Esempi di soluzioni di equazioni trigonometriche complesse. Protezione delle informazioni personali. Risoluzione di equazioni trigonometriche

Puoi ordinare una soluzione dettagliata al tuo problema !!!

Un'uguaglianza contenente un'incognita sotto il segno di una funzione trigonometrica (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.

Le equazioni più semplici sono `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dove `x` è l'angolo da trovare, `a` è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule radice per ciascuno di essi.

1. Equazione `sin x=a`.

Per `|a|>1` non ha soluzioni.

Con `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula radice: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equazione `cos x=a`

Per `|a|>1` - come nel caso del seno, non ci sono soluzioni tra i numeri reali.

Con `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula radice: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casi speciali per seno e coseno nei grafici.

3. Equazione `tg x=a`

Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.

Formula radice: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equazione `ctg x=a`

Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.

Formula radice: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule per le radici delle equazioni trigonometriche nella tabella

Per seno:
Per coseno:
Per tangente e cotangente:
Formule per la risoluzione di equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche

La soluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:

• usando per convertirlo nel più semplice;
• risolvere la semplice equazione risultante usando le formule precedenti per le radici e le tabelle.

Consideriamo i principali metodi di soluzione usando esempi.

metodo algebrico.

In questo metodo viene eseguita la sostituzione di una variabile e la sua sostituzione in uguaglianza.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

fare una sostituzione: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, quindi `2y^2-3y+1=0`,

troviamo le radici: `y_1=1, y_2=1/2`, da cui seguono due casi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Risposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fattorizzazione.

Esempio. Risolvi l'equazione: `sin x+cos x=1`.

Soluzione. Sposta a sinistra tutti i termini di uguaglianza: `sin x+cos x-1=0`. Usando , trasformiamo e fattorizziamo il lato sinistro:

`peccato x - 2peccato^2 x/2=0`,

`2peccato x/2 cos x/2-2peccato^2 x/2=0`,

`2peccato x/2 (cos x/2-peccato x/2)=0`,

1. `peccato x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Risposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Riduzione ad un'equazione omogenea

Innanzitutto, devi portare questa equazione trigonometrica in una delle due forme seguenti:

`a sin x+b cos x=0` (equazione omogenea di primo grado) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equazione omogenea di secondo grado).

Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ne 0` per il primo caso e per `cos^2 x \ne 0` per il secondo. Otteniamo le equazioni per `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, che devono essere risolte usando metodi noti.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluzione. Scriviamo il lato destro come `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+peccato x cos x — cos^2 x=` `peccato^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+peccato x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`peccato^2 x+peccato x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividendo le sue parti sinistra e destra per `cos^2 x \ne 0`, otteniamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduciamo la sostituzione `tg x=t`, come risultato `t^2 + t - 2=0`. Le radici di questa equazione sono `t_1=-2` e `t_2=1`. Quindi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Risposta. `x_1=arco (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Vai a Mezzo angolo

Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluzione. Applicando le formule del doppio angolo, il risultato è: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Applicando il metodo algebrico sopra descritto, otteniamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arco 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduzione di un angolo ausiliario

Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x =c`, dove a,b,c sono coefficienti e x è una variabile, dividiamo entrambe le parti per `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, cioè la somma dei loro quadrati è 1 e il loro modulo è al massimo 1. Indichiamoli come segue: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , poi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Diamo un'occhiata più da vicino al seguente esempio:

Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluzione. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per `sqrt (3^2+4^2)`, otteniamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Denota `3/5 = cos \varphi` , `4/5=peccato \varphi`. Poiché `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, prendiamo `\varphi=arcsin 4/5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Applicando la formula per la somma degli angoli per il seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella forma seguente:

`peccato(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equazioni trigonometriche frazionario-razionali

Si tratta di uguaglianze con frazioni, nei cui numeratori e denominatori sono presenti funzioni trigonometriche.

Esempio. Risolvi l'equazione. `\frac (peccato x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluzione. Moltiplica e dividi il lato destro dell'equazione per `(1+cos x)`. Di conseguenza, otteniamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Dato che il denominatore non può essere zero, otteniamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Uguaglia il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Quindi `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-peccato x=0`, `peccato x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dato che ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, le soluzioni sono `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Risposta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonometria, e in particolare le equazioni trigonometriche, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica e dell'ingegneria. Lo studio inizia al decimo anno, ci sono sempre compiti per l'esame, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: ti torneranno sicuramente utili!

Tuttavia, non è nemmeno necessario memorizzarli, l'importante è capirne l'essenza ed essere in grado di dedurli. Non è così difficile come sembra. Guarda tu stesso guardando il video.

Lezione e presentazione sul tema: "Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici"

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Cosa studieremo:
1. Cosa sono le equazioni trigonometriche?

3. Due metodi principali per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
4. Equazioni trigonometriche omogenee.
5. Esempi.

Cosa sono le equazioni trigonometriche?

Ragazzi, abbiamo già studiato l'arcoseno, l'arcocoseno, l'arcotangente e l'arcocotangente. Ora diamo un'occhiata alle equazioni trigonometriche in generale.

Equazioni trigonometriche - equazioni in cui la variabile è contenuta sotto il segno della funzione trigonometrica.

Ripetiamo la forma di risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici:

1) Se |à|≤ 1, allora l'equazione cos(x) = a ha una soluzione:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Se |à|≤ 1, allora l'equazione sin(x) = a ha una soluzione:

3) Se |a| > 1, allora l'equazione sin(x) = a e cos(x) = a non hanno soluzioni 4) L'equazione tg(x)=a ha una soluzione: x=arctg(a)+ πk

5) L'equazione ctg(x)=a ha una soluzione: x=arcctg(a)+ πk

Per tutte le formule, k è un numero intero

Le equazioni trigonometriche più semplici hanno la forma: Т(kx+m)=a, T- qualsiasi funzione trigonometrica.

Esempio.

Risolvi le equazioni: a) sin(3x)= √3/2

Soluzione:

A) Indichiamo 3x=t, quindi riscriviamo la nostra equazione nella forma:

La soluzione di questa equazione sarà: t=((-1)^n)arcosin(√3/2)+ πn.

Dalla tabella dei valori otteniamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Torniamo alla nostra variabile: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Allora x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Risposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dove n è un numero intero. (-1)^n - meno uno alla potenza di n.

Altri esempi di equazioni trigonometriche.

Risolvi le equazioni: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluzione:

A) Questa volta andremo subito direttamente al calcolo delle radici dell'equazione:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Allora x/5= πk => x=5πk

Risposta: x=5πk, dove k è un numero intero.

B) Scriviamo nella forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sappiamo che: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Risposta: x=2π/9 + πk/3, dove k è un numero intero.

Risolvi le equazioni: cos(4x)= √2/2. E trova tutte le radici sul segmento.

Soluzione:

Decideremo noi vista generale la nostra equazione: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ora vediamo quali radici cadono sul nostro segmento. Per k Per k=0, x= π/16, siamo nel segmento dato.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, colpiscono ancora.
Per k=2, x= π/16+ π=17π/16, ma qui non abbiamo colpito, il che significa che non colpiremo nemmeno per k grande.

Risposta: x= π/16, x= 9π/16

Due metodi di soluzione principali.

Abbiamo considerato le equazioni trigonometriche più semplici, ma ce ne sono di più complesse. Per risolverli vengono utilizzati il ​​metodo di introduzione di una nuova variabile e il metodo della fattorizzazione. Diamo un'occhiata agli esempi.

Risolviamo l'equazione:

Soluzione:
Per risolvere la nostra equazione, utilizziamo il metodo di introduzione di una nuova variabile, denominata: t=tg(x).

Come risultato della sostituzione, otteniamo: t 2 + 2t -1 = 0

Trova le radici dell'equazione quadratica: t=-1 e t=1/3

Allora tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, abbiamo l'equazione trigonometrica più semplice, troviamo le sue radici.

X=arco(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Risposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Risolvi le equazioni: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluzione:

Usiamo l'identità: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

La nostra equazione diventa: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduciamo la sostituzione t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica sono le radici: t=2 e t=-1/2

Allora cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Perché il coseno non può assumere valori maggiori di uno, quindi cos(x)=2 non ha radici.

Per cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Risposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equazioni trigonometriche omogenee.

Definizione: Un'equazione della forma a sin(x)+b cos(x) è chiamata equazioni trigonometriche omogenee di primo grado.

Equazioni della forma

equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado.

Per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, la dividiamo per cos(x): È impossibile dividere per coseno se è uguale a zero, assicuriamoci che non sia così:
Sia cos(x)=0, quindi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ma seno e coseno non sono uguali a zero allo stesso tempo, abbiamo una contraddizione, quindi possiamo tranquillamente dividere per zero.

Risolvi l'equazione:
Esempio: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluzione:

Elimina il fattore comune: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Allora dobbiamo risolvere due equazioni:

cos(x)=0 e cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 per x= π/2 + πk;

Considera l'equazione cos(x)+sin(x)=0 Dividi la nostra equazione per cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Risposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Come risolvere equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado?
Ragazzi, attenetevi sempre a queste regole!

1. Guarda cosa è uguale al coefficiente e, se a = 0, la nostra equazione assumerà la forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un esempio della cui soluzione è nella diapositiva precedente

2. Se a≠0, allora devi dividere entrambe le parti dell'equazione per il coseno al quadrato, otteniamo:

Facciamo il cambio della variabile t=tg(x) otteniamo l'equazione:

Risolvi Esempio #:3

Risolvi l'equazione:
Soluzione:

Dividi entrambi i lati dell'equazione per il quadrato del coseno:

Facciamo un cambio di variabile t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Trova le radici dell'equazione quadratica: t=-3 e t=1

Allora: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Risposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Risolvi Esempio #:4

Risolvi l'equazione:

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Possiamo risolvere tali equazioni: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risolvi Esempio #:5

Risolvi l'equazione:

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Introduciamo la sostituzione tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica saranno le radici: t=-2 e t=1/2

Quindi otteniamo: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Risposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Compiti per soluzione indipendente.

1) Risolvi l'equazione

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Risolvi equazioni: sin(3x)= √3/2. E trova tutte le radici sul segmento [π/2; π].

3) Risolvi l'equazione: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Risolvi l'equazione: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Risolvi l'equazione: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Risolvi l'equazione: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Equazioni trigonometriche più complesse

Equazioni

peccato x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sono le equazioni trigonometriche più semplici. In questa sezione, usando esempi specifici, considereremo equazioni trigonometriche più complesse. La loro soluzione, di regola, si riduce a risolvere le più semplici equazioni trigonometriche.

Esempio 1 . risolvere l'equazione

peccato 2 X= cos X peccato 2 X.

Trasferendo tutti i termini di questa equazione sul lato sinistro e scomponendo l'espressione risultante in fattori, otteniamo:

peccato 2 X(1 - cos X) = 0.

Il prodotto di due espressioni è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero e l'altro assume un valore numerico qualsiasi, purché definito.

Se una peccato 2 X = 0 , quindi 2 X=n π ; X = π / 2n.

Se 1 - cos X = 0 , quindi cos X = 1; X = 2kπ .

Quindi, abbiamo due gruppi di radici: X = π / 2n; X = 2kπ . Il secondo gruppo di radici è ovviamente contenuto nel primo, poiché per n = 4k l'espressione X = π / 2n diventa
X = 2kπ .

Pertanto, la risposta può essere scritta in una formula: X = π / 2n, dove n-qualsiasi numero intero.

notare che data equazione non può essere risolto riducendo di sin 2 X. Infatti, dopo la riduzione, otterremmo 1 - cos x = 0, da cui X= 2k π . Così perderemmo delle radici, per esempio π / 2 , π , 3π / 2 .

ESEMPIO 2. risolvere l'equazione

Una frazione è zero solo se il suo numeratore è zero.
Ecco perchè peccato 2 X = 0 , da cui 2 X=n π ; X = π / 2n.

Da questi valori X vanno scartati come estranei quei valori per i quali peccatoX svanisce (le frazioni con denominatore zero non hanno significato: la divisione per zero non è definita). Questi valori sono numeri che sono multipli di π . Nella formula
X = π / 2n si ottengono per pari n. Pertanto, le radici di questa equazione saranno i numeri

X = π / 2 (2k + 1),

dove k è qualsiasi numero intero.

Esempio 3 . risolvere l'equazione

2 peccato 2 X+ 7 cos X - 5 = 0.

Esprimere peccato 2 X attraverso cosX : peccato 2 X = 1 - cos 2X . Quindi questa equazione può essere riscritta come

2 (1 - cos 2 X) + 7 cos X - 5 = 0 , o

2cos 2 X- 7 cos X + 3 = 0.

denotando cosX attraverso a, arriviamo all'equazione quadratica

2 anni 2 - 7 anni + 3 = 0,

le cui radici sono i numeri 1 / 2 e 3. Quindi, o cos X= 1 / 2 o cos X= 3. Tuttavia, quest'ultimo è impossibile, poiché il valore assoluto del coseno di qualsiasi angolo non supera 1.

Resta da riconoscere che cos X = 1 / 2 , dove

X = ± 60° + 360° n.

Esempio 4 . risolvere l'equazione

2 peccato X+ 3cos X = 6.

Perché il peccato X e cos X non superare 1 in valore assoluto, quindi l'espressione
2 peccato X+ 3cos X non può assumere valori maggiori di 5 . Pertanto, questa equazione non ha radici.

Esempio 5 . risolvere l'equazione

peccato X+ cos X = 1

Al quadrato di entrambi i membri di questa equazione, otteniamo:

peccato 2 X+ 2 peccato X cos X+ cos2 X = 1,

ma peccato 2 X + cos 2 X = 1 . Ecco perchè 2 peccato X cos X = 0 . Se una peccato X = 0 , poi X = nπ ; Se
cos X , poi X = π / 2 + Kπ . Questi due gruppi di soluzioni possono essere scritti in una formula:

X = π / 2n

Poiché abbiamo quadrato entrambe le parti di questa equazione, è possibile che tra le radici che abbiamo ottenuto ce ne siano di estranee. Ecco perché in questo esempio, a differenza di tutti i precedenti, è necessario fare un controllo. Tutti i valori

X = π / 2n può essere diviso in 4 gruppi

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

In X = 2kπ peccato X+ cos X= 0 + 1 = 1. Pertanto, X = 2kπ sono le radici di questa equazione.

In X = π / 2 + 2kπ. peccato X+ cos X= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ sono anche le radici di questa equazione.

In X = π + 2kπ peccato X+ cos X= 0 - 1 = - 1. Pertanto, i valori X = π + 2kπ non sono le radici di questa equazione. Allo stesso modo, è dimostrato che X = 3π / 2 + 2kπ. non sono radici.

Pertanto, questa equazione ha le seguenti radici: X = 2kπ e X = π / 2 + 2mπ., dove K e m- qualsiasi numero intero.

Quando si risolvono molti problemi di matematica , in particolare quelli che si verificano prima del grado 10, l'ordine delle azioni eseguite che porteranno all'obiettivo è chiaramente definito. Tali compiti includono, ad esempio, lineare e equazioni quadratiche, disuguaglianze lineari e quadratiche, equazioni frazionarie ed equazioni che si riducono a quadratiche. Il principio della soluzione di successo di ciascuno dei compiti menzionati è il seguente: è necessario stabilire quale tipo di compito viene risolto, ricordare la sequenza necessaria di azioni che porterà al risultato desiderato, ad es. rispondi e segui questi passaggi.

Ovviamente, il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema dipende principalmente da quanto correttamente viene determinato il tipo di equazione da risolvere, da quanto correttamente viene riprodotta la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente, in questo caso, è necessario avere le capacità per eseguire trasformazioni e calcoli identici.

Una situazione diversa si verifica con equazioni trigonometriche. Non è difficile stabilire il fatto che l'equazione sia trigonometrica. Le difficoltà sorgono quando si determina la sequenza di azioni che porterebbero alla risposta corretta.

Di aspetto esteriore equazioni a volte è difficile determinarne il tipo. E senza conoscere il tipo di equazione, è quasi impossibile scegliere quella giusta tra diverse dozzine di formule trigonometriche.

Per risolvere l'equazione trigonometrica, dobbiamo provare:

1. portare tutte le funzioni comprese nell'equazione "agli stessi angoli";
2. portare l'equazione alle "stesse funzioni";
3. fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.

Ritenere metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

I. Riduzione alle più semplici equazioni trigonometriche

Schema di soluzione

Passo 1. esprimere funzione trigonometrica attraverso componenti noti.

Passo 2 Trova l'argomento della funzione usando le formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

peccato x = a; x \u003d (-1) n arcosin a + πn, n Є Z.

abbronzatura x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Passaggio 3 Trova una variabile sconosciuta.

Esempio.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluzione.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Risposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Sostituzione di variabili

Schema di soluzione

Passo 1. Portare l'equazione in forma algebrica rispetto ad una delle funzioni trigonometriche.

Passo 2 Indichiamo la funzione risultante con la variabile t (se necessario, introdurre restrizioni su t).

Passaggio 3 Annota e risolvi l'equazione algebrica risultante.

Passaggio 4 Fai una sostituzione inversa.

Passaggio 5 Risolvi l'equazione trigonometrica più semplice.

Esempio.

2cos 2 (x/2) - 5peccato (x/2) - 5 = 0.

Soluzione.

1) 2(1 - peccato 2 (x/2)) - 5 peccato (x/2) - 5 = 0;

2peccato 2(x/2) + 5peccato(x/2) + 3 = 0.

2) Sia sin (x/2) = t, dove |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 non soddisfa la condizione |t| ≤ 1.

4) peccato (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Risposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metodo di riduzione dell'ordine delle equazioni

Schema di soluzione

Passo 1. Sostituisci questa equazione con una lineare usando le formule di riduzione della potenza:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

abbronzatura 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2 Risolvi l'equazione risultante usando i metodi I e II.

Esempio.

cos2x + cos2x = 5/4.

Soluzione.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Risposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Equazioni omogenee

Schema di soluzione

Passo 1. Porta questa equazione nel modulo

a) a sin x + b cos x = 0 (equazione omogenea di primo grado)

o alla vista

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (equazione omogenea di secondo grado).

Passo 2 Dividi entrambi i membri dell'equazione per

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e ottieni l'equazione per tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Passaggio 3 Risolvi l'equazione usando metodi noti.

Esempio.

5peccato 2 x + 3peccato x cos x - 4 = 0.

Soluzione.

1) 5peccato 2 x + 3peccato x cos x – 4(peccato 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Sia tg x = t, allora

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, quindi

tg x = 1 o tg x = -4.

Dalla prima equazione x = π/4 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Risposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metodo per trasformare un'equazione usando formule trigonometriche

Schema di soluzione

Passo 1. Usando tutti i tipi di formule trigonometriche, porta questa equazione a un'equazione che può essere risolta con i metodi I, II, III, IV.

Passo 2 Risolvi l'equazione risultante usando metodi noti.

Esempio.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Soluzione.

1) (peccato x + peccato 3x) + peccato 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) peccato 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Dalla prima equazione 2x = π/2 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione cos x = -1/2.

Abbiamo x = π/4 + πn/2, n Є Z; dalla seconda equazione x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Di conseguenza, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Risposta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacità e le capacità di risolvere equazioni trigonometriche sono molto importante, il loro sviluppo richiede uno sforzo notevole, sia da parte dell'allievo che dell'insegnante.

Molti problemi di stereometria, fisica, ecc. Sono associati alla soluzione di equazioni trigonometriche Il processo di risoluzione di tali problemi, per così dire, contiene molte delle conoscenze e abilità acquisite studiando gli elementi della trigonometria.

Le equazioni trigonometriche occupano un posto importante nel processo di insegnamento della matematica e dello sviluppo della personalità in generale.

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Richiede la conoscenza delle formule di base della trigonometria: la somma dei quadrati del seno e del coseno, l'espressione della tangente attraverso il seno e il coseno e altri. Per coloro che li hanno dimenticati o non li conoscono, consigliamo la lettura dell'articolo "".
Quindi, conosciamo le formule trigonometriche di base, è ora di metterle in pratica. Risoluzione di equazioni trigonometriche con il giusto approccio, è un'attività piuttosto eccitante, come, ad esempio, risolvere un cubo di Rubik.

In base al nome stesso, è chiaro che un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è sotto il segno di una funzione trigonometrica.
Esistono le cosiddette equazioni trigonometriche semplici. Ecco come appaiono: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Ritenere, come risolvere tali equazioni trigonometriche, per chiarezza utilizzeremo il già noto cerchio trigonometrico.

sinx = a

cos x = a

abbronzatura x = a

lettino x = a

Qualsiasi equazione trigonometrica viene risolta in due fasi: portiamo l'equazione nella forma più semplice e quindi la risolviamo come l'equazione trigonometrica più semplice.
Esistono 7 metodi principali con cui vengono risolte le equazioni trigonometriche.

1. Sostituzione di variabili e metodo di sostituzione

Risolvi l'equazione 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Usando le formule di riduzione otteniamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sostituiamo cos(x + /6) con y per semplicità e otteniamo la solita equazione quadratica:

2 anni 2 – 3 anni + 1 + 0

Le radici di cui y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ora andiamo indietro

Sostituiamo i valori trovati di y e otteniamo due risposte:

2. Risolvere equazioni trigonometriche attraverso la fattorizzazione

Come risolvere l'equazione sin x + cos x = 1?

Spostiamo tutto a sinistra in modo che 0 rimanga a destra:

sin x + cos x - 1 = 0

Usiamo le identità di cui sopra per semplificare l'equazione:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Facciamo la fattorizzazione:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2peccato(x/2) * = 0

Otteniamo due equazioni

3. Riduzione ad un'equazione omogenea

Un'equazione è omogenea rispetto a seno e coseno se tutti i suoi termini rispetto a seno e coseno sono dello stesso grado dello stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea, procedere come segue:

a) trasferire tutti i suoi membri sul lato sinistro;

b) mettere fuori parentesi tutti i fattori comuni;

c) equiparare tutti i fattori e le parentesi a 0;

d) tra parentesi si ottiene un'equazione omogenea di grado minore, che a sua volta è divisa per un seno o coseno in grado maggiore;

e) risolvere l'equazione risultante per tg.

Risolvi l'equazione 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Usiamo la formula sin 2 x + cos 2 x = 1 ed eliminiamo i due aperti a destra:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividi per cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Sostituiamo tg x con y e otteniamo un'equazione quadratica:

y 2 + 4y +3 = 0 le cui radici sono y 1 =1, y 2 = 3

Da qui troviamo due soluzioni all'equazione originale:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Risolvere equazioni, attraverso il passaggio a un mezzo angolo

Risolvi l'equazione 3sin x - 5cos x = 7

Passiamo a x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Spostando tutto a sinistra:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividi per cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduzione di un angolo ausiliario

Per considerazione, prendiamo un'equazione della forma: a sin x + b cos x \u003d c,

dove a, b, c sono dei coefficienti arbitrari e x è un'incognita.

Dividi entrambi i membri dell'equazione per:



Ora i coefficienti dell'equazione, secondo formule trigonometriche, hanno le proprietà di sin e cos, ovvero: il loro modulo non è maggiore di 1 e la somma dei quadrati = 1. Indichiamoli rispettivamente come cos e sin, dove è il cosiddetto angolo ausiliario. Quindi l'equazione assumerà la forma:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

o sin(x + ) = C

La soluzione a questa semplice equazione trigonometrica è

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, dove



Va notato che le designazioni cos e sin sono intercambiabili.

Risolvi l'equazione sin 3x - cos 3x = 1

In questa equazione, i coefficienti sono:

a \u003d, b \u003d -1, quindi dividiamo entrambe le parti per \u003d 2