Studijas
Kādā ģeometrijā krustojas paralēlas līnijas? Lobačevska ģeometrijas aksiomatika Lobačevska ģeometrijas apgalvojums

Kādā ģeometrijā krustojas paralēlas līnijas? Lobačevska ģeometrijas aksiomatika Lobačevska ģeometrijas apgalvojums

Lobačevska lidmašīna

Lobačevska ģeometrija (hiperboliskā ģeometrija klausieties)) ir viena no ne-Eiklīda ģeometrijām, ģeometriskā teorija, kuras pamatā ir tās pašas pamatprincipi kā parastā Eiklīda ģeometrija, izņemot paralēlo aksiomu, kas tiek aizstāta ar Lobačevska paralēlo aksiomu.

Eiklīda paralēlu aksioma saka:

caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, ir tikai viena taisne, kas atrodas ar doto taisni vienā plaknē un ar to nekrustojas.

Lobačevska ģeometrijā tā vietā tiek pieņemta šāda aksioma:

caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iziet vismaz divas taisnes, kas atrodas ar doto taisni vienā plaknē un nekrustojas ar to.

Lobačevska ģeometrijai ir plaši pielietojumi gan matemātikā, gan fizikā. Tās vēsturiskā nozīme slēpjas apstāklī, ka ar savu uzbūvi Lobačevskis parādīja no Eiklīda ģeometrijas iespējamību, kas iezīmēja jaunu laikmetu ģeometrijas un matemātikas attīstībā kopumā.

Stāsts

Mēģinājumi pierādīt piekto postulātu

Lobačevska ģeometrijas sākumpunkts bija Eiklida piektais postulāts, aksioma, kas līdzvērtīga paralēlajai aksiomai. Tas tika iekļauts Eiklida elementu postulātu sarakstā). Tā formulējuma relatīvā sarežģītība un neintuitivitāte izraisīja tā sekundārā rakstura sajūtu un radīja mēģinājumus to iegūt no pārējiem Eiklida postulātiem.

Starp tiem, kas mēģināja pierādīt, bija šādi zinātnieki:

senie grieķu matemātiķi Ptolemajs (II gs.), Prokls (V gadsimts) (pamatojoties uz pieņēmumu, ka attālums starp diviem paralēliem ir ierobežots),
Ibn al-Haitham no Irākas (gadsimtu beigās) (pamatojoties uz pieņēmumu, ka kustības beigas, kas ir perpendikulāras taisnei, apraksta taisni),
Irānas matemātiķi Omar Khayyam (2. puse - 12. gadsimta sākums) un Nasir ad-Din at-Tusi (XIII gadsimts) (pamatojoties uz pieņēmumu, ka divas saplūstošas līnijas nevar turpināt novirzīties bez krustošanās),
Vācu matemātiķis Klāvijs (),
Itāļu matemātiķi
- Cataldi (pirmo reizi 1603. gadā viņš publicēja darbu, kas pilnībā bija veltīts jautājumam par paralēlēm),
Angļu matemātiķis Voliss ( , publicēts ) (pamatojoties uz pieņēmumu, ka katrai figūrai ir tai līdzīgs, bet ne vienāds skaitlis),
Franču matemātiķis Legendre () (pamatojoties uz pieņēmumu, ka caur katru punktu akūtā leņķī var novilkt līniju, kas krusto abas leņķa puses; viņam bija arī citi mēģinājumi pierādīt).

Mēģinot pierādīt piekto postulātu, matemātiķi ieviesa jaunus apgalvojumus, kas viņiem šķita acīmredzamāki.

Ir veikti mēģinājumi izmantot pierādījumus ar pretrunīgumu:

itāļu matemātiķis Sačeri () (formulējis apgalvojumu, kas bija pretrunā ar postulātu, viņš secināja vairākas sekas un, kļūdaini atzīstot dažas no tām par pretrunīgām, uzskatīja postulātu par pierādītu),
Vācu matemātiķis Lamberts (par, publicēts gadā) (pēc pētījumu veikšanas viņš atzina, ka nevar atrast pretrunas viņa uzbūvētajā sistēmā).

Beidzot sāka rasties izpratne, ka ir iespējams izveidot teoriju, pamatojoties uz pretēju postulātu:

Vācu matemātiķi F. Šveikarts () un Taurīns () (tomēr viņi neapzinājās, ka šāda teorija būtu tikpat loģiski sakarīga).

Ne-eiklīda ģeometrijas izveide

Lobačevskis savā darbā "Par ģeometrijas principiem" (), savā pirmajā drukātajā darbā par ne-eiklīda ģeometriju, skaidri norādīja, ka V postulātu nevar pierādīt, pamatojoties uz citām Eiklīda ģeometrijas premisām, un ka pieņēmums par postulātu. Pretēji Eiklida postulātam ļauj konstruēt tikpat jēgpilnu ģeometriju kā Eiklīda un brīvu no pretrunām.

Vienlaicīgi un neatkarīgi pie līdzīgiem secinājumiem nonāca Janos Bolyai, un Karls Frīdrihs Gauss nonāca pie šādiem secinājumiem vēl agrāk. Taču Boļaja raksti nepiesaistīja uzmanību, un viņš šo tēmu drīz vien pameta, kamēr Gauss no publicēšanas atturējās vispār, un par viņa uzskatiem var spriest tikai pēc dažām vēstulēm un dienasgrāmatas ierakstiem. Piemēram, 1846. gada vēstulē astronomam G. H. Šūmaheram Gauss par Lobačevska darbiem runā šādi:

Šis darbs satur ģeometrijas pamatus, kam būtu jānotiek, un turklāt tas veidotu stingri konsekventu veselumu, ja Eiklīda ģeometrija nebūtu patiesa... Lobačevskis to sauc par "iedomātu ģeometriju"; Jūs zināt, ka 54 gadus (kopš 1792. gada) esmu vienojies ar tiem pašiem uzskatiem ar dažiem viņu attīstības virzieniem, kurus es nevēlos šeit pieminēt; līdz ar to es Lobačevska darbā neatradu neko reāli jaunu sev. Bet priekšmeta attīstībā autors negāja to ceļu, pa kuru es pats gāju; to meistarīgi dara Lobačevskis patiesi ģeometriskā garā. Uzskatu sevi par pienākumu pievērst jūsu uzmanību šim darbam, kas jums noteikti sagādās neparastu prieku.

Rezultātā Lobačevskis darbojās kā pirmais spilgtākais un konsekventākais šīs teorijas propagandists.

Lai gan Lobačevska ģeometrija attīstījās kā spekulatīva teorija un pats Lobačevskis to nosauca par "iedomātu ģeometriju", tomēr tieši Lobačevskis to uzskatīja nevis par prāta spēli, bet gan par iespējamu telpisko attiecību teoriju. Taču tās konsekvences pierādījums tika sniegts vēlāk, kad tika norādītas tās interpretācijas, un līdz ar to pilnībā tika atrisināts jautājums par tās patieso nozīmi, loģisko konsekvenci.

Lobačevska ģeometrijas paziņojums

stūris ir vēl grūtāks.

Puankarē modelis

Lobačevska ģeometrijas saturs

Paralēlu līniju zīmulis Lobačevska ģeometrijā

Lobačevskis izveidoja savu ģeometriju, sākot no ģeometriskiem pamatjēdzieniem un aksiomām, un pierādīja teorēmas ar ģeometrisko metodi, līdzīgi kā tas tiek darīts Eiklida ģeometrijā. Par pamatu kalpoja paralēlo līniju teorija, jo tieši šeit sākas atšķirība starp Lobačevska ģeometriju un Eiklida ģeometriju. Visas teorēmas, kas nav atkarīgas no paralēlu aksiomas, ir kopīgas abām ģeometrijām un veido tā saukto absolūto ģeometriju, kas ietver, piemēram, teorēmas par trijstūra vienādību. Sekojot paralēlu teorijai, tika uzbūvētas citas sadaļas, tostarp trigonometrija un analītiskās un diferenciālās ģeometrijas principi.

Iesniegsim (mūsdienu apzīmējumā) vairākus Lobačevska ģeometrijas faktus, kas to atšķir no Eiklida ģeometrijas un ko noteica pats Lobačevskis.

Caur punktu P neguļ uz dotās līnijas. R(skat. attēlu), ir bezgala daudz taisnu līniju, kas nekrustojas R un atrodas ar to vienā plaknē; starp tiem ir divi galēji x, y, ko sauc par paralēlām līnijām R Lobačevska izpratnē. Kleina (Puankāra) modeļos tos attēlo akordi (loku loki), kuriem ir horda (loka) R kopīgs gals (kas pēc modeļa definīcijas ir izslēgts, tāpēc šīm līnijām nav kopīgu punktu).

Leņķis starp perpendikuliem PB no P uz R un katrs no paralēlajiem (saukts paralēlisma leņķis), jo punkts tiek noņemts P samazinās no taisnes no 90° līdz 0° (Puankarē modelī leņķi parastajā izpratnē sakrīt ar leņķiem Lobačevska izpratnē, un tāpēc šo faktu var redzēt tieši uz tā). Paralēli x no vienas puses (un y pretēji) asimptotiski tuvojas a, un no otras puses, tas bezgalīgi attālinās no tā (modeļos attālumus ir grūti noteikt, un tāpēc šis fakts nav tieši redzams).

Punktam, kas atrodas attālumā no noteiktas taisnes PB = a(skat. attēlu), Lobačevskis sniedza paralēlisma leņķa formulu P(a) :

Šeit q ir kāda konstante, kas saistīta ar Lobačevska telpas izliekumu. Tas var kalpot kā absolūta garuma vienība tāpat kā sfēriskajā ģeometrijā sfēras rādiuss ieņem īpašu pozīciju.

Ja līnijām ir kopīgs perpendikuls, tad tās bezgalīgi atšķiras abās tā pusēs. Jebkuram no tiem ir iespējams atjaunot perpendikulus, kas nesasniedz otru līniju.

Lobačevska ģeometrijā nav līdzīgu, bet nevienādu trijstūri; trijstūri ir kongruenti, ja to leņķi ir vienādi.

Jebkura trīsstūra leņķu summa ir mazāka par π un var būt patvaļīgi tuvu nullei. Tas ir tieši redzams Puankarē modelī. Atšķirība δ \u003d π - (α + β + γ) , kur α , β , γ ir trijstūra leņķi, ir proporcionāla tā laukumam:

No formulas var redzēt, ka ir maksimālais trīsstūra laukums, un tas ir galīgs skaitlis: π q 2 .

Vienādu attālumu līnija no taisnes nav taisne, bet gan īpaša līkne, ko sauc par vienādu attālumu vai hipercikls.

Bezgalīgi pieaugoša rādiusa apļu robeža nav taisna līnija, bet gan īpaša līkne, ko sauc ierobežojuma aplis, vai horocikls.

Bezgalīgi pieaugoša rādiusa sfēru robeža ir nevis plakne, bet īpaša virsma - robežsfēra jeb horosfēra; Zīmīgi, ka uz to attiecas Eiklīda ģeometrija. Tas kalpoja Lobačevskim par pamatu trigonometrijas formulu atvasināšanai.

Apkārtmērs nav proporcionāls rādiusam, bet aug ātrāk. Jo īpaši Lobačevska ģeometrijā skaitli π nevar definēt kā apļa apkārtmēra attiecību pret tā diametru.

Jo mazāks ir apgabals telpā vai Lobačevska plaknē, jo mazāk ģeometriskās attiecības šajā reģionā atšķiras no Eiklīda ģeometrijas attiecībām. Var teikt, ka bezgalīgi mazā apgabalā notiek Eiklīda ģeometrija. Piemēram, jo mazāks ir trīsstūris, jo mazāk tā leņķu summa atšķiras no π; jo mazāks ir aplis, jo mazāka tā garuma attiecība pret rādiusu atšķiras no 2π utt. Laukuma samazināšana formāli ir līdzvērtīga vienības garuma palielināšanai, tāpēc, bezgalīgi palielinot vienības garumu, Lobačevska ģeometrijas formulas pārvēršas formulās Eiklīda ģeometrija. Eiklīda ģeometrija šajā ziņā ir Lobačevska ģeometrijas "ierobežojošais" gadījums.

Lietojumprogrammas

Pats Lobačevskis savu ģeometriju pielietoja noteiktu integrāļu aprēķināšanai.
Sarežģīta mainīgā funkciju teorijā Lobačevska ģeometrija palīdzēja izveidot automorfo funkciju teoriju. Saikne ar Lobačevska ģeometriju šeit bija Puankarē pētījumu sākumpunkts, kurš rakstīja, ka "ne-eiklīda ģeometrija ir visas problēmas risināšanas atslēga".
Lobačevska ģeometrija atrod pielietojumu arī skaitļu teorijā, tās ģeometriskajās metodēs, kas apvienota ar nosaukumu "skaitļu ģeometrija".
Tika izveidota cieša saikne starp Lobačevska ģeometriju un speciālās (privātās) relativitātes teorijas kinemātiku. Šis savienojums ir balstīts uz to, ka vienādība izsaka gaismas izplatīšanās likumu

dalot ar t 2 , t.i., gaismas ātrumam, dod

- sfēras vienādojums telpā ar koordinātām v x , v y , v z- ātruma komponentes gar asīm X, plkst, z("ātruma telpā"). Lorenca transformācijas saglabā šo sfēru un, tā kā tās ir lineāras, pārveido tiešās ātruma telpas taisnās līnijās. Tāpēc saskaņā ar Kleina modeli ātrumu telpā rādiusa sfēras iekšpusē Ar, tas ir, ātrumiem, kas ir mazāki par gaismas ātrumu, notiek Lobačevska ģeometrija.

Lobačevska ģeometrija atrada ievērojamu pielietojumu vispārējā relativitātes teorijā. Ja mēs uzskatām, ka vielas masu sadalījums Visumā ir vienmērīgs (šī tuvināšana ir pieņemama kosmiskā mērogā), tad izrādās, ka noteiktos apstākļos telpai ir Lobačevska ģeometrija. Tādējādi Lobačevska pieņēmums par viņa ģeometriju kā iespējamu reālās telpas teoriju bija pamatots.
Izmantojot Kleina modeli, tiek sniegts ļoti vienkāršs un īss pierādījums

Lobačevska ģeometrija

Ievads

I nodaļa. Neeiklīda ģeometrijas rašanās vēsture

II nodaļa. Lobačevska ģeometrija

2.1. Pamatjēdzieni

2.2. Lobačevska ģeometrijas konsekvence

2.3. Lobačevska ģeometrijas modeļi

2.4 Trijstūra un daudzstūra defekts

2.5. Absolūtā garuma vienība Lobačevska ģeometrijā

2.6. Paralēlas taisnes definīcija. Funkcija P(x)

2.7 Poincare modelis

Praktiskā daļa

1. Trijstūra leņķu summa

2. Jautājums par šādu figūru esamību

3. Paralelisma galvenā īpašība

4. Funkcijas P(x) īpašības

Secinājums. secinājumus

Lietojumprogrammas

Izmantotās literatūras saraksts

Ievads

Šis darbs parāda abu ģeometriju līdzības un atšķirības uz viena Eiklida postulāta pierādījuma piemēra un šo jēdzienu turpinājuma Lobačevska ģeometrijā, ņemot vērā tā laika zinātnes sasniegumus.

Jebkura mūsdienu zinātnes teorija tiek uzskatīta par pareizu, līdz tiek izveidota nākamā. Tā ir sava veida zinātnes attīstības aksioma. Šis fakts ir vairākkārt apstiprināts.

Ņūtona fizika izauga par relatīvistisko, bet tā - par kvantu. Flogistona teorija kļuva par ķīmiju. Tāds ir visu zinātņu liktenis. Šis liktenis neapgāja ģeometriju. Tradicionālā Eiklida ģeometrija ir pāraugusi ģeometrijā. Lobačevskis. Šis darbs ir veltīts šai zinātnes nozarei.

Šī darba mērķis: apsvērt atšķirību starp Lobačevska ģeometriju un Eiklida ģeometriju.

Šī darba mērķi: salīdzināt Eiklida ģeometrijas teorēmas ar līdzīgām Lobačevska ģeometrijas teorēmām;

risinot uzdevumus, atvasināt Lobačevska ģeometrijas pozīcijas.

Secinājumi: 1. Lobačevska ģeometrija ir balstīta uz piektā Eiklida postulāta noraidīšanu.

2. Lobačevska ģeometrijā:

nav līdzīgu trīsstūru, kas nebūtu vienādi;

divi trijstūri ir vienādi, ja to leņķi ir vienādi;

trijstūra leņķu summa nav vienāda ar 180 0, bet mazāka (trijstūra leņķu summa ir atkarīga no tā lieluma: jo lielāks laukums, jo vairāk summa atšķiras no 180 0; un otrādi, mazāks laukums, jo tuvāk tā leņķu summa 180 0);

caur punktu ārpus taisnes var novilkt vairāk nekā vienu taisni, kas ir paralēla dotajai taisnei.

1. nodaļa. Neeiklīda ģeometrijas rašanās vēsture

1,1 V Eiklida postulāts, mēģinājumi to pierādīt

Eiklīds ir pirmās stingrās loģiskās ģeometrijas konstrukcijas autors, kas ir nonākusi pie mums. Viņa ekspozīcija ir tik perfekta savam laikam, ka divus tūkstošus gadu no viņa darba "Elementi" parādīšanās brīža tā bija vienīgā ceļvedis ģeometrijas studentiem.

"Sākums" sastāv no 13 grāmatām, kas veltītas ģeometrijai un aritmētikai ģeometriskā prezentācijā.

Katra Elementu grāmata sākas ar pirmo reizi sastopamo jēdzienu definīciju. Sekojot definīcijām, Eiklīds dod postulātus un aksiomas, tas ir, apgalvojumus, kas pieņemti bez pierādījumiem.

Eiklida postulāts V saka: un ka ikreiz, kad līnija krustojas ar divām citām taisnēm, tā veido ar tām vienpusējus iekšējos leņķus, kuru summa ir mazāka par divām taisnēm, šīs līnijas krustojas tajā pusē, kurā šī summa ir mazāka par divas rindas.

Svarīgākais Eiklīda aksiomu sistēmas trūkums, ieskaitot tās postulātus, ir tās nepilnīgums, tas ir, to nepietiekamība stingri loģiskai ģeometrijas konstrukcijai, kurā katrs teikums, ja tas neparādās aksiomu sarakstā, ir loģiski secināts no viņu pēdējiem. Tāpēc Eiklīds, pierādot teorēmas, ne vienmēr balstījās uz aksiomām, bet gan ķērās pie intuīcijas, vizualizācijas un "sensorās" uztveres. Piemēram, jēdzienam "starp" viņš piedēvēja tīri vizuālu raksturu; viņš klusējot pieņēma, ka taisnei, kas iet cauri apļa iekšējam punktam, tas noteikti jāšķērso divās nūjās. Tajā pašā laikā viņš balstījās tikai uz redzamību, nevis uz loģiku; viņš nekur nesniedza pierādījumu šim faktam un nevarēja to sniegt, jo viņam trūka nepārtrauktības aksiomu. Viņam trūkst arī dažu citu aksiomu, bez kurām strikti loģisks teorēmu pierādījums nav iespējams.

Taču neviens nešaubījās par Eiklida postulātu patiesumu attiecībā uz piekto postulātu. Tikmēr jau senatnē tieši paralēļu postulāts piesaistīja īpašu vairāku ģeometru uzmanību, kuri uzskatīja par pretdabisku tā ievietošanu starp postulātiem. Iespējams, tas bija saistīts ar V postulāta relatīvi mazāko acīmredzamību un redzamību: netieši tas pieņem jebkuru, patvaļīgi attālu plaknes daļu sasniedzamību, izsakot īpašību, kas atrodama tikai ar bezgalīgu taisnu līniju pagarinājumu.

Pats Eiklīds un daudzi zinātnieki mēģināja pierādīt paralēlu postulātu. Daži mēģināja pierādīt paralēlu postulātu, izmantojot tikai citus postulātus un tās teorēmas, kuras var izsecināt no pēdējiem, neizmantojot pašu V postulātu. Visi šādi mēģinājumi bija nesekmīgi. Viņu kopīgais trūkums ir tāds, ka pierādījumā netieši tika izmantots kāds pieņēmums, kas ir līdzvērtīgs pierādītajam postulātam. Citi ieteica no jauna definēt paralēlās līnijas vai aizstāt V postulātu ar kaut ko, kas, viņuprāt, bija acīmredzamāks.

Bet gadsimtiem ilgi mēģinājumi pierādīt piekto Eiklida postulātu galu galā noveda pie jaunas ģeometrijas rašanās, kas atšķiras ar to, ka piektais postulāts tajā nav izpildīts. Šo ģeometriju tagad sauc par ne-eiklīdu, un Krievijā tā nes Lobačevska vārdu, kurš pirmo reizi publicēja darbu ar tā prezentāciju.

Un viens no N.I.Lobačevska (1792-1856) ģeometrisko atklājumu priekšnosacījumiem bija tieši viņa materiālistiskā pieeja izziņas problēmām. Lobačevskis, viņš bija stingri pārliecināts par materiālās pasaules objektīvo eksistenci un tās zināšanu iespējamību neatkarīgi no cilvēka apziņas. Savā runā “Par svarīgākajiem izglītības priekšmetiem” (Kazaņa, 1828) Lobačevskis līdzjūtīgi citē F. Bēkona vārdus: “atstāj viņus velti mocīties, cenšoties no viņiem vien izvilkt visu gudrību; jautājiet dabai, viņa patur visas patiesības un atbildēs uz visiem jūsu jautājumiem bez kļūmēm un apmierinoši. Savā esejā “Par ģeometrijas principiem”, kas ir pirmā viņa atklātās ģeometrijas publikācija, Lobačevskis rakstīja: “Pirmajiem jēdzieniem, no kuriem sākas jebkura zinātne, jābūt skaidriem un samazinātiem līdz mazākajam skaitlim. Tikai tad tie var kalpot par stingru un pietiekamu pamatu doktrīnai. Šādus jēdzienus iegūst sajūtas; iedzimts - nevajadzētu ticēt.

Pirmie Lobačevska mēģinājumi pierādīt piekto postulātu ir datēti ar 1823. gadu. Līdz 1826. gadam viņš nonāca pie secinājuma, ka piektais postulāts nav atkarīgs no pārējām Eiklida ģeometrijas aksiomām, un 1826. gada 11. (23.) februārī Kazaņas Universitātes fakultātes sanāksmē sniedza ziņojumu “ Ģeometrijas principu kodolīgs izklāsts ar stingru paralēlās teorēmas pierādījumu, kurā tika ieskicēti viņa atklātās “iedomātās ģeometrijas”, kā viņš sauca par sistēmu, aizsākumi, kas vēlāk kļuva pazīstama kā ne-eiklida ģeometrija. . 1826. gada ziņojums tika iekļauts pirmajā Lobačevska publikācijā par ne-eiklida ģeometriju - rakstā "Par ģeometrijas principiem", kas publicēts Kazaņas universitātes žurnālā "Kazaņas Vestņik" 1829.-1830. viņa atklātās ģeometrijas tālāka attīstība un pielietojumi bija veltīti memuāriem "Iedomātā ģeometrija", "Iedomātās ģeometrijas pielietošana dažiem integrāļiem" un "Jauni ģeometrijas sākumi ar pilnīgu paralēlu teoriju", kas publicēti "Zinātniskās piezīmēs" attiecīgi 1835., 1836. un 1835.-1838. Pārskatīts "Iedomātās ģeometrijas" teksts parādījās franču tulkojumā Berlīnē, turpat 1840. gadā. tika izdotas kā atsevišķa Lobačevska grāmata vācu valodā "Ģeometriskie pētījumi par paralēlo līniju teoriju". Visbeidzot, 1855. un 1856. gadā. viņš izdeva Kazaņā krievu un franču valodā "Pangeometry". Viņš augstu novērtēja Gausa "Ģeometriskos pētījumus", kas Lobačevski (1842) padarīja par korespondentu Getingenes Zinātniskās biedrības locekli, kas pēc būtības bija Hannoveres karalistes Zinātņu akadēmija. Tomēr Gauss nepublicēja jaunās ģeometriskās sistēmas novērtējumu.

1.2. Eiklida un Lobačevska paralēlisma postulāti

Galvenais punkts, no kura sākas ģeometrijas dalīšana parastajā eiklīda (parastajā) un ne-eiklidaiskajā (iedomātajā ģeometrijā jeb "pangeometrijā"), kā zināms, ir paralēlo līniju postulāts.

Parastā ģeometrija balstās uz pieņēmumu, ka caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, plaknē, ko nosaka šis punkts un taisne, var novilkt ne vairāk kā vienu taisni, kas nešķērso doto taisni. Tas, ka caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet vismaz viena taisne, kas nekrustojas ar šo taisni, attiecas uz "absolūto ģeometriju", t.i. var pierādīt bez paralēlo līniju postulāta palīdzības.

Taisne BB, kas iet caur P taisnā leņķī pret AA 1 nomesto perpendikulu PQ, nešķērso taisni AA 1 ; šo līniju Eiklīda ģeometrijā sauc par paralēli AA 1 .

Atšķirībā no Eiklida postulāta, Lobačevskis par pamatu paralēlo līniju teorijas konstruēšanai izmanto šādu aksiomu:

Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, plaknē, ko nosaka šis punkts un taisne, var novilkt vairāk nekā vienu taisni, kas nekrustojas ar doto taisni.

Tas tieši nozīmē, ka pastāv bezgalīgs skaits līniju, kas iet caur vienu un to pašu punktu un nekrustojas ar doto līniju. Lai līnija СС 1 nekrustojas ar AA 1; tad visas taisnes, kas iet iekšā abos vertikālajos leņķos VRS un B 1 PC 1, arī nekrustojas ar taisni AA 1 .

2. nodaļa. Lobačevska ģeometrija.

2.1. Pamatjēdzieni

Savos memuāros Par ģeometrijas principiem (1829) Lobačevskis vispirms atkārtoja savu 1826. gada ziņojumu.

Lobačevska ģeometrija

(1) Eiklīda ģeometrija; (2) Rīmaņa ģeometrija; (3) Lobačevska ģeometrija

Eiklīda aksioma par paralēlēm (precīzāk, viens no tās ekvivalentiem apgalvojumiem) saka:

Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet ne vairāk kā viena taisne, kas atrodas ar doto taisni vienā plaknē un ar to nekrustojas.

Lobačevska ģeometrijā tā vietā tiek pieņemta šāda aksioma:

Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iziet vismaz divas taisnes, kas atrodas ar doto taisni vienā plaknē un nekrustojas ar to.

Plaši izplatīts ir nepareizs uzskats, ka paralēlas līnijas krustojas Lobačevska ģeometrijā. Lobačevska ģeometrijai ir plaši pielietojumi gan matemātikā, gan fizikā. Tās vēsturiskā un filozofiskā nozīme slēpjas apstāklī, ka ar savu uzbūvi Lobačevskis parādīja no eiklīda ģeometrijas iespējamību, kas iezīmēja jaunu laikmetu ģeometrijas, matemātikas un zinātnes attīstībā kopumā.

Stāsts

Mēģinājumi pierādīt piekto postulātu

Lobačevska ģeometrijas sākumpunkts bija Eiklida piektais postulāts, aksioma, kas līdzvērtīga paralēlajai aksiomai. Tas bija Eiklida elementu postulātu sarakstā. Tā formulējuma relatīvā sarežģītība un neintuitivitāte izraisīja tā sekundārā rakstura sajūtu un radīja mēģinājumus iegūt to kā teorēmu no pārējiem Eiklida postulātiem.

Starp daudziem, kas mēģināja pierādīt piekto postulātu, bija īpaši šādi ievērojami zinātnieki.

Šajos mēģinājumos pierādīt piekto postulātu matemātiķi (tieši vai netieši) ieviesa jaunu apgalvojumu, kas viņiem šķita acīmredzamāks.

Ir veikti mēģinājumi izmantot pierādījumus ar pretrunīgumu:

itāļu matemātiķis Sačeri () (formulējis apgalvojumu, kas bija pretrunā ar postulātu, viņš secināja vairākas sekas un, kļūdaini atzīstot dažas no tām par pretrunīgām, uzskatīja postulātu par pierādītu),
Vācu matemātiķis Lamberts (par, publicēts gadā) (pēc pētījumu veikšanas viņš atzina, ka nevar atrast pretrunas viņa uzbūvētajā sistēmā).

Beidzot sāka rasties izpratne, ka ir iespējams izveidot teoriju, pamatojoties uz pretēju postulātu:

Vācu matemātiķi Šveikarts () un Taurīns () (tomēr viņi neapzinājās, ka šāda teorija būtu loģiski tikpat sakarīga).

Ne-eiklīda ģeometrijas izveide

Šis darbs satur ģeometrijas pamatus, kam būtu jānotiek, un turklāt tas veidotu stingri konsekventu veselumu, ja Eiklīda ģeometrija nebūtu patiesa... Lobačevskis to sauc par "iedomātu ģeometriju"; Jūs zināt, ka 54 gadus (kopš 1792. gada) esmu vienojies ar tiem pašiem uzskatiem ar dažiem viņu attīstības virzieniem, kurus es nevēlos šeit pieminēt; līdz ar to es Lobačevska darbā neatradu neko reāli jaunu sev. Bet priekšmeta attīstībā autors negāja to ceļu, pa kuru es pats gāju; to meistarīgi dara Lobačevskis patiesi ģeometriskā garā. Uzskatu sevi par pienākumu pievērst jūsu uzmanību šim darbam, kas jums noteikti sagādās neparastu prieku.

Rezultātā Lobačevskis darbojās kā pirmais spilgtākais un konsekventākais jaunās ģeometrijas propagandists. Lai gan Lobačevska ģeometrija attīstījās kā spekulatīva teorija, un pats Lobačevskis to nosauca par "iedomātu ģeometriju", tomēr tieši viņš pirmais to atklāti ierosināja nevis kā prāta spēli, bet gan kā iespējamu un noderīgu telpisko attiecību teoriju. Taču tās konsekvences pierādījums tika sniegts vēlāk, kad tika norādītas tās interpretācijas (modeļi).

Lobačevska ģeometrijas paziņojums

Puankarē modelis

Lobačevska ģeometrijas saturs

Lobačevskis izveidoja savu ģeometriju, sākot no ģeometriskiem pamatjēdzieniem un aksiomām, un pierādīja teorēmas ar ģeometrisko metodi, līdzīgi kā tas tiek darīts Eiklida ģeometrijā. Par pamatu kalpoja paralēlo līniju teorija, jo tieši šeit sākas atšķirība starp Lobačevska ģeometriju un Eiklida ģeometriju. Visas teorēmas, kas nav atkarīgas no paralēlās aksiomas, ir kopīgas abām ģeometrijām; tie veido tā saukto absolūto ģeometriju, pie kuras pieder, piemēram, teorēmas par trīsstūru vienādību. Sekojot paralēlu teorijai, tika uzbūvētas citas sadaļas, tostarp trigonometrija un analītiskās un diferenciālās ģeometrijas principi.

Iesniegsim (mūsdienu apzīmējumā) vairākus Lobačevska ģeometrijas faktus, kas to atšķir no Eiklida ģeometrijas un ko noteica pats Lobačevskis.

Punktam, kas atrodas attālumā no noteiktas taisnes PB = a(skat. attēlu), Lobačevskis sniedza paralēlisma leņķa formulu P(a) :

Šeit q ir kāda konstante, kas saistīta ar Lobačevska telpas izliekumu. Tas var kalpot kā absolūta garuma vienība tāpat kā sfēriskajā ģeometrijā sfēras rādiuss ieņem īpašu pozīciju.

Ja līnijām ir kopīgs perpendikuls, tad tās bezgalīgi atšķiras abās tā pusēs. Jebkuram no tiem ir iespējams atjaunot perpendikulus, kas nesasniedz otru līniju.

Lobačevska ģeometrijā nav līdzīgu, bet nevienādu trijstūri; trijstūri ir kongruenti, ja to leņķi ir vienādi.

Jebkura trīsstūra leņķu summa ir mazāka un var būt patvaļīgi tuvu nullei. Tas ir tieši redzams Puankarē modelī. Atšķirība , kur , , ir trijstūra leņķi, ir proporcionāla tā laukumam:

No formulas var redzēt, ka ir maksimālais trīsstūra laukums, un tas ir ierobežots skaitlis: .

Vienādu attālumu līnija no taisnes nav taisne, bet gan īpaša līkne, ko sauc par vienādu attālumu vai hipercikls.

Bezgalīgi pieaugoša rādiusa apļu robeža nav taisna līnija, bet gan īpaša līkne, ko sauc ierobežojuma aplis, vai horocikls.

Apkārtmērs nav proporcionāls rādiusam, bet aug ātrāk. Jo īpaši Lobačevska ģeometrijā skaitli nevar definēt kā apļa apkārtmēra attiecību pret tā diametru.

Jo mazāks ir apgabals telpā vai Lobačevska plaknē, jo mazāk ģeometriskās attiecības šajā reģionā atšķiras no Eiklīda ģeometrijas attiecībām. Var teikt, ka bezgalīgi mazā apgabalā notiek Eiklīda ģeometrija. Piemēram, jo mazāks ir trīsstūris, jo mazāk tā leņķu summa atšķiras no ; jo mazāks ir aplis, jo mazāka tā garuma attiecība pret rādiusu atšķiras no utt. Laukuma samazinājums formāli ir līdzvērtīgs garuma vienības palielinājumam, tāpēc, bezgalīgi palielinoties garuma vienībai, Lobačevskis ģeometrijas formulas pāriet Eiklīda ģeometrijas formulās. Eiklīda ģeometrija šajā ziņā ir Lobačevska ģeometrijas "ierobežojošais" gadījums.

Plaknes un telpas piepildīšana ar regulāriem politopiem

Lobačevska plaknes teselācija ar regulāriem trijstūriem ((3;7))

Lobačevska plakni var flīzēt ne tikai ar regulāriem trijstūriem, kvadrātiem un sešstūriem, bet arī ar jebkuriem citiem regulāriem daudzstūriem. Tajā pašā laikā vienā parketa virsotnē jāsaplūst vismaz 7 trijstūriem, 5 kvadrātiem, 4 piecstūriem un sešstūriem un 3 daudzstūriem ar vairāk nekā 6 malām. Katrai flīzēšanai (M N stūri saplūst vienā virsotnē) ir nepieciešams stingri noteikts izmērs vienības N-gon , jo īpaši tās laukumam jābūt vienādam ar:

Lobačevska telpas piepildīšana ar regulāriem dodekaedriem ((5,3,4))

Atšķirībā no parastās telpas, ko var aizpildīt ar regulāriem daudzskaldņiem tikai vienā veidā (8 kubi uz vienu virsotni), Lobačevska trīsdimensiju telpu var aizpildīt ar regulāriem daudzskaldņiem četros veidos:

(3,5,3) (12 ikosaedri vienā virsotnē)
(4, 3, 5) (20 kubi vienā augšpusē)
(5,3,4) (8 dodekaedri vienā virsotnē)
(3,5,3) (20 dodekaedri vienā virsotnē)

Turklāt ir 11 veidi, kā aizpildīt Lobačevska telpu ar regulārām mozaīkas horosfērām.

Lietojumprogrammas

Pats Lobačevskis savu ģeometriju pielietoja noteiktu integrāļu aprēķināšanai.
Sarežģīta mainīgā funkciju teorijā Lobačevska ģeometrija palīdzēja izveidot automorfo funkciju teoriju. Saikne ar Lobačevska ģeometriju šeit bija Puankarē pētījumu sākumpunkts, kurš rakstīja, ka "ne-eiklīda ģeometrija ir visas problēmas risināšanas atslēga".
Lobačevska ģeometrija atrod pielietojumu arī skaitļu teorijā, tās ģeometriskajās metodēs, kas apvienota ar nosaukumu "skaitļu ģeometrija".
Tika izveidota cieša saikne starp Lobačevska ģeometriju un speciālās (privātās) relativitātes teorijas kinemātiku. Šis savienojums ir balstīts uz to, ka vienādība izsaka gaismas izplatīšanās likumu

dalot ar , tas ir, gaismas ātrumam, iegūst - sfēras vienādojumu telpā ar koordinātām , , - ātruma sastāvdaļas pa asīm X, plkst, z("ātruma telpā"). Lorenca transformācijas saglabā šo sfēru un, tā kā tās ir lineāras, pārveido tiešās ātruma telpas taisnās līnijās. Tāpēc saskaņā ar Kleina modeli ātrumu telpā rādiusa sfēras iekšpusē Ar, tas ir, ātrumiem, kas ir mazāki par gaismas ātrumu, notiek Lobačevska ģeometrija.

Lobačevska ģeometrija atrada ievērojamu pielietojumu vispārējā relativitātes teorijā. Ja mēs uzskatām, ka vielas masu sadalījums Visumā ir vienmērīgs (šī tuvināšana ir pieņemama kosmiskā mērogā), tad izrādās, ka noteiktos apstākļos telpai ir Lobačevska ģeometrija. Tādējādi Lobačevska pieņēmums par viņa ģeometriju kā iespējamu reālās telpas teoriju bija pamatots.
Izmantojot Kleina modeli, dots ļoti vienkāršs un īss tauriņa teorēmas pierādījums Eiklīda ģeometrijā.

Skatīt arī

Piezīmes

Dibinātāju darbi

N. I. Lobačevskis"Ģeometriskie pētījumi par paralēlo līniju teoriju". - 1941. gads.
Par ģeometrijas pamatiem. Klasisko darbu kolekcija par Lobačevska ģeometriju un tās ideju attīstību. Maskava: Gostekhizdat, 1956.

Literatūra

Aleksandrovs A. D., Netsvetajevs N. Ju.Ģeometrija, - Nauka, Maskava, 1990.
Aleksandrovs P.S. Kas ir ne-eiklīda ģeometrija, - URSS, Maskava, 2007.
Delonē B.N. Elementārs Lobačevska planimetrijas konsekvences pierādījums, Gostekhizdat, Maskava, 1956.
Iovļevs N.N."Ievads elementārajā ģeometrijā un Lobačevska trigonometrijā". - M.-L.: Giz., 1930. - S. 67.
Kleins F."Ne-eiklīda ģeometrija". - M.-L.: ONTI, 1936. - S. 356.
Popovs A. G.

1832. gada 7. februārī Nikolajs Lobačevskis kolēģu spriedumam prezentēja savu pirmo darbu par ne-eiklida ģeometriju. Šī diena bija matemātikas revolūcijas sākums, un Lobačevska darbs bija pirmais solis ceļā uz Einšteina relativitātes teoriju. Šodien "RG" ir apkopojis piecus izplatītākos nepareizos priekšstatus par Lobačevska teoriju, kas pastāv starp cilvēkiem, kas ir tālu no matemātikas zinātnes.

Mīts viens. Lobačevska ģeometrijai nav nekā kopīga ar Eiklīda ģeometriju.

Patiesībā Lobačevska ģeometrija pārāk neatšķiras no Eiklīda ģeometrijas, pie kuras mēs esam pieraduši. Fakts ir tāds, ka no pieciem Eiklida postulātiem Lobačevskis atstāja pirmos četrus bez izmaiņām. Tas ir, viņš piekrīt Eiklidam, ka starp jebkuriem diviem punktiem var novilkt taisnu līniju, ka to vienmēr var pagarināt līdz bezgalībai, ka apli ar jebkuru rādiusu var novilkt no jebkura centra un ka visi taisnie leņķi ir vienādi ar katru. cits. Lobačevskis nepiekrita tikai piektajam, no viņa viedokļa šaubīgākajam, Eiklida postulātam. Viņa formulējums izklausās ārkārtīgi viltīgs, taču, ja to pārtulkojam parastam cilvēkam saprotamā valodā, izrādās, ka, pēc Eiklida domām, divas neparalēlas līnijas noteikti krustosies. Lobačevskim izdevās pierādīt šīs ziņas nepatiesību.

Otrais mīts. Lobačevska teorijā paralēlas taisnes krustojas

Tā nav taisnība. Faktiski piektais Lobačevska postulāts izklausās šādi: "Plaknē caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet vairāk nekā viena taisne, kas nekrustojas ar doto." Citiem vārdiem sakot, vienai taisnei caur vienu punktu ir iespējams novilkt vismaz divas taisnes, kas to nekrustos. Tas ir, šajā Lobačevska postulātā par paralēlām taisnēm vispār nav runas! Mēs runājam tikai par vairāku nekrustojošu līniju esamību vienā plaknē. Tādējādi pieņēmums par paralēlu līniju krustojumu radās lielā krievu matemātiķa teorijas būtības banālās nezināšanas dēļ.

Trešais mīts. Lobačevska ģeometrija ir vienīgā ne-eiklīda ģeometrija

Ne-eiklīda ģeometrijas ir vesels matemātikas teoriju slānis, kur pamatā ir piektais postulāts, kas atšķiras no eiklīda. Lobačevskis, piemēram, atšķirībā no Eiklida, apraksta hiperbolisko telpu. Ir vēl viena teorija, kas apraksta sfērisku telpu - tā ir Rīmaņa ģeometrija. Šeit krustojas paralēlās līnijas. Klasisks piemērs no skolas mācību programmas ir meridiāni uz zemeslodes. Ja paskatās uz zemeslodes modeli, izrādās, ka visi meridiāni ir paralēli. Tikmēr uz sfēras ir vērts uzlikt zīmējumu, jo redzam, ka visi iepriekš paralēlie meridiāni saplūst divos punktos – polios. Eiklida, Lobačevska un Rīmaņa teorijas kopā sauc par "trīs lielām ģeometrijām".

Ceturtais mīts. Lobačevska ģeometrija nav piemērojama reālajā dzīvē

Gluži pretēji, mūsdienu zinātne sāk saprast, ka Eiklīda ģeometrija ir tikai īpašs Lobačevska ģeometrijas gadījums un ka reālo pasauli precīzāk apraksta krievu zinātnieka formulas. Spēcīgākais stimuls tālākai Lobačevska ģeometrijas attīstībai bija Alberta Einšteina relativitātes teorija, kas parādīja, ka pati mūsu Visuma telpa nav lineāra, bet gan ir hiperboliska sfēra. Tikmēr pats Lobačevskis, neskatoties uz to, ka visu mūžu strādāja pie savas teorijas izstrādes, to nosauca par "iedomātu ģeometriju".

Piektais mīts. Lobačevskis bija pirmais, kurš radīja ne-eiklīda ģeometriju

Tā nav gluži taisnība. Paralēli viņam un neatkarīgi no viņa pie līdzīgiem secinājumiem nonāca ungāru matemātiķis Janos Bolyai un slavenais vācu zinātnieks Karls Frīdrihs Gauss. Tomēr plašāka sabiedrība Janosa darbus neievēroja, un Kārlis Gauss deva priekšroku vispār nepublicēt. Tāpēc tieši mūsu zinātnieks tiek uzskatīts par šīs teorijas pionieri. Tomēr ir nedaudz paradoksāls viedoklis, ka pats Eiklīds bija pirmais, kas izgudroja ne-eiklīda ģeometriju. Fakts ir tāds, ka viņš paškritiski uzskatīja, ka viņa piektais postulāts nav acīmredzams, tāpēc viņš pierādīja lielāko daļu savu teorēmu, neizmantojot to.