I. Hiperbolisko funkciju definīcija, pamatīpašības un grafiki. Hiperbolisko funkciju atsauces dati - īpašības, grafiki, formulas Apgrieztās hiperboliskās funkcijas, to īpašības un grafiki


Pieskares, kotangenss

Hiperbolisko funkciju definīcijas, to definīciju un vērtību jomas

sh x- hiperboliskais sinuss
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hiperboliskais kosinuss
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ g< +∞ .
Paldies- hiperboliskais tangenss
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hiperboliskais kotangenss
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Hiperbolisko funkciju grafiki

Hiperboliskā sinusa y = diagramma sh x

Hiperboliskā kosinusa y = diagramma ch x

Hiperboliskās tangences y= diagramma Paldies

Hiperboliskās kotangences y= diagramma cth x

Formulas ar hiperboliskām funkcijām

Saistība ar trigonometriskajām funkcijām

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Šeit i ir iedomāta vienība, i 2 = - 1 .

Piemērojot šīs formulas trigonometriskām funkcijām, mēs iegūstam formulas, kas attiecas uz hiperboliskām funkcijām.

Paritāte

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

Funkcija ch(x)- pat. Funkcijas sh(x), Paldies), cth(x)- dīvaini.

Kvadrātu atšķirība

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Argumentu summas un starpības formulas

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formulas hiperboliskā sinusa un kosinusa reizinājumiem

,
,
,

,
,
.

Hiperbolisko funkciju summas un starpības formulas

,
,
,
,
.

Hiperboliskā sinusa un kosinusa saistība ar tangensu un kotangensu

, ,
, .

Atvasinājumi

,

Integrāļi sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Sēriju paplašināšana

Apgrieztās funkcijas

Areasine

Pie - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakozīns

Plkst 1 ≤ x< ∞ un 0 ≤ g< ∞ ir formulas:
,
.

Areokosīna otrais atzars atrodas plkst 1 ≤ x< ∞ un - ∞< y ≤ 0 :
.

Apgabala tangens

plkst - 1 < x < 1 un - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Citi apzīmējumi: sinh x, Sh x, cosh x, Ch x, tgh x, tanh x, Th x. Grafikus skatīt att. viens.

Pamata attiecības:


Ģeometriskā G. f. līdzīgi kā trigonometrisko funkciju interpretācijā (2. att.). Parametrisks hiperbolas vienādojumi ļauj interpretēt vienādmalu hiperbolas punkta abscisu un ordinātu kā hiperbolu. kosinuss un sinuss; hiperbolisks pieskares segments AB. Parametrs t ir vienāds ar divkāršu sektora laukumu OAM, kur AM- hiperbolas loka. Punktam (at ) parametrs t ir negatīvs. Apgrieztās hiperboliskās funkcijas tiek definēti ar formulām:


G. f. atvasinājumi un pamata integrāļi:


Visā kompleksā mainīgā z plaknē G. f. un to var definēt ar sēriju:


tātad,

Ir plašas tabulas par G. f. Vērtības G. f. var iegūt arī no tabulām par e x un e-x.

Lit.: Yanke E., Emde F., Lesh F., Īpašas funkcijas. Formulas, grafiki, tabulas, 2. izdevums, Per. no vācu val., M., 1968; Apļveida un hiperbolisko sinusu un kosinusu tabulas leņķa starojuma mērī, M., 1958; tabulas e x un e-x, M., 1955. gads. V. I. Bitjutskovs.


Matemātiskā enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. I. M. Vinogradovs. 1977-1985.

Skatiet, kas ir "HIPERBOLISKĀS FUNKCIJAS" citās vārdnīcās:

    Funkcijas, kas definētas ar formulām: (hiperboliskais sinuss), (hiperboliskais kosinuss). Dažreiz tiek ņemta vērā arī hiperboliskā pieskare: G. f.......

    Funkcijas, kas definētas ar formulām: (hiperboliskais sinuss), (hiperboliskais kosinuss), (hiperboliskais tangenss) ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

    Funkcijas, kas definētas ar formulām: shx \u003d (ex e x) / 2 (hinerboliskais sinuss), chx (ex + e k) / 2 (hiperboliskais kosinuss), thx \u003d shx / chx (hiperboliskais tangenss). Grafiki G. f. skatīt bildē...

    Elementāru funkciju saime, kas izteikta eksponenta izteiksmē un ir cieši saistīta ar trigonometriskām funkcijām. Saturs 1 Definīcija 1.1 Ģeometriskā definīcija ... Wikipedia

    Funkcijas, kas definētas ar formulām: shx = (ex - e x)/2 (hiperboliskais sinuss), chx = (ex + e x)/2 (hiperboliskais kosinuss), thx = shx/chx (hiperboliskais tangenss). Hiperbolisko funkciju grafiki, sk. att. * * * HIPERBOLISKĀS FUNKCIJAS… … enciklopēdiskā vārdnīca

    Funkcijas. definēti ar karodziņiem: (hiperboliskais sinuss), (hiperboliskais kosinuss), (ievietojiet attēlus!!!) Hiperbolisko funkciju grafiki ... Lielā enciklopēdiskā politehniskā vārdnīca

    Pēc analoģijas ar trigonometriskajām funkcijām Sinx, cosx, kuras, kā zināms, nosaka, izmantojot Eilera formulas sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (kur e ir Napier logaritmu bāze , a i = √[ viens]); dažreiz tiek ņemts vērā ... ... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons

    Funkcijas, kas apgrieztas hiperboliskajām funkcijām (sk. Hiperboliskās funkcijas) sh x, ch x, th x; tos izsaka ar formulām (lasīt: hiperboliskais aresīns, hiperboliskā laukuma kosinuss, aretangents ... ... Lielā padomju enciklopēdija

    Funkcijas apgriezti hiperboliskai. funkcijas; izteikts formulās... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

    Apgrieztās hiperboliskās funkcijas tiek definētas kā hiperbolisko funkciju apgrieztās funkcijas. Šīs funkcijas nosaka vienības hiperbolas sektora laukumu x2 − y2 = 1 tādā pašā veidā, kā apgrieztās trigonometriskās funkcijas nosaka garumu ... ... Wikipedia

Grāmatas

  • Hiperboliskās funkcijas, Yanpolsky A.R. Grāmatā ir aprakstītas hiperbolisko un apgriezto hiperbolisko funkciju īpašības un sniegta saistība starp tām un citām elementārfunkcijām. Hiperbolisko funkciju pielietojums…

To var uzrakstīt parametriskā formā, izmantojot hiperboliskās funkcijas (tas izskaidro to nosaukumu).

Apzīmē y= b·sht , tad x2 / a2=1+sh2t =ch2t . No kurienes x=± a·cht .

Tādējādi mēs nonākam pie šādiem hiperbolas parametriskajiem vienādojumiem:

Y= sht , –< t < . (6)

Rīsi. viens.

"+" zīme augšējā formulā (6) atbilst hiperbolas labajam zaram, bet ""– "" zīme atbilst kreisajam zaram (sk. 1. att.). Hiperbolas A(– a; 0) un B(a; 0) virsotnes atbilst parametra t=0 vērtībai.

Salīdzinājumam mēs varam dot elipses parametriskos vienādojumus, izmantojot trigonometriskās funkcijas:

X = izmaksas,

Y=sint , 0 t 2p . (7)

3. Acīmredzot funkcija y=chx ir pāra un ņem tikai pozitīvas vērtības. Funkcija y=shx ir nepāra, jo :

Funkcijas y=thx un y=cthx ir nepāra kā pāra un nepāra funkcijas koeficienti. Ņemiet vērā, ka atšķirībā no trigonometriskajām funkcijām hiperboliskās funkcijas nav periodiskas.

4. Izpētīsim funkcijas y= cthx uzvedību pārtraukuma punkta x=0 tuvumā:

Tādējādi y ass ir funkcijas y=cthx grafika vertikālā asimptote. Definēsim slīpās (horizontālās) asimptotes:

Tāpēc līnija y=1 ir funkcijas y=cthx grafika labā horizontālā asimptote. Šīs funkcijas dīvainības dēļ tās kreisā horizontālā asimptote ir taisne y= –1. Ir viegli parādīt, ka šīs līnijas vienlaikus ir asimptotes funkcijai y=thx. Funkcijām shx un chx nav asimptotu.

2) (chx)"=shx (tiek rādīts līdzīgi).

4)

Ir arī zināma līdzība ar trigonometriskajām funkcijām. Pilna visu hiperbolisko funkciju atvasinājumu tabula ir sniegta IV sadaļā.

HIPERBOLISKĀS FUNKCIJAS- Hiperbolisko sinusu (sh x) un kosinusu (ch x) definē ar šādām vienādībām:

Hiperbolisko tangensu un kotangensu definē pēc analoģijas ar trigonometrisko tangensu un kotangensu:

Hiperbolisko sekantu un kosekantu definē līdzīgi:

Ir formulas:

Hiperbolisko funkciju īpašības daudzējādā ziņā ir līdzīgas īpašībām (sk.). Vienādojumi x=cos t, y=sin t nosaka apli x²+y² = 1; vienādojumi x=сh t, y=sh t definē hiperbolu x² - y²=1. Tā kā trigonometriskās funkcijas nosaka no apļa ar vienības rādiusu, tā hiperboliskās funkcijas nosaka no vienādsānu hiperbolas x² - y² = 1. Arguments t ir ēnotā līklīniskā trijstūra OME dubultais laukums (48. att.), līdzīgi tam, ka apļveida (trigonometriskām) funkcijām arguments t ir skaitliski vienāds ar divkāršu līknes trīsstūra OKE laukumu ( 49. att.):

aplim

par hiperbolu

Hiperbolisko funkciju saskaitīšanas teorēmas ir līdzīgas trigonometrisko funkciju saskaitīšanas teorēmām:

Šīs analoģijas ir viegli saskatāmas, ja komplekso mainīgo r izmanto par argumentu x. Hiperboliskās funkcijas ir saistītas ar trigonometriskām funkcijām pēc šādām formulām: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, kur i ir viena no saknes vērtības √-1. Hiperboliskajām funkcijām sh x, kā arī ch x: var būt jebkurš lielu vērtību skaits (tātad, protams, lielas vienības), atšķirībā no trigonometriskajām funkcijām sin x, cos x, kas reālajām vērtībām. absolūtā vērtībā nevar būt lielāks par vienu.
Hiperboliskās funkcijas spēlē lomu Lobačevska ģeometrijā (sk.), tiek izmantotas materiālu pretestības izpētē, elektrotehnikā un citās zināšanu nozarēs. Literatūrā ir arī tādi hiperbolisko funkciju apzīmējumi kā sinh x; cosh x; tghx.