Sarežģītu trigonometrisko vienādojumu risinājumu piemēri. Personiskās informācijas aizsardzība. Trigonometrisko vienādojumu risināšana

Jūs varat pasūtīt detalizētu savas problēmas risinājumu!!!

Vienādību, kas satur nezināmo zem trigonometriskās funkcijas zīme (`sin x, cos x, tg x` vai `ctg x`), sauc par trigonometrisko vienādojumu, un mēs tālāk aplūkosim to formulas.

Vienkāršākie vienādojumi ir “sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, kur “x” ir atrodamais leņķis, bet “a” ir jebkurš skaitlis. Uzrakstīsim katrai no tām saknes formulas.

1. Vienādojums “sin x=a”.

`|a|>1` tam nav risinājumu.

Ar `|a| \leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Vienādojums cos x=a

`|a|>1` — tāpat kā sinusa gadījumā, starp reāliem skaitļiem nav atrisinājumu.

Ar `|a| \leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Īpaši gadījumi sinusam un kosinusam grafikos.

3. Vienādojums “tg x=a”.

Ir bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Vienādojums “ctg x=a”.

Tam ir arī bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formulas trigonometrisko vienādojumu saknēm tabulā

Sinusam:
Kosinusam:
Pieskarei un kotangensam:
Formulas vienādojumu risināšanai, kas satur apgrieztas trigonometriskās funkcijas:

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes

Jebkura trigonometriskā vienādojuma atrisināšana sastāv no diviem posmiem:

• izmantojot, lai to pārvērstu par vienkāršāko;
• atrisiniet iegūto vienkāršo vienādojumu, izmantojot iepriekš minētās sakņu un tabulu formulas.

Apsvērsim galvenās risinājuma metodes, izmantojot piemērus.

algebriskā metode.

Šajā metodē tiek veikta mainīgā aizstāšana un tā aizstāšana ar vienādību.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

veikt aizstāšanu: "cos(x+\frac \pi 6)=y", pēc tam "2y^2-3y+1=0",

mēs atrodam saknes: `y_1=1, y_2=1/2`, no kurām izriet divi gadījumi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atbilde: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizācija.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `sin x+cos x=1`.

Risinājums. Pārvietojiet pa kreisi visus vienlīdzības nosacījumus: "sin x+cos x-1=0". Izmantojot , mēs pārveidojam un faktorizējam kreiso pusi:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. "cos x/2-sin x/2=0", "tg x/2=1", "x/2=arctg 1+ \pi n", "x/2=\pi/4+ \pi n" , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Atbilde: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Pirmkārt, šis trigonometriskais vienādojums ir jāsadala vienā no divām formām:

`a sin x+b cos x=0` (pirmās pakāpes homogēns vienādojums) vai `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

Pēc tam sadaliet abas daļas ar “cos x \ne 0” pirmajā gadījumā un ar “cos^2 x \ ne 0” otrajā gadījumā. Mēs iegūstam `tg x` vienādojumus: `a tg x+b=0` un `a tg^2 x + b tg x +c =0`, kas jāatrisina, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Risinājums. Labajā pusē rakstīsim kā `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Šis ir homogēns otrās pakāpes trigonometriskais vienādojums, dalot tā kreiso un labo daļu ar `cos^2 x \ne 0`, iegūstam:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x - 2=0'. Ieviesīsim aizstāšanu `tg x=t`, kā rezultātā `t^2 + t - 2=0`. Šī vienādojuma saknes ir `t_1=-2` un `t_2=1`. Pēc tam:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Atbilde. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.

Dodieties uz Half Corner

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Risinājums. Lietojot dubultā leņķa formulas, rezultāts ir: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0

Izmantojot iepriekš aprakstīto algebrisko metodi, mēs iegūstam:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z.

Atbilde. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Palīgleņķa ieviešana

Trigonometriskajā vienādojumā `a sin x + b cos x =c`, kur a,b,c ir koeficienti un x ir mainīgais, mēs abas daļas sadalām ar `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

Koeficientiem kreisajā pusē ir sinusa un kosinusa īpašības, proti, to kvadrātu summa ir vienāda ar 1 un to modulis nav lielāks par 1. Apzīmēsim tos šādi: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tad:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Apskatīsim tuvāk šādu piemēru:

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Risinājums. Sadalot abas vienādojuma puses ar `sqrt (3^2+4^2)`, iegūstam:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Apzīmē `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Tā kā `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, mēs ņemam `\varphi=arcsin 4/5` kā palīgleņķi. Tad mēs rakstām savu vienādību formā:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Izmantojot sinusa leņķu summas formulu, mēs rakstām savu vienādību šādā formā:

"sin(x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Atbilde. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionāli-racionālie trigonometriskie vienādojumi

Tās ir vienādības ar daļskaitļiem, kuru skaitītājos un saucējos ir trigonometriskās funkcijas.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Risinājums. Reiziniet un sadaliet vienādojuma labo pusi ar (1+cos x)”. Rezultātā mēs iegūstam:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Ņemot vērā, ka saucējs nevar būt nulle, mēs iegūstam `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Pielīdziniet daļskaitļa skaitītāju nullei: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Pēc tam “sin x=0” vai “1-sin x=0”.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Ņemot vērā, ka ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, risinājumi ir `x=2\pi n, n \in Z` un `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Atbilde. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometrija un jo īpaši trigonometriskie vienādojumi tiek izmantoti gandrīz visās ģeometrijas, fizikas un inženierzinātņu jomās. Mācības sākas 10. klasē, eksāmenam vienmēr ir uzdevumi, tāpēc mēģini atcerēties visas trigonometrisko vienādojumu formulas – tās tev noteikti noderēs!

Tomēr jums tie pat nav jāiegaumē, galvenais ir saprast būtību un spēt secināt. Tas nav tik grūti, kā šķiet. Pārliecinies pats, skatoties video.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi veidošanai telpā
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

3. Divas galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
4. Homogēni trigonometriskie vienādojumi.
5. Piemēri.

Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

Puiši, mēs jau esam pētījuši arcsīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Tagad aplūkosim trigonometriskos vienādojumus kopumā.

Trigonometriskie vienādojumi - vienādojumi, kuros mainīgais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.

Mēs atkārtojam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas formu:

1) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam cos(x) = a ir risinājums:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam sin(x) = a ir risinājums:

3) Ja |a| > 1, tad vienādojumam sin(x) = a un cos(x) = a nav atrisinājumu 4) Vienādojumam tg(x)=a ir risinājums: x=arctg(a)+ πk

5) Vienādojumam ctg(x)=a ir risinājums: x=arcctg(a)+ πk

Visām formulām k ir vesels skaitlis

Vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem ir šāda forma: Т(kx+m)=a, T- jebkura trigonometriska funkcija.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumus: a) sin(3x)= √3/2

Risinājums:

A) Apzīmēsim 3x=t, tad pārrakstīsim mūsu vienādojumu formā:

Šī vienādojuma risinājums būs: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

No vērtību tabulas mēs iegūstam: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Atgriezīsimies pie mainīgā: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tad x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atbilde: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n ir vesels skaitlis. (-1)^n — mīnus viens līdz pakāpei n.

Vairāk trigonometrisko vienādojumu piemēru.

Atrisiniet vienādojumus: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Risinājums:

A) Šoreiz mēs tūlīt pāriesim tieši uz vienādojuma sakņu aprēķināšanu:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tad x/5= πk => x=5πk

Atbilde: x=5πk, kur k ir vesels skaitlis.

B) Rakstām formā: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Mēs zinām, ka: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atbilde: x=2π/9 + πk/3, kur k ir vesels skaitlis.

Atrisiniet vienādojumus: cos(4x)= √2/2. Un atrodiet visas saknes segmentā.

Risinājums:

Mēs izlemsim iekšā vispārējs skats mūsu vienādojums: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tagad redzēsim, kādas saknes attiecas uz mūsu segmentu. Ja k Ja k=0, x= π/16, mēs atrodamies dotajā segmentā .
Ja k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, viņi trāpa vēlreiz.
Ja k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet šeit mēs netrāpījām, kas nozīmē, ka netrāpīsim arī lielajam k.

Atbilde: x= π/16, x= 9π/16

Divas galvenās risināšanas metodes.

Mēs esam apsvēruši vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, taču ir arī sarežģītāki. To risināšanai tiek izmantota jauna mainīgā ieviešanas metode un faktorizēšanas metode. Apskatīsim piemērus.

Atrisināsim vienādojumu:

Risinājums:
Lai atrisinātu mūsu vienādojumu, mēs izmantojam jauna mainīgā ievadīšanas metodi, ko apzīmē: t=tg(x).

Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam: t 2 + 2t -1 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-1 un t=1/3

Tad tg(x)=-1 un tg(x)=1/3, mēs ieguvām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu, atradīsim tā saknes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atbilde: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Atrisiniet vienādojumus: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Risinājums:

Izmantosim identitāti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsu vienādojums kļūst: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Ieviesīsim aizstāšanu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums ir saknes: t=2 un t=-1/2

Tad cos(x)=2 un cos(x)=-1/2.

Jo kosinuss nevar pieņemt vērtības, kas lielākas par vienu, tad cos(x)=2 nav sakņu.

Ja cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atbilde: x= ±2π/3 + 2πk

Homogēni trigonometriskie vienādojumi.

Definīcija. Vienādojumu formā a sin(x)+b cos(x) sauc par homogēniem pirmās pakāpes trigonometriskajiem vienādojumiem.

Formu vienādojumi

otrās pakāpes homogēnie trigonometriskie vienādojumi.

Lai atrisinātu homogēnu pirmās pakāpes trigonometrisko vienādojumu, mēs to sadalām ar cos(x): Nav iespējams dalīt ar kosinusu, ja tas ir vienāds ar nulli, pārliecināsimies, ka tas tā nav:
Lai cos(x)=0, tad asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinuss un kosinuss nav vienādi ar nulli vienlaikus, sanāca pretruna, tāpēc varam droši dalīt par nulli.

Atrisiniet vienādojumu:
Piemērs: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Risinājums:

Izņemiet kopējo koeficientu: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tad mums jāatrisina divi vienādojumi:

cos(x)=0 un cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, ja x= π/2 + πk;

Apsveriet vienādojumu cos(x)+sin(x)=0 Sadaliet mūsu vienādojumu ar cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atbilde: x= π/2 + πk un x= -π/4+πk

Kā atrisināt homogēnus otrās pakāpes trigonometriskos vienādojumus?
Puiši, vienmēr ievērojiet šos noteikumus!

1. Redz ko ir vienāds ar koeficientu un, ja a = 0, tad mūsu vienādojums būs formā cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kura risinājuma piemērs ir iepriekšējā slaidā.

2. Ja a≠0, tad abas vienādojuma daļas jādala ar kosinusu kvadrātā, iegūstam:

Veicam mainīgā t=tg(x) maiņu, iegūstam vienādojumu:

Atrisiniet piemēru #:3

Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar kosinusa kvadrātu:

Mēs veicam mainīgā t=tg(x) izmaiņas: t 2 + 2 t - 3 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-3 un t=1

Tad: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atbilde: x=-arctg(3) + πk un x= π/4+ πk

Atrisiniet piemēru #:4

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs varam atrisināt šādus vienādojumus: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atbilde: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atrisiniet piemēru #:5

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs ieviešam aizvietotāju tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums būs saknes: t=-2 un t=1/2

Tad mēs iegūstam: tg(2x)=-2 un tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atbilde: x=-arctg(2)/2 + πk/2 un x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

1) Atrisiniet vienādojumu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Atrisiniet vienādojumus: sin(3x)= √3/2. Un atrodiet visas saknes segmentā [π/2; π].

3) Atrisiniet vienādojumu: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Atrisiniet vienādojumu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Atrisiniet vienādojumu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Atrisiniet vienādojumu: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Sarežģītāki trigonometriskie vienādojumi

Vienādojumi

grēks x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ir vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Šajā sadaļā, izmantojot konkrētus piemērus, aplūkosim sarežģītākus trigonometriskos vienādojumus. To risinājums, kā likums, tiek reducēts līdz vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšanai.

Piemērs 1 . atrisināt vienādojumu

grēks 2 X= cos X grēks 2 x.

Pārnesot visus šī vienādojuma nosacījumus uz kreiso pusi un sadalot iegūto izteiksmi faktoros, mēs iegūstam:

grēks 2 X(1 — cos X) = 0.

Divu izteiksmju reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, bet otrs iegūst jebkuru skaitlisku vērtību, ja vien tā ir definēta.

Ja grēks 2 X = 0 , tad 2 X=n π ; X = π / 2n.

Ja 1 - cos X = 0 , tad cos X = 1; X = 2kπ .

Tātad, mēs saņēmām divas sakņu grupas: X = π / 2n; X = 2kπ . Otrā sakņu grupa acīmredzami ir ietverta pirmajā, jo n = 4k izteiksme X = π / 2n kļūst
X = 2kπ .

Tāpēc atbildi var uzrakstīt vienā formulā: X = π / 2n, kur n-jebkurš vesels skaitlis.

ievērojiet, tas dots vienādojums nevar atrisināt, samazinot ar grēku 2 x. Patiešām, pēc samazinājuma mēs iegūtu 1 - cos x = 0, no kurienes X= 2k π . Tādējādi mēs, piemēram, zaudētu dažas saknes π / 2 , π , 3π / 2 .

2. PIEMĒRS. atrisināt vienādojumu

Daļa ir nulle tikai tad, ja tās skaitītājs ir nulle.
Tāpēc grēks 2 X = 0 , no kurienes 2 X=n π ; X = π / 2n.

No šīm vērtībām X ir jāatmet kā svešas vērtības, kurām grēksX pazūd (daļskaitļiem ar nulles saucējiem nav nozīmes: dalīšana ar nulli nav definēta). Šīs vērtības ir skaitļi, kas ir daudzkārtni π . Formulā
X = π / 2n tie tiek iegūti par pat n. Tāpēc šī vienādojuma saknes būs skaitļi

X = π / 2 (2k + 1),

kur k ir jebkurš vesels skaitlis.

Piemērs 3 . atrisināt vienādojumu

2 grēks 2 X+ 7 izmaksas x - 5 = 0.

Express grēks 2 X cauri cosx : grēks 2 X = 1 — cos 2x . Tad šo vienādojumu var pārrakstīt kā

2 (1 — cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , vai

2cos 2 x- 7cos x + 3 = 0.

apzīmējot cosx cauri plkst, mēs nonākam pie kvadrātvienādojuma

2 g 2 - 7 g + 3 = 0,

kuru saknes ir skaitļi 1/2 un 3. Tādējādi vai nu cos x= 1/2 vai cos X= 3. Tomēr pēdējais nav iespējams, jo jebkura leņķa kosinusa absolūtā vērtība nepārsniedz 1.

Atliek atzīt, ka cos x = 1 / 2 , kur

x = ± 60° + 360° n.

Piemērs 4 . atrisināt vienādojumu

2 grēks X+ 3 cos x = 6.

Jo grēks x un cos x absolūtajā vērtībā nepārsniedz 1, tad izteiksme
2 grēks X+ 3 cos x nevar uzņemties vērtības, kas lielākas par 5 . Tāpēc šim vienādojumam nav sakņu.

Piemērs 5 . atrisināt vienādojumu

grēks X+ cos x = 1

Izliekot kvadrātā abas šī vienādojuma puses, mēs iegūstam:

grēks 2 X+ 2 grēks x cos x+ cos2 x = 1,

bet grēks 2 X + cos 2 x = 1 . Tāpēc 2 grēks x cos x = 0 . Ja grēks x = 0 , tad X = nπ ; ja
cos x , tad X = π / 2 + kπ . Šīs divas risinājumu grupas var ierakstīt vienā formulā:

X = π / 2n

Tā kā abas šī vienādojuma daļas likām kvadrātā, nav izslēgta iespēja, ka starp iegūtajām saknēm ir arī svešas. Tieši tāpēc šajā piemērā, atšķirībā no visiem iepriekšējiem, ir jāveic pārbaude. Visas vērtības

X = π / 2n var iedalīt 4 grupās

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

Plkst X = 2kπ grēks x+ cos x= 0 + 1 = 1. Tāpēc X = 2kπ ir šī vienādojuma saknes.

Plkst X = π / 2 + 2kπ. grēks x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ ir arī šī vienādojuma saknes.

Plkst X = π + 2kπ grēks x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Tāpēc vērtības X = π + 2kπ nav šī vienādojuma saknes. Līdzīgi tiek parādīts, ka X = 3π / 2 + 2kπ. nav saknes.

Tādējādi šim vienādojumam ir šādas saknes: X = 2kπ un X = π / 2 + 2 mπ., kur k un m- jebkuri veseli skaitļi.

Risinot daudzas matemātikas uzdevumi , jo īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādi uzdevumi ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumi, lineārās un kvadrātiskās nevienādības, daļvienādojumi un vienādojumi, kas reducējas uz kvadrātvienādībām. Katra minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jākonstatē, kāda veida uzdevums tiek risināts, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.

Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risināšanas posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.

Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.

Autors izskats vienādojumiem dažreiz ir grūti noteikt tā veidu. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:

1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu novest līdz "tādām pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.

Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.

I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem

Risinājuma shēma

1. darbība. izteikt trigonometriskā funkcija caur zināmām sastāvdaļām.

2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.

iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.

Piemērs.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Risinājums.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Mainīga aizstāšana

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.

2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).

3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.

4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.

5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.

Piemērs.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Risinājums.

1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.

4) grēks (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Vienādojuma secības samazināšanas metode

Risinājuma shēma

1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:

grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.

Piemērs.

cos2x + cos2x = 5/4.

Risinājums.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogēni vienādojumi

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā

a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)

vai uz skatu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

un iegūstiet tg x vienādojumu:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Risinājums.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Ļaujiet tg x = t, tad

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 vai t = -4, tātad

tg x = 1 vai tg x = -4.

No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas

Risinājuma shēma

1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, izveidojiet šo vienādojumu līdz vienādojumam, ko var atrisināt ar I, II, III, IV metodēm.

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Risinājums.

1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;

No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.

Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti svarīgi, to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.

Ar trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas uc problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.

Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas un personības attīstības procesā kopumā.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Nepieciešamas zināšanas par trigonometrijas pamatformulām - sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pieskares izteiksmi caur sinusu un kosinusu un citām. Tiem, kas tos ir aizmirsuši vai nezina, iesakām izlasīt rakstu "".
Tātad, mēs zinām pamata trigonometriskās formulas, ir pienācis laiks tās likt lietā. Trigonometrisko vienādojumu risināšana ar pareizo pieeju tā ir diezgan aizraujoša nodarbe, kā, piemēram, Rubika kuba risināšana.

Pamatojoties uz pašu nosaukumu, ir skaidrs, ka trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir tā sauktie vienkāršie trigonometriskie vienādojumi. Lūk, kā tie izskatās: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Apsveriet, kā atrisināt šādus trigonometriskos vienādojumus, skaidrības labad izmantosim jau pazīstamo trigonometrisko apli.

sinx = a

cos x = a

iedegums x = a

gultiņa x = a

Jebkurš trigonometriskais vienādojums tiek atrisināts divos posmos: vienādojumu veido vienkāršākā formā un pēc tam atrisina kā vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Ir 7 galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

1. Mainīgo aizstāšana un aizstāšanas metode

Atrisiniet vienādojumu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Vienkāršības labad aizstāsim cos(x + /6) ar y un iegūsim parasto kvadrātvienādojumu:

2 g 2 – 3 g + 1 + 0

Kuru saknes y 1 = 1, y 2 = 1/2

Tagad iesim atpakaļ

Mēs aizvietojam atrastās y vērtības un iegūstam divas atbildes:

2. Trigonometrisko vienādojumu risināšana, izmantojot faktorizēšanu

Kā atrisināt vienādojumu sin x + cos x = 1?

Pārvietosim visu pa kreisi, lai 0 paliktu labajā pusē:

sin x + cos x - 1 = 0

Mēs izmantojam iepriekš minētās identitātes, lai vienkāršotu vienādojumu:

sin x — 2 sin 2 (x/2) = 0

Veiksim faktorizēšanu:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Mēs iegūstam divus vienādojumus

3. Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Vienādojums ir viendabīgs attiecībā pret sinusu un kosinusu, ja visi tā noteikumi attiecībā uz sinusu un kosinusu ir vienādās vienādības leņķa pakāpēs. Lai atrisinātu viendabīgu vienādojumu, rīkojieties šādi:

a) pārnes visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;

b) izlikt visus izplatītos faktorus iekavās;

c) visus faktorus un iekavas pielīdzina 0;

d) iekavās iegūts mazākas pakāpes viendabīgs vienādojums, kuru savukārt dala ar sinusu vai kosinusu augstākā pakāpē;

e) atrisiniet iegūto vienādojumu tg.

Atrisiniet vienādojumu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Izmantosim formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 un atbrīvosimies no atvērtajiem diviem labajā pusē:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Sadaliet ar cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Mēs aizstājam tg x ar y un iegūstam kvadrātvienādojumu:

y 2 + 4y +3 = 0, kuru saknes ir y 1 = 1, y 2 = 3

Šeit mēs atrodam divus sākotnējā vienādojuma risinājumus:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Vienādojumu risināšana, izmantojot pāreju uz pusleņķi

Atrisiniet vienādojumu 3sin x - 5cos x = 7

Pārejam pie x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pārbīdot visu pa kreisi:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dalīt ar cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Palīgleņķa ieviešana

Apsvēršanai ņemsim formas vienādojumu: a sin x + b cos x \u003d c,

kur a, b, c ir daži patvaļīgi koeficienti un x ir nezināms.

Sadaliet abas vienādojuma puses ar:



Tagad vienādojuma koeficientiem pēc trigonometriskām formulām ir sin un cos īpašības, proti: to modulis nav lielāks par 1 un kvadrātu summa = 1. Apzīmēsim tos attiecīgi kā cos un sin, kur ir tā sauktais palīgleņķis. Tad vienādojumam būs šāda forma:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

vai sin(x + ) = C

Šī vienkāršā trigonometriskā vienādojuma risinājums ir

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kur



Jāņem vērā, ka apzīmējumi cos un sin ir savstarpēji aizstājami.

Atrisiniet vienādojumu sin 3x - cos 3x = 1

Šajā vienādojumā koeficienti ir:

a \u003d, b \u003d -1, tāpēc mēs sadalām abas daļas ar \u003d 2