Quante radici può avere un'equazione quadratica? Radice quadrata: formule di calcolo. La formula per trovare le radici di un'equazione quadratica. Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche mediante formule radice

In continuazione dell'argomento "Risoluzione di equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Consideriamo tutto in dettaglio: l'essenza e la notazione di un'equazione quadratica, impostare termini correlati, analizzare lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, familiarizzare con la formula delle radici e il discriminante, stabilire connessioni tra radici e coefficienti e, naturalmente, daremo una soluzione visiva di esempi pratici.

Equazione quadratica, suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataè l'equazione scritta come a x 2 + b x + c = 0, dove X– variabile, a , b e C sono alcuni numeri, mentre un non è zero.

Spesso le equazioni di secondo grado sono anche dette equazioni di secondo grado, poiché in effetti un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a, b e C sono i coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, mentre il coefficiente unè chiamato il primo, o senior, o coefficiente a x 2, b - il secondo coefficiente, o coefficiente a X, un C chiamato un membro libero.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 il coefficiente più alto è 6 , il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti B e/o c sono negativi, quindi forma breve record del modulo 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ma no 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti un e/o B pari 1 o − 1 , allora potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, che si spiega con le peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 - y + 7 = 0 il coefficiente senior è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche sono divise in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 . Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Ecco alcuni esempi: si riducono le equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, in ciascuna delle quali il coefficiente direttivo è 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambe le sue parti per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data o non avrà nemmeno radici.

La considerazione di un esempio specifico ci consentirà di dimostrare chiaramente il passaggio da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 6 . Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Da qui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso, lo abbiamo specificato a ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione a x 2 + b x + c = 0 era esattamente quadrato, dal momento che a = 0 essenzialmente si trasforma in equazione lineare b x + c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti B e C sono uguali a zero (cosa possibile, sia singolarmente che congiuntamente), l'equazione quadratica è detta incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompletaè un'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, dove almeno uno dei coefficienti B e C(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completaè un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Discutiamo perché i tipi equazioni quadratiche tali nomi sono dati.

Per b = 0, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 + 0 x + c = 0, che è lo stesso di a x 2 + c = 0. A c = 0 l'equazione quadratica è scritta come a x 2 + b x + 0 = 0, che è equivalente a x 2 + b x = 0. A b = 0 e c = 0 l'equazione assumerà la forma a x 2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi contemporaneamente. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazioni: incomplete.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a x 2 = 0, i coefficienti corrispondono a tale equazione b = 0 e c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 per b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 per c = 0 .

Si consideri successivamente la soluzione di ogni tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 \u003d 0

Come già accennato in precedenza, tale equazione corrisponde ai coefficienti B e C, uguale a zero. L'equazione a x 2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero un, diverso da zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che è spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero P , diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Quindi, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0, c'è un'unica radice x=0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta − 3 x 2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x=0, quindi l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

La soluzione è così riassunta:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Soluzione dell'equazione a x 2 + c \u003d 0

Il prossimo in linea è la soluzione delle equazioni quadratiche incomplete, dove b \u003d 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma a x 2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione trasferendo il termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno al contrario e dividendo entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero:

• sopportare C a destra, che dà l'equazione un x 2 = - c;
• dividere entrambi i membri dell'equazione per un, otteniamo come risultato x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono rispettivamente equivalenti, l'equazione risultante è anche equivalente a quella originale, e questo fatto permette di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori un e C dipende dal valore dell'espressione - c a: può avere un segno meno (ad esempio, if a = 1 e c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if a = -2 e c=6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è uguale a zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P uguaglianza p 2 = - c a non può essere vero.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 \u003d - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 \u003d - c a. È facile comprendere che il numero - - c a - è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a .

L'equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo usando il metodo opposto. Per prima cosa, impostiamo la notazione delle radici trovate sopra come x 1 e − x 1. Assumiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x 1 e − x 1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione invece di X le sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x 1 e − x 1 scrivi: x 1 2 = - c a , e per x2- x 2 2 \u003d - c a. Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo una vera uguaglianza da un altro termine per termine, che ci darà: x 1 2 - x 2 2 = 0. Utilizzare le proprietà delle operazioni sui numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto detto ne consegue che x1 - x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x 2 = - x 1. Sorse un'ovvia contraddizione, perché in un primo momento si era convenuto che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x 1 e − x 1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha altre radici che x = - c a e x = - - c a .

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta a x 2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a , che:

• non avrà radici in - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a quando - c a > 0 .

Diamo esempi di risoluzione di equazioni a x 2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0 .È necessario trovare la sua soluzione.

Soluzione

Trasferiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9 x 2 \u003d - 7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con il segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

È necessario risolvere l'equazione -x2 + 36 = 0.

Soluzione

Spostiamo 36 a destra: − x 2 = − 36.
Dividiamo entrambe le parti in − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Sul lato destro c'è un numero positivo, da cui possiamo dedurlo x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: un'equazione quadratica incompleta -x2 + 36 = 0 ha due radici x=6 o x = -6.

Risposta: x=6 o x = -6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Per trovare una soluzione a un'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0, utilizziamo il metodo di fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo tra parentesi il fattore comune X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, è equivalente all'insieme delle equazioni x=0 e ax + b = 0. L'equazione ax + b = 0 lineare e la sua radice: x = - b un.

Definizione 7

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0 avrà due radici x=0 e x = - b un.

Consolidiamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare la soluzione dell'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Soluzione

Tiriamo fuori X fuori dalle parentesi e ottieni l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x=0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

In breve, scriviamo la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Risposta: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per trovare una soluzione alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 a, dove D = b 2 − 4 un cè il cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica.

Scrivere x \u003d - b ± D 2 a significa essenzialmente che x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Sarà utile capire come è stata ricavata la formula indicata e come applicarla.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0. Eseguiamo una serie di trasformazioni equivalenti:

• dividi entrambi i membri dell'equazione per il numero un, diverso da zero, otteniamo l'equazione quadratica ridotta: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• seleziona il quadrato intero sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Successivamente, l'equazione assumerà la forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ora è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra, cambiando il segno al contrario, dopodiché si ottiene: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• infine, trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Quindi, siamo arrivati ​​all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è equivalente all'equazione originale a x 2 + b x + c = 0.

Abbiamo discusso la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (la soluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita permette di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• per b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• per b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 l'equazione ha la forma x + b 2 a 2 = 0, allora x + b 2 a = 0.

Da qui, l'unica radice x = - b 2 · a è ovvia;

• per b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, quello corretto è: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oppure x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 , che è il come x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , cioè l'equazione ha due radici.

Si può concludere che la presenza o meno delle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (e quindi l'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 ac 4 · un 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (il denominatore 4 un 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b 2 − 4 un c. Questa espressione b 2 − 4 un c viene assegnato un nome: il discriminante di un'equazione quadratica e la lettera D è definita come designazione. Qui puoi annotare l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, concludono se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, quante radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Riscriviamolo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ricapitoliamo le conclusioni:

Definizione 9

• in D< 0 l'equazione non ha vere radici;
• in D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
• in D > 0 l'equazione ha due radici: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Sulla base delle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte come: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. E quando apriamo i moduli e riduciamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici dell'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 − 4 un c.

Queste formule consentono, quando il discriminante è maggiore di zero, di determinare entrambe le radici reali. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice dell'unica soluzione dell'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, provando ad utilizzare la formula della radice quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di estrarre la radice quadrata di un numero negativo, che ci porterà oltre i numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche mediante formule radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in pratica questo viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, la ricerca è solitamente intesa non per il complesso, ma per le radici reali di un'equazione quadratica. Quindi è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), quindi procedere al calcolo del valore delle radici.

Il ragionamento sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Per risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 − 4 un c trovare il valore del discriminante;
• a d< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0 trova l'unica radice dell'equazione con la formula x = - b 2 · a ;
• per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica con la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a , darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a .

Considera degli esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Presentiamo la soluzione di esempi per vari valori del discriminante.

Esempio 6

È necessario trovare le radici dell'equazione x 2 + 2 x - 6 = 0.

Soluzione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a \u003d 1, b \u003d 2 e c = - 6. Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo, cioè Iniziamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiamo i coefficienti a , b e C nella formula discriminante: D = b 2 − 4 un c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi, abbiamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli, utilizziamo la formula radice x \u003d - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori appropriati, otteniamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante sottraendo il fattore dal segno della radice, seguito dalla riduzione della frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Esempio 7

È necessario risolvere un'equazione quadratica − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante, l'equazione originale avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Risposta: x = 3, 5.

Esempio 8

È necessario risolvere l'equazione 5 anni 2 + 6 anni + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5 , b = 6 e c = 2 . Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice eseguendo operazioni con numeri complessi:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 io 10 o x \u003d - 6 - 2 io 10,

x = - 3 5 + 1 5 io o x = - 3 5 - 1 5 io .

Risposta: non ci sono vere radici; le radici complesse sono: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

V curriculum scolastico di default non è necessario cercare radici complesse, quindi, se il discriminante viene determinato come negativo durante la soluzione, viene immediatamente registrata la risposta che non ci sono radici reali.

Formula radice per coefficienti pari secondi

La formula della radice x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 ac) permette di ottenere un'altra formula, più compatta, che consente di trovare soluzioni alle equazioni quadratiche con coefficiente pari in x (o con coefficiente della forma 2 a n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Agiamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , quindi utilizziamo la formula della radice:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Si indichi l'espressione n 2 − a c come D 1 (a volte è denotato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma:

x \u003d - n ± D 1 a, dove D 1 \u003d n 2 - a c.

È facile vedere che D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è uguale al segno di D, il che significa che il segno di D 1 può servire anche come indicatore della presenza o assenza delle radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare una soluzione a un'equazione quadratica con un secondo coefficiente di 2 n, è necessario:

• trova D 1 = n 2 − un c ;
• a D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• per D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione con la formula x = - n a ;
• per D 1 > 0, determinare due radici reali usando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Soluzione

Il secondo coefficiente dell'equazione data può essere rappresentato come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , dove a = 5 , n = − 3 e c = − 32 .

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Li definiamo con la formula corrispondente delle radici:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più macchinosa.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, il che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l'equazione quadratica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 è chiaramente più conveniente per la risoluzione di 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene eseguita moltiplicando o dividendo le sue due parti per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, ottenuta dividendo entrambe le sue parti per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono numeri primi relativamente. Quindi è comune dividere entrambi i membri dell'equazione per il più grande divisore comune valori assoluti dei suoi coefficienti.

Come esempio, utilizziamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definiamo il gcd dei valori assoluti dei suoi coefficienti: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Dividiamo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione quadratica, i coefficienti frazionari vengono solitamente eliminati. In questo caso, moltiplica per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ogni parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 viene moltiplicata per LCM (6, 3, 1) \u003d 6, verrà scritta in una forma più semplice x 2 + 4x - 18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre si elimina il meno al primo coefficiente dell'equazione quadratica, cambiando i segni di ogni termine dell'equazione, che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambe le parti per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puoi passare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La formula già nota per le radici delle equazioni quadratiche x = - b ± D 2 · a esprime le radici dell'equazione in termini di coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di impostare altre dipendenze tra le radici e i coefficienti.

Le più famose e applicabili sono le formule del teorema di Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a e x 2 \u003d c a.

In particolare, per l'equazione quadratica data, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, con la forma dell'equazione quadratica 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Solo. Secondo formule e regole semplici e chiare. Al primo stadio

necessità di data equazione portare alla forma standard, cioè alla vista:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questo modulo, non è necessario eseguire la prima fase. La cosa più importante è giusta

determinare tutti i coefficienti un, B e C.

Formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Viene chiamata l'espressione sotto il segno della radice discriminante . Come puoi vedere, per trovare x, noi

uso solo a, b e c. Quelli. probabilità da equazione quadrata. Basta inserire con attenzione

i valori a, b e c in questa formula e contare. Sostituisci con i loro segni!

ad esempio, nell'equazione:

un =1; B = 3; C = -4.

Sostituisci i valori e scrivi:

Esempio quasi risolto:

Questa è la risposta.

Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e Con. Piuttosto, con sostituzione

valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui la formula dettagliata salva

con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui un = -6; B = -5; C = -1

Dipingiamo tutto nei minimi dettagli, con cura, senza tralasciare nulla con tutti i segni e le parentesi:

Spesso le equazioni quadratiche hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori.

Primo ricevimento. Non essere pigro prima risolvere un'equazione quadratica portalo in forma standard.

Cosa significa questo?

Supponiamo, dopo ogni trasformazione, di ottenere la seguente equazione:

Non affrettarti a scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c.

Costruisci l'esempio correttamente. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:

Sbarazzati del meno. Come? Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

E ora puoi tranquillamente annotare la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio.

Decidi da solo. Dovresti finire con le radici 2 e -1.

Secondo ricevimento. Controlla le tue radici! Di Il teorema di Vieta.

Per risolvere le equazioni quadratiche date, ad es. se il coefficiente

x2+bx+c=0,

poix 1 x 2 = c

x1 +x2 =-B

Per un'equazione quadratica completa in cui a≠1:

x 2 +Bx+C=0,

dividere l'intera equazione per un:

→ →

dove x 1 e X 2 - radici dell'equazione.

Accoglienza terza. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplicare

equazione per un denominatore comune.

Conclusione. Consigli pratici:

1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo Giusto.

2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando tutto

equazioni per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il corrispondente

fattore.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata

V società moderna la capacità di operare con equazioni contenenti una variabile al quadrato può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. Ciò può essere evidenziato dal design di marine e navi fluviali, aerei e missili. Con l'aiuto di tali calcoli, vengono determinate le traiettorie del movimento di vari corpi, inclusi gli oggetti spaziali. Esempi con la soluzione di equazioni quadratiche sono usati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Possono essere necessari in campeggio, in occasione di eventi sportivi, nei negozi durante lo shopping e in altre situazioni molto comuni.

Rompiamo l'espressione in fattori componenti

Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione data. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata equazione quadratica.

Se parliamo nel linguaggio delle formule, allora queste espressioni, indipendentemente dall'aspetto, possono sempre essere riportate alla forma quando il lato sinistro dell'espressione è costituito da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (componente libera, cioè un numero ordinario). Tutto ciò a destra è uguale a 0. Nel caso in cui un tale polinomio non abbia uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione di ax 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Dovrebbero essere considerati in primo luogo esempi con la soluzione di tali problemi, in cui il valore delle variabili non è difficile da trovare.

Se l'espressione sembra avere due termini sul lato destro dell'espressione, più precisamente ax 2 e bx, è più facile trovare x mettendo tra parentesi la variabile. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Inoltre, diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Questo è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola dice che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno di essi è zero.

Esempio

x=0 o 8x - 3 = 0

Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.

Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'azione della gravità, che ha cominciato a muoversi da un certo punto, preso come origine. Qui la notazione matematica assume la seguente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando possibili incognite, puoi scoprire il tempo trascorso dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a molte altre grandezze. Ma di questo parleremo più avanti.

Fattorizzazione di un'espressione

La regola sopra descritta permette di risolvere questi problemi e altro ancora casi difficili. Considera esempi con la soluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Questo trinomio quadratoè completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la scomponiamo in fattori. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.

Esempi con la soluzione di equazioni quadratiche nel grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e quarto ordine.

Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si scompone il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, ovvero (x + 1), (x-3) e (x + 3).

Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -uno; 3.

Estrazione della radice quadrata

Un altro caso di equazione del secondo ordine incompleta è un'espressione scritta nel linguaggio delle lettere in modo tale che il lato destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, si trasferisce il termine libero sul lato destro, dopodiché si estrae la radice quadrata da entrambi i lati dell'uguaglianza. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni sono le uguaglianze che non contengono affatto il termine c, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro risulta negativo. In quest'ultimo caso, non ci sono soluzioni, poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con le radici. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.

In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.

Calcolo dell'area del terreno

La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa in tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica è in gran parte in quelli tempi lontani era dovuto alla necessità di determinare con la massima precisione le aree e i perimetri dei lotti di terreno.

Dovremmo anche considerare esempi con la soluzione di equazioni quadratiche compilate sulla base di problemi di questo tipo.

Quindi, diciamo che c'è un pezzo di terra rettangolare, la cui lunghezza è di 16 metri in più rispetto alla larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito, se è noto che la sua area è di 612 m 2.

Per metterci al lavoro, all'inizio faremo l'equazione necessaria. Indichiamo la larghezza della sezione come x, quindi la sua lunghezza sarà (x + 16). Ne consegue da quanto scritto che l'area è determinata dall'espressione x (x + 16), che, secondo la condizione del nostro problema, è 612. Ciò significa che x (x + 16) \u003d 612.

La soluzione di equazioni quadratiche complete, e questa espressione è proprio questo, non può essere eseguita allo stesso modo. Come mai? Sebbene il lato sinistro di esso contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto uguale a 0, quindi qui vengono utilizzati altri metodi.

Discriminante

Prima di tutto, facciamo le necessarie trasformazioni, quindi aspetto esteriore questa espressione sarà simile a questa: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto un'espressione nella forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c=-612.

Questo può essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche attraverso il discriminante. Qui vengono eseguiti i calcoli necessari secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questo valore ausiliario non solo consente di trovare i valori desiderati nell'equazione del secondo ordine, ma determina il numero di opzioni possibili. Nel caso D>0, ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sulle radici e la loro formula

Nel nostro caso, il discriminante è: 256 - 4(-612) = 2704. Questo indica che il nostro problema ha una risposta. Se sai, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata usando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.

Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione in questo dilemma non può essere una soluzione, perché la dimensione del lotto di terreno non può essere misurata in valori negativi, il che significa che x (cioè la larghezza del lotto) è 18 m Da qui calcoliamo la lunghezza: 18+16=34, e il perimetro 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Esempi e compiti

Continuiamo lo studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e una soluzione dettagliata di molti di essi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Trasferiamo tutto sul lato sinistro dell'uguaglianza, facciamo una trasformazione, ovvero otteniamo la forma dell'equazione, che di solito è chiamata standard, e la uguagliamo a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dopo aver aggiunto quelli simili, determiniamo il discriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Quindi la nostra equazione avrà due radici. Li calcoliamo secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo 1.

2) Ora sveleremo enigmi di diverso tipo.

Scopriamo se ci sono radici x 2 - 4x + 5 = 1 qui? Per ottenere una risposta esaustiva, portiamo il polinomio nella corrispondente forma familiare e calcoliamo il discriminante. In questo esempio, non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché l'essenza del problema non è affatto in questo. In questo caso, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, il che significa che non ci sono davvero radici.

Il teorema di Vieta

Conviene risolvere equazioni quadratiche attraverso le formule sopra e il discriminante, quando dal valore di quest'ultimo si estrae la radice quadrata. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, ci sono molti modi per ottenere i valori delle variabili in questo caso. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da un uomo che visse nella Francia del XVI secolo e che ebbe una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai suoi contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.

Lo schema che il famoso francese notò era il seguente. Ha dimostrato che la somma delle radici dell'equazione è uguale a -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.

Ora diamo un'occhiata a compiti specifici.

3x2 + 21x - 54 = 0

Per semplicità, trasformiamo l'espressione:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Usando il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver effettuato un controllo, ci assicureremo che questi valori delle variabili si adattino davvero all'espressione.

Grafico ed equazione di una parabola

I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di questo sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici in modo un po' più dettagliato. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale dipendenza, disegnata sotto forma di grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono mostrati nella figura seguente.

Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0, vanno dall'alto all'infinito e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice possono essere trovate con la formula appena data x 0 = -b / 2a. E, sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola appartenente all'asse y.

L'intersezione dei rami della parabola con l'asse delle ascisse

Ci sono molti esempi con la soluzione di equazioni quadratiche, ma ci sono anche schemi generali. Consideriamoli. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se y 0 assume valori negativi. E per un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dal grafico di una parabola, puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più facile tracciare.

Dalla storia

Con l'aiuto di equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi, non solo facevano calcoli matematici e determinavano l'area delle forme geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandiose scoperte nel campo della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.

Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. È successo quattro secoli prima dell'avvento della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano fondamentalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell'esistenza di numeri negativi. Non conoscevano anche altre sottigliezze di quelle note a qualsiasi studente del nostro tempo.

Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama si occupò della soluzione delle equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'avvento dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi erano interessati a domande simili ai vecchi tempi. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nel loro lavoro da grandi scienziati come Newton, Descartes e molti altri.

Scuola secondaria rurale Kopyevskaya

10 modi per risolvere le equazioni quadratiche

Capo: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

insegnante di matematica

s.Kopyevo, 2007

1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

1.2 Come Diofanto compilava e risolveva le equazioni quadratiche

1.3 Equazioni quadratiche in India

1.4 Equazioni quadratiche in al-Khwarizmi

1.5 Equazioni quadratiche in Europa XIII - XVII secolo

1.6 Sul teorema di Vieta

2. Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche

Conclusione

Letteratura

1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo, ma anche di secondo grado nell'antichità era causata dalla necessità di risolvere problemi relativi alla ricerca delle aree di terra e di terrapieni di natura militare, nonché dallo sviluppo dell'astronomia e matematica stessa. Le equazioni quadratiche sono state in grado di risolvere circa 2000 aC. e. babilonesi.

Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi, oltre a quelli incompleti, ci sono, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La regola per risolvere queste equazioni, enunciata nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi giunsero a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi finora trovati danno solo problemi con soluzioni espresse sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione di come siano state trovate.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra in Babilonia, i testi cuneiformi mancano del concetto di numero negativo e di metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

1.2 Come Diofanto compilava e risolveva le equazioni quadratiche.

L'aritmetica di Diofanto non contiene un'esposizione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti formulando equazioni di vario grado.

Quando compila le equazioni, Diofanto sceglie abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Compito 11."Trova due numeri sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96"

Diofanto argomenta come segue: dalla condizione del problema deriva che i numeri desiderati non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto sarebbe uguale non a 96, ma a 100. Quindi, uno di loro sarà maggiore di metà della loro somma, es. 10+x, l'altro è più piccolo, cioè 10. La differenza tra loro 2x.

Da qui l'equazione:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Da qui x = 2. Uno dei numeri desiderati è 12 , Altro 8 . Soluzione x = -2 poiché Diofanto non esiste, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolviamo questo problema scegliendo uno dei numeri desiderati come incognita, arriveremo alla soluzione dell'equazione

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

È chiaro che Diofanto semplifica la soluzione scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri desiderati; riesce a ridurre il problema alla risoluzione di un'equazione quadratica incompleta (1).

1.3 Equazioni quadratiche in India

Problemi per le equazioni quadratiche si trovano già nel tratto astronomico "Aryabhattam", compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), ha delineato la regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:

ah 2+Bx = c, a > 0. (1)

Nell'equazione (1), i coefficienti, ad eccezione di un, può anche essere negativo. Il governo di Brahmagupta coincide essenzialmente con il nostro.

V antica india erano comuni concorsi pubblici per la risoluzione di problemi difficili. In uno dei vecchi libri indiani, di tali competizioni si dice: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così uomo scienziato eclissare la gloria di un altro nelle riunioni pubbliche, proponendo e risolvendo problemi algebrici. I compiti erano spesso vestiti in forma poetica.

Ecco uno dei compiti del famoso indiano Matematica XII v. Bhaskara.

Compito 13.

“Un vivace gregge di scimmie E dodici tra le vigne...

Avendo mangiato il potere, mi sono divertito. Cominciarono a saltare, appendere ...

Parte otto di loro in una piazza Quante scimmie c'erano,

Divertirsi nel prato. Mi dici, in questo gregge?

La soluzione di Bhaskara indica che conosceva la doppia valenza delle radici delle equazioni quadratiche (Fig. 3).

L'equazione corrispondente al problema 13 è:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrive con il pretesto di:

x 2 - 64 x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, aggiunge a entrambi i lati 32 2 , ottenendo quindi:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Equazioni quadratiche in al-Khorezmi

Il trattato algebrico di Al-Khorezmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore elenca 6 tipi di equazioni, esprimendole come segue:

1) "I quadrati sono uguali alle radici", cioè ascia 2 + c =BX.

2) "I quadrati sono uguali al numero", cioè ascia 2 = s.

3) "Le radici sono uguali al numero", cioè ah = s.

4) "I quadrati e i numeri sono uguali alle radici", cioè ascia 2 + c =BX.

5) "Quadrati e radici sono uguali al numero", cioè ah 2+bx= s.

6) "Radici e numeri sono uguali ai quadrati", cioèbx+ c \u003d ascia 2.

Per al-Khwarizmi, che ha evitato l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi, non sottrazioni. In questo caso, ovviamente, non vengono prese in considerazione le equazioni che non hanno soluzioni positive. L'autore delinea i metodi per risolvere queste equazioni, utilizzando i metodi di al-jabr e al-muqabala. Le sue decisioni, ovviamente, non coincidono del tutto con le nostre. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando si risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo

al-Khorezmi, come tutti i matematici prima del XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché non ha importanza in specifici problemi pratici. Quando risolve equazioni quadratiche complete, al-Khorezmi stabilisce le regole per la risoluzione e quindi le prove geometriche, utilizzando particolari esempi numerici.

Compito 14.“Il quadrato e il numero 21 sono uguali a 10 radici. Trova la radice" (assumendo la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

La soluzione dell'autore è più o meno questa: dividi a metà il numero di radici, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, 4 rimane. Prendi la radice di 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, tu ottieni 3, questa sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi 2 a 5, che darà 7, anche questa è una radice.

Il Trattato al - Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, in cui viene enunciata sistematicamente la classificazione delle equazioni di secondo grado e vengono fornite formule per la loro soluzione.

1.5 Equazioni quadratiche in EuropaXIII - XVIIsecoli

Le formule per la risoluzione di equazioni quadratiche sul modello di al - Khorezmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'abaco", scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo lavoro voluminoso, che riflette l'influenza della matematica, sia i paesi dell'Islam che Grecia antica, differisce sia per completezza che per chiarezza di presentazione. L'autore ha sviluppato autonomamente alcuni nuovi esempi algebrici di problem solving ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro ha contribuito alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti compiti del "Libro dell'abaco" sono passati a quasi tutti i libri di testo europei del XVI - XVII secolo. e in parte XVIII.

La regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:

x 2+bx= con,

per tutte le possibili combinazioni di segni dei coefficienti B, Con fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

Vieta ha una derivazione generale della formula per risolvere un'equazione quadratica, ma Vieta ha riconosciuto solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Prendi in considerazione, oltre alle radici positive e negative. Solo nel XVII sec. Grazie al lavoro di Girard, Descartes, Newton e altri scienziati, il modo di risolvere le equazioni quadratiche assume un aspetto moderno.

1.6 Sul teorema di Vieta

Il teorema che esprime il rapporto tra i coefficienti di un'equazione quadratica e le sue radici, che porta il nome di Vieta, fu da lui formulato per la prima volta nel 1591 come segue: “Se B + D moltiplicato per UN - UN 2 , equivale BD, poi UN equivale V e uguale D».

Per capire Vieta, bisogna ricordarlo UN, come ogni vocale, significava per lui l'ignoto (nostro X), le vocali V,D- coefficienti per l'incognita. Nel linguaggio dell'algebra moderna, la precedente formulazione di Vieta significa: se

(un +B)x - x 2 =ab,

x 2 - (un +B)x + aB = 0,

x 1 = a, x 2 =B.

Esprimendo la relazione tra le radici ei coefficienti delle equazioni mediante formule generali scritte usando simboli, Viet stabilì l'uniformità nei metodi di risoluzione delle equazioni. Tuttavia, il simbolismo di Vieta è ancora lontano aspetto moderno. Non ha riconosciuto i numeri negativi e quindi, quando ha risolto le equazioni, ha considerato solo i casi in cui tutte le radici sono positive.

2. Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche

Le equazioni quadratiche sono le fondamenta su cui poggia il maestoso edificio dell'algebra. Le equazioni quadratiche sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, irrazionali e trascendentali. Sappiamo tutti come risolvere le equazioni di secondo grado dalla scuola (classe 8) fino alla laurea.

Equazione quadrata oppure un'equazione di secondo grado con un'incognita è un'equazione che, dopo le trasformazioni, può essere ridotta alla forma seguente:

ascia 2 + bx + C = 0 - equazione quadrata

dove Xè l'ignoto, e un, B e C- coefficienti dell'equazione. Nelle equazioni quadratiche unè chiamato primo coefficiente ( un ≠ 0), Bè chiamato secondo coefficiente, e Cè chiamato membro noto o libero.

L'equazione:

ascia 2 + bx + C = 0

chiamato completare equazione quadrata. Se uno dei coefficienti B o Cè zero, o entrambi questi coefficienti sono uguali a zero, quindi l'equazione viene presentata come un'equazione quadratica incompleta.

Equazione quadratica ridotta

L'equazione quadratica completa può essere ridotta a una forma più conveniente dividendo tutti i suoi termini per un, ovvero per il primo coefficiente:

L'equazione X 2 + px + Q= 0 è chiamata equazione quadratica ridotta. Pertanto, qualsiasi equazione quadratica in cui il primo coefficiente è uguale a 1 può essere chiamata ridotta.

Ad esempio, l'equazione:

X 2 + 10X - 5 = 0

è ridotto e l'equazione:

3X 2 + 9X - 12 = 0

può essere sostituito dall'equazione sopra dividendo tutti i suoi termini per -3:

X 2 - 3X + 4 = 0

Risoluzione di equazioni quadratiche

Per risolvere un'equazione quadratica, devi portarla in una delle seguenti forme:

ascia 2 + bx + C = 0

ascia 2 + 2kx + C = 0

X 2 + px + Q = 0

Ogni tipo di equazione ha la sua formula per trovare le radici:

Presta attenzione all'equazione:

ascia 2 + 2kx + C = 0

questa è l'equazione convertita ascia 2 + bx + C= 0, in cui il coefficiente B- pari, che ne consente la sostituzione con il tipo 2 K. Pertanto, la formula per trovare le radici di questa equazione può essere semplificata sostituendo 2 K invece di B:

Esempio 1 Risolvi l'equazione:

3X 2 + 7X + 2 = 0

Poiché nell'equazione il secondo coefficiente non è un numero pari e il primo coefficiente non è uguale a uno, cercheremo le radici usando la primissima formula, chiamata formula generale trovare le radici di un'equazione quadratica. Primo

un = 3, B = 7, C = 2

Ora, per trovare le radici dell'equazione, sostituiamo semplicemente i valori dei coefficienti nella formula:

X 1 =	-2	= -	1	, X 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Risposta: -	1	, -2.
	3

Esempio 2:

X 2 - 4X - 60 = 0

Determiniamo a cosa sono uguali i coefficienti:

un = 1, B = -4, C = -60

Poiché il secondo coefficiente nell'equazione è un numero pari, utilizzeremo la formula per le equazioni quadratiche con un secondo coefficiente pari:

X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6

Risposta: 10, -6.

Esempio 3

y 2 + 11y = y - 25

Portiamo l'equazione in una forma generale:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Determiniamo a cosa sono uguali i coefficienti:

un = 1, P = 10, Q = 25

Poiché il primo coefficiente è uguale a 1, cercheremo le radici usando la formula per le equazioni precedenti con un secondo coefficiente pari:

Risposta: -5.

Esempio 4

X 2 - 7X + 6 = 0

Determiniamo a cosa sono uguali i coefficienti:

un = 1, P = -7, Q = 6

Poiché il primo coefficiente è uguale a 1, cercheremo le radici usando la formula per le equazioni date con un secondo coefficiente dispari:

X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1