Cibo e bevande
Calcola la superficie della linea formata dalla rotazione. Trovare la superficie dei corpi di rivoluzione. Calcolo dell'area di una superficie di rivoluzione data in coordinate polari

Calcola la superficie della linea formata dalla rotazione. Trovare la superficie dei corpi di rivoluzione. Calcolo dell'area di una superficie di rivoluzione data in coordinate polari

Sia dato un corpo nello spazio. Le sue sezioni siano costruite da piani perpendicolari all'asse passante per i punti x
su di lei. L'area della figura formata nella sezione dipende dal punto X, che definisce il piano di sezione. Che questa dipendenza sia nota e sia data in modo continuo funzione. Quindi il volume della parte del corpo situata tra i piani x=a e x=v calcolato dalla formula

Esempio. Troviamo il volume di un corpo limitato racchiuso tra la superficie di un cilindro di raggio :, un piano orizzontale ed un piano inclinato z=2y e giacente al di sopra del piano orizzontale.

Ovviamente il corpo in esame è proiettato sull'asse del segmento
, e per x
la sezione trasversale del corpo è triangolo rettangolo con gambe y e z=2y, dove y può essere espresso in termini di x dall'equazione del cilindro:

Pertanto, l'area della sezione trasversale S(x) è:

Applicando la formula, troviamo il volume del corpo:

Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione

Lascia il segmento[ un, b] è una funzione continua di segno costante y= f(X). Volumi di un corpo di rivoluzione formato dalla rotazione attorno ad un asse Oh(o assi UO) trapezio curvilineo delimitato da una curva y= f(X) (f(X) 0) e diretto y=0, x=a, x=b, sono calcolati secondo le formule:

, ( 19)

(20)

Se un corpo è formato dalla rotazione attorno ad un asse UO trapezio curvilineo delimitato da una curva
e diretto X=0, y= c, y= d, allora il volume del corpo di rivoluzione è uguale a

. (21)

Esempio. Calcola il volume di un corpo ottenuto ruotando una figura delimitata da linee attorno ad un asse Oh.

Secondo la formula (19), il volume desiderato

Esempio. Si consideri la retta y=cosx nel piano xOy del segmento .

e quella linea ruota nello spazio attorno all'asse e la superficie di rivoluzione risultante limita un certo corpo di rivoluzione (vedi Fig.). Trova il volume di questo corpo di rivoluzione.

Secondo la formula, otteniamo:

Superficie di rotazione

,
, ruota attorno all'asse Ox, quindi l'area della superficie di rotazione viene calcolata dalla formula
, dove un e b- ascisse di inizio e fine arco.

Se l'arco della curva dato da una funzione non negativa
,
, ruota attorno all'asse Oy, quindi l'area della superficie di rotazione viene calcolata dalla formula

dove c e d sono le ascisse dell'inizio e della fine dell'arco.

Se è dato l'arco della curva equazioni parametriche
,
, e
, poi

Se l'arco è impostato su coordinate polari
, poi

Esempio. Calcola l'area della superficie formata dalla rotazione nello spazio attorno all'asse della parte della retta y= situato sopra la linea di demarcazione.

Perché
, allora la formula ci dà l'integrale

Facciamo la modifica t=x+(1/2) nell'ultimo integrale e otteniamo:

Nel primo degli integrali di destra facciamo la modifica z=t 2 -:

Per calcolare il secondo degli integrali a destra, lo indichiamo e lo integriamo per parti, ottenendo un'equazione per:

Spostandoci sul lato sinistro e dividendo per 2, otteniamo

dove, infine,

Applicazioni dell'integrale definito alla soluzione di alcuni problemi di meccanica e fisica

Lavoro a forza variabile. Considera il movimento di un punto materiale lungo l'asse BUE sotto l'azione di una forza variabile f, a seconda della posizione del punto X sull'asse, cioè una forza che è una funzione X. Allora lavora UN, necessario per spostare un punto materiale da una posizione X = un in posizione X = b calcolato con la formula:

Calcolare forze di pressione del liquido usa la legge di Pascal, secondo la quale la pressione di un liquido su una piattaforma è uguale alla sua area S moltiplicato per la profondità di immersione h, sulla densità ρ e l'accelerazione di gravità g, cioè.

1. Momenti e centri di massa delle curve piane. Se l'arco della curva è dato dall'equazione y=f(x), a≤x≤b, e ha una densità
, poi momenti statici di questo arco, M x e M y rispetto agli assi coordinati Ox e Oy sono

;

momenti di inerzia I X e I y relativi agli stessi assi Ox e Oy sono calcolati dalle formule

un coordinate del centro di massa e - per formule

dove l è la massa dell'arco, cioè

Esempio 1. Trova i momenti statici e i momenti di inerzia attorno agli assi Ox e Oy dell'arco catenario y=chx per 0≤x≤1.

Se la densità non è specificata, si presume che la curva sia uniforme e
. Abbiamo: Pertanto,

Esempio 2 Trova le coordinate del centro di massa dell'arco di circonferenza x=acost, y=asint situato nel primo quadrante. Abbiamo:

Da qui otteniamo:

Nelle applicazioni, è spesso utile quanto segue. Teorema fiorino. L'area della superficie formata dalla rotazione di un arco di una curva piana attorno ad un asse che giace nel piano dell'arco e non lo interseca è uguale al prodotto della lunghezza dell'arco per la lunghezza del cerchio descritto dal suo centro di Massa.

Esempio 3 Trova le coordinate del centro di massa del semicerchio

A causa della simmetria
. Quando un semicerchio ruota attorno all'asse Ox, si ottiene una sfera la cui superficie è uguale e la lunghezza del semicerchio è uguale a pa. Per il teorema di Gulden abbiamo 4

Da qui
, cioè. il centro di massa C ha coordinate C
.

2. Compiti fisici. Alcune applicazioni dell'integrale definito nella risoluzione di problemi fisici sono illustrate di seguito negli esempi.

Esempio 4 Velocità moto rettilineo body è espresso dalla formula (m/s). Trova il percorso percorso dal corpo in 5 secondi dall'inizio del movimento.

Perché percorso intrapreso dal corpo con la velocità v(t) per l'intervallo di tempo , è espressa dall'integrale

Poi abbiamo:

P
esempio. Troviamo l'area dell'area limitata compresa tra l'asse e la retta y=x 3 -x. Perché il

la linea attraversa l'asse in tre punti: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

L'area limitata tra la linea e l'asse viene proiettata su un segmento
,e sul segmento
,linea y=x 3 -x va al di sopra dell'asse (cioè linea y=0 e avanti - sotto. Pertanto, l'area della regione può essere calcolata come segue:

P
esempio. Trova l'area della regione racchiusa tra il primo e il secondo giro della spirale di Archimede r=a (a>0) e un segmento dell'asse orizzontale
.

Il primo giro della spirale corrisponde a una variazione dell'angolo nell'intervallo da 0 a, e il secondo - da a. Per portare un cambio di argomento su uno spazio vuoto, scriviamo l'equazione del secondo giro della spirale nella forma
,

. Quindi l'area può essere trovata dalla formula, mettendo
e
:

P esempio. Troviamo il volume del corpo delimitato dalla superficie di rotazione della retta y=4x-x 2 attorno all'asse (con
).

Per calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, applichiamo la formula

P esempio. Calcola la lunghezza dell'arco della retta y=lncosx situata tra le rette e
.

(abbiamo preso come valore di root , e non -cosx, poiché cosx > 0 at
, la lunghezza dell'arco è

Risposta:
.

Esempio. Calcolare l'area Q della superficie di rivoluzione ottenuta ruotando l'arco della cicloide x=t-sint ; y=1-costo, con

, attorno all'asse.

D Per calcolare, applichiamo la formula:

Abbiamo:

, Così

Per passare sotto il segno di integrale ad una variabile, notiamo che quando

noi abbiamo

, così come

Inoltre, precalcoliamo

(Così
) e

Noi abbiamo:

Effettuando la sostituzione si arriva all'integrale

5. Trovare la superficie dei corpi di rivoluzione

Sia la curva AB il grafico della funzione y = f(x) ≥ 0, dove x [a; b] e la funzione y \u003d f (x) e la sua derivata y "\u003d f" (x) sono continue su questo segmento.

Troviamo l'area S della superficie formata dalla rotazione della curva AB attorno all'asse Ox (Fig. 8).

Applichiamo lo schema II (metodo differenziale).

Attraverso un punto arbitrario x [a; b] tracciamo un piano P, perpendicolare all'asse Ox. Il piano P interseca la superficie di rivoluzione lungo una circonferenza di raggio y - f(x). Il valore S della superficie della parte della figura di rivoluzione giacente a sinistra del piano è funzione di x, cioè s = s(x) (s(a) = 0 e s(b) = S).

Diamo all'argomento x un incremento Δх = dх. Per il punto x + dx [a; b] traccia anche un piano perpendicolare all'asse x. La funzione s = s(x) riceverà un incremento di Δs, mostrato in figura come una "cintura".

Troviamo il differenziale dell'area ds, sostituendo la figura formata tra le sezioni da un tronco di cono, la cui generatrice è uguale a dl, ed i raggi delle basi sono uguali a yey + dy. La sua superficie laterale è: = 2ydl + dydl.

Scartando il prodotto dу d1 come infinitesimo ordine superiore di ds, otteniamo ds = 2уdl, o, poiché d1 = dx.

Integrando l'uguaglianza risultante nell'intervallo da x = a a x = b, otteniamo

Se la curva AB è data dalle equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, allora la formula per l'area della superficie di rivoluzione diventa

S=2 dt.

Esempio: trova l'area della superficie di una sfera di raggio R.

S=2 =

6. Trovare il lavoro di una forza variabile

Lavoro a forza variabile

Lascia che il punto materiale M si muova lungo l'asse Ox sotto l'azione di una forza variabile F = F(x) diretta parallelamente a questo asse. Il lavoro svolto dalla forza quando si sposta il punto M dalla posizione x = a alla posizione x = b (a

Che lavoro si deve fare per allungare la molla di 0,05 m se una forza di 100 N allunga la molla di 0,01 m?

Secondo la legge di Hooke, la forza elastica che allunga la molla è proporzionale a questo allungamento x, cioè F = kx, dove k è il coefficiente di proporzionalità. A seconda della condizione del problema, la forza F = 100 N allunga la molla di x = 0,01 m; quindi, 100 = k 0,01, da cui k = 10000; quindi, F = 10000x.

Il lavoro desiderato in base alla formula

Trovare il lavoro che deve essere impiegato per pompare liquido oltre il bordo da un serbatoio cilindrico verticale di altezza H me raggio di base R m (Fig. 13).

Il lavoro impiegato per sollevare un corpo di peso p ad un'altezza h è uguale a p H. Ma i diversi strati del liquido nel serbatoio si trovano a diverse profondità e all'altezza della salita (fino al bordo del serbatoio) del diversi strati non è la stessa cosa.

Per risolvere il problema, applichiamo lo schema II (metodo differenziale). Introduciamo un sistema di coordinate.

1) Il lavoro impiegato per pompare fuori dal serbatoio uno strato di liquido di spessore x (0 ≤ x ≤ H) è funzione di x, cioè A \u003d A (x), dove (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Troviamo la parte principale dell'incremento ΔA quando x cambia di Δx = dx, cioè troviamo il differenziale dA della funzione A(x).

Data la piccolezza di dx, assumiamo che lo strato liquido "elementare" sia alla stessa profondità x (dal bordo del giacimento). Allora dА = dрх, dove dр è il peso di questo strato; è uguale a g AV, dove g è l'accelerazione di gravità, è la densità del liquido, dv è il volume dello strato liquido “elementare” (è evidenziato in figura), cioè dott = g. Il volume di questo strato liquido è ovviamente uguale a , dove dx è l'altezza del cilindro (strato), è l'area della sua base, cioè dv = .

Quindi, dr = . e

3) Integrando l'uguaglianza risultante nell'intervallo da x \u003d 0 a x \u003d H, troviamo

8. Calcolo degli integrali utilizzando il pacchetto MathCAD

Quando si risolvono alcuni problemi applicati, è necessario utilizzare l'operazione di integrazione simbolica. In questo caso il programma MathCad può essere utile sia nella fase iniziale (è bene conoscere la risposta in anticipo o sapere che esiste) sia nella fase finale (è bene verificare il risultato ottenuto utilizzando la risposta di un altro fonte o la soluzione di un'altra persona).

Quando si risolvono un gran numero di problemi, è possibile notare alcune caratteristiche della risoluzione dei problemi utilizzando il programma MathCad. Proviamo a capire con alcuni esempi come funziona questo programma, analizziamo le soluzioni ottenute con il suo aiuto e confrontiamo queste soluzioni con le soluzioni ottenute in altri modi.

I problemi principali quando si utilizza il programma MathCad sono i seguenti:

a) il programma fornisce la risposta non sotto forma di funzioni elementari familiari, ma sotto forma di funzioni speciali lontane dall'essere note a tutti;

b) in alcuni casi "rifiuta" di dare una risposta, sebbene il problema abbia una soluzione;

c) a volte è impossibile utilizzare il risultato ottenuto a causa del suo ingombro;

d) risolve il problema in modo incompleto e non analizza la soluzione.

Per risolvere questi problemi, è necessario utilizzare i punti di forza e di debolezza del programma.

Con il suo aiuto, è facile e semplice calcolare integrali di funzioni razionali frazionarie. Pertanto, si consiglia di utilizzare il metodo di sostituzione delle variabili, ovvero pre-preparare l'integrale per la soluzione. A tal fine possono essere utilizzate le sostituzioni sopra discusse. Va inoltre tenuto presente che i risultati ottenuti devono essere esaminati per la coincidenza dei domini di definizione della funzione originaria e del risultato ottenuto. Inoltre, alcune delle soluzioni ottenute richiedono ulteriori ricerche.

Il programma MathCad libera lo studente o il ricercatore dal lavoro di routine, ma non può liberarlo da analisi aggiuntive sia quando si imposta un problema che quando si ottengono risultati.

In questo lavoro sono state considerate le principali disposizioni relative allo studio delle applicazioni di un integrale definito nel corso di matematica.

– è stata effettuata un'analisi delle basi teoriche per la risoluzione degli integrali;

- il materiale è stato oggetto di sistematizzazione e generalizzazione.

Durante il lavoro del corso sono stati considerati esempi di problemi pratici nel campo della fisica, della geometria, della meccanica.

Conclusione

Gli esempi di problemi pratici sopra considerati ci danno un'idea chiara del significato di un certo integrale per la loro risolvibilità.

È difficile nominare un'area scientifica in cui i metodi del calcolo integrale, in generale, e le proprietà di un integrale definito, in particolare, non sarebbero applicati. Quindi, nel processo di svolgimento del lavoro del corso, abbiamo considerato esempi di problemi pratici nel campo della fisica, della geometria, della meccanica, della biologia e dell'economia. Naturalmente, questo non è affatto un elenco esaustivo di scienze che utilizzano il metodo integrale per trovare un valore stabilito quando risolvono un problema specifico e per stabilire fatti teorici.

Inoltre, l'integrale definito viene utilizzato per studiare la matematica stessa. Ad esempio, quando si risolvono equazioni differenziali, che a loro volta danno un contributo indispensabile alla risoluzione di problemi pratici. Possiamo dire che l'integrale definito è una sorta di fondamento per lo studio della matematica. Da qui l'importanza di saperli risolvere.

Da tutto quanto sopra, è chiaro perché la conoscenza di un integrale definito avvenga anche nell'ambito di una scuola di istruzione secondaria generale, dove gli studenti studiano non solo il concetto di integrale e le sue proprietà, ma anche alcune delle sue applicazioni.

Letteratura

1. Volkov E.A. Metodi numerici. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Calcolo differenziale e integrale. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matematica Superiore. M., Scuola superiore, 1990.

Pertanto, passerò subito ai concetti di base e agli esempi pratici.

Diamo un'occhiata a una semplice immagine

E ricorda: cosa può essere calcolato usando integrale definito?

Prima di tutto, ovviamente, area di un trapezio curvo. Conosciuto fin dai tempi della scuola.

Se questa figura ruota attorno all'asse delle coordinate, stiamo già parlando di trovare corpo di rivoluzione. È anche semplice.

Cos'altro? Recentemente recensito problema della lunghezza dell'arco .

E oggi impareremo come calcolare un'altra caratteristica: un'altra area. Immagina quella linea gira attorno all'asse. Come risultato di questa azione si ottiene una figura geometrica, chiamata superficie di rivoluzione. In questo caso, assomiglia a una tale pentola senza fondo. E senza copertura. Come direbbe l'asino Eeyore, uno spettacolo straziante =)

Per eliminare interpretazioni ambigue, farò una precisazione noiosa ma importante:

da un punto di vista geometrico, il nostro "pentola" ha infinitamente sottile muro e Due superfici con la stessa area - esterna e interna. Quindi, tutti gli ulteriori calcoli implicano l'area solo la superficie esterna.

In un sistema di coordinate rettangolare, l'area della superficie di rotazione viene calcolata dalla formula:

oppure, in modo più compatto: .

Alla funzione e alla sua derivata sono imposti gli stessi requisiti di quando si trova lunghezza dell'arco di curva, ma, in aggiunta, la curva deve essere localizzata sopra assi. Questo è significativo! È facile capire che se la linea si trova sotto asse, allora l'integrando sarà negativo: , e quindi si dovrà aggiungere un segno meno alla formula per preservare il significato geometrico del problema.

Consideriamo una figura immeritatamente trascurata:

Area della superficie di un toro

In poche parole, tor è una ciambella. Un esempio da manuale, considerato in quasi tutti i libri di testo matan, è dedicato alla ricerca volume torus, e quindi, per motivi di varietà, analizzerò il problema più raro di la sua superficie. Prima con valori numerici specifici:

Esempio 1

Calcola la superficie di un toro ottenuto ruotando un cerchio attorno all'asse.

Soluzione: come fai a sapere l'equazione imposta cerchio raggio unitario centrato a . Questo rende facile ottenere due funzioni:

– imposta il semicerchio superiore;
– imposta il semicerchio inferiore:

L'essenza è cristallina: cerchio ruota attorno all'asse x e forma superficie ciambella. L'unica cosa qui, per evitare riserve grossolane, è fare attenzione nella terminologia: se si ruota un cerchio, delimitato da un cerchio , quindi ottieni un geometrico corpo, cioè il bagel stesso. E ora parla di piazzarlo superfici, che ovviamente va calcolato come somma delle aree:

1) Trova la superficie, che si ottiene ruotando l'arco "blu". intorno all'asse x. Usiamo la formula . Come ho ripetutamente consigliato, è più conveniente eseguire azioni per fasi:

Prendiamo una funzione e trovalo derivato:

E infine, carichiamo il risultato nella formula:

Si noti che in questo caso si è rivelato più razionale doppio dell'integrale di una funzione pari nel corso della soluzione, piuttosto che discutere preliminarmente della simmetria della figura rispetto all'asse y.

2) Trova la superficie, che si ottiene ruotando l'arco "rosso". intorno all'asse x. Tutte le azioni differiranno infatti per un solo segno. Progetterò la soluzione in uno stile diverso, che, ovviamente, ha anche diritto alla vita:

3) Quindi, la superficie del toro:

Risposta:

Il problema potrebbe essere risolto in modo generale: calcolare l'area della superficie del toro ottenuta ruotando il cerchio attorno all'asse delle ascisse e ottenere la risposta . Tuttavia, per chiarezza e maggiore semplicità, ho eseguito la soluzione su numeri specifici.

Se hai bisogno di calcolare il volume della ciambella stessa, fai riferimento al tutorial come riferimento rapido:

Secondo l'osservazione teorica, consideriamo il semicerchio superiore. Viene "disegnato" quando si cambia il valore del parametro all'interno (è facile vederlo in questo intervallo), quindi:

Risposta:

Se risolviamo il problema in termini generali, otteniamo esattamente la formula scolastica per l'area di una sfera, dove è il suo raggio.

Qualcosa di dolorosamente semplice problema, si vergognava persino .... Ti suggerisco di correggere questo bug =)

Esempio 4

Calcolare la superficie ottenuta ruotando il primo arco della cicloide attorno all'asse.

Il compito è creativo. Prova a dedurre o intuire la formula per il calcolo della superficie ottenuta ruotando una curva attorno all'asse y. E, naturalmente, va notato ancora il vantaggio delle equazioni parametriche: non hanno bisogno di essere modificate in qualche modo; non c'è bisogno di preoccuparsi di trovare altri limiti di integrazione.

Il grafico cicloide può essere visualizzato nella pagina Area e volume se la linea è impostata parametricamente. La superficie di rotazione assomiglierà ... non so nemmeno con cosa confrontarla ... qualcosa di ultraterreno - arrotondato con una depressione appuntita nel mezzo. Qui, per il caso della rotazione della cicloide attorno all'asse, mi è venuta subito in mente l'associazione: un pallone da rugby oblungo.

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

Concludiamo la nostra affascinante recensione con un caso coordinate polari. Sì, è una recensione, se guardi nei libri di testo sull'analisi matematica (di Fikhtengolts, Bohan, Piskunov e altri autori), puoi ottenere una buona dozzina (o anche notevolmente di più) esempi standard, tra i quali è del tutto possibile che tu troverà il problema di cui hai bisogno.

Come calcolare la superficie di rivoluzione,
se la linea è data nel sistema di coordinate polari?

Se la curva è impostata su coordinate polari equazione , e la funzione ha una derivata continua su un dato intervallo, quindi l'area della superficie ottenuta ruotando questa curva attorno all'asse polare viene calcolata dalla formula , dove sono i valori angolari corrispondenti alle estremità della curva.

In accordo con il significato geometrico del problema, l'integrando , e ciò si ottiene solo se ( e sono noti per essere non negativi). Pertanto, è necessario considerare i valori dell'angolo dall'intervallo , in altre parole, dovrebbe essere posizionata la curva sopra asse polare e sue estensioni. Come puoi vedere, la stessa storia dei due paragrafi precedenti.

Esempio 5

Calcola l'area della superficie formata dalla rotazione del cardioide attorno all'asse polare.

Soluzione: il grafico di questa curva è visibile nell'Esempio 6 della lezione about sistema di coordinate polari. Il cardioide è simmetrico rispetto all'asse polare, quindi consideriamo la sua metà superiore sul gap (che, in effetti, è anche dovuto alla osservazione di cui sopra).

La superficie di rotazione assomiglierà a un bullseye.

La tecnica risolutiva è standard. Troviamo la derivata rispetto a "phi":

Componi e semplifica la radice:

Spero con i soprannumerari

Saluti, cari studenti dell'Università di Argemony!

Oggi continueremo a studiare la materializzazione degli oggetti. L'ultima volta abbiamo ruotato figure piatte e ottenuto corpi tridimensionali. Alcuni di loro sono molto allettanti e utili. Penso che tanto che il mago inventa possa essere utilizzato in futuro.

Oggi ruoteremo le curve. È chiaro che in questo modo possiamo ottenere un qualche tipo di oggetto con bordi molto sottili (un cono o una bottiglia per pozioni, un vaso per fiori, un bicchiere per bevande, ecc.), perché una curva rotante può creare proprio tali oggetti . In altre parole, ruotando la curva, possiamo ottenere una sorta di superficie, chiusa su tutti i lati o meno. Perché in questo momento mi sono ricordato della tazza bucata da cui Sir Shurf Lonley-Lockley beveva tutto il tempo.

Quindi creeremo una ciotola che perde e una non perforata e calcoleremo l'area della superficie creata. Penso che per qualche motivo (in generale, la superficie) sarà necessario - beh, almeno per applicare una speciale vernice magica. E d'altra parte, le aree degli artefatti magici potrebbero essere necessarie per calcolare le forze magiche applicate ad essi o qualcos'altro. Impareremo come trovarlo e troveremo dove applicarlo.

Quindi, un pezzo di parabola può darci la forma di una ciotola. Prendiamo il più semplice y=x 2 sull'intervallo. Si può notare che quando ruota attorno all'asse OY si ottiene solo una ciotola. Nessun fondo.

L'incantesimo per calcolare la superficie di rotazione è il seguente:

Qui |y| è la distanza dall'asse di rotazione a qualsiasi punto della curva che sta ruotando. Come sai, la distanza è una perpendicolare.
Un po' più difficile con il secondo elemento dell'incantesimo: ds è l'arco differenziale. Queste parole non ci danno nulla, quindi non ci preoccupiamoci, ma passiamo al linguaggio delle formule, dove questo differenziale è presentato esplicitamente per tutti i casi a noi noti:
- Sistema di coordinate cartesiano;
- registrazioni della curva in forma parametrica;
- sistema di coordinate polari.

Nel nostro caso, la distanza dall'asse di rotazione a qualsiasi punto della curva è x. Consideriamo la superficie della ciotola bucata risultante:

Per fare una ciotola con un fondo, devi prendere un altro pezzo, ma con una curva diversa: sull'intervallo, questa è la linea y=1.

È chiaro che quando ruota attorno all'asse OY, il fondo della vasca sarà ottenuto sotto forma di un cerchio di raggio unitario. E sappiamo come viene calcolata l'area di un cerchio (secondo la formula pi * r ^ 2. Nel nostro caso, l'area del cerchio sarà uguale a pi), ma lo calcoleremo utilizzando una nuova formula - per la verifica.
Anche la distanza dall'asse di rotazione a qualsiasi punto di questo pezzo della curva è x.

Bene, i nostri calcoli sono corretti, il che fa piacere.

E adesso compiti a casa.

1. Trovare l'area della superficie ottenuta ruotando la polilinea ABC, dove A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), attorno all'asse OX.
Consiglio. Registra tutti i segmenti in forma parametrica.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
A proposito, che aspetto ha l'oggetto risultante?

2. Bene, ora inventa qualcosa da solo. Tre elementi, credo, siano sufficienti.

Esempio: Trova il volume di una sfera di raggio R.

Nelle sezioni trasversali della palla si ottengono cerchi di raggio variabile y. A seconda della coordinata x corrente, questo raggio è espresso dalla formula .

Allora la funzione dell'area della sezione trasversale ha la forma: Q(x) = .

Otteniamo il volume della palla:

Esempio: Trova il volume di una piramide arbitraria con altezza H e area di base S.

Quando si attraversa la piramide con piani perpendicolari all'altezza, in sezione otteniamo figure simili alla base. Il coefficiente di somiglianza di queste figure è uguale al rapporto x/H , dove x è la distanza dal piano di sezione alla sommità della piramide.

È noto dalla geometria che il rapporto tra le aree di figure simili è uguale al coefficiente di somiglianza al quadrato, cioè

Da qui otteniamo la funzione delle aree della sezione trasversale:

Trovare il volume della piramide:

Il volume dei corpi di rivoluzione.

Considera la curva data dall'equazione y=f(x ). Supponiamo che la funzione f(x ) è continua sull'intervallo [ un, b ]. Se il corrispondente trapezio curvilineo con basi a e b ruota attorno all'asse x, quindi otteniamo il cosiddetto corpo di rivoluzione.

y=f(x)

Area della superficie di un corpo di rivoluzione.

M io B

Definizione: Superficie di rotazione la curva AB attorno ad un dato asse è detta limite a cui tendono le aree delle superfici di rivoluzione delle linee spezzate inscritte nella curva AB, quando la maggiore delle lunghezze dei collegamenti di queste linee spezzate tende a zero.