Dov'è il derivato più grande? Derivata di funzione. Il significato geometrico della derivata. Compiti per determinare le caratteristiche della derivata dal grafico di una funzione

La derivata di una funzione è uno degli argomenti più difficili nel curriculum scolastico. Non tutti i laureati risponderanno alla domanda su cosa sia un derivato.

Questo articolo spiega in modo semplice e chiaro cos'è un derivato e perché è necessario.. Non ci impegneremo ora per il rigore matematico della presentazione. La cosa più importante è capire il significato.

Ricordiamo la definizione:

La derivata è il tasso di variazione della funzione.

La figura mostra i grafici di tre funzioni. Quale pensi cresca più velocemente?

La risposta è ovvia: la terza. Ha il più alto tasso di variazione, cioè il più grande derivato.

Ecco un altro esempio.

Kostya, Grisha e Matvey hanno trovato lavoro contemporaneamente. Vediamo come è cambiato il loro reddito durante l'anno:

Puoi vedere tutto sul grafico subito, giusto? Il reddito di Kostya è più che raddoppiato in sei mesi. E anche il reddito di Grisha è aumentato, ma solo di poco. E il reddito di Matthew è sceso a zero. Le condizioni di partenza sono le stesse, ma la velocità di variazione della funzione, ad es. derivato, - diverso. Per quanto riguarda Matvey, il derivato del suo reddito è generalmente negativo.

Intuitivamente, possiamo facilmente stimare la velocità di variazione di una funzione. Ma come lo facciamo?

Quello che stiamo veramente osservando è quanto ripidamente il grafico della funzione sale (o scende). In altre parole, quanto velocemente y cambia con x. Ovviamente, la stessa funzione in punti diversi può avere un valore diverso della derivata, cioè può cambiare più velocemente o più lentamente.

La derivata di una funzione è indicata da .

Mostriamo come trovare usando il grafico.

Viene disegnato un grafico di alcune funzioni. Prendi un punto con un'ascissa. Disegna una tangente al grafico della funzione a questo punto. Vogliamo valutare quanto ripidamente sale il grafico della funzione. Un valore utile per questo è tangente della pendenza della tangente.

La derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente della pendenza della tangente tracciata sul grafico della funzione in quel punto.

Nota: come angolo di inclinazione della tangente, prendiamo l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse.

A volte gli studenti chiedono qual è la tangente al grafico di una funzione. Questa è una retta che ha l'unico punto in comune con il grafico in questa sezione, inoltre, come mostrato nella nostra figura. Sembra una tangente a un cerchio.

Cerchiamo . Ricordiamo che la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è uguale al rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente. Dal triangolo:

Abbiamo trovato la derivata usando il grafico senza nemmeno conoscere la formula della funzione. Tali compiti si trovano spesso nell'esame di matematica sotto il numero.

C'è un'altra importante correlazione. Ricordiamo che la retta è data dall'equazione

Viene chiamata la quantità in questa equazione pendenza di una retta. È uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della retta all'asse.

.

Lo capiamo

Ricordiamo questa formula. Esprime il significato geometrico della derivata.

La derivata di una funzione in un punto è uguale alla pendenza della tangente tracciata sul grafico della funzione in quel punto.

In altre parole, la derivata è uguale alla tangente della pendenza della tangente.

Abbiamo già detto che una stessa funzione può avere derivate diverse in punti diversi. Vediamo come la derivata è correlata al comportamento della funzione.

Tracciamo un grafico di alcune funzioni. Lascia che questa funzione aumenti in alcune aree e diminuisca in altre e a velocità diverse. E lascia che questa funzione abbia punti massimo e minimo.

Ad un certo punto, la funzione è in aumento. La tangente al grafico, tracciata nel punto, forma un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse. Quindi la derivata è positiva al punto.

A questo punto, la nostra funzione sta diminuendo. La tangente in questo punto forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell'asse. Poiché la tangente di un angolo ottuso è negativa, la derivata nel punto è negativa.

Ecco cosa succede:

Se una funzione è crescente, la sua derivata è positiva.

Se diminuisce, la sua derivata è negativa.

E cosa accadrà al massimo e al minimo? Vediamo che in (punto massimo) e (punto minimo) la tangente è orizzontale. Pertanto, la tangente della pendenza della tangente in questi punti è zero e anche la derivata è zero.

Il punto è il punto massimo. A questo punto l'aumento della funzione è sostituito da una diminuzione. Di conseguenza, il segno della derivata cambia nel punto da "più" a "meno".

Nel punto - il punto di minimo - anche la derivata è uguale a zero, ma il suo segno cambia da "meno" a "più".

Conclusione: con l'aiuto della derivata, puoi scoprire tutto ciò che ci interessa sul comportamento della funzione.

Se la derivata è positiva, allora la funzione è crescente.

Se la derivata è negativa, la funzione è decrescente.

Nel punto massimo, la derivata è zero e cambia segno da più a meno.

Nel punto minimo, anche la derivata è zero e cambia segno da meno a più.

Scriviamo questi risultati sotto forma di tabella:

	aumenta	punto massimo	diminuisce	punto minimo	aumenta
+	0	-	0	+

Facciamo due piccole precisazioni. Ne avrai bisogno per risolvere i problemi dell'esame. Un altro - nel primo anno, con uno studio più serio di funzioni e derivati.

Un caso è possibile quando la derivata di una funzione in un punto è uguale a zero, ma la funzione non ha né un massimo né un minimo a questo punto. Questo cosiddetto :

In un punto, la tangente al grafico è orizzontale e la derivata è zero. Tuttavia, prima del punto la funzione è aumentata - e dopo il punto continua ad aumentare. Il segno della derivata non cambia: è rimasto positivo com'era.

Succede anche che nel punto di massimo o minimo la derivata non esista. Sul grafico, ciò corrisponde a un'interruzione netta, quando è impossibile tracciare una tangente in un dato punto.

Ma come trovare la derivata se la funzione è data non da un grafico, ma da una formula? In questo caso, si applica

Nel problema B9 viene fornito un grafico di una funzione o derivata, dal quale è necessario determinare una delle seguenti grandezze:

1. Il valore della derivata ad un certo punto x 0,
2. Punti alti o bassi (punti estremi),
3. Intervalli di funzioni crescenti e decrescenti (intervalli di monotonia).

Le funzioni e le derivate presentate in questo problema sono sempre continue, il che semplifica notevolmente la soluzione. Nonostante il fatto che il compito appartenga alla sezione dell'analisi matematica, è abbastanza in potere anche degli studenti più deboli, poiché qui non è richiesta una profonda conoscenza teorica.

Per trovare il valore della derivata, dei punti estremi e degli intervalli di monotonia, esistono algoritmi semplici e universali - tutti saranno discussi di seguito.

Leggi attentamente la condizione del problema B9 per non commettere errori stupidi: a volte si trovano testi piuttosto voluminosi, ma ci sono poche condizioni importanti che influenzano il corso della soluzione.

Calcolo del valore della derivata. Metodo a due punti

Se al problema viene fornito un grafico della funzione f(x), tangente a questo grafico in un punto x 0 , ed è necessario trovare il valore della derivata a questo punto, si applica il seguente algoritmo:

1. Trova due punti "adeguati" sul grafico tangente: le loro coordinate devono essere intere. Indichiamo questi punti come A (x 1 ; y 1) e B (x 2 ; y 2). Annota le coordinate correttamente: questo è il punto chiave della soluzione e qualsiasi errore qui porta alla risposta sbagliata.
2. Conoscendo le coordinate, è facile calcolare l'incremento dell'argomento Δx = x 2 − x 1 e l'incremento della funzione Δy = y 2 − y 1 .
3. Infine, troviamo il valore della derivata D = Δy/Δx. In altre parole, devi dividere l'incremento della funzione per l'incremento dell'argomento - e questa sarà la risposta.

Ancora una volta notiamo: i punti A e B vanno cercati proprio sulla tangente, e non sul grafico della funzione f(x), come spesso accade. La tangente conterrà necessariamente almeno due di questi punti, altrimenti il ​​problema è formulato in modo errato.

Considera i punti A (−3; 2) e B (−1; 6) e trova gli incrementi:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Troviamo il valore della derivata: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Un compito. La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x 0 .

Considera i punti A (0; 3) e B (3; 0), trova gli incrementi:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Ora troviamo il valore della derivata: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Un compito. La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x 0 .

Considera i punti A (0; 2) e B (5; 2) e trova gli incrementi:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Resta da trovare il valore della derivata: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Dall'ultimo esempio possiamo formulare la regola: se la tangente è parallela all'asse OX, la derivata della funzione nel punto di contatto è uguale a zero. In questo caso, non è nemmeno necessario calcolare nulla: basta guardare il grafico.

Calcolo dei punti alti e bassi

A volte invece di un grafico di una funzione nel problema B9, viene fornito un grafico derivato ed è necessario trovare il punto massimo o minimo della funzione. In questo scenario, il metodo a due punti è inutile, ma esiste un altro algoritmo ancora più semplice. Per prima cosa, definiamo la terminologia:

1. Il punto x 0 è detto punto di massimo della funzione f(x) se in qualche intorno di questo punto vale la seguente disuguaglianza: f(x 0) ≥ f(x).
2. Il punto x 0 è detto punto di minimo della funzione f(x) se la seguente disuguaglianza vale in alcune vicinanze di questo punto: f(x 0) ≤ f(x).

Per trovare i punti di massimo e minimo sul grafico della derivata è sufficiente eseguire i seguenti passaggi:

1. Ridisegna il grafico della derivata, rimuovendo tutte le informazioni non necessarie. Come mostra la pratica, dati extra interferiscono solo con la decisione. Pertanto, contrassegniamo gli zeri della derivata sull'asse delle coordinate - e il gioco è fatto.
2. Scopri i segni della derivata sugli intervalli tra gli zeri. Se per un punto x 0 è noto che f'(x 0) ≠ 0, allora sono possibili solo due opzioni: f'(x 0) ≥ 0 oppure f'(x 0) ≤ 0. Il segno della derivata è facile da determinare dal disegno originale: se il grafo della derivata si trova sopra l'asse OX, allora f'(x) ≥ 0. Viceversa, se il grafo della derivata si trova sotto l'asse OX, allora f'(x) ≤ 0.
3. Controlliamo nuovamente gli zeri ei segni della derivata. Dove il segno cambia da meno a più, c'è un punto minimo. Al contrario, se il segno della derivata cambia da più a meno, questo è il punto massimo. Il conteggio avviene sempre da sinistra a destra.

Questo schema funziona solo per funzioni continue - non ce ne sono altri nel problema B9.

Un compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sul segmento [−5; 5]. Trova il punto minimo della funzione f(x) su questo segmento.

Eliminiamo le informazioni non necessarie: lasceremo solo i confini [−5; 5] e gli zeri della derivata x = −3 e x = 2,5. Notare anche i segni:

Ovviamente, nel punto x = −3, il segno della derivata cambia da meno a più. Questo è il punto minimo.

Un compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sul segmento [−3; 7]. Trova il punto massimo della funzione f(x) su questo segmento.

Ridisegniamo il grafico, lasciando solo i confini [−3; 7] e gli zeri della derivata x = −1.7 e x = 5. Notare i segni della derivata sul grafico risultante. Abbiamo:

Ovviamente, nel punto x = 5, il segno della derivata cambia da più a meno: questo è il punto massimo.

Un compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sul segmento [−6; quattro]. Trova il numero di punti massimi della funzione f(x) che appartengono all'intervallo [−4; 3].

Dalle condizioni del problema deriva che è sufficiente considerare solo la parte del grafo delimitata dal segmento [−4; 3]. Pertanto, costruiamo un nuovo grafo, su cui segniamo solo i confini [−4; 3] e gli zeri della derivata al suo interno. Vale a dire, i punti x = −3,5 e x = 2. Otteniamo:

In questo grafico c'è un solo punto massimo x = 2. È in esso che il segno della derivata cambia da più a meno.

Una piccola nota sui punti con coordinate non intere. Ad esempio, nell'ultimo problema è stato considerato il punto x = −3.5, ma con lo stesso successo possiamo prendere x = −3.4. Se il problema è formulato correttamente, tali modifiche non dovrebbero influire sulla risposta, poiché i punti "senza un luogo di residenza fisso" non sono direttamente coinvolti nella risoluzione del problema. Naturalmente, con punti interi un tale trucco non funzionerà.

Trovare intervalli di incremento e decremento di una funzione

In tale problema, come i punti di massimo e minimo, si propone di trovare aree in cui la funzione stessa aumenta o diminuisce dal grafico della derivata. Per prima cosa, definiamo cosa sono ascendente e discendente:

1. Una funzione f(x) si dice crescente su un segmento se per due punti qualsiasi x 1 e x 2 di questo segmento l'affermazione è vera: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). In altre parole, maggiore è il valore dell'argomento, maggiore è il valore della funzione.
2. Una funzione f(x) si dice decrescente su un segmento se per due punti qualsiasi x 1 e x 2 di questo segmento l'affermazione è vera: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Quelli. un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore minore della funzione.

Formuliamo condizioni sufficienti per aumentare e diminuire:

1. Affinché una funzione continua f(x) aumenti sul segmento , è sufficiente che la sua derivata all'interno del segmento sia positiva, cioè f'(x) ≥ 0.
2. Affinché una funzione continua f(x) decresca sul segmento , è sufficiente che la sua derivata all'interno del segmento sia negativa, cioè f'(x) ≤ 0.

Accettiamo queste affermazioni senza prove. Pertanto, otteniamo uno schema per trovare intervalli di aumento e diminuzione, che è per molti versi simile all'algoritmo per il calcolo dei punti estremi:

1. Rimuovere tutte le informazioni ridondanti. Sul grafico originale della derivata, siamo principalmente interessati agli zeri della funzione, quindi lasciamo solo loro.
2. Segna i segni della derivata negli intervalli tra gli zeri. Dove f'(x) ≥ 0, la funzione aumenta, e dove f'(x) ≤ 0, diminuisce. Se il problema ha restrizioni sulla variabile x, le contrassegniamo anche sul nuovo grafico.
3. Ora che conosciamo il comportamento della funzione e del vincolo, resta da calcolare il valore richiesto nel problema.

Un compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sul segmento [−3; 7.5]. Trova gli intervalli della funzione decrescente f(x). Nella tua risposta, scrivi la somma degli interi inclusi in questi intervalli.

Come al solito, ridisegniamo il grafico e segniamo i confini [−3; 7.5], nonché gli zeri della derivata x = −1.5 e x = 5.3. Quindi segniamo i segni della derivata. Abbiamo:

Poiché la derivata è negativa sull'intervallo (− 1,5), questo è l'intervallo della funzione decrescente. Resta da sommare tutti gli interi che si trovano all'interno di questo intervallo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Un compito. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sul segmento [−10; quattro]. Trova gli intervalli della funzione crescente f(x). Nella tua risposta, scrivi la lunghezza del più grande di essi.

Eliminiamo le informazioni ridondanti. Lasciamo solo i confini [−10; 4] e gli zeri della derivata, che questa volta si sono rivelati quattro: x = −8, x = −6, x = −3 e x = 2. Notare i segni della derivata e ottenere la seguente immagine:

Ci interessano gli intervalli di funzione crescente, cioè dove f'(x) ≥ 0. Ci sono due di questi intervalli sul grafico: (−8; −6) e (−3; 2). Calcoliamo le loro lunghezze:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

Poiché è necessario trovare la lunghezza del più grande degli intervalli, scriviamo il valore l 2 = 5 in risposta.

Sergei Nikiforov

Se la derivata di una funzione è di segno costante su un intervallo e la funzione stessa è continua sui suoi limiti, i punti di confine sono attaccati sia agli intervalli crescenti che decrescenti, il che corrisponde pienamente alla definizione di funzioni crescenti e decrescenti.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Ciao. Come (su quali basi) si può sostenere che nel punto in cui la derivata è uguale a zero, la funzione aumenta. Dare ragioni. Altrimenti, è solo un capriccio di qualcuno. Con quale teorema? E anche la prova. Grazie.

Supporto

Il valore della derivata in un punto non è direttamente correlato all'aumento della funzione sull'intervallo. Considera, ad esempio, le funzioni: tutte aumentano nell'intervallo

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Se una funzione è crescente sull'intervallo (a;b) ed è definita e continua nei punti aeb, allora è crescente sul segmento . Quelli. il punto x=2 è compreso nell'intervallo dato.

Sebbene, di regola, l'aumento e la diminuzione siano considerati non su un segmento, ma su un intervallo.

Ma proprio nel punto x=2, la funzione ha un minimo locale. E come spiegare ai bambini che quando cercano punti di aumento (diminuzione), allora non contiamo i punti di estremo locale, ma entrano negli intervalli di aumento (diminuzione).

Considerando che la prima parte dell'esame è per il "gruppo medio della scuola materna", tali sfumature sono probabilmente eccessive.

Separatamente, molte grazie per "Risolverò l'esame" a tutti i dipendenti: un'eccellente guida.

Sergei Nikiforov

Una semplice spiegazione può essere ottenuta partendo dalla definizione di una funzione crescente/decrescente. Lascia che ti ricordi che suona così: una funzione è chiamata crescente/decrescente sull'intervallo se l'argomento più grande della funzione corrisponde a un valore maggiore/minore della funzione. Tale definizione non utilizza in alcun modo il concetto di derivata, quindi non possono sorgere domande sui punti in cui la derivata svanisce.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Buon pomeriggio. Qui nei commenti vedo convinzioni che i confini dovrebbero essere inclusi. Diciamo che sono d'accordo con questo. Ma guarda, per favore, la tua soluzione al problema 7089. Lì, quando si specificano gli intervalli di aumento, i limiti non sono inclusi. E questo influisce sulla risposta. Quelli. le soluzioni dei compiti 6429 e 7089 si contraddicono a vicenda. Si prega di chiarire questa situazione.

Aleksandr Ivanov

Le attività 6429 e 7089 hanno domande completamente diverse.

In uno ci sono intervalli di aumento e nell'altro ci sono intervalli con una derivata positiva.

Non c'è contraddizione.

Gli estremi sono compresi negli intervalli di aumento e di diminuzione, ma i punti in cui la derivata è uguale a zero non entrano negli intervalli in cui la derivata è positiva.

AZ 28.01.2019 19:09

Colleghi, c'è un concetto di aumento a un certo punto

(vedi Fichtenholtz per esempio)

e la tua comprensione dell'aumento nel punto x=2 è contraria alla definizione classica.

Aumentare e diminuire è un processo e vorrei aderire a questo principio.

In ogni intervallo che contiene il punto x=2, la funzione non aumenta. Pertanto, l'inclusione del punto dato x=2 è un processo speciale.

Di solito, per evitare confusione, l'inclusione delle estremità degli intervalli si dice separatamente.

Aleksandr Ivanov

La funzione y=f(x) viene chiamata crescente su un intervallo se il valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde al valore maggiore della funzione.

Nel punto x = 2 la funzione è derivabile, e sull'intervallo (2; 6) la derivata è positiva, il che significa che sull'intervallo )