinato (Fig. 4) può essere calcolato anche diversamente: dove ΔPNK è la sezione perpendicolare allo spigolo l.

Un prisma regolare è un prisma retto la cui base è un poligono regolare.

Un parallelepipedo è un prisma le cui facce sono tutte parallelogrammi.

Un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi si dice parallelepipedo retto.

Un parallelepipedo rettangolare è un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo.

Proprietà della diagonale di un parallelepipedo

Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni: D² = UN² + B² + C², dove a,b,c- la lunghezza dei bordi che emergono da un vertice, D- diagonale del parallelepipedo (Fig. 3).

Il volume di un parallelepipedo rettangolare si trova utilizzando la formula V = abc.

Si chiama cubo cuboide con bordi uguali. Tutte le facce di un cubo sono quadrate.

Il volume, la superficie e la diagonale di un cubo con uno spigolo si trovano utilizzando le formule:

V = UN³, S = 6UN² D² = 3 UN².

Piramide

Un poliedro, di cui una faccia è un poligono e le restanti facce sono triangoli con un vertice comune, è chiamato piramide. Il poligono è chiamato base della piramide, mentre i triangoli sono chiamati facce laterali.

L'altezza di una piramide è un segmento perpendicolare tracciato dalla sommità della piramide al piano della base.

Se tutti gli spigoli laterali della piramide sono uguali o inclinati rispetto al piano della base dello stesso angolo, allora l'altezza cade al centro del cerchio circoscritto.

Se le facce laterali della piramide sono inclinate rispetto al piano della base dello stesso angolo (gli angoli diedri alla base sono uguali), allora l'altezza scende al centro del cerchio inscritto.

Una piramide si dice regolare se la sua base è un poligono regolare e la sua altezza cade al centro della circonferenza inscritta e circoscritta del poligono che giace alla base della piramide. L'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, calcolata a partire dal vertice, è detta apotema.

Ad esempio, la Figura 5 mostra una piramide triangolare regolare SABC(tetraedro): AB= AVANTI CRISTO.= AC.= UN, DE = r- raggio di un cerchio inscritto in un triangolo ABC, O.A.=R- raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC, COSÌ=H- altezza

piramidi, SD = io- apotema, - angolo di inclinazione del laterale

costolette SA al piano della base, - angolo di inclinazione della faccia laterale SBC al piano della base della piramide.

Piramide triangolare chiamato tetraedro. Un tetraedro si dice regolare se tutti i suoi bordi sono uguali.

Il volume della piramide e la sua superficie si trovano utilizzando le formule:

Dove H- altezza della piramide.

Superficie laterale di una piramide regolare trovato dalla formula , dove è l'apotema della piramide.

Una piramide tronca è un poliedro i cui vertici sono i vertici della base della piramide e i vertici della sua sezione mediante un piano parallelo alla base della piramide. Le basi di una piramide tronca sono poligoni simili.

Il volume di una piramide tronca si trova dalla formula , dove e sono le aree delle basi, h è l'altezza del tronco di piramide.

Poliedri regolari

Si chiama poliedro regolare poliedro convesso, in cui tutte le facce sono poligoni regolari con lo stesso numero di lati e lo stesso numero di spigoli convergono in ciascun vertice del poliedro.

Le facce di un poliedro regolare possono essere entrambe triangoli equilateri, o quadrati, o pentagoni regolari.

Se un poliedro regolare ha facce che sono triangoli regolari, allora i poliedri corrispondenti sono un tetraedro regolare (ha 4 facce), un ottaedro regolare (ha 8 facce), un icosaedro regolare (ha 20 facce).

Se un poliedro regolare ha facce quadrate, allora il poliedro è chiamato cubo o esaedro (ha 6 facce).

Se un poliedro regolare ha facce pentagonali regolari, allora il poliedro è chiamato dodecaedro (ha 12 facce).

Cilindro

Un cilindro è una figura ottenuta ruotando un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.

Nella Figura 6 la retta è l'asse di rotazione; - altezza, l- formatura; ABCD- sezione assiale di un cilindro ottenuta ruotando un rettangolo attorno ad un lato. Il volume e la superficie del cilindro si trovano utilizzando le formule:

, , , , Dove R- raggio di base, H- altezza, l- generatrice del cilindro.

Cono

Un cono è una figura ottenuta ruotando un triangolo rettangolo attorno a una delle sue gambe. Nella Figura 7 c'è una linea retta O.B.- asse di rotazione; O.B. = H- altezza, l- generatore;Δ ABC- sezione assiale di un cono ottenuta ruotando un triangolo rettangolo OBC attorno alla gamba O.B..