N-tās pakāpes piemēri pašlēmumam. Kvadrātsakne. Izsmeļošs ceļvedis (2019). Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī
Lai praksē veiksmīgi izmantotu saknes ekstrakcijas darbību, jums jāiepazīstas ar šīs darbības īpašībām.
Visas īpašības ir formulētas un pierādītas tikai to mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām, kas atrodas zem saknes zīmēm.
1. teorēma. Sakne nth pakāpe (n=2, 3, 4,...) no divu nenegatīvu mikroshēmojumu reizinājuma ir vienāda ar reizinājumu saknes nth grādi no šiem skaitļiem:
komentēt:
1.
1. teorēma paliek spēkā gadījumam, kad radikāļu izteiksme ir vairāk nekā divu nenegatīvu skaitļu reizinājums.
2. teorēma.Ja,
un n- dabiskais skaitlis lielāks par 1, tad vienādība
Īsumā(kaut arī neprecīzs) formulējums, kas ir ērtāk lietojams praksē: frakcijas sakne ir vienāda ar sakņu daļu.
1. teorēma ļauj reizināt m tikai tādas pašas pakāpes saknes
, t.i. tikai saknes ar vienādu eksponentu.
Teorēma 3. Ja ,k ir naturāls skaitlis un n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, tad vienādība
Citiem vārdiem sakot, lai paceltu sakni līdz dabiskajam spēkam, pietiek ar saknes izteiksmi pacelt līdz šim spēkam.
Tas ir 1. teorēmas sekas. Patiešām, piemēram, ja k = 3 mēs iegūstam dabas vērtība indikators k.
Teorēma 4. Ja ,k, n ir naturāli skaitļi, kas lielāki par 1, tad vienādība
Citiem vārdiem sakot, lai iegūtu sakni no saknes, pietiek ar sakņu eksponentu reizināšanu.
Piemēram,
Esi uzmanīgs! Mēs uzzinājām, ka ar saknēm var veikt četras darbības: reizināšanu, dalīšanu, eksponenci un saknes izvilkšanu (no saknes). Bet kā ar sakņu saskaitīšanu un atņemšanu? Nevar būt.
Piemēram, jūs nevarat rakstīt Indeed vietā, taču tas ir acīmredzami
Teorēma 5. Ja saknes un saknes izteiksmes rādītājus reizina vai dala ar vienu un to pašu naturālo skaitli, tad saknes vērtība nemainīsies, t.i.
Problēmu risināšanas piemēri
1. piemērs Aprēķināt
Risinājums. Izmantojot sakņu pirmo īpašību (1. teorēma), mēs iegūstam:
2. piemērs Aprēķināt
Risinājums. Atgriezenisks jaukts numurs nepareizā daļā.
Mums ir Izmantojot sakņu otro īpašību ( 2. teorēma
), mēs iegūstam:
3. piemērs Aprēķināt: 
Risinājums. Jebkura formula algebrā, kā jūs labi zināt, tiek izmantota ne tikai "no kreisās uz labo", bet arī "no labās uz kreiso". Tātad sakņu pirmā īpašība nozīmē, ka to var attēlot kā izteiksmi un, gluži pretēji, to var aizstāt ar izteiksmi. Tas pats attiecas uz sakņu otro īpašību. Paturot to prātā, veiksim aprēķinus.
TEMATS: Jaudas funkcija. Sakne n-tā pakāpe
MĒRĶIS:
Spēles laikā aplūkotā materiāla atkārtošana, šo tēmu apzināta asimilācija.
Atbildības, uzmanības, atmiņas trenēšana.
Atjautības, atjautības attīstība. Veicināt izziņas intereses attīstību par matemātiku.
ORGANIZĒŠANAS LAIKS
Noskanēja zvans. Bērni apsēdās savās vietās. Skolotājs uzdod jautājumus skolēniem, un viņi atbild uz jautājumiem, paceļot rokas:
Vai varat, lūdzu, pastāstīt, ko mēs mācījāmies dažās pēdējās stundās? ( temats šī nodarbība bērni sevi nosauc)
Kāds, jūsuprāt, ir mūsu šodienas stundas mērķis? ( Bērni paši cenšas formulēt nodarbības mērķi, skolotājs to tikai labo)
Laipni lūdzam valstī"Matemātika "! Uz logaritmu, vienkāršu aprēķinu, sakņu, erekciju un vienādojumu valsti! Ceļošana pa valstiMatemātiķi "Tiek nosūtītas 2 komandas:" ROOT "," DEGREE ", ceļojums notiks ar devīzi (iepriekš uzrakstīts uz tāfeles ): “GRĀMATA IR GRĀMATA, UN KUSTINI SMADZENES” (V.V. Majakovskis). Par pareizām atbildēm komandas dalībnieki tiks apbalvoti ar "sarkanajām kartītēm".
1. Komandas veidošana
Katrs skolēns pie ieejas kabinetā saņēma kartiņu, uz kuras ir uzrakstīta funkcijas formula (katram dažādas). Katrs students nosaka, kura funkcija viņam ir, pāra vai nepāra, ja pāra - komanda "ROOT", nepāra - "DEGREE".
Funkciju iespējas:f(x)=
,
f(x)=
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x)=
2. Katras komandas komandiera izvēle
Uzdevums: atrisināt un aizstāvēt savu atbildi (komandierim jāspēj ātri domāt un jābūt atbildīgam par visu); kurām mainīgā vērtībām izteiksmei ir jēga ( izteicienus uz tāfeles raksta iepriekš) :
|
Atbilde: -8≤ x Atbilde: -11≤ x
3. Iesildīties
Par katru pareizo atbildi - 1 kartīte ( komandas sāk gūt vārtus). Skolotājs nolasa uzdevumu, skolēni atbild.
Aritmētiskā i zīme
Problēmu grāmatā jūs mani atradīsit daudzās rindās.
Tikai "o" jūs ievietojat vārdā, zinot, kā
Un es esmu ģeogrāfisks punkts. (+, pole)
Es esmu skaitlis, kas mazāks par desmit
Tev ir viegli mani atrast.
Bet, ja tu pavēli burtam “I” stāvēt blakus,
Es esmu viss - tēvs un tu, un vectēvs, un māte. (septiņi, ģimene)
4. Turpinām ceļu un pa ceļam ir milzīga siena, uz kuras rakstīts uzdevums (iepriekš sagatavojiet plakātu sienas formā
): aprēķināt: 
lai pārvarētu šo sienu, jums ir jāatrisina šis uzdevums, kura komanda nolemj, kura nopelnīs punktus.(0,7+0,3=1)
1) jaudas funkcijas ar n - pāra īpašības;
2) pakāpju funkcijas īpašības ar n - nepāra.
6. Nākamais pārbaudījums mums būs konkurss "PARĀDI SEVI". Sacensību nosacījumi: katrs komandas dalībnieks pēc kārtas dodas pie valdes un risina jebkuru uzdevumu pēc savas izvēles, uzvar pirmā komanda, kas izpilda uzdevumus.
7. Komandas sagatavo jautājumus viena otrai. Saņemiet punktus par pareizo atbildi un oriģinalitāti.
8. REZULTĀTS. BALVA. Katra komanda gatavojas gala vārds, kurā atklāti jautājumi: kas šodien noderēja katrai komandai un atsevišķiem pārstāvjiem, komentāri par nodarbību un skolotāju. Vērtēšana ar komentāriem (par kādu darbību un kāpēc).
Mums ir jāiepazīstas ar šīs operācijas īpašībām, ko mēs darīsim šajā sadaļā.
Visas īpašības ir formulētas un pierādītas tikai to mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām, kas atrodas zem saknes zīmēm.
Pierādījums. Ieviesīsim šādu apzīmējumu: 
Mums jāpierāda, ka nenegatīviem skaitļiem x, y, z ir spēkā vienādība x-yz.
Jo
Tātad, bet, ja divu nenegatīvu skaitļu pakāpes ir vienādas un eksponenti ir vienādi, tad arī bāzes ir vienādas grādiem; tātad no vienādības x n \u003d (yz) p izriet, ka x-yz, un tas bija jāpierāda.
Mēs sniedzam īsu teorēmas pierādījumu pierakstu.
Piezīmes:
1.
1. teorēma paliek spēkā gadījumam, kad radikāļu izteiksme ir vairāk nekā divu nenegatīvu skaitļu reizinājums.
2.
1. teorēmu var formulēt, izmantojot konstrukciju "ja...tad" (kā pieņemts teorēmām matemātikā) Dosim atbilstošo formulējumu: ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad vienādība ir patiesa. Mēs formulēsim sekojošo teorēmu tieši šādā veidā.
Īss (kaut arī neprecīzs) formulējums, kas ir ērtāk lietojams praksē: sakne frakcijas ir vienāds ar sakņu daļu.
Pierādījums. Mēs sniedzam īsu 2. teorēmas pierādījuma pierakstu, un jūs mēģināt izdarīt atbilstošus komentārus, kas līdzīgi tiem, kas sniegti 1. teorēmas pierādījumā.
Jūs, protams, pievērsāt uzmanību tam, ka ir pierādītas divas sakņu īpašības n-tā pakāpe ir jums zināmu īpašību vispārinājums no 8. klases algebras kursa kvadrātsaknes. Un ja nebūtu citu n-to sakņu īpašību, tad viss būtu vienkārši (un ne pārāk interesanti). Patiesībā ir vairākas citas interesantas un svarīgas īpašības ko mēs apspriedīsim šajā sadaļā. Bet vispirms apskatīsim dažus 1. un 2. teorēmas izmantošanas piemērus.
1. piemērs Aprēķināt
Risinājums. Izmantojot sakņu pirmo īpašību (1. teorēma), mēs iegūstam:
3. piezīme.Šo piemēru, protams, var atrisināt citādi, it īpaši, ja pie rokas ir mikrokalkulators: reiziniet skaitļus 125, 64 un 27 un pēc tam no iegūtā produkta izvelciet kuba sakni. Bet, redz, piedāvātais risinājums ir "gudrāks".
2. piemērs Aprēķināt
Risinājums. Pārvērtiet jaukto skaitli par nepareizu daļskaitli.
Mums ir Izmantojot sakņu otro īpašību (2. teorēma), mēs iegūstam:
3. piemērs Aprēķināt: 
Risinājums. Jebkura formula algebrā, kā jūs labi zināt, tiek izmantota ne tikai "no kreisās uz labo", bet arī "no labās uz kreiso". Tātad sakņu pirmā īpašība nozīmē, ka to var attēlot kā izteiksmi un, gluži pretēji, to var aizstāt ar izteiksmi. Tas pats attiecas uz sakņu otro īpašību. Paturot to prātā, veiksim aprēķinus:
4. piemērs Palaist darbības:
Risinājums, a) Mums ir:
b) 1. teorēma ļauj reizināt tikai vienādas pakāpes saknes, t.i. tikai saknes ar vienādu eksponentu. Šeit arī ierosināts 2. pakāpes sakni no skaitļa a reizināt ar tā paša skaitļa 3. pakāpes sakni. Kā to izdarīt, mēs vēl nezinām. Pie šīs problēmas mēs atgriezīsimies vēlāk.
Turpināsim pētīt radikāļu īpašības.
Citiem vārdiem sakot, lai paceltu sakni līdz dabiskajam spēkam, pietiek ar saknes izteiksmi pacelt līdz šim spēkam.
Tas ir 1. teorēmas sekas. Patiešām, piemēram, ja k = 3 mēs iegūstam
Citiem vārdiem sakot, lai iegūtu sakni no saknes, pietiek ar sakņu eksponentu reizināšanu.
Piemēram,
Pierādījums. Tāpat kā 2. teorēmā, mēs sniedzam īsu pierādījumu pierakstu, un jūs varat mēģināt patstāvīgi izteikt atbilstošus komentārus, kas līdzīgi tiem, kas sniegti 1. teorēmas pierādījumā.
4. piezīme. Ievilksim elpu. Ko mēs esam iemācījušies no pārbaudītām teorēmām? Mēs uzzinājām, ka ar saknēm var veikt četras darbības: reizināšanu, dalīšanu, eksponenci un saknes izvilkšanu (no saknes). Bet kā ar sakņu saskaitīšanu un atņemšanu? Nevar būt. Par to runājām jau 8. klasē par kvadrātsaknes izvilkšanas operāciju.
Piemēram, jūs nevarat rakstīt Indeed vietā, taču ir skaidrs, ka esiet uzmanīgi!
Iespējams, ka visinteresantākā sakņu īpašība ir tā, kas tiks apspriesta nākamajā teorēmā. Ņemot vērā šīs īpašības īpašo nozīmi, mēs pieļaujam brīvību pārkāpt šajā sadaļā izstrādātos formulējumu un pierādījumu stilus, lai padarītu 5. teorēmas formulējumu nedaudz "maigāku" un tās pierādījumu saprotamāku.
Piemēram:
(saknes un saknes izteiksmes rādītāji dalīti ar 4);
(saknes un saknes izteiksmes rādītāji dalīti ar 3);
(saknes un radikālas izteiksmes rādītāji tika reizināti ar 2).
Pierādījums. Apzīmēsim pierādāmās vienādības kreiso pusi ar burtu Tad pēc saknes definīcijas vienādību
Apzīmējiet identitātes labo pusi, ko pierāda ar burtu y:
Tad, pēc saknes definīcijas, vienlīdzība
Paaugstināsim abas pēdējās vienādības daļas vienā pakāpē p; mēs iegūstam:
Tātad (skatiet vienādojumu (1) un (2)),
Salīdzinot šīs divas vienādības, mēs nonākam pie secinājuma, ka x np = y np un līdz ar to x = y, kas bija jāpierāda.
Pierādītā teorēma ļaus mums atrisināt problēmu, ar kuru mēs saskārāmies iepriekš, risinot 5. piemēru, kur bija jāveic sakņu reizināšana ar dažādiem eksponentiem:
Tā parasti šādos gadījumos strīdas.
1) Saskaņā ar 5. teorēmu izteiksmē ir iespējams reizināt gan saknes indeksu (t.i., skaitli 2), gan saknes izteiksmes indeksu (t.i., skaitli 1) ar vienu un to pašu naturālo skaitli. Izmantojot to, mēs reizinām abus rādītājus ar 3; mēs iegūstam:
2) Saskaņā ar 5. teorēmu izteiksmē ar vienu un to pašu naturālo skaitli var reizināt gan saknes indeksu (t.i., skaitli 3), gan saknes izteiksmes indeksu (t.i., skaitli 1). Izmantojot to, mēs reizinām abus rādītājus ar 2; mēs iegūstam:
3) Tā kā mēs saņēmām tās pašas 6. pakāpes saknes, mēs varam tās reizināt:
5. piezīme. Vai esat aizmirsis, ka visas sakņu īpašības, par kurām mēs runājām šajā punktā, mēs uzskatām tikai gadījumā, ja mainīgajiem ir tikai nenegatīvas vērtības? Kāpēc jums bija jāievieš šāds ierobežojums? Jo n-tā sakne pakāpei no negatīva skaitļa ne vienmēr ir jēga - tā tiek definēta tikai nepāra vērtībām n. Šādām saknes eksponenta vērtībām aplūkotās sakņu īpašības ir patiesas arī negatīvu radikāļu izteiksmju gadījumā.
A.G. Mordkoviča algebra 10. klase
Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafika, tabulas, shēmas, humors, anekdotes, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunināšana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības