Proprietà dei logaritmi ed esempi delle loro soluzioni. Una guida esauriente (2020). Che cos'è un logaritmo Espansione in una serie di potenze
(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri b per ragione un(log α b) è chiamato tale numero c, e b= corrente alternata, cioè log α b=c e b=ac sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a > 0, a ≠ 1, b > 0.
In altre parole logaritmo numeri b per ragione un formulato come un esponente a cui un numero deve essere elevato un per ottenere il numero b(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).
Da questa formulazione segue che il calcolo x= log α b, equivale a risolvere l'equazione a x =b.
Per esempio:
log 2 8 = 3 perché 8=2 3 .
Notiamo che la formulazione indicata del logaritmo permette di determinare immediatamente valore del logaritmo quando il numero sotto il segno del logaritmo è una certa potenza della base. Infatti, la formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero b per ragione unè uguale a Insieme a. È anche chiaro che l'argomento del logaritmo è strettamente correlato all'argomento grado di numero.
Si fa riferimento al calcolo del logaritmo logaritmo. Il logaritmo è l'operazione matematica di prendere un logaritmo. Quando si prende un logaritmo, i prodotti dei fattori si trasformano in somme di termini.
Potenziamentoè l'operazione matematica inversa al logaritmo. Quando si potenzia, la base data viene elevata alla potenza dell'espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini si trasformano nel prodotto dei fattori.
Molto spesso vengono utilizzati logaritmi reali con base 2 (binaria), e numero di Eulero e ≈ 2.718 (logaritmo naturale) e 10 (decimale).
In questa fase, vale la pena considerare campioni di logaritmi registro 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
E le voci lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 non hanno senso, poiché nella prima di esse un numero negativo è posto sotto il segno del logaritmo, nella seconda - un numero negativo in la base, e nel terzo - e un numero negativo sotto il segno del logaritmo e dell'unità nella base.
Condizioni per la determinazione del logaritmo.
Vale la pena considerare separatamente le condizioni a > 0, a ≠ 1, b > 0. definizione di un logaritmo. Consideriamo perché queste restrizioni vengono prese. Questo ci aiuterà con un'uguaglianza della forma x = log α b, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione del logaritmo data sopra.
Prendi la condizione a≠1. Poiché uno è uguale a uno per qualsiasi potenza, allora l'uguaglianza x=log α b può esistere solo quando b=1, ma log 1 1 sarà qualsiasi numero reale. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo a≠1.
Proviamo la necessità della condizione a>0. In a=0 secondo la formulazione del logaritmo, può esistere solo quando b=0. E poi di conseguenza registro 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Per eliminare questa ambiguità, la condizione a≠0. E quando un<0 dovremmo rifiutare l'analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché l'esponente con esponente razionale e irrazionale è definito solo per basi non negative. È per questo motivo che la condizione a>0.
E l'ultima condizione b>0 deriva dalla disuguaglianza a>0, perché x=log α b, e il valore del grado con base positiva un sempre positivo.
Caratteristiche dei logaritmi.
Logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare notevolmente calcoli accurati. Nella transizione "al mondo dei logaritmi", la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più facile, la divisione in sottrazione e l'elevazione a potenza e la radice si trasformano rispettivamente in moltiplicazione e divisione per esponente.
La formulazione dei logaritmi e una tabella dei loro valori (per funzioni trigonometriche) fu pubblicato per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tabelle logaritmiche, ingrandite e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino a quando non iniziarono a essere utilizzate calcolatrici elettroniche e computer.
I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.
Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.
Addizioni e sottrazioni di logaritmi
Consideriamo due logaritmi con la stessa base: log un X e log un y. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:
- tronco d'albero un X+log un y= registro un (X · y);
- tronco d'albero un X-log un y= registro un (X : y).
Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!
Queste formule ti aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e guarda:
registro 6 4 + registro 6 9.
Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
ceppo 6 4 + ceppo 6 9 = ceppo 6 (4 9) = ceppo 6 36 = 2.
Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.
Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
ceppo 2 48 - ceppo 2 3 = ceppo 2 (48: 3) = ceppo 2 16 = 4.
Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.
Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
ceppo 3 135 − ceppo 3 5 = ceppo 3 (135: 5) = ceppo 3 27 = 3.
Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Sulla base di questo fatto, molti fogli di prova. Sì, controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.
Eliminando l'esponente dal logaritmo
Ora complichiamo un po' il compito. E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:
È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà notevolmente la quantità di calcoli.
Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: un > 0, un ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, ad es. puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.
Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .
Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12
Un compito. Trova il valore dell'espressione:
[Didascalia]
Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:
[Didascalia] Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".
Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.
Passaggio a una nuova fondazione
Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?
Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:
Lascia che il logaritmo loghi un X. Poi per qualsiasi numero c tale che c> 0 e c≠ 1, l'uguaglianza è vera:
[Didascalia]
In particolare, se mettiamo c = X, noi abbiamo:
[Didascalia]
Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.
Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo al momento della decisione equazioni logaritmiche e disuguaglianze.
Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:
Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.
Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ceppo 2 25 = ceppo 2 5 2 = 2 ceppo 2 5;
Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:
[Didascalia]Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.
Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.
La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:
[Didascalia]Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:
[Didascalia]Identità logaritmica di base
Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:
Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.
La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama identità logaritmica di base.
Infatti, cosa accadrà se il numero b elevare al potere in modo che b a questo punto dà un numero un? Esatto: questo è lo stesso numero un. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" ad esso.
Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.
Un compito. Trova il valore dell'espressione:
[Didascalia]
Nota che log 25 64 = log 5 8 - hai appena estratto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:
[Didascalia]Se qualcuno non è al corrente, questo è stato un vero compito dall'esame :)
Unità logaritmica e zero logaritmico
In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".
- tronco d'albero un un= 1 è l'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base un da questa stessa base è uguale a uno.
- tronco d'albero un 1 = 0 è zero logaritmico. Base un può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! perché un 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.
Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.
Intervallo accettabile (ODZ) del logaritmo
Parliamo ora delle restrizioni (ODZ - l'area dei valori ammissibili delle variabili).
Ricordiamo che, ad esempio, Radice quadrata non può essere estratto da numeri negativi; o se abbiamo una frazione, allora il denominatore non può essere uguale a zero. Esistono restrizioni simili per i logaritmi:
Cioè, sia l'argomento che la base devono essere maggiori di zero e la base non può essere uguale.
Perché?
Cominciamo dal semplice: diciamo così. Quindi, ad esempio, il numero non esiste, poiché indipendentemente dal grado in cui innalziamo, risulta sempre. Inoltre, non esiste per nessuno. Ma allo stesso tempo può essere uguale a qualsiasi cosa (per lo stesso motivo: è uguale a qualsiasi grado). Pertanto, l'oggetto non è di alcun interesse ed è stato semplicemente espulso dalla matematica.
Abbiamo un problema simile nel caso: in qualsiasi grado positivo - questo, ma non può essere elevato a una potenza negativa, poiché risulterà una divisione per zero (te lo ricordo).
Quando ci troviamo di fronte al problema dell'elevazione a potenza frazionaria (che è rappresentata come radice:. Ad esempio, (cioè), ma non esiste.
Pertanto, le ragioni negative sono più facili da buttare via che rovinarle.
Bene, poiché la base a è solo positiva per noi, non importa in quale grado la aumentiamo, otterremo sempre un numero rigorosamente positivo. Quindi l'argomento deve essere positivo. Ad esempio, non esiste, poiché non sarà in alcun modo un numero negativo (e anche zero, quindi non esiste nemmeno).
Nei problemi con i logaritmi, il primo passo è scrivere l'ODZ. Faccio un esempio:
Risolviamo l'equazione.
Ricordiamo la definizione: il logaritmo è la potenza a cui si deve elevare la base per ottenere un argomento. E per la condizione, questo grado è uguale a: .
Otteniamo la solita equazione quadratica: . Lo risolviamo usando il teorema di Vieta: la somma delle radici è uguale e il prodotto. Facile da raccogliere, questi sono numeri e.
Ma se prendi e scrivi immediatamente entrambi questi numeri nella risposta, puoi ottenere 0 punti per l'attività. Come mai? Pensiamo a cosa succede se sostituiamo queste radici nell'equazione iniziale?
Questo è chiaramente falso, poiché la base non può essere negativa, cioè la radice è "di terze parti".
Per evitare trucchi così spiacevoli, è necessario annotare l'ODZ anche prima di iniziare a risolvere l'equazione:
Quindi, dopo aver ricevuto le radici e, scartiamo immediatamente la radice e scriviamo la risposta corretta.
Esempio 1(prova a risolverlo da solo) :
Trova la radice dell'equazione. Se ci sono più radici, indica quella più piccola nella tua risposta.
Soluzione:
Prima di tutto, scriviamo l'ODZ:
Ora ricordiamo cos'è un logaritmo: a quale potenza è necessario aumentare la base per ottenere un argomento? Nel secondo. Questo è:
Sembrerebbe che la radice più piccola sia uguale. Ma non è così: secondo l'ODZ, il root è di terze parti, cioè non è affatto un root data equazione. Pertanto, l'equazione ha una sola radice: .
Risposta: .
Identità logaritmica di base
Ricordiamo la definizione di logaritmo in termini generali:
Sostituisci nella seconda uguaglianza al posto del logaritmo:
Questa uguaglianza è chiamata principale identità logaritmica . Sebbene in sostanza questa uguaglianza sia scritta in modo diverso definizione del logaritmo:
Questo è il potere a cui devi elevare per ottenere.
Per esempio:
Risolvi i seguenti esempi:
Esempio 2
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Richiama la regola dalla sezione: cioè quando si eleva un grado a una potenza, gli indicatori vengono moltiplicati. Applichiamolo:
Esempio 3
Prova che.
Soluzione:
Proprietà dei logaritmi
Sfortunatamente, i compiti non sono sempre così semplici: spesso devi prima semplificare l'espressione, portarla nella solita forma e solo allora sarà possibile calcolare il valore. È più facile farlo sapendo proprietà dei logaritmi. Quindi impariamo le proprietà di base dei logaritmi. Dimostrerò ciascuno di essi, perché qualsiasi regola è più facile da ricordare se sai da dove viene.
Tutte queste proprietà devono essere ricordate; senza di esse, la maggior parte dei problemi con i logaritmi non possono essere risolti.
E ora su tutte le proprietà dei logaritmi in modo più dettagliato.
Proprietà 1:
Prova:
Lascia, allora.
Abbiamo: , h.t.d.
Proprietà 2: Somma dei logaritmi
La somma dei logaritmi aventi la stessa base è uguale al logaritmo del prodotto: .
Prova:
Lascia, allora. Lascia, allora.
Esempio: Trova il valore dell'espressione: .
Soluzione: .
La formula che hai appena imparato aiuta a semplificare la somma dei logaritmi, non la differenza, quindi questi logaritmi non possono essere combinati subito. Ma puoi fare il contrario: "spezzare" il primo logaritmo in due: Ed ecco la semplificazione promessa:
.
Perché è necessario? Bene, per esempio: che importa?
Ora è ovvio che.
Adesso rendilo facile per te:
Compiti:
Risposte:
Proprietà 3: Differenza dei logaritmi:
Prova:
Tutto è esattamente come nel paragrafo 2:
Lascia, allora.
Lascia, allora. Abbiamo:
L'esempio dell'ultimo punto è ora ancora più semplice:
Esempio più complicato: . Indovina come decidere?
Qui va notato che non abbiamo una singola formula sui logaritmi al quadrato. Questo è qualcosa di simile a un'espressione: non può essere semplificato subito.
Pertanto, divaghiamo dalle formule sui logaritmi e pensiamo a quali formule generalmente utilizziamo più spesso in matematica? Fin dalla 7a elementare!
Esso - . Devi abituarti al fatto che sono ovunque! E nei problemi esponenziali, trigonometrici e irrazionali si trovano. Pertanto, devono essere ricordati.
Se guardi da vicino i primi due termini, diventa chiaro che lo è differenza di quadrati:
Risposta per verificare:
Semplifica te stesso.
Esempi
Risposte.
Proprietà 4: Derivazione dell'esponente dall'argomento del logaritmo:
Prova: E qui usiamo anche la definizione del logaritmo: sia, allora. Abbiamo: , h.t.d.
Puoi capire questa regola in questo modo:
Cioè, il grado dell'argomento è anticipato del logaritmo, come coefficiente.
Esempio: Trova il valore dell'espressione.
Soluzione: .
Decidi tu stesso:
Esempi:
Risposte:
Proprietà 5: Derivazione dell'esponente dalla base del logaritmo:
Prova: Lascia, allora.
Abbiamo: , h.t.d.
Ricorda: da motivi grado è reso come inversione numero, a differenza del caso precedente!
Proprietà 6: Derivazione dell'esponente dalla base e argomento del logaritmo:
Oppure se i gradi sono gli stessi: .
Proprietà 7: Transizione alla nuova base:
Prova: Lascia, allora.
Abbiamo: , h.t.d.
Proprietà 8: Scambio della base e dell'argomento del logaritmo:
Prova: esso caso speciale formula 7: sostituendo otteniamo: , p.t.d.
Diamo un'occhiata a qualche altro esempio.
Esempio 4
Trova il valore dell'espressione.
Usiamo la proprietà dei logaritmi n. 2 - la somma dei logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del prodotto:
Esempio 5
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Usiamo la proprietà dei logaritmi n. 3 e n. 4:
Esempio 6
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Usando la proprietà numero 7 - vai alla base 2:
Esempio 7
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
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All'esame di stato unificato e OGE e in generale nella vita
"Formule di moltiplicazione abbreviata" - Quando si moltiplicano due polinomi, ogni termine del primo polinomio viene moltiplicato per ogni termine del secondo polinomio e vengono aggiunti i prodotti. Formule di moltiplicazione abbreviate. Quando si aggiungono e sottraggono polinomi, vengono utilizzate le regole per l'apertura delle parentesi. I monomi sono prodotti di numeri, variabili e dei loro poteri naturali.
"Soluzione del sistema di equazioni" - Metodo grafico (algoritmo). Un'equazione è un'uguaglianza contenente una o più variabili. Equazione e sue proprietà. Metodo dei determinanti (algoritmo). Sistema di equazioni e sua soluzione. Soluzione del sistema per metodo di confronto. Equazione lineare con due variabili. Soluzione del sistema con il metodo dell'addizione.
"La soluzione dei sistemi di disuguaglianze" - Intervalli. Dettatura matematica. Esempi di sistemi risolutivi disuguaglianze lineari. Soluzione di sistemi di disuguaglianze. Per risolvere un sistema di disuguaglianze lineari, è sufficiente risolvere ciascuna delle disuguaglianze in esso incluse e trovare l'intersezione degli insiemi delle loro soluzioni. Annota le disuguaglianze i cui insiemi di soluzioni sono intervalli.
"Diseguaglianze indicative" - Il segno della disuguaglianza. Risolvi la disuguaglianza. Soluzione delle disuguaglianze esponenziali più semplici. Soluzione delle disuguaglianze esponenziali. Cosa dovrebbe essere preso in considerazione quando si risolvono le disuguaglianze esponenziali? Soluzione delle disuguaglianze esponenziali più semplici. Una disuguaglianza contenente un'incognita nell'esponente è chiamata disuguaglianza esponenziale.
"Relazioni di numeri" - Che cos'è una proporzione? Quali sono i nomi dei numeri m e n nella proporzione a: m = n: c? Il quoziente di due numeri è detto rapporto tra i due numeri. Lan di marketing Nella giusta proporzione, il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi e viceversa. Che cos'è un atteggiamento? Proporzioni. Il rapporto può essere espresso in percentuale.
"Il discriminante di un'equazione quadratica" - Teorema di Vieta. Equazioni quadratiche. Discriminante. Quali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche incomplete? Quante radici ha un'equazione se il suo discriminante è zero? Soluzione di incompleto equazioni quadratiche. Quante radici ha un'equazione se il suo discriminante è un numero negativo?
In totale ci sono 14 presentazioni nell'argomento
Vengono fornite le principali proprietà del logaritmo, il grafico del logaritmo, il dominio di definizione, l'insieme dei valori, le formule di base, l'incremento e il decremento. Viene considerata la derivata del logaritmo. Oltre all'integrale, espansione e rappresentazione di serie di potenze per mezzo di numeri complessi.
ContenutoDominio, insieme di valori, ascendente, discendente
Il logaritmo è una funzione monotona, quindi non ha estremi. Le principali proprietà del logaritmo sono presentate nella tabella.
| Dominio | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Intervallo di valori | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotono | aumenta in modo monotono | diminuisce in modo monotono |
| Zero, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| Punti di intersezione con l'asse y, x = 0 | No | No |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Valori privati
Viene chiamato il logaritmo in base 10 logaritmo decimale ed è contrassegnato in questo modo:
logaritmo di base e chiamato logaritmo naturale:
Formule logaritmiche di base
Proprietà del logaritmo che seguono dalla definizione della funzione inversa:
La proprietà principale dei logaritmi e le sue conseguenze
Formula sostitutiva della base
Il logaritmo è l'operazione matematica di prendere un logaritmo. Quando si prende un logaritmo, i prodotti dei fattori vengono convertiti in somme di termini.
Il potenziamento è l'operazione matematica inversa al logaritmo. Quando si potenzia, la base data viene elevata alla potenza dell'espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini vengono convertite in prodotti di fattori.
Dimostrazione delle formule di base per i logaritmi
Le formule relative ai logaritmi derivano dalle formule per le funzioni esponenziali e dalla definizione di una funzione inversa.
Considera la proprietà della funzione esponenziale
.
Quindi
.
Applicare la proprietà della funzione esponenziale
:
.
Dimostriamo la formula del cambio di base.
;
.
Ponendo c = b , abbiamo:
Funzione inversa
Il reciproco della base è un logaritmo funzione esponenziale con esponente a.
Se poi
Se poi
Derivata del logaritmo
Derivata del logaritmo modulo x :
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione di formule > > >
Per trovare la derivata di un logaritmo bisogna ridurlo alla base e.
;
.
Integrante
L'integrale del logaritmo si calcola integrando per parti: .
Così,
Espressioni in termini di numeri complessi
Considera la funzione dei numeri complessi z:
.
Esprimiamo un numero complesso z tramite modulo r e argomento φ
:
.
Quindi, usando le proprietà del logaritmo, abbiamo:
.
O
Tuttavia, l'argomento φ
non chiaramente definito. Se mettiamo
, dove n è un numero intero,
quindi sarà lo stesso numero per diverso n.
Pertanto, il logaritmo, in quanto funzione di una variabile complessa, non è una funzione a valore singolo.
Espansione della serie di potenze
Per , l'espansione avviene:
Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.