Azioni con vettori nello spazio. Capitolo I. Algebra vettoriale. Relazione di un vettore con un sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio
Definizione standard: "Un vettore è un segmento di linea diretto". Questo è di solito il limite della conoscenza dei vettori di un laureato. Chi ha bisogno di una sorta di "segmenti diretti"?
Ma in effetti, cosa sono i vettori e perché lo sono?
Previsioni del tempo. "Vento da nord-ovest, velocità 18 metri al secondo." D'accordo, contano anche la direzione del vento (da dove soffia) e il modulo (cioè il valore assoluto) della sua velocità.
Le quantità che non hanno direzione sono dette scalari. peso, lavoro, carica elettrica non inviato da nessuna parte. Sono caratterizzati solo da un valore numerico: "quanti chilogrammi" o "quanti joule".
Le grandezze fisiche che hanno non solo un valore assoluto, ma anche una direzione sono dette grandezze vettoriali.
Velocità, forza, accelerazione - vettori. Per loro è importante "quanto" ed è importante "dove". Ad esempio, l'accelerazione di caduta libera è diretta verso la superficie terrestre e il suo valore è 9,8 m/s 2 . slancio, tensione campo elettrico, induzione campo magnetico sono anche grandezze vettoriali.
Ti ricordi che quantità fisiche indicato da lettere, latine o greche. La freccia sopra la lettera indica che la quantità è un vettore:
Ecco un altro esempio.
L'auto va da A a B. Il risultato finale è il suo movimento dal punto A al punto B, cioè il movimento di un vettore 
.
Ora è chiaro perché un vettore è un segmento diretto. Fai attenzione, la fine del vettore è dove si trova la freccia. Lunghezza del vettore si chiama lunghezza di questo segmento. Designato: o
Finora abbiamo lavorato con quantità scalari, secondo le regole dell'aritmetica e dell'algebra elementare. I vettori sono un nuovo concetto. Questa è un'altra classe di oggetti matematici. Hanno le loro regole.
Una volta non conoscevamo nemmeno i numeri. La loro conoscenza è iniziata nelle classi elementari. Si è scoperto che i numeri possono essere confrontati tra loro, aggiunti, sottratti, moltiplicati e divisi. Abbiamo imparato che esiste un numero uno e un numero zero.
Ora conosciamo i vettori.
I concetti di "maggiore di" e "minore di" non esistono per i vettori - dopotutto, le loro direzioni possono essere diverse. Puoi confrontare solo le lunghezze dei vettori.
Ma il concetto di uguaglianza per i vettori lo è.
Pari sono vettori che hanno la stessa lunghezza e la stessa direzione. Ciò significa che il vettore può essere spostato parallelamente a se stesso in qualsiasi punto del piano.
separareè chiamato vettore la cui lunghezza è 1 . Zero: un vettore la cui lunghezza è uguale a zero, ovvero il suo inizio coincide con la fine.
È più conveniente lavorare con i vettori in un sistema di coordinate rettangolare, quello in cui disegniamo grafici di funzioni. Ogni punto nel sistema di coordinate corrisponde a due numeri: le sue coordinate xey, l'ascissa e l'ordinata.
Il vettore è dato anche da due coordinate:
Qui, le coordinate del vettore sono scritte tra parentesi - in x e in y.
Sono facili da trovare: la coordinata della fine del vettore meno la coordinata del suo inizio.
Se vengono fornite le coordinate del vettore, la sua lunghezza viene trovata dalla formula
Aggiunta vettoriale
Ci sono due modi per aggiungere vettori.
uno . regola del parallelogramma. Per sommare i vettori e , posizioniamo le origini di entrambi nello stesso punto. Completiamo il parallelogramma e disegniamo la diagonale del parallelogramma dallo stesso punto. Questa sarà la somma dei vettori e .
Ricordi la favola sul cigno, il cancro e il luccio? Ci hanno provato molto, ma non hanno mai spostato il carrello. Dopotutto, la somma vettoriale delle forze da loro applicate al carrello era uguale a zero.
2. Il secondo modo per aggiungere vettori è la regola del triangolo. Prendiamo gli stessi vettori e . Aggiungiamo l'inizio del secondo alla fine del primo vettore. Ora colleghiamo l'inizio del primo e la fine del secondo. Questa è la somma dei vettori e .
Con la stessa regola, puoi aggiungere diversi vettori. Li alleghiamo uno per uno, quindi colleghiamo l'inizio del primo alla fine dell'ultimo.
Immagina di andare da un punto A a un punto B, da B a C, da C a D, poi a E e poi a F. Il risultato finale di queste azioni è un passaggio da A a F.
Quando aggiungiamo i vettori e otteniamo:
Sottrazione vettoriale
Il vettore è diretto opposto al vettore. Le lunghezze dei vettori e sono uguali.
Ora è chiaro cosa sia la sottrazione dei vettori. La differenza dei vettori ed è la somma del vettore e del vettore.
Moltiplica un vettore per un numero
Moltiplicando un vettore per un numero k si ottiene un vettore la cui lunghezza è k volte diversa dalla lunghezza. È codirezionale con il vettore se k è maggiore di zero e diretto in senso opposto se k è minore di zero.
Prodotto scalare di vettori
I vettori possono essere moltiplicati non solo per i numeri, ma anche l'uno per l'altro.
Il prodotto scalare dei vettori è il prodotto delle lunghezze dei vettori e del coseno dell'angolo tra di loro.
Fai attenzione: abbiamo moltiplicato due vettori e abbiamo ottenuto uno scalare, cioè un numero. Ad esempio, in fisica, il lavoro meccanico è uguale al prodotto scalare di due vettori: forza e spostamento:
Se i vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è zero.
Ed ecco come si esprime il prodotto scalare in termini di coordinate dei vettori e:
Dalla formula per il prodotto scalare, puoi trovare l'angolo tra i vettori:
Questa formula è particolarmente conveniente in stereometria. Ad esempio, nel problema 14 esame di profilo in matematica, devi trovare l'angolo tra le rette intersecanti o tra una retta e un piano. Il problema 14 viene spesso risolto molte volte più velocemente di quello classico.
A curriculum scolastico in matematica si studia solo il prodotto scalare dei vettori.
Si scopre che, oltre allo scalare, esiste anche un prodotto vettoriale, quando si ottiene un vettore come risultato della moltiplicazione di due vettori. Chi supera l'esame di fisica sa cosa sono la forza di Lorentz e la forza di Ampère. Le formule per trovare queste forze includono esattamente prodotti vettoriali.
I vettori sono uno strumento matematico molto utile. Ne sarai convinto nel primo corso.
Lezione 3. Vettori. Sistemi di equazioni lineari.
vettori
Obbiettivo lo studio dell'argomento consiste nel generalizzare il concetto di vettore che gli studenti conoscono dal curriculum scolastico e ampliarne gli orizzonti sistematici.
Vettori sull'aereo e nello spazio.
Vettore- questo è segmento diretto. Punto MAè l'inizio del vettore, punto A– la fine del vettore (Fig. 3.1.1). Puoi usare la notazione .
Lunghezza (modulo) vettore è un numero uguale alla lunghezza del vettore. Il modulo del vettore è indicato dal simbolo o . Se il modulo di un vettore è , il vettore viene chiamato zero; la direzione del vettore zero è arbitraria.
I due vettori sono chiamati collineare, se sono paralleli alla stessa retta (o giacciono sulla stessa retta), in questo caso scrivono . Il vettore zero è collineare a qualsiasi vettore.
Due vettori pari, ovvero se sono soddisfatte tre condizioni: ; ed e sono ugualmente diretti.
Prodotto vettoriale ā per numero (scalare) λ è detto vettore che soddisfa le seguenti condizioni: , vettori e sono co-diretti se e sono diretti in direzioni opposte se . Se , viene chiamato il vettore di fronte vettore .
Pertanto, la condizione è sufficiente per la collinearità del vettore e ;
Aggiunta di vettori. La somma di due vettori ed è chiamato vettore, Inizio che coincide con l'inizio del vettore e la fine - con la fine del vettore, a condizione che l'inizio del vettore coincida con la fine del vettore (regola del triangolo)(vedi fig. 3.1.2).
Poiché il vettore , quindi per ottenere somma di due vettori, puoi usare la regola parallelogramma: somma Due vettori è il vettore diagonale del parallelogramma costruito sui vettori e , che si estende da essi inizio comune entrambi i termini vettoriali.
La somma di molti vettori si trova secondo la regola poligono: per trovare la somma di più vettori , devi combinare in sequenza l'inizio del prossimo termine vettoriale con la fine del precedente; quindi il vettore tracciato dall'inizio del primo alla fine dell'ultimo viene chiamato somma di tutti questi vettori (Fig. 3.1.3).
differenza due vettori è chiamata somma. Se il vettore , allora per analogia con la somma di due vettori, questo vettore è la diagonale di un parallelepipedo costruito su tre vettori come lati (Fig. 3.1.4).
Considera un vettore in un piano. Spostarsi all'origine del sistema hoy.
Otteniamo un vettore. Le coordinate del vettore sono le coordinate del punto M(X;a). Introduciamo i vettori sugli assi delle coordinate io e j– lunghezza unitaria (Fig. 3.1.5).
Ovviamente uno o l'altro. Se il vettore è considerato nello spazio tridimensionale, dove il punto M caratterizzato da tre coordinate, cioè M(x,y,z) , allora il vettore può essere rappresentato come:
X io y j z K , (3.1.1)
dove io, j, k sono i vettori unitari che giacciono sugli assi delle coordinate. Permettere , . Troviamo la somma e la differenza di questi vettori:
L'aggiunta di vettori e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare ha le seguenti proprietà:
La dimostrazione segue da (3.1.2).
Definizione. Prodotto a punti vettori e il numero è detto uguale al prodotto dei moduli di questi vettori per il coseno dell'angolo φ tra loro, cioè (3.1.3)
Da (3.1.3) seguire le proprietà del prodotto scalare:
4) se , allora .
Usando le proprietà del prodotto scalare, si può trovare il prodotto scalare di due vettori in forma di coordinate. Se poi ; se - condizione di perpendicolarità dei vettori.
Se i vettori sono collineari, cioè la condizione per i vettori è collineare.
concetto n vettore -dimensionale. Spazio vettoriale. Combinazione lineare e dipendenza lineare dei vettori.
Il concetto di vettore può essere generalizzato.
Definizione. n vettore -dimensionaleè chiamata raccolta ordinata n numeri reali scritti come X \u003d (x 1, x 2, ..., x n), x io sono componenti vettoriali X.
concetto n il vettore -dimensionale è ampiamente utilizzato in economia. Ad esempio, un determinato insieme di beni può essere caratterizzato dal vettore e i prezzi corrispondenti dal vettore.
Due n vettori -dimensionali sono uguali se e solo se le loro componenti corrispondenti sono uguali: , .
Per analogia con i vettori geometrici si introducono: la somma dei vettori con componenti , ; differenza di vettori con componenti , , con le stesse proprietà.
Prodotto scalare n- vettori dimensionali:
Se una X - un insieme di beni, e Y - corrisponde ai prezzi unitari di ciascun prodotto, quindi al costo di tutti i prodotti:
Definizione. Si chiama l'insieme dei vettori con componenti reali, che definisce le operazioni di addizione (sottrazione) e moltiplicazione di un vettore per uno scalare che soddisfa le suddette proprietà spazio vettoriale.
Definizione. Il vettore viene chiamato combinazione lineare di vettori spazio vettoriale se
, (3.1.4)
dove sono i numeri reali.
Definizione. I vettori sono detti linearmente dipendenti se esistono numeri che non sono contemporaneamente uguali a zero, tali che una combinazione lineare di .
Altrimenti vengono chiamati vettori (). linearmente indipendente.
Se i vettori sono linearmente dipendenti, almeno uno di essi è espresso linearmente in termini degli altri. Mostriamolo. Siano i vettori () linearmente dipendenti, cioè n), quindi
Avendo risolto il sistema con qualsiasi metodo (ad esempio il metodo di Cramer), otteniamo la sua soluzione: , , . L'espansione di un vettore in termini di base ha la forma .
Vettore – è un segmento di retta orientato, cioè un segmento avente una certa lunghezza e una certa direzione. Lascia il punto MAè l'inizio del vettore e il punto B è la sua fine, allora il vettore è indicato dal simbolo o . Il vettore viene chiamato di fronte vettore e può essere contrassegnato .
Formuliamo una serie di definizioni di base.
Lunghezza o modulo vettoreè chiamata lunghezza del segmento ed è indicata. Viene chiamato un vettore di lunghezza zero (la sua essenza è un punto). zero e non ha direzione. Vettore viene chiamata la lunghezza dell'unitàseparare . Vettore unitario la cui direzione è la stessa della direzione del vettore , è chiamato vettore .
I vettori sono chiamati collineare , se giacciono sulla stessa linea o su linee parallele, scrivi. I vettori collineari possono avere direzioni uguali o opposte. Il vettore zero è considerato collineare a qualsiasi vettore.
I vettori sono chiamati ugualise sono collineari, hanno la stessa direzione e hanno la stessa lunghezza.
Vengono chiamati tre vettori nello spazio Complanare se giacciono sullo stesso piano o su piani paralleli. Se tra tre vettori almeno uno è zero o due sono collineari, allora tali vettori sono complanari.
Considera nello spazio un sistema di coordinate rettangolare 0 xyz. Selezionare sulle coordinate assi 0 X, 0y, 0z vettori unitari (orts) e denotarli conrispettivamente. Scegliamo un vettore spaziale arbitrario e abbiniamo la sua origine con l'origine. Proiettiamo il vettore sugli assi delle coordinate e indichiamo le proiezioni con ascia, Ay, az rispettivamente. Allora è facile dimostrarlo
.
(2.25)
Questa formula è di base nel calcolo vettoriale ed è chiamata espansione del vettore nei vettori unitari degli assi coordinati . Numeri ascia, Ay, az chiamato coordinate vettoriali . Pertanto, le coordinate di un vettore sono le sue proiezioni sugli assi delle coordinate. L'uguaglianza del vettore (2.25) è spesso scritta come
Useremo la notazione vettoriale tra parentesi graffe per distinguere visivamente tra coordinate vettoriali e coordinate puntiformi. Usando la formula per la lunghezza del segmento, nota dalla geometria della scuola, puoi trovare un'espressione per calcolare il modulo del vettore:
,
(2.26)
cioè il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.
Indichiamo gli angoli tra il vettore e gli assi delle coordinate passanti α, β, γ rispettivamente. coseni questi angoli sono chiamati per il vettore guide , e per loro vale la seguente relazione:La correttezza di questa uguaglianza può essere mostrata utilizzando la proprietà della proiezione del vettore sull'asse, che sarà considerata nel successivo paragrafo 4.
Siano dati i vettori nello spazio tridimensionalecon le loro coordinate. Su di essi avvengono le seguenti operazioni: lineare (addizione, sottrazione, moltiplicazione per un numero e proiezione di un vettore su un asse o un altro vettore); non lineare - vari prodotti di vettori (scalare, vettoriale, misto).
1. Aggiunta due vettori sono prodotti in modo coordinato, cioè se
Questa formula vale per un numero finito arbitrario di termini.
Geometricamente, due vettori vengono sommati secondo due regole:
un) regola triangolo - il vettore risultante dalla somma di due vettori collega l'inizio del primo con la fine del secondo, purché l'inizio del secondo coincida con la fine del primo vettore; per la somma dei vettori, il vettore risultante della somma collega l'inizio del primo di essi con la fine dell'ultimo termine-vettore, purché l'inizio del termine successivo coincida con la fine del precedente;
b) regola parallelogramma (per due vettori) - un parallelogramma è costruito su vettori-addizioni come su lati ridotti a un inizio; la diagonale del parallelogramma proveniente dalla loro origine comune è la somma dei vettori.
2. Sottrazione due vettori vengono prodotti in modo coordinato, simile all'addizione, cioè se, poi
Geometricamente, si sommano due vettori secondo la già citata regola del parallelogramma, tenendo conto del fatto che la differenza dei vettori è la diagonale che collega le estremità dei vettori, e il vettore risultante è diretto dall'estremità del vettore sottratto a la fine del vettore ridotto.
Un'importante conseguenza della sottrazione dei vettori è il fatto che se si conoscono le coordinate dell'inizio e della fine del vettore, allora per calcolare le coordinate di un vettore è necessario sottrarre le coordinate del suo inizio dalle coordinate della sua fine
. In effetti, qualsiasi vettore spazialepuò essere rappresentato come la differenza di due vettori provenienti dall'origine:
. Coordinate vettoriali e coincidono con le coordinate dei puntiMA e A, fin dall'origineo(0;0;0). Pertanto, secondo la regola di sottrazione vettoriale, le coordinate del punto dovrebbero essere sottratteMAdalle coordinate del puntoA.
3.
In
moltiplicazione di un vettore per un numero λ
in modo coordinato:
.
In λ> 0 - vettore co-diretto ; λ< 0 - vettore direzione opposta ; | λ|> 1 - lunghezza del vettore aumenta in λ una volta;| λ|< 1 - la lunghezza del vettore diminuisce λ una volta.
4. Sia data una retta nello spazio (l'asse l), vettoredata dalle coordinate di fine e inizio. Indica le proiezioni dei punti UN e B per asse l rispettivamente attraverso UN’ e B’ .
proiezione vettore per asse lè chiamata lunghezza del vettore, preso con il segno "+", se il vettore e asse lco-direzionale e con un segno "-", se e ldiretto in modo opposto.
Se come asse l prendi qualche altro vettore, quindi otteniamo la proiezione del vettore sul vettore r.
Consideriamo alcune proprietà di base delle proiezioni:
1) proiezione vettoriale per asse lè uguale al prodotto del modulo del vettoredal coseno dell'angolo tra il vettore e l'asse, cioè
;
2.) la proiezione del vettore sull'asse è positiva (negativa) se il vettore forma un angolo acuto (ottuso) con l'asse, ed è uguale a zero se tale angolo è retto;
3) la proiezione della somma di più vettori sullo stesso asse è uguale alla somma delle proiezioni su tale asse.
Formuliamo definizioni e teoremi sui prodotti di vettori che rappresentano operazioni non lineari sui vettori.
5. Prodotto a punti vettori echiamato un numero (scalare) uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori per il coseno dell'angoloφ tra loro, cioè
.
(2.27)
Ovviamente, il quadrato scalare di qualsiasi vettore diverso da zero è uguale al quadrato la sua lunghezza, poiché in questo caso l'angolo , quindi il suo coseno (in 2.27) è 1.
Teorema 2.2.Condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori è l'uguaglianza a zero del loro prodotto scalare
Conseguenza. I prodotti scalari a coppie di vettori unitari sono uguali a zero, ovvero
Teorema 2.3. Prodotto scalare di due vettori, dato dalle loro coordinate, è uguale alla somma dei prodotti delle loro coordinate omonime, cioè
(2.28)
Usando il prodotto scalare dei vettori, puoi calcolare l'angolotra loro. Se vengono forniti due vettori diversi da zero con le loro coordinate, quindi il coseno dell'angoloφ tra loro:
(2.29)
Ciò implica la condizione di perpendicolarità di vettori diversi da zero e :
(2.30)
Trovare la proiezione di un vettorealla direzione data dal vettore , può essere eseguito secondo la formula
(2.31)
Usando il prodotto scalare dei vettori si trova il lavoro di una forza costantesu una pista dritta.
Assumiamo che sotto l'azione di una forza costante il punto materiale si muove in linea retta dalla posizione MA in posizione b. Forza vettore forma un angolo φ con vettore di spostamento (Fig. 2.14). La fisica dice che il lavoro svolto da una forza quando ci si spostaè uguale a .
Esempio 2.9.Usando il prodotto scalare dei vettori, trova l'angolo al verticeUNparallelogrammaABCD, costruire sui vettori
Soluzione. Calcoliamo i moduli dei vettori e il loro prodotto scalare secondo il teorema (2.3):
Da qui, secondo la formula (2.29), otteniamo il coseno dell'angolo desiderato
Esempio 2.10.I costi delle materie prime e delle risorse materiali utilizzate per produrre una tonnellata di ricotta sono riportati nella tabella 2.2 (rubli).
Qual è il prezzo totale di queste risorse spese per la produzione di una tonnellata di ricotta?Tabella 2.2
Quindi 
.Costo totale delle risorse
, che è il prodotto scalare dei vettori. Lo calcoliamo con la formula (2.28) secondo il Teorema 2.3:
Nota. Le azioni con i vettori eseguite nell'esempio 2.10 possono essere eseguite su un personal computer. Per trovare il prodotto scalare dei vettori in MS Excel, viene utilizzata la funzione SUMPRODUCT(), in cui vengono specificati come argomenti gli indirizzi degli intervalli di elementi di matrice, la cui somma dei prodotti deve essere trovata. In MathCAD, il prodotto scalare di due vettori viene eseguito utilizzando l'operatore della barra degli strumenti Matrix corrispondente
Esempio 2.11. Calcola il lavoro svolto dalla forza
, se il punto della sua applicazione si sposta rettilineo rispetto alla posizione UN(2;4;6) in posizione UN(4;2;7). A che angolazione AB forza diretta ?Soluzione. Troviamo il vettore spostamento sottraendo dalle coordinate della sua estremitàcoordinate di partenza
. Per formula (2.28)(unità di lavoro).
Angolo φ tra e troviamo dalla formula (2.29), cioè
6. Tre vettori non complanari, preso in quest'ordine, modulotre a destra, se visto dalla fine del terzo vettoregiro più breve dal primo vettoreal secondo vettoreeseguita in senso antiorario, esinistra se in senso orario.
arte vettoriale vettore a vettore chiamato vettore , soddisfacendo le seguenti condizioni:
– perpendicolare ai vettori e ;
- ha una lunghezza pari a
, dove φ
è l'angolo formato dai vettori e ;
– vettori formare una terna destra (Fig. 2.15).
Teorema 2.4.Una condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di due vettori è l'uguaglianza a zero del loro prodotto vettoriale
Teorema 2.5. Prodotto incrociato di vettori, dato dalle loro coordinate, è uguale al determinante di terzo ordine della forma
(2.32)
Nota. Determinante (2.25) si espande secondo la proprietà di 7 determinanti
Conseguenza 1.Una condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di due vettori è la proporzionalità delle rispettive coordinate
Conseguenza 2. I prodotti vettoriali dei vettori unitari sono uguali
Conseguenza 3.Il quadrato del vettore di qualsiasi vettore è zero
Interpretazione geometrica prodotto vettoriale
è che la lunghezza del vettore risultante è numericamente uguale all'area S un parallelogramma costruito su vettori-fattori come su lati ridotti alla stessa origine. Infatti, secondo la definizione, il modulo del prodotto incrociato dei vettori è uguale a
.
D'altra parte, l'area di un parallelogramma costruito su vettori e , è anche uguale a 
. Di conseguenza,
.
(2.33)
Inoltre, usando il prodotto incrociato, puoi determinare il momento della forza attorno a un punto e lineare velocità di rotazione.
Let al punto UN forza applicata Lasciarlo andare o - un punto nello spazio (Fig. 2.16). È noto dal corso di fisica che momento di forza rispetto al punto ochiamato vettore , che passa per il puntooe soddisfa le seguenti condizioni:
Perpendicolare al piano passante per i punti o, UN, B;
Il suo modulo è numericamente uguale al prodotto della forza e del braccio.
- forma una terna retta con vettori e.
Pertanto, il momento di forza rispetto al puntooè un prodotto vettoriale
. (2.34)
punto dell'asse (Fig. 2.17).
Esempio 2.12. Trova l'area di un triangolo usando il prodotto incrociato ABC, costruito su vettoriridotto alla stessa origine.
Ci sono due modi per risolvere i problemi di stereometria
La prima - classica - richiede un'ottima conoscenza degli assiomi e dei teoremi della stereometria, della logica, della capacità di costruire un disegno e di ridurre un problema tridimensionale ad uno planimetrico. Il metodo è buono perché sviluppa il cervello e l'immaginazione spaziale.
Un altro metodo è l'uso di vettori e coordinate. Si tratta di semplici formule, algoritmi e regole. È molto comodo, soprattutto quando si ha poco tempo prima dell'esame, ma si vuole risolvere il problema.
Se l'hai imparato, allora capirai i vettori nello spazio. Molti concetti saranno familiari.
Sistema di coordinate nello spazio
Scegliamo l'origine delle coordinate. Disegniamo tre assi X, Y e Z reciprocamente perpendicolari. Impostiamo una scala conveniente.
Risultò sistema di coordinate nello spazio tridimensionale. Ora ciascuno dei suoi punti è caratterizzato da tre numeri: coordinate in X, Y e Z. Ad esempio, la voce M(−1; 3; 2) significa che la coordinata del punto M in X (ascissa) è −1, la la coordinata in Y (ordinata) è uguale a 3 e la coordinata Z (applicata) è 2.
I vettori nello spazio sono definiti allo stesso modo del piano. Questi sono segmenti diretti che hanno un inizio e una fine. Solo nello spazio il vettore è dato da tre coordinate x, y e z:
Come trovare le coordinate di un vettore? Come nel piano, sottraiamo la coordinata iniziale dalla coordinata finale.
La lunghezza di un vettore nello spazio è la distanza tra i punti A e B. Si trova come radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate del vettore.
Sia il punto M il punto medio del segmento AB. Le sue coordinate si trovano con la formula:
Per aggiungere vettori, utilizziamo la già familiare regola del triangolo e la regola del parallelogramma.
La somma dei vettori, la loro differenza, il prodotto di un vettore per un numero e il prodotto scalare dei vettori sono definiti allo stesso modo del piano. Solo le coordinate non sono due, ma tre. Prendiamo vettori e .
Somma dei vettori:
Differenza vettore:
Il prodotto di un vettore per un numero:
Prodotto scalare dei vettori:
Coseno dell'angolo tra vettori:
L'ultima formula è utile per trovare l'angolo tra le linee nello spazio. Soprattutto se queste linee si intersecano. Ricordiamo che questo è il nome dato alle rette che non sono parallele e non si intersecano. Si trovano su piani paralleli.
1. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i punti E e K sono rispettivamente i punti medi degli spigoli A 1 B 1 e B 1 C 1. Trova il coseno dell'angolo tra le linee AE e BK.
Se hai un cubo, allora sei fortunato. Si adatta perfettamente al sistema di coordinate rettangolare. Costruire un disegno:
La lunghezza del bordo del cubo non è data. Qualunque cosa sia, l'angolo tra AE e BK non dipende da esso. Quindi prendiamo un cubo unitario, i cui bordi sono uguali a 1.
Diretto AE e BK - croce. Trova l'angolo tra i vettori e . Ciò richiede le loro coordinate.
Scriviamo le coordinate dei vettori:
e trova il coseno dell'angolo tra i vettori e :
2. Nel modo corretto piramide quadrangolare SABCD, i cui archi sono tutti uguali a 1, i punti E, K sono rispettivamente i punti medi degli archi SB e SC. Trova il coseno dell'angolo tra le linee AE e BK.
È meglio scegliere l'origine al centro della base della piramide e rendere gli assi X e Y paralleli ai lati della base.
Le coordinate dei punti A, B e C sono facili da trovare:
Da triangolo rettangolo AOS trova
Coordinate del vertice della piramide:
Il punto E è il punto medio di SB e K è il punto medio di SC. Usiamo la formula per le coordinate del centro del segmento e troviamo le coordinate dei punti E e K.
Trova le coordinate dei vettori e
e l'angolo tra di loro:
Mostriamo ora come inscrivere il sistema di coordinate in un prisma triangolare:
3. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1 , i cui spigoli sono tutti uguali a 1, il punto D è il punto medio dello spigolo A 1 B 1 . Trova il coseno dell'angolo tra le linee AD e BC 1
Sia punto A l'origine. Prendiamo l'asse X parallelo al lato BC e l'asse Y perpendicolare ad esso. In altre parole, il segmento AH giace sull'asse Y, che è l'altezza del triangolo ABC. Disegna separatamente la base inferiore del prisma.
Scriviamo le coordinate dei punti:
Il punto D è la metà di A 1 B 1 . Quindi, utilizziamo le formule per le coordinate del punto medio
segmento.
Trova le coordinate dei vettori e , e poi l'angolo tra di loro:
Scopri com'è facile trovare l'angolo tra le linee usando vettori e coordinate. E se vuoi trovare l'angolo tra i piani o tra una linea e un piano? Per risolvere tali problemi, abbiamo bisogno dell'equazione di un piano nello spazio.
Un piano nello spazio è dato dall'equazione:
Qui i numeri A, B e C sono le coordinate del vettore perpendicolare a questo piano. Si chiama normale al piano.
Invece di x, yez, puoi sostituire nell'equazione le coordinate di qualsiasi punto appartenente a questo piano. Ottieni il giusto equilibrio.
Un piano nello spazio può essere tracciato attraverso tre punti qualsiasi che non giacciono sulla stessa linea retta. Pertanto, per scrivere l'equazione di un piano, prendiamo le coordinate di tre punti che gli appartengono. Li sostituiamo a loro volta nell'equazione del piano. Risolviamo il sistema risultante.
Mostriamo come è fatto.
Scriviamo l'equazione del piano passante per i punti M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) e K (4; 1; 2).
L'equazione del piano si presenta così:
Sostituisci a turno le coordinate dei punti M, N e K.
Per il punto M:
Cioè, A + C + D = 0.
Per il punto N:
Allo stesso modo per il punto K:
Abbiamo un sistema di tre equazioni:
Ci sono quattro incognite in esso: A, B, C e D. Pertanto, ne sceglieremo uno noi stessi ed esprimeremo gli altri attraverso di esso. La regola è semplice: invece di una delle variabili, puoi prendere qualsiasi numero che non sia uguale a zero.
Sia, ad esempio, D = −2. Quindi:
Esprimi C e B in termini di A e sostituisci nella terza equazione:
Risolvendo il sistema, otteniamo:
L'equazione del piano MNK ha la forma:
Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per −3. Allora i coefficienti diventano interi:
Il vettore è la normale al piano MNK.
L'equazione di un piano passante per un dato punto ha la forma:
Angolo tra i piani uguale all'angolo tra le normali a questi piani:
Non è una formula familiare? Il prodotto scalare delle normali è stato diviso per il prodotto delle loro lunghezze.
Si noti che quando due piani si intersecano, si formano effettivamente quattro angoli.
Prendiamo quello più piccolo. Pertanto, la formula contiene il modulo del prodotto scalare, in modo che il coseno dell'angolo non sia negativo.
4. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i punti E ed F sono rispettivamente i punti medi degli spigoli A 1 B 1 e A 1 D 1. Trova la tangente dell'angolo tra i piani AEF e BDD 1 .
Costruiamo un disegno. Si può vedere che i piani AEF e BDD 1 si intersecano da qualche parte al di fuori del cubo. A soluzione classica dovrebbe costruire una linea della loro intersezione. Ma il metodo delle coordinate vettoriali semplifica notevolmente tutto. Non discutiamo sulla linea lungo la quale i piani si intersecano. Basta segnare le coordinate dei punti di cui abbiamo bisogno e trovare l'angolo tra le normali ai piani AEF e BDD 1 .
Primo - la normale al piano BDD 1. Naturalmente, possiamo sostituire le coordinate dei punti B, D e D 1 nell'equazione del piano e trovare i coefficienti, che saranno le coordinate del vettore normale. E possiamo farlo in modo più astuto: vedere la normale desiderata direttamente sul disegno. Dopotutto, il piano BDD 1 è una sezione diagonale di un cubo. Il vettore è perpendicolare a questo piano.
Quindi, abbiamo già il primo vettore normale:
Scriviamo l'equazione del piano AEF.
Prendiamo l'equazione del piano e, a sua volta, sostituiamo in essa, invece di x, yez, le coordinate corrispondenti dei punti A, E e F.
Semplifichiamo il sistema:
Sia C = -1. Allora A = B = 2.
Equazione del piano AEF:
Normale all'aereo AEF:
Trova l'angolo tra i piani:
5. La base di un prisma quadrangolare retto BCDA 1 B 1 C 1 D 1 è un rettangolo ABCD, in cui AB = 5, AD = √33. Trova la tangente dell'angolo tra il piano della faccia AA 1 D 1 D e il piano passante per il punto medio dello spigolo CD perpendicolare alla retta B 1 D se la distanza tra le rette A 1 C 1 e BD è √3 .
Questo compito mostra chiaramente quanto sia più semplice il metodo vettoriale rispetto a quello classico. Prova, tanto per cambiare, a costruire le sezioni necessarie ed eseguire tutte le prove - come si fa nei "classici" :-)
Costruiamo un disegno. Un prisma quadrangolare retto può essere chiamato "parallelepipedo" in un altro modo.
Notiamo che abbiamo la lunghezza e la larghezza del parallelepipedo, ma l'altezza sembra non essere data. Come trovarla?
"La distanza tra le linee A 1 C 1 e BD è √3". Le linee A 1 C 1 e BD si intersecano. Uno di questi è la diagonale della base superiore, l'altro è la diagonale di quella inferiore. Ricordiamo che la distanza tra le rette che si intersecano è uguale alla lunghezza della loro perpendicolare comune. La perpendicolare comune ad A 1 C 1 e BD è ovviamente OO 1 , dove O è il punto di intersezione delle diagonali della base inferiore, O 1 è il punto di intersezione delle diagonali della parte superiore. E il segmento OO 1 è uguale all'altezza del parallelepipedo.
Quindi, AA 1 = √3
Il piano AA 1 D 1 D è la faccia posteriore del prisma nel nostro disegno. La normale ad esso è qualsiasi vettore che sia perpendicolare alla faccia posteriore, come un vettore o, più semplicemente, un vettore.
Rimane "un piano passante per il centro del bordo CD perpendicolare alla linea B 1 D". Ma se il piano è perpendicolare alla linea B 1 D, allora B 1 D è la normale a questo piano! Le coordinate dei punti B 1 e D sono note:
Coordinate vettoriali - anche.
Tutte le definizioni e i teoremi relativi ai vettori nel piano valgono anche per lo spazio. Ricordiamo le principali definizioni.
Per definire un vettore abbiamo bisogno
Definizione
Segmento direzionaleè chiamata coppia ordinata di punti nello spazio. Vengono chiamati segmenti diretti pari se hanno la stessa lunghezza e direzione.
Definizione
Vettoreè l'insieme di tutti i segmenti diretti uguali.
I vettori sono generalmente indicati da lettere latine minuscole con una freccia sopra: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. I segmenti diretti sono designati indicando l'inizio e la fine, sempre con una freccia dall'alto: $\vec(AB)$.
Un vettore è un insieme costituito da un numero infinito di elementi. Spesso, un segmento diretto viene chiamato "vettore". Se $\vec(AB) \in \vec(a)$, allora il segmento diretto $\vec(AB)$ rappresenta il vettore $\vec(a)$. Allo stesso tempo, sul disegno viene disegnato un segmento diretto e ne parlano un "vettore". Ad esempio, quando diciamo "allontana il vettore $\vec(r)$ dal punto $O$, intendiamo che stiamo costruendo un segmento orientato $\vec(OR)$ che rappresenta il vettore $\vec(r) $.
Definizione
I vettori sono chiamati pari, se i segmenti diretti che li raffigurano sono uguali.
Sui vettori, puoi eseguire operazioni di addizione e sottrazione, nonché moltiplicare un dato vettore per un numero reale.
La regola del triangolo è nota dalla planimetria: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,
regola del parallelogramma: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$
e la regola dell'addizione poligonale dei vettori per il piano, che sono vere anche nello spazio.
Regola della polilinea per l'aggiunta di vettori
Se $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ sono punti arbitrari nello spazio, allora
$ \vec(A_1A_2) + \punti + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $
Inoltre, nello spazio è vero
Regola della scatola
Se $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$, allora, costruendo sui segmenti diretti del parallelepipedo $OAEBCFDG$ si trova un segmento orientato $\vec(OD)$ che rappresenta il vettore $\vec(d)$, che è la somma dei vettori $\vec(a), \, \vec(b), \, \vec(c).$
