Izklaide
Cik sakņu var būt kvadrātvienādojumam? Kvadrātsakne: aprēķinu formulas. Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Cik sakņu var būt kvadrātvienādojumam? Kvadrātsakne: aprēķinu formulas. Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Turpinot tēmu “Vienādojumu risināšana”, šī raksta materiāls iepazīstinās jūs ar kvadrātvienādojumiem.

Apsvērsim visu sīkāk: kvadrātvienādojuma būtību un apzīmējumus, iestatīsim pavadošos terminus, analizēsim nepilno un pilnīgu vienādojumu risināšanas shēmu, iepazīsimies ar sakņu un diskriminanta formulu, izveidosim savienojumus starp saknēm un koeficientiem un kursā sniegsim praktisku piemēru vizuālu risinājumu.

Kvadrātvienādojums, tā veidi

1. definīcija

Kvadrātvienādojums ir vienādojums, kas uzrakstīts kā a x 2 + b x + c = 0, kur x– mainīgais, a , b un c ir daži skaitļi, kamēr a nav nulle.

Bieži vien kvadrātvienādojumus sauc arī par otrās pakāpes vienādojumiem, jo faktiski kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums.

Dotās definīcijas ilustrēšanai dosim piemēru: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 utt. ir kvadrātvienādojumi.

2. definīcija

Cipari a , b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c = 0, savukārt koeficients a tiek saukts par pirmo, vai vecāko, vai koeficientu pie x 2, b - otro koeficientu, vai koeficientu pie x, a c sauc par brīvo biedru.

Piemēram, kvadrātvienādojumā 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 lielākais koeficients ir 6 , otrais koeficients ir − 2 , un brīvais termiņš ir vienāds ar − 11 . Pievērsīsim uzmanību tam, ka tad, kad koeficienti b un/vai c ir negatīvi īsā forma veidlapas ieraksti 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Precizēsim arī šo aspektu: ja koeficienti a un/vai b vienāds 1 vai − 1 , tad kvadrātvienādojuma rakstīšanā tie var arī nepiedalīties, kas izskaidrojams ar norādīto skaitlisko koeficientu rakstīšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 – y + 7 = 0 vecākais koeficients ir 1 un otrais koeficients ir − 1 .

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Atbilstoši pirmā koeficienta vērtībai kvadrātvienādojumus iedala reducētajos un nereducētajos.

3. definīcija

Samazināts kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kur vadošais koeficients ir 1. Citām vadošā koeficienta vērtībām kvadrātvienādojums nav samazināts.

Šeit ir daži piemēri: kvadrātvienādojumi x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ir samazināti, katrā no tiem vadošais koeficients ir 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducēts kvadrātvienādojums, kur pirmais koeficients atšķiras no 1 .

Jebkuru nereducētu kvadrātvienādojumu var pārvērst par reducētu vienādojumu, abas tā daļas dalot ar pirmo koeficientu (ekvivalentā transformācija). Pārveidotajam vienādojumam būs tādas pašas saknes kā dotajam nereducētajam vienādojumam vai arī tam nebūs sakņu.

Konkrēta piemēra izskatīšana ļaus mums skaidri parādīt pāreju no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

1. piemērs

Dots vienādojums 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Sākotnējais vienādojums ir jāpārvērš reducētā formā.

Risinājums

Saskaņā ar iepriekš minēto shēmu mēs sadalām abas sākotnējā vienādojuma daļas ar vadošo koeficientu 6 . Tad mēs iegūstam: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, un tas ir tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 un tālāk: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . No šejienes: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tādējādi tiek iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.

Atbilde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma definīcijai. Tajā mēs to norādījām a ≠ 0. Līdzīgs nosacījums ir nepieciešams vienādojumam a x 2 + b x + c = 0 bija tieši kvadrātveida, kopš a = 0 tas būtībā pārvēršas par lineārais vienādojums b x + c = 0.

Gadījumā, ja koeficienti b un c ir vienādi ar nulli (kas ir iespējams gan atsevišķi, gan kopā), kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

4. definīcija

Nepilns kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums a x 2 + b x + c \u003d 0, kur vismaz viens no koeficientiem b un c(vai abi) ir nulle.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kurā visi skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli.

Apspriedīsim, kāpēc veidi kvadrātvienādojumi tiek doti tādi vārdi.

Ja b = 0, kvadrātvienādojums iegūst šādu formu a x 2 + 0 x + c = 0, kas ir tāds pats kā a x 2 + c = 0. Plkst c = 0 kvadrātvienādojums ir uzrakstīts kā a x 2 + b x + 0 = 0, kas ir līdzvērtīgs a x 2 + b x = 0. Plkst b = 0 un c = 0 vienādojums pieņems formu a x 2 = 0. Mūsu iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vārda ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus vienlaikus. Faktiski šis fakts deva nosaukumu šāda veida vienādojumiem - nepilnīgs.

Piemēram, x 2 + 3 x + 4 = 0 un − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ir pilnīgi kvadrātvienādojumi; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Iepriekš sniegtā definīcija ļauj atšķirt šādus nepilnīgo kvadrātvienādojumu veidus:

a x 2 = 0, koeficienti atbilst šādam vienādojumam b = 0 un c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 ja c = 0 .

Secīgi apsveriet katra veida nepilnīgā kvadrātvienādojuma risinājumu.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 \u003d 0

Kā jau minēts iepriekš, šāds vienādojums atbilst koeficientiem b un c, vienāds ar nulli. Vienādojums a x 2 = 0 var pārvērst līdzvērtīgā vienādojumā x2 = 0, ko iegūstam, dalot abas sākotnējā vienādojuma puses ar skaitli a, nav vienāds ar nulli. Acīmredzams fakts ir tāds, ka vienādojuma sakne x2 = 0 ir nulle, jo 0 2 = 0 . Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas izskaidrojams ar pakāpes īpašībām: jebkuram skaitlim p , nav vienāds ar nulli, nevienlīdzība ir patiesa p2 > 0, no kā izriet, ka kad p ≠ 0 vienlīdzība p2 = 0 nekad netiks sasniegts.

5. definīcija

Tādējādi nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 = 0 ir unikāla sakne x=0.

2. piemērs

Piemēram, atrisināsim nepilno kvadrātvienādojumu − 3 x 2 = 0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x2 = 0, tā vienīgā sakne ir x=0, tad sākotnējam vienādojumam ir viena sakne — nulle.

Risinājums ir apkopots šādi:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 + c \u003d 0

Nākamais rindā ir nepilnu kvadrātvienādojumu risinājums, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tas ir, formas vienādojumi a x 2 + c = 0. Pārveidosim šo vienādojumu, pārnesot vārdu no vienas vienādojuma puses uz otru, mainot zīmi uz pretējo un dalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli:

izturēt c labajā pusē, kas dod vienādojumu a x 2 = − c;
sadaliet abas vienādojuma puses ar a, iegūstam kā rezultātā x = - c a .

Mūsu transformācijas ir līdzvērtīgas, attiecīgi arī iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam, un šis fakts ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma saknēm. No kādām vērtībām a un c ir atkarīgs no izteiksmes vērtības - c a: tai var būt mīnusa zīme (piemēram, ja a = 1 un c = 2, tad - c a = - 2 1 = - 2) vai plus zīme (piemēram, ja a = -2 un c=6, tad - c a = - 6 - 2 = 3); tas nav vienāds ar nulli, jo c ≠ 0. Pakavēsimies sīkāk pie situācijām, kad - c a< 0 и - c a > 0 .

Gadījumā, ja - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lpp vienādība p 2 = - c a nevar būt patiesa.

Viss ir savādāk, ja - c a > 0: atcerieties kvadrātsakni, un kļūs skaidrs, ka vienādojuma sakne x 2 \u003d - c a būs skaitlis - c a, jo - c a 2 \u003d - c a. Ir viegli saprast, ka skaitlis - - c a - ir arī vienādojuma x 2 = - c a sakne: tiešām, - - c a 2 = - c a .

Vienādojumam nebūs citu sakņu. Mēs to varam parādīt, izmantojot pretējo metodi. Vispirms iestatīsim iepriekš atrasto sakņu apzīmējumu kā x 1 un − x 1. Pieņemsim, ka vienādojumam x 2 = - c a ir arī sakne x2, kas atšķiras no saknēm x 1 un − x 1. Mēs to zinām, aizstājot vienādojumā, nevis x tā saknes, mēs pārveidojam vienādojumu godīgā skaitliskā vienādībā.

Priekš x 1 un − x 1 rakstiet: x 1 2 = - c a , un par x2- x 2 2 \u003d - c a. Pamatojoties uz skaitlisko vienādību īpašībām, mēs atņemam vienu patieso vienādību no cita vārda pa vārdam, kas mums iegūs: x 1 2 − x 2 2 = 0. Izmantojiet skaitļu darbību īpašības, lai pēdējo vienādību pārrakstītu kā (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Ir zināms, ka divu skaitļu reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vismaz viens no skaitļiem ir nulle. No teiktā izriet, ka x1 – x2 = 0 un/vai x1 + x2 = 0, kas ir tas pats x2 = x1 un/vai x 2 = − x 1. Radās acīmredzama pretruna, jo sākumā tika panākta vienošanās, ka vienādojuma sakne x2 atšķiras no x 1 un − x 1. Tātad, mēs esam pierādījuši, ka vienādojumam nav citu sakņu kā vien x = - c a un x = - - c a .

Mēs apkopojam visus iepriekš minētos argumentus.

6. definīcija

Nepilns kvadrātvienādojums a x 2 + c = 0 ir vienāds ar vienādojumu x 2 = - c a , kas:

nebūs saknes pie - c a< 0 ;
būs divas saknes x = - c a un x = - - c a , kad - c a > 0 .

Sniegsim vienādojumu risināšanas piemērus a x 2 + c = 0.

3. piemērs

Dots kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0 . Ir nepieciešams atrast tās risinājumu.

Risinājums

Mēs pārnesam brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi, tad vienādojums iegūs formu 9 x 2 \u003d - 7.
Mēs sadalām abas iegūtā vienādojuma puses ar 9 , mēs nonākam pie x 2 = - 7 9 . Labajā pusē redzam skaitli ar mīnusa zīmi, kas nozīmē: dotajam vienādojumam nav sakņu. Tad sākotnējais nepilnīgais kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nebūs sakņu.

Atbilde: vienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nav sakņu.

4. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu − x2 + 36 = 0.

Risinājums

Pārvietosim 36 uz labo pusi: − x 2 = − 36.
Sadalīsim abas daļas − 1 , saņemam x2 = 36. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs to varam secināt x = 36 vai x = - 36 .
Mēs izņemam sakni un uzrakstām gala rezultātu: nepilnu kvadrātvienādojumu − x2 + 36 = 0 ir divas saknes x=6 vai x = -6.

Atbilde: x=6 vai x = -6.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 +b x=0

Analizēsim trešā veida nepilnīgos kvadrātvienādojumus, kad c = 0. Atrast nepilnīga kvadrātvienādojuma risinājumu a x 2 + b x = 0, mēs izmantojam faktorizēšanas metodi. Ļaujiet mums faktorizēt polinomu, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, izņemot kopējo koeficientu no iekavām x. Šis solis ļaus pārveidot sākotnējo nepilnīgo kvadrātvienādojumu tā ekvivalentā x (a x + b) = 0. Un šis vienādojums savukārt ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai x=0 un a x + b = 0. Vienādojums a x + b = 0 lineārs, un tā sakne: x = − b a.

7. definīcija

Tādējādi nepilnīgais kvadrātvienādojums a x 2 + b x = 0 būs divas saknes x=0 un x = − b a.

Apstiprināsim materiālu ar piemēru.

5. piemērs

Nepieciešams atrast vienādojuma 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 atrisinājumu.

Risinājums

Ņemam ārā xārpus iekavām un iegūstiet vienādojumu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumiem x=0 un 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Tagad jums jāatrisina iegūtais lineārais vienādojums: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Īsumā mēs rakstām vienādojuma risinājumu šādi:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 vai 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 vai x = 3 3 7

Atbilde: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrastu kvadrātvienādojumu risinājumu, ir saknes formula:

8. definīcija

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c ir tā sauktais kvadrātvienādojuma diskriminants.

Rakstot x \u003d - b ± D 2 a, būtībā nozīmē, ka x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Būs noderīgi saprast, kā norādītā formula tika iegūta un kā to pielietot.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Pieņemsim, ka mēs saskaramies ar uzdevumu atrisināt kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c = 0. Veiksim vairākas līdzvērtīgas transformācijas:

sadaliet abas vienādojuma puses ar skaitli a, kas atšķiras no nulles, mēs iegūstam samazinātu kvadrātvienādojumu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
atlasiet pilnu kvadrātu iegūtā vienādojuma kreisajā pusē:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Pēc tam vienādojums būs šāds: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
tagad ir iespēja pārcelt pēdējos divus terminus uz labo pusi, mainot zīmi uz pretējo, pēc kā iegūstam: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
visbeidzot, mēs pārveidojam izteiksmi, kas rakstīta pēdējās vienādības labajā pusē:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tādējādi esam nonākuši pie vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kas ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam a x 2 + b x + c = 0.

Iepriekšējos punktos mēs apspriedām šādu vienādojumu risinājumu (nepilnīgu kvadrātvienādojumu risinājums). Jau iegūtā pieredze ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 saknēm:

b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
ja b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, vienādojuma forma ir x + b 2 · a 2 = 0, tad x + b 2 · a = 0.

No šejienes vienīgā sakne x = - b 2 · a ir acīmredzama;

ja b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, pareizais ir: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 vai x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kas ir tāds pats kā x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 vai x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.i. vienādojumam ir divas saknes.

Var secināt, ka vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (un līdz ar to sākotnējā vienādojuma) sakņu esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes b 2 - 4 a c zīmes. 4 · labajā pusē rakstīts 2. Un šīs izteiksmes zīmi dod skaitītāja zīme (saucējs 4 un 2 vienmēr būs pozitīvs), tas ir, izteiksmes zīme b 2 − 4 a c. Šī izteiksme b 2 − 4 a c dots nosaukums - kvadrātvienādojuma diskriminants un burts D tiek definēts kā tā apzīmējums. Šeit jūs varat pierakstīt diskriminanta būtību - pēc tā vērtības un zīmes viņi secina, vai kvadrātvienādojumam būs reālas saknes, un, ja jā, tad cik saknes - viena vai divas.

Atgriezīsimies pie vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Pārrakstīsim to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Atkārtosim secinājumus:

9. definīcija

plkst D< 0 vienādojumam nav reālu sakņu;
plkst D=0 vienādojumam ir viena sakne x = - b 2 · a ;
plkst D > 0 vienādojumam ir divas saknes: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 vai x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Pamatojoties uz radikāļu īpašībām, šīs saknes var uzrakstīt kā: x \u003d - b 2 a + D 2 a vai - b 2 a - D 2 a. Un, atverot moduļus un samazinot daļas līdz kopsaucējam, mēs iegūstam: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Tātad mūsu argumentācijas rezultāts bija kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminants D aprēķināts pēc formulas D = b 2 − 4 a c.

Šīs formulas dod iespēju, ja diskriminants ir lielāks par nulli, noteikt abas reālās saknes. Ja diskriminants ir nulle, tad, piemērojot abas formulas, tiks iegūta tāda pati sakne kā vienīgais kvadrātvienādojuma risinājums. Gadījumā, ja diskriminants ir negatīvs, mēģinot izmantot kvadrātsaknes formulu, mēs saskarsimies ar nepieciešamību iegūt negatīva skaitļa kvadrātsakni, kas mūs aizvedīs tālāk par reāliem skaitļiem. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nebūs reālu sakņu, bet ir iespējams sarežģītu konjugētu sakņu pāris, ko nosaka tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Kvadrātvienādojumu var atrisināt uzreiz, izmantojot saknes formulu, bet pamatā tas tiek darīts, ja nepieciešams atrast sarežģītas saknes.

Vairumā gadījumu meklēšana parasti ir domāta nevis sarežģītām, bet reālām kvadrātvienādojuma saknēm. Tad optimāli ir pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas vispirms noteikt diskriminantu un pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā mēs secināsim, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam ķerties pie kvadrātvienādojuma sakņu aprēķināšanas. sakņu vērtība.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj formulēt kvadrātvienādojuma risināšanas algoritmu.

10. definīcija

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c = 0, nepieciešams:

saskaņā ar formulu D = b 2 − 4 a c atrast diskriminanta vērtību;
pie D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
ja D = 0 atrod vienīgo vienādojuma sakni pēc formulas x = - b 2 · a ;
ja D > 0, nosaka divas kvadrātvienādojuma reālās saknes pēc formulas x = - b ± D 2 · a.

Ņemiet vērā, ka, ja diskriminants ir nulle, varat izmantot formulu x = - b ± D 2 · a , tā dos tādu pašu rezultātu kā formula x = - b 2 · a .

Apsveriet piemērus.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Mēs piedāvājam piemēru risinājumu dažādām diskriminanta vērtībām.

6. piemērs

Ir nepieciešams atrast vienādojuma saknes x 2 + 2 x - 6 = 0.

Risinājums

Mēs rakstām kvadrātvienādojuma skaitliskos koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 un c = – 6. Tālāk mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, t.i. Sāksim aprēķināt diskriminantu, kuram aizstājam koeficientus a , b un c diskriminanta formulā: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Tātad, mēs saņēmām D > 0, kas nozīmē, ka sākotnējam vienādojumam būs divas reālas saknes.
Lai tos atrastu, mēs izmantojam saknes formulu x \u003d - b ± D 2 · a un, aizstājot atbilstošās vērtības, mēs iegūstam: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Mēs vienkāršojam iegūto izteiksmi, izņemot koeficientu no saknes zīmes, kam seko frakcijas samazināšana:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 vai x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 vai x = - 1 - 7

Atbilde: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Risinājums

Definēsim diskriminantu: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Ar šo diskriminanta vērtību sākotnējam vienādojumam būs tikai viena sakne, ko nosaka pēc formulas x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atbilde: x = 3, 5.

8. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu 5 g 2 + 6 g + 2 = 0

Risinājums

Šī vienādojuma skaitliskie koeficienti būs: a = 5 , b = 6 un c = 2 . Mēs izmantojam šīs vērtības, lai atrastu diskriminantu: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Aprēķinātais diskriminants ir negatīvs, tāpēc sākotnējam kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Gadījumā, ja uzdevums ir norādīt sarežģītas saknes, mēs izmantojam saknes formulu, veicot darbības ar kompleksajiem skaitļiem:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 vai x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i vai x = - 3 5 - 1 5 i .

Atbilde: nav īstu sakņu; kompleksās saknes ir: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

AT skolas mācību programma pēc noklusējuma nav prasība meklēt sarežģītas saknes, tādēļ, ja risinājuma laikā tiek noteikts diskriminants kā negatīvs, uzreiz tiek ierakstīta atbilde, ka īstu sakņu nav.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Saknes formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ļauj iegūt citu, kompaktāku formulu, kas ļauj atrast kvadrātvienādojumu risinājumus ar vienmērīgu koeficientu x (vai ar koeficientu no formas 2 a n, piemēram, 2 3 vai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parādīsim, kā šī formula tiek iegūta.

Pieņemsim, ka mēs saskaramies ar uzdevumu atrast kvadrātvienādojuma a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 risinājumu. Mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu: nosakām diskriminantu D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) un pēc tam izmantojam saknes formulu:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Apzīmēsim izteiksmi n 2 − a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad aplūkotā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūs šādu formu:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Ir viegli redzēt, ka D = 4 · D 1 vai D 1 = D 4 . Citiem vārdiem sakot, D 1 ir ceturtā daļa no diskriminanta. Acīmredzot D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme, kas nozīmē, ka D 1 zīme var kalpot arī kā kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības indikators.

11. definīcija

Tādējādi, lai atrastu risinājumu kvadrātvienādojumam ar otro koeficientu 2 n, ir nepieciešams:

atrast D 1 = n 2 − a c ;
pie D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
ja D 1 = 0, nosaka vienīgo vienādojuma sakni pēc formulas x = - n a ;
ja D 1 > 0, nosaka divas reālās saknes, izmantojot formulu x = - n ± D 1 a.

9. piemērs

Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Risinājums

Dotā vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2 · (− 3) . Pēc tam pārrakstām doto kvadrātvienādojumu kā 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0, kur a = 5, n = −3 un c = −32.

Aprēķināsim diskriminanta ceturto daļu: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Iegūtā vērtība ir pozitīva, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes. Mēs tos definējam ar atbilstošo sakņu formulu:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 vai x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 vai x = - 2

Varētu veikt aprēķinus, izmantojot parasto kvadrātvienādojuma sakņu formulu, taču šajā gadījumā risinājums būtu apgrūtinošāks.

Atbilde: x = 3 1 5 vai x = - 2 .

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz ir iespējams optimizēt sākotnējā vienādojuma formu, kas vienkāršos sakņu aprēķināšanas procesu.

Piemēram, kvadrātvienādojums 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ir acīmredzami ērtāks risināšanai nekā 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Biežāk kvadrātvienādojuma formas vienkāršošana tiek veikta, reizinot vai dalot abas tā daļas ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekš mēs parādījām vienkāršotu vienādojuma 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 attēlojumu, kas iegūts, abas tā daļas dalot ar 100.

Šāda transformācija iespējama, ja kvadrātvienādojuma koeficienti nav relatīvi pirmskaitļi. Tad parasti abas vienādojuma puses dala ar lielāko kopīgs dalītājs tā koeficientu absolūtās vērtības.

Kā piemēru mēs izmantojam kvadrātvienādojumu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definēsim tā koeficientu absolūto vērtību gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Sadalīsim abas sākotnējā kvadrātvienādojuma daļas ar 6 un iegūsim ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Reizinot abas kvadrātvienādojuma puses, daļskaitļu koeficienti parasti tiek izslēgti. Šajā gadījumā reiziniet ar tā koeficientu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Piemēram, ja katra kvadrātvienādojuma daļa 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 tiek reizināta ar LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tad tā tiks uzrakstīta vienkāršākā formā x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka gandrīz vienmēr atbrīvojieties no mīnusa pie kvadrātvienādojuma pirmā koeficienta, mainot katra vienādojuma locekļa zīmes, ko panāk, reizinot (vai dalot) abas daļas ar −1. Piemēram, no kvadrātvienādojuma - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, varat pāriet uz tā vienkāršoto versiju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Sakarība starp saknēm un koeficientiem

Jau zināmā kvadrātvienādojumu sakņu formula x = - b ± D 2 · a izsaka vienādojuma saknes tā skaitlisko koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz šo formulu, mums ir iespēja iestatīt citas atkarības starp saknēm un koeficientiem.

Slavenākās un pielietojamākās ir Vieta teorēmas formulas:

x 1 + x 2 \u003d - b a un x 2 \u003d c a.

Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir otrais koeficients ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, ar kvadrātvienādojuma formu 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, var uzreiz noteikt, ka tā sakņu summa ir 7 3, bet sakņu reizinājums ir 22 3.

Varat arī atrast vairākas citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar koeficientiem:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Vienkārši. Pēc formulām un skaidriem vienkāršiem noteikumiem. Pirmajā posmā

vajadzīgs dots vienādojums novest līdz standarta formai, t.i. uz skatu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jāveic pirmais posms. Vissvarīgākais ir pareizi

noteikt visus koeficientus a, b un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējoša . Kā redzat, lai atrastu x, mēs

izmantot tikai a, b un c. Tie. izredzes no kvadrātvienādojums. Vienkārši uzmanīgi ievietojiet

vērtības a, b un cšajā formulā un saskaitiet. Aizstāt ar viņu zīmes!

Piemēram, vienādojumā:

a =1; b = 3; c = -4.

Aizstājiet vērtības un ierakstiet:

Piemērs gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Biežākās kļūdas ir apjukums ar vērtību pazīmēm a, b un Ar. Drīzāk ar aizstāšanu

negatīvas vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit detalizētā formula saglabā

ar konkrētiem cipariem. Ja ir problēmas ar aprēķiniem, dariet to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Mēs visu krāsojam detalizēti, rūpīgi, neko nepalaižot garām ar visām zīmēm un iekavām:

Bieži kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu.

Pirmā uzņemšana. Pirms tam neesiet slinks kvadrātvienādojuma atrisināšana izveidojiet to standarta formā.

Ko tas nozīmē?

Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt sakņu formulu! Jūs gandrīz noteikti sajaucat izredzes a, b un c.

Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms x kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais dalībnieks. Kā šis:

Atbrīvojieties no mīnusa. Kā? Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Un tagad jūs varat droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru.

Izlemiet paši. Jums vajadzētu beigties ar saknēm 2 un -1.

Otrā pieņemšana. Pārbaudi savas saknes! Autors Vietas teorēma.

Lai atrisinātu dotos kvadrātvienādojumus, t.i. ja koeficients

x2+bx+c=0,

tadx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pilnīgam kvadrātvienādojumam, kurā a≠1:

x 2+bx+c=0,

dala visu vienādojumu ar a:

→ →

kur x 1 un x 2 - vienādojuma saknes.

Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Pavairot

vienādojums kopsaucējam.

Secinājums. Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu ievietojam standarta formā, izveidojam to pa labi.

2. Ja kvadrātā x priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to likvidējam, visu reizinot

vienādojumi -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo

faktors.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar

AT mūsdienu sabiedrība spēja darboties ar vienādojumiem, kas satur mainīgo kvadrātā, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to var liecināt dizains jūras un upju kuģi, lidmašīnas un raķetes. Ar šādu aprēķinu palīdzību tiek noteiktas dažādu ķermeņu, arī kosmosa objektu, kustības trajektorijas. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomiskajā prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami kempingos, sporta pasākumos, veikalos iepērkoties un citās ļoti izplatītās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi komponentfaktoros

Vienādojuma pakāpi nosaka mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība, ko satur dotā izteiksme. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu.

Ja runājam formulu valodā, tad šos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest līdz formai, kad izteiksmes kreisā puse sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam nav neviena tā sastāvdaļa, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar tādu uzdevumu risinājumu, kuros nav grūti atrast mainīgo lielumu vērtību.

Ja izteiksme izskatās tā, ka izteiksmes labajā pusē ir divi termini, precīzāk ax 2 un bx, visvieglāk ir atrast x, ieliekot mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Turklāt kļūst acīmredzams, ka vai nu x=0, vai arī problēma tiek reducēta uz mainīgā atrašanu no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums saka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.

Piemērs

x=0 vai 8x - 3 = 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas tiek uzskatīts par izcelsmi. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, jūs varat uzzināt laiku, kas pagājis no brīža, kad ķermenis paceļas, līdz brīdim, kad tas nokrīt, kā arī daudzus citus lielumus. Bet par to mēs runāsim vēlāk.

Izteiksmes faktorēšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt šīs problēmas un daudz ko citu sarežģīti gadījumi. Apsveriet piemērus ar šāda veida kvadrātvienādojumu atrisināšanu.

X2 — 33x + 200 = 0

Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigta. Pirmkārt, mēs pārveidojam izteiksmi un sadalām to faktoros. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Faktorējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un (x + 3).

Rezultātā kļūst skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; - viens; 3.

Kvadrātsaknes izvilkšana

Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas uzrakstīta burtu valodā tā, ka labā puse ir uzbūvēta no komponentēm ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termins tiek pārnests uz labo pusi un pēc tam tiek iegūta kvadrātsakne no abām vienādības pusēm. Jāņem vērā, ka šajā gadījumā parasti ir divas vienādojuma saknes. Vienīgie izņēmumi ir vienādības, kas vispār nesatur terminu c, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senos laikos, jo matemātikas attīstība lielā mērā ir tajos tāli laiki bija saistīts ar nepieciešamību ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Jāapsver arī piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, kas sastādīti, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir par 16 metriem vairāk nekā platums. Ja ir zināms, ka tās platība ir 612 m 2, jums vajadzētu uzzināt vietnes garumu, platumu un perimetru.

Pievēršoties biznesam, vispirms mēs izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim posma platumu kā x, tad tā garums būs (x + 16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x (x + 16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumu ir 612. Tas nozīmē, ka x (x + 16) \u003d 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar izdarīt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.

Diskriminējošais

Vispirms veicam nepieciešamās pārvērtības, tad izskatsšī izteiksme izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi iepriekš norādītajam standartam atbilstošā formā, kur a=1, b=16, c=-612.

Tas var būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek veikti saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šī palīgvērtība ne tikai ļauj atrast vajadzīgās vērtības otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka iespējamo opciju skaitu. Gadījumā, ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā diskriminants ir: 256 - 4(-612) = 2704. Tas norāda, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt, kvadrātvienādojumu risināšana ir jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrais variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala lielums nav mērāms negatīvās vērtībās, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18+16=34, un perimetrs 2(34+18) = 104 (m 2).

Piemēri un uzdevumi

Turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Tālāk tiks sniegti vairāku no tiem piemēri un detalizēts risinājums.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Pārliksim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūstam vienādojuma formu, ko parasti sauc par standarta, un pielīdzināsim nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pievienojot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais - 1.

2) Tagad mēs atklāsim cita veida mīklas.

Noskaidrosim, vai šeit vispār ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, mēs ievietojam polinomu atbilstošā pazīstamajā formā un aprēķinām diskriminantu. Šajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo problēmas būtība nepavisam nav tajā. Šajā gadījumā D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.

Vietas teorēma

Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek iegūta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Tas ir nosaukts vīrieša vārdā, kurš dzīvoja 16. gadsimta Francijā un kuram bija spoža karjera, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.

Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x2 + 21x - 54 = 0

Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Izmantojot Vieta teorēmu, tas mums iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgo vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabolas grafiks un vienādojums

Kvadrātfunkcijas un kvadrātvienādojumu jēdzieni ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādu atkarību, kas novilkta grafa formā, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iziet tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātiskos. Šo metodi sauc par grafiku. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast pēc tikko dotās formulas x 0 = -b / 2a. Un, aizvietojot iegūto vērtību sākotnējā funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder y asij.

Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi

Ir daudz piemēru ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apsvērsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja y 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Arī otrādi ir taisnība. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk uzzīmēt.

No vēstures

Ar vienādojumu palīdzību, kas satur kvadrātveida mainīgo, senos laikos ne tikai veica matemātiskus aprēķinus un noteica ģeometrisko formu laukumu. Tādi aprēķini seniem cilvēkiem bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.

Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras parādīšanās. Protams, viņu aprēķini būtiski atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi to smalkumi, kas zināmi jebkuram mūsu laika studentam.

Iespējams, pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Bodhajama ķērās pie kvadrātvienādojumu atrisināšanas. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus laikmeta parādīšanās. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē par līdzīgiem jautājumiem interesēja arī ķīniešu matemātiķi. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.

Kopjevskas lauku vidusskola

10 veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Vadītāja: Patrikejeva Gaļina Anatoljevna,

matemātikas skolotājs

s.Kopyevo, 2007. gads

1. Kvadrātvienādojumu attīstības vēsture

1.1 Kvadrātvienādojumi senajā Babilonā

1.2. Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus

1.3 Kvadrātvienādojumi Indijā

1.4. Kvadrātvienādojumi al-Khwarizmi

1.5 Kvadrātvienādojumi Eiropā XIII - XVII gs

1.6. Par Vietas teorēmu

2. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes

Secinājums

Literatūra

1. Kvadrātvienādojumu attīstības vēsture

1.1 Kvadrātvienādojumi senajā Babilonā

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu, kā arī astronomijas un pati matemātika. Kvadrātvienādojumi spēja atrisināt aptuveni 2000. gadu pirms mūsu ēras. e. babilonieši.

Izmantojot mūsdienu algebrisko apzīmējumu, mēs varam teikt, ka viņu ķīļraksta tekstos papildus nepilnīgajiem ir arī tādi, piemēram, pilnīgi kvadrātvienādojumi:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas minēts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, bez norādes par to, kā tie atrasti.

Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

1.2. Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus.

Diofanta aritmētika nesatur sistemātisku algebras izklāstu, bet tajā ir sistemātiska uzdevumu virkne, kas papildināta ar skaidrojumiem un atrisināta, formulējot dažādu pakāpju vienādojumus.

Sastādot vienādojumus, Diofants prasmīgi izvēlas nezināmos, lai vienkāršotu risinājumu.

Šeit, piemēram, ir viens no viņa uzdevumiem.

11. uzdevums."Atrodiet divus skaitļus, zinot, ka to summa ir 20 un reizinājums ir 96"

Diofants argumentē šādi: no uzdevuma nosacījuma izriet, ka vēlamie skaitļi nav vienādi, jo, ja tie būtu vienādi, tad to reizinājums būtu vienāds nevis ar 96, bet ar 100. Tādējādi viens no tiem būs lielāks par puse no to summas, t.i. 10+x, otrs ir mazāks, t.i. 10. gadi. Atšķirība starp tām 2x.

Līdz ar to vienādojums:

(10 + x) (10 – x) = 96

100 x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

No šejienes x = 2. Viens no vēlamajiem cipariem ir 12 , cits 8 . Risinājums x = -2 jo Diofants neeksistē, jo grieķu matemātika zināja tikai pozitīvus skaitļus.

Ja šo uzdevumu atrisināsim, izvēloties kādu no vēlamajiem skaitļiem kā nezināmo, tad nonāksim pie vienādojuma risinājuma

y(20 - y) = 96,

y 2 — 20 g + 96 = 0. (2)

Ir skaidrs, ka Diofants vienkāršo risinājumu, izvēloties vēlamo skaitļu starpību kā nezināmo; viņam izdodas problēmu reducēt līdz nepilnīga kvadrātvienādojuma (1) atrisināšanai.

1.3 Kvadrātvienādojumi Indijā

Kvadrātvienādojumu problēmas jau ir atrodamas astronomiskajā traktā "Aryabhattam", ko 499. gadā sastādīja indiešu matemātiķis un astronoms Arjabhata. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta (7. gadsimts) izklāstīja vispārīgo noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

(1) vienādojumā koeficienti, izņemot a, var būt arī negatīvs. Brahmaguptas valdīšana būtībā sakrīt ar mūsējo.

AT senā Indija izplatīti bija publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu pārspēj zvaigznes, tā zinātnieks cilvēks aptumšot cita slavu publiskās sanāksmēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas. Uzdevumi bieži bija ietērpti poētiskā formā.

Šeit ir viens no slavenā indiešu uzdevumiem Matemātika XII iekšā. Bhaskara.

13. uzdevums.

“Smaigs pērtiķu ganāmpulks Un divpadsmit vīnogulāju augos...

Apēdis spēku, izklaidējies. Viņi sāka lēkt, karājoties ...

Astotā daļa no tiem kvadrātā Cik daudz pērtiķu bija tur,

Izklaidējies pļavā. Pastāsti man, šajā ganāmpulkā?

Bhaskaras risinājums norāda, ka viņš zināja par kvadrātvienādojumu sakņu divvērtību (3. att.).

13. uzdevumam atbilstošais vienādojums ir:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara raksta aizsegā:

x 2 - 64x = -768

un, lai šī vienādojuma kreiso pusi pabeigtu līdz kvadrātam, viņš pievieno abām pusēm 32 2 , iegūstot:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4. Kvadrātvienādojumi al-Khorezmi

Al-Khorezmi algebriskais traktāts sniedz lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikāciju. Autors uzskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) "Kvadrāti ir vienādi ar saknēm", t.i. cirvis 2 + c =bX.

2) "Kvadrāti ir vienādi ar skaitli", t.i. cirvis 2 = s.

3) "Saknes ir vienādas ar skaitli", t.i. ah = s.

4) "Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm", t.i. cirvis 2 + c =bX.

5) "Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli", t.i. ah 2+bx= s.

6) "Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem", t.i.bx+ c \u003d cirvis 2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitīšana, nevis atņemšana. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autore ieskicē šo vienādojumu risināšanas metodes, izmantojot al-jabr un al-muqabala metodes. Viņa lēmumi, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējiem. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāņem vērā, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu

al-Khorezmi, tāpat kā visi matemātiķi pirms 17. gadsimta, neņem vērā nulles risinājumu, iespējams, tāpēc, ka tam nav nozīmes konkrētās praktiskās problēmās. Risinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, al-Khorezmi nosaka risināšanas noteikumus un pēc tam ģeometriskos pierādījumus, izmantojot konkrētus skaitliskus piemērus.

14. uzdevums.“Kvadrāts un skaitlis 21 ir vienādi ar 10 saknēm. Atrodi sakni" (pieņemot, ka vienādojuma sakne ir x 2 + 21 = 10x).

Autora risinājums ir apmēram šāds: sadaliet sakņu skaitu uz pusēm, iegūstiet 5, reiziniet ar 5, no reizinājuma atņemiet 21, paliek 4. Ņem sakni no 4, jūs saņemat 2. Atņemiet 2 no 5, jūs iegūstiet 3, šī būs vēlamā sakne. Vai arī pievienojiet 2 pret 5, kas dos 7, šī arī ir sakne.

Traktāts al - Khorezmi ir pirmā grāmata, kas nonākusi pie mums, kurā sistemātiski ir izklāstīta kvadrātvienādojumu klasifikācija un dotas to risināšanas formulas.

1.5. Kvadrātvienādojumi EiropāXIII - XVIIgadsimtiem

Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc al-Khorezmi modeļa Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas "Abaka grāmatā", ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Šis apjomīgais darbs, kas atspoguļo matemātikas ietekmi gan islāma valstīs, gan Senā Grieķija, atšķiras gan ar prezentācijas pilnīgumu, gan skaidrību. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus problēmu risināšanas algebriskos piemērus un bija pirmais Eiropā, kas piegāja pie negatīvu skaitļu ieviešanas. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzi uzdevumi no "Abakusa grāmatas" pārgāja gandrīz visās Eiropas 16. - 17. gadsimta mācību grāmatās. un daļēji XVIII.

Vispārējais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas samazināts līdz vienai kanoniskai formai:

x 2+bx= ar,

visām iespējamām koeficientu zīmju kombinācijām b, Ar Eiropā tikai 1544. gadā formulēja M. Stīfels.

Vietai ir vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasinājums, bet Vieta atpazina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli bija vieni no pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām un negatīvajām saknēm ņemiet vērā. Tikai XVII gadsimtā. Pateicoties Žirāra, Dekarta, Ņūtona un citu zinātnieku darbam, kvadrātvienādojumu risināšanas veids iegūst mūsdienīgu izskatu.

1.6. Par Vietas teorēmu

Teorēmu, kas izsaka attiecības starp kvadrātvienādojuma koeficientiem un tā saknēm ar Vietas vārdu, viņš pirmo reizi formulēja 1591. gadā šādi: “Ja B + D reizināts ar A - A 2 , vienāds BD, tad A vienāds AT un vienāds D».

Lai saprastu Vietu, tas ir jāatceras BET, tāpat kā jebkurš patskanis, viņam nozīmēja nezināmo (mūsu X), patskaņi AT,D- nezināmā koeficienti. Mūsdienu algebras valodā Vietas formulējums iepriekš nozīmē: ja

(+b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Izsakot sakarību starp vienādojumu saknēm un koeficientiem ar vispārīgām formulām, kas rakstītas, izmantojot simbolus, Viets noteica vienveidību vienādojumu risināšanas metodēs. Tomēr Vietas simbolika joprojām ir tālu no moderns izskats. Viņš neatzina negatīvus skaitļus, un tāpēc, risinot vienādojumus, viņš ņēma vērā tikai gadījumus, kad visas saknes ir pozitīvas.

2. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes

Kvadrātvienādojumi ir pamats, uz kura balstās majestātiskā algebras celtne. Kvadrātvienādojumus plaši izmanto trigonometrisko, eksponenciālo, logaritmisko, iracionālo un transcendentālo vienādojumu un nevienādību risināšanā. Mēs visi zinām, kā atrisināt kvadrātvienādojumus no skolas (8. klase) līdz skolas beigšanai.

Kvadrātvienādojums vai otrās pakāpes vienādojums ar vienu nezināmo ir vienādojums, kuru pēc transformācijām var reducēt līdz šādai formai:

cirvis 2 + bx + c = 0 - kvadrātvienādojums

kur x ir nezināmais, un a, b un c- vienādojuma koeficienti. Kvadrātvienādojumos a sauc par pirmo koeficientu ( a ≠ 0), b sauc par otro koeficientu, un c tiek saukts par zināmo vai brīvo dalībnieku.

Vienādojums:

cirvis 2 + bx + c = 0

sauca pabeigts kvadrātvienādojums. Ja viens no koeficientiem b vai c ir nulle vai abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli, tad vienādojums tiek attēlots kā nepilnīgs kvadrātvienādojums.

Samazināts kvadrātvienādojums

Pilno kvadrātvienādojumu var reducēt līdz ērtākai formai, visus tā nosacījumus dalot ar a, tas ir, pirmajam koeficientam:

Vienādojums x 2 + px + q= 0 sauc par reducētu kvadrātvienādojumu. Tāpēc jebkuru kvadrātvienādojumu, kurā pirmais koeficients ir vienāds ar 1, var saukt par reducētu.

Piemēram, vienādojums:

x 2 + 10x - 5 = 0

tiek samazināts, un vienādojums:

3x 2 + 9x - 12 = 0

var aizstāt ar iepriekš minēto vienādojumu, visus tā nosacījumus dalot ar -3:

x 2 - 3x + 4 = 0

Kvadrātvienādojumu risināšana

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, tas jāsakārto vienā no šīm formām:

cirvis 2 + bx + c = 0

cirvis 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0

Katram vienādojuma veidam ir sava formula sakņu atrašanai:

Pievērsiet uzmanību vienādojumam:

cirvis 2 + 2kx + c = 0

šis ir pārveidotais vienādojums cirvis 2 + bx + c= 0, kurā koeficients b- pat, kas ļauj to aizstāt ar 2. tipu k. Tāpēc šī vienādojuma sakņu atrašanas formulu var vienkāršot, aizstājot ar 2 k tā vietā b:

1. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

3x 2 + 7x + 2 = 0

Tā kā vienādojumā otrais koeficients nav pāra skaitlis un pirmais koeficients nav vienāds ar vienu, tad saknes meklēsim, izmantojot pašu pirmo formulu, t.s. vispārējā formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašana. Pirmkārt

a = 3, b = 7, c = 2

Tagad, lai atrastu vienādojuma saknes, mēs vienkārši aizstājam koeficientu vērtības formulā:

x 1 =	-2	= -	1	, x 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Atbilde: -	1	, -2.
	3

2. piemērs:

x 2 - 4x - 60 = 0

Noskaidrosim, ar kādiem koeficientiem ir vienādi:

a = 1, b = -4, c = -60

Tā kā vienādojuma otrais koeficients ir pāra skaitlis, kvadrātvienādojumu formulu izmantosim ar pāra otro koeficientu:

x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6

Atbilde: 10, -6.

3. piemērs

y 2 + 11y = y - 25

Pārveidosim vienādojumu vispārīgā formā:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Noskaidrosim, ar kādiem koeficientiem ir vienādi:

a = 1, lpp = 10, q = 25

Tā kā pirmais koeficients ir vienāds ar 1, mēs meklēsim saknes pēc formulas iepriekš minētajiem vienādojumiem ar pāra otro koeficientu:

Atbilde: -5.

4. piemērs

x 2 - 7x + 6 = 0

Noskaidrosim, ar kādiem koeficientiem ir vienādi:

a = 1, lpp = -7, q = 6

Tā kā pirmais koeficients ir vienāds ar 1, tad mēs meklēsim saknes pēc formulas dotajiem vienādojumiem ar nepāra otro koeficientu:

x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1