Il cerchio numerico sul piano delle coordinate è un cerchio trigonometrico. Cerchio numerico nella presentazione del piano delle coordinate per la lezione di algebra (Grado 10) sull'argomento. II. Spiegazione del nuovo materiale

Se metti il ​​​​cerchio del numero di unità piano delle coordinate, quindi puoi trovare le coordinate per i suoi punti. Il cerchio numerico è posizionato in modo che il suo centro coincida con l'origine del piano, cioè il punto O (0; 0).

Di solito, su un cerchio con numero di unità, i punti sono contrassegnati in corrispondenza dell'origine sul cerchio

• quarti - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
• quarti centrali - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• terzi quarti - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Sul piano delle coordinate, con la disposizione sopra del cerchio unitario su di esso, si possono trovare le coordinate corrispondenti a questi punti del cerchio.

È molto facile trovare le coordinate delle estremità dei quarti. Nel punto 0 del cerchio, la coordinata x è 1 e y è 0. Possiamo scrivere A (0) = A (1; 0).

La fine del primo trimestre sarà posizionata sull'asse y positivo. Pertanto, B (π/2) = B (0; 1).

La fine del secondo quarto è sull'ascissa negativa: C (π) = C (-1; 0).

Fine del terzo quarto: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ma come trovare le coordinate dei punti medi dei quarti? Per questo costruiscono triangolo rettangolo. La sua ipotenusa è un segmento dal centro del cerchio (o l'origine) al punto medio del quarto di cerchio. Questo è il raggio del cerchio. Poiché la circonferenza è unitaria, l'ipotenusa è uguale a 1. Successivamente, viene tracciata una perpendicolare da un punto della circonferenza a qualsiasi asse. Sia sull'asse x. Risulta un triangolo rettangolo, le cui lunghezze delle gambe sono le coordinate xey del punto del cerchio.

Un quarto di cerchio è 90º. E mezzo quarto è 45º. Poiché l'ipotenusa è attratta nel punto centrale del quarto, l'angolo tra l'ipotenusa e la gamba che esce dall'origine è di 45º. Ma la somma degli angoli di ogni triangolo è 180º. Pertanto, anche l'angolo tra l'ipotenusa e l'altra gamba rimane 45º. Risulta un triangolo rettangolo isoscele.

Dal teorema di Pitagora otteniamo l'equazione x 2 + y 2 = 1 2 . Poiché x = y e 1 2 = 1, l'equazione si semplifica in x 2 + x 2 = 1. Risolvendolo, otteniamo x = √1 = 1/√2 = √2/2.

Quindi, le coordinate del punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Nelle coordinate dei punti dei punti medi degli altri quarti, cambieranno solo i segni e i moduli dei valori rimarranno gli stessi, poiché il triangolo rettangolo si girerà solo. Noi abbiamo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Quando si determinano le coordinate delle terze parti dei quarti del cerchio, viene costruito anche un triangolo rettangolo. Se prendiamo il punto π/6 e disegniamo una perpendicolare all'asse x, l'angolo tra l'ipotenusa e la gamba che giace sull'asse x sarà 30º. È noto che una gamba giace contro un angolo di 30º metà ipotenusa. Quindi abbiamo trovato la coordinata y, è uguale a ½.

Conoscendo le lunghezze dell'ipotenusa e di una delle gambe, per il teorema di Pitagora troviamo l'altra gamba:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2

Quindi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Per il punto del secondo terzo del primo quarto (π / 3), è meglio tracciare una perpendicolare all'asse rispetto all'asse y. Quindi anche l'angolo all'origine sarà 30º. Qui, la coordinata x sarà già uguale a ½ e y, rispettivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Per altri punti del terzo quarto, i segni e l'ordine dei valori delle coordinate cambieranno. Tutti i punti più vicini all'asse x avranno un valore modulo della coordinata x uguale a √3/2. I punti più vicini all'asse y avranno un valore modulo y uguale a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

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La geometria analitica fornisce metodi uniformi per la risoluzione di problemi geometrici. Per fare ciò, tutti i punti e le linee dati e desiderati sono riferiti allo stesso sistema di coordinate.

In un sistema di coordinate, ogni punto può essere caratterizzato dalle sue coordinate e ogni linea da un'equazione con due incognite, di cui questa linea è un grafico. In questo modo problema geometrico si riduce all'algebrica, dove tutti i metodi di calcolo sono ben elaborati.

Un cerchio è un luogo di punti con una proprietà specifica (ogni punto del cerchio è equidistante da un punto, chiamato centro). L'equazione del cerchio deve riflettere questa proprietà, soddisfare questa condizione.

L'interpretazione geometrica dell'equazione di un cerchio è la linea di un cerchio.

Se posizioniamo un cerchio in un sistema di coordinate, tutti i punti del cerchio soddisfano una condizione: la distanza da loro al centro del cerchio deve essere la stessa e uguale al cerchio.

Cerchio centrato in un punto MA e raggio R posizionato nel piano delle coordinate.

Se le coordinate del centro (a;b) e le coordinate di qualsiasi punto della circonferenza (x; y) , allora l'equazione del cerchio ha la forma:

Se il quadrato del raggio di un cerchio è uguale alla somma delle differenze al quadrato delle coordinate corrispondenti di qualsiasi punto del cerchio e del suo centro, allora questa equazione è l'equazione di un cerchio in un sistema di coordinate piano.

Se il centro del cerchio coincide con il punto di origine, il quadrato del raggio del cerchio è uguale alla somma dei quadrati delle coordinate di qualsiasi punto del cerchio. In questo caso, l'equazione del cerchio assume la forma:

Pertanto, qualsiasi figura geometrica come il luogo dei punti è determinato dall'equazione relativa alle coordinate dei suoi punti. Viceversa, l'equazione relativa alle coordinate X e a , definire la linea come il luogo dei punti nel piano le cui coordinate soddisfano questa equazione.

Esempi di risoluzione di problemi sull'equazione di un cerchio

Un compito. Scrivi un'equazione per una data circonferenza

Scrivi un'equazione per una circonferenza centrata nel punto O (2;-3) e con raggio 4.

Soluzione.
Passiamo alla formula dell'equazione del cerchio:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

Sostituisci i valori nella formula.
Raggio del cerchio R = 4
Coordinate del centro del cerchio (a seconda della condizione)
a = 2
b=-3

Noi abbiamo:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
o
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Un compito. Un punto appartiene all'equazione di una circonferenza

Controlla se il punto appartiene A(2;3) equazione del cerchio (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Soluzione.
Se un punto appartiene a un cerchio, le sue coordinate soddisfano l'equazione del cerchio.
Per verificare se un punto con coordinate date, sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione di una data circonferenza.

Nell'equazione ( X - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
sostituiamo, a seconda della condizione, le coordinate del punto A (2; 3), cioè
x=2
y=3

Verifichiamo la verità dell'uguaglianza ottenuta
(X - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 l'uguaglianza è sbagliata

Quindi il punto dato non appartenere data equazione del cerchio.

Comunale Istituto d'Istruzione media scuola comprensiva № 1

KhMAO-Yugra

Sviluppo della lezione

nella classe 10 "b".

in algebra e gli inizi dell'analisi

Nadezda Mikhailovna

insegnante di matematica

sovietico

Argomento: TRIGONOMETRIA

Funzioni trigonometriche

Equazioni trigonometriche

Trasformazioni trigonometriche

Cerchio numerico acceso

piano delle coordinate

La materia viene insegnata utilizzando la tecnologia modulare a blocchi.

Questa lezione è una delle lezioni per imparare nuovo materiale. Pertanto, il tempo principale della lezione è dedicato allo studio di nuovo materiale e gli studenti svolgono la maggior parte di questo lavoro da soli.

Tipologie di attività degli studenti a lezione: lavoro frontale, autonomo e individuale.

Poiché è necessario svolgere molto lavoro durante la lezione ed essere sicuri di controllare i risultati delle attività degli studenti, viene utilizzata una lavagna interattiva nelle fasi di aggiornamento delle conoscenze e apprendimento di nuovo materiale. Per una rappresentazione più visiva dell'imposizione di un cerchio numerico sul piano delle coordinate e per la riflessione del contenuto materiale didattico Le presentazioni in Power Point vengono utilizzate anche alla fine della lezione.

cognitivo

Impara ad acquisire conoscenze da solo

nutrire

Coltiva la compostezza, la responsabilità, la diligenza

sviluppando

Impara ad analizzare, confrontare, costruire analogie

Piano di lezione:

1) Organizzare il tempo, argomento, obiettivo della lezione 2 min.

2) Aggiornare le conoscenze 4 min.

3) Imparare nuovo materiale 30 min.

4) Riflessione 3 min.

5) Riassunto della lezione 1 min.

Organizzare il tempo

Cerchio di numeri

piano delle coordinate

considera un cerchio numerico sul piano delle coordinate; insieme trova le coordinate di due punti; quindi compilare autonomamente le tabelle dei valori delle coordinate degli altri punti principali del cerchio;

testare la capacità di trovare le coordinate dei punti su un cerchio numerico.

Aggiornamento della conoscenza

Nel corso di geometria della 9a elementare, abbiamo studiato quanto segue

Materiale:

Sul semicerchio unitario (R = 1) abbiamo considerato il punto M con coordinate X e a

Estratti dal manuale di geometria

Avendo imparato a trovare le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria,

possiamo facilmente passare agli altri loro nomi: seno e coseno, cioè

all'argomento principale - TRIGONOMETRIA

Il primo compito viene assegnato su una lavagna interattiva, in cui gli studenti devono posizionare i punti e i numeri corrispondenti sul cerchio dei numeri trascinandoli con il dito sulla lavagna.

Esercizio 1

ottenuto il risultato:

Il secondo compito viene assegnato sulla lavagna interattiva. Le risposte sono chiuse da un “sipario”, si aprono man mano che vengono risolte.

Compito 2

Il risultato del compito:

Imparare nuovo materiale

Prendiamo un sistema di coordinate e imponiamoci un cerchio numerico in modo che i loro centri coincidano e il raggio orizzontale del cerchio coincida con la direzione positiva dell'asse OX (presentazione in Power Point)

Di conseguenza, abbiamo punti che appartengono contemporaneamente al cerchio numerico e al piano delle coordinate. Considera uno di questi punti, ad esempio il punto M (presentazione Power Point)

M(t)

Disegna le coordinate di questo punto

Troviamo le coordinate dei punti della circonferenza unitaria che ci interessano, che sono stati considerati in precedenza con i denominatori 4, 3, 6 e il numeratore π.

Trova le coordinate del punto della circonferenza unitaria corrispondenti rispettivamente al numero e all'angolo

Compito 3

(presentazione Powerpoint)

Disegna il raggio e le coordinate di un punto

Per il teorema di Pitagora abbiamo X 2+ x 2 = 12

Ma gli angoli del triangolo in π/4 = 45° , quindi il triangolo è isoscele e x = y

Trova le coordinate del punto della circonferenza unitaria corrispondente ai numeri (angoli)

Compito 4

(presentazione Powerpoint)

Significa a= 1/2

Secondo il teorema di Pitagora

I triangoli sono uguali nell'ipotenusa

e un angolo acuto, quindi le loro gambe sono uguali

Nella lezione precedente, gli studenti hanno ricevuto fogli con spazi vuoti per cerchi numerici e tabelle varie.

Completa la prima tabella.

Compito 5

(scheda interattiva)

Per prima cosa, inserisci nella tabella i punti del cerchio che sono multipli di 2 e 4

Verifica del risultato:

(scheda interattiva)

Compilare autonomamente nella tabella le ordinate e le ascisse di questi punti, tenendo conto dei segni delle coordinate, a seconda del quarto in cui si trova il punto, utilizzando per le coordinate dei punti le lunghezze dei segmenti sopra ricavate.

Compito 6

Uno degli studenti nomina i risultati, gli altri controllano con le loro risposte, quindi per correggere con successo i risultati (poiché queste tabelle verranno utilizzate più avanti nel lavoro per sviluppare abilità e approfondire le conoscenze sull'argomento), viene mostrata una tabella correttamente compilata sulla lavagna interattiva.

Verifica del risultato:

(scheda interattiva)

Completa la seconda tabella.

Compito 7

(scheda interattiva)

Per prima cosa, inserisci nella tabella i punti del cerchio che sono multipli di 3 e 6

Verifica del risultato:

(scheda interattiva)

Compila autonomamente nella tabella le ordinate e le ascisse di questi punti

Compito 8

Verifica del risultato:

(scheda interattiva)

(presentazione Powerpoint)

Condurremo un piccolo dettato matematico con successivo autocontrollo.

1) Trova le coordinate dei punti della circonferenza unitaria:

opzione 2

1 opzione

2) Trova le ascisse dei punti della circonferenza unitaria:

1) Trova le coordinate dei punti della circonferenza unitaria

opzione 2

1 opzione

2) Trova le ascisse dei punti della circonferenza unitaria

controllati

3) Trova le ordinate dei punti della circonferenza unitaria:

Per te, puoi mettere un segno "5" per 4 esempi completati,

"4" per 3 esempi e "3" per 2 esempi

Riassumendo la lezione

1) In futuro, per trovare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di punti e angoli, è necessario apprendere dalle tabelle compilate le coordinate dei punti appartenenti al primo quarto, perché inoltre impareremo ad esprimere i valori delle coordinate di tutti gli altri punti attraverso i valori dei punti del primo quarto;

2) Preparare domande teoriche per il test.

Compiti a casa:

Riepilogo della lezione

Il voto viene assegnato agli studenti più attivi della lezione. Il lavoro di tutti gli studenti non viene valutato, in quanto gli errori vengono corretti immediatamente durante la lezione. Il dettato è stato eseguito per autocontrollo, per la valutazione non c'è abbastanza volume.

Molto tempo è dedicato al cerchio dei numeri nel grado 10. Ciò è dovuto al significato di questo oggetto matematico per l'intero corso di matematica.

La corretta scelta dei sussidi didattici è di grande importanza per una buona assimilazione del materiale. I tutorial video sono tra i più efficaci di questi strumenti. A tempi recenti raggiungono l'apice della popolarità. Pertanto, l'autore non è rimasto indietro rispetto al presente e ha sviluppato un manuale così meraviglioso per aiutare gli insegnanti di matematica: una lezione video sull'argomento "Cerchio numerico sul piano delle coordinate".

Questa lezione dura 15:22 minuti. Questo è praticamente il tempo massimo che un insegnante può dedicare a una spiegazione indipendente del materiale sull'argomento. Dal momento che ci vuole così tanto tempo per spiegare il nuovo materiale, è necessario selezionare i compiti e gli esercizi più efficaci per il consolidamento, oltre a evidenziare un'altra lezione in cui gli studenti risolveranno compiti su questo argomento.

La lezione inizia con l'immagine di un cerchio numerico in un sistema di coordinate. L'autore costruisce questo cerchio e spiega le sue azioni. Quindi l'autore nomina i punti di intersezione del cerchio numerico con gli assi delle coordinate. Quanto segue spiega quali coordinate avranno i punti del cerchio nei diversi quarti.

Successivamente, l'autore ricorda come appare l'equazione del cerchio. E l'attenzione degli ascoltatori si presenta a due layout con l'immagine di alcuni punti del cerchio. Per questo motivo, nel passaggio successivo, l'autore mostra come si trovano le coordinate dei punti del cerchio, corrispondenti a determinati numeri segnati sui modelli. Ciò si traduce in una tabella di valori per le variabili xey nell'equazione del cerchio.

Inoltre, si propone di considerare un esempio in cui è necessario determinare le coordinate dei punti del cerchio. Prima di iniziare a risolvere l'esempio, vengono introdotte alcune osservazioni che aiutano nella risoluzione. E poi sullo schermo appare una soluzione completa, chiaramente strutturata e illustrata. Ci sono anche tabelle che facilitano la comprensione dell'essenza dell'esempio.

Quindi vengono presi in considerazione altri sei esempi, che richiedono meno tempo del primo, ma non per questo meno importanti e riflettono idea principale lezione. Qui le soluzioni sono presentate per intero, con una storia dettagliata e con elementi visivi. Vale a dire, la soluzione contiene disegni che illustrano il corso della soluzione e una notazione matematica che costituisce l'alfabetizzazione matematica degli studenti.

L'insegnante può limitarsi a quegli esempi che sono presi in considerazione a lezione, ma questo potrebbe non essere sufficiente per un'assimilazione qualitativa del materiale. Pertanto, la scelta delle attività da consolidare è semplicemente estremamente importante.

La lezione può essere utile non solo per gli insegnanti, il cui tempo è costantemente limitato, ma anche per gli studenti. Soprattutto per coloro che ricevono un'educazione familiare o sono impegnati nell'autoeducazione. I materiali possono essere utilizzati da quegli studenti che hanno perso la lezione su questo argomento.

INTERPRETAZIONE DEL TESTO:

L'argomento della nostra lezione è “CERCHIO NUMERICO SUL PIANO COORDINATO”

Conosciamo già il sistema di coordinate rettangolari cartesiane xOy (x o y). In questo sistema di coordinate, disponiamo il cerchio numerico in modo che il centro del cerchio sia allineato con l'origine e il suo raggio sia preso come segmento della scala.

Il punto iniziale A del cerchio numerico è allineato con il punto con coordinate (1; 0), B - con il punto (0; 1), C - con (-1; 0) (meno uno, zero) e D - con (0; - 1)(zero, meno uno).

(vedi foto 1)

Poiché ogni punto del cerchio numerico ha le sue coordinate nel sistema xOy (x circa y), allora per i punti del primo quarto ikx è maggiore di zero e y è maggiore di zero;

Nel secondo trimestre, uh è minore di zero e y maggiore di zero,

per i punti del terzo quarto, uh è minore di zero e y minore di zero,

e per il quarto trimestre, uh è maggiore di zero e y è minore di zero

Per ogni punto E (x; y) (con coordinate x, y) del cerchio numerico, le disuguaglianze -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x è maggiore o uguale a meno uno, ma minore di o uguale a uno; y è maggiore o uguale a meno uno, ma minore o uguale a uno).

Ricordiamo che l'equazione per una circonferenza di raggio R centrata nell'origine è x 2 + y 2 = R 2 (x al quadrato più y al quadrato è uguale a er al quadrato). E per il cerchio unitario R \u003d 1, quindi otteniamo x 2 + y 2 \u003d 1

(x al quadrato più y al quadrato è uguale a uno).

Troviamo le coordinate dei punti del cerchio numerico, che sono presentate su due schemi (vedi Fig. 2, 3)

Sia il punto E, che corrisponde a

(pi per quattro) - la metà del primo quarto mostrato nella figura. Dal punto E abbassiamo la perpendicolare EK alla retta OA e consideriamo il triangolo OEK. Angolo AOE =45 0 , poiché l'arco AE è metà dell'arco AB. Pertanto, il triangolo OEK è un rettangolo isoscele, in cui OK = EK. Quindi, l'ascissa e l'ordinata del punto E sono uguali, cioè x è uguale a y. Per trovare le coordinate del punto E, risolviamo il sistema di equazioni: (x è uguale a y - la prima equazione del sistema e x quadrato più y quadrato è uguale a uno - la seconda equazione del sistema). Nella seconda equazione del sistema, invece di x, sostituiamo y, otteniamo 2y 2 \u003d 1 (due y quadrato uguale a uno), da cui y \u003d \u003d (y è uno diviso per la radice di due è uguale alla radice di due diviso per due) (l'ordinata è positiva), ciò significa che il punto E in sistema rettangolare coordinates ha coordinates(,)(radice di due divisa per due, radice di due divisa per due).

In modo simile, troviamo le coordinate per i punti corrispondenti ad altri numeri del primo layout e otteniamo: corrisponde a un punto con coordinate (- ,) (meno la radice di due divisa per due, la radice di due divisa per due); for - (-,-) (meno la radice di due divisa per due, meno la radice di due divisa per due); for (sette pi per quattro) (,) (radice di due divisa per due, meno radice quadrata di due divisa per due).

Sia il punto D corrispondente a (Fig. 5). Lasciamo cadere la perpendicolare da DP(de pe) a OA e consideriamo il triangolo ODP. L'ipotenusa di questo triangolo OD è uguale al raggio del cerchio unitario, cioè uno, e l'angolo DOP è uguale a trenta gradi, poiché l'arco AD \u003d digi AB (a de è uguale a un terzo di a be ), e l'arco AB è di novanta gradi. Pertanto, DP \u003d (de pe è uguale a un secondo O de è uguale a un secondo) Poiché la gamba opposta all'angolo di trenta gradi è uguale a metà dell'ipotenusa, cioè y \u003d (y è uguale a un secondo ). Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe quadrato è uguale a o de quadrato meno de pe quadrato), ma OR \u003d x (o pe è uguale a x). Quindi x 2 \u003d OD 2 - DP 2 \u003d

quindi x 2 \u003d (x al quadrato è uguale a tre quarti) e x \u003d (x è uguale alla radice di tre per due).

X è positivo, perché è nel primo trimestre. Abbiamo ottenuto che il punto D in un sistema di coordinate rettangolare ha coordinate (,) la radice di tre divisa per due, un secondo.

Discutendo in modo simile, troviamo le coordinate per i punti corrispondenti ad altri numeri del secondo layout e scriviamo tutti i dati ottenuti nelle tabelle:

Considera degli esempi.

ESEMPIO 1. Trova le coordinate dei punti del cerchio numerico: a) C 1 ();

b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse uno corrisponde a trentacinque pi per quattro, tse due corrisponde a meno quarantanove pi a tre, tse tre corrisponde a quarantuno pi, tse quattro corrisponde a meno ventisei pi).

Soluzione. Usiamo l'affermazione ottenuta in precedenza: se il punto D del cerchio numerico corrisponde al numero t, allora corrisponde anche a un qualsiasi numero della forma t + 2πk(te più due picchi), dove ka è un qualsiasi intero, cioè kϵZ (ka appartiene a zet).

a) Otteniamo = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trentacinque pi per quattro fa trentacinque per quattro, moltiplicato per pi è uguale alla somma di otto e tre quarti, moltiplicato per pi è uguale a tre pi per quattro più il prodotto di due pi per quattro). Ciò significa che il numero trentacinque pi per quattro corrisponde allo stesso punto del cerchio numerico del numero tre pi per quattro. Usando la tabella 1, otteniamo С 1 () = С 1 (-;) .

b) Allo stesso modo, le coordinate С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Quindi, il numero

corrisponde allo stesso punto del cerchio numerico del numero. E il numero corrisponde sul cerchio del numero allo stesso punto del numero

(mostra il secondo layout e la tabella 2). Per un punto abbiamo x = , y =.

c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Pertanto, il numero 41π corrisponde allo stesso punto del cerchio numerico del numero π: questo è un punto con coordinate (-1; 0).

d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), ovvero il numero - 26π corrisponde allo stesso punto del cerchio numerico del numero zero, questo è il punto con le coordinate (1; 0).

ESEMPIO 2. Trova i punti sul cerchio numerico con l'ordinata y \u003d

Soluzione. La retta y = interseca il cerchio numerico in due punti. Un punto corrisponde a un numero, il secondo punto corrisponde a un numero,

Pertanto, tutti i punti si ottengono sommando un giro completo 2πk dove k mostra quanti giri completi fa il punto, cioè noi abbiamo

e per qualsiasi numero tutti i numeri della forma + 2πk. Spesso in questi casi si dice di aver ricevuto due serie di valori: + 2πk, + 2πk.

ESEMPIO 3. Trova i punti sul cerchio dei numeri con l'ascissa x = e scrivi a quali numeri t corrispondono.

Soluzione. Dritto X= interseca il cerchio numerico in due punti. Un punto corrisponde a un numero (vedi secondo layout),

e quindi qualsiasi numero della forma + 2πk. E il secondo punto corrisponde a un numero, e quindi a qualsiasi numero della forma + 2πk. Queste due serie di valori possono essere coperte in una voce: ± + 2πk (più meno due pi per tre più due pi).

ESEMPIO 4. Trova punti con un'ordinata su un cerchio numerico a> e annota a quali numeri t corrispondono.

La linea y \u003d interseca il cerchio numerico in due punti M e P. E la disuguaglianza y\u003e corrisponde ai punti dell'arco aperto MP, questo significa archi senza estremità (cioè senza e), quando ci si sposta attorno al cerchio in senso antiorario, partendo dal punto M, e terminando nel punto P. Quindi, il nucleo della rappresentazione analitica dell'arco MP è la disuguaglianza< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ESEMPIO 5. Trova i punti con l'ordinata su un cerchio numerico a < и записать, каким числам t они соответствуют.

La linea y \u003d interseca il cerchio dei numeri in due punti M e P. E la disuguaglianza y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ESEMPIO 6. Trova i punti con un'ascissa su un cerchio numerico X> e annota a quali numeri t corrispondono.

La retta x = interseca il cerchio numerico in due punti M e P. La disuguaglianza x > corrisponde ai punti dell'arco aperto PM quando ci si sposta lungo il cerchio in senso antiorario con l'inizio nel punto P, che corrisponde, e la fine in il punto M, che corrisponde. Quindi, il nucleo della notazione analitica per l'arco PM è la disuguaglianza< t <

(te è maggiore di meno due pi per tre, ma minore di due pi per tre), e la notazione analitica dell'arco stesso ha la forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ESEMPIO 7. Trova i punti con un'ascissa su un cerchio numerico X < и записать, каким числам t они соответствуют.

La retta x = interseca il cerchio numerico in due punti M e P. Disuguaglianza x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te è maggiore di due pi per tre, ma minore di quattro pi per tre), e la notazione analitica dell'arco stesso ha la forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).