Ģeometrija
Kā pierādīt taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes. Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes. Ko mēs esam iemācījušies

Kā pierādīt taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes. Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes. Ko mēs esam iemācījušies

Atgādinām no iepriekšējās nodarbības materiāla, ka taisnleņķa trijstūri sauc par trīsstūri, ja tam ir vismaz viens no taisnes leņķiem (t.i., vienāds ar 90 o).

Apsveriet pirmā zīme trijstūra vienādība: ja viena taisnleņķa trijstūra divas kājas ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūra divām kājām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Ilustrēsim šo gadījumu:

Rīsi. 1. Vienādi taisnstūra trīsstūri

Pierādījums:

Atgādiniet patvaļīgu trīsstūru pirmo vienādību.

Rīsi. 2

Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām un atbilstošajām divām malām un otrā trijstūra leņķis starp tām ir vienādi, tad šie trijstūri ir kongruenti. To norāda pirmā trijstūra vienādības zīme, tas ir:

Līdzīgs pierādījums ir taisnleņķa trijstūriem:

Trijstūri ir vienādi pirmajā zīmē.

Apsveriet otro taisnstūra trīsstūru vienādības kritēriju. Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un tai blakus esošais asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un blakus esošo akūto leņķi, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Rīsi. 3

Pierādījums:

Rīsi. četri

Izmantosim otro trīsstūru vienādības kritēriju:

Līdzīgs pierādījums taisnleņķa trijstūriem:

Otrajā kritērijā trīsstūri ir vienādi.

Apsveriet trešo taisnleņķa trijstūra vienādības kritēriju: ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un tai blakus esošais leņķis ir attiecīgi vienādi ar hipotenūzu un leņķi, kas atrodas blakus citam trīsstūrim, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Pierādījums:

Rīsi. 5

Atgādiniet otro trīsstūru vienādības kritēriju:

Rīsi. 6

Šie trīsstūri ir kongruenti, ja:

Tā kā ir zināms, ka taisnleņķa trijstūrī viens akūto leņķu pāris ir vienāds ar (∠А = ∠А 1), tad otra leņķu pāra vienādība (∠B = ∠B 1) tiek pierādīta šādi:

Tā kā AB \u003d A 1 B 1 (pēc nosacījuma), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Tāpēc trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir vienādi otrajā zīmē.

Apsveriet šādu trīsstūru vienādības kritēriju:

Ja viena trijstūra kāja un hipotenūza ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra kāju un hipotenūzu, šādi taisnleņķa trīsstūri ir kongruenti.

Rīsi. 7

Pierādījums:

Uzliksim virsū trijstūrus ABC un A 1 B 1 C 1. Pieņemsim, ka virsotnes A un A 1 , kā arī C un C 1 pārklājas, bet virsotne B un punkts B 1 nesakrīt. Šis gadījums ir parādīts šajā attēlā:

Rīsi. astoņi

Šajā gadījumā mēs varam redzēt vienādsānu trīsstūrisАВВ 1 (pēc definīcijas - saskaņā ar nosacījumu АВ = АВ 1). Tāpēc pēc īpašības ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Apsveriet ārējā stūra definīciju. ārējais stūris trijstūris ir leņķis, kas atrodas blakus jebkuram trijstūra stūrim. Tās pakāpes mērs ir vienāds ar trijstūra divu leņķu summu, kas nav tam blakus. Attēlā parādīta šī attiecība:

Rīsi. 9

Leņķis 5 ir trijstūra ārējais stūris un ir vienāds ar ∠5 = ∠1 + ∠2. No tā izriet, ka ārējais leņķis ir lielāks par katru no leņķiem, kas nav tam blakus.

Tādējādi ∠ABB 1 ir trijstūra ABC ārējais leņķis un ir vienāds ar summu ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Tādējādi ∠AB 1 B (kas ir akūts leņķis collas taisnleņķa trīsstūris ABB 1) nevar būt vienāds ar leņķi ∠ABB 1, jo šis leņķis ir neass, kā pierādīts.

Tas nozīmē, ka mūsu pieņēmums par punktu B un B 1 izvietojumu izrādījās nepareizs, tāpēc šie punkti sakrīt. Tas nozīmē, ka trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir uzlikti. Tāpēc tie ir vienādi (pēc definīcijas).

Tādējādi šīs funkcijas nav ieviestas velti, jo tās var izmantot dažu problēmu risināšanā.

Omska Valsts universitāte ().
Atsauces portāls calc.ru ().
Skolotāju portāls ().

1. Nr. 38. Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Prasolovs V.V., rediģējis Sadovnichiy V.A. Ģeometrija 7. M .: Izglītība. 2010. gads

2. Pamatojoties uz attēlā redzamajiem datiem, norādiet vienādus trīsstūrus, ja tādi ir.

3. Pamatojoties uz attēlā redzamajiem datiem, norādiet vienādus trīsstūrus, ja tādi ir. Paturiet prātā, ka AC = AF.

4. Taisnleņķa trijstūrī mediāna un augstums ir novilktas uz hipotenūzu. Leņķis starp tiem ir 20 o. Nosakiet katra dotā taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa izmēru.

Atgādinām no iepriekšējās nodarbības materiāla, ka taisnleņķa trijstūri sauc par trīsstūri, ja tam ir vismaz viens no taisnes leņķiem (t.i., vienāds ar 90 o).

Ilustrēsim šo gadījumu:

Rīsi. 1. Vienādi taisnstūra trīsstūri

Pierādījums:

Atgādiniet patvaļīgu trīsstūru pirmo vienādību.

Rīsi. 2

Līdzīgs pierādījums ir taisnleņķa trijstūriem:

Trijstūri ir vienādi pirmajā zīmē.

Rīsi. 3

Pierādījums:

Rīsi. četri

Izmantosim otro trīsstūru vienādības kritēriju:

Līdzīgs pierādījums taisnleņķa trijstūriem:

Otrajā kritērijā trīsstūri ir vienādi.

Pierādījums:

Rīsi. 5

Atgādiniet otro trīsstūru vienādības kritēriju:

Rīsi. 6

Šie trīsstūri ir kongruenti, ja:

Tā kā ir zināms, ka taisnleņķa trijstūrī viens akūto leņķu pāris ir vienāds ar (∠А = ∠А 1), tad otra leņķu pāra vienādība (∠B = ∠B 1) tiek pierādīta šādi:

Tā kā AB \u003d A 1 B 1 (pēc nosacījuma), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Tāpēc trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir vienādi otrajā zīmē.

Apsveriet šādu trīsstūru vienādības kritēriju:

Ja viena trijstūra kāja un hipotenūza ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra kāju un hipotenūzu, šādi taisnleņķa trīsstūri ir kongruenti.

Rīsi. 7

Pierādījums:

Rīsi. astoņi

Šajā gadījumā mēs varam pamanīt vienādsānu trīsstūri ABB 1 (pēc definīcijas - ar nosacījumu AB = AB 1). Tāpēc pēc īpašības ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Apsveriet ārējā stūra definīciju. ārējais stūris trijstūris ir leņķis, kas atrodas blakus jebkuram trijstūra stūrim. Tās pakāpes mērs ir vienāds ar trijstūra divu leņķu summu, kas nav tam blakus. Attēlā parādīta šī attiecība:

Rīsi. 9

Leņķis 5 ir trijstūra ārējais stūris un ir vienāds ar ∠5 = ∠1 + ∠2. No tā izriet, ka ārējais leņķis ir lielāks par katru no leņķiem, kas nav tam blakus.

Tādējādi ∠ABB 1 ir trijstūra ABC ārējais leņķis un ir vienāds ar summu ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Tādējādi ∠AB 1 B (kas ir akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ABB 1) nevar būt vienāds ar leņķi ∠ABB 1, jo, kā pierādīts, šis leņķis ir neass.

Tādējādi šīs funkcijas nav ieviestas velti, jo tās var izmantot dažu problēmu risināšanā.

Omskas Valsts universitāte ().
Atsauces portāls calc.ru ().
Skolotāju portāls ().

1. Nr. 38. Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Prasolovs V.V., rediģējis Sadovnichiy V.A. Ģeometrija 7. M .: Izglītība. 2010. gads

2. Pamatojoties uz attēlā redzamajiem datiem, norādiet vienādus trīsstūrus, ja tādi ir.

3. Pamatojoties uz attēlā redzamajiem datiem, norādiet vienādus trīsstūrus, ja tādi ir. Paturiet prātā, ka AC = AF.

4. Taisnleņķa trijstūrī mediāna un augstums ir novilktas uz hipotenūzu. Leņķis starp tiem ir 20 o. Nosakiet katra dotā taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa izmēru.

Patiesībā viss nemaz nav tik biedējoši. Protams, rakstā ir jāaplūko sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta "īstā" definīcija. Bet jūs tiešām nevēlaties, vai ne? Mēs varam priecāties: lai atrisinātu problēmas par taisnleņķa trīsstūri, varat vienkārši aizpildīt šādas vienkāršas lietas:

Kā ar leņķi? Vai ir kāda kāja, kas atrodas pretī stūrim, tas ir, pretējā kāja (stūrim)? Protams, ir! Tas ir katets!

Bet kā ar leņķi? Paskaties cieši. Kura kāja atrodas blakus stūrim? Protams, kaķis. Tātad leņķim kāja atrodas blakus, un

Un tagad, uzmanību! Paskaties, kas mums ir:

Skatiet, cik tas ir lieliski:

Tagad pāriesim uz tangensu un kotangensu.

Kā tagad to izteikt vārdos? Kāda ir kāja attiecībā pret stūri? Pretī, protams - tas "guļ" pretī stūrim. Un katets? Blakus stūrim. Tātad, ko mēs saņēmām?

Vai redzat, kā tiek apgriezti skaitītājs un saucējs?

Un tagad atkal stūri un veikta maiņa:

Kopsavilkums

Īsi pierakstīsim, ko esam iemācījušies.

Pitagora teorēma:

Galvenā taisnleņķa trijstūra teorēma ir Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma

Starp citu, vai jūs labi atceraties, kas ir kājas un hipotenūza? Ja nē, tad paskaties bildē – atsvaidzini zināšanas

Iespējams, ka Pitagora teorēmu jūs jau esat izmantojis daudzas reizes, bet vai esat kādreiz domājis, kāpēc šāda teorēma ir patiesa. Kā jūs to pierādītu? Darīsim kā senie grieķi. Uzzīmēsim kvadrātu ar malu.

Redziet, cik viltīgi mēs sadalījām tās malas garuma segmentos un!

Tagad savienosim atzīmētos punktus

Šeit mēs tomēr atzīmējām kaut ko citu, bet jūs pats paskatieties uz attēlu un padomājiet, kāpēc.

Kāda ir lielākā kvadrāta platība?

Pareizi,.

Kā ar mazāko platību?

Protams, .

Paliek četru stūru kopējā platība. Iedomājieties, ka mēs paņēmām divus no tiem un atspiedāmies viens pret otru ar hipotenūzām.

Kas notika? Divi taisnstūri. Tātad "spraudeņu" platība ir vienāda.

Tagad saliksim to visu kopā.

Pārveidosim:

Tā nu mēs viesojāmies pie Pitagora – senā veidā pierādījām viņa teorēmu.

Taisns trīsstūris un trigonometrija

Taisnleņķa trīsstūrim ir spēkā šādas attiecības:

Akūta leņķa sinuss ir vienāds ar attiecību pretējā kāja hipotenūzai

Akūta leņķa kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu.

Akūtā leņķa tangenss ir vienāds ar pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecību.

Akūtā leņķa kotangenss ir vienāds ar blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecību.

Un atkal tas viss šķīvja veidā:

Tas ir ļoti ērti!

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

I. Uz divām kājām

II. Ar kāju un hipotenūzu

III. Pēc hipotenūzas un akūtā leņķa

IV. Gar kāju un akūtu leņķi

Uzmanību! Šeit ir ļoti svarīgi, lai kājas būtu "atbilstošas". Piemēram, ja tas notiek šādi:

TAD Trijstūri NAV VIENĀDI, neskatoties uz to, ka tiem ir viens identisks akūts leņķis.

Vajag abos trīsstūros kāja bija blakus, vai abos - pretī.

Vai esat ievērojuši, kā taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes atšķiras no parastajām trīsstūru vienādības zīmēm?

Apskatiet tēmu "un pievērsiet uzmanību tam, ka "parasto" trīsstūru vienlīdzībai ir nepieciešama to trīs elementu vienlīdzība: divas malas un leņķis starp tiem, divi leņķi un mala starp tiem vai trīs malas.

Bet taisnleņķa trīsstūru vienādībai pietiek tikai ar diviem atbilstošiem elementiem. Tas ir lieliski, vai ne?

Aptuveni tāda pati situācija ar taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmēm.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes

I. Akūts stūris

II. Uz divām kājām

III. Ar kāju un hipotenūzu

Mediāna taisnleņķa trijstūrī

Kāpēc tas tā ir?

Apsveriet veselu taisnstūri, nevis taisnleņķa trīsstūri.

Zīmēsim diagonāli un apskatīsim punktu – diagonāļu krustošanās punktu. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm?

Un kas no tā izriet?

Tā nu tas notika

- mediāna:

Atcerieties šo faktu! Ļoti palīdz!

Vēl pārsteidzošāk ir tas, ka taisnība ir arī otrādi.

Ko var iegūt no tā, ka hipotenūzai piesaistītā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas? Apskatīsim attēlu

Paskaties cieši. Mums ir: , tas ir, attālumi no punkta līdz visām trim trijstūra virsotnēm izrādījās vienādi. Bet trijstūrī ir tikai viens punkts, attālumi, no kuriem aptuveni visas trīs trijstūra virsotnes ir vienādi, un tas ir APRAKSTS CENTRS. Kas tad notika?

Tātad sāksim ar šo "turklāt...".

Apskatīsim i.

Bet līdzīgos trīsstūros visi leņķi ir vienādi!

To pašu var teikt par un

Tagad uzzīmēsim to kopā:

Kādu labumu var iegūt no šīs "trīskāršās" līdzības.

Nu, piemēram - divas taisnleņķa trijstūra augstuma formulas.

Mēs rakstām atbilstošo pušu attiecības:

Lai atrastu augstumu, mēs atrisinām proporciju un iegūstam Pirmā formula "Augstums taisnleņķa trijstūrī":

Nu, tagad, pielietojot un apvienojot šīs zināšanas ar citām, jūs atrisināsiet jebkuru problēmu ar taisnleņķa trīsstūri!

Tātad, piemērosim līdzību: .

Kas tagad notiks?

Atkal mēs atrisinām proporciju un iegūstam otro formulu:

Ļoti labi jāatceras abas šīs formulas un ērtāk lietojamā.

Pierakstīsim tos vēlreiz.

Pitagora teorēma:

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:.

Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

uz divām kājām:
gar kāju un hipotenūzu: vai
gar kāju un blakus esošo akūto leņķi: vai
gar kāju un pretējo akūto leņķi: vai
pēc hipotenūzas un akūta leņķa: vai.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes:

viens ass stūris: vai
no abu kāju proporcionalitātes:
no kājas un hipotenūzas proporcionalitātes: vai.

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss taisnleņķa trijstūrī

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Taisnstūra trīsstūra asā leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa tangenss ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:.

Taisnstūra trīsstūra augstums: vai.

Taisnleņķa trijstūrī no taisnā leņķa virsotnes novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas: .

Taisnstūra trīsstūra laukums:

caur katetriem:

1. Pirmās divas taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes.

Lai divi trijstūri būtu vienādi, pietiek ar to, ka viena trijstūra trīs elementi ir vienādi ar otra trīsstūra atbilstošajiem elementiem, un šo elementu skaitā ir jāiekļauj vismaz viena mala.

Tā kā visi taisnie leņķi ir vienādi viens ar otru, taisnleņķa trijstūriem jau ir viens vienāds elements, proti, viens taisns leņķis.

No tā izriet, ka taisnleņķa trīsstūri ir vienādi:

ja viena trijstūra kājas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra kājiņām (153. att.);

ja viena trijstūra kāja un blakus esošais akūts leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra kāju un blakus esošo akūto leņķi (154. att.).

Tagad mēs pierādām divas teorēmas, kas nosaka vēl divus taisnleņķa trīsstūru vienādības kritērijus.

Teorēmas par taisnleņķa trijstūra vienādības zīmēm

1. teorēma. Ja viena trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra hipotenūzu un akūto leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti.

Lai pierādītu šo teorēmu, mēs uzbūvējam divas taisnstūra arkas ABC un A'B'C', kurās leņķi A un A' ir vienādi, hipotenūzas AB un A'B' arī ir vienādas un leņķi C un C' ir vienādi. pa labi (157. att.) .

Uzliksim trijstūri A'B'C' uz trijstūri ABC tā, lai virsotne A' sakristu ar virsotni A, hipotenūza A'B' sakristu ar vienādu hipotenūzu AB. Tad leņķu A un A ' vienādības dēļ posms A'C' iet gar kāju AC; kāja B'C' tiks izlīdzināta ar kāju BC: abi tie ir perpendikulāri, kas novilkti vienai taisnei AC no viena punkta B. Tas nozīmē, ka virsotnes C un C' tiks izlīdzinātas.

Trijstūris ABC ir izlīdzināts ar trīsstūri A'B'C'.

Tāpēc \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.

Šī teorēma dod 3.kritēriju taisnleņķa trīsstūru vienādībai (pēc hipotenūzas un asā leņķa).

2. teorēma. Ja viena trijstūra hipotenūza un kājiņa ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra hipotenūzu un kāju, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti.

Lai to pierādītu, mēs izveidojam divus taisnleņķa trīsstūrus ABC un A'B'C', kuros leņķi C un C' ir taisni, kājas AC un A'C' ir vienādas, hipotenūzas AB un A'B' ir arī vienādi (158. att.) .

Novelkam taisni MN un atzīmēsim uz tās punktu C, no šī punkta novelkam taisnei MN perpendikulāru SC. Tad taisnā leņķī KSM uzliekam trijstūra ABC taisno leņķi tā, lai to virsotnes būtu izlīdzinātas un kājiņa AC iet gar staru SK, tad kājiņa BC iet pa staru CM. Trijstūra A'B'C' taisno leņķi uzliekam taisnā leņķī KCN tā, lai to virsotnes būtu izlīdzinātas un kājiņa A'C' iet gar staru SK, tad kājiņa C'B' iet gar staru CN. . Virsotnes A un A' sakritīs kāju AC un A'C' vienādības dēļ.

Trijstūri ABC un A'B'C' kopā veidos vienādsānu trīsstūri BAB', kurā AC būs augstums un bisektrise, un līdz ar to trijstūra BAB' simetrijas ass. No tā izriet, ka \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.

Šī teorēma dod 4.kritēriju taisnleņķa trijstūriem (gar hipotenūzu un kāju).

Tātad, visas taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

1. Ja viena taisnleņķa trijstūra divas kājas ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūra divām kājām, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi
2. Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un tai piegulošais asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un tai piegulošo aso leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi.
3. Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un pretējais akūtais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un pretējo akūto leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi.
4. Ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra hipotenūzu un akūto leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi.
5. Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un hipotenūza ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un hipotenūzu, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi

Lai noteiktu taisnleņķa trijstūra vienādību, pietiek zināt, ka viena trijstūra divi elementi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra diviem elementiem (izņemot taisno leņķi). Tas, protams, neattiecas uz viena trīsstūra divu leņķu vienādību ar cita trijstūra diviem leņķiem.

Tā kā taisnleņķa trijstūrī leņķis starp divām kājām ir taisna līnija un visi divi taisnie leņķi ir vienādi, tad no pirmā trīsstūru vienādības kritērija izriet:

Ja viena taisnleņķa trijstūra kājas ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūri, tad šādi trīsstūri ir vienādi (5. attēls).

Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un tai piegulošais asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra kāju un blakus esošo leņķi, tad šādi trīsstūri ir vienādi (6. att.).

Apsveriet vēl divas taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes.

TEORĒMA . Ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir vienādi ar cita trijstūra hipotenūzu un akūto leņķi, tad šādi trīsstūri ir vienādi (7. att.).

APLIECINĀJUMS. No īpašuma 1є § izriet, ka šādos trīsstūros arī pārējie divi asie leņķi ir vienādi, tāpēc trijstūri ir vienādi pēc otrā trijstūra vienādības kritērija, tas ir, gar malu (hipotenūzu) un diviem blakus leņķiem.

Q.E.D.

TEORĒMA . Ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un kāja ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra hipotenūzu un kāju, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

APLIECINĀJUMS. Aplūkosim trijstūrus ABC un A 1 B 1 C 1 , kuru leņķi C un C 1 ir taisni, AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 (8. att.).

Jo< C = < C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина C совместится с вершиной C 1 , а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C 1 A 1 и C 1 B 1 , поскольку CB = C 1 B 1 , то вершина B совместится с вершиной B 1 . Но тогда вершины A и A 1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A 2 луча C 1 A 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании A 1 A 2 не равны (на рисунке < A 2 - острый, а < A 1 - тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A 1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A 1 B 1 C 1 , то есть они равны.

Q.E.D.

Pitagora teorēma

Tās nozīme ir tajā, ka no tā vai ar tās palīdzību var izsecināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu. Viena no teorēmām ļauj pārliecināties, ka, ja tai no punkta ārpus taisnes ir novilkta perpendikulāra un slīpa līnija, tad: a) slīpās līnijas ir vienādas, ja to projekcijas ir vienādas; b) tas slīpais ir lielāks, kuram ir lielāka projekcija.

Pitagora teorēma bija pirmais apgalvojums, kas attiecināja trīsstūru malu garumus. Tad viņi uzzināja, kā atrast akūtu un leņķu malu garumus un leņķus strupi trīsstūri. Radās vesela zinātne par trigonometriju ("trigon" - grieķu valodā nozīmē "trijstūris"). Šī zinātne ir atradusi pielietojumu mērniecībā. Bet vēl agrāk ar tās palīdzību viņi iemācījās izmērīt iedomātus trijstūrus debesīs, kuru galotnes bija zvaigznes. Tagad trigonometriju izmanto pat attālumu mērīšanai starp kosmosa kuģiem.

Izmantojot daudzstūru laukumu īpašības, mēs tagad izveidosim ievērojamu saikni starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kājām. Teorēmu, kuru mēs pierādīsim, sauc par Pitagora teorēmu, kas ir vissvarīgākā ģeometrijas teorēma.

Dots trīsstūris,

Un taisnā leņķī,

Tas ir hipotenūzas kvadrāts

Mēs vienmēr varam viegli atrast:

Mēs veidojam kājas kvadrātā,

Mēs atrodam grādu summu

Un tik vienkāršā veidā

Mēs nonāksim pie rezultāta.

TEORĒMA. Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

APLIECINĀJUMS. Aplūkosim taisnleņķa trīsstūri ar kājiņām a, b un c (9. att. a).

Pierādīsim, ka c 2 = a 2 + b 2 . Mēs pabeigsim trīsstūri līdz kvadrātam ar malu a + b, kā parādīts attēlā (9. att. b).

Šāda kvadrāta ar malu a + b laukums ir (a + b) 2 . No otras puses, šo kvadrātu veido četri vienādi taisnleņķa trijstūri ar laukumu a un kvadrāts ar malu c, tāpēc

Tādējādi (a + b) 2 =2ab + c 2 , no kurienes c 2 = a 2 + b 2 .

Q.E.D.

1. SEKAS . Taisnstūra trīsstūrī jebkura kāja ir mazāka par hipotenūzu.

APLIECINĀJUMS. Saskaņā ar Pitagora teorēmu AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 . Tā kā BC 2 >0, tad AC 2<АВ, То есть АС<АВ.

2. SEKAS. Jebkuram asam leņķim b cosb<1.

PIERĀDĪJUMI. Pēc kosinusa definīcijas cosb = . Bet 1. secībā tika pierādīts, ka AC<АВ, tātad daļa ir mazāka par 1.

Taisnstūrus, kuru malas ir veseli skaitļi, sauc par Pitagora trijstūriem.

Var pierādīt, ka šādu trīsstūru kājas a, b un hipotenūza c ir izteiktas ar formulām a=2kmn; b \u003d k (m 2 - n 2); c=k(m 2 +n 2), kur k, m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n. Trijstūrus ar malām, kuru garums ir 3, 4, 5, sauc par Ēģiptes trīsstūriem, jo tos zināja senie ēģiptieši.

Apgriezti Pitagora teorēmai.

Ja trijstūra vienas malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, tad trijstūris ir taisnleņķa trīsstūris.

APLIECINĀJUMS.

Trijstūrī ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 . Pierādīsim, ka leņķis C ir taisns leņķis. Aplūkosim taisnleņķa trīsstūri A 1 B 1 C 1 ar taisnleņķi C 1 , kur A 1 C 1 = AC un B 1 C 1 = BC. Pēc Pitagora teorēmas A 1 B 1 2 =A 1 C 1 2 +B 1 C 1 2 un līdz ar to A 1 B 1 2 = AC 2 +BC 2 . Bet AC 2 + BC 2 = AB 2 pēc teorēmas hipotēzes. Tāpēc A 1 B 1 2 = AB 2, no kurienes A 1 B 1 = AB. Trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir vienādi trijās malās, tātad< C = < C 1 , то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

Q.E.D.