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Un teorema provato da tempo. La storia dell'ultimo teorema di Fermat. Felix Kirsanov. Che relazione c'è tra la congettura di Taniyama e il teorema di Fermat?

Un teorema ormai dimostrato. La storia dell'ultimo teorema di Fermat. Felix Kirsanov. Che relazione c'è tra la congettura di Taniyama e il teorema di Fermat?

Grigorij Perelman. Refusnik

Vasilij Maksimov

Nell'agosto 2006 sono stati annunciati i nomi dei migliori matematici del pianeta che hanno ricevuto la prestigiosa medaglia Fields, una sorta di analogo del premio Nobel, di cui i matematici, per capriccio di Alfred Nobel, sono stati privati. La Medaglia Fields - oltre a un distintivo d'onore, ai vincitori viene assegnato un assegno da quindicimila dollari canadesi - viene assegnata dal Congresso Internazionale dei Matematici ogni quattro anni. È stato istituito dallo scienziato canadese John Charles Fields ed è stato assegnato per la prima volta nel 1936. Dal 1950, la Medaglia Fields viene assegnata regolarmente personalmente dal Re di Spagna per il suo contributo allo sviluppo della scienza matematica. I vincitori del premio possono essere da uno a quattro scienziati di età inferiore ai quarant'anni. Hanno già ricevuto il premio quarantaquattro matematici, tra cui otto russi.

Grigorij Perelman. Henri Poincaré.

Nel 2006, i vincitori sono stati il francese Wendelin Werner, l'australiano Terence Tao e due russi: Andrey Okunkov che lavora negli Stati Uniti e Grigory Perelman, uno scienziato di San Pietroburgo. Tuttavia, all'ultimo momento si è saputo che Perelman aveva rifiutato questo prestigioso premio - come hanno annunciato gli organizzatori, "per ragioni di principio".

Un atto così stravagante da parte del matematico russo non è stato una sorpresa per le persone che lo conoscevano. Non è la prima volta che rifiuta i premi matematici, spiegando la sua decisione dicendo che non gli piacciono gli eventi cerimoniali e l'inutile clamore intorno al suo nome. Dieci anni fa, nel 1996, Perelman rifiutò il premio del Congresso Europeo di Matematica, adducendo il fatto che non aveva completato il lavoro sul problema scientifico candidato al premio, e questo non fu l'ultimo caso. Il matematico russo sembrava che lo scopo della sua vita fosse quello di sorprendere le persone andando controcorrente opinione pubblica e la comunità scientifica.

Grigory Yakovlevich Perelman è nato il 13 giugno 1966 a Leningrado. CON gioventù era appassionato di scienze esatte, si diplomò brillantemente alla famosa 239a scuola secondaria con uno studio approfondito di matematica, vinse numerosi Olimpiadi matematiche: Così, nel 1982, come membro di una squadra di scolari sovietici, partecipò alle Olimpiadi internazionali della matematica, tenutesi a Budapest. Senza esami, Perelman si iscrisse alla Facoltà di Meccanica e Matematica dell'Università di Leningrado, dove studiò con ottimi voti, continuando a vincere concorsi matematici a tutti i livelli. Dopo essersi laureato all'università con lode, è entrato nella scuola di specializzazione presso la filiale di San Pietroburgo dell'Istituto di matematica Steklov. Il suo supervisore scientifico era il famoso matematico accademico Aleksandrov. Dopo aver difeso la sua tesi di dottorato, Grigory Perelman rimase all'istituto, nel laboratorio di geometria e topologia. Il suo lavoro sulla teoria degli spazi di Alexandrov è noto; è riuscito a trovare prove per una serie di importanti congetture. Nonostante le numerose offerte delle principali università occidentali, Perelman preferisce lavorare in Russia.

Il suo successo più notevole fu la soluzione nel 2002 della famosa congettura di Poincaré, pubblicata nel 1904 e da allora rimasta non dimostrata. Perelman ci ha lavorato per otto anni. La congettura di Poincaré era considerata uno dei più grandi misteri matematici e la sua soluzione era considerata il risultato più importante della scienza. scienza matematica: farà avanzare immediatamente la ricerca sui problemi dei fondamenti fisici e matematici dell'universo. Le menti più eminenti del pianeta ne predissero la soluzione solo in pochi decenni, e il Clay Institute of Mathematics di Cambridge, Massachusetts, inserì il problema di Poincaré tra i sette problemi matematici irrisolti più interessanti del millennio, per la soluzione di ciascuno dei quali è stato promesso un premio da un milione di dollari (Millennium Prize Problems).

La congettura (a volte chiamata il problema) del matematico francese Henri Poincaré (1854-1912) è formulata come segue: qualsiasi spazio tridimensionale chiuso e semplicemente connesso è omeomorfo a una sfera tridimensionale. Per chiarire, usa un esempio chiaro: se avvolgi una mela con un elastico, in linea di principio, stringendo il nastro, puoi comprimere la mela in una punta. Se avvolgi una ciambella con lo stesso nastro adesivo, non puoi comprimerla fino a un certo punto senza strappare né la ciambella né la gomma. In questo contesto, una mela è chiamata figura “semplicemente connessa”, ma una ciambella non è semplicemente connessa. Quasi cento anni fa Poincaré stabilì che una sfera bidimensionale è semplicemente connessa e suggerì che anche una sfera tridimensionale è semplicemente connessa. I migliori matematici del mondo non potrebbero dimostrare questa ipotesi.

Per qualificarsi per il Premio Clay Institute, Perelman doveva solo pubblicare la sua soluzione su una delle riviste scientifiche e se entro due anni nessuno fosse riuscito a trovare un errore nei suoi calcoli, la soluzione sarebbe stata considerata corretta. Tuttavia, Perelman ha deviato dalle regole fin dall'inizio, pubblicando la sua decisione sul sito web di prestampa del Los Alamos Scientific Laboratory. Forse aveva paura che nei suoi calcoli si fosse insinuato un errore: una storia simile era già accaduta in matematica. Nel 1994, il matematico inglese Andrew Wiles propose una soluzione al famoso teorema di Fermat, e pochi mesi dopo si scoprì che un errore si era insinuato nei suoi calcoli (anche se in seguito fu corretto, e la sensazione c'era ancora). Non esiste ancora una pubblicazione ufficiale della dimostrazione della congettura di Poincaré, ma esiste un parere autorevole dei migliori matematici del pianeta che conferma la correttezza dei calcoli di Perelman.

La Medaglia Fields è stata assegnata a Grigory Perelman proprio per aver risolto il problema di Poincaré. Ma lo scienziato russo ha rifiutato il premio, che senza dubbio merita. "Gregory mi ha detto che si sente isolato dalla comunità matematica internazionale, al di fuori di questa comunità, e quindi non vuole ricevere il premio", ha detto l'inglese John Ball, presidente dell'Unione mondiale dei matematici (WUM), in una conferenza stampa a Madrid.

Ci sono voci secondo cui Grigory Perelman lascerà del tutto la scienza: sei mesi fa si è dimesso dal suo nativo Istituto di matematica Steklov e dicono che non studierà più matematica. Forse lo scienziato russo crede di aver fatto tutto il possibile per la scienza, dimostrando la famosa ipotesi. Ma chi si impegnerà a discutere il filo del pensiero di uno scienziato così brillante e di una persona straordinaria?... Perelman rifiuta qualsiasi commento e ha detto al quotidiano The Daily Telegraph: "Niente di quello che posso dire è del minimo interesse pubblico". Tuttavia, le principali pubblicazioni scientifiche sono state unanimi nelle loro valutazioni quando hanno riferito che "Grigory Perelman, avendo risolto il teorema di Poincaré, era alla pari dei più grandi geni del passato e del presente".

Rivista mensile letteraria e giornalistica e casa editrice.

Ivliev Yu.A.

L'articolo è dedicato alla descrizione di un errore matematico fondamentale commesso nel processo di dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat alla fine del XX secolo. L'errore scoperto non solo distorce il vero significato del teorema, ma ostacola anche lo sviluppo di un nuovo approccio assiomatico allo studio delle potenze dei numeri e delle serie naturali dei numeri.

Nel 1995 è stato pubblicato un articolo, simile per dimensioni a un libro, che riportava la dimostrazione del famoso Grande (Ultimo) Teorema di Fermat (WTF) (per la storia del teorema e i tentativi di dimostrarlo, vedi, ad esempio, ). Dopo questo avvenimento apparvero molti articoli scientifici e libri di divulgazione scientifica che promuovevano questa dimostrazione, ma nessuno di questi lavori rivelò l'errore matematico fondamentale in essa contenuto, che si insinuò non per colpa dell'autore, ma per uno strano ottimismo che attanagliò il pubblico. menti dei matematici che hanno studiato questo problema e le questioni correlate. Gli aspetti psicologici di questo fenomeno sono stati studiati in. Qui forniamo un'analisi dettagliata dell'errore verificatosi, che non è di natura privata, ma è conseguenza di un'errata comprensione delle proprietà delle potenze degli interi. Come mostrato in, il problema di Fermat affonda le sue radici in un nuovo approccio assiomatico allo studio di queste proprietà, che è ancora in scienza moderna non è stato applicato. Ma una dimostrazione errata si frappose sulla sua strada, fornendo agli specialisti della teoria dei numeri false linee guida e allontanando i ricercatori del problema di Fermat dalla sua soluzione diretta e adeguata. Questo lavoro è dedicato all’eliminazione di questo ostacolo.

1. Anatomia di un errore commesso durante la prova WTF

Nel corso di un ragionamento molto lungo e noioso, l'affermazione originale di Fermat fu riformulata in termini di confronto di un'equazione diofantea del p-esimo grado con curve ellittiche del 3° ordine (vedi Teoremi 0.4 e 0.5 in). Questo confronto ha costretto gli autori della dimostrazione virtualmente collettiva ad annunciare che il loro metodo e ragionamento portano a una soluzione finale al problema di Fermat (ricordiamo che la WTF non aveva prove riconosciute per il caso di potenze intere arbitrarie di numeri interi fino agli anni '90 dell'ultimo secolo). Lo scopo di questa considerazione è stabilire l'erroneità matematica del confronto di cui sopra e, come risultato dell'analisi, trovare un errore fondamentale nella dimostrazione presentata in.

a) Dove e qual è l'errore?

Seguiremo quindi il testo, dove a p. 448 si dice che dopo la “spiritosa idea” di G. Frey si è aperta la possibilità di dimostrare il WTF. Nel 1984 G. Frey suggerì e

K. Ribet dimostrò successivamente che la presunta curva ellittica che rappresenta l'ipotetica soluzione intera dell'equazione di Fermat

y2 = x(x + tu p)(x- v p) (1)

non può essere modulare. Tuttavia, A. Wiles e R. Taylor hanno dimostrato che ogni curva ellittica semistabile definita nel campo dei numeri razionali è modulare. Ciò portò alla conclusione sull'impossibilità di soluzioni intere dell'equazione di Fermat e, di conseguenza, sulla validità dell'affermazione di Fermat, che nella notazione di A. Wiles era scritta come Teorema 0.5: sia un'uguaglianza

tu p+ v p+ w p = 0 (2)

Dove tu, v, w- numeri razionali, esponente intero p ≥ 3; allora (2) è soddisfatto solo se uvw = 0 .

Ora, a quanto pare, dovremmo tornare indietro e riflettere criticamente sul perché la curva (1) era percepita a priori come ellittica e quale sia la sua reale connessione con l’equazione di Fermat. Anticipando questa domanda, A. Wiles fa riferimento al lavoro di Y. Hellegouarch, in cui trovò il modo di associare l'equazione di Fermat (presumibilmente risolta in numeri interi) con un'ipotetica curva del terzo ordine. A differenza di G. Frey, I. Elleguarche non collegò la sua curva con forme modulari, tuttavia, il suo metodo per ottenere l'equazione (1) fu utilizzato per far avanzare ulteriormente la dimostrazione di A. Wiles.

Diamo uno sguardo più da vicino al lavoro. L'autore conduce il suo ragionamento in termini di geometria proiettiva. Semplificando alcune delle sue notazioni e allineandole a , troviamo che la curva abeliana

Y2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

viene confrontata l'equazione diofantea

X p+ sì p+ z p = 0 (4)

Dove X, sì, z sono interi sconosciuti, p è l'esponente intero della (2), e le soluzioni dell'equazione diofantea (4) α p , β p , γ p vengono utilizzate per scrivere la curva abeliana (3).

Ora, per accertarci che si tratti di una curva ellittica del 3° ordine, è necessario considerare le variabili X e Y in (3) nel piano euclideo. Per fare ciò usiamo la nota regola dell'aritmetica delle curve ellittiche: se ci sono due punti razionali su una curva algebrica cubica e una linea che passa per questi punti interseca questa curva in un altro punto, anche quest'ultimo è un punto razionale . L'equazione ipotetica (4) rappresenta formalmente la legge di addizione di punti su una linea retta. Se facciamo un cambio di variabili X p = UN, sì p = B, z p = C e dirigiamo la retta risultante lungo l'asse X in (3), quindi intersecherà la curva di 3° grado in tre punti: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), che si riflette nella notazione della curva abeliana (3) e in una notazione simile (1). Tuttavia, la curva (3) o (1) è effettivamente ellittica? Ovviamente no, perché i segmenti della linea euclidea, sommando punti su di essa, vengono presi su scala non lineare.

Ritornando ai sistemi di coordinate lineari dello spazio euclideo, otteniamo invece di (1) e (3) formule molto diverse dalle formule per le curve ellittiche. Ad esempio, (1) potrebbe avere la forma seguente:

η2p = ξp (ξp+ tu p)(ξ p - v p) (5)

dove ξ p = x, η p = y, e il ricorso a (1) in questo caso per derivare il WTF sembra illegittimo. Nonostante il fatto che (1) soddisfi alcuni criteri per la classe delle curve ellittiche, il criterio più importante è quello di essere un'equazione di 3° grado in sistema lineare non soddisfa le coordinate.

b) Classificazione degli errori

Torniamo quindi ancora una volta all'inizio della considerazione e vediamo come si arriva alla conclusione sulla verità del WTF. Innanzitutto si presuppone che esista una soluzione dell'equazione di Fermat in numeri interi positivi. In secondo luogo, questa soluzione viene arbitrariamente inserita in una forma algebrica di forma nota (una curva piana di grado 3) sotto l'ipotesi che le curve ellittiche così ottenute esistano (seconda assunzione non confermata). In terzo luogo, poiché altri metodi dimostrano che la particolare curva costruita non è modulare, significa che non esiste. Ciò porta alla conclusione: non esiste una soluzione intera per l’equazione di Fermat e, quindi, la WTF è corretta.

C'è un anello debole in queste argomentazioni che, dopo una verifica approfondita, si rivela un errore. Questo errore si verifica nella seconda fase del processo di dimostrazione, quando si assume che anche l'ipotetica soluzione dell'equazione di Fermat sia una soluzione equazione algebrica 3° grado, descrivente una curva ellittica di tipo noto. Di per sé tale ipotesi sarebbe giustificata se la curva indicata fosse realmente ellittica. Tuttavia, come si vede dal punto 1a), questa curva è presentata in coordinate non lineari, il che la rende “illusoria”, cioè non realmente esistente nello spazio topologico lineare.

Ora dobbiamo classificare chiaramente l'errore trovato. Sta nel fatto che ciò che deve essere dimostrato viene presentato come argomento di prova. Nella logica classica questo errore è noto come “circolo vizioso”. In questo caso, la soluzione intera dell'equazione di Fermat viene confrontata (apparentemente, presumibilmente in modo univoco) con una curva ellittica fittizia e inesistente, e quindi tutto il pathos di ulteriori ragionamenti viene speso per dimostrare che una specifica curva ellittica di questa forma, ottenuta da ipotetiche soluzioni dell'equazione di Fermat, non esiste.

Come è potuto succedere sul serio? lavoro matematicoè stato mancato un errore così elementare? Ciò probabilmente è accaduto a causa del fatto che gli oggetti “illusori” non erano stati precedentemente studiati in matematica. figure geometriche tipo specificato. Chi infatti potrebbe interessare, ad esempio, ad un cerchio fittizio ottenuto dall’equazione di Fermat sostituendo le variabili x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Dopotutto, la sua equazione C 2 = A 2 + B 2 non ha soluzioni intere per gli interi x, y, z e n ≥ 3. Negli assi di coordinate non lineari X e Y, un tale cerchio sarebbe descritto da un'equazione molto simile nell'aspetto alla forma standard:

Y2 = - (X - A)(X + B),

dove A e B non sono più variabili, ma numeri specifici determinati dalla sostituzione di cui sopra. Ma se ai numeri A e B viene data la loro forma originale, che consiste nel loro carattere di potenza, allora salta immediatamente all'occhio l'eterogeneità della notazione nei fattori sul lato destro dell'equazione. Questa caratteristica aiuta a distinguere l'illusione dalla realtà e a passare dalle coordinate non lineari a quelle lineari. D'altra parte, se consideriamo i numeri come operatori quando li confrontiamo con variabili, come ad esempio in (1), allora entrambi devono essere quantità omogenee, cioè devono avere gli stessi titoli.

Questa comprensione delle potenze dei numeri come operatori ci permette anche di vedere che il confronto dell'equazione di Fermat con una curva ellittica illusoria non è inequivocabile. Prendiamo ad esempio uno dei fattori a destra della (5) e scomponiamolo in p fattori lineari, introducendo un numero complesso r tale che r p = 1 (vedi ad esempio):

ξp+ tu p = (ξ+ tu)(ξ+r tu)(ξ + r 2 tu)...(ξ + r p-1 tu) (6)

Quindi la forma (5) può essere rappresentata come una scomposizione in fattori primi di numeri complessi secondo il tipo di identità algebrica (6), tuttavia l'unicità di tale scomposizione nel caso generale è in questione, come ha dimostrato una volta Kummer .

2. Conclusioni

Dall'analisi precedente consegue che la cosiddetta aritmetica delle curve ellittiche non è in grado di far luce su dove cercare una dimostrazione del WTF. Dopo il lavoro, la dichiarazione di Fermat, tra l'altro, presa come epigrafe di questo articolo, cominciò a essere percepita come uno scherzo storico o una bufala. Tuttavia, in realtà si scopre che non è stato Fermat a scherzare, ma gli specialisti che si sono riuniti in un simposio di matematica a Oberwolfach in Germania nel 1984, durante il quale G. Frey ha espresso la sua idea spiritosa. Le conseguenze di un'affermazione così imprudente hanno portato la matematica nel suo insieme sull'orlo della perdita della fiducia pubblica, cosa che è descritta in dettaglio e che solleva necessariamente la questione della responsabilità delle istituzioni scientifiche nei confronti della società. Il confronto dell’equazione di Fermat con la curva di Frey (1) è il “serratura” di tutta la dimostrazione di Wiles relativa al teorema di Fermat, e se non c’è corrispondenza tra la curva di Fermat e le curve ellittiche modulari, allora non c’è dimostrazione.

IN Ultimamente Ci sono vari rapporti su Internet secondo cui alcuni eminenti matematici hanno finalmente capito la dimostrazione di Wiles del teorema di Fermat, trovandone una giustificazione sotto forma di un ricalcolo “minimo” di punti interi nello spazio euclideo. Tuttavia, nessuna innovazione può cancellare i risultati classici già ottenuti dall'umanità in matematica, in particolare il fatto che, sebbene qualsiasi numero ordinale coincida con il suo analogo quantitativo, non può sostituirlo nelle operazioni di confronto dei numeri tra loro, e quindi con l'inevitabile conclusione che segue che la curva di Frey (1) non è inizialmente ellittica, cioè non lo è per definizione.

BIBLIOGRAFIA:

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Ivliev Yu.A. La più grande truffa scientifica del 20° secolo: la “dimostrazione” dell’Ultimo Teorema di Fermat – Scienze naturali e ingegneristiche (sezione “Storia e metodologia della matematica”). Agosto 2007 N. 4 (30) p.34-48.
Edwards G. (Edwards H.M.) Ultimo teorema di Fermat. Introduzione genetica alla teoria algebrica dei numeri. Per. dall'inglese a cura di BFSkubenko. M.: Mir 1980, 484 p.
Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI p.253-263.
Wiles A. Curve ellittiche modulari e ultimo teorema di Fermat - Annali di matematica. Maggio 1995 v.141 Seconda serie n.3 p.443-551.

Collegamento bibliografico

Ivliev Yu.A. LA FALSA DIMOSTRAZIONE DI WILLES DELL'ULTIMO TEOREMA DI FERMA // Ricerca di base. – 2008. – N. 3. – P. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (data di accesso: 03/03/2020). Portiamo alla vostra attenzione le riviste pubblicate dalla casa editrice "Accademia delle Scienze Naturali"

IL GRANDE TEOREMA DI FERMA - un'affermazione di Pierre Fermat (un avvocato francese e matematico part-time) secondo cui l'equazione diofantea X n + Y n = Z n , con esponente n>2, dove n = intero, non ha soluzioni in numeri interi positivi. Testo dell'autore: “È impossibile scomporre un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, o in generale una potenza maggiore di due in due potenze con lo stesso esponente”.

"Fermat e il suo teorema", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre concepì questo teorema il 29 marzo 1636. E circa 29 anni dopo morì. Ma è lì che è iniziato tutto. Dopotutto, un ricco amante della matematica tedesco di nome Wolfskehl lasciò in eredità centomila marchi a colui che avrebbe presentato una dimostrazione completa del teorema di Fermat! Ma l'eccitazione attorno al teorema era associata non solo a questo, ma anche alla passione matematica professionale. Lo stesso Fermat fece capire alla comunità matematica di conoscere la dimostrazione: poco prima della sua morte, nel 1665, lasciò la seguente nota a margine dell'Aritmetica di Diofanto di Alessandria: "Ho una dimostrazione molto sorprendente, ma è troppo grande per essere considerata piazzati sui campi."

Fu questo indizio (oltre, ovviamente, a un premio in denaro) a costringere i matematici a dedicare invano il loro tempo alla ricerca di dimostrazioni. anni migliori(secondo i calcoli degli scienziati americani, solo i matematici professionisti hanno dedicato a questo un totale di 543 anni).

Ad un certo punto (nel 1901), il lavoro sul teorema di Fermat acquisì la dubbia reputazione di "lavoro simile alla ricerca di una macchina a moto perpetuo" (apparve persino un termine dispregiativo: "Fermatisti"). E all'improvviso, il 23 giugno 1993, in una conferenza matematica sulla teoria dei numeri a Cambridge, un professore inglese di matematica dell'Università di Princeton (New Jersey, USA), Andrew Wiles, annunciò che Fermat lo aveva finalmente dimostrato!

La dimostrazione, tuttavia, non solo era complessa, ma anche ovviamente errata, come sottolinearono i suoi colleghi Wiles. Ma il professor Wiles ha sognato per tutta la vita di dimostrare il teorema, quindi non sorprende che nel maggio 1994 abbia presentato alla comunità scientifica una nuova versione rivista della dimostrazione. Non c'era armonia o bellezza in esso, ed era comunque molto complesso: il fatto che i matematici abbiano passato un anno intero (!) ad analizzare questa dimostrazione per capire se fosse errata parla da solo!

Ma alla fine la dimostrazione di Wiles si rivelò corretta. Ma i matematici non perdonarono Pierre Fermat per il suo stesso accenno in "Aritmetica" e, di fatto, iniziarono a considerarlo un bugiardo. In effetti, la prima persona a mettere in dubbio l'integrità morale di Fermat fu lo stesso Andrew Wiles, il quale osservò che "Fermat non avrebbe potuto avere una prova del genere. Questa è una prova del ventesimo secolo". Poi, tra gli altri scienziati, si fece più forte l'opinione che Fermat "non potesse dimostrare il suo teorema in un modo diverso, e Fermat non poteva dimostrarlo nel modo in cui lo fece Wiles per ragioni oggettive".

In effetti, Fermat, ovviamente, potrebbe dimostrarlo, e poco dopo questa prova sarà ricreata dagli analisti della New Analytical Encyclopedia. Ma quali sono queste “ragioni oggettive”?
In realtà il motivo è uno solo: negli anni in cui visse Fermat, la congettura di Taniyama, su cui Andrew Wiles basò la sua dimostrazione, non poteva apparire, perché le funzioni modulari con cui opera la congettura di Taniyama furono scoperte solo in fine XIX secolo.

Come ha fatto lo stesso Wiles a dimostrare il teorema? La domanda non è inutile: è importante per capire come lo stesso Fermat potrebbe dimostrare il suo teorema. Wiles basò la sua dimostrazione sulla dimostrazione della congettura di Taniyama, avanzata nel 1955 dal matematico giapponese Yutaka Taniyama, 28 anni.

L’ipotesi suona così: “ogni curva ellittica corrisponde a una certa forma modulare”. Le curve ellittiche, note da molto tempo, hanno forma bidimensionale (situate su un piano), mentre le funzioni modulari hanno forma quadridimensionale. Cioè, l'ipotesi di Taniyama combinava concetti completamente diversi: semplici curve piatte e forme quadridimensionali inimmaginabili. Il fatto stesso di combinare figure di diverse dimensioni nell'ipotesi sembrava assurdo agli scienziati, motivo per cui nel 1955 non gli venne data alcuna importanza.

Tuttavia, nell'autunno del 1984, la "congettura di Taniyama" fu improvvisamente ricordata di nuovo, e non solo ricordata, ma la sua possibile dimostrazione fu collegata alla dimostrazione del teorema di Fermat! Lo ha fatto il matematico di Saarbrücken Gerhard Frey, il quale ha informato la comunità scientifica che “se qualcuno fosse riuscito a dimostrare la congettura di Taniyama, allora sarebbe stato dimostrato anche l’Ultimo Teorema di Fermat”.

Cosa ha fatto Frey? Trasformò l'equazione di Fermat in cubica, poi notò che la curva ellittica ottenuta utilizzando l'equazione di Fermat trasformata in cubica non può essere modulare. Tuttavia, la congettura di Taniyama affermava che qualsiasi curva ellittica può essere modulare! Di conseguenza, una curva ellittica costruita dall’equazione di Fermat non può esistere, il che significa che non possono esserci soluzioni intere, e il teorema di Fermat, il che significa che è vero. Ebbene, nel 1993, Andrew Wiles dimostrò semplicemente la congettura di Taniyama, e quindi il teorema di Fermat.

Tuttavia il teorema di Fermat può essere dimostrato in modo molto più semplice, sulla base della stessa multidimensionalità su cui operarono sia Taniyama che Frey.

Per cominciare, prestiamo attenzione alla condizione specificata dallo stesso Pierre Fermat - n>2. Perché era necessaria questa condizione? Sì, solo per il fatto che con n=2 un caso speciale del teorema di Fermat diventa il solito teorema di Pitagora X 2 +Y 2 =Z 2, che ha un numero infinito di soluzioni intere - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 e così via. Pertanto, il teorema di Pitagora è un'eccezione al teorema di Fermat.

Ma perché si verifica una tale eccezione nel caso n=2? Tutto torna a posto se si vede il rapporto tra il grado (n=2) e la dimensione della figura stessa. Il triangolo pitagorico è una figura bidimensionale. Non sorprende che Z (ovvero l'ipotenusa) possa essere espressa in termini di cateti (X e Y), che possono essere numeri interi. La dimensione dell'angolo (90) consente di considerare l'ipotenusa come un vettore e le gambe sono vettori situati sugli assi e provenienti dall'origine. Di conseguenza, è possibile esprimere un vettore bidimensionale che non giace su nessuno degli assi in termini di vettori che giacciono su di essi.

Ora, se ci spostiamo alla terza dimensione, e quindi a n=3, per esprimere un vettore tridimensionale, non ci saranno abbastanza informazioni sui due vettori, e quindi sarà possibile esprimere Z nell'equazione di Fermat attraverso almeno tre termini (tre vettori giacenti, rispettivamente, su tre assi del sistema di coordinate).

Se n=4, allora dovrebbero esserci 4 termini, se n=5, allora dovrebbero esserci 5 termini e così via. In questo caso, ci saranno soluzioni intere più che sufficienti. Ad esempio, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 e così via (puoi scegliere tu stesso altri esempi per n=3, n=4 e così via).

Cosa consegue da tutto ciò? Ne consegue che il teorema di Fermat in realtà non ha soluzioni intere per n>2 – ma solo perché l’equazione stessa è errata! Con lo stesso successo si potrebbe provare a esprimere il volume di un parallelepipedo in termini di lunghezze dei suoi due bordi - ovviamente questo è impossibile (non si troveranno mai soluzioni complete), ma solo perché per trovare il volume di un parallelepipedo devi conoscere la lunghezza di tutti e tre i suoi bordi.

Quando è stato chiesto al famoso matematico David Gilbert quale sia il problema più importante per la scienza oggi, ha risposto “catturare una mosca sul lato nascosto della luna”. Alla domanda ragionevole “Chi ne ha bisogno?” lui ha risposto: “Nessuno ne ha bisogno, ma pensa a quanti problemi importanti e complessi devono essere risolti per attuarlo”.

In altre parole, Fermat (un avvocato prima di tutto!) ha giocato uno spiritoso scherzo legale all'intero mondo matematico, basandosi su un'errata formulazione del problema. Egli, infatti, ha suggerito ai matematici di trovare la risposta al perché una mosca sull'altro lato della Luna non può vivere, e a margine di “Aritmetica” ha voluto scrivere solo che semplicemente non c'è aria sulla Luna, cioè. Non possono esserci soluzioni complete al suo teorema per n>2 solo perché ogni valore di n deve corrispondere a un certo numero di termini del membro sinistro della sua equazione.

Ma era solo uno scherzo? Affatto. Il genio di Fermat sta proprio nel fatto che fu effettivamente il primo a vedere la relazione tra il grado e la dimensione di una figura matematica - cioè, che è assolutamente equivalente, il numero di termini sul lato sinistro dell'equazione. Il significato del suo famoso teorema era proprio quello non solo di spingere il mondo matematico all'idea di questa relazione, ma anche di avviare la prova dell'esistenza di questa relazione - intuitivamente comprensibile, ma non ancora matematicamente comprovata.

Fermat, come nessun altro, capì che stabilire relazioni tra oggetti apparentemente diversi è estremamente fruttuoso non solo in matematica, ma in ogni scienza. Questa relazione indica alcuni principi profondi alla base di entrambi gli oggetti e che consentono una loro comprensione più profonda.

Ad esempio, inizialmente i fisici consideravano l’elettricità e il magnetismo come fenomeni completamente indipendenti, ma nel XIX secolo teorici e sperimentatori si resero conto che l’elettricità e il magnetismo erano strettamente correlati. Di conseguenza, è stata raggiunta una maggiore comprensione sia dell’elettricità che del magnetismo. Correnti elettriche causare campi magnetici e i magneti possono indurre elettricità nei conduttori situati vicino ai magneti. Ciò ha portato all'invenzione della dinamo e dei motori elettrici. Alla fine si scoprì che la luce è il risultato di un'azione concertata vibrazioni armoniche campi magnetici ed elettrici.

La matematica dei tempi di Fermat consisteva in isole di conoscenza in un mare di ignoranza. Su un'isola vivevano i geometri che studiavano le forme, su un'altra isola i matematici della teoria della probabilità studiavano i rischi e la casualità. Il linguaggio della geometria era molto diverso da quello della teoria della probabilità, e la terminologia algebrica era estranea a coloro che parlavano solo di statistica. Sfortunatamente, la matematica dei nostri tempi è composta approssimativamente dalle stesse isole.

Fermat fu il primo a rendersi conto che tutte queste isole erano interconnesse. E il suo famoso teorema - l'ultimo teorema di Fermat - ne è un'eccellente conferma.

Quindi, l'Ultimo Teorema di Fermat (spesso chiamato l'ultimo teorema di Fermat), formulato nel 1637 dal brillante matematico francese Pierre Fermat, è di natura molto semplice e comprensibile a chiunque abbia un'istruzione secondaria. Dice che la formula a elevato a n + b elevato a n = c elevato a n non ha soluzioni naturali (cioè non frazionarie) per n > 2. Tutto sembra semplice e chiaro, ma il i migliori matematici e i comuni dilettanti hanno lottato per cercare una soluzione per più di tre secoli e mezzo.

Perché è così famosa? Ora lo scopriremo...

Esistono molti teoremi provati, non dimostrati e non ancora dimostrati? Il punto qui è che l'Ultimo Teorema di Fermat rappresenta il più grande contrasto tra la semplicità della formulazione e la complessità della dimostrazione. L'Ultimo Teorema di Fermat è un problema incredibilmente difficile, eppure la sua formulazione può essere compresa da chiunque abbia un livello di 5a elementare. Scuola superiore, ma la dimostrazione non è accessibile nemmeno a tutti i matematici professionisti. Né in fisica, né in chimica, né in biologia, né in matematica esiste un solo problema che possa essere formulato in modo così semplice, ma che sia rimasto irrisolto per così tanto tempo. 2. In cosa consiste?

Cominciamo con i pantaloni pitagorici. La formulazione è davvero semplice, a prima vista. Come sappiamo fin dall'infanzia, "i pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati". Il problema sembra così semplice perché si basa su un'affermazione matematica che tutti conoscono: il teorema di Pitagora: in ogni caso triangolo rettangolo un quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Nel V secolo a.C. Pitagora fondò la confraternita pitagorica. I Pitagorici, tra le altre cose, studiarono le triplette intere che soddisfacevano l'uguaglianza x²+y²=z². Hanno dimostrato che esistono infinite terne pitagoriche e hanno ottenuto formule generali per trovarli. Probabilmente hanno provato a cercare C e gradi superiori. Convinti che ciò non funzionasse, i Pitagorici abbandonarono i loro inutili tentativi. I membri della confraternita erano più filosofi ed esteti che matematici.

Cioè è facile selezionare un insieme di numeri che soddisfano perfettamente l'uguaglianza x²+y²=z²

A partire da 3, 4, 5 - infatti uno studente junior capisce che 9 + 16 = 25.

Oppure 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ottimo.

E così via. Cosa succede se prendiamo un'equazione simile x³+y³=z³? Forse ci sono anche questi numeri?

E così via (Fig. 1).

Quindi, risulta che NON lo sono. È qui che inizia il trucco. La semplicità è evidente, perché è difficile dimostrare non la presenza di qualcosa, ma, al contrario, la sua assenza. Quando devi dimostrare che esiste una soluzione, puoi e dovresti semplicemente presentare questa soluzione.

Dimostrare l'assenza è più difficile: per esempio qualcuno dice: tale equazione non ha soluzioni. Metterlo in una pozzanghera? facile: bam - ed eccola qui, la soluzione! (dare la soluzione). E basta, l’avversario è sconfitto. Come dimostrare l'assenza?

Dire: "Non ho trovato tali soluzioni"? O forse non avevi un bell'aspetto? E se esistessero, solo molto grandi, molto grandi, tanto che anche un computer super potente non ha ancora abbastanza forza? Questo è ciò che è difficile.

Questo può essere mostrato visivamente in questo modo: se prendi due quadrati di dimensioni adeguate e li smonti in quadrati unitari, da questo gruppo di quadrati unitari otterrai un terzo quadrato (Fig. 2):

Ma facciamo lo stesso con la terza dimensione (Fig. 3): non funziona. Non ci sono abbastanza cubi o ne sono rimasti di extra:

Ma il matematico francese del XVII secolo Pierre de Fermat esplorò con entusiasmo equazione generale X n + y n = z n . E infine ho concluso: per n>2 non esistono soluzioni intere. La dimostrazione di Fermat è irrimediabilmente perduta. I manoscritti stanno bruciando! Tutto ciò che rimane è la sua osservazione nell’Aritmetica di Diofanto: “Ho trovato una prova davvero sorprendente di questa proposizione, ma i margini qui sono troppo stretti per contenerla”.

In realtà, un teorema senza dimostrazione si chiama ipotesi. Ma Fermat ha la reputazione di non commettere mai errori. Anche se non ha lasciato prove di dichiarazioni, queste sono state successivamente confermate. Inoltre Fermat dimostrò la sua tesi per n=4. Pertanto, l’ipotesi del matematico francese passò alla storia come l’Ultimo Teorema di Fermat.

Dopo Fermat, grandi menti come Leonhard Euler lavorarono alla ricerca di una dimostrazione (nel 1770 propose una soluzione per n = 3),

Adrien Legendre e Johann Dirichlet (questi scienziati trovarono insieme la prova per n = 5 nel 1825), Gabriel Lamé (che trovò la prova per n = 7) e molti altri. Verso la metà degli anni ’80 questo divenne chiaro mondo scientificoè sulla strada verso la soluzione finale dell'Ultimo Teorema di Fermat, ma fu solo nel 1993 che i matematici videro e credettero che l'epopea durata tre secoli per trovare una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat era praticamente finita.

Si dimostra facilmente che basta dimostrare il teorema di Fermat solo per n semplici: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Per n composto la dimostrazione resta valida. Ma i numeri primi sono infiniti...

Nel 1825, utilizzando il metodo di Sophie Germain, le matematiche Dirichlet e Legendre dimostrarono indipendentemente il teorema per n=5. Nel 1839, utilizzando lo stesso metodo, il francese Gabriel Lame dimostrò la verità del teorema per n=7. A poco a poco il teorema fu dimostrato per quasi tutti gli n meno di cento.

Infine, il matematico tedesco Ernst Kummer, in un brillante studio, dimostrò che, utilizzando i metodi della matematica del XIX secolo, il teorema in vista generale non può essere dimostrato. Il Premio dell'Accademia francese delle Scienze, istituito nel 1847 per la dimostrazione del teorema di Fermat, rimase senza assegnazione.

Nel 1907, il ricco industriale tedesco Paul Wolfskehl decise di togliersi la vita a causa di un amore non corrisposto. Da vero tedesco, fissò la data e l'ora del suicidio: esattamente a mezzanotte. L'ultimo giorno fece testamento e scrisse lettere ad amici e parenti. Le cose finirono prima di mezzanotte. Va detto che Paolo era interessato alla matematica. Non avendo altro da fare, andò in biblioteca e cominciò a leggere il famoso articolo di Kummer. All'improvviso gli sembrò che Kummer avesse commesso un errore nel suo ragionamento. Wolfskel iniziò ad analizzare questa parte dell'articolo con una matita tra le mani. La mezzanotte è passata, è arrivata la mattina. La lacuna nella dimostrazione è stata colmata. E la ragione stessa del suicidio ora sembrava completamente ridicola. Paul stracciò le sue lettere d'addio e riscrisse il suo testamento.

Morì presto per cause naturali. Gli eredi rimasero piuttosto sorpresi: 100.000 marchi (più di 1.000.000 di sterline attuali) furono trasferiti sul conto della Royal Scientific Society di Göttingen, che nello stesso anno annunciò un concorso per il Premio Wolfskehl. Alla persona che dimostrò il teorema di Fermat furono assegnati 100.000 punti. Non venne assegnato un centesimo per aver confutato il teorema...

Maggioranza matematici professionisti considerava la ricerca di una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat un compito disperato e si rifiutava risolutamente di perdere tempo in un esercizio così inutile. Ma i dilettanti si sono divertiti tantissimo. Poche settimane dopo l’annuncio, una valanga di “prove” colpì l’Università di Gottinga. Il professor E.M. Landau, incaricato di analizzare le prove inviate, ha distribuito ai suoi studenti delle cartoline:

Caro. . . . . . . .

Grazie per avermi inviato il manoscritto con la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat. Il primo errore è a pagina... in linea... . Per questo motivo l’intera dimostrazione perde la sua validità.
Professor E. M. Landau

Nel 1963 Paul Cohen, basandosi sulle scoperte di Gödel, dimostrò l'irrisolvibilità di uno dei ventitré problemi di Hilbert: l'ipotesi del continuo. E se anche l'Ultimo Teorema di Fermat fosse indecidibile?! Ma i veri fanatici del Grande Teorema non rimasero affatto delusi. L'avvento dei computer diede improvvisamente ai matematici un nuovo metodo di dimostrazione. Dopo la seconda guerra mondiale, squadre di programmatori e matematici dimostrarono l'ultimo teorema di Fermat per tutti i valori di n fino a 500, poi fino a 1.000 e successivamente fino a 10.000.

Negli anni '80 Samuel Wagstaff innalzò il limite a 25.000 e negli anni '90 i matematici dichiararono che l'ultimo teorema di Fermat era vero per tutti i valori fino a 4 milioni. Ma se sottrai anche un trilione di trilioni dall’infinito, non diventerà più piccolo. I matematici non sono convinti dalle statistiche. Dimostrare il Grande Teorema significava dimostrarlo per TUTTI n andando all'infinito.

Nel 1954, due giovani amici matematici giapponesi iniziarono la ricerca sulle forme modulari. Queste forme generano serie di numeri, ciascuna con la propria serie. Per caso, Taniyama confrontò queste serie con le serie generate da equazioni ellittiche. Si abbinavano! Ma le forme modulari sono oggetti geometrici e le equazioni ellittiche sono algebriche. Nessuna connessione è mai stata trovata tra oggetti così diversi.

Tuttavia, dopo attenti test, gli amici hanno avanzato un'ipotesi: ogni equazione ellittica ha una forma gemella - modulare e viceversa. Fu questa ipotesi a diventare il fondamento di un'intera direzione matematica, ma fino a quando l'ipotesi Taniyama-Shimura non fosse stata dimostrata, l'intero edificio avrebbe potuto crollare in qualsiasi momento.

Nel 1984, Gerhard Frey dimostrò che una soluzione dell'equazione di Fermat, se esiste, può essere inclusa in qualche equazione ellittica. Due anni dopo, il professor Ken Ribet dimostrò che questa ipotetica equazione non poteva avere una controparte nel mondo modulare. Da quel momento in poi, l'Ultimo Teorema di Fermat fu inestricabilmente legato alla congettura di Taniyama-Shimura. Avendo dimostrato che qualsiasi curva ellittica è modulare, concludiamo che non esiste un'equazione ellittica con una soluzione dell'equazione di Fermat, e l'Ultimo Teorema di Fermat sarebbe immediatamente dimostrato. Ma per trent'anni non è stato possibile dimostrare l'ipotesi Taniyama-Shimura e c'erano sempre meno speranze di successo.

Nel 1963, quando aveva appena dieci anni, Andrew Wiles era già affascinato dalla matematica. Quando venne a conoscenza del Grande Teorema, si rese conto che non poteva rinunciarci. Come scolaro, studente e studente laureato, si è preparato per questo compito.

Dopo aver appreso delle scoperte di Ken Ribet, Wiles si gettò a capofitto nella dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura. Ha deciso di lavorare in completo isolamento e segretezza. “Mi sono reso conto che tutto ciò che ha a che fare con l’Ultimo Teorema di Fermat suscita troppo interesse… Troppi spettatori evidentemente interferiscono con il raggiungimento dell’obiettivo.” Sette anni di duro lavoro furono ripagati; Wiles completò finalmente la dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura.

Nel 1993, il matematico inglese Andrew Wiles presentò al mondo la sua dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat (Wiles lesse il suo sensazionale articolo in una conferenza al Sir Isaac Newton Institute di Cambridge), il cui lavoro durò più di sette anni.

Mentre la stampa continuava a pubblicizzarlo, iniziò un lavoro serio per verificare le prove. Ogni elemento di prova deve essere attentamente esaminato prima che la prova possa essere considerata rigorosa e accurata. Wiles ha trascorso un'estate inquieta aspettando il feedback dei revisori, sperando di riuscire a ottenere la loro approvazione. Alla fine di agosto gli esperti hanno ritenuto che la sentenza non fosse sufficientemente comprovata.

Si è scoperto che questa decisione contiene un errore grossolano, sebbene in generale sia corretta. Wiles non si arrese, chiese l'aiuto del famoso specialista in teoria dei numeri Richard Taylor, e già nel 1994 pubblicarono una dimostrazione corretta ed ampliata del teorema. La cosa più sorprendente è che questo lavoro occupa ben 130 (!) pagine nella rivista matematica “Annals of Mathematics”. Ma la storia non finì nemmeno qui: il punto finale fu raggiunto solo l'anno successivo, 1995, quando fu pubblicata la versione finale e “ideale”, da un punto di vista matematico, della dimostrazione.

"...mezzo minuto dopo l'inizio della cena festiva in occasione del suo compleanno, ho regalato a Nadya il manoscritto della prova completa" (Andrew Wales). Non ho ancora detto che i matematici sono gente strana?

Questa volta non c'erano dubbi sulle prove. Due articoli furono sottoposti alla più attenta analisi e furono pubblicati nel maggio 1995 negli Annals of Mathematics.

È passato molto tempo da quel momento, ma nella società c'è ancora l'opinione secondo cui l'Ultimo Teorema di Fermat è irrisolvibile. Ma anche chi conosce la dimostrazione trovata continua a lavorare in questa direzione: pochi sono soddisfatti del fatto che il Grande Teorema richieda una soluzione di 130 pagine!

Pertanto, ora gli sforzi di molti matematici (per lo più dilettanti, non scienziati professionisti) sono rivolti alla ricerca di una dimostrazione semplice e concisa, ma questa strada, molto probabilmente, non porterà da nessuna parte... STORIA DELL'Ultimo Teorema di FERmat
Un grande affare

Una volta, in una newsletter di Capodanno su come fare i toast, ho menzionato casualmente che alla fine del ventesimo secolo accadde un grande evento che molti non notarono: il cosiddetto Ultimo Teorema di Fermat fu finalmente dimostrato. A questo proposito, tra le lettere che ho ricevuto, ho trovato due risposte di ragazze (una di loro, per quanto ricordo, era Vika della nona elementare di Zelenograd), che sono rimaste sorprese da questo fatto.

E sono rimasto sorpreso da quanto profondamente le ragazze fossero interessate ai problemi della matematica moderna. Pertanto, penso che non solo le ragazze, ma anche i ragazzi di tutte le età, dagli studenti delle scuole superiori ai pensionati, saranno interessati a conoscere la storia del Grande Teorema.

La dimostrazione del teorema di Fermat è un grande evento. E perché Non è consuetudine scherzare con la parola “grande”, ma mi sembra che ogni oratore che si rispetti (e siamo tutti oratori quando parliamo) sia semplicemente obbligato a conoscere la storia del teorema.

Se ti capita di non amare la matematica quanto la amo io, allora scorri alcuni dettagli. Rendendomi conto che non tutti i lettori della nostra newsletter sono interessati a vagare nella giungla matematica, ho cercato di non fornire alcuna formula (ad eccezione dell'equazione del teorema di Fermat e di un paio di ipotesi) e di semplificare quanto più la trattazione di alcune questioni specifiche possibile.

Come Fermat ha combinato il pasticcio

L'avvocato francese e grande matematico part-time del XVII secolo Pierre Fermat (1601-1665) fece un'affermazione interessante nel campo della teoria dei numeri, che in seguito divenne nota come il Grande (o Grande) Teorema di Fermat. Questo è uno dei teoremi matematici più famosi e fenomenali. Probabilmente, l'eccitazione intorno a lui non sarebbe stata così forte se nel libro di Diofanto d'Alessandria (III secolo d.C.) "Aritmetica", che Fermat studiò spesso, prendendo appunti sui suoi ampi margini, e che suo figlio Samuele conservò gentilmente per i posteri , approssimativamente il seguente record del grande matematico non è stato scoperto:

"Ho alcune prove davvero sorprendenti, ma sono troppo grandi per essere inserite nei margini."

Fu questa registrazione a costituire la ragione del successivo colossale polverone attorno al teorema.

Quindi, il famoso scienziato dichiarò di aver dimostrato il suo teorema. Chiediamoci: lo ha dimostrato davvero o ha semplicemente mentito? Oppure esistono altre versioni che spiegano la comparsa di quella nota a margine, che non permise di dormire sonni tranquilli a molti matematici delle generazioni successive?

La storia del Grande Teorema è affascinante come un'avventura nel tempo. Nel 1636 Fermat affermò che un'equazione della forma x n + y n = z n non ha soluzioni negli interi con esponente n>2. Questo è in realtà l'Ultimo Teorema di Fermat. In questa formula matematica apparentemente semplice, l'Universo nascondeva un'incredibile complessità. Il matematico americano di origine scozzese Eric Temple Bell suggerì addirittura nel suo libro “Il problema finale” (1961) che forse l’umanità cesserà di esistere prima di poter dimostrare l’ultimo teorema di Fermat.

È un po' strano che per qualche motivo il teorema sia apparso tardivamente, dato che la situazione era in fermento da molto tempo, perché il suo caso speciale per n=2 - un'altra famosa formula matematica - il teorema di Pitagora, sorto ventidue secoli prima. A differenza del teorema di Fermat, il teorema di Pitagora ha un numero infinito di soluzioni intere, ad esempio i seguenti triangoli di Pitagora: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112.384.400) … (4232, 7935, 8993) …

Sindrome del Grande Teorema

Chi non ha provato a dimostrare il teorema di Fermat? Qualsiasi studente alle prime armi considerava suo dovere applicarsi al Grande Teorema, ma nessuno era in grado di dimostrarlo. All’inizio non ha funzionato per cento anni. Poi altri cento. E inoltre. Tra i matematici cominciò a svilupparsi una sindrome di massa: "Come può essere dimostrato da Fermat, ma io non posso farlo, o cosa?" - e alcuni di loro sono impazziti su questa base nel pieno senso della parola.

Non importa quante volte il teorema è stato testato, si è sempre rivelato vero. Conoscevo un energico programmatore che era ossessionato dall'idea di confutare il Grande Teorema cercando di trovare almeno una soluzione (controesempio) enumerando numeri interi utilizzando un computer ad alta velocità (a quel tempo più comunemente chiamato mainframe). Credeva nel successo della sua impresa e amava dire: "Ancora un po '- e scoppierà una sensazione!" Penso che in diversi luoghi del nostro pianeta ci fosse un numero considerevole di questo tipo di coraggiosi ricercatori. Lui, ovviamente, non ha trovato un'unica soluzione. E nessun computer, nemmeno con una velocità favolosa, potrebbe mai verificare il teorema, perché tutte le variabili di questa equazione (compresi gli esponenti) possono aumentare all'infinito.

Il teorema richiede una dimostrazione

I matematici sanno che se un teorema non viene dimostrato, da esso può derivare qualsiasi cosa (sia vera che falsa), come nel caso di alcune altre ipotesi. Ad esempio, in una delle sue lettere, Pierre Fermat suggerisce che i numeri della forma 2 n +1 (i cosiddetti numeri di Fermat) sono necessariamente semplici (cioè non hanno divisori interi e sono divisibili senza resto solo per se stessi). e per uno), se n è una potenza di due (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ecc.). Questa ipotesi di Fermat visse per più di cento anni, finché nel 1732 Leonhard Euler lo dimostrò

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Poi, quasi 150 anni dopo (1880), Fortune Landry fattorizzò il seguente numero di Fermat:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Come siano riusciti a trovare i divisori di questi grandi numeri senza l'aiuto dei computer - solo Dio lo sa. A sua volta Eulero ipotizzò che l'equazione x 4 +y 4 +z 4 =u 4 non ha soluzioni intere. Tuttavia, circa 250 anni dopo, nel 1988, Naum Elkis di Harvard riuscì a scoprire (con l’aiuto di programma per computer), Che cosa

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Pertanto, l'Ultimo Teorema di Fermat richiedeva una prova, altrimenti era solo un'ipotesi, e poteva benissimo darsi che da qualche parte là fuori, negli infiniti campi dei numeri, la soluzione dell'equazione del Grande Teorema fosse andata perduta.

Il matematico più virtuoso e prolifico del XVIII secolo, Leonard Euler, il cui archivio di documenti l'umanità ha frugato per quasi un secolo, ha dimostrato il teorema di Fermat per le potenze 3 e 4 (o meglio, ha ripetuto le dimostrazioni perdute dello stesso Pierre Fermat) ; il suo seguace nella teoria dei numeri, Legendre (e anche indipendentemente da lui Dirichlet) - per il grado 5; Lame - per il grado 7. Ma in generale il teorema è rimasto non dimostrato.

Il 1 marzo 1847, in una riunione dell'Accademia delle Scienze di Parigi, due eminenti matematici - Gabriel Lamé e Augustin Cauchy - annunciarono di essere giunti alla fine della dimostrazione del Grande Teorema e iniziarono una gara, pubblicando le loro dimostrazioni in parti. Tuttavia, il duello tra loro fu interrotto perché nelle loro dimostrazioni fu scoperto lo stesso errore, come fece notare il matematico tedesco Ernst Kummer.

All'inizio del XX secolo (1908), un ricco imprenditore, filantropo e scienziato tedesco Paul Wolfskehl lasciò in eredità centomila marchi a colui che avrebbe presentato una dimostrazione completa del teorema di Fermat. Già nel primo anno dopo la pubblicazione del testamento di Wolfskehl da parte dell'Accademia delle scienze di Göttingen, fu inondato da migliaia di dimostrazioni di dilettanti di matematica, e questo flusso non si fermò per decenni, ma tutte, come avete intuito, contenevano errori . Dicono che l'accademia abbia preparato moduli con approssimativamente il seguente contenuto:

Caro __________________________!
Nella tua dimostrazione del teorema di Fermat alla pagina ____ nella riga ____ in alto
nella formula è stato rilevato il seguente errore:__________________________:,

Che sono stati inviati agli sfortunati candidati al premio.

A quel tempo, tra i matematici apparve un soprannome semi-sprezzante: contadino. Questo era il nome dato a qualsiasi parvenu sicuro di sé che mancava di conoscenza, ma aveva l'ambizione più che sufficiente per fare frettolosamente del suo meglio per dimostrare il Grande Teorema, e poi, senza notare i propri errori, darsi con orgoglio una pacca sul petto, dichiarando ad alta voce : “Sono stato il primo a dimostrare il teorema di Fermat!” Ogni contadino, anche se era il decimillesimo, si considerava il primo: era divertente. Semplice aspetto Il Grande Teorema ricordava così tanto ai Fermisti le prede facili che non erano affatto imbarazzati dal fatto che nemmeno Eulero e Gauss riuscissero a farcela.

(I fermatisti, stranamente, esistono ancora oggi. Sebbene uno di loro non pensasse di aver dimostrato il teorema, come un fermatista classico, ha fatto dei tentativi fino a poco tempo fa - si è rifiutato di credermi quando gli ho detto che il teorema di Fermat era già stato dimostrato dimostrato).

Anche i matematici più potenti, forse, nel silenzio dei loro uffici, tentarono di avvicinarsi con cautela a questo impossibile bilanciere, ma non lo dissero ad alta voce, per non essere etichettati come contadini e, quindi, non nuocere alla loro alta autorità.

A quel punto era apparsa una dimostrazione del teorema per l'esponente n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Strana ipotesi

Fino alla metà del XX secolo non ci furono grandi progressi nella storia del Grande Teorema. Ma presto accadde un evento interessante nella vita matematica. Nel 1955, il matematico giapponese ventottenne Yutaka Taniyama avanzò un'affermazione proveniente da un campo della matematica completamente diverso, chiamata congettura di Taniyama (nota anche come congettura di Taniyama-Shimura-Weil), che, a differenza del tardivo teorema di Fermat, era in vantaggio del suo tempo.

La congettura di Taniyama afferma: "ogni curva ellittica corrisponde ad una certa forma modulare". Ai matematici dell’epoca questa affermazione sembrava altrettanto assurda quanto a noi suona l’affermazione: “ogni albero corrisponde a un certo metallo”. Non è difficile indovinare come una persona normale potrebbe reagire a una simile affermazione: semplicemente non la prenderà sul serio, ed è quello che è successo: i matematici hanno ignorato all'unanimità l'ipotesi.

Un piccolo chiarimento. Le curve ellittiche, note da molto tempo, hanno un aspetto bidimensionale (situate su un piano). Le funzioni modulari, scoperte nel XIX secolo, hanno una forma quadridimensionale, quindi non possiamo nemmeno immaginarle con il nostro cervello tridimensionale, ma possiamo descriverle matematicamente; inoltre, le forme modulari sono sorprendenti in quanto possiedono la massima simmetria possibile - possono essere traslate (spostate) in qualsiasi direzione, specchiate, scambiati frammenti, ruotati in infiniti modi - e tuttavia il loro aspetto non cambia. Come puoi vedere, le curve ellittiche e le forme modulari hanno poco in comune. L'ipotesi di Taniyama afferma che le equazioni descrittive di due corrispondenti oggetti matematici completamente diversi possono essere espanse nella stessa serie matematica.

L'ipotesi di Taniyama era troppo paradossale: combinava concetti completamente diversi: curve piatte piuttosto semplici e forme quadridimensionali inimmaginabili. Questo non è mai venuto in mente a nessuno. Quando, in un simposio internazionale di matematica a Tokyo nel settembre 1955, Taniyama dimostrò diverse corrispondenze tra curve ellittiche e forme modulari, tutti lo videro come nient'altro che divertenti coincidenze. Alla modesta domanda di Taniyama: è possibile trovare la funzione modulare corrispondente per ogni curva ellittica, il venerabile francese Andre Weil, che a quel tempo era uno dei migliori specialisti al mondo in teoria dei numeri, diede una risposta completamente diplomatica che, dicono, se il curioso Taniyama non lascia l'entusiasmo, forse sarà fortunato e la sua incredibile ipotesi verrà confermata, ma probabilmente ciò non avverrà presto. In generale, come molte altre scoperte eccezionali, all'inizio l'ipotesi di Taniyama rimase inosservata, perché le persone non erano ancora abbastanza mature per capirla - quasi nessuno la capì. Solo il collega di Taniyama, Goro Shimura, conoscendo bene il suo talentuoso amico, sentì intuitivamente che la sua ipotesi era corretta.

Tre anni dopo (1958), Yutaka Taniyama si suicidò (tuttavia, le tradizioni dei samurai sono forti in Giappone). Dal punto di vista del buon senso si tratta di un atto incomprensibile, soprattutto considerando che molto presto si sarebbe sposato. Il leader dei giovani matematici giapponesi ha iniziato così la sua nota di suicidio: “Proprio ieri non ho pensato al suicidio. Ultimamente ho spesso sentito da altri che sono stanco mentalmente e fisicamente, infatti, ancora non capisco perché. sto facendo questo...” e così via su tre fogli. È un peccato, ovviamente, che questo sia stato il destino di una persona interessante, ma tutti i geni sono un po 'strani - ecco perché sono dei geni (per qualche motivo mi sono venute in mente le parole di Arthur Schopenhauer: “nella vita ordinaria, un genio è utile quanto un telescopio in teatro”). L'ipotesi è orfana. Nessuno sapeva come dimostrarlo.

Per circa dieci anni difficilmente ricordarono l’ipotesi di Taniyama. Ma all'inizio degli anni '70 divenne popolare - fu regolarmente testato da tutti coloro che potevano capirlo - e fu sempre confermato (come, in effetti, il teorema di Fermat), ma, come prima, nessuno poteva dimostrarlo.

Una sorprendente connessione tra due ipotesi

Passarono altri 15 anni circa. Nel 1984 si verificò un evento chiave nella vita della matematica, che combinò la stravagante ipotesi giapponese con l'Ultimo Teorema di Fermat. Il tedesco Gerhard Frey ha avanzato un’interessante affermazione simile al teorema: “Se l’ipotesi di Taniyama sarà dimostrata, allora sarà dimostrato anche l’Ultimo Teorema di Fermat”. In altre parole, il teorema di Fermat è una conseguenza della congettura di Taniyama. (Frey, usando intelligenti trasformazioni matematiche, ridusse l'equazione di Fermat alla forma di un'equazione a curva ellittica (la stessa che appare nell'ipotesi di Taniyama), più o meno suffragata la sua ipotesi, ma non riuscì a dimostrarla). E solo un anno e mezzo dopo (1986), il professore dell’Università della California Kenneth Ribet dimostrò chiaramente il teorema di Frey.

Cos'è successo ora? Ora si scopre che, poiché il teorema di Fermat è già un corollario della congettura di Taniyama, basta dimostrare quest'ultima per vincere gli allori del conquistatore del leggendario teorema di Fermat. Ma l’ipotesi si è rivelata difficile. Inoltre, nel corso dei secoli, i matematici sono diventati allergici al teorema di Fermat e molti di loro hanno deciso che sarebbe stato quasi impossibile far fronte anche alla congettura di Taniyama.

Morte dell'ipotesi di Fermat. Nascita del teorema

Sono passati altri 8 anni. Un professore inglese progressista di matematica dell'Università di Princeton (New Jersey, USA), Andrew Wiles, pensava di aver trovato una dimostrazione della congettura di Taniyama. Se un genio non è calvo, di regola è spettinato. Wiles è spettinato e quindi sembra un genio. Entrare nella storia, ovviamente, era allettante e lo volevo davvero, ma Wiles, come un vero scienziato, non si illudeva, rendendosi conto che anche migliaia di agricoltori prima di lui vedevano prove spettrali. Pertanto, prima di presentare la sua dimostrazione al mondo, la controllò attentamente da solo, ma rendendosi conto che poteva avere un pregiudizio soggettivo, coinvolse anche altri nei controlli, ad esempio, sotto le spoglie di normali compiti matematici, a volte lanciava vari frammenti della sua dimostrazione agli studenti laureati intelligenti. Wiles in seguito ammise che nessuno, tranne sua moglie, sapeva che stava lavorando a una dimostrazione del Grande Teorema.

E così, dopo molte prove e riflessioni dolorose, Wiles finalmente prese coraggio, o forse, come gli sembrava, arroganza, e il 23 giugno 1993, in una conferenza matematica sulla teoria dei numeri a Cambridge, annunciò il suo grande risultato.

Questa, ovviamente, è stata una sensazione. Nessuno si aspettava una tale agilità da un matematico poco conosciuto. La stampa è immediatamente apparsa. Tutti erano tormentati da un interesse ardente. Formule sottili, come tratti di un bel dipinto, apparivano davanti agli occhi curiosi dei presenti. I veri matematici, sono così, guardano tutti i tipi di equazioni e non vedono in esse numeri, costanti e variabili, ma ascoltano la musica, come Mozart guardando il pentagramma. Proprio come quando leggiamo un libro, guardiamo le lettere, ma non ci sembra di notarle, ma percepiamo subito il significato del testo.

La presentazione della dimostrazione sembrava andare bene - non sono stati trovati errori - nessuno ha sentito una sola nota falsa (anche se la maggior parte dei matematici l'ha semplicemente fissata come alunni di prima elementare davanti a un integrale e non ha capito nulla). Tutti decisero che era accaduto un evento su larga scala: l’ipotesi di Taniyama era stata dimostrata, e quindi l’Ultimo Teorema di Fermat. Ma circa due mesi dopo, pochi giorni prima che il manoscritto della dimostrazione di Wiles fosse pubblicato, in esso fu scoperta un'incoerenza (Katz, un collega di Wiles, notò che un frammento del ragionamento si basava sul "sistema di Eulero", ma che costruito da Wiles, non era un sistema del genere), anche se in generale le tecniche di Wiles erano considerate interessanti, eleganti e innovative.

Wiles analizzò la situazione e decise che aveva perso. Si può immaginare come abbia sentito con tutto se stesso cosa significhi “un passo dal grande al ridicolo”. “Volevo passare alla Storia, invece sono entrato a far parte di una squadra di clown e comici – contadini arroganti” – questi erano i pensieri che lo sfinivano in quel periodo difficile della sua vita. Per lui, un matematico serio, questa fu una tragedia e gettò la sua dimostrazione nell'oblio.

Ma poco più di un anno dopo, nel settembre 1994, mentre rifletteva su quel collo di bottiglia nella dimostrazione insieme al collega Taylor di Oxford, quest’ultimo fu improvvisamente colpito dall’idea che il “sistema di Eulero” potesse essere sostituito dalla teoria di Iwasawa (una ramo della teoria dei numeri). Poi hanno provato ad utilizzare la teoria di Iwasawa, facendo a meno del “sistema euleriano”, e tutto ha funzionato per loro. La versione corretta della prova è stata sottoposta a verifica e un anno dopo è stato annunciato che tutto era assolutamente chiaro, senza un solo errore. Nell'estate del 1995, in una delle principali riviste matematiche - "Annali di matematica" - fu pubblicata una dimostrazione completa della congettura di Taniyama (da qui il Grande Teorema di Fermat), che occupò l'intero numero - oltre un centinaio di pagine. La dimostrazione è così complessa che solo poche decine di persone in tutto il mondo potrebbero comprenderla nella sua interezza.

Così, alla fine del XX secolo, il mondo intero riconobbe che, nel 360esimo anno della sua vita, l'Ultimo Teorema di Fermat, che in realtà era stato un'ipotesi per tutto questo tempo, era finalmente diventato un teorema dimostrato. Andrew Wiles dimostrò il Grande Teorema di Fermat e passò alla storia.

Pensa, hanno dimostrato qualche teorema...

La felicità dello scopritore va sempre a una persona: è lui che, con l'ultimo colpo di martello, spezza il duro dado della conoscenza. Ma non possiamo ignorare i tanti colpi precedenti che per secoli hanno aperto una crepa nel Grande Teorema: Eulero e Gauss (i re della matematica del loro tempo), Evariste Galois (che riuscì a fondare le teorie dei gruppi e dei campi nel suo breve 21- anno di vita, il cui lavoro fu riconosciuto come un genio solo dopo la sua morte), Henri Poincaré (il fondatore non solo di bizzarre forme modulari, ma anche del convenzionalismo - un movimento filosofico), David Gilbert (uno dei matematici più forti del ventesimo secolo) , Yutaka Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbett, Richard Taylor e altri veri scienziati(Non ho paura di queste parole).

La dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat può essere paragonata a conquiste del XX secolo come l'invenzione del computer, della bomba nucleare e del volo spaziale. Anche se non è così ampiamente conosciuta, perché non invade la zona dei nostri interessi immediati, come un televisore o una lampadina elettrica, si è trattato di un'esplosione di supernova che, come tutte le verità immutabili, brillerà sempre sull'umanità.

Puoi dire: “pensa, hanno dimostrato qualche teorema, chi ne ha bisogno?". Una domanda giusta. La risposta di David Gilbert si adatta esattamente qui. Alla domanda: "Quale compito è più importante per la scienza adesso?", Ha risposto: "Prendi una mosca sul lato nascosto della Luna", gli è stato ragionevolmente chiesto: " E chi ne ha bisogno?", Ha risposto così: "Nessuno ne ha bisogno. Ma pensate a quanti problemi importanti e complessi devono essere risolti per raggiungere questo obiettivo." Pensate a quanti problemi l'umanità è riuscita a risolvere in 360 anni prima di dimostrare il teorema di Fermat. Quasi la metà della matematica moderna è stata scoperta nella ricerca della sua È anche necessario tenere conto del fatto che la matematica è l'avanguardia della scienza (e, tra l'altro, l'unica scienza costruita senza un solo errore) e che tutti i risultati e le invenzioni scientifiche iniziano qui, come ha osservato Leonardo da Vinci,. “Solo una dottrina confermata matematicamente può essere riconosciuta come scienza”.

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Ora torniamo all'inizio della nostra storia, ricordiamo la nota di Pierre Fermat a margine del libro di testo di Diofanto e poniamo ancora una volta la domanda: Fermat ha davvero dimostrato il suo teorema? Naturalmente non possiamo saperlo con certezza e, come in ogni caso, qui sorgono versioni diverse:

Versione 1: Fermat dimostrò il suo teorema. (Quando gli fu chiesto: “Fermat aveva esattamente la stessa dimostrazione del suo teorema?”, Andrew Wiles osservò: “Fermat non avrebbe potuto avere come questo prova. Questa è la prova del 20° secolo." Tu ed io comprendiamo che nel 17° secolo la matematica, ovviamente, non era la stessa della fine del 20° secolo - a quell'epoca Artagnan, la regina delle scienze, non aveva ancora ci sono quelle scoperte (forme modulari, teoremi di Taniyama, Freya, ecc.), che da sole hanno permesso di dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat. Naturalmente, si può supporre: perché diavolo Fermat indovina in modo diverso questa versione, sebbene probabile? , è, secondo la maggior parte dei matematici, praticamente impossibile);
Versione 2: Pierre Fermat pensava di aver dimostrato il suo teorema, ma nella sua dimostrazione c'erano degli errori. (Cioè, Fermat stesso fu anche il primo agricoltore);
Versione 3: Fermat non dimostrò il suo teorema, ma mentì semplicemente a margine.

Se una delle ultime due versioni è corretta, il che è molto probabile, allora possiamo trarre una semplice conclusione: le grandi persone, pur essendo grandi, possono anche commettere errori o talvolta non sono contrarie a mentire(soprattutto questa conclusione sarà utile a coloro che sono inclini a fidarsi completamente dei propri idoli e di altri governanti dei pensieri). Pertanto, leggendo le opere di autorevoli figli dell'umanità o ascoltando i loro patetici discorsi, hai tutto il diritto di dubitare delle loro affermazioni. (Si prega di notare che dubitare non significa rifiutare).

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