Trapeces viduslīnija ir puse no pamatnes. Kā atrast trapeces viduslīniju. Vienādsānu trapeces diagonāļu īpašība

Šajā rakstā mēs centīsimies pēc iespējas pilnīgāk atspoguļot trapeces īpašības. Jo īpaši mēs runāsim par trapeces vispārīgajām zīmēm un īpašībām, kā arī par ierakstītas trapeces īpašībām un par trapecveidā ierakstītu apli. Pieskarsimies arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces īpašībām.

Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot aplūkotās īpašības, palīdzēs sakārtot lietas galvā un labāk atcerēties materiālu.

Trapece un viss-viss-viss

Sākumā īsi atcerēsimies, kas ir trapece un kādi citi jēdzieni ar to ir saistīti.

Tātad trapece ir četrstūra figūra, kuras divas malas ir paralēlas viena otrai (tās ir pamatnes). Un divi nav paralēli – tās ir malas.

Trapecveida formā augstumu var izlaist - perpendikulāri pamatnēm. Tiek novilkta vidējā līnija un diagonāles. Un arī no jebkura trapeces leņķa ir iespējams uzzīmēt bisektoru.

Par dažādajām īpašībām, kas saistītas ar visiem šiem elementiem un to kombinācijām, mēs tagad runāsim.

Trapeces diagonāļu īpašības

Lai būtu skaidrāk, lasīšanas laikā uz papīra uzzīmējiet ACME trapecveida formu un ievelciet tajā diagonāles.

  1. Ja atrodat katras diagonāles viduspunktus (sauksim šos punktus X un T) un savienojat tos, iegūstat segmentu. Viena no trapeces diagonāļu īpašībām ir tā, ka segments XT atrodas uz viduslīnijas. Un tā garumu var iegūt, dalot bāzu starpību ar diviem: XT \u003d (a–b) / 2.
  2. Pirms mums ir tā pati ACME trapece. Diagonāles krustojas punktā O. Aplūkosim trijstūrus AOE un IOC, ko veido diagonāļu nogriežņi kopā ar trapeces pamatiem. Šie trīsstūri ir līdzīgi. K trijstūra līdzības koeficientu izsaka kā trapecveida pamatu attiecību: k = AE/KM.
    Trijstūru AOE un IOC laukumu attiecību raksturo koeficients k 2 .
  3. Visa tā pati trapece, tās pašas diagonāles, kas krustojas punktā O. Tikai šoreiz mēs apskatīsim trijstūrus, kurus diagonāles atzari veido kopā ar trapeces malām. Trijstūru AKO un EMO laukumi ir vienādi – to laukumi ir vienādi.
  4. Vēl viena trapeces īpašība ietver diagonāļu konstrukciju. Tātad, ja mēs turpināsim AK un ME malas mazākās bāzes virzienā, tad agri vai vēlu tās krustosies kādā punktā. Pēc tam novelciet taisnu līniju caur trapecveida pamatu viduspunktiem. Tas krusto bāzes punktos X un T.
    Ja tagad pagarināsim taisni XT, tad tā savienos kopā trapeces O diagonāļu krustpunktu, punktu, kurā krustojas malu paplašinājumi un X un T pamatu viduspunkti.
  5. Caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novelkam segmentu, kas savienos trapeces pamatus (T atrodas uz mazākā KM pamata, X - uz lielākā AE). Diagonāļu krustošanās punkts dala šo segmentu šādā proporcijā: TO/OH = KM/AE.
  6. Un tagad caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novelkam segmentu, kas ir paralēls trapeces (a un b) pamatiem. Krustpunkts sadalīs to divās vienādās daļās. Segmenta garumu var atrast, izmantojot formulu 2ab/(a + b).

Trapeces viduslīnijas īpašības

Novelciet vidējo līniju trapecē paralēli tās pamatiem.

  1. Trapeces viduslīnijas garumu var aprēķināt, saskaitot pamatņu garumus un dalot tos uz pusēm: m = (a + b)/2.
  2. Ja velciet jebkuru segmentu (piemēram, augstumu) caur abām trapeces pamatnēm, vidējā līnija to sadalīs divās vienādās daļās.

Trapeces bisektrise īpašība

Izvēlieties jebkuru trapeces leņķi un uzzīmējiet bisektrisi. Ņemiet, piemēram, mūsu trapeces ACME leņķi KAE. Patstāvīgi pabeidzot būvniecību, jūs varat viegli redzēt, ka bisektrise no pamatnes (vai tās turpinājuma taisnā līnijā ārpus pašas figūras) nogriež segmentu, kura garums ir vienāds ar sānu.

Trapecveida leņķa īpašības

  1. Neatkarīgi no tā, kuru no diviem leņķu pāriem, kas atrodas blakus jūsu izvēlētajai malai, pāra leņķu summa vienmēr ir 180 0: α + β = 180 0 un γ + δ = 180 0 .
  2. Savienojiet trapecveida pamatu viduspunktus ar segmentu TX. Tagad apskatīsim leņķus trapeces pamatnēs. Ja leņķu summa jebkuram no tiem ir 90 0, TX segmenta garumu ir viegli aprēķināt, pamatojoties uz pamatu garumu starpību, kas sadalīta uz pusēm: TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Ja caur trapeces leņķa malām tiek novilktas paralēlas līnijas, tās sadalīs leņķa malas proporcionālos segmentos.

Vienādsānu (viensānu) trapeces īpašības

  1. AT vienādsānu trapece leņķi ir vienādi jebkurā no bāzēm.
  2. Tagad atkal izveidojiet trapecveida formu, lai būtu vieglāk iedomāties, par ko ir runa. Uzmanīgi apskatiet AE pamatni - M pretējās bāzes virsotne tiek projicēta uz noteiktu punktu uz līnijas, kas satur AE. Attālums no virsotnes A līdz virsotnes M projekcijas punktam un vienādsānu trapeces viduslīnijai ir vienāds.
  3. Daži vārdi par vienādsānu trapeces diagonāļu īpašību - to garumi ir vienādi. Un arī šo diagonāļu slīpuma leņķi pret trapeces pamatni ir vienādi.
  4. Apli var aprakstīt tikai vienādsānu trapeces tuvumā, jo priekšnoteikums tam ir četrstūra pretējo leņķu summa 180 0.
  5. Vienādsānu trapeces īpašība izriet no iepriekšējās rindkopas - ja trapeces tuvumā var aprakstīt apli, tas ir vienādsānu.
  6. No vienādsānu trapeces pazīmēm izriet trapeces augstuma īpašība: ja tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, tad augstuma garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas: h = (a + b)/2.
  7. Caur trapeces pamatu viduspunktiem atkal novelk taisni TX - vienādsānu trapecē tā ir perpendikulāra pamatiem. Un tajā pašā laikā TX ir vienādsānu trapeces simetrijas ass.
  8. Šoreiz zemāks līdz lielākajai pamatnei (sauksim to par a) augstumu no trapeces pretējās virsotnes. Jūs saņemsiet divus griezumus. Viena garumu var atrast, ja saskaita pamatņu garumus un sadala uz pusēm: (a+b)/2. Otro mēs iegūstam, kad no lielākās bāzes atņemam mazāko un iegūto starpību sadalām ar diviem: (a – b)/2.

Aplī ierakstītas trapeces īpašības

Tā kā mēs jau runājam par trapecveida formu, kas ierakstīta aplī, tad pakavēsimies pie šī jautājuma sīkāk. Jo īpaši, kur ir apļa centrs attiecībā pret trapecveida formu. Arī šeit ieteicams nebūt pārāk slinkam, lai paņemtu rokās zīmuli un uzzīmētu to, kas tiks apspriests tālāk. Tātad jūs ātrāk sapratīsit un labāk atcerēsities.

  1. Apļa centra atrašanās vietu nosaka trapecveida diagonāles slīpuma leņķis uz sāniem. Piemēram, no trapeces augšdaļas taisnā leņķī pret sāniem var parādīties diagonāle. Šajā gadījumā lielākā bāze krustojas ar ierobežotā apļa centru precīzi vidū (R = ½AE).
  2. Diagonāle un mala var satikties arī akūtā leņķī – tad apļa centrs atrodas trapeces iekšpusē.
  3. Ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trapeces, aiz tās lielās pamatnes, ja starp trapeces diagonāli un sānu malu ir strups leņķis.
  4. Leņķis, ko veido trapeces ACME diagonāle un lielā pamatne (ierakstītais leņķis), ir puse no tam atbilstošā centrālā leņķa: MAE = ½ MY.
  5. Īsumā par diviem veidiem, kā atrast ierobežotā apļa rādiusu. Pirmā metode: uzmanīgi apskatiet savu zīmējumu - ko jūs redzat? Jūs viegli pamanīsit, ka diagonāle sadala trapeci divos trīsstūros. Rādiusu var atrast, izmantojot trijstūra malas attiecību pret pretējā leņķa sinusu, reizinot ar divi. Piemēram, R \u003d AE / 2 * sinAME. Līdzīgi formulu var uzrakstīt jebkurai no abu trīsstūru malām.
  6. Otrā metode: mēs atrodam ierobežotā apļa rādiusu caur trijstūra laukumu, ko veido trapeces diagonāle, mala un pamatne: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ap apli norobežotas trapeces īpašības

Jūs varat ierakstīt apli trapecē, ja ir izpildīts viens nosacījums. Vairāk par to zemāk. Un kopā šai figūru kombinācijai ir vairākas interesantas īpašības.

  1. Ja aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tā viduslīnijas garumu var viegli atrast, saskaitot malu garumus un iegūto summu dalot uz pusēm: m = (c + d)/2.
  2. Trapecveida ACME, kas apzīmēts ap apli, pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu: AK + ME = KM + AE.
  3. No šīs trapeces pamatu īpašības izriet apgriezts apgalvojums: tajā trapecveidā var ierakstīt apli, kura pamatu summa ir vienāda ar malu summu.
  4. Trapecē ierakstītais riņķa rādiusa r pieskares punkts sadala sānu malu divos segmentos, sauksim tos par a un b. Apļa rādiusu var aprēķināt, izmantojot formulu: r = √ab.
  5. Un vēl viens īpašums. Lai neapjuktu, uzzīmē šo piemēru pats. Mums ir vecā labā ACME trapece, kas apvilkta ap apli. Tajā ievilktas diagonāles, kas krustojas punktā O. Trijstūri AOK un EOM, ko veido diagonāļu un malu nogriežņi, ir taisnstūrveida.
    Šo trīsstūru augstumi, nolaisti līdz hipotenūzām (t.i., trapeces malām), sakrīt ar ierakstītā apļa rādiusiem. Un trapeces augstums ir tāds pats kā ierakstītā apļa diametrs.

Taisnstūra trapeces īpašības

Trapecveida formu sauc par taisnstūrveida formu, kuras viens no stūriem ir taisns. Un tā īpašības izriet no šī apstākļa.

  1. Taisnstūra trapeces viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm.
  2. Trapeces augstums un sānu mala, kas atrodas blakus pareizā leņķī, ir vienādi. Tas ļauj aprēķināt taisnstūra trapeces laukumu ( vispārējā formula S = (a + b) * h/2) ne tikai caur augstumu, bet arī caur malu, kas atrodas blakus taisnam leņķim.
  3. Taisnstūra trapecveida formai ir svarīgas jau iepriekš aprakstītās trapeces diagonāļu vispārīgās īpašības.

Dažu trapeces īpašību pierādījumi

Leņķu vienādība vienādsānu trapeces pamatnē:

  • Jūs droši vien jau uzminējāt, ka šeit mums atkal ir vajadzīga ACME trapece - uzzīmējiet vienādsānu trapeci. Novelciet līniju MT no virsotnes M paralēli AK malai (MT || AK).

Iegūtais četrstūris AKMT ir paralelograms (AK || MT, KM || AT). Tā kā ME = KA = MT, ∆ MTE ir vienādsānu un MET = MTE.

AK || MT, tāpēc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kur AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tagad, pamatojoties uz vienādsānu trapeces īpašību (diagonāļu vienādība), mēs pierādām, ka trapece ACME ir vienādsānu:

  • Sākumā novelkam taisnu līniju МХ – МХ || KE. Mēs iegūstam paralelogramu KMHE (bāze - MX || KE un KM || EX).

∆AMH ir vienādsānu, jo AM = KE = MX un MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, tāpēc MAE = MXE.

Izrādījās, ka trijstūri AKE un EMA ir vienādi viens ar otru, jo AM \u003d KE un AE ir abu trīsstūru kopējā mala. Un arī MAE \u003d MXE. Varam secināt, ka AK = ME, un no tā izriet, ka trapece AKME ir vienādsānu.

Uzdevums, kas jāatkārto

Trapecveida ACME pamati ir 9 cm un 21 cm, KA mala, kas vienāda ar 8 cm, veido 150 0 leņķi ar mazāku pamatni. Jums jāatrod trapeces laukums.

Risinājums: No virsotnes K nolaižam augstumu līdz lielākajai trapeces pamatnei. Un sāksim aplūkot trapeces leņķus.

Leņķi AEM un KAN ir vienpusēji. Tas nozīmē, ka tie tiek pievienoti 1800. Tāpēc KAN = 30 0 (pamatojoties uz trapeces leņķu īpašību).

Apsveriet tagad taisnstūrveida ∆ANK (manuprāt, šis punkts ir acīmredzams lasītājiem bez papildu pierādījumiem). No tā mēs atrodam trapeces KH augstumu - trijstūrī tā ir kāja, kas atrodas pretī 30 0 leņķim. Tāpēc KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Trapeces laukumu nosaka pēc formulas: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pēcvārds

Ja rūpīgi un pārdomāti izpētījāt šo rakstu, nebija pārāk slinks, lai ar zīmuli rokās uzzīmētu trapeces visām iepriekšminētajām īpašībām un analizētu tās praksē, jums vajadzēja labi apgūt materiālu.

Protams, šeit ir daudz informācijas, daudzveidīga un dažreiz pat mulsinoša: nav tik grūti sajaukt aprakstītās trapeces īpašības ar ierakstītās īpašības. Bet jūs pats redzējāt, ka atšķirība ir milzīga.

Tagad jums ir detalizēts visu trapeces vispārējo īpašību kopsavilkums. Kā arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces specifiskās īpašības un pazīmes. Tas ir ļoti ērti lietojams, lai sagatavotos ieskaitēm un eksāmeniem. Izmēģiniet to pats un kopīgojiet saiti ar draugiem!

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Trapeces viduslīnijas jēdziens

Vispirms atcerēsimies, kādu figūru sauc par trapecveida formu.

1. definīcija

Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Šajā gadījumā paralēlās malas sauc par trapeces pamatiem, nevis paralēlas - par trapeces malām.

2. definīcija

Trapeces viduslīnija ir līnijas segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.

Trapeces viduslīnijas teorēma

Tagad mēs ieviešam teorēmu par trapeces viduslīniju un pierāda to ar vektoru metodi.

1. teorēma

Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatiem un vienāda ar pusi to summas.

Pierādījums.

Dosim mums trapeci $ABCD$ ar bāzēm $AD\ un\ BC$. Un lai $MN$ ir šīs trapeces viduslīnija (1. att.).

1. attēls. Trapeces viduslīnija

Pierādīsim, ka $MN||AD\ un\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsveriet vektoru $\overrightarrow(MN)$. Tālāk mēs izmantojam daudzstūru likumu vektoru pievienošanai. No vienas puses, mēs to saņemam

No otras puses

Saskaitot pēdējās divas vienādības, mēs iegūstam

Tā kā $M$ un $N$ ir trapeces malu viduspunkti, mums ir

Mēs iegūstam:

sekojoši

No vienas un tās pašas vienlīdzības (tā kā $\overrightarrow(BC)$ un $\overrightarrow(AD)$ ir līdzvirziena un līdz ar to kolineāras), mēs iegūstam, ka $MN||AD$.

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevumu piemēri par trapeces viduslīnijas jēdzienu

1. piemērs

Trapeces malas ir attiecīgi $15\cm$ un $17\cm$. Trapeces perimetrs ir $52\cm$. Atrodiet trapeces viduslīnijas garumu.

Risinājums.

Trapeces viduslīniju apzīmē ar $n$.

Malu summa ir

Tāpēc, tā kā perimetrs ir $ 52\ cm $, bāzu summa ir

Tādējādi ar 1. teorēmu iegūstam

Atbilde:$10\cm$.

2. piemērs

Apļa diametra gali ir attiecīgi $9$ cm un $5$ cm no tā pieskares Atrodiet šī apļa diametru.

Risinājums.

Dosim mums apli ar centru $O$ un diametru $AB$. Uzzīmējiet tangensu $l$ un izveidojiet attālumus $AD=9\ cm$ un $BC=5\ cm$. Uzzīmēsim rādiusu $OH$ (2. att.).

2. attēls.

Tā kā $AD$ un $BC$ ir attālumi līdz pieskarei, tad $AD\bot l$ un $BC\bot l$ un tā kā $OH$ ir rādiuss, tad $OH\bot l$, tātad $OH | \left|AD\right||BC$. No tā visa mēs iegūstam, ka $ABCD$ ir trapece, bet $OH$ ir tās viduslīnija. Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

Trapeces viduslīnijas jēdziens

Vispirms atcerēsimies, kādu figūru sauc par trapecveida formu.

1. definīcija

Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Šajā gadījumā paralēlās malas sauc par trapeces pamatiem, nevis paralēlas - par trapeces malām.

2. definīcija

Trapeces viduslīnija ir līnijas segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.

Trapeces viduslīnijas teorēma

Tagad mēs ieviešam teorēmu par trapeces viduslīniju un pierāda to ar vektoru metodi.

1. teorēma

Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatiem un vienāda ar pusi to summas.

Pierādījums.

Dosim mums trapeci $ABCD$ ar bāzēm $AD\ un\ BC$. Un lai $MN$ ir šīs trapeces viduslīnija (1. att.).

1. attēls. Trapeces viduslīnija

Pierādīsim, ka $MN||AD\ un\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsveriet vektoru $\overrightarrow(MN)$. Tālāk mēs izmantojam daudzstūru likumu vektoru pievienošanai. No vienas puses, mēs to saņemam

No otras puses

Saskaitot pēdējās divas vienādības, mēs iegūstam

Tā kā $M$ un $N$ ir trapeces malu viduspunkti, mums ir

Mēs iegūstam:

sekojoši

No vienas un tās pašas vienlīdzības (tā kā $\overrightarrow(BC)$ un $\overrightarrow(AD)$ ir līdzvirziena un līdz ar to kolineāras), mēs iegūstam, ka $MN||AD$.

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevumu piemēri par trapeces viduslīnijas jēdzienu

1. piemērs

Trapeces malas ir attiecīgi $15\cm$ un $17\cm$. Trapeces perimetrs ir $52\cm$. Atrodiet trapeces viduslīnijas garumu.

Risinājums.

Trapeces viduslīniju apzīmē ar $n$.

Malu summa ir

Tāpēc, tā kā perimetrs ir $ 52\ cm $, bāzu summa ir

Tādējādi ar 1. teorēmu iegūstam

Atbilde:$10\cm$.

2. piemērs

Apļa diametra gali ir attiecīgi $9$ cm un $5$ cm no tā pieskares Atrodiet šī apļa diametru.

Risinājums.

Dosim mums apli ar centru $O$ un diametru $AB$. Uzzīmējiet tangensu $l$ un izveidojiet attālumus $AD=9\ cm$ un $BC=5\ cm$. Uzzīmēsim rādiusu $OH$ (2. att.).

2. attēls.

Tā kā $AD$ un $BC$ ir attālumi līdz pieskarei, tad $AD\bot l$ un $BC\bot l$ un tā kā $OH$ ir rādiuss, tad $OH\bot l$, tātad $OH | \left|AD\right||BC$. No tā visa mēs iegūstam, ka $ABCD$ ir trapece, bet $OH$ ir tās viduslīnija. Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

Trapece ir īpašs gadījumsčetrstūris ar vienu paralēlu malu pāri. Termins "trapecveida" cēlies no grieķu vārda τράπεζα, kas nozīmē "galds", "galds". Šajā rakstā mēs apsvērsim trapeces veidus un to īpašības. Turklāt mēs izdomāsim, kā aprēķināt šī piemēra atsevišķos elementus, vienādsānu trapeces diagonāli, viduslīniju, laukumu utt. Materiāls tiek pasniegts elementāras tautas ģeometrijas stilā, tas ir, viegli pieejamā veidā. formā.

Galvenā informācija

Pirmkārt, sapratīsim, kas ir četrstūris. Šis skaitlis ir īpašs daudzstūra gadījums, kurā ir četras malas un četras virsotnes. Divas četrstūra virsotnes, kas nav blakus, sauc par pretējām. To pašu var teikt par divām blakus esošajām pusēm. Galvenie četrstūra veidi ir paralelograms, taisnstūris, rombs, kvadrāts, trapecveida un deltveida.

Tātad, atpakaļ pie trapeces. Kā jau teicām, šim skaitlim ir divas paralēlas malas. Tos sauc par bāzēm. Pārējās divas (neparalēlas) ir malas. Eksāmenu materiālos un dažādos kontroles darbiļoti bieži var sastapt ar trapecām saistītus uzdevumus, kuru risināšanai skolēnam nereti ir nepieciešamas zināšanas, kas nav paredzētas programmā. Skolas ģeometrijas kurss iepazīstina studentus ar leņķu un diagonāļu īpašībām, kā arī vienādsānu trapeces viduslīniju. Bet galu galā, papildus tam, minētajai ģeometriskajai figūrai ir arī citas iezīmes. Bet par tiem vairāk vēlāk...

Trapeces veidi

Ir daudz šo figūru veidu. Tomēr visbiežāk ir pieņemts uzskatīt divus no tiem - vienādsānu un taisnstūrveida.

1. Taisnstūra trapece ir figūra, kurā viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm. Tam ir divi leņķi, kas vienmēr ir deviņdesmit grādi.

2. Vienādsānu trapece ir ģeometriska figūra, kuras malas ir vienādas viena ar otru. Tas nozīmē, ka arī leņķi pie pamatnēm ir pa pāriem vienādi.

Trapecveida īpašību izpētes metodikas galvenie principi

Galvenais princips ir tā sauktās uzdevumu pieejas izmantošana. Faktiski nav nepieciešams ieviest jaunas šīs figūras īpašības ģeometrijas teorētiskajā kursā. Tos var atklāt un formulēt dažādu problēmu risināšanas procesā (labāk nekā sistēmiskās). Tajā pašā laikā ir ļoti svarīgi, lai skolotājs zinātu, kādi uzdevumi skolēniem vienā vai otrā reizē ir jāuzstāda. izglītības process. Turklāt katru trapeces īpašību var attēlot kā galveno uzdevumu uzdevumu sistēmā.

Otrs princips ir tā sauktā trapecveida "ievērojamo" īpašību izpētes spirālveida organizācija. Tas nozīmē atgriešanos mācību procesā pie dotā individuālajām iezīmēm ģeometriskā figūra. Tādējādi studentiem ir vieglāk tos iegaumēt. Piemēram, četru punktu īpašība. To var pierādīt gan līdzības izpētē, gan pēc tam ar vektoru palīdzību. Un trijstūru vienādu laukumu, kas atrodas blakus figūras malām, var pierādīt, pielietojot ne tikai vienāda augstuma trīsstūru īpašības, kas novilktas uz malām, kas atrodas vienā taisnē, bet arī izmantojot formulu S= 1/ 2(ab*sinα). Turklāt jūs varat trenēties uz ierakstītas trapeces vai taisnleņķa trīsstūri uz ierobežotas trapeces utt.

Ģeometriskas figūras "ārpusprogrammas" pazīmju izmantošana saturā skolas kurss ir viņu mācīšanas uzdevumu tehnoloģija. Pastāvīga pieskaršanās pētītajām īpašībām, izejot citas tēmas, ļauj studentiem iegūt dziļākas zināšanas par trapecveida formu un nodrošina uzdevumu risināšanas panākumus. Tātad, sāksim pētīt šo brīnišķīgo figūru.

Vienādsānu trapeces elementi un īpašības

Kā mēs jau atzīmējām, šīs ģeometriskās figūras malas ir vienādas. To sauc arī par labo trapeci. Kāpēc tas ir tik ievērojams un kāpēc tas ieguva šādu nosaukumu? Šīs figūras iezīmes ietver to, ka ne tikai sāni un stūri pie pamatnēm ir vienādi, bet arī diagonāles. Arī vienādsānu trapeces leņķu summa ir 360 grādi. Bet tas vēl nav viss! No visām zināmajām trapecām tikai ap vienādsānu var aprakstīt apli. Tas ir saistīts ar faktu, ka šī skaitļa pretējo leņķu summa ir 180 grādi, un tikai ar šo nosacījumu var aprakstīt apli ap četrstūri. Nākamā aplūkojamās ģeometriskās figūras īpašība ir tāda, ka attālums no bāzes virsotnes līdz pretējās virsotnes projekcijai uz taisnes, kurā ir šī pamatne, būs vienāds ar viduslīniju.

Tagad izdomāsim, kā atrast vienādsānu trapeces leņķus. Apsveriet šīs problēmas risinājumu, ja ir zināmi figūras malu izmēri.

Risinājums

Parasti četrstūri parasti apzīmē ar burtiem A, B, C, D, kur BS un AD ir bāze. Vienādsānu trapecē malas ir vienādas. Mēs pieņemsim, ka to izmērs ir X, bet pamatņu izmēri ir Y un Z (attiecīgi mazāki un lielāki). Lai veiktu aprēķinu, no leņķa B jānovelk augstums H. Rezultāts ir taisnleņķa trijstūris ABN, kur AB ir hipotenūza, bet BN un AN ir kājas. Mēs aprēķinām kājas AN izmēru: no lielākās bāzes atņemam mazāko un rezultātu sadalām ar 2. Mēs to ierakstām formulas veidā: (Z-Y) / 2 \u003d F. Tagad, lai aprēķinātu trijstūra asu leņķi, mēs izmantojam cos funkciju. Mēs iegūstam šādu ierakstu: cos(β) = Х/F. Tagad mēs aprēķinām leņķi: β=arcos (Х/F). Turklāt, zinot vienu leņķi, mēs varam noteikt otro, šim nolūkam mēs veicam elementāru aritmētisko darbību: 180 - β. Visi leņķi ir noteikti.

Šai problēmai ir arī otrs risinājums. Sākumā nolaižam augstumu H no stūra B. Aprēķinām BN kājas vērtību. Mēs zinām, ka hipotenūzas kvadrāts taisnleņķa trīsstūris ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Mēs iegūstam: BN \u003d √ (X2-F2). Tālāk mēs izmantojam trigonometriskā funkcija tg. Rezultātā mums ir: β = arctg (BN / F). Atrasts ass stūris. Tālāk mēs nosakām tādā pašā veidā kā pirmajā metodē.

Vienādsānu trapeces diagonāļu īpašība

Vispirms pierakstīsim četrus noteikumus. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, tad:

Figūras augstums būs vienāds ar bāzu summu, kas dalīta ar divi;

Tā augstums un viduslīnija ir vienādi;

Apļa centrs ir punkts, kur ;

Ja sānu malu sadala ar saskares punktu segmentos H un M, tad tas ir vienāds ar kvadrātsaknešo segmentu produkti;

Četrstūris, ko veido pieskares punkti, trapeces virsotne un ierakstītā apļa centrs, ir kvadrāts, kura mala ir vienāda ar rādiusu;

Figūras laukums ir vienāds ar pamatu reizinājumu un reizinājumu ar pusi no pamatu summas un tās augstuma.

Līdzīgas trapeces

Šī tēma ir ļoti ērta, lai izpētītu šīs īpašības, piemēram, diagonāles sadala trapeci četros trīsstūros, un tie, kas atrodas blakus pamatiem, ir līdzīgi, un malām tie ir vienādi. Šo apgalvojumu var saukt par trīsstūru īpašību, kurā trapece ir sadalīta ar tās diagonālēm. Šī apgalvojuma pirmā daļa ir pierādīta, izmantojot līdzības kritēriju divos leņķos. Lai pierādītu otro daļu, labāk ir izmantot tālāk norādīto metodi.

Teorēmas pierādījums

Mēs pieņemam, ka skaitlis ABSD (AD un BS - trapeces pamati) tiek dalīts ar diagonālēm VD un AC. To krustpunkts ir O. Mēs iegūstam četrus trīsstūrus: AOS - apakšējā pamatnē, BOS - augšējā pamatnē, ABO un SOD malās. Trijstūriem SOD un BOS ir kopīgs augstums, ja segmenti BO un OD ir to pamati. Mēs iegūstam, ka starpība starp to laukumiem (P) ir vienāda ar starpību starp šiem segmentiem: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Tāpēc PSOD = PBOS / K. Tāpat BOS un AOB trijstūriem ir kopīgs augstums. Par pamatu ņemam segmentus CO un OA. Mēs iegūstam PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K un PAOB \u003d PBOS / K. No tā izriet, ka PSOD = PAOB.

Materiāla konsolidācijai studentiem ieteicams atrast sakarību starp iegūto trīsstūru laukumiem, kuros trapece sadalīta ar tās diagonālēm, risinot šādu uzdevumu. Ir zināms, ka trīsstūru BOS un AOD laukumi ir vienādi, ir jāatrod trapeces laukums. Tā kā PSOD \u003d PAOB, tas nozīmē, ka PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. No trīsstūru BOS un AOD līdzības izriet, ka BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Tāpēc PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Mēs iegūstam PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tad PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

līdzības īpašības

Turpinot attīstīt šo tēmu, mēs varam pierādīt citas interesantas trapeces iezīmes. Tātad, izmantojot līdzību, jūs varat pierādīt segmenta īpašību, kas iet caur punktu, ko veido šīs ģeometriskās figūras diagonāļu krustojums paralēli pamatiem. Lai to paveiktu, atrisinām šādu uzdevumu: jāatrod nogriežņa RK garums, kas iet caur punktu O. No trijstūru AOD un BOS līdzības izriet, ka AO/OS=AD/BS. No trīsstūru AOP un ASB līdzības izriet, ka AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). No šejienes mēs iegūstam, ka RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Tāpat no trīsstūru DOK un DBS līdzības izriet, ka OK \u003d BS * AD / (BS + AD). No šejienes mēs iegūstam, ka RO=OK un RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segmentu, kas iet caur diagonāļu krustpunktu, paralēli pamatiem un savieno abas malas, dala ar krustošanās punktu uz pusēm. Tās garums ir figūras pamatu harmoniskais vidējais lielums.

Apsveriet šādu trapeces īpašību, ko sauc par četru punktu īpašību. Diagonāļu krustpunkti (O), malu turpinājuma krustpunkti (E), kā arī pamatu viduspunkti (T un W) vienmēr atrodas uz vienas taisnes. To viegli pierādīt ar līdzības metodi. Iegūtie trīsstūri BES un AED ir līdzīgi, un katrā no tiem mediānas ET un EZH sadala leņķi virsotnē E vienādās daļās. Tāpēc punkti E, T un W atrodas uz vienas taisnes. Tādā pašā veidā uz vienas taisnes atrodas punkti T, O un G. Tas viss izriet no trīsstūru BOS un AOD līdzības. No tā mēs secinām, ka visi četri punkti - E, T, O un W - atrodas uz vienas taisnes.

Izmantojot līdzīgas trapeces, studentiem var lūgt atrast segmenta garumu (LF), kas sadala figūru divos līdzīgos. Šim segmentam jābūt paralēlam pamatnēm. Tā kā iegūtās trapeces ALFD un LBSF ir līdzīgas, tad BS/LF=LF/BP. No tā izriet, ka LF=√(BS*BP). Iegūstam, ka segmentam, kas sadala trapeci divās līdzīgās daļās, garums ir vienāds ar figūras pamatu garumu ģeometrisko vidējo.

Apsveriet šādu līdzības īpašību. Tas ir balstīts uz segmentu, kas sadala trapeci divās vienāda izmēra figūrās. Mēs pieņemam, ka trapecveida ABSD ar segmentu EN sadala divos līdzīgos. No virsotnes B tiek izlaists augstums, kas ar segmentu EH tiek sadalīts divās daļās - B1 un B2. Mēs iegūstam: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 un PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Tālāk mēs izveidojam sistēmu, kuras pirmais vienādojums ir (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 un otrais (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. No tā izriet, ka B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) un BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Iegūstam, ka nogriežņa garums, kas sadala trapecveida divās vienādās daļās, ir vienāds ar pamatu garumu vidējo kvadrātu: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Līdzības secinājumi

Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka:

1. Nogrieznis, kas savieno trapeces malu viduspunktus, ir paralēls AD un BS un ir vienāds ar BS un AD vidējo aritmētisko (trapeces pamatnes garums).

2. Taisne, kas iet caur AD un BS paralēlo diagonāļu krustpunkta punktu O, būs vienāda ar skaitļu AD un BS vidējo harmonisko vērtību (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Nozarei, kas sadala trapeci līdzīgās, ir bāzu BS un AD ģeometriskā vidējā garums.

4. Elementam, kas dala figūru divās vienādās daļās, ir vidējo kvadrātu skaitļu AD un BS garums.

Lai konsolidētu materiālu un izprastu saikni starp aplūkotajiem segmentiem, studentam tie jāveido konkrētai trapecveida formai. Viņš var viegli parādīt viduslīniju un segmentu, kas iet caur punktu O - figūras diagonāļu krustpunktu - paralēli pamatiem. Bet kur būs trešais un ceturtais? Šī atbilde novedīs skolēnu pie vēlamās attiecības starp vidējiem rādītājiem atklāšanas.

Līnijas nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus

Apsveriet šādu šī attēla īpašību. Mēs pieņemam, ka segments MH ir paralēls pamatnēm un sadala diagonāles uz pusēm. Sauksim krustošanās punktus W un W. Šis segments būs vienāds ar bāzu starpību. Analizēsim to sīkāk. MSH - trijstūra ABS vidējā līnija, tā ir vienāda ar BS / 2. MS - trijstūra ABD vidējā līnija, tā ir vienāda ar AD / 2. Tad mēs iegūstam, ka ShShch = MShch-MSh, tāpēc Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Smaguma centrs

Apskatīsim, kā šis elements tiek noteikts konkrētai ģeometriskai figūrai. Lai to izdarītu, ir nepieciešams pagarināt pamatnes pretējos virzienos. Ko tas nozīmē? Ir nepieciešams pievienot apakšējo pamatni augšējai pamatnei - jebkurai no malām, piemēram, pa labi. Un apakša tiek pagarināta par augšdaļas garumu pa kreisi. Tālāk mēs savienojam tos ar diagonāli. Šī segmenta krustpunkts ar figūras vidējo līniju ir trapeces smaguma centrs.

Ierakstītas un norobežotas trapeces

Uzskaitīsim šādu figūru iezīmes:

1. Trapecveida formu var ierakstīt tikai aplī, ja tā ir vienādsānu.

2. Trapecveida formu var aprakstīt ap apli, ja to pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu.

Ierakstītā apļa sekas:

1. Aprakstītās trapeces augstums vienmēr ir vienāds ar diviem rādiusiem.

2. Aprakstītās trapeces sānu malu novēro no apļa centra taisnā leņķī.

Pirmais secinājums ir acīmredzams, un, lai pierādītu otro, ir nepieciešams noskaidrot, vai SOD leņķis ir pareizs, kas patiesībā arī nebūs grūti. Bet zināšanas dotais īpašumsļauj izmantot taisnleņķa trīsstūri, risinot uzdevumus.

Tagad mēs precizējam šīs sekas vienādsānu trapecei, kas ir ierakstīta aplī. Iegūstam, ka augstums ir figūras pamatu ģeometriskais vidējais: H=2R=√(BS*AD). Praktizējot galveno trapecveida uzdevumu risināšanas paņēmienu (divu augstumu zīmēšanas princips), studentam jāatrisina šāds uzdevums. Mēs pieņemam, ka BT ir vienādsānu figūras ABSD augstums. Ir nepieciešams atrast segmentus AT un TD. Izmantojot iepriekš aprakstīto formulu, to izdarīt nebūs grūti.

Tagad izdomāsim, kā noteikt apļa rādiusu, izmantojot ierobežotās trapeces laukumu. Mēs pazeminām augstumu no augšas B līdz pamatnei AD. Tā kā aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tad BS + AD \u003d 2AB vai AB \u003d (BS + AD) / 2. No trijstūra ABN atrodam sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Mēs iegūstam PABSD \u003d (BS + HELL) * R, no tā izriet, ka R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Visas trapeces viduslīnijas formulas

Tagad ir pienācis laiks pāriet uz šīs ģeometriskās figūras pēdējo elementu. Izdomāsim, ar ko ir vienāda trapeces (M) vidējā līnija:

1. Caur pamatnēm: M \u003d (A + B) / 2.

2. Caur augstums, pamatne un leņķi:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Caur augstumu, diagonāles un leņķi starp tām. Piemēram, D1 un D2 ir trapeces diagonāles; α, β - leņķi starp tiem:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Caur laukumu un augstumu: M = P / N.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

  • Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

  • Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
  • Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
  • Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
  • Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

  • Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
  • Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.