Progressione geometrica bn 1. Denominatore di progressione geometrica: formule e proprietà. La somma di una progressione geometrica finita
Consideriamo una serie.
7 28 112 448 1792...
È assolutamente chiaro che il valore di uno qualsiasi dei suoi elementi è esattamente quattro volte maggiore del precedente. Quindi questa serie è una progressione.
Una progressione geometrica è una sequenza infinita di numeri caratteristica principale ovvero che il numero successivo si ottiene dal precedente moltiplicandolo per un numero specifico. Ciò è espresso dalla seguente formula.
a z +1 =a z q, dove z è il numero dell'elemento selezionato.
Di conseguenza, z ∈ N.
Il periodo in cui si studia una progressione geometrica a scuola è il grado 9. Gli esempi ti aiuteranno a capire il concetto:
0.25 0.125 0.0625...
Sulla base di questa formula, il denominatore della progressione può essere trovato come segue:
Né q né b z possono essere zero. Inoltre, ciascuno degli elementi della progressione non dovrebbe essere uguale a zero.
Di conseguenza, per scoprire il numero successivo della serie, devi moltiplicare l'ultimo per q.
Per specificare questa progressione, è necessario specificare il suo primo elemento e denominatore. Successivamente, è possibile trovare uno qualsiasi dei termini successivi e la loro somma.
Varietà
A seconda di q e a 1, questa progressione è suddivisa in diversi tipi:
- Se sia a 1 che q sono maggiori di uno, allora tale sequenza è una progressione geometrica crescente con ogni elemento successivo. Un esempio di tale è presentato di seguito.
Esempio: a 1 =3, q=2 - entrambi i parametri sono maggiori di uno.
Quindi la sequenza numerica può essere scritta in questo modo:
3 6 12 24 48 ...
- Se |q| minore di uno, cioè moltiplicare per esso equivale a divisione, quindi una progressione con condizioni simili è una progressione geometrica decrescente. Un esempio di tale è presentato di seguito.
Esempio: a 1 =6, q=1/3 - a 1 è maggiore di uno, q è minore.
Quindi la sequenza numerica può essere scritta come segue:
6 2 2/3 ... - qualsiasi elemento è 3 volte maggiore dell'elemento che lo segue.
- Segno-variabile. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Esempio: a 1 = -3 , q = -2 - entrambi i parametri sono minori di zero.
Quindi la sequenza può essere scritta in questo modo:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Per un comodo utilizzo delle progressioni geometriche, ci sono molte formule:
- Formula del membro z-esimo. Consente di calcolare l'elemento sotto un numero specifico senza calcolare i numeri precedenti.
Esempio:q = 3, un 1 = 4. Occorre calcolare il quarto elemento della progressione.
Soluzione:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- La somma dei primi elementi il cui numero è z. Consente di calcolare la somma di tutti gli elementi di una sequenza fino aazcompreso.
Dal (1-q) è al denominatore, quindi (1 - q)≠ 0, quindi q non è uguale a 1.
Nota: se q=1, la progressione sarebbe una serie di numeri che si ripetono all'infinito.
La somma di una progressione geometrica, esempi:un 1 = 2, q= -2. Calcola S 5 .
Soluzione:S 5 = 22 - calcolo per formula.
- Importo se |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Esempio:un 1 = 2 , q= 0,5. Trova l'importo.
Soluzione:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Alcune proprietà:
- proprietà caratteristica. Se la seguente condizione eseguita per qualsiasiz, allora la serie numerica data è una progressione geometrica:
az 2 = az -1 · unz+1
- Inoltre, il quadrato di qualsiasi numero di una progressione geometrica si trova sommando i quadrati di altri due numeri qualsiasi in una data serie, se equidistanti da questo elemento.
az 2 = az - t 2 + az + t 2 , dovetè la distanza tra questi numeri.
- Elementidifferiscono in quna volta.
- Anche i logaritmi degli elementi di progressione formano una progressione, ma già aritmetica, cioè ciascuno di essi è maggiore del precedente di un certo numero.
Esempi di alcuni problemi classici
Per capire meglio cos'è una progressione geometrica, possono essere utili esempi con una soluzione per il grado 9.
- Termini:un 1 = 3, un 3 = 48. Trovaq.
Soluzione: ogni elemento successivo è maggiore del precedente inq una volta.È necessario esprimere alcuni elementi attraverso altri utilizzando un denominatore.
Di conseguenza,un 3 = q 2 · un 1
Quando si sostituisceq= 4
- Termini:un 2 = 6, un 3 = 12. Calcola S 6 .
Soluzione:Per fare ciò, è sufficiente trovare q, il primo elemento e sostituirlo nella formula.
un 3 = q· un 2 , Di conseguenza,q= 2
a 2 = q un 1,Ecco perchè un 1 = 3
S 6 = 189
- · un 1 = 10, q= -2. Trova il quarto elemento della progressione.
Soluzione: per fare ciò è sufficiente esprimere il quarto elemento attraverso il primo e attraverso il denominatore.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Esempio di applicazione:
- Il cliente della banca ha effettuato un deposito per un importo di 10.000 rubli, in base ai quali ogni anno il cliente aggiungerà il 6% all'importo principale. Quanti soldi ci saranno sul conto dopo 4 anni?
Soluzione: l'importo iniziale è di 10 mila rubli. Quindi, un anno dopo l'investimento, il conto avrà un importo pari a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
Di conseguenza, l'importo nel conto dopo un altro anno sarà espresso come segue:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Cioè, ogni anno l'importo aumenta di 1,06 volte. Ciò significa che per trovare l'importo dei fondi sul conto dopo 4 anni, è sufficiente trovare il quarto elemento della progressione, che è dato dal primo elemento pari a 10mila, e il denominatore pari a 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Esempi di attività per il calcolo della somma:
In vari problemi viene utilizzata una progressione geometrica. Un esempio per trovare la somma può essere dato come segue:
un 1 = 4, q= 2, calcolaS5.
Soluzione: tutti i dati necessari per il calcolo sono noti, basta sostituirli nella formula.
S 5 = 124
- un 2 = 6, un 3 = 18. Calcola la somma dei primi sei elementi.
Soluzione:
Geom. progressione, ogni elemento successivo è q volte maggiore del precedente, cioè per calcolare la somma è necessario conoscere l'elementoun 1 e denominatoreq.
un 2 · q = un 3
q = 3
Allo stesso modo, dobbiamo trovareun 1 , sapendoun 2 eq.
un 1 · q = un 2
un 1 =2
S 6 = 728.
>>Matematica: progressione geometrica
Per comodità del lettore, questa sezione segue esattamente lo stesso piano che abbiamo seguito nella sezione precedente.
1. Concetti di base.
Definizione. Una successione numerica, i cui membri sono tutti diversi da 0 e ogni membro della quale, a partire dal secondo, si ottiene dal membro precedente moltiplicandolo per lo stesso numero, è chiamata progressione geometrica. In questo caso, il numero 5 è chiamato denominatore di una progressione geometrica.
Quindi, una progressione geometrica è una sequenza numerica (b n) data ricorsivamente dalle relazioni
È possibile, osservando una sequenza numerica, determinare se si tratta di una progressione geometrica? Può. Se sei convinto che il rapporto di qualsiasi membro della sequenza rispetto al membro precedente sia costante, allora hai una progressione geometrica.
Esempio 1
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Esempio 2
Questa è una progressione geometrica che
Esempio 3
Questa è una progressione geometrica che
Esempio 4
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Questa è una progressione geometrica in cui b 1 - 8, q = 1.
Si noti che questa sequenza è anche una progressione aritmetica (vedi Esempio 3 dal § 15).
Esempio 5
2,-2,2,-2,2,-2.....
Questa è una progressione geometrica, in cui b 1 \u003d 2, q \u003d -1.
Ovviamente, una progressione geometrica è una sequenza crescente se b 1 > 0, q > 1 (vedi Esempio 1), e una sequenza decrescente se b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Per indicare che la sequenza (b n) è una progressione geometrica, a volte è conveniente la seguente notazione:
L'icona sostituisce la frase "progressione geometrica".
Notiamo una proprietà curiosa e allo stesso tempo abbastanza ovvia di una progressione geometrica:
Se la sequenza 
è una progressione geometrica, quindi la sequenza dei quadrati, cioè 
è una progressione geometrica.
Nella seconda progressione geometrica, il primo termine è uguale a a uguale a q 2.
Se scartiamo esponenzialmente tutti i termini che seguono b n, otteniamo una progressione geometrica finita 
Nei paragrafi seguenti di questa sezione, considereremo di più proprietà importanti progressione geometrica.
2. Formula dell'n-esimo termine di una progressione geometrica.
Considera una progressione geometrica 
denominatore q. Abbiamo:
Non è difficile indovinare che per ogni numero n l'uguaglianza
Questa è la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica.
Commento.
Se hai letto l'importante osservazione del paragrafo precedente e l'hai capito, prova a dimostrare la formula (1) con il metodo induzione matematica proprio come si faceva per la formula dell'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Riscriviamo la formula dell'ennesimo termine della progressione geometrica
e introduciamo la notazione: Otteniamo y \u003d mq 2, o, più in dettaglio, 
L'argomento x è contenuto nell'esponente, quindi tale funzione è chiamata funzione esponenziale. Ciò significa che una progressione geometrica può essere considerata come una funzione esponenziale data sull'insieme N di numeri naturali. Sulla fig. 96a mostra un grafico della funzione di Fig. 966 - grafico delle funzioni 
In entrambi i casi, abbiamo punti isolati (con ascisse x = 1, x = 2, x = 3, ecc.) che giacciono su una curva (entrambe le figure mostrano la stessa curva, solo diversamente posizionata e raffigurata su scale diverse). Questa curva è chiamata esponente. Di più funzione esponenziale e la sua grafica sarà discussa nel corso di algebra di 11° grado.
Torniamo agli esempi 1-5 del paragrafo precedente.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Questa è una progressione geometrica, in cui b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Facciamo una formula per l'ennesimo termine 
2) 
Questa è una progressione geometrica, in cui formuliamo l'n-esimo termine 
Questa è una progressione geometrica che 
Componi la formula per l'ennesimo termine 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Questa è una progressione geometrica, in cui b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Facciamo una formula per l'ennesimo termine 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Questa è una progressione geometrica, in cui b 1 = 2, q = -1. Componi la formula per l'ennesimo termine 
Esempio 6
Data una progressione geometrica
In tutti i casi, la soluzione si basa sulla formula dell'ennesimo membro di una progressione geometrica
a) Mettendo n = 6 nella formula dell'ennesimo termine della progressione geometrica, otteniamo
b) Abbiamo
Da 512 \u003d 2 9, otteniamo n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.
d) Abbiamo
Esempio 7
La differenza tra il settimo e il quinto membro della progressione geometrica è 48, anche la somma del quinto e del sesto membro della progressione è 48. Trova il dodicesimo membro di questa progressione.
Primo stadio. Elaborazione di un modello matematico.
Le condizioni del compito possono essere brevemente scritte come segue:
Usando la formula dell'n-esimo membro di una progressione geometrica, otteniamo:
Allora la seconda condizione del problema (b 7 - b 5 = 48) può essere scritta come
La terza condizione del problema (b 5 +b 6 = 48) può essere scritta come
Di conseguenza, otteniamo un sistema di due equazioni con due variabili b 1 e q:
che, in combinazione con la condizione 1) sopra scritta, è modello matematico compiti.
Seconda fase.
Lavorare con il modello compilato. Uguagliando le parti di sinistra di entrambe le equazioni del sistema, otteniamo:
(abbiamo diviso entrambi i lati dell'equazione nell'espressione b 1 q 4 , che è diversa da zero).
Dall'equazione q 2 - q - 2 = 0 troviamo q 1 = 2, q 2 = -1. Sostituendo il valore q = 2 nella seconda equazione del sistema, otteniamo 
Sostituendo il valore q = -1 nella seconda equazione del sistema, otteniamo b 1 1 0 = 48; questa equazione non ha soluzioni.
Quindi, b 1 \u003d 1, q \u003d 2: questa coppia è la soluzione al sistema di equazioni compilato.
Ora possiamo scrivere una progressione geometrica, di cui in questione nel problema: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Terza fase.
La risposta alla domanda problematica. È necessario calcolare b 12 . abbiamo
Risposta: b 12 = 2048.
3. La formula per la somma dei membri di una progressione geometrica finita.
Sia una progressione geometrica finita
Indichiamo con S n la somma dei suoi termini, cioè
Ricaviamo una formula per trovare questa somma.
Cominciamo con il caso più semplice, quando q = 1. Allora la progressione geometrica b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn consiste di n numeri uguali a b 1 , cioè la progressione è b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . La somma di questi numeri è nb 1 .
Sia ora q = 1 Per trovare S n utilizziamo un metodo artificiale: eseguiamo alcune trasformazioni dell'espressione S n q. Abbiamo:
Eseguendo le trasformazioni, abbiamo, in primo luogo, utilizzato la definizione di una progressione geometrica, secondo la quale (si veda il terzo filone di ragionamento); in secondo luogo, hanno aggiunto e sottratto perché il significato dell'espressione, ovviamente, non è cambiato (si veda la quarta linea di ragionamento); in terzo luogo, abbiamo utilizzato la formula dell'n-esimo membro di una progressione geometrica:
Dalla formula (1) troviamo:
Questa è la formula per la somma di n membri di una progressione geometrica (per il caso in cui q = 1).
Esempio 8
Data una progressione geometrica finita
a) la somma dei componenti della progressione; b) la somma dei quadrati dei suoi membri.
b) Sopra (vedi p. 132) abbiamo già notato che se tutti i membri di una progressione geometrica sono al quadrato, allora si otterrà una progressione geometrica con il primo membro b 2 e il denominatore q 2. Quindi verrà calcolata la somma dei sei termini della nuova progressione di
Esempio 9
Trova l'ottavo termine di una progressione geometrica per cui
Infatti, abbiamo dimostrato il seguente teorema.
Una successione numerica è una progressione geometrica se e solo se il quadrato di ciascuno dei suoi termini, eccetto il primo (e l'ultimo, nel caso di successione finita), è uguale al prodotto dei termini precedenti e successivi (proprietà caratteristica di una progressione geometrica).
Progressione geometrica non meno importante in matematica che in aritmetica. Una progressione geometrica è una tale sequenza di numeri b1, b2,..., b[n] ciascuno dei quali si ottiene moltiplicando il precedente per un numero costante. Questo numero, che caratterizza anche il tasso di crescita o decremento della progressione, viene chiamato denominatore di una progressione geometrica e denotare
Per un'assegnazione completa di una progressione geometrica, oltre al denominatore, è necessario conoscerne o determinarne il primo termine. Per un valore positivo del denominatore, la progressione è una sequenza monotona, e se questa sequenza di numeri è monotonicamente decrescente e monotonicamente crescente quando. Il caso in cui il denominatore è uguale a uno non viene considerato in pratica, poiché abbiamo una sequenza di numeri identici e la loro somma non è di interesse pratico
Termine generale di progressione geometrica calcolato secondo la formula
La somma dei primi n termini di una progressione geometrica determinato dalla formula
Considera le soluzioni problemi classici ad una progressione geometrica. Cominciamo con il più semplice da capire.
Esempio 1. Il primo termine di una progressione geometrica è 27 e il suo denominatore è 1/3. Trova i primi sei termini di una progressione geometrica.
Soluzione: scriviamo la condizione del problema nel modulo
Per i calcoli, utilizziamo la formula per l'ennesimo membro di una progressione geometrica
Sulla base di esso, troviamo membri sconosciuti progressioni
Come puoi vedere, calcolare i termini di una progressione geometrica non è difficile. La progressione stessa sarà simile a questa
Esempio 2. Si danno i primi tre membri di una progressione geometrica: 6; -12; 24. Trova il denominatore e il settimo termine.
Soluzione: Calcoliamo il denominatore della progressione geometrica in base alla sua definizione
Abbiamo una progressione geometrica alternata il cui denominatore è -2. Il settimo termine è calcolato dalla formula
Su questo compito è risolto.
Esempio 3. Una progressione geometrica è data da due dei suoi membri 
. Trova il decimo termine della progressione.
Soluzione:
Scriviamo i valori dati attraverso le formule
Secondo le regole, bisognerebbe trovare il denominatore, e poi cercare il valore desiderato, ma per il decimo termine abbiamo
La stessa formula può essere ottenuta sulla base di semplici manipolazioni con i dati di input. Dividiamo il sesto termine della serie per un altro, di conseguenza otteniamo
Se il valore risultante viene moltiplicato per il sesto termine, otteniamo il decimo
Pertanto, per tali problemi, con l'aiuto di semplici trasformazioni in modo rapido, puoi trovare la giusta soluzione.
Esempio 4. La progressione geometrica è data da formule ricorrenti
Trova il denominatore della progressione geometrica e la somma dei primi sei termini.
Soluzione:
Scriviamo i dati forniti sotto forma di un sistema di equazioni
Esprimi il denominatore dividendo la seconda equazione per la prima
Trova il primo termine della progressione dalla prima equazione
Calcola i seguenti cinque termini per trovare la somma della progressione geometrica
La matematica è cosale persone controllano la natura e se stesse.
Matematico sovietico, accademico A.N. Kolmogorov
Progressione geometrica.
Insieme ai compiti per le progressioni aritmetiche, anche i compiti relativi al concetto di progressione geometrica sono comuni nei test di ingresso in matematica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario conoscere le proprietà di una progressione geometrica e avere buone abilità nell'usarle.
Questo articolo è dedicato alla presentazione delle principali proprietà di una progressione geometrica. Fornisce anche esempi di risoluzione di problemi tipici, mutuato dai compiti dei test di ammissione in matematica.
Notiamo preliminarmente le principali proprietà di una progressione geometrica e ricordiamo di più formule importanti e dichiarazioni, associato a questo concetto.
Definizione. Una sequenza numerica si dice progressione geometrica se ciascuno dei suoi numeri, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero. Il numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.
Per una progressione geometricale formule sono valide
, (1)
dove . La formula (1) è chiamata formula del termine generale di una progressione geometrica, e la formula (2) è la proprietà principale di una progressione geometrica: ogni membro della progressione coincide con la media geometrica dei suoi membri vicini e .
Nota, che è proprio per questa proprietà che la progressione in questione viene chiamata "geometrica".
Le formule (1) e (2) di cui sopra sono riassunte come segue:
, (3)
Per calcolare la somma primo membri di una progressione geometricasi applica la formula
Se designiamo
dove . Poiché , la formula (6) è una generalizzazione della formula (5).
Nel caso in cui e progressione geometricaè infinitamente decrescente. Per calcolare la sommadi tutti i membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente, viene utilizzata la formula
. (7)
Per esempio , usando la formula (7), si può mostrare, che cosa
dove . Queste uguaglianze si ottengono dalla formula (7) a condizione che , (la prima uguaglianza) e , (la seconda uguaglianza).
Teorema. Se poi
Prova. Se poi ,
Il teorema è stato dimostrato.
Passiamo a considerare esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione geometrica".
Esempio 1 Dati: , e . Trova .
Soluzione. Se viene applicata la formula (5), allora
Risposta: .
Esempio 2 Lascia e . Trova .
Soluzione. Poiché e , utilizziamo le formule (5), (6) e otteniamo il sistema di equazioni
Se la seconda equazione del sistema (9) è divisa per la prima, quindi o . Da ciò ne consegue . Consideriamo due casi.
1. Se , quindi dalla prima equazione del sistema (9) abbiamo.
2. Se , allora .
Esempio 3 Lascia , e . Trova .
Soluzione. Dalla formula (2) segue che o . Dal momento che , allora o .
Per condizione. Tuttavia, quindi. Perché e, allora qui abbiamo un sistema di equazioni
Se la seconda equazione del sistema è divisa per la prima, allora o .
Poiché, l'equazione ha un'unica radice adatta. In questo caso, la prima equazione del sistema implica .
Tenendo conto della formula (7), otteniamo.
Risposta: .
Esempio 4 Dato: e . Trova .
Soluzione. Da allora .
Perché , allora o
Secondo la formula (2), abbiamo . A questo proposito, dall'uguaglianza (10) si ottiene o .
Tuttavia, a condizione, quindi.
Esempio 5È risaputo che . Trova .
Soluzione. Secondo il teorema, abbiamo due uguaglianze
Dal momento che , allora o . Perché poi .
Risposta: .
Esempio 6 Dato: e . Trova .
Soluzione. Tenendo conto della formula (5), otteniamo
Da allora . Da , e , allora .
Esempio 7 Lascia e . Trova .
Soluzione. Secondo la formula (1), possiamo scrivere
Pertanto, abbiamo o . È noto che e , quindi e .
Risposta: .
Esempio 8 Trova il denominatore di una progressione geometrica decrescente infinita se
e .
Soluzione. Dalla formula (7) segue e . Da qui e dalla condizione del problema si ottiene il sistema di equazioni
Se la prima equazione del sistema è al quadrato, e quindi dividere l'equazione risultante per la seconda equazione, allora otteniamo
O .
Risposta: .
Esempio 9 Trova tutti i valori per i quali la sequenza , , è una progressione geometrica.
Soluzione. Lascia , e . Secondo la formula (2), che definisce la proprietà principale di una progressione geometrica, possiamo scrivere o .
Da qui otteniamo l'equazione quadratica, le cui radici sono e .
Controlliamo: se, quindi e ; se , allora , e .
Nel primo caso abbiamo e , e nel secondo - e .
Risposta: , .
Esempio 10risolvere l'equazione
, (11)
dove e .
Soluzione. Il lato sinistro dell'equazione (11) è la somma di una progressione geometrica decrescente infinita, in cui e , a condizione: e .
Dalla formula (7) segue, che cosa . A questo proposito, l'equazione (11) assume la forma o . radice adatta equazione quadrataè
Risposta: .
Esempio 11. P sequenza di numeri positiviforma una progressione aritmetica, un - progressione geometrica, cosa ha a che fare con . Trova .
Soluzione. Perché sequenza aritmetica, poi (la proprietà principale di una progressione aritmetica). Perché il, quindi o . Ciò implica , che è la progressione geometrica. Secondo la formula (2), quindi lo scriviamo .
Da e , allora . In tal caso, l'espressione assume la forma o . Per condizione, quindi dall'equazioneotteniamo l'unica soluzione del problema in esame, cioè. .
Risposta: .
Esempio 12. Calcola somma
. (12)
Soluzione. Moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza (12) per 5 e ottieni
Se sottraiamo (12) dall'espressione risultante, poi
o .
Per calcolare, sostituiamo i valori nella formula (7) e otteniamo . Da allora .
Risposta: .
Gli esempi di risoluzione dei problemi forniti qui saranno utili ai candidati in preparazione esami di ammissione. Per uno studio più approfondito dei metodi di problem solving, associato ad una progressione geometrica, può essere utilizzata guide di studio dall'elenco della letteratura consigliata.
1. Raccolta di compiti in matematica per i candidati alle università tecniche / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.
2. Suprun VP Matematica per studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 pag.
3. Medynsky MM Un corso completo di matematica elementare in compiti ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Edito, 2015. - 208 pag.
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