L'equazione tangente x è uguale. Arcotangente e soluzione dell'equazione tg x=a (continua). Soluzione dell'equazione tgx=a in forma generale

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Metodi numerici per la risoluzione di problemi matematici

Centrato nel punto A.
α è l'angolo espresso in radianti.

tangente ( tga) - questo è funzione trigonometrica, a seconda dell'angolo α tra l'ipotenusa e la gamba di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto la lunghezza della gamba opposta |BC| alla lunghezza del ramo adiacente |AB| .

cotangente ( ctga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza della gamba opposta |BC| .

Tangente

Dove n- totale.

Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:
.
;
;
.

Grafico della funzione tangente, y = tg x

Cotangente

Dove n- totale.

Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:
.
È stata inoltre adottata la seguente notazione:
;
;
.

Grafico della funzione cotangente, y = ctg x

Proprietà di tangente e cotangente

Periodicità

Funzioni y= tg x e y= ctg x sono periodiche con periodo π.

Parità

Le funzioni tangente e cotangente sono dispari.

Domini di definizione e valori, ascendente, discendente

Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi dimostrazione di continuità). Le principali proprietà della tangente e della cotangente sono presentate nella tabella ( n- numero intero).

	y= tg x	y= ctg x
Ambito e continuità
Intervallo di valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendente		-
Discendente	-
Estremi	-	-
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	y= 0	-

Formule

Espressioni in termini di seno e coseno

; ;
; ;
;

Formule per tangente e cotangente di somma e differenza

Il resto delle formule sono facili da ottenere, per esempio

Prodotto di tangenti

La formula per la somma e la differenza delle tangenti

Questa tabella mostra i valori di tangenti e cotangenti per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni in termini di numeri complessi

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; .

.
Derivata dell'n-esimo ordine rispetto alla variabile x della funzione:
.
Derivazione di formule per tangenti > > > ; per cotangente > > >

Integrali

Espansioni in serie

Per ottenere l'espansione della tangente nelle potenze di x, devi prendere diversi termini dell'espansione in serie di potenze per le funzioni peccato x e cos x e dividere questi polinomi l'uno nell'altro, . Ciò si traduce nelle seguenti formule.

In .

a .
dove B n- Numeri di Bernoulli. Sono determinati o dalla relazione di ricorrenza:
;
;
dove .
O secondo la formula di Laplace:

Funzioni inverse

Le funzioni inverse a tangente e cotangente sono rispettivamente arcotangente e arcocotangente.

Arctangente, arct

, dove n- totale.

Arco tangente, arcctg

, dove n- totale.

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.
G. Korn, Manuale di matematica per scienziati e ingegneri, 2012.

All'inizio del programma, gli studenti hanno avuto un'idea della soluzione equazioni trigonometriche, ha familiarizzato con i concetti di arcoseno e arcoseno, esempi di soluzioni alle equazioni cost t = a e sin t = a. In questo video tutorial considereremo la soluzione delle equazioni tg x = a e ctg x = a.

All'inizio dello studio di questo argomento, consideriamo le equazioni tg x = 3 e tg x = - 3. Se risolviamo l'equazione tg x = 3 usando un grafico, vedremo che l'intersezione dei grafici delle funzioni y = tg x e ​​y = 3 ha un numero infinito di soluzioni, dove x = x 1 + πk. Il valore x 1 è la coordinata x del punto di intersezione dei grafici delle funzioni y = tg x e ​​y = 3. L'autore introduce il concetto di arcotangente: arctg 3 è un numero la cui tg è 3, e questo numero appartiene a l'intervallo da -π/2 a π/2. Utilizzando il concetto di arcotangente, la soluzione dell'equazione tan x = 3 può essere scritta come x = arctan 3 + πk.

Per analogia, viene risolta l'equazione tg x \u003d - 3. Secondo i grafici costruiti delle funzioni y \u003d tg x e ​​y \u003d - 3, si può vedere che i punti di intersezione dei grafici e quindi le soluzioni delle equazioni, sarà x \u003d x 2 + πk. Usando l'arcotangente, la soluzione può essere scritta come x = arctan (- 3) + πk. Nella figura seguente vedremo che arctg (- 3) = - arctg 3.

La definizione generale dell'arcotangente è la seguente: l'arcotangente di a è un numero compreso nell'intervallo da -π / 2 a π / 2, la cui tangente è a. Allora la soluzione dell'equazione tg x = a è x = arctg a + πk.

L'autore fornisce un esempio 1. Trova una soluzione all'espressione arctg Introduciamo la notazione: l'arcotangente del numero è uguale a x, quindi tg x sarà uguale al numero dato, dove x appartiene al segmento da -π da /2 a π/2. Come negli esempi degli argomenti precedenti, utilizzeremo una tabella di valori. Secondo questa tabella, la tangente dato numero corrisponde al valore x = π/3. Scriviamo la soluzione dell'equazione dell'arcotangente di un dato numero uguale a π / 3, anche π / 3 appartiene all'intervallo da -π / 2 a π / 2.

Esempio 2 - Calcola l'arcotangente di un numero negativo. Utilizzando l'uguaglianza arctg (- a) = - arctg a, immettere il valore x. Analogamente all'esempio 2, scriviamo il valore di x, che appartiene all'intervallo da -π/2 a π/2. Secondo la tabella dei valori, troviamo che x = π/3, quindi, -- tg x = - π/3. La risposta all'equazione è - π/3.

Consideriamo l'esempio 3. Risolviamo l'equazione tan x = 1. Scriviamo che x = arctan 1 + πk. Nella tabella, il valore di tg 1 corrisponde al valore x \u003d π / 4, quindi arctg 1 \u003d π / 4. Sostituisci questo valore nella formula originale x e scrivi la risposta x = π/4 + πk.

Esempio 4: calcolare tg x = - 4.1. In questo caso, x = arctg (- 4.1) + πk. Perché non è possibile trovare il valore di arctg in questo caso, la risposta sarà simile a x = arctg (- 4.1) + πk.

L'esempio 5 considera la soluzione della disuguaglianza tg x > 1. Per risolverla, tracciamo i grafici delle funzioni y = tg x e ​​y = 1. Come si vede nella figura, questi grafici si intersecano nei punti x = π /4 + πk. Perché in questo caso, tg x > 1, sul grafico selezioniamo l'area della tangente, che è al di sopra del grafico y = 1, dove x appartiene all'intervallo da π/4 a π/2. Scriviamo la risposta come π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Quindi, considera l'equazione ctg x = a. La figura mostra i grafici delle funzioni y = ctg x, y = a, y = - a, che hanno molti punti di intersezione. Le soluzioni possono essere scritte come x = x 1 + πk, dove x 1 = arcctg a e x = x 2 + πk, dove x 2 = arcctg (- a). Si noti che x 2 \u003d π - x 1. Ciò implica l'uguaglianza arcctg (- a) = π - arcctg a. Si dà inoltre la definizione di arcocotangente: l'arcocotangente di a è un numero tale dall'intervallo da 0 a π, la cui cotangente è uguale ad a. La soluzione dell'equazione сtg x = a si scrive come: x = arcctg a + πk.

Alla fine della videolezione si trae un'altra importante conclusione: l'espressione ctg x = a può essere scritta come tg x = 1/a, a condizione che a non sia uguale a zero.

INTERPRETAZIONE DEL TESTO:

Considera la soluzione delle equazioni tg x \u003d 3 e tg x \u003d - 3. Risolvendo graficamente la prima equazione, vediamo che i grafici delle funzioni y \u003d tg x e ​​y \u003d 3 hanno infiniti punti di intersezione, il ascisse di cui scriviamo nella forma

x \u003d x 1 + πk, dove x 1 è l'ascissa del punto di intersezione della linea y \u003d 3 con il ramo principale della tangente (Fig. 1), per il quale è stata inventata la designazione

arctan 3 (arco tangente di tre).

Come capire l'arco 3?

Questo è un numero la cui tangente è 3 e questo numero appartiene all'intervallo (-;). Quindi tutte le radici dell'equazione tg x \u003d 3 possono essere scritte dalla formula x \u003d arctan 3 + πk.

Allo stesso modo, la soluzione dell'equazione tg x \u003d - 3 può essere scritta come x \u003d x 2 + πk, dove x 2 è l'ascissa del punto di intersezione della linea y \u003d - 3 con il ramo principale del tangenteide (Fig. 1), per il quale la designazione arctg (- 3) (arco tangente meno tre). Quindi tutte le radici dell'equazione possono essere scritte con la formula: x \u003d arctg (-3) + πk. La figura mostra che arctg(- 3)= - arctg 3.

Formuliamo la definizione dell'arcotangente. L'arcotangente a è un tale numero dall'intervallo (-;), la cui tangente è uguale ad a.

L'uguaglianza è spesso usata: arctg(-a) = -arctg a, che è valida per qualsiasi a.

Conoscendo la definizione dell'arcotangente, traiamo una conclusione generale sulla soluzione dell'equazione

tg x \u003d a: l'equazione tg x \u003d a ha una soluzione x \u003d arctg a + πk.

Considera degli esempi.

ESEMPIO 1. Calcola arctg.

Soluzione. Sia arctg = x, quindi tgx = e xϵ (-;). Mostra la tabella dei valori Pertanto, x =, poiché tg = e ϵ (- ;).

Quindi arctg =.

ESEMPIO 2 Calcola arctan (-).

Soluzione. Usando l'uguaglianza arctg (- a) \u003d - arctg a, scriviamo:

arctg(-) = - arctg . Sia - arctg = x, quindi - tgx = e xϵ (-;). Pertanto, x =, poiché tg = e ϵ (- ;). Mostra la tabella dei valori

Quindi - arctg=- tgх= - .

ESEMPIO 3. Risolvi l'equazione tgх = 1.

1. Scriviamo la formula della soluzione: x = arctg 1 + πk.

2. Trova il valore dell'arcotangente

poiché tg = . Mostra la tabella dei valori

Quindi arctg1= .

3. Inserisci il valore trovato nella formula della soluzione:

ESEMPIO 4. Risolvi l'equazione tgx \u003d - 4.1 (la tangente x è uguale a meno quattro virgola un decimo).

Soluzione. Scriviamo la formula della soluzione: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Non possiamo calcolare il valore dell'arcotangente, quindi lasceremo la soluzione dell'equazione così com'è.

ESEMPIO 5. Risolvi la disuguaglianza tgх 1.

Soluzione. Facciamolo graficamente.

1. Costruiamo una tangente

y \u003d tgx e una linea retta y \u003d 1 (Fig. 2). Si intersecano in punti della forma x = + πk.

2. Selezionare l'intervallo dell'asse x, su cui si trova il ramo principale della tangente sopra la retta y \u003d 1, poiché secondo la condizione tgх 1. Questo è l'intervallo (;).

3. Usiamo la periodicità della funzione.

Proprietà 2. y \u003d tg x - una funzione periodica con un periodo di base π.

Tenendo conto della periodicità della funzione y \u003d tgx, scriviamo la risposta:

(;). La risposta può essere scritta come una doppia disuguaglianza:

Passiamo all'equazione ctg x \u003d a. Presentiamo un'illustrazione grafica della soluzione dell'equazione per a positivo e negativo (Fig. 3).

Grafici delle funzioni y \u003d ctg xey \u003d ae

y=ctg x e ​​y=-a

hanno infiniti punti in comune, le cui ascisse hanno la forma:

x \u003d x 1 +, dove x 1 è l'ascissa del punto di intersezione della linea y \u003d a con il ramo principale della tangente e

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, dove x 2 è l'ascissa del punto di intersezione della linea

y \u003d - ma con il ramo principale della tangente e x 2 \u003d arcсtg (- a).

Nota che x 2 \u003d π - x 1. Quindi scriviamo l'equazione importante:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formuliamo la definizione: l'arcocotangente di a è un tale numero dall'intervallo (0; π) la cui cotangente è uguale ad a.

La soluzione dell'equazione ctg x \u003d a è scritta come: x \u003d arcсtg a +.

Si noti che l'equazione ctg x = a può essere convertita nella forma

tg x = , tranne quando a = 0.

In questa lezione continueremo lo studio dell'arcotangente e la soluzione di equazioni della forma tg x = a per ogni a. All'inizio della lezione, risolveremo l'equazione con un valore tabulare e illustreremo la soluzione sul grafico, quindi sul cerchio. Successivamente, risolviamo l'equazione tgx = av vista generale e derivare formula generale risposta. Illustriamo i calcoli sul grafico e sul cerchio e consideriamo le varie forme della risposta. Alla fine della lezione, risolveremo diversi problemi con l'illustrazione delle soluzioni sul grafico e sul cerchio.

Argomento: Equazioni trigonometriche

Lezione: Arcotangente e risoluzione dell'equazione tgx=a (continua)

1. Argomento della lezione, introduzione

In questa lezione considereremo la soluzione dell'equazione per ogni reale

2. Soluzione dell'equazione tgx=√3

Compito 1. Risolvi l'equazione

Troviamo una soluzione usando i grafici delle funzioni (Fig. 1).

Considera l'intervallo In questo intervallo, la funzione è monotona, il che significa che viene raggiunta solo a un valore della funzione.

Risposta:

Risolviamo la stessa equazione con cerchio di numeri(Fig. 2).

Risposta:

3. Soluzione dell'equazione tgx=a in forma generale

Risolviamo l'equazione in forma generale (Fig. 3).

Sull'intervallo, l'equazione ha una soluzione unica

Il più piccolo periodo positivo

Illustriamo su un cerchio numerico (Fig. 4).

4. Risoluzione dei problemi

Compito 2. Risolvi l'equazione

Cambiamo la variabile

Compito 3. Risolvi il sistema:

Soluzione (Fig. 5):

Al punto, il valore è quindi la soluzione del sistema è solo il punto

Risposta:

Compito 4. Risolvi l'equazione

Risolviamo con il metodo del cambio variabile:

Problema 5. Trova il numero di soluzioni dell'equazione sull'intervallo

Risolviamo il problema utilizzando il grafico (Fig. 6).

L'equazione ha tre soluzioni su un dato intervallo.

Illustreremo su un cerchio numerico (Fig. 7), anche se questo non è così chiaro come nel grafico.

Risposta: Tre soluzioni.

5. Conclusione, conclusione

Abbiamo risolto l'equazione per ogni reale usando il concetto di arcotangente. Nella prossima lezione conosceremo il concetto di arcotangente.

Bibliografia

1. L'algebra e l'inizio dell'analisi, voto 10 (in due parti). Tutorial per istituzioni educative (livello di profilo) ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2009.

2. L'algebra e l'inizio dell'analisi, voto 10 (in due parti). Task book per le istituzioni educative (livello di profilo), ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.

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5. Una raccolta di compiti in matematica per i candidati alle università tecniche (sotto la direzione di M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

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8. A. P. Karp, Raccolta di problemi in algebra e principi di analisi: Proc. indennità per 10-11 celle. con un profondo studia matematica.-M.: Istruzione, 2006.

Compiti a casa

Algebra e gli inizi dell'analisi, Grado 10 (in due parti). Task book per le istituzioni educative (livello di profilo), ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Risorse web aggiuntive

1. Matematica.

2. Problemi con il portale Internet. ru.

3. Portale educativo per prepararsi agli esami.

>> Arcotangente e arcotangente. Soluzione delle equazioni tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arcotangente e arcotangente. Soluzione delle equazioni tgx = a, ctgx = a

Nell'Esempio 2 del §16, non siamo stati in grado di risolvere tre equazioni:

Ne abbiamo già risolte due - la prima al § 17 e la seconda al § 18, per questo abbiamo dovuto introdurre i concetti arco coseno e arcoseno. Considera la terza equazione x = 2.
I grafici delle funzioni y \u003d tg x e ​​y \u003d 2 hanno infiniti punti comuni, le ascisse di tutti questi punti sembrano: l'ascissa del punto di intersezione della linea y \u003d 2 con il ramo principale del tangenteide (Fig. 90). Per il numero x1, i matematici hanno inventato la designazione arstg 2 (si legge "arco tangente di due"). Allora tutte le radici dell'equazione x=2 possono essere descritte dalla formula x=arstg 2 + pc.
Cos'è arstg 2? Questo è il numero tangente che è uguale a 2 e che appartiene all'intervallo
Consideriamo ora l'equazione tg x = -2.
Grafici delle funzioni hanno infiniti punti in comune, le ascisse di tutti questi punti hanno la forma ascissa del punto di intersezione della retta y \u003d -2 con il ramo principale della tangente. Per il numero x 2, i matematici hanno inventato la notazione arstg (-2). Quindi tutte le radici dell'equazione x = -2 possono essere descritte dalla formula

Che cos'è arstg(-2) ? Questo è un numero la cui tangente è -2 e che appartiene all'intervallo. Presta attenzione (vedi Fig. 90): x 2 \u003d -x 2. Ciò significa che arctg(-2) = - arctg 2.
Formuliamo la definizione dell'arcotangente in modo generale.

Definizione 1. arstg a (arco tangente a) è un numero dall'intervallo la cui tangente è a. Così,

Siamo ora in grado di trarre una conclusione generale sulla soluzione equazioni x=a: l'equazione x=a ha soluzioni

Abbiamo notato sopra che arctg (-2) = -arctg 2. In generale, per qualsiasi valore di a, la formula

Esempio 1 Calcolare:

Esempio 2 Risolvi equazioni:

A) Facciamo una formula risolutiva:

In questo caso, non possiamo calcolare il valore dell'arcotangente, quindi lasceremo il record delle soluzioni dell'equazione nella forma ottenuta.
Risposta:
Esempio 3 Risolvi le disuguaglianze:
La disuguaglianza della forma può essere risolta graficamente, aderendo ai seguenti piani
1) costruire una tangenteide y \u003d tg x e ​​una retta y \u003d a;
2) selezionare per il ramo principale del tanneisoide un intervallo dell'asse x su cui è soddisfatta la disuguaglianza data;
3) tenendo conto della periodicità della funzione y \u003d tg x, annotare la risposta in forma generale.
Applichiamo questo piano alla soluzione delle disuguaglianze date.

: a) Costruiamo grafici delle funzioni y \u003d tgx e y \u003d 1. Sul ramo principale della tangente, si intersecano nel punto

Selezioniamo l'intervallo dell'asse x, su cui si trova il ramo principale della tangente al di sotto della retta y \u003d 1, questo è l'intervallo
Tenendo conto della periodicità della funzione y \u003d tgx, concludiamo che la disuguaglianza data è soddisfatta su qualsiasi intervallo della forma:

L'unione di tutti questi intervalli è decisione comune data disuguaglianza.
La risposta può essere scritta anche in altro modo:

b) Costruiamo grafici di funzioni y \u003d tg xey \u003d -2. Sul ramo principale della tangente (Fig. 92), si intersecano nel punto x = arctg (-2).

Selezioniamo l'intervallo dell'asse x, su cui si trova il ramo principale della tangente

Si consideri un'equazione con tg x=a, dove a>0. I grafici delle funzioni y \u003d ctg x e ​​y \u003d a hanno infiniti punti in comune, le ascisse di tutti questi punti sono simili a: x \u003d x 1 + pc, dove x 1 \u003d arcctg a - l'ascissa del punto di intersezione della linea y \u003d a con il ramo principale della tangente (Fig. .93). Quindi, arcctg a è un numero la cui cotangente è uguale ad a e che appartiene all'intervallo (0, n); su questo intervallo viene costruito il ramo principale del grafico della funzione y \u003d сtg x.

Sulla fig. 93 presenta anche un'illustrazione grafica della soluzione dell'equazione c1tg = -a. I grafici delle funzioni y \u003d сtg x e ​​y \u003d -a hanno infiniti punti in comune, le ascisse di tutti questi punti hanno la forma x \u003d x 2 + pc, dove x 2 \u003d arcctg (- a) è l'ascissa del punto di intersezione della linea y \u003d -a con il ramo principale della tangente. Quindi, arcctg(-a) è un numero la cui cotangente è -a e che appartiene all'intervallo (0, n); su questo intervallo viene costruito il ramo principale del grafico della funzione Y \u003d сtg x.

Definizione 2. arcctg a (arco cotangente a) è un numero dell'intervallo (0, n) la cui cotangente è a.
Così,

Siamo ora in grado di trarre una conclusione generale sulla soluzione dell'equazione ctg x=a: l'equazione ctg x = a ha soluzioni:

Presta attenzione (vedi Fig. 93): x 2 \u003d n-x 1. Significa che

Esempio 4 Calcolare:

A) Mettiamo

L'equazione сtg x=a può quasi sempre essere convertita nella forma L'eccezione è l'equazione сtg x=0. Ma in questo caso, usando il fatto che puoi andare a
cos x=0 equazione. Pertanto, un'equazione della forma x=a non è di interesse indipendente.

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