Ko nozīmē situācijas matemātiskais modelis. Lineārās programmēšanas uzdevumu matemātiskie modeļi. Vispārējās lineārās programmēšanas problēmas reducēšana uz kanonisko formu

Jūsu uzmanībai pievērstajā rakstā mēs piedāvājam matemātisko modeļu piemērus. Turklāt mēs pievērsīsim uzmanību modeļu izveides posmiem un analizēsim dažas problēmas, kas saistītas ar matemātisko modelēšanu.

Vēl viens mūsu jautājums ir matemātiskie modeļi ekonomikā, kuru piemērus mēs apsvērsim definīciju nedaudz vēlāk. Mēs ierosinām sarunu sākt ar pašu “modeļa” jēdzienu, īsi apsvērt to klasifikāciju un pāriet uz mūsu galvenajiem jautājumiem.

Jēdziens "modelis"

Mēs bieži dzirdam vārdu "modelis". Kas tas ir? Šim terminam ir daudz definīciju, šeit ir tikai trīs no tām:

• konkrēts objekts, kas izveidots, lai saņemtu un uzglabātu informāciju, atspoguļojot dažas šī objekta oriģināla īpašības vai īpašības utt. (šo konkrēto objektu var izteikt dažādās formās: mentālā, apraksta, izmantojot zīmes utt.);
• modelis nozīmē arī jebkuras konkrētas situācijas, dzīves vai vadības attēlojumu;
• modelis var būt samazināta objekta kopija (tie ir izveidoti sīkākai izpētei un analīzei, jo modelis atspoguļo struktūru un attiecības).

Pamatojoties uz visu iepriekš teikto, mēs varam izdarīt nelielu secinājumu: modelis ļauj detalizēti izpētīt sarežģītu sistēmu vai objektu.

Visus modeļus var klasificēt pēc vairākiem kritērijiem:

• pēc izmantošanas jomas (izglītojošs, eksperimentāls, zinātnisks un tehnisks, spēļu, simulācijas);
• pēc dinamikas (statiskā un dinamiskā);
• pa zināšanu nozarēm (fizikālās, ķīmiskās, ģeogrāfiskās, vēsturiskās, socioloģiskās, ekonomiskās, matemātiskās);
• atbilstoši pasniegšanas metodei (materiāli un informatīvi).

Informācijas modeļi savukārt tiek iedalīti zīmju un verbālajos. Un ikoniski - datorā un bez datora. Tagad pāriesim pie detalizēta matemātiskā modeļa piemēru izskatīšanas.

Matemātiskais modelis

Kā jūs varētu nojaust, matemātiskais modelis atspoguļo dažas objekta vai parādības pazīmes, izmantojot īpašus matemātiskos simbolus. Matemātika ir nepieciešama, lai modelētu pasaules likumus savā konkrētajā valodā.

Matemātiskās modelēšanas metode radās diezgan sen, pirms tūkstošiem gadu, līdz ar šīs zinātnes parādīšanos. Taču impulsu šīs modelēšanas metodes attīstībai deva datoru (elektronisko datoru) parādīšanās.

Tagad pāriesim pie klasifikācijas. To var veikt arī pēc dažām pazīmēm. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Mēs ierosinām apstāties un tuvāk apskatīt pēdējo klasifikāciju, jo tā atspoguļo vispārējos modelēšanas modeļus un veidojamo modeļu mērķus.

Aprakstošie modeļi

Šajā nodaļā mēs piedāvājam sīkāk pakavēties pie aprakstošajiem matemātiskajiem modeļiem. Lai viss būtu ļoti skaidrs, tiks dots piemērs.

Vispirms šo skatu var saukt par aprakstošu. Tas ir saistīts ar to, ka mēs vienkārši veicam aprēķinus un prognozes, bet nekādi nevaram ietekmēt notikuma iznākumu.

Spilgts aprakstoša matemātiskā modeļa piemērs ir mūsu Saules sistēmas plašumos iebrukušās komētas lidojuma trajektorijas, ātruma un attāluma no Zemes aprēķins. Šis modelis ir aprakstošs, jo visi iegūtie rezultāti var tikai brīdināt mūs par sava veida briesmām. Diemžēl nevaram ietekmēt pasākuma iznākumu. Taču, pamatojoties uz iegūtajiem aprēķiniem, ir iespējams veikt jebkādus pasākumus dzīvības saglabāšanai uz Zemes.

Optimizācijas modeļi

Tagad mēs nedaudz parunāsim par ekonomiskajiem un matemātiskajiem modeļiem, kuru piemēri var būt dažādas situācijas. Šajā gadījumā mēs runājam par modeļiem, kas noteiktos apstākļos palīdz atrast pareizo atbildi. Viņiem ir jābūt dažiem parametriem. Lai tas būtu ļoti skaidrs, apsveriet piemēru no agrārās daļas.

Mums ir klēts, bet graudi ļoti ātri bojājas. Šajā gadījumā mums ir jāizvēlas pareizais temperatūras režīms un optimizēt uzglabāšanas procesu.

Tādējādi mēs varam definēt jēdzienu "optimizācijas modelis". Matemātiskā nozīmē tā ir vienādojumu sistēma (gan lineāra, gan ne), kuras risinājums palīdz atrast optimālo risinājumu konkrētajā ekonomiskajā situācijā. Mēs esam apsvēruši matemātiskā modeļa (optimizācijas) piemēru, bet es gribētu piebilst vēl vienu lietu: šis veids pieder pie ekstrēmo problēmu klases, tās palīdz raksturot ekonomiskās sistēmas darbību.

Mēs atzīmējam vēl vienu niansi: modeļiem var būt atšķirīgs raksturs (skatiet tabulu zemāk).

Daudzkritēriju modeļi

Tagad mēs aicinām jūs nedaudz parunāt par vairāku mērķu optimizācijas matemātisko modeli. Pirms tam mēs sniedzām matemātiskā modeļa piemēru procesa optimizēšanai pēc jebkura kritērija, bet ja to ir daudz?

Spilgts daudzkritēriju uzdevuma piemērs ir pareiza, veselīga un tajā pašā laikā ekonomiska uztura organizēšana lielām cilvēku grupām. Ar šādiem uzdevumiem bieži nākas saskarties armijā, skolu ēdnīcās, vasaras nometnēs, slimnīcās un tā tālāk.

Kādi kritēriji mums ir doti šajā uzdevumā?

1. Pārtikai jābūt veselīgai.
2. Pārtikas izdevumiem jābūt minimāliem.

Kā redzat, šie mērķi nemaz nesakrīt. Tas nozīmē, ka, risinot problēmu, ir jāmeklē optimālais risinājums, līdzsvars starp abiem kritērijiem.

Spēļu modeļi

Runājot par spēļu modeļiem, ir jāsaprot jēdziens "spēles teorija". Vienkārši sakot, šie modeļi atspoguļo reālu konfliktu matemātiskos modeļus. Ir tikai vērts saprast, ka atšķirībā no reāla konflikta spēles matemātiskajam modelim ir savi īpaši noteikumi.

Tagad es sniegšu minimālu informāciju no spēļu teorijas, kas palīdzēs jums saprast, kas ir spēles modelis. Un tā, modelī obligāti ir ballītes (divas vai vairākas), kuras parasti sauc par spēlētājiem.

Visiem modeļiem ir noteiktas īpašības.

Spēles modelis var būt savienots pārī vai vairāki. Ja mums ir divi subjekti, tad konflikts ir sapārots, ja vairāk - vairāki. Var atšķirt arī antagonistisku spēli, to sauc arī par nulles summas spēli. Šis ir modelis, kurā viena dalībnieka ieguvums ir vienāds ar otra dalībnieka zaudējumiem.

simulācijas modeļi

Šajā sadaļā mēs pievērsīsimies simulācijas matemātiskajiem modeļiem. Uzdevumu piemēri ir:

• mikroorganismu skaita dinamikas modelis;
• molekulārās kustības modelis utt.

Šajā gadījumā mēs runājam par modeļiem, kas ir pēc iespējas tuvāki reāliem procesiem. Kopumā tie atdarina jebkuru izpausmi dabā. Pirmajā gadījumā, piemēram, mēs varam modelēt skudru skaita dinamiku vienā kolonijā. Šajā gadījumā jūs varat novērot katra indivīda likteni. Šajā gadījumā matemātiskais apraksts tiek izmantots reti, biežāk ir rakstiski nosacījumi:

• pēc piecām dienām mātīte dēj olas;
• pēc divdesmit dienām skudra nomirst utt.

Tik izmantots, lai aprakstītu liela sistēma. Matemātiskais secinājums ir saņemto statistisko datu apstrāde.

Prasības

Ir ļoti svarīgi zināt, ko šī suga modeļiem ir dažas prasības, tostarp tās, kas norādītas tālāk esošajā tabulā.

Daudzpusība	Šis rekvizīts ļauj izmantot vienu un to pašu modeli, aprakstot viena veida objektu grupas. Ir svarīgi atzīmēt, ka universālie matemātiskie modeļi ir pilnīgi neatkarīgi no fiziskā daba pētāmais objekts
Atbilstība	Šeit ir svarīgi saprast, ka šī īpašība ļauj vispareizāk reproducēt reālos procesus. Darbības uzdevumos šī matemātiskās modelēšanas īpašība ir ļoti svarīga. Modeļa piemērs ir gāzes sistēmas izmantošanas optimizācijas process. Šajā gadījumā tiek salīdzināti aprēķinātie un faktiskie rādītāji, kā rezultātā tiek pārbaudīta sastādītā modeļa pareizība.
Precizitāte	Šī prasība nozīmē to vērtību sakritību, kuras mēs iegūstam, aprēķinot matemātisko modeli un mūsu reālā objekta ievades parametrus.
ekonomika	Ekonomiskuma prasību jebkuram matemātiskajam modelim raksturo ieviešanas izmaksas. Ja darbs ar modeli tiek veikts manuāli, tad, izmantojot šo matemātisko modeli, ir jāaprēķina, cik daudz laika prasīs vienas problēmas atrisināšana. Ja mēs runājam par datorizētu projektēšanu, tad tiek aprēķināti laika un datora atmiņas rādītāji

Modelēšanas soļi

Kopumā matemātiskajā modelēšanā ir ierasts izšķirt četrus posmus.

1. Likumu formulēšana, kas savieno modeļa daļas.
2. Matemātisko problēmu izpēte.
3. Praktisko un teorētisko rezultātu sakritības noskaidrošana.
4. Modeļa analīze un modernizācija.

Ekonomiskais un matemātiskais modelis

Šajā sadaļā mēs īsi uzsvērsim problēmu. Uzdevumu piemēri var būt:

• ražošanas programmas veidošana gaļas produktu ražošanai, nodrošinot maksimālu ražošanas peļņu;
• organizācijas peļņas maksimizēšana, aprēķinot optimālo mēbeļu rūpnīcā saražojamo galdu un krēslu skaitu utt.

Ekonomiski matemātiskais modelis parāda ekonomisko abstrakciju, kas tiek izteikta, izmantojot matemātiskos terminus un zīmes.

Datora matemātiskais modelis

Datora matemātiskā modeļa piemēri ir:

• hidraulikas uzdevumi, izmantojot blokshēmas, diagrammas, tabulas un tā tālāk;
• problēmas ar cieto mehāniku utt.

Datormodelis ir objekta vai sistēmas attēls, kas parādīts kā:

• galdi;
• blokshēmas;
• diagrammas;
• grafikas un tā tālāk.

Vienlaikus šis modelis atspoguļo sistēmas uzbūvi un savstarpējās sakarības.

Ekonomiskā un matemātiskā modeļa veidošana

Mēs jau runājām par to, kas ir ekonomiski matemātiskais modelis. Problēmas risināšanas piemērs tiks apsvērts tieši tagad. Mums ir jāanalizē ražošanas programma, lai identificētu rezervi peļņas palielināšanai ar sortimenta maiņu.

Mēs pilnībā neapsvērsim problēmu, bet tikai izveidosim ekonomisko un matemātisko modeli. Mūsu uzdevuma kritērijs ir peļņas maksimizēšana. Tad funkcijai ir forma: Л=р1*х1+р2*х2… tiecas uz maksimumu. Šajā modelī p ir peļņa uz vienību, x ir saražoto vienību skaits. Tālāk, pamatojoties uz konstruēto modeli, nepieciešams veikt aprēķinus un apkopot.

Vienkārša matemātiskā modeļa izveides piemērs

Uzdevums. Zvejnieks atgriezās ar šādu lomu:

• 8 zivis - ziemeļu jūru iemītnieki;
• 20% no nozvejas - dienvidu jūru iedzīvotāji;
• no vietējās upes netika atrasta neviena zivs.

Cik zivju viņš nopirka veikalā?

Tātad šīs problēmas matemātiskā modeļa izveides piemērs ir šāds. Kopējo zivju skaitu apzīmējam ar x. Ievērojot nosacījumu, 0,2x ir dienvidu platuma grādos dzīvojošo zivju skaits. Tagad apvienojam visu pieejamo informāciju un iegūstam uzdevuma matemātisko modeli: x=0,2x+8. Atrisinām vienādojumu un saņemam atbildi uz galveno jautājumu: viņš veikalā nopirka 10 zivis.

Matemātiskie modeļi

Matemātiskais modelis - aptuvens opimodelēšanas objekta apraksts, izteikts izmantojotschyu matemātiskā simbolika.

Matemātiskie modeļi parādījās kopā ar matemātiku pirms daudziem gadsimtiem. Milzīgu impulsu matemātiskās modelēšanas attīstībai deva datoru parādīšanās. Datoru izmantošana ļāva analizēt un ieviest praksē daudzus matemātiskos modeļus, kas iepriekš nebija piemēroti analītiskai izpētei. Datorizēta matemātikadebesu modelis sauca datora matemātiskais modelis, a mērķtiecīgu aprēķinu veikšana, izmantojot datormodeli sauca skaitļošanas eksperiments.

Datormatemātikas posmi modzēšana parādīts attēlā. Pirmkārtposms - modelēšanas mērķu definīcija.Šie mērķi var būt dažādi:

1. modelis ir nepieciešams, lai saprastu, kā konkrēts objekts darbojas, kāda ir tā uzbūve, pamatīpašības, attīstības un mijiedarbības likumi
   ar ārpasauli (sapratne);
2. modelis ir nepieciešams, lai iemācītos pārvaldīt objektu (vai procesu) un noteiktu labākos veidus, kā pārvaldīt dotajiem mērķiem un kritērijiem (pārvaldība);
3. modelis ir nepieciešams, lai prognozētu noteikto metožu un ietekmes formu ieviešanas tiešās un netiešās sekas uz objektu (prognozēšana).

Paskaidrosim ar piemēriem. Lai pētījuma objekts būtu šķidruma vai gāzes plūsmas mijiedarbība ar ķermeni, kas ir šķērslis šai plūsmai. Pieredze rāda, ka pretestības spēks plūsmai no ķermeņa sāniem palielinās, palielinoties plūsmas ātrumam, bet pie pietiekami liela ātruma šis spēks strauji samazinās, lai, palielinoties ātrumam, atkal palielinātos. Kas izraisīja pretestības spēka samazināšanos? Matemātiskā modelēšana ļauj iegūt skaidru atbildi: pēkšņas pretestības samazināšanās brīdī šķidruma vai gāzes plūsmā aiz plūstošā ķermeņa izveidojušies virpuļi sāk no tā atrauties un plūsma tiek aiznesta.

Piemērs no pavisam cita apgabala: mierīgi līdzāspastāvot stabilām divu sugu īpatņu populācijām ar kopīgu barības bāzi, “pēkšņi” sāk krasi mainīt to skaitu. Un šeit matemātiskā modelēšana ļauj (ar zināmu noteiktības pakāpi) noteikt cēloni (vai vismaz atspēkot noteiktu hipotēzi).

Objektu pārvaldības koncepcijas izstrāde ir vēl viens iespējamais modelēšanas mērķis. Kurš lidmašīnas lidojuma režīms jāizvēlas, lai lidojums būtu drošs un ekonomiski izdevīgāks? Kā ieplānot simtiem darbu veidu liela objekta celtniecībā, lai tā beigtos pēc iespējas ātrāk? Daudzas šādas problēmas sistemātiski rodas ekonomistiem, dizaineriem un zinātniekiem.

Visbeidzot, noteiktas ietekmes uz objektu seku prognozēšana var būt gan salīdzinoši vienkārša vienkāršās fiziskās sistēmās, gan ārkārtīgi sarežģīta - uz iespējamības robežas - bioloģiskajās, ekonomiskajās, sociālajās sistēmās. Ja uz jautājumu par siltuma izplatīšanās veida maiņu tievā stieņā, mainoties tā sastāvā esošajam sakausējumam, ir samērā viegli atbildēt, tad izsekot (prognozēt) ir nesalīdzināmi sarežģītāk, kādas ir stieņa konstrukcijas vides un klimatiskās sekas. liela hidroelektrostacija vai nodokļu likumdošanas izmaiņu sociālās sekas. Iespējams, arī šeit nākotnē nozīmīgāku palīdzību sniegs matemātiskās modelēšanas metodes.

Otrais posms: modeļa ievades un izejas parametru definīcija; ievades parametru iedalījums pēc to izmaiņu ietekmes uz izlaidi svarīguma pakāpes. Šo procesu sauc par ranžēšanu vai sadalīšanu pēc ranga (skatiet tālāk). "Formālimodelis un modelēšana").

Trešais posms: matemātiskā modeļa konstruēšana. Šajā posmā notiek pāreja no modeļa abstraktā formulējuma uz formulējumu, kam ir specifiska matemātiskais attēlojums. Matemātiskais modelis ir vienādojumi, vienādojumu sistēmas, nevienādību sistēmas, diferenciālvienādojumi vai šādu vienādojumu sistēmas utt.

Ceturtais posms: matemātiskā modeļa izpētes metodes izvēle. Visbiežāk šeit tiek izmantotas skaitliskās metodes, kas labi noder programmēšanai. Parasti vienas un tās pašas problēmas risināšanai ir piemērotas vairākas metodes, kas atšķiras pēc precizitātes, stabilitātes utt. Visa modelēšanas procesa panākumi bieži vien ir atkarīgi no pareizas metodes izvēles.

Piektais posms: algoritma izstrāde, datorprogrammas kompilācija un atkļūdošana ir grūti formalizējams process. No programmēšanas valodām daudzi matemātiskās modelēšanas profesionāļi dod priekšroku FORTRAN: gan tradīciju dēļ, gan kompilatoru nepārspējamās efektivitātes (skaitļošanas darbam), kā arī milzīgu, rūpīgi atkļūdotu un optimizētu tajā ierakstīto standarta programmu bibliotēku klātbūtnes dēļ. matemātiskās metodes. Tiek izmantotas arī tādas valodas kā PASCAL, BASIC, C atkarībā no uzdevuma veida un programmētāja tieksmēm.

Sestais posms: programmas testēšana. Programmas darbība tiek pārbaudīta uz testa uzdevuma ar zināmu atbildi. Tas ir tikai sākums testēšanas procedūrai, kuru ir grūti aprakstīt formāli izsmeļošā veidā. Parasti testēšana beidzas, kad lietotājs atbilstoši savām profesionālajām īpašībām uzskata programmu par pareizu.

Septītais posms: faktiskais skaitļošanas eksperiments, kura laikā noskaidrojas, vai modelis atbilst reālam objektam (procesam). Modelis ir pietiekami adekvāts reālajam procesam, ja daži datorā iegūtie procesa raksturlielumi sakrīt ar eksperimentāli iegūtajiem raksturlielumiem ar noteiktu precizitātes pakāpi. Ja modelis neatbilst reālajam procesam, mēs atgriežamies pie kāda no iepriekšējiem posmiem.

Matemātisko modeļu klasifikācija

Matemātisko modeļu klasifikācija var būt balstīta uz dažādiem principiem. Ir iespējams klasificēt modeļus pa zinātnes nozarēm (matemātiskie modeļi fizikā, bioloģijā, socioloģijā u.c.). To var klasificēt pēc pielietotā matemātiskā aparāta (modeļi, kuru pamatā ir parasto diferenciālvienādojumu izmantošana, daļējie diferenciālvienādojumi, stohastiskās metodes, diskrētās algebriskās transformācijas utt.). Visbeidzot, ja mēs izejam no vispārīgajiem modelēšanas uzdevumiem dažādās zinātnēs, neatkarīgi no matemātiskā aparāta, visdabiskākā ir šāda klasifikācija:

• aprakstošie (aprakstošie) modeļi;
• optimizācijas modeļi;
• daudzkritēriju modeļi;
• spēļu modeļi.

Paskaidrosim to ar piemēriem.

Aprakstošie (aprakstošie) modeļi. Piemēram, modelējot iebrukušās komētas kustību Saules sistēma, tiek veidots, lai prognozētu tā lidojuma trajektoriju, attālumu, kādā tas nokļūs no Zemes utt. Šajā gadījumā modelēšanas mērķi ir aprakstoši, jo nekādi nevar ietekmēt komētas kustību, tajā kaut ko mainīt.

Optimizācijas modeļi tiek izmantoti, lai aprakstītu procesus, kurus var ietekmēt, mēģinot sasniegt noteiktu mērķi. Šajā gadījumā modelī ir iekļauts viens vai vairāki parametri, kurus var ietekmēt. Piemēram, mainot termisko režīmu klētī, var izvirzīt mērķi izvēlēties šādu režīmu, lai panāktu maksimālu graudu saglabāšanos, t.i. optimizēt uzglabāšanas procesu.

Daudzkritēriju modeļi. Bieži vien ir nepieciešams optimizēt procesu vairākos parametros vienlaikus, un mērķi var būt ļoti pretrunīgi. Piemēram, zinot pārtikas cenas un cilvēka vajadzību pēc pārtikas, nepieciešams fizioloģiski pareizi un tajā pašā laikā pēc iespējas lētāk organizēt ēdināšanu lielām cilvēku grupām (armijā, bērnu vasaras nometnē u.c.). Skaidrs, ka šie mērķi nemaz nesakrīt; modelējot tiks izmantoti vairāki kritēriji, starp kuriem jāmeklē līdzsvars.

Spēļu modeļi var būt saistīts ne tikai ar datorspēlēm, bet arī ar ļoti nopietnām lietām. Piemēram, pirms kaujas, nepilnīgas informācijas klātbūtnē par pretinieku armiju, komandierim jāizstrādā plāns: kādā secībā ievest kaujā noteiktas vienības utt., ņemot vērā iespējamo ienaidnieka reakciju. Mūsdienu matemātikai ir īpaša sadaļa - spēļu teorija -, kas pēta lēmumu pieņemšanas metodes nepilnīgas informācijas apstākļos.

V skolas kurss Informātika ietvaros studenti iegūst sākotnējo priekšstatu par datormatemātisko modelēšanu pamatkurss. Vidusskolā matemātisko modelēšanu var padziļināti apgūt vispārizglītojošā kursā fizikas un matemātikas stundām, kā arī specializētā izvēles kursa ietvaros.

Galvenās datormatemātiskās modelēšanas mācīšanas formas vidusskolā ir lekcijas, laboratorijas un kredītstundas. Parasti darbs pie katra jauna modeļa izveides un sagatavošanas izpētei aizņem 3-4 nodarbības. Materiāla prezentācijas gaitā tiek izvirzīti uzdevumi, kuri turpmāk skolēniem būtu jārisina pašiem, vispārīgi tiek ieskicēti to risināšanas veidi. Tiek formulēti jautājumi, uz kuriem atbildes būtu jāiegūst, veicot uzdevumus. Norādīta papildu literatūra, kas ļauj iegūt palīginformāciju veiksmīgākai uzdevumu veikšanai.

Nodarbību organizēšanas forma jaunā materiāla apguvē parasti ir lekcija. Pēc nākamā modeļa apspriešanas pabeigšanas studenti viņu rīcībā ir nepieciešamā teorētiskā informācija un uzdevumu kopums turpmākajam darbam. Gatavojoties uzdevumam, studenti izvēlas piemērotu risinājuma metodi, izmantojot kādu zināmu privāto risinājumu, testē izstrādāto programmu. Pilnīgu grūtību gadījumā uzdevumu izpildē tiek sniegta konsultācija, izteikts priekšlikums šīs sadaļas detalizētāk izstrādāt literatūrā.

Visvairāk attiecas uz apmācību praktisko daļu datorsimulācija ir projekta metode. Uzdevums tiek formulēts skolēnam izglītības projekta veidā un tiek veikts vairāku stundu garumā, un galvenā organizatoriskā forma šajā gadījumā ir datorlaboratorijas darbs. Modelēšanas apmācību, izmantojot mācību projektu metodi, var īstenot dažādi līmeņi. Pirmais ir projekta īstenošanas procesa problēmas izklāsts, kuru vada skolotājs. Otrais ir projekta īstenošana, ko veic skolēni skolotāja vadībā. Trešais ir izglītības pētniecības projekta studentu patstāvīga īstenošana.

Darba rezultāti jāuzrāda skaitliskā veidā, grafiku, diagrammu veidā. Ja iespējams, process tiek parādīts datora ekrānā dinamikā. Aprēķinu beigās un iegūtie rezultāti tiek analizēti, salīdzināti ar zināmi fakti no teorijas tiek apstiprināta ticamība un veikta jēgpilna interpretācija, kas pēc tam tiek atspoguļota rakstiskā ziņojumā.

Ja rezultāti apmierina skolēnu un skolotāju, tad darbs skaitās pabeigts, un tā pēdējais posms ir ziņojuma sagatavošana. Pārskatā iekļauta īsa teorētiskā informācija par pētāmo tēmu, problēmas matemātiskais formulējums, risinājuma algoritms un tā pamatojums, datorprogramma, programmas rezultāti, rezultātu analīze un secinājumi, literatūras saraksts.

Kad visi ziņojumi ir apkopoti, pārbaudes stundā skolēni runā ar īsas ziņas par paveikto, aizstāvēt savu projektu. Šī ir efektīva projekta komandas atskaites forma klasei, kas ietver problēmas uzstādīšanu, formāla modeļa izveidi, metožu izvēli darbam ar modeli, modeļa ieviešanu datorā, darbu ar gatavo modeli, rezultātu interpretāciju, prognozēšana. Rezultātā skolēni var iegūt divas atzīmes: pirmā ir par projekta izstrādi un tā aizstāvēšanas sekmīgu norisi, otrā – par programmu, tās algoritma, interfeisa optimālumu utt. Atzīmes studenti saņem arī teorijas aptauju gaitā.

Būtisks jautājums ir, kādus rīkus izmantot skolas informātikas kursā matemātiskajai modelēšanai? Modeļu datorizētu ieviešanu var veikt:

• izmantojot izklājlapu (parasti MS Excel);
• veidojot programmas tradicionālajās programmēšanas valodās (Pascal, BASIC u.c.), kā arī to modernajās versijās (Delphi, Visual
  Basic for Application utt.);
• izmantojot speciālas programmatūras pakotnes matemātisko uzdevumu risināšanai (MathCAD u.c.).

Pamatskolas līmenī pirmais līdzeklis šķiet vispiemērotākais. Tomēr iekšā vidusskola Ja programmēšana kopā ar modelēšanu ir galvenā datorzinātņu tēma, ir vēlams to izmantot kā modelēšanas rīku. Programmēšanas procesā studentiem kļūst pieejamas matemātisko procedūru detaļas; turklāt viņi vienkārši ir spiesti tos apgūt, un tas arī veicina matemātikas izglītību. Kas attiecas uz īpašu programmatūras pakotņu izmantošanu, tas ir piemērots profila datorzinātņu kursā kā papildinājums citiem rīkiem.

Exercise :

• Ieskicējiet galvenos jēdzienus.

Iedomājieties lidmašīnu: spārni, fizelāža, aste, tas viss kopā - īsta milzīga, milzīga, vesela lidmašīna. Un var uztaisīt lidmašīnas modeli, mazu, bet viss ir īsts, tādi paši spārni utt., bet kompakti. Tāpat arī matemātiskais modelis. Tur ir teksta uzdevums, apgrūtinoši, var skatīties, lasīt, bet ne gluži saprast, un vēl jo vairāk nav skaidrs, kā to atrisināt. Bet ko darīt, ja no lielas verbālās problēmas izveidojam nelielu tā modeli, matemātisko modeli? Ko nozīmē matemātiskais? Tātad, izmantojot matemātiskās pierakstīšanas noteikumus un likumus, pārveidojiet tekstu loģiski pareizā attēlojumā, izmantojot skaitļus un aritmētiskās zīmes. Tātad, Matemātiskais modelis ir reālas situācijas attēlojums, izmantojot matemātisko valodu.

Sāksim vienkārši: skaitlis ir lielāks par skaitli par. Mums tas jāpieraksta, neizmantojot vārdus, tikai matemātikas valodu. Ja vairāk par, tad izrādās, ja atņemam no, tad pati šo skaitļu starpība paliks vienāda. Tie. vai. Vai sapratāt būtību?

Tagad ir sarežģītāk, tagad būs teksts, kuru jāmēģina pasniegt matemātiskā modeļa veidā, kamēr neizlasīsi, kā es to darīšu, pamēģini pats! Ir četri skaitļi: , un. Produkts un vēl produkti un divas reizes.

Kas notika?

Matemātiskā modeļa veidā tas izskatīsies šādi:

Tie. produkts ir saistīts kā divi pret vienu, taču to var vēl vairāk vienkāršot:

Labi, ieslēgts vienkārši piemēri es domāju, jūs sapratāt būtību. Pārejam pie pilnvērtīgiem uzdevumiem, kuros jārisina arī šie matemātiskie modeļi! Šeit ir uzdevums.

Matemātiskais modelis praksē

1. uzdevums

Pēc lietus ūdens līmenis akā var paaugstināties. Puika mēra akā mazu oļu iekrišanas laiku un aprēķina attālumu līdz ūdenim pēc formulas, kur attālums metros un krišanas laiks sekundēs. Pirms lietus oļu krišanas laiks bija s. Cik daudz jāpaaugstinās ūdens līmenim pēc lietus, lai mērītais laiks mainītos uz s? Izsakiet savu atbildi metros.

Ak Dievs! Kādas formulas, kāda aka, kas notiek, ko darīt? Vai es izlasīju jūsu domas? Atpūtieties, šāda veida uzdevumos apstākļi ir vēl briesmīgāki, galvenais ir atcerēties, ka šajā uzdevumā jūs interesē formulas un attiecības starp mainīgajiem, un tas, ko tas viss nozīmē, vairumā gadījumu nav īpaši svarīgi. Ko jūs šeit redzat noderīgu? Es personīgi redzu. Šo problēmu risināšanas princips ir šāds: jūs ņemat visus zināmos daudzumus un aizstājat tos.Bet dažreiz ir jāpadomā!

Ievērojot manu pirmo padomu un vienādojumā aizstājot visus zināmos, mēs iegūstam:

Tieši es nomainīju sekundes laiku un atradu augstumu, kādā akmens lidoja pirms lietus. Un tagad jāskaita pēc lietus un jāatrod atšķirība!

Tagad klausieties otro padomu un padomājiet par to, jautājums precizē, "cik daudz ūdens līmenim jāpaceļas pēc lietus, lai izmērītais laiks mainītos par s." Vajag uzreiz izdomāt, tak, pēc lietus paceļas ūdens līmenis, kas nozīmē, ka laiks akmenim nokrist līdz ūdens līmenim ir mazāks, un šeit tiek ņemta greznā frāze "lai izmērītais laiks mainītos". par konkrētu nozīmi: kritiena laiks nepalielinās, bet tiek samazināts par norādītajām sekundēm. Tas nozīmē, ka metiena gadījumā pēc lietus mums vienkārši jāatņem c no sākotnējā laika c, un mēs iegūstam augstuma vienādojumu, kādā akmens lidos pēc lietus:

Un visbeidzot, lai noskaidrotu, cik daudz ūdens līmenim vajadzētu celties pēc lietus, lai izmērītais laiks mainītos par s, jums vienkārši jāatskaita otrais no pirmā kritiena augstuma!

Mēs saņemam atbildi: par metru.

Kā redzat, nekas sarežģīts nav, galvenais, pārāk nesatraucieties par to, kur rodas tik nesaprotams un dažreiz kompleksais vienādojums apstākļos, kādos tas radās un ko viss tajā nozīmē, pieņem manu vārdu, lielākā daļa šo vienādojumu ir ņemti no fizikas, un tur savvaļas ir sliktākas nekā algebrā. Man dažreiz šķiet, ka šie uzdevumi tika izdomāti, lai iebiedētu studentu eksāmenā ar sarežģītu formulu un terminu pārpilnību, un vairumā gadījumu tiem gandrīz nav vajadzīgas zināšanas. Vienkārši uzmanīgi izlasiet nosacījumu un aizstājiet formulā zināmās vērtības!

Šeit ir vēl viena problēma, kas vairs nav fizikas, bet no ekonomikas teorijas pasaules, lai gan zināšanas par citām zinātnēm, izņemot matemātiku, šeit atkal nav vajadzīgas.

2. uzdevums

Monopoluzņēmuma produkcijas pieprasījuma apjoma (vienības mēnesī) atkarību no cenas (tūkstoš rubļu) nosaka pēc formulas

Uzņēmuma mēneša ieņēmumi (tūkstoš rubļu) tiek aprēķināti pēc formulas. Nosakiet augstāko cenu, par kuru ikmēneša ieņēmumi būs vismaz tūkstotis rubļu. Sniedziet atbildi tūkstošos rubļu.

Uzminiet, ko es tagad darīšu? Jā, es sākšu aizstāt to, ko mēs zinām, bet, atkal, jums joprojām ir nedaudz jāpadomā. Ejam no beigām, mums jāatrod, kurā. Tātad, ir vienāds ar dažiem, mēs atrodam, ar ko vēl tas ir vienāds, un tas ir vienāds, un mēs to pierakstīsim. Kā redzat, es īpaši neuztraucos par visu šo daudzumu nozīmi, es tikai skatos no apstākļiem, kas ir vienāds ar ko, tas ir jādara. Atgriezīsimies pie uzdevuma, jums tas jau ir, bet, kā atceraties, no viena vienādojuma ar diviem mainīgajiem nevar atrast nevienu no tiem, ko darīt? Jā, mums joprojām ir neizmantota daļiņa. Šeit jau ir divi vienādojumi un divi mainīgie, kas nozīmē, ka tagad var atrast abus mainīgos - lieliski!

Vai jūs varat atrisināt šādu sistēmu?

Mēs risinām ar aizstāšanu, mēs to jau esam izteikuši, kas nozīmē, ka mēs to aizstāsim pirmajā vienādojumā un vienkāršosim.

Izrādās, šeit ir šāds kvadrātvienādojums: , mēs atrisinām, saknes ir šādas, . Uzdevumā ir jāatrod augstākā cena, par kuru tiks izpildīti visi nosacījumi, kurus ņēmām vērā, veidojot sistēmu. Ak, izrādās, tā bija cena. Forši, tāpēc mēs atradām cenas: un. Augstākā cena, jūs sakāt? Labi, lielākais no tiem, protams, mēs to rakstām kā atbildi. Nu, vai tas ir grūti? Es domāju, ka nē, un jums nevajag tajā pārāk iedziļināties!

Un šeit jums ir biedējoša fizika vai drīzāk cita problēma:

3. uzdevums

Zvaigžņu efektīvās temperatūras noteikšanai tiek izmantots Stefana-Bolcmaņa likums, saskaņā ar kuru, kur ir zvaigznes starojuma jauda, ​​ir konstante, ir zvaigznes virsmas laukums un ir temperatūra. Ir zināms, ka noteiktas zvaigznes virsmas laukums ir vienāds, un tās starojuma jauda ir vienāda ar W. Atrodiet šīs zvaigznes temperatūru Kelvina grādos.

Kur ir skaidrs? Jā, nosacījums saka, kas ir vienāds ar ko. Iepriekš es ieteicu nekavējoties aizstāt visus nezināmos, taču šeit labāk ir vispirms izteikt meklēto nezināmo. Paskaties, cik viss ir vienkārši: ir formula un tās ir zināmas, un (tas ir grieķu burts "sigma". Vispār fiziķi mīl grieķu burtus, pierod). Temperatūra nav zināma. Izteiksim to formulas veidā. Kā to izdarīt, es ceru, ka jūs zināt? Šādi GIA uzdevumi 9. klasē parasti sniedz:

Tagad atliek labajā pusē aizstāt ciparus, nevis burtus, un vienkāršot:

Lūk, atbilde: Kelvina grādi! Un cik tas bija šausmīgs uzdevums!

Mēs turpinām mocīt problēmas fizikā.

4. uzdevums

Uzmestas bumbas augstums virs zemes mainās saskaņā ar likumu, kur augstums metros ir laiks sekundēs, kas pagājis kopš metiena. Cik sekundes bumba atradīsies vismaz trīs metru augstumā?

Tie bija visi vienādojumi, bet šeit ir jānosaka, cik bumba bija vismaz trīs metru augstumā, kas nozīmē augstumā. Ko mēs taisīsim? Nevienlīdzība, jā! Mums ir funkcija, kas apraksta, kā bumba lido, kur ir tieši vienāds augstums metros, mums ir vajadzīgs augstums. Līdzekļi

Un tagad jūs vienkārši atrisiniet nevienlīdzību, pats galvenais, neaizmirstiet mainīt nevienlīdzības zīmi no vairāk vai vienāds uz mazāku vai vienādu, reizinot ar abām nevienlīdzības daļām, lai atbrīvotos no mīnusa priekšā.

Šeit ir saknes, mēs veidojam nevienlīdzības intervālus:

Mūs interesē intervāls, kurā zīme ir mīnus, jo nevienlīdzība tur ņem negatīvas vērtības, tas ir no līdz abām ieskaitot. Un tagad ieslēdzam smadzenes un rūpīgi domājam: nevienlīdzībai izmantojām vienādojumu, kas apraksta bumbas lidojumu, tā kaut kā lido pa parabolu, t.i. paceļas, sasniedz virsotni un krīt, kā saprast, cik ilgi tas būs vismaz metru augstumā? Atradām 2 pagrieziena punktus, t.i. brīdis, kad tas paceļas virs metriem un brīdis, kad krītot sasniedz vienu un to pašu atzīmi, šie divi punkti mūsu formā izpaužas laika formā, t.i. mēs zinām, kurā lidojuma sekundē tas iekļuva mūs interesējošajā zonā (virs metriem) un kurā to atstāja (nokrita zem metra atzīmes). Cik sekundes viņš atradās šajā zonā? Loģiski, ka mēs ņemam izejas laiku no zonas un atņemam no tā ieiešanas laiku šajā zonā. Attiecīgi: - tik daudz viņš bija zonā virs metriem, tā ir atbilde.

Jums ir tā paveicies, ka lielāko daļu piemēru par šo tēmu var ņemt no fizikas uzdevumu kategorijas, tāpēc noķer vēl vienu, tas ir galīgais, tāpēc spiediet, palicis ļoti maz!

5. uzdevums

Noteiktas ierīces sildelementam eksperimentāli tika iegūta temperatūras atkarība no darbības laika:

Kur ir laiks minūtēs. Ir zināms, ka sildelementa temperatūrā virs ierīce var pasliktināties, tāpēc tā ir jāizslēdz. Atrodi caur kuru visilgākais laiks pēc darba sākšanas izslēdziet ierīci. Izsakiet savu atbildi minūtēs.

Mēs rīkojamies pēc labi izveidotas shēmas, visu, kas tiek dots, vispirms izrakstām:

Tagad mēs ņemam formulu un pielīdzinām to temperatūras vērtībai, līdz kurai ierīci var pēc iespējas vairāk uzsildīt, līdz tā izdeg, tas ir:

Tagad mēs aizstājam ciparus, nevis burtus, kur tie ir zināmi:

Kā redzat, ir aprakstīta temperatūra ierīces darbības laikā kvadrātvienādojums, kas nozīmē, ka tas ir sadalīts pa parabolu, t.i. ierīce uzsilst līdz noteiktai temperatūrai un pēc tam atdziest. Atbildes saņēmām un līdz ar to sildīšanas minūšu laikā un laikā temperatūra ir kritiska, bet starp un minūtēm pat augstāka par robežu!

Tātad, ierīce ir jāizslēdz pēc minūtes.

MATEMĀTISKIE MODEĻI. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Visbiežāk fizikā tiek izmantoti matemātiskie modeļi: galu galā jums, iespējams, bija jāiegaumē desmitiem fizisko formulu. Un formula ir situācijas matemātiskais attēlojums.

OGE un vienotajā valsts eksāmenā ir uzdevumi tikai par šo tēmu. USE (profilā) tas ir uzdevums ar numuru 11 (agrāk B12). OGE — uzdevums numurs 20.

Risinājuma shēma ir acīmredzama:

1) No nosacījuma teksta ir nepieciešams “izolēt” noderīgu informāciju - to, ko mēs rakstām fizikas uzdevumos ar vārdu “Dots”. Šī noderīgā informācija ir:

• Formula
• Zināmi fizikālie lielumi.

Tas ir, katram burtam no formulas ir jāpiešķir noteikts numurs.

2) Ņem visus zināmos daudzumus un aizstāj tos formulā. Nezināmā vērtība paliek kā burts. Tagad jums vienkārši jāatrisina vienādojums (parasti diezgan vienkāršs), un atbilde ir gatava.

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? Nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (ne obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Instrukcija

Statistiskās modelēšanas metodi (statistiskos testus) parasti sauc par "Montekarlo" metodi. Šī metode ir īpašs matemātiskās modelēšanas gadījums, un tās pamatā ir nejaušu parādību varbūtības modeļu izveide. Jebkura nejaušības pamatā ir nejaušs mainīgais vai nejaušs process. Šajā gadījumā nejaušs process no varbūtības viedokļa tiek aprakstīts kā n-dimensiju nejaušs mainīgais. Gadījuma lieluma kopējā varbūtība nosaka tā varbūtības blīvumu. Zināšanas par šo sadalījuma likumu ļauj iegūt nejaušu procesu digitālus modeļus datorā, nevis pilna mēroga eksperimentus ar tiem. Tas viss ir iespējams tikai diskrētā formā un diskrētā laikā, kas jāņem vērā, veidojot statiskus modeļus.

Statiskajā modelēšanā ir jāatsakās no konkrētas parādības aplūkošanas, koncentrējoties tikai uz tās varbūtības raksturlielumiem. Tas dod iespēju izmantot vienkāršāko parādību modelēšanai, kurām ir varbūtības rādītāji ar simulēto parādību. Piemēram, jebkuru notikumu, kas notiek ar varbūtību 0,5, var simulēt, vienkārši izmetot simetrisku monētu. Katrs atsevišķs statistiskās modelēšanas posms tiek saukts par izlozi. Tātad, lai noteiktu matemātiskās cerības novērtējumu, būs nepieciešami N nejaušā mainīgā lieluma (CV) X zīmējumi.

Galvenais rīks modelēšanai datorā ir nejaušu skaitļu sensori, kas vienādi intervālā (0, 1). Tātad Pascal vidē šāds nejaušs skaitlis tiek izsaukts, izmantojot komandu Random. Šim gadījumam kalkulatoros ir paredzēta poga RND. Ir arī šādu nejaušu skaitļu tabulas (izmērā līdz 1 000 000). Vienmēra vērtību uz (0, 1) SW Z apzīmē ar z.

Apsveriet paņēmienu patvaļīga gadījuma lieluma modelēšanai, izmantojot sadalījuma funkcijas nelineāru transformāciju. Šai metodei nav metodisku kļūdu. Nepārtrauktā SW X sadalījuma likumu uzdod ar varbūtības blīvumu W(x). No šejienes sāciet gatavoties simulācijai un tās ieviešanai.

Atrodiet sadalījuma funkciju X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Ņemiet Z=z un atrisiniet vienādojumu z=F(x) priekš x (tas vienmēr ir iespējams, jo gan Z, gan F(x) ir no nulles līdz vienam). Pierakstiet risinājumu x=F^(-1)( z ). Šis ir modelēšanas algoritms. F^(-1) ir F apgrieztā vērtība. Atliek tikai konsekventi iegūt digitālā modeļa X* CD X vērtības xi, izmantojot šo algoritmu.

Piemērs. SW ir norādīts ar varbūtības blīvumu W(x)=λexp(-λx), x≥0 (eksponenciālais sadalījums). Atrast digitālo modeli.Risinājums.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1-exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Tā kā gan z, gan 1-z ir vērtības intervālā (0, 1) un tās ir vienādas, tad (1-z) var aizstāt ar z. 3. Eksponenciālā SW modelēšanas procedūra tiek veikta pēc formulas x=(-1/λ)∙lnz. Precīzāk, xi=(-1/λ)ln(zi).

Saskaņā ar Sovetova un Jakovļeva mācību grāmatu: "modelis (lat. modulis - mērs) ir oriģinālā objekta aizvietotājs, kas nodrošina dažu oriģināla īpašību izpēti." (6. lpp.) "Viena objekta aizstāšanu ar citu, lai ar modeļa objekta palīdzību iegūtu informāciju par svarīgākajām sākotnējā objekta īpašībām, sauc par modelēšanu." (6. lpp.) “Pie matemātiskās modelēšanas mēs sapratīsim kāda matemātiskā objekta atbilstības noteikšanas procesu noteiktam reālam objektam, ko sauc par matemātisko modeli, un šī modeļa izpēti, kas ļauj iegūt aplūkojamā reālā objekta raksturlielumus. . Matemātiskā modeļa veids ir atkarīgs gan no reālā objekta rakstura, gan objekta izpētes uzdevumiem un šīs problēmas risināšanas nepieciešamās ticamības un precizitātes.

Visbeidzot, visprecīzākā matemātiskā modeļa definīcija: "Vienādojums, kas izsaka ideju».

Modeļu klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija

Modeļu formālās klasifikācijas pamatā ir izmantoto matemātisko rīku klasifikācija. Bieži būvēta dihotomiju veidā. Piemēram, viena no populārākajām dihotomiju kopām ir:

utt. Katrs konstruētais modelis ir lineārs vai nelineārs, deterministisks vai stohastisks, ... Dabiski, ka ir iespējami arī jaukti tipi: koncentrēti vienā aspektā (parametru ziņā), sadalīti modeļi citā utt.

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida

Kopā ar formālo klasifikāciju modeļi atšķiras ar veidu, kā tie attēlo objektu:

• Strukturālie vai funkcionālie modeļi

Strukturālie modeļi attēlo objektu kā sistēmu ar savu ierīci un darbības mehānismu. funkcionālie modeļi neizmanto šādus priekšstatus un atspoguļo tikai ārēji uztveramo objekta uzvedību (funkciju). Savā galējā izteiksmē tos sauc arī par "melnās kastes" modeļiem. Ir iespējami arī kombinēti modeļu veidi, kurus dažkārt dēvē par "modeļiem" pelēka kaste».

Satura un formālie modeļi

Gandrīz visi autori, kas apraksta matemātiskās modelēšanas procesu, norāda, ka vispirms tiek uzbūvēta īpaša ideāla konstrukcija, satura modelis. Šeit nav izveidota terminoloģija, un citi autori šo ideālo objektu sauc konceptuālais modelis , spekulatīvs modelis vai priekšmodelis. Šajā gadījumā tiek izsaukta galīgā matemātiskā konstrukcija formālais modelis vai vienkārši matemātiskais modelis, kas iegūts šī satura modeļa (pirmsmodelis) formalizācijas rezultātā. Jēgpilna modeļa konstruēšanu var veikt, izmantojot gatavu idealizāciju kopumu, kā tas ir mehānikā, kur ideālas atsperes, stingri ķermeņi, ideāli svārsti, elastīgie materiāli utt. strukturālie elementi jēgpilnai modelēšanai. Tomēr zināšanu jomās, kurās nav pilnībā pabeigtu formalizētu teoriju (fizikas, bioloģijas, ekonomikas, socioloģijas, psiholoģijas un vairumā citu jomu līderi), jēgpilnu modeļu izveide ir ievērojami sarežģītāka.

Nozīmīga modeļu klasifikācija

Nevienu zinātnes hipotēzi nevar pierādīt vienreiz un uz visiem laikiem. Ričards Feinmens to ļoti skaidri izteica:

"Mums vienmēr ir iespēja atspēkot teoriju, taču ņemiet vērā, ka mēs nekad nevaram pierādīt, ka tā ir pareiza. Pieņemsim, ka jūs izvirzījāt veiksmīgu hipotēzi, aprēķiniet, kurp tā ved, un konstatējat, ka visas tās sekas tiek apstiprinātas eksperimentāli. Vai tas nozīmē, ka jūsu teorija ir pareiza? Nē, tas vienkārši nozīmē, ka jums neizdevās to atspēkot.

Ja tiek uzbūvēts pirmā tipa modelis, tas nozīmē, ka tas īslaicīgi tiek atzīts par patiesu un var koncentrēties uz citām problēmām. Tomēr tas nevar būt izpētes punkts, bet tikai īslaicīga pauze: pirmā tipa modeļa statuss var būt tikai īslaicīgs.

2. veids: Fenomenoloģiskais modelis (uzvedies it kā…)

Fenomenoloģiskais modelis satur fenomena aprakstīšanas mehānismu. Taču šis mehānisms nav pietiekami pārliecinošs, to nevar pietiekami apstiprināt ar pieejamajiem datiem vai arī labi nesaskan ar pieejamajām teorijām un uzkrātajām zināšanām par objektu. Tāpēc fenomenoloģiskiem modeļiem ir pagaidu risinājumu statuss. Domājams, ka atbilde joprojām nav zināma un jāturpina meklēt "patiesos mehānismus". Peierls atsaucas, piemēram, uz otro veidu elementārdaļiņu kaloriju modeli un kvarku modeli.

Modeļa loma pētījumos laika gaitā var mainīties, var gadīties, ka jauni dati un teorijas apstiprina fenomenoloģiskos modeļus un tie tiek izvirzīti hipotēzes statusā. Tāpat jaunas zināšanas var pakāpeniski nonākt pretrunā ar pirmā tipa modeļiem-hipotēzēm un pārnest uz otro. Tādējādi kvarku modelis pamazām pāriet hipotēžu kategorijā; atomisms fizikā radās kā pagaidu risinājums, bet vēstures gaitā tas pārgāja pirmajā tipā. Bet ētera modeļi ir kļuvuši no 1. tipa uz 2. veidu, un tagad tie ir ārpus zinātnes.

Veidojot modeļus, ideja par vienkāršošanu ir ļoti populāra. Bet vienkāršošana ir atšķirīga. Peierls modelēšanā izšķir trīs vienkāršojumu veidus.

3. veids: Tuvināšana (kaut kas tiek uzskatīts par ļoti lielu vai ļoti mazu)

Ja ir iespējams izveidot vienādojumus, kas apraksta pētāmo sistēmu, tas nenozīmē, ka tos var atrisināt pat ar datora palīdzību. Izplatīts paņēmiens šajā gadījumā ir tuvinājumu izmantošana (3. tipa modeļi). Starp viņiem lineārās atbildes modeļi. Vienādojumi tiek aizstāti ar lineāriem. Standarta piemērs ir Oma likums.

Un šeit ir 8. tips, ko plaši izmanto bioloģisko sistēmu matemātiskajos modeļos.

8. veids: Iespējas demonstrācija (galvenais ir parādīt iespēju iekšējo konsekvenci)

Tie arī ir domu eksperimenti. ar iedomātām entītijām, kas to pierāda domājama parādība saskaņā ar pamatprincipiem un iekšēji konsekventi. Šī ir galvenā atšķirība no 7. tipa modeļiem, kas atklāj slēptās pretrunas.

Viens no slavenākajiem no šiem eksperimentiem ir Lobačevska ģeometrija (Lobačevskis to nosauca par "iedomātu ģeometriju"). Vēl viens piemērs ir formāli kinētisko ķīmisko un bioloģisko svārstību, autoviļņu uc modeļu masveida ražošana. Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss tika iecerēts kā 7. tipa modelis, lai demonstrētu kvantu mehānikas nekonsekvenci. Pilnīgi neplānotā veidā tas galu galā pārtapa 8. tipa modelī – informācijas kvantu teleportācijas iespējas demonstrācijā.

Piemērs

Apskatīsim mehānisko sistēmu, kas sastāv no vienā galā nostiprinātas atsperes un masas slodzes, kas piestiprināta atsperes brīvajam galam. Mēs pieņemsim, ka slodze var pārvietoties tikai atsperes ass virzienā (piemēram, kustība notiek gar stieni). Izveidosim šīs sistēmas matemātisko modeli. Sistēmas stāvokli aprakstīsim pēc attāluma no slodzes centra līdz tās līdzsvara stāvoklim. Aprakstīsim atsperes un slodzes mijiedarbību, izmantojot Huka likums(), pēc kura mēs izmantojam Ņūtona otro likumu, lai izteiktu to diferenciālvienādojuma veidā:

kur nozīmē otro atvasinājumu no laika ziņā: .

Iegūtais vienādojums apraksta aplūkotās fiziskās sistēmas matemātisko modeli. Šo modeli sauc par "harmonisko oscilatoru".

Pēc formālās klasifikācijas šis modelis ir lineārs, deterministisks, dinamisks, koncentrēts, nepārtraukts. Tās konstruēšanas procesā mēs izdarījām daudzus pieņēmumus (par ārējo spēku neesamību, berzes neesamību, noviržu mazumu utt.), kas patiesībā var arī nepiepildīties.

Attiecībā uz realitāti tas visbiežāk ir 4. tipa modelis. vienkāršošana(“skaidrības labad mēs izlaižam dažas detaļas”), jo dažas būtiskas universālas pazīmes (piemēram, izkliedēšana) ir izlaistas. Kaut kādā tuvinājumā (teiksim, kamēr slodzes novirze no līdzsvara ir maza, ar nelielu berzi, ne pārāk ilgi un pakļauti noteiktiem citiem nosacījumiem) šāds modelis diezgan labi raksturo reālu mehānisko sistēmu, jo izmestajiem faktoriem ir niecīga ietekme uz tās uzvedību. Tomēr modeli var uzlabot, ņemot vērā dažus no šiem faktoriem. Tādējādi tiks izveidots jauns modelis ar plašāku (lai gan atkal ierobežotu) darbības jomu.

Tomēr, ja modelis tiek pilnveidots, tā matemātiskā pētījuma sarežģītība var ievērojami palielināties un padarīt modeli praktiski nederīgu. Bieži vien vienkāršāks modelis ļauj labāk un dziļāk izpētīt reālo sistēmu nekā sarežģītāks (un formāli “pareizāks”) modelis.

Ja mēs izmantojam harmonisko oscilatoru modeli objektiem, kas ir tālu no fizikas, tā nozīmes statuss var atšķirties. Piemēram, piemērojot šo modeli bioloģiskajām populācijām, tas, visticamāk, būtu attiecināms uz 6. tipu līdzība(“Ņemsim vērā tikai dažas funkcijas”).

Cietie un mīkstie modeļi

Harmoniskais oscilators ir tā sauktā "cietā" modeļa piemērs. To iegūst reālas fiziskās sistēmas spēcīgas idealizācijas rezultātā. Lai atrisinātu jautājumu par tā piemērojamību, ir jāsaprot, cik nozīmīgi ir faktori, kurus esam atstājuši novārtā. Citiem vārdiem sakot, ir jāizpēta "mīkstais" modelis, kas iegūts ar nelielu "cietā" perturbāciju. To var dot, piemēram, ar šādu vienādojumu:

Šeit - kāda funkcija, kurā var ņemt vērā berzes spēku vai atsperes stinguma koeficienta atkarību no tās stiepšanās pakāpes - kāds mazs parametrs. Izteiktā funkcijas forma mūs šobrīd neinteresē. Ja pierādīsim, ka mīkstā modeļa uzvedība būtiski neatšķiras no cietā (neatkarīgi no traucējošo faktoru izteiktās formas, ja tie ir pietiekami mazi), problēma tiks reducēta uz cietā modeļa izpēti. Pretējā gadījumā stingrā modeļa izpētē iegūto rezultātu pielietošanai būs nepieciešami papildu pētījumi. Piemēram, harmoniskā oscilatora vienādojuma risinājums ir formas funkcijas, tas ir, svārstības ar nemainīgu amplitūdu. Vai no tā izriet, ka īsts oscilators svārstīsies bezgalīgi ar nemainīgu amplitūdu? Nē, jo, ņemot vērā sistēmu ar patvaļīgi mazu berzi (vienmēr pastāv reālā sistēmā), mēs iegūstam slāpētas svārstības. Sistēmas uzvedība ir kvalitatīvi mainījusies.

Ja sistēma saglabā savu kvalitatīvo uzvedību nelielu traucējumu gadījumā, tā tiek uzskatīta par strukturāli stabilu. Harmoniskais oscilators ir strukturāli nestabilas (neapstrādātas) sistēmas piemērs. Tomēr šo modeli var izmantot, lai pētītu procesus ierobežotos laika intervālos.

Modeļu universālums

Svarīgākajiem matemātiskajiem modeļiem parasti ir svarīgs īpašums universālums: principiāli atšķirīgas reālas parādības var aprakstīt ar vienu un to pašu matemātisko modeli. Piemēram, harmoniskais oscilators apraksta ne tikai slodzes uzvedību uz atsperes, bet arī citus svārstību procesus, kas bieži vien ir pilnīgi atšķirīgi: nelielas svārsta svārstības, šķidruma līmeņa svārstības formas traukā vai strāvas stipruma izmaiņas svārstību ķēdē. Tādējādi, pētot vienu matemātisko modeli, mēs pētām uzreiz veselu ar to aprakstīto parādību klasi. Tas ir šis likumu izomorfisms, kas izteikts ar matemātiskajiem modeļiem dažādos segmentos zinātniskās zināšanas, Ludviga fon Bertalanfi varoņdarbs, veidojot "Vispārīgo sistēmu teoriju".

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

Ar matemātisko modelēšanu ir saistītas daudzas problēmas. Pirmkārt, ir jāizdomā modelējamā objekta pamatshēma, jāatveido tā šīs zinātnes idealizāciju ietvaros. Tātad vilciena vagons pārvēršas par plākšņu un sarežģītāku virsbūvju sistēmu, kas izgatavota no dažādiem materiāliem, katram materiālam tiek dota standarta mehāniskā idealizācija (blīvums, elastības moduļi, standarta stiprības raksturlielumi), pēc tam pa ceļam tiek sastādīti vienādojumi. dažas detaļas tiek izmestas kā nenozīmīgas, tiek veikti aprēķini, salīdzināti ar mērījumiem, tiek precizēts modelis utt. Tomēr, lai attīstītu matemātiskās modelēšanas tehnoloģijas, ir lietderīgi šo procesu izjaukt tā galvenajos veidojošos elementos.

Tradicionāli ir divas galvenās problēmas, kas saistītas ar matemātiskajiem modeļiem: tiešās un apgrieztās.

Tieša problēma: modeļa struktūra un visi tā parametri tiek uzskatīti par zināmiem, galvenais uzdevums ir izpētīt modeli, lai iegūtu noderīgas zināšanas par objektu. Kādu statisko slodzi tilts var izturēt? Kā tā reaģēs uz dinamisku slodzi (piemēram, uz karavīru rotas gājienu, vai uz vilciena caurbraukšanu dažādos ātrumos), kā lidmašīna pārvarēs skaņas barjeru, vai tā izjuks no plandīšanās - tie ir tipiski tieša uzdevuma piemēri. Pareizas tiešās problēmas iestatīšana (pareizā jautājuma uzdošana) prasa īpašas prasmes. Ja netiek uzdoti pareizie jautājumi, tilts var sabrukt, pat ja tā uzvedībai ir uzbūvēts labs modelis. Tā 1879. gadā Lielbritānijā sabruka metāla tilts pāri Tejas upei, kura projektētāji uzbūvēja tilta modeli, aprēķināja to 20-kārtīgu lietderīgās kravas drošības rezervi, bet aizmirsa par šajās vietās nemitīgi pūšošajiem vējiem. . Un pēc pusotra gada tas sabruka.

Vienkāršākajā gadījumā (piemēram, viens oscilatora vienādojums) tiešā problēma ir ļoti vienkārša un reducējas līdz šī vienādojuma skaidram risinājumam.

Apgrieztā problēma: ir zināmi daudzi iespējamie modeļi, nepieciešams izvēlēties konkrētu modeli, pamatojoties uz papildu datiem par objektu. Visbiežāk ir zināma modeļa struktūra un ir jānosaka daži nezināmi parametri. Papildus informācija var ietvert papildu empīriskus datus vai prasības objektam ( projektēšanas uzdevums). Papildu dati var nākt neatkarīgi no apgrieztās problēmas risināšanas procesa ( pasīvā novērošana) vai būt risinājuma laikā īpaši plānota eksperimenta rezultāts ( aktīva uzraudzība).

Viens no pirmajiem piemēriem apgrieztas problēmas virtuozam risinājumam ar pēc iespējas pilnīgāku pieejamo datu izmantošanu bija I. Ņūtona konstruētā metode berzes spēku rekonstrukcijai no novērotajām slāpētām svārstībām.

Vēl viens piemērs ir matemātiskā statistika. Šīs zinātnes uzdevums ir izstrādāt novērojumu un eksperimentālo datu reģistrēšanas, aprakstīšanas un analīzes metodes, lai izveidotu nejaušu masu parādību varbūtības modeļus. Tie. iespējamo modeļu kopa ir ierobežota ar varbūtības modeļiem. Konkrētās problēmās modeļu kopums ir ierobežotāks.

Datoru simulācijas sistēmas

Matemātiskās modelēšanas atbalstam ir izstrādātas datormatemātikas sistēmas, piemēram, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim u.c. Tās ļauj izveidot formālus un bloku modeļus gan vienkāršiem, gan sarežģītiem procesiem un ierīcēm un viegli mainīt modeļa parametrus darbības laikā. simulācija. Bloku modeļi tiek attēloti ar blokiem (visbiežāk grafiski), kuru komplektu un savienojumu nosaka modeļa diagramma.

Papildu piemēri

Malthus modelis

Pieauguma temps ir proporcionāls pašreizējam iedzīvotāju skaitam. To apraksta ar diferenciālvienādojumu

kur ir noteikts parametrs, ko nosaka starpība starp dzimstību un mirstības līmeni. Šī vienādojuma risinājums ir eksponenciāla funkcija. Ja dzimstība pārsniedz mirstības līmeni (), iedzīvotāju skaits palielinās bezgalīgi un ļoti ātri. Skaidrs, ka reāli tas nevar notikt ierobežoto resursu dēļ. Kad tiek sasniegts noteikts kritiskais populācijas lielums, modelis pārstāj būt adekvāts, jo neņem vērā ierobežotos resursus. Maltusa modeļa pilnveidojums var būt loģistikas modelis, ko apraksta Verhulsta diferenciālvienādojums.

kur ir "līdzsvara" populācijas lielums, pie kura dzimstību precīzi kompensē mirstības līmenis. Populācijas lielums šādā modelī tiecas uz līdzsvara vērtību , un šī uzvedība ir strukturāli stabila.

plēsoņu-laupījumu sistēma

Pieņemsim, ka noteiktā teritorijā dzīvo divu veidu dzīvnieki: truši (ēd augus) un lapsas (ēd trušus). Lai trušu skaits, lapsu skaits. Izmantojot Malthus modeli ar nepieciešamajiem labojumiem, ņemot vērā trušu ēšanu no lapsām, mēs nonākam pie šādas sistēmas, kas nes nosaukumu paplātes modeļi - Volterra:

Šai sistēmai ir līdzsvara stāvoklis, kurā trušu un lapsu skaits ir nemainīgs. Novirze no šī stāvokļa izraisa trušu un lapsu skaita svārstības, kas ir līdzīgas harmoniskā oscilatora svārstībām. Tāpat kā harmoniskā oscilatora gadījumā, šī uzvedība nav strukturāli stabila: neliela modeļa maiņa (piemēram, ņemot vērā ierobežotos resursus, kas nepieciešami trušiem) var izraisīt kvalitatīvas izmaiņas uzvedībā. Piemēram, līdzsvara stāvoklis var kļūt stabils, un iedzīvotāju skaita svārstības izzudīs. Iespējama arī pretēja situācija, kad jebkura neliela novirze no līdzsvara stāvokļa novedīs pie katastrofālām sekām līdz pat vienas sugas pilnīgai izzušanai. Uz jautājumu, kurš no šiem scenārijiem tiek realizēts, Volterras-Lotkas modelis atbildi nesniedz: šeit ir nepieciešama papildu izpēte.

Piezīmes

1. "Realitātes matemātisks attēlojums" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Par kibernētiskās modelēšanas filozofiskajiem jautājumiem. M., Zināšanas, 1964. gads.
3. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskis A. A., Mihailovs A. P. Matemātiskā modelēšana. Idejas. Metodes. Piemēri. - 2. izdevums, labots. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostjanovs, A.G. Tehnoloģisko procesu modelēšana: mācību grāmata / A.G. Sevostjanovs, P.A. Sevostjanovs. - M .: Viegli un pārtikas rūpniecība, 1984. - 344 lpp.
7. Vikivārdnīca: matemātiskie modeļi
8. CliffsNotes.com. Zemes zinātnes glosārijs. 2010. gada 20. septembris
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlīne-Heidelberga-Ņujorka, 2006. XII+562 lpp. ISBN 3-540-35885-4
10. "Teorija tiek uzskatīta par lineāru vai nelineāru atkarībā no tā, kādu - lineāru vai nelineāru - matemātisko aparātu, kādus - lineārus vai nelineārus - matemātiskos modeļus tā izmanto. ... nenoliedzot pēdējo. Mūsdienu fiziķis, ja viņam no jauna definētu tik svarīgu būtību kā nelinearitāte, visticamāk, rīkotos citādi un, dodot priekšroku nelinearitātei kā svarīgākajam un kopīgākajam no diviem pretstatiem, linearitāti definētu kā “nelinearitāti. linearitāte”. Daņilovs Ju.A., Lekcijas par nelineāro dinamiku. Elementārs ievads. Sinerģētika: no pagātnes uz nākotnes sērijām. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 lpp. ISBN 5-484-00183-8
11. "Dinamikas sistēmas, kas modelētas ar ierobežotu skaitu parastu diferenciālvienādojumu, sauc par saliktām vai punktu sistēmām. Tie ir aprakstīti, izmantojot ierobežotu dimensiju fāzes telpu, un tos raksturo ierobežots brīvības pakāpju skaits. Vienu un to pašu sistēmu dažādos apstākļos var uzskatīt par koncentrētu vai izkliedētu. Sadalīto sistēmu matemātiskie modeļi ir daļēji diferenciālvienādojumi, integrālvienādojumi vai parastie aiztures vienādojumi. Sadalītas sistēmas brīvības pakāpju skaits ir bezgalīgs, un, lai noteiktu tās stāvokli, ir nepieciešams bezgalīgs datu skaits. Aniščenko V.S., Dynamic Systems, Sorosa izglītības žurnāls, 1997, Nr. 11, lpp. 77-84.
12. “Atkarībā no pētāmo procesu rakstura sistēmā S, visus modelēšanas veidus var iedalīt deterministiskajā un stohastiskajā, statiskajā un dinamiskajā, diskrētajā, nepārtrauktajā un diskrētajā-nepārtrauktajā. Deterministiskā modelēšana parāda deterministiskos procesus, tas ir, procesus, kuros tiek pieņemts, ka nav nejaušas ietekmes; Stohastiskā modelēšana parāda varbūtības procesus un notikumus. … Statisko modelēšanu izmanto, lai aprakstītu objekta uzvedību jebkurā brīdī, savukārt dinamiskā modelēšana atspoguļo objekta uzvedību laika gaitā. Diskrētā modelēšana kalpo, lai aprakstītu procesus, kas tiek pieņemti par diskrētiem, attiecīgi nepārtrauktā modelēšana ļauj atspoguļot nepārtrauktus procesus sistēmās, un diskrēta-nepārtraukta modelēšana tiek izmantota gadījumiem, kad vēlaties izcelt gan diskrētu, gan nepārtrauktu procesu klātbūtni. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Parasti matemātiskais modelis atspoguļo modelējamā objekta struktūru (ierīci), šī objekta komponentu īpašības un kopsakarības, kas ir būtiskas pētījuma mērķiem; šādu modeli sauc par strukturālu. Ja modelis atspoguļo tikai to, kā objekts funkcionē – piemēram, kā tas reaģē uz ārējām ietekmēm –, tad to sauc par funkcionālu jeb, tēlaini, par melno kasti. Ir iespējami arī kombinēti modeļi. Miškis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “Skaidrs, bet pats svarīgākais matemātiskā modeļa konstruēšanas vai izvēles sākuma posms ir iegūt pēc iespējas skaidrāku priekšstatu par modelējamo objektu un pilnveidot tā satura modeli, balstoties uz neformālām diskusijām. Šajā posmā nevajadzētu taupīt laiku un pūles, no tā lielā mērā ir atkarīga visa pētījuma veiksme. Vairāk nekā vienu reizi gadījās, ka risināšanai tika pavadīts ievērojams darba apjoms matemātiska problēma, izrādījās neefektīva vai pat izniekota, jo šai lietas pusei netika pievērsta pietiekama uzmanība. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4, lpp. 35.
15. « Sistēmas konceptuālā modeļa apraksts.Šajā sistēmas modeļa izveides apakšposmā: a) konceptuālais modelis M ir aprakstīts abstraktos terminos un jēdzienos; b) modeļa apraksts dots, izmantojot tipiskas matemātiskās shēmas; c) beidzot tiek pieņemtas hipotēzes un pieņēmumi; d) ir pamatota reālo procesu tuvināšanas procedūras izvēle, veidojot modeli. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2, lpp. 93.
16. Blehman I. I., Myshkis A. D.,