Atvasinātā instrumenta mazākā un lielākā vērtība. Funkcijas atvasinājums. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Uzdevumi funkcijas raksturlielumu noteikšanai no tās atvasinājuma grafika
Problēmā B9 ir dots funkcijas vai atvasinājuma grafiks, no kura nepieciešams noteikt vienu no šādiem lielumiem:
- atvasinājuma vērtība kādā punktā x 0,
- Augstie vai zemākie punkti (ekstrēmi punkti),
- Palielinošu un samazinošu funkciju intervāli (monotoniskuma intervāli).
Šajā uzdevumā parādītās funkcijas un atvasinājumi vienmēr ir nepārtraukti, kas ievērojami vienkāršo risinājumu. Neskatoties uz to, ka uzdevums pieder sadaļai matemātiskā analīze, tas ir diezgan pa spēkam pat vājākajiem studentiem, jo šeit nav vajadzīgas dziļas teorētiskās zināšanas.
Lai atrastu atvasinājuma vērtību, ekstrēmuma punktus un monotonības intervālus, ir vienkārši un universāli algoritmi - tie visi tiks apspriesti tālāk.
Uzmanīgi izlasiet B9 uzdevuma nosacījumu, lai nepieļautu stulbas kļūdas: dažreiz sanāk diezgan apjomīgi teksti, taču ir maz svarīgu nosacījumu, kas ietekmē risinājuma gaitu.
Atvasinātā instrumenta vērtības aprēķins. Divu punktu metode
Ja uzdevumam ir dots funkcijas f(x) grafiks, kas pieskaras šim grafikam kādā punktā x 0 , un šajā punktā ir jāatrod atvasinājuma vērtība, tiek izmantots šāds algoritms:
- Atrodiet divus "adekvātus" punktus pieskares grafikā: to koordinātām jābūt veseliem skaitļiem. Apzīmēsim šos punktus kā A (x 1 ; y 1) un B (x 2 ; y 2). Pareizi pierakstiet koordinātas - tas ir risinājuma galvenais punkts, un jebkura kļūda šeit noved pie nepareizas atbildes.
- Zinot koordinātas, ir viegli aprēķināt argumenta Δx = x 2 − x 1 inkrementu un funkcijas Δy = y 2 − y 1 pieaugumu.
- Visbeidzot, mēs atrodam atvasinājuma vērtību D = Δy/Δx. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāsadala funkcijas pieaugums ar argumenta pieaugumu - un tā būs atbilde.
Vēlreiz jāatzīmē: punkti A un B ir jāmeklē tieši pieskares, nevis funkcijas f(x) grafikā, kā tas bieži notiek. Pieskarei noteikti būs vismaz divi šādi punkti, pretējā gadījumā problēma tiek formulēta nepareizi.
Apsveriet punktus A (-3; 2) un B (-1; 6) un atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Atradīsim atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .
Apsveriet punktus A (0; 3) un B (3; 0), atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Tagad mēs atrodam atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .
Apsveriet punktus A (0; 2) un B (5; 2) un atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Atliek atrast atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
No pēdējā piemēra varam formulēt noteikumu: ja pieskare ir paralēla OX asij, funkcijas atvasinājums saskares punktā ir vienāds ar nulli. Šajā gadījumā jums pat nekas nav jāaprēķina - vienkārši skatieties grafiku.
Augsto un zemo punktu aprēķināšana
Dažkārt uzdevuma B9 funkcijas grafika vietā tiek dots atvasinātais grafiks, un ir nepieciešams atrast funkcijas maksimālo vai minimālo punktu. Šajā scenārijā divu punktu metode ir bezjēdzīga, taču ir vēl viens, vēl vienkāršāks algoritms. Pirmkārt, definēsim terminoloģiju:
- Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) maksimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≥ f(x).
- Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) minimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≤ f(x).
Lai atvasinājuma grafikā atrastu maksimālo un minimālo punktu, pietiek veikt šādas darbības:
- Pārzīmējiet atvasinājuma grafiku, noņemot visu nevajadzīgo informāciju. Kā liecina prakse, papildu dati tikai traucē lēmuma pieņemšanai. Tāpēc mēs atzīmējam atvasinājuma nulles uz koordinātu ass - un viss.
- Noskaidrojiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Ja kādam punktam x 0 zināms, ka f'(x 0) ≠ 0, tad ir iespējami tikai divi varianti: f'(x 0) ≥ 0 vai f'(x 0) ≤ 0. Atvasinājuma zīme ir viegli noteikt pēc sākotnējā zīmējuma: ja atvasinātais grafiks atrodas virs OX ass, tad f'(x) ≥ 0. Un otrādi, ja atvasinātais grafiks atrodas zem OX ass, tad f'(x) ≤ 0.
- Mēs vēlreiz pārbaudām atvasinājuma nulles un zīmes. Ja zīme mainās no mīnusa uz plusu, ir minimālais punkts. Un otrādi, ja atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu, tas ir maksimālais punkts. Skaitīšana vienmēr tiek veikta no kreisās uz labo pusi.
Šī shēma darbojas tikai nepārtrauktām funkcijām - problēmu B9 nav citu.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−5; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 5]. Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu šajā segmentā.
Atbrīvosimies no nevajadzīgas informācijas - atstāsim tikai robežas [−5; 5] un atvasinājuma x = −3 un x = 2,5 nulles. Ņemiet vērā arī zīmes:
Acīmredzot punktā x = −3 atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Tas ir minimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu šajā segmentā.
Pārzīmēsim grafiku, atstājot tikai robežas [−3; 7] un atvasinājuma nulles x = -1,7 un x = 5. Ievērojiet atvasinājuma zīmes iegūtajā grafikā. Mums ir:
Acīmredzot punktā x = 5 atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu - tas ir maksimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−6; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu, kas pieder intervālam [−4; 3].
No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka pietiek ņemt vērā tikai to grafa daļu, ko ierobežo segments [−4; 3]. Tāpēc mēs būvējam jauns grafiks, uz kuras iezīmējam tikai robežas [−4; 3] un tajā esošā atvasinājuma nulles. Proti, punkti x = −3,5 un x = 2. Iegūstam:
Šajā grafikā ir tikai viens maksimālais punkts x = 2. Tieši tajā atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu.
Neliela piezīme par punktiem ar koordinātām, kas nav veseli skaitļi. Piemēram, pēdējā uzdevumā tika aplūkots punkts x = −3,5, bet ar tādu pašu panākumu mēs varam ņemt x = −3,4. Ja problēma ir pareizi formulēta, šādām izmaiņām nevajadzētu ietekmēt atbildi, jo punkti "bez noteiktas dzīvesvietas" nav tieši iesaistīti problēmas risināšanā. Protams, ar veseliem skaitļiem šāds triks nedarbosies.
Funkcijas palielināšanas un samazināšanās intervālu atrašana
Šādā uzdevumā, tāpat kā maksimuma un minimuma punkti, tiek piedāvāts no atvasinājuma grafika atrast apgabalus, kuros pati funkcija palielinās vai samazinās. Vispirms definēsim, kas ir augošais un dilstošais:
- Funkciju f(x) sauc par segmentā pieaugošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Citiem vārdiem sakot, jo lielāka ir argumenta vērtība, jo lielāka ir funkcijas vērtība.
- Funkciju f(x) sauc par segmentā samazinošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.
Mēs formulējam pietiekamus nosacījumus palielināšanai un samazināšanai:
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) palielinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir pozitīvs, t.i. f'(x) ≥ 0.
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) samazinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir negatīvs, t.i. f'(x) ≤ 0.
Mēs pieņemam šos apgalvojumus bez pierādījumiem. Tādējādi mēs iegūstam pieauguma un samazinājuma intervālu atrašanas shēmu, kas daudzējādā ziņā ir līdzīga ekstremālo punktu aprēķināšanas algoritmam:
- Noņemiet visu lieko informāciju. Sākotnējā atvasinājuma grafikā mūs galvenokārt interesē funkcijas nulles, tāpēc mēs atstājam tikai tās.
- Atzīmējiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Kur f'(x) ≥ 0, funkcija palielinās, un kur f'(x) ≤ 0, tā samazinās. Ja problēmai ir ierobežojumi mainīgajam x, mēs tos papildus atzīmējam jaunajā diagrammā.
- Tagad, kad mēs zinām funkcijas darbību un ierobežojumu, atliek aprēķināt nepieciešamo vērtību uzdevumā.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7.5]. Atrodiet dilstošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu summu.
Kā parasti, pārzīmējam grafiku un iezīmējam robežas [−3; 7.5], kā arī atvasinājuma x = −1,5 un x = 5,3 nulles. Pēc tam atzīmējam atvasinājuma zīmes. Mums ir:
Tā kā atvasinājums ir negatīvs intervālā (− 1,5), tas ir dilstošās funkcijas intervāls. Atliek summēt visus veselos skaitļus, kas atrodas šajā intervālā:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−10; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodiet pieaugošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu.
Atbrīvosimies no liekās informācijas. Mēs atstājam tikai robežas [−10; 4] un atvasinājuma nulles, kas šoreiz izrādījās četras: x = −8, x = −6, x = −3 un x = 2. Atzīmē atvasinājuma zīmes un iegūsti šādu attēlu:
Mūs interesē pieaugošās funkcijas intervāli, t.i. kur f'(x) ≥ 0. Grafikā ir divi šādi intervāli: (−8; −6) un (−3; 2). Aprēķināsim to garumus:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Tā kā ir jāatrod lielākā intervāla garums, atbildē rakstām vērtību l 2 = 5.
Sergejs Ņikiforovs
Ja funkcijas atvasinājums uz intervāla ir ar nemainīgu zīmi, un pati funkcija uz tās robežām ir nepārtraukta, tad robežpunkti tiek piesaistīti gan pieaugošam, gan dilstošam intervālam, kas pilnībā atbilst pieaugošo un samazinošo funkciju definīcijai.
Farits Jamajevs 26.10.2016 18:50
Sveiki. Kā (uz kāda pamata) var apgalvot, ka vietā, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, funkcija palielinās. Norādiet iemeslus. Citādi tā ir tikai kāda cilvēka iegriba. Pēc kādas teorēmas? Un arī pierādījums. Paldies.
Atbalsta dienests
Atvasinājuma vērtība punktā nav tieši saistīta ar funkcijas palielināšanos intervālā. Apsveriet, piemēram, funkcijas - tās visas palielinās ar intervālu
Vladlens Pisarevs 02.11.2016 22:21
Ja funkcija pieaug intervālā (a;b) un ir definēta un nepārtraukta punktos a un b, tad tā pieaug intervālā . Tie. punkts x=2 ir iekļauts dotajā intervālā.
Lai gan, kā likums, pieaugums un samazinājums tiek uzskatīts nevis par segmentu, bet gan uz intervālu.
Bet pašā punktā x=2 funkcijai ir lokālais minimums. Un kā izskaidrot bērniem, ka tad, kad viņi meklē pieauguma (samazināšanās) punktus, tad mēs neskaitām lokālā ekstrēma punktus, bet tie ieiet pieauguma (samazināšanās) intervālos.
Ņemot vērā, ka pirmais eksāmena daļa priekš " vidējā grupa bērnudārzs", tad varbūt šādas nianses ir par daudz.
Atsevišķi liels paldies par "eksāmenu atrisināšu" visiem darbiniekiem - izcilam ceļvedim.
Sergejs Ņikiforovs
Vienkāršu skaidrojumu var iegūt, ja sākam no pieaugošas/samazinošas funkcijas definīcijas. Atgādināšu, ka tas izklausās šādi: funkciju sauc par intervāla palielināšanu/samazināšanu, ja lielākais funkcijas arguments atbilst lielākai/mazākai funkcijas vērtībai. Šāda definīcija nekādā veidā neizmanto atvasinājuma jēdzienu, tāpēc nevar rasties jautājumi par punktiem, kur atvasinājums pazūd.
Irina Išmakova 20.11.2017 11:46
Labdien. Šeit komentāros redzu uzskatus, ka robežas jāiekļauj. Pieņemsim, ka es tam piekrītu. Bet paskatieties, lūdzu, jūsu problēmas 7089. risinājumu. Tur, norādot pieauguma intervālus, robežas netiek iekļautas. Un tas ietekmē reakciju. Tie. uzdevumu 6429 un 7089 risinājumi ir pretrunā viens otram. Lūdzu, precizējiet šo situāciju.
Aleksandrs Ivanovs
Uzdevumos 6429 un 7089 ir pilnīgi atšķirīgi jautājumi.
Vienā ir pieauguma intervāli, bet otrā ir intervāli ar pozitīvu atvasinājumu.
Nav nekādu pretrunu.
Ekstrēmi tiek iekļauti pieauguma un samazinājuma intervālos, bet punkti, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, neietilpst intervālos, kuros atvasinājums ir pozitīvs.
A Z 28.01.2019 19:09
Kolēģi, pastāv jēdziens palielināt vienā punktā
(skatiet, piemēram, Fichtenholtz)
un jūsu izpratne par pieaugumu punktā x=2 ir pretrunā ar klasisko definīciju.
Palielināšana un samazināšana ir process, un es gribētu pieturēties pie šī principa.
Jebkurā intervālā, kurā ir punkts x=2, funkcija nepalielinās. Tāpēc iekļaušana dots punkts x=2 ir īpašs process.
Parasti, lai izvairītos no neskaidrībām, intervālu galu iekļaušana tiek teikta atsevišķi.
Aleksandrs Ivanovs
Funkciju y=f(x) sauc par pieaugošu kādā intervālā, ja lielākā argumenta vērtība no šī intervāla atbilst lielākajai funkcijas vērtībai.
Punktā x = 2 funkcija ir diferencējama, un intervālā (2; 6) atvasinājums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka uz intervāla )