Eksponenciālās funkcijas atvasinājums ir skaitļa e mācība. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums. Skaitlis e. Augstākas kārtas e atvasinājumi pakāpē x

Matemātikas skolotāja SM

"Multanovskas vidusskola"

Makhanova Samiga Gaļimžanovna

Ar. M u l t a n o v o

2011. gada februāris

Nodarbības tēma:"Cipars e. Atvasinājums eksponenciālā funkcija».

Mērķis: Ieviesiet jēdzienu "eksponents", "dabiskais logaritms", izveidojiet eksponenciālās funkcijas y \u003d e x atvasinājuma jēdzienu, antiatvasinātās eksponenciālās funkcijas.

Izglītības:

Atkārtot un padziļināt zināšanas par tēmu “Eksponenciālā funkcija. Eksponenciālās funkcijas īpašības”;

Atkārtojiet funkcijas diferencēšanas noteikumus;

Iepazīstināt studentus ar jēdzienu "eksponents" (skaitlis e);

Iepazīstināt studentus ar eksponenciālās funkcijas y atvasinājuma formulām \u003d a X un y = a kx + b ;

Iepazīstināt ar antiderivatīvās eksponenciālās funkcijas formulu;

Veidot prasmes aprēķināt eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, izmantojot diferenciācijas noteikumus un formulas.

Attīstās:

Izstrādāt un uzlabot diferenciācijas noteikumu piemērošanu

eksponenciālajai funkcijai;

Mācīt studentiem lietot elektronisko Informāciju tehnoloģijas mācot un gatavojoties matemātikas stundām.

Pilnveidot studentu grafisko kultūru;

Veicināt prasmju attīstību veikt izglītojošo darbību pašvērtējumu.

Izglītības:

Radīt skolēniem pozitīvu motivāciju matemātikas stundai, iesaistot ikvienu aktīvā darbībā;

Izglītot nepieciešamību novērtēt savu un biedru darbu;

Palīdzēt apzināties komandas darba vērtības;

Izglītot skolēnus precizitātē, matemātiskās runas kultūrā.

Aprīkojums nodarbībām:

Datorklase (8 portatīvie datori + 1 portatīvais demonstrācijai), projektors, prezentācija, izdales materiāli.

Nodarbību laikā:

Nodarbības organizācija, tēmas izziņošana un nodarbības mērķis:

Šodien klasē mēs mācāmies jauna tēma"Eksponenciālās funkcijas atvasinājums". Mūsu mērķis: (2. slaids) iepazīties ar jēdzienu "eksponents", "dabiskais logaritms", ar teorēmu par eksponenciālās funkcijas diferenciāciju un iemācīties diferencēt eksponenciālo funkciju.

Kā epigrāfu mūsu nodarbībai es izvēlējos B. Slutska pantus: (3. slaids)

…Eksponenciālā funkcija

Tā nebija nejaušība, ka viņa piedzima

Organiski integrēts dzīvē

Un uzņēmās progresa kustību.

B. Slutskis

esPamatzināšanu atjaunināšana:

Mutisks frontālais darbs ar klasi:

Formulējiet eksponenciālas funkcijas definīciju (5. slaids.)

Uzskaitiet eksponenciālās funkcijas galvenās īpašības saskaņā ar grafiku.

(6. slaids)

Eksponenciālās funkcijas īpašības:(4. slaids)

Funkciju darbības joma

Eksponenciālās funkcijas diapazons

Funkcijas grafiks ar y asi krustojas punktā (0;1) un nekrustojas ar x asi.

Eksponenciālā funkcija ņem pozitīvas vērtības visā skaitļu rindā.

Uzskaitiet eksponenciālās funkcijas īpašības a 1.

Uzskaitiet eksponenciālās funkcijas īpašības pie 0 .

Definējiet funkcijas atvasinājumu punktā x 0 . (7. slaids)

Formulējiet ģeometriskā sajūta atvasinājums. (8. slaids)

Un tagad mēs atgādinām noteikumus par funkciju diferencēšanu:

2) Spēle "Atrast pārus." (9. slaids)

Pirmajā kolonnā atrodamajām formulām atrodiet pareizās atbildes otrajā kolonnā un izlasiet vārdu trešajā kolonnā. Mutiski, ar komentāriem.

(u+v)"	cos x	E
(u v)"	n x n-1	P
(u/v)"	-1/sin2x	A
(xn)"	Grēks x	H
C"	u"v + uv"	UZ
(Cu)"	1/cos 2x	T
(sinx)"	(u "v - u v") / v 2	AR
(cosx)"	0	O
(tgx)"	u"+v"	E
(ctgx)"	C u"	H

E	u"+v"	(u+v)"
UZ	u"v + uv"	(u v)"
AR	(u "v - u v") / v 2	(u/v)"
P	n x n-1	(xn)"
O	0	C"
H	C u"	(Cu)"
E	Cos x	(sinx)"
H	-Grēks x	(cosx)"
T	1/cos 2x	(tgx)"
A	-1/sin2x	(ctgx)"

Pārbaudiet savu atbildi tabulā :( 10. slaids)

II.Jaunas tēmas apgūšana:

1) Pētnieciskais darbs, izmantojot ESM resursus portatīvajiem datoriem. Pāru darbs.

Atklājiet tiešsaistē Digital izglītības resursi algebrā un analīzes sākumos 11. klase tēma: "Eksponenciālās funkcijas, skaitļa e un naturālā logaritma atvasinājumi." modulis I1
Uzmanīgi izlasiet katru Moduļa elementu, pierakstiet galvenās formulas piezīmju grāmatiņās, izlasiet to korektūras.

Pabeidziet paškontroles uzdevumus. Pārbaudiet sava darba kopsavilkumu sadaļā "Statistika" (C).

Moduļa darba plāns:

Eksponenciāla funkcija ar bāzi e. - (ievads eksponentā)

Eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formula. - (Funkcijas y \u003d e x atvasinājuma formulas atvasinājums)

Uzdevums paškontrolei. – (tests ar atbilžu izvēli)

Naturālā logaritma ln definīcija. – (ln x = log e x)

Eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formula. - (eksponenciālās formulas atvasinājuma formulas atvasinājums)

Uzdevums paškontrolei. - (īsas atbildes uzdevums)

Eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums - (eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulas atvasinājums)

Paškontroles uzdevums - (tests ar atbilžu izvēli)
2) Cl. 15-18 Frontālā aptauja, pamatojoties uz pētīto materiālu. Materiāla primārā fiksācija. Formulu pielietojums eksponenciālas funkcijas atvasināšanai.

(e X )" = e X ;

(e kx + b )" = ke kx + b ;

(a x )" = a x ∙ lna ;

(a kx + b )" = ka Kx+b ∙ lna

F(a x ) =
Students patstāvīgi strādā pie tāfeles:

Risinājums: f(x) = x 2 * 2 –x; D(f) = R; f "= 2x * 2 -x - x 2 * 2 -x ln2, D (f) \u003d R,

2x * 2 –x – x 2 * 2 –x ln2 = 0;

X * 2 -x (2 - x * ln 2) = 0; - min + max - f "(x)

X * 2 –x = 0; 2 – x * ln x = 0 2 – x > 0, x = 0; 2 – x * ln2 = 0 0 2/ln2 f(x)

Atbilde: x max = 2 / ln2; x min = 0
Patstāvīgs darbs izglītojošs raksturs:

Patstāvīgs darbs pāros pie portatīvajiem datoriem. Interaktīvais modulis P1 “eksponenciālās funkcijas atvasinājums. Skaitlis e. Dabiskais logaritms. - 5 uzdevumu tests. Atverot moduli, katrā datorā parādās dažādi uzdevumi.

V. Nodarbības kopsavilkums: Ko jaunu jūs uzzinājāt stundā?

Kuras nodarbības daļas jums bija visinteresantākās?

Kurš ir apmierināts ar savu darbu klasē?

VI. Mājasdarbs: 41. lpp.; Nr.539(a,b,d); 540(c); 542(a,b); 544(b).

Interaktīvs tests ar datoru. Eksponenciālās funkcijas K1 īpašības.

Katra datora darbvirsmā atveriet Word moduli. vienpadsmit

"Eksponenciālās funkcijas K1 īpašības". Noklikšķiniet uz "peles" uz "play module". Jums tiks uzdots tests ar 5 uzdevumiem.

Izpildi Moduļa 1.uzdevumu, uzklikšķini ar peli uz pareizās atbildes numura vai pieraksti atbildi kontroldarbā. Noklikšķiniet uz "peles" uz "atbilde" un pārejiet uz citu uzdevumu.

Ja uzdevumu izpildījāt nepareizi, atveriet mājienu,

atrodiet kļūdu savā risinājumā.

Pārbaudiet sava darba kopsavilkumu sadaļā "Statistika" (C).

Tēma: eksponenciālas funkcijas atvasinājums. Numurs .

Didaktiskais mērķis: izveidot priekšstatu par skaitli e, pierādīt funkcijas diferenciāciju jebkurā brīdī , funkcijas diferenciācija . Definējiet naturālo logaritmu.

Attīstības mērķis: attīstīt spēju ātri un pareizi veikt aprēķinus, izmantojot personālo datoru.

izglītības mērķis: turpināt veidot spēju pareizi uztvert un aktīvi iegaumēt jaunu informāciju, kas ir topošā speciālista svarīgākā īpašība.

Uzskates līdzekļi: plakāti.

Izdales materiāls: uzdevumu kartes individuālajam darbam. Aprīkojums: skolotāja dators, multimediju projektors, ekrāns. Skolēnu izziņas darbības motivācija. Izstāstīt, kāda nozīme ir logaritmiem matemātikas kursā, kā arī vispārīgajās tehniskajās un speciālajās disciplīnās, vienlaikus uzsverot skaitļa e un naturālā logaritma nozīmi.

Nodarbību laikā.

I. Organizatoriskais moments.

II. Jaunā materiāla skaidrojums.

1) Eksponenciālās funkcijas grafiki.

3) Skaitlis .

4) Skaitļu aprēķins .

5) Eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formula.

6) naturālā logaritma aprēķināšana, izmantojotJAUNKUNDZEExcel.

7) eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums.

8) 3 skaitļu vērtība .

III. Piemēru risināšana.

IV. Nodarbību rezultāti.

V. Mājas darbs.

Paskaidrojums. Eksponenciālās funkcijas grafiki tika attēloti kā gludas līnijas (t.i., bez pārtraukumiem), kurām katrā punktā var uzzīmēt pieskari. Bet pieskares esamība funkcijas grafikam punktā ar abscisu ir līdzvērtīgs tā diferencējamajam x 0 . Tāpēc ir dabiski pieņemt, ka tas ir diferencējams visos definīcijas jomas punktos. Uzzīmēsim vairākus funkcijas y \u003d a grafikus X ja y=2 X , y=3 X , y=2,3 X (Pielikums Nr. 1)

Uzzīmējiet tām pieskares punktā ar abscisu . Grafiku pieskares ir atšķirīgas. Mēs izmērām katra no tām slīpuma leņķus pret abscisu asi un pārliecināmies, ka šo pieskares slīpuma leņķi ir aptuveni vienādi ar 35 ° ... 51 °, t.i. palielinoties a, slīpums uz grafiku punktā M (0; 1) pakāpeniski palielinās notg35 līdztg51.

Ir skaitlis, kas ir lielāks par 2 un mazāks par 3, lai eksponenciālā funkcija y=a X punktā 0 ir atvasinājums, kas vienāds ar 1. Šīs funkcijas bāzi parasti apzīmē ar burtu e. Skaitlis e ir iracionāls, tāpēc to raksta kā bezgalīgu decimāldaļdaļa

e ≈ 2,7182818284…

Ar datora palīdzību tika atrasti vairāk nekā 2 tūkstoši skaitļa e komata. Pirmie skaitļi ir 2,718288182459045~2,7.

Funkcija bieži dēvē par eksponentu. Rezultātā iegūtajam skaitlim ir milzīga nozīme augstākajā matemātikā, kā arī slavenajam skaitlim 3.14. Eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formula.

Teorēma 1. Funkcija .

Pierādījums. Funkcijas pieauguma atrašana

plkst .

Pēc atvasinājuma definīcijas , t.i. jebkuram .

Pierādiet to paša spēkiem.

Piemērs.

Es sniedzu definīciju: naturālais logaritms ir bāzes logaritms :

2. teorēma. Eksponenciālā funkcija ir diferencējams katrā definīcijas domēna punktā, un .

Piemēri. , . Atrast funkciju atvasinājumus.

Dabiskā logaritma aprēķināšana, izmantojotJAUNKUNDZEExcel.

Piemērs. Funkcijas izpēte palielināt (samazināt) un ekstrēmu un uzzīmēt tā grafiku.

Jo jebkuram , tad zīme sakrīt ar zīmi . Līdz ar to uz , - palielinās

uz , - samazinās.

Mēs izmantojam programmu, lai izveidotu grafiku.JAUNKUNDZEExcel.

Eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums.

3. teorēma. Funkcijas antiatvasinājums uzRir funkcija . Pierādījums:

Piemēri:

a) ,

b) ,

v) , .

d) Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .

Vērtība e.

Saņemts numurs spēlē milzīgu lomu matemātikā, fizikā, astronomijā, bioloģijā un citās zinātnēs. Te ir daži:

Tas ir brīnišķīgi

Diezgan palīdz

Padariet to skaidru jums un man

Tolstoja dzimšanas gads L.N. 2,71828

Eilera formula.

Leonhards Eilers (1707-1783) Slavens 18. gadsimta matemātiķis. Eilers noteica berzes spēka atkarību no virves apgriezienu skaita ap kaudzi.

, - spēks, pret kuru ir vērstas mūsu pūles ; e;

Berzes koeficients starp virvi un pāli, - tinuma leņķis, t.i. virves aptvertā loka garuma attiecība pret šī loka rādiusu. Ikdienā mēs, paši nenojaušot, bieži izmantojam priekšrocības, ko mums norāda Eilera formula.

Kas ir mezgls? Šī ir aukla, kas uztīta uz veltņa. Jo lielāks ir virves apgriezienu skaits, jo lielāka ir berze. Berzes palielināšanas noteikums ir tāds, ka, palielinot apgriezienu skaitu aritmētiskajā progresijā, berze pieaug ģeometriskā progresijā.

Neapzināti drēbnieks izmanto šo pašu apstākli, piešujot pogu. Viņš daudzas reizes aptin diegu ap šuves satverto materiāla laukumu un pēc tam to pārrauj, ja tikai vītne ir stipra, poga nenāks nost. Šeit tiek piemērots mums jau pazīstamais noteikums: palielinoties diega apgriezienu skaitam aritmētiskā progresijā, šūšanas spēks palielinās ģeometriskā progresijā. Ja nebūtu berzes, mēs nevarētu izmantot pogas: diegi atritinās zem sava svara un pogas nokristu. , - Ludvigs Bolcmans (1844-1906), austriešu fiziķis, kurš atklāja dabas pamatlikumu, kas nosaka visu fizisko procesu virzienu, kas tiecas uz līdzsvara stāvokli kā visticamāko stāvokli. -entropija, t.i. sistēmas mērs, kas sasniedz līdzsvaru, -sistēmas stāvokļa varbūtība.

Nodarbību rezultāti. Mājas darbs: Nr.538, Nr.542

Iesniegums Nr.1

Eksponenta atvasinājums ir vienāds ar pašu eksponentu (e atvasinājums no x pakāpes ir vienāds ar e ar x pakāpi):
(1) (e x )′ = e x.

Eksponenciālas funkcijas atvasinājums ar pakāpes a bāzi ir vienāds ar pašu funkciju, kas reizināta ar a naturālo logaritmu:
(2) .

Eksponenta atvasinājuma formulas atvasināšana e pakāpē x

Eksponents ir eksponenciāla funkcija, kuras eksponenta bāze ir vienāda ar skaitli e, kas ir šāda robeža:
.
Šeit tas var būt dabisks vai reāls skaitlis. Tālāk mēs iegūstam formulu (1) eksponenta atvasinājumam.

Eksponenta atvasinājuma formulas atvasināšana

Apsveriet eksponentu e pakāpē x :
y = e x .
Šī funkcija ir definēta visiem. Atradīsim tā atvasinājumu attiecībā pret x . Pēc definīcijas atvasinājums ir šāds ierobežojums:
(3) .

Pārveidosim šo izteiksmi, lai to reducētu līdz zināmām matemātiskām īpašībām un likumiem. Šim nolūkam mums ir nepieciešami šādi fakti:
A) Eksponenta īpašība:
(4) ;
B) Logaritma īpašība:
(5) ;
V) Nepārtrauktas funkcijas logaritma nepārtrauktība un ierobežojumu īpašība:
(6) .
Šeit ir dažas funkcijas, kurām ir ierobežojums, un šī robeža ir pozitīva.
G) Otrās brīnišķīgās robežas nozīme:
(7) .

Mēs izmantojam šos faktus līdz mūsu ierobežojumam (3). Mēs izmantojam īpašumu (4):
;
.

Veiksim aizstāšanu. Tad ; .
Eksponenta nepārtrauktības dēļ
.
Tāpēc plkst , . Rezultātā mēs iegūstam:
.

Veiksim aizstāšanu. Tad . Pie , . Un mums ir:
.

Mēs izmantojam logaritma īpašību (5):
. Tad
.

Ļaujiet mums piemērot īpašumu (6). Tā kā ir pozitīva robeža un logaritms ir nepārtraukts, tad:
.
Šeit mēs izmantojām arī otro ievērojamo robežu (7). Tad
.

Tādējādi esam ieguvuši formulu (1) eksponenta atvasinājumam.

Eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana

Tagad mēs iegūstam formulu (2) eksponenciālās funkcijas atvasinājumam ar a pakāpes bāzi. Mēs ticam, ka un. Tad eksponenciālā funkcija
(8)
Definēts ikvienam.

Pārveidosim formulu (8). Lai to izdarītu, mēs izmantojam eksponenciālās funkcijas īpašības un logaritmu.
;
.
Tātad, mēs esam pārveidojuši formulu (8) šādā formā:
.

Augstākas kārtas e atvasinājumi pakāpē x

Tagad atradīsim augstāku pasūtījumu atvasinājumus. Vispirms apskatīsim eksponentu:
(14) .
(1) .

Mēs redzam, ka funkcijas (14) atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju (14). Diferencējot (1), iegūstam otrās un trešās kārtas atvasinājumus:
;
.

Tas parāda, ka n-tās kārtas atvasinājums arī ir vienāds ar sākotnējo funkciju:
.

Eksponenciālās funkcijas augstākas kārtas atvasinājumi

Tagad apsveriet eksponenciālu funkciju ar a pakāpes bāzi:
.
Mēs atradām tā pirmās kārtas atvasinājumu:
(15) .

Diferencējot (15), iegūstam otrās un trešās kārtas atvasinājumus:
;
.

Mēs redzam, ka katra diferenciācija noved pie sākotnējās funkcijas reizināšanas ar . Tāpēc n-tajam atvasinājumam ir šāda forma:
.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Cipars e. Funkcija. Grafiks. Īpašības"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.-11.klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.-11. klasei "Logaritmi"

Puiši, šodien mēs pētīsim īpašu numuru. Tas ieņem atsevišķu vietu "pieaugušo" matemātikā, un tam ir daudzas ievērojamas īpašības, no kurām dažas mēs apsvērsim.

Atgriezīsimies pie eksponenciālajām funkcijām $y=a^x$, kur $a>1$. Mēs varam attēlot daudz dažādu funkciju grafiku dažādām bāzēm.
Bet jāatzīmē, ka:

• visas funkcijas iet caur punktu (0;1),
• $x→-∞$ grafikā ir horizontāla asimptote $y=0$,
• visas funkcijas pieaug un ir izliektas uz leju,
• un arī ir nepārtraukti, kas savukārt nozīmē, ka tie ir diferencējami.

Ja funkcijas ir diferencējamas visur, tad mēs varam konstruēt tām pieskares katrā punktā. Ja visas funkcijas iet caur punktu (0;1), tad tas ir īpaši interesanti. Veidosim vairākas tangentes pēc kārtas.

Apsveriet funkciju $y=2^x$ un izveidojiet tai tangensu.
Uzmanīgi uzzīmējot mūsu grafikus, mēs varam redzēt, ka pieskares slīpums ir 35 °.
Tagad uzzīmēsim funkciju $y=3^x$ un attēlosim arī tangensu:
Šoreiz pieskares leņķis ir aptuveni 48°. Kopumā ir vērts atzīmēt: jo lielāka ir eksponenciālās funkcijas bāze, jo lielāks ir slīpuma leņķis.
Īpaši interesanti ir pieskares ar slīpuma leņķi 45°. Kuras eksponenciālas funkcijas grafikam punktā (0;1) var uzzīmēt šādu tangensu?
Eksponenciālās funkcijas bāzei jābūt lielākai par 2, bet mazākai par 3, jo nepieciešamais pieskares leņķis tiek sasniegts kaut kur starp funkcijām $y=2^x$ un $y=3^x$. Šāds numurs tika atrasts, un tas izrādījās diezgan unikāls.

Eksponenciālu funkciju, kurā pieskarei, kas iet caur punktu (0;1), slīpuma leņķis ir vienāds ar 45°, parasti apzīmē: $y=e^x$ .
Mūsu funkcijas pamatā ir iracionāls skaitlis. Matemātiķi ir izsecinājuši šī skaitļa aptuveno vērtību $e=2.7182818284590…$.
Skolas matemātikas kursā pieņemts noapaļot līdz desmitdaļām, tas ir, $e=2,7$.
Izveidosim funkcijas $y=e^x$ grafiku un šī grafika tangensu.
Mūsu funkciju sauc par eksponenciālu.
Funkcijas $y=e^x$ īpašības.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Nav ne pāra, ne nepāra.
3. Palielinās visā definīcijas jomā.
4. Nav ierobežots no augšas, ierobežots no apakšas.
5. Lielākā vērtība nē, minimālās vērtības nav.
6. Nepārtraukts.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Izliekta uz leju.
Augstākajā matemātikā ir pierādīts, ka eksponenciāla funkcija ir visur diferencējama un tās atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju: $(e^x)"=e^x$.
Mūsu funkcija ir lieliski pielietojama daudzās matemātikas nozarēs (in matemātiskā analīze, varbūtības teorijā, programmēšanā), un daudzi reāli objekti ir saistīti ar šo skaitli.

Piemērs.
Atrodiet funkcijas $y=e^x$ grafika pieskari punktā $x=2$.
Risinājums.
Pieskares vienādojumu apraksta ar formulu: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Secīgi atradīsim vajadzīgās vērtības:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Atbilde: $y=e^2*x-e^2$

Piemērs.
Atrodiet funkcijas $y=e^(3x-15)$ atvasinājuma vērtību punktā $x=5$.
Risinājums.
Atgādināsim noteikumu, kā atšķirt funkciju $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
Mūsu gadījumā $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
Atradīsim atvasinājumu:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
Atbilde: 3.

Piemērs.
Izpētiet funkciju $y=x^3*e^x$ ekstrēmām.
Risinājums.
Atrodiet mūsu funkcijas $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+ atvasinājumu x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Funkcijai nav kritisku punktu, jo jebkuram x pastāv atvasinājums.
Pielīdzinot atvasinājumu 0, iegūstam divas saknes: $x_1=0$ un $x_2=-3$.
Atzīmēsim savus punktus uz skaitļu līnijas:

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. Atrodiet funkcijas $y=e^(2x)$ pieskares grafikam punktā $х=2$.
2. Atrodiet funkcijas $y=e^(4x-36)$ atvasinājuma vērtību punktā $х=9$.
3. Izpētiet funkciju $y=x^4*e^(2x)$ ekstrēmām.