Vienādsānu trīsstūra laukums blakus un pamatnei. Aplūkotajās formulās pieņemto daudzumu apzīmējumi. Kā atrast figūras laukumu, ja viens leņķis ir taisns

Atkarībā no trīsstūra veida ir vairākas iespējas, kā atrast tā laukumu. Piemēram, lai aprēķinātu platību taisnleņķa trīsstūris tiek izmantota formula S= a * b / 2, kur a un b ir tās kājas. Ja vēlaties uzzināt apkārtni vienādsānu trīsstūris, tad tā pamatnes un augstuma reizinājumu nepieciešams dalīt ar diviem. Tas ir, S= b*h / 2, kur b ir trijstūra pamatne un h ir tā augstums.

Pēc tam, iespējams, būs jāaprēķina vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukums. Šeit palīgā nāk šāda formula: S = a * a / 2, kur kājiņām "a" un "a" obligāti jābūt ar vienādām vērtībām.

Turklāt mums bieži ir jāaprēķina platība vienādmalu trīsstūris. To nosaka pēc formulas: S= a * h/ 2, kur a ir trijstūra mala, bet h ir tā augstums. Vai saskaņā ar šo formulu: S= √3/ 4 *a^2, kur a ir mala.

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu

Jums ir jāatrod taisnleņķa trīsstūra laukums, bet tajā pašā laikā problēmas apstākļi nenorāda tā divu kāju izmērus vienlaikus? Tad mēs nevarēsim tieši izmantot šo formulu (S= a * b / 2).

Apsveriet vairākus iespējamos risinājumus:

• Ja nezināt vienas kājas garumu, bet ir norādīti hipotenūzas un otrās kājas izmēri, tad mēs vēršamies pie lielā Pitagora un saskaņā ar viņa teorēmu (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), aprēķiniet nezināmās kājas garumu, pēc tam izmantojiet to, lai aprēķinātu trīsstūra laukumu.
• Ja ir dots vienas kājas garums un tai pretēja leņķa grādu slīpums: otrās kājas garumu atrodam pēc formulas - a=b*ctg(C).
• Dots: vienas kājas garums un tai piegulošā leņķa grādu slīpums: lai atrastu otrās kājas garumu, izmantojam formulu - a=b*tg(C).
• Un visbeidzot, ņemot vērā: hipotenūzas leņķi un garumu: mēs aprēķinām abu tās kāju garumu pēc šādām formulām - b=c*sin(C) un a=c*cos(C).

Kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu

Vienādsānu trīsstūra laukumu var ļoti viegli un ātri atrast, izmantojot formulu S \u003d b * h / 2, taču, ja nav neviena no indikatoriem, uzdevums kļūst daudz sarežģītāks. Galu galā ir jāveic papildu pasākumi.

Iespējamie uzdevuma varianti:

• Dots: vienas malas garums un pamatnes garums. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam augstumu, tas ir, otrās kājas garumu. Ar nosacījumu, ka pamatnes garums, dalīts ar diviem, ir kāja, un sākotnēji zināmā puse ir hipotenūza.
• Dots: pamatne un leņķis starp sānu un pamatni. Aprēķiniet augstumu, izmantojot formulu h=c*ctg(B)/2 (neaizmirstiet “c” pusi dalīt ar divi).
• Dots: augstums un leņķis, ko veidoja pamatne un mala: izmantojiet formulu c=h*tg(B)*2, lai atrastu augstumu, un rezultātu reiziniet ar divi. Tālāk mēs aprēķinām platību.
• Zināms: sānu garums un leņķis, kas izveidojās starp to un augstumu. Risinājums: izmantojiet formulas - c=a*sin(C)*2 un h=a*cos(C), lai atrastu pamatni un augstumu, pēc kā aprēķinām laukumu.

Kā atrast vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukumu

Ja ir zināmi visi dati, tad, izmantojot standarta formulu S = a * a / 2, mēs aprēķinām vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukumu, bet, ja uzdevumā daži rādītāji nav norādīti, tad tiek veiktas papildu darbības.

Piemēram: mēs nezinām abu malu garumus (atceramies, ka vienādsānu taisnstūrī tie ir vienādi), bet ir dots hipotenūzas garums. Pielietosim Pitagora teorēmu, lai atrastu vienas un tās pašas puses "a" un "a". Pitagora formula: a^2+b^2=c^2. Ja ir vienādsānu taisnstūris, to pārvērš šādā veidā: 2a^2 = c^2. Izrādās, ka, lai atrastu kāju "a", hipotenūzas garums jādala ar sakni no 2. Atrisinājuma rezultāts būs vienādsānu taisnstūra trīsstūra abu kāju garums. Tālāk atrodiet apgabalu.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu

Izmantojot formulu S= √3/ 4*a^2, var viegli aprēķināt vienādmalu trīsstūra laukumu. Ja ir zināms trijstūra apļa rādiuss, tad laukumu var atrast pēc formulas: S= 3√3/ 4*R^2, kur R ir apļa rādiuss.

Šajā rakstā tiks apspriests, kā atrast vienādsānu trīsstūra laukums un formulas risinājumiem.
Vienādsānu trīsstūris ir trijstūris, kura divas malas, kas ir paralēlas pamatnei, ir vienādas . Tas ir parādīts attēlā.

Ir vērts atzīmēt, ka burti, kas norāda malas un leņķus, tiek izmantoti formulās jūsu ērtībai.
Piezīme: Ja nepieciešams kvalitatīvs kursa darbs vai pārbaude, bez starpniekiem. Pēc tam atrodaties vietnē tvoi5.ru. Varat arī sekot kursa darbu saitei, lai pasūtītu (http://tvoi5.ru/zakazat-kursovuyu-rabotu.html) un visu informāciju.

Vienādsānu trijstūra formulas laukums.

Pirmā formula saka, ka laukums ir, ja zinām tikai vienu trijstūra malu un pamatu. Mēs saņēmām šo formulu, izmantojot vispārējā formula. Kad Herona formula ir galvenā un figūras malas ir vienādas, tā pati par sevi izskatīsies vienkāršāka.

Otrā formula saka, ka apgabals ir cauri malām un leņķi starp tām. Vai arī leņķa grēks, kas atrodas starp malām, reizināts ar pusi no vienas malas kvadrāta. Kad mēs uzzīmējam augstumu uz sāniem, tā garums ir vienāds ar a*sin?. Tā kā mēs zinām sānu garumu, mēs zinām arī tās augstumu. Attiecīgi vienādsānu trīsstūra laukums būs puse no to izteiksmes. Pareizāk sakot. tad vesels skaitlis veido trīsstūra laukumu. Sadalot taisnstūra augstumu, iegūstam divus mazus taisnleņķa trīsstūrus. Diagonāle būs trijstūra mala, savukārt tā sadala figūru divās vienādās daļās. No tā izriet, ka mūsu meklētā vērtība tiek atrasta kā puse no vienas puses vērtības, kas reizināta ar augstumu.

Trešajā formulā laukums tiek atrasts, izmantojot viena paralēla mala, pamatne un stūris atrodas augšpusē. Citiem vārdiem sakot, mēs varam teikt tā: ja ir zināms vismaz viens leņķis vienādsānu trīsstūrī, to var izmantot, lai noskaidrotu pārējos divus. Šī formula ir līdzīga otrajai formulai, jūs varat izmantot un atcerēties jebkuru no tām. Bet no šīs formulas iznāks piektā formula, kuru es aprakstīšu tālāk.

Ceturtā formula parāda, ka jūs varat atrast apgabalu zinot pamatnes izmēru un leņķi pie tā. Visi leņķi pie pamatnes ir vienādi, un pamatnes malas kvadrāts, kas dalīts ar 4 tg, ir leņķa grīda, kas izplūst no tā malām. Uzmanīgi ieskatoties, var redzēt, ka pamatnes grīdas puse b/2, reizinot ar tg (? /2), iegūst augstumu. Kurai, savukārt, ir mediānas un bisektora loma, kas nozīmē tg (? / 2) = (b / 2) / h, no kuras h = b / (2tg (? / 2)), un to var samazināt uz vienkāršotu formulu Nr.5.

Tātad piektā formula saka, ka jūs varat atrast apgabalu izmantojot augstumu kas sākas trijstūra virsotnē un beidzas tā pamatnē, vienlaikus sadalot to taisnleņķa trīsstūros. Un tad kā trešajā un ceturtajā formulā. Augstuma vērtības zemākā vērtība, kas reizināta ar bāzes vērtību.

Sestā un pēdējā formula. Tas parādās trīsstūra laukuma risināšanas laikā caur Pitagora teorēmu. Mums ir nepieciešams augstums, kas atrodams iepriekšējā formulā. Tam ir arī kāja no taisnleņķa trīsstūra, kas iegūta no sāniem, puse no pamatnes plus augstums. Hipotenūza būs sānu mala, no hipotenūzas kvadrāta (a) mēs atņemam otro kāju kvadrātā. Tā kā tas ir vienāds ar pusi bāzes (b/2), tad kvadrāts = b2/4. Ņemot sakni no iegūtā, mēs atrodam augstumu.

Lai palīdzētu bērnam nodarbībās, vecākiem daudz kas jāzina pašiem. Kā atrast vienādsānu trijstūra laukumu, kā līdzdalības revolūcija atšķiras no divdabja, kāds ir brīvā kritiena paātrinājums?

Ar kādu no šiem jautājumiem jūsu dēlam vai meitai var rasties problēmas, un viņi vērsīsies pie jums, lai saņemtu skaidrojumu. Lai nekristu uz sejas netīrumos un saglabātu savu autoritāti bērnu acīs, ir vērts atmiņā atsvaidzināt dažus skolas mācību programmas elementus.

Ņemiet, piemēram, vienādsānu trīsstūra jautājumu. Ģeometrija skolā daudziem ir grūta, un pēc skolas tā aizmirstas visātrāk.

Bet, kad jūsu bērni iet 8. klasē, jums būs jāatceras formulas ģeometriskās formas. Vienādsānu trīsstūris ir viens no visvairāk vienkāršas figūras tā parametru atrašanas ziņā.

Ja viss, ko kādreiz uzzinājāt par trijstūriem, ir aizmirsts, atcerēsimies. Vienādsānu trīsstūris ir tāds, kura 2 malas ir vienāda garuma. Šīs vienādās malas sauc par vienādsānu trīsstūra malām. Trešā puse ir tās pamats.

Ir tāda iespēja, kurā visas 3 puses ir vienādas viena ar otru. To sauc par vienādmalu trīsstūri. Uz to attiecas visas vienādsānu formulas, un, ja nepieciešams, jebkuru tās malu var saukt par pamatni.

Lai atrastu laukumu, mums ir jāsadala pamatne uz pusēm. Taisne, kas novilkta uz leju līdz iegūtajam punktam no virsotnes, kas savieno malas, krustos pamatni taisnā leņķī.

Tāda ir līdzīgu trīsstūru īpašība: mediāna, tas ir, taisne no virsotnes līdz pretējās malas vidum, vienādsānu trijstūrī ir tā bisektrise (taisne, kas sadala leņķi uz pusēm) un augstums (perpendikulārs). uz pretējo pusi).

Lai atrastu vienādsānu trīsstūra laukumu, jums jāreizina tā augstums ar pamatni un pēc tam jāsadala šis produkts uz pusēm.

Lai atrastu trīsstūra laukumu, formula ir vienkārša: S=ah/2, kur a ir pamatnes garums, h ir augstums.

To var skaidri izskaidrot šādi. Izgrieziet līdzīgu figūru no papīra, atrodiet pamatnes vidu, uzzīmējiet augstumu līdz šim punktam un uzmanīgi izgrieziet pa šo augstumu. Jūs iegūsit divus taisnleņķa trīsstūrus.

Ja pievienosit tos viens otram ar hipotenūzām (garajām malām), tad izveidosies taisnstūris, kura viena mala būs vienāda ar mūsu figūras augstumu, bet otra puse no tās pamatnes. Tas ir, formula tiks apstiprināta.

Vizuāla demonstrācija ir ļoti svarīga. Ja jūsu bērns iemācīsies neprātīgi iegaumēt formulas, bet saprast to nozīmi, ģeometrija viņam vairs nešķitīs grūts priekšmets.

Klasē labākais skolēns ir nevis iegaumošs, bet gan domājošs un, galvenais, saprotošs skolēns.

Kā atrast figūras laukumu, ja viens leņķis ir taisns leņķis?

Var izrādīties, ka leņķis starp noteiktas trīsstūra figūras malām ir 90°. Tad šis trīsstūris tiks saukts par taisnleņķa trīsstūri, tā malas - kājas, bet pamatne - hipotenūza.

Šādas figūras laukumu var aprēķināt ar iepriekš minēto metodi (atrodam hipotenūzas vidu, uzzīmējam tai augstumu, reizinim ar hipotenūzu, sadalām uz pusēm). Bet problēmu var atrisināt daudz vienkāršāk.

Sāksim ar redzamību. Taisnsānu trīsstūris ir tieši puse kvadrāta, ja to sagriež pa diagonāli. Un, ja kvadrāta laukums tiek atrasts, vienkārši paceļot tā malu uz otro pakāpi, tad mums vajadzīgās figūras laukums būs uz pusi mazāks.

S \u003d a 2/2, kur a ir kājas garums.

Vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malas kvadrāta. Problēma izrādījās ne tik nopietna, kā likās no pirmā acu uzmetiena.

Risinājums ģeometriskās problēmas neprasa pārcilvēciskas pūles un var noderēt ne tikai bērniem, bet arī jums, meklējot atbildes uz praktiskiem jautājumiem.

Ģeometrija ir precīza zinātne. Ja iedziļināsities tā pamatos, ar to nebūs grūti, un pierādījumu konsekvence var būt ļoti aizraujoša jūsu bērnam. Jums tikai nedaudz jāpalīdz viņam. Vienalga labs skolotājs viņš to nesaņēma, vecāku palīdzība nebūs lieka.

Un ģeometrijas izpētes gadījumā ļoti noderēs iepriekš minētā metode - redzamība un skaidrojuma vienkāršība.

Tajā pašā laikā nevajadzētu aizmirst par formulējumu precizitāti, pretējā gadījumā šo zinātni var padarīt daudz sarežģītāku, nekā tā patiesībā ir.

Tas rodas ne tikai skolēnu vai studentu priekšā, bet arī reālajā, praktiskajā dzīvē. Piemēram, būvniecības laikā kļūst nepieciešams pabeigt fasādes daļu zem jumta. Kā aprēķināt nepieciešamo materiālu daudzumu?

Bieži vien ar šādiem uzdevumiem saskaras amatnieki, kas strādā ar audumu vai ādu. Patiešām, daudzām detaļām, kuras meistaram ir jāizgriež, ir tikai vienādsānu trīsstūra forma.

Tātad ir vairāki veidi, kā palīdzēt atrast vienādsānu trīsstūra laukumu. Pirmais ir aprēķināt to pēc pamatnes un augstuma.

Risinājumam skaidrības labad jākonstruē trīsstūris MNP ar pamatni MN un augstumu PO. Tagad pabeigsim kaut ko būvēt zīmējumā: no punkta P novelciet līniju, kas ir paralēla pamatnei, un no punkta M - līniju, kas ir paralēla augstumam. Sauksim krustpunktu Q. Lai uzzinātu, kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu, jāņem vērā iegūtais četrstūris MOPQ, kurā mums dotā trijstūra MP sānu mala jau ir tā diagonāle.

Vispirms pierādīsim, ka tas ir taisnstūris. Tā kā mēs to uzbūvējām paši, mēs zinām, ka MO un OQ malas ir paralēlas. Un arī QM un OP puses ir paralēlas. Leņķis POM ir pareizs, tāpēc arī OPQ leņķis ir pareizs. Tāpēc iegūtais četrstūris ir taisnstūris. Tā apgabala atrašana nav grūta, tas ir vienāds ar PO un OM reizinājumu. OM ir puse no šī trīsstūra MPN pamatnes. No tā izriet, ka mūsu izveidotā taisnstūra laukums ir vienāds ar pusi no taisnleņķa trīsstūra un tā pamatnes augstuma reizinājuma.

Mums izvirzītā uzdevuma otrais posms, kā noteikt trijstūra laukumu, ir pierādīt faktu, ka mūsu iegūtais taisnstūris atbilst noteiktam vienādsānu trīsstūrim laukumā, tas ir, ka trīsstūra laukums. trijstūris ir arī vienāds ar pamatnes un augstuma pusreizinājumu.

Vispirms salīdzināsim trīsstūri PON un PMQ. Tie abi ir taisnstūrveida, jo vienā no tiem taisno leņķi veido augstums, bet otrā taisnstūra ir taisnstūra stūris. Tajās esošās hipotenūzas ir vienādsānu trijstūra malas, tāpēc tās ir arī vienādas. Kājas PO un QM arī ir vienādas ar taisnstūra paralēlajām malām. Tādējādi trīsstūra PON un trijstūra PMQ laukums ir vienāds viens ar otru.

Taisnstūra QPOM laukums ir vienāds ar trīsstūru PQM un MOP summu. Aizstājot iebūvēto trijstūri QPM ar trijstūri PON, kopā iegūstam trijstūri, kas mums dots teorēmas atvasināšanai. Tagad mēs zinām, kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu, ņemot vērā pamatni un augstumu - aprēķiniet tā pusreizinājumu.

Bet jūs varat uzzināt, kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu, ņemot vērā pamatni un malu. Šeit ir arī divas iespējas: Herona un Pitagora teorēma. Apsveriet risinājumu, izmantojot Pitagora teorēmu. Piemēram, ņemsim to pašu PMN ar PO augstumu.

Taisnstūrī POM MP ir hipotenūza. Tā kvadrāts ir vienāds ar PO un OM kvadrātu summu. Un tā kā OM ir puse no mums zināmās bāzes, mēs varam viegli atrast OM un skaitli kvadrātā. Atņemot iegūto skaitli no hipotenūzas kvadrāta, mēs uzzinām, kāpēc vienāds ar kvadrātu otra kāja, kas vienādsānu trīsstūrī ir augstums. Meklējot no starpības un zinot taisnleņķa trijstūra augstumu, mēs varam sniegt atbildi uz mums izvirzīto uzdevumu.

Jums vienkārši jāreizina augstums ar pamatni un jāsadala rezultāts uz pusi. Kāpēc tas būtu jādara, mēs paskaidrojām pirmajā pierādījuma versijā.

Gadās, ka jums ir jāveic aprēķini sānos un leņķī. Tad mēs atrodam augstumu un pamatni, izmantojot formulu ar sinusiem un kosinusiem, un atkal tos reiziniet un rezultātu sadaliet uz pusēm.