Kāda ir funkcijas lielākā vērtība. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības atrašana segmentā. Funkcijas lielākā un mazākā vērtība - definīcijas, ilustrācijas

Lai funkcija $z=f(x,y)$ ir definēta un nepārtraukta kādā ierobežotā slēgtā domēnā $D$. Dotajai funkcijai šajā apgabalā ir noteikti pirmās kārtas daļējie atvasinājumi (izņemot, iespējams, ierobežotu punktu skaitu). Lai atrastu divu mainīgo funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā slēgtā reģionā, ir jāveic trīs vienkārša algoritma darbības.

Algoritms funkcijas $z=f(x,y)$ lielāko un mazāko vērtību atrašanai slēgtajā domēnā $D$.

1. Atrodiet funkcijas $z=f(x,y)$ kritiskos punktus, kas pieder apgabalam $D$. Aprēķiniet funkciju vērtības kritiskajos punktos.
2. Izpētiet funkcijas $z=f(x,y)$ uzvedību uz domēna $D$ robežas, atrodot iespējamo maksimālo un minimālo vērtību punktus. Aprēķiniet funkciju vērtības iegūtajos punktos.
3. No iepriekšējos divos punktos iegūtajām funkciju vērtībām izvēlieties lielāko un mazāko.

Kas ir kritiskie punkti? parādīt/slēpt

Zem kritiskie punkti ietver punktus, kur abi pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli (t.i., $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ un $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) vai vismaz viens daļējs atvasinājums nepastāv.

Bieži tiek izsaukti punkti, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli stacionāri punkti. Tādējādi stacionārie punkti ir kritisko punktu apakškopa.

1. piemērs

Atrodiet funkcijas $z=x^2+2xy-y^2-4x$ lielākās un mazākās vērtības slēgtā apgabalā, ko ierobežo līnijas$x=3$, $y=0$ un $y=x+1$.

Mēs sekosim iepriekšminētajam, bet vispirms nodarbosimies ar dotā laukuma zīmējumu, ko apzīmēsim ar burtu $D$. Mums ir doti trīs taisnu līniju vienādojumi, kas ierobežo šo apgabalu. Taisne $x=3$ iet caur punktu $(3;0)$ paralēli y asij (ass Oy). Taisne $y=0$ ir abscisu ass (Ox ass) vienādojums. Nu, lai izveidotu taisni $y=x+1$, atradīsim divus punktus, caur kuriem novelkam šo taisni. Protams, $x$ vietā varat aizstāt dažas patvaļīgas vērtības. Piemēram, aizstājot $x=10$, mēs iegūstam: $y=x+1=10+1=11$. Mēs esam atraduši punktu $(10;11)$, kas atrodas uz līnijas $y=x+1$. Tomēr labāk ir atrast tos punktus, kur līnija $y=x+1$ krustojas ar taisnēm $x=3$ un $y=0$. Kāpēc tas ir labāk? Jo mēs noliksim pāris putnus ar vienu akmeni: iegūsim divus punktus par taisnes $y=x+1$ konstruēšanu un tajā pašā laikā uzzināsim, kādos punktos šī taisne krusto citas līnijas, kas norobežo doto. apgabalā. Taisne $y=x+1$ krusto līniju $x=3$ punktā $(3;4)$, bet taisne $y=0$ - punktā $(-1;0)$. Lai risinājuma gaitu nepārblīvētu ar palīgskaidrojumiem, jautājumu par šo divu punktu iegūšanu ielikšu piezīmē.

Kā iegūti punkti $(3;4)$ un $(-1;0)$? parādīt/slēpt

Sāksim no taisnes $y=x+1$ un $x=3$ krustpunkta. Vēlamā punkta koordinātas pieder gan pirmajai, gan otrajai rindai, tāpēc, lai atrastu nezināmas koordinātas, ir jāatrisina vienādojumu sistēma:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & y=x+1;\\ & x=3. \end(līdzināts) \right. $$

Šādas sistēmas risinājums ir triviāls: aizvietojot $x=3$ pirmajā vienādojumā, mēs iegūsim: $y=3+1=4$. Punkts $(3;4)$ ir vēlamais līniju $y=x+1$ un $x=3$ krustpunkts.

Tagad atradīsim līniju $y=x+1$ un $y=0$ krustošanās punktu. Atkal mēs sastādām un atrisinām vienādojumu sistēmu:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & y=x+1;\\ & y=0. \end(līdzināts) \right. $$

Pirmajā vienādojumā aizstājot $y=0$, iegūstam: $0=x+1$, $x=-1$. Punkts $(-1;0)$ ir vēlamais līniju $y=x+1$ un $y=0$ (abscisu ass) krustošanās punkts.

Viss ir gatavs, lai izveidotu zīmējumu, kas izskatīsies šādi:

Jautājums par piezīmi šķiet pašsaprotams, jo no attēla viss ir redzams. Tomēr ir vērts atcerēties, ka zīmējums nevar kalpot kā pierādījums. Attēls ir tikai ilustrācija skaidrības labad.

Mūsu apgabals tika iestatīts, izmantojot līniju vienādojumus, kas to ierobežo. Ir skaidrs, ka šīs līnijas nosaka trīsstūri, vai ne? Vai arī tas nav gluži acīmredzams? Vai varbūt mums ir piešķirts cits apgabals, ko ierobežo tās pašas līnijas:

Protams, nosacījums saka, ka teritorija ir slēgta, tāpēc redzamā bilde ir nepareiza. Bet, lai izvairītos no šādām neskaidrībām, labāk ir definēt reģionus pēc nevienlīdzības. Mūs interesē lidmašīnas daļa, kas atrodas zem līnijas $y=x+1$? Labi, tāpēc $y ≤ x+1$. Mūsu apgabalam jāatrodas virs līnijas $y=0$? Lieliski, tāpēc $y ≥ 0$. Starp citu, pēdējās divas nevienādības ir viegli apvienot vienā: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(līdzināts) \right. $$

Šīs nevienlīdzības definē domēnu $D$ un definē to unikāli, bez jebkādām neskaidrībām. Bet kā tas mums palīdz jautājumā, kas minēts zemsvītras piezīmes sākumā? Tas arī palīdzēs :) Jāpārbauda, ​​vai punkts $M_1(1;1)$ pieder apgabalam $D$. Aizstāsim $x=1$ un $y=1$ nevienādību sistēmā, kas nosaka šo reģionu. Ja abas nevienādības ir izpildītas, tad punkts atrodas reģiona iekšienē. Ja vismaz viena no nevienādībām nav izpildīta, tad punkts nepieder reģionam. Tātad:

$$ \left \( \begin (līdzināts) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(līdzināts) \right. \;\; \left \( \begin (līdzināts) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(līdzināts) \right.$$

Abas nevienlīdzības ir patiesas. Punkts $M_1(1;1)$ pieder apgabalam $D$.

Tagad ir kārta izpētīt funkcijas uzvedību uz domēna robežas, t.i. iet uz. Sāksim ar taisni $y=0$.

Taisne $y=0$ (abscisu ass) ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $-1 ≤ x ≤ 3$. Dotajā funkcijā $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ aizstājiet $y=0$. Rezultātā viena mainīgā $x$ aizstāšanas funkcija tiks apzīmēta kā $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Tagad funkcijai $f_1(x)$ ir jāatrod lielākās un mazākās vērtības intervālā $-1 ≤ x ≤ 3$. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdziniet to nullei:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vērtība $x=2$ pieder segmentam $-1 ≤ x ≤ 3$, tāpēc punktu sarakstam pievienojam arī $M_2(2;0)$. Turklāt mēs aprēķinām funkcijas $z$ vērtības segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$ galos, t.i. punktos $M_3(-1;0)$ un $M_4(3;0)$. Starp citu, ja punkts $M_2$ nepiederētu apskatāmajam segmentam, tad tajā, protams, nebūtu jāaprēķina funkcijas $z$ vērtība.

Tātad, aprēķināsim funkcijas $z$ vērtības punktos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Protams, jūs varat aizstāt šo punktu koordinātas sākotnējā izteiksmē $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Piemēram, par punktu $M_2$ mēs iegūstam:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tomēr aprēķinus var nedaudz vienkāršot. Lai to izdarītu, ir vērts atcerēties, ka segmentā $M_3M_4$ mums ir $z(x,y)=f_1(x)$. Es to aprakstīšu sīkāk:

\begin(līdzināts) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunkts (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunkts 3=-3. \beigas (līdzināts)

Protams, parasti šādi detalizēti ieraksti nav nepieciešami, un turpmāk mēs sāksim pierakstīt visus aprēķinus īsākā veidā:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunkts (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Tagad pagriezīsimies uz taisni $x=3$. Šī līnija ierobežo domēnu $D$ ar nosacījumu $0 ≤ y ≤ 4$. Dotajā funkcijā $z$ aizstājiet $x=3$. Šādas aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funkcijai $f_2(y)$ ir jāatrod lielākā un mazākā vērtība intervālā $0 ≤ y ≤ 4$. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdziniet to nullei:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vērtība $y=3$ pieder segmentam $0 ≤ y ≤ 4$, tāpēc iepriekš atrastajiem punktiem pievienojam $M_5(3;3)$. Papildus nepieciešams aprēķināt funkcijas $z$ vērtību punktos nogriežņa $0 ≤ y ≤ 4$ galos, t.i. punktos $M_4(3;0)$ un $M_6(3;4)$. Punktā $M_4(3;0)$ mēs jau esam aprēķinājuši $z$ vērtību. Aprēķināsim funkcijas $z$ vērtību punktos $M_5$ un $M_6$. Atgādināšu, ka segmentā $M_4M_6$ mums ir $z(x,y)=f_2(y)$, tāpēc:

\begin(līdzināts) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \beigas (līdzināts)

Un, visbeidzot, apsveriet $D$ pēdējo robežu, t.i. rinda $y=x+1$. Šī līnija ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $-1 ≤ x ≤ 3$. Aizstājot $y=x+1$ funkcijā $z$, mēs iegūsim:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Atkal mums ir viena mainīgā $x$ funkcija. Un atkal ir jāatrod lielākās un mazākās šīs funkcijas vērtības segmentā $-1 ≤ x ≤ 3$. Atrodiet funkcijas $f_(3)(x)$ atvasinājumu un pielīdziniet to nullei:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vērtība $x=1$ pieder pie intervāla $-1 ≤ x ≤ 3$. Ja $x=1$, tad $y=x+1=2$. Punktu sarakstam pievienosim $M_7(1;2)$ un noskaidrosim, kāda ir funkcijas $z$ vērtība šajā punktā. Punkti segmenta galos $-1 ≤ x ≤ 3$, t.i. punkti $M_3(-1;0)$ un $M_6(3;4)$ tika apskatīti agrāk, tajos jau esam atraduši funkcijas vērtību.

$$z_7=f_3(1)=2\cpunkts 1^2-4\cpunkts 1-1=-3.$$

Otrais risinājuma posms ir pabeigts. Mēs saņēmām septiņas vērtības:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Pievērsīsimies. Izvēloties lielākās un mazākās vērtības no tiem skaitļiem, kas iegūti trešajā daļā, mums būs:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6,$$

Problēma atrisināta, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas $z=x^2+y^2-12x+16y$ lielāko un mazāko vērtību reģionā $x^2+y^2 ≤ 25$.

Vispirms izveidosim zīmējumu. Vienādojums $x^2+y^2=25$ (šī ir dotā laukuma robežlīnija) definē apli, kura centrs atrodas sākuma punktā (t.i., punktā $(0;0)$) un rādiuss ir 5. Nevienādība $x^2 +y^2 ≤ 25$ apmierina visus punktus minētā apļa iekšpusē un uz tā.

Mēs rīkosimies tālāk. Atradīsim daļējos atvasinājumus un noskaidrosim kritiskos punktus.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nav punktu, kuros atrastie daļējie atvasinājumi nepastāv. Noskaidrosim, kādos punktos abi parciālie atvasinājumi vienlaikus ir vienādi ar nulli, t.i. atrast stacionārus punktus.

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(līdzināts) \right. \;\; \left \( \begin (līdzināts) & x =6;\\ & y=-8.\end(līdzināts) \right.$$

Dabūjām stacionāru punktu $(6;-8)$. Taču atrastais punkts nepieder pie reģiona $D$. To ir viegli parādīt, pat neizmantojot zīmēšanu. Pārbaudīsim, vai pastāv nevienādība $x^2+y^2 ≤ 25$, kas definē mūsu domēnu $D$. Ja $x=6$, $y=-8$, tad $x^2+y^2=36+64=100$, t.i. nevienādība $x^2+y^2 ≤ 25$ nav izpildīta. Secinājums: punkts $(6;-8)$ nepieder pie reģiona $D$.

Tādējādi $D$ iekšpusē nav kritisku punktu. Ejam tālāk, uz. Mums ir jāizpēta funkcijas uzvedība uz dotās zonas robežas, t.i. uz apļa $x^2+y^2=25$. Jūs, protams, varat izteikt $y$ kā $x$ un pēc tam iegūto izteiksmi aizstāt ar mūsu funkciju $z$. No apļa vienādojuma iegūstam: $y=\sqrt(25-x^2)$ vai $y=-\sqrt(25-x^2)$. Dotajā funkcijā aizstājot, piemēram, $y=\sqrt(25-x^2)$, mēs iegūsim:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Tālākais risinājums būs pilnīgi identisks funkcijas uzvedības izpētei uz reģiona robežas iepriekšējā piemērā Nr.1. Tomēr man šķiet saprātīgāk šajā situācijā piemērot Lagranža metodi. Mūs interesē tikai šīs metodes pirmā daļa. Pēc Lagranža metodes pirmās daļas izmantošanas mēs iegūsim punktus, kuros un pārbaudīsim funkciju $z$ minimālajām un maksimālajām vērtībām.

Mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Mēs atrodam Lagranža funkcijas daļējos atvasinājumus un veidojam atbilstošo vienādojumu sistēmu:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(līdzināts) \ pa labi. \;\; \left \( \begin(līdzināts) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( līdzināts)\pa labi.$$

Lai atrisinātu šo sistēmu, uzreiz norādīsim, ka $\lambda\neq -1$. Kāpēc $\lambda\neq -1$? Mēģināsim aizstāt $\lambda=-1$ pirmajā vienādojumā:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultātā iegūtā pretruna $0=6$ saka, ka vērtība $\lambda=-1$ nav derīga. Izvade: $\lambda\neq -1$. Izteiksim $x$ un $y$ kā $\lambda$:

\begin(līdzināts) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \beigas (līdzināts)

Es uzskatu, ka šeit kļūst skaidrs, kāpēc mēs īpaši izvirzījām nosacījumu $\lambda\neq -1$. Tas tika darīts, lai bez traucējumiem iekļautu izteiksmi $1+\lambda$ saucējos. Tas ir, lai pārliecinātos, ka saucējs ir $1+\lambda\neq 0$.

Aizstāsim iegūtās izteiksmes $x$ un $y$ ar trešo sistēmas vienādojumu, t.i. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

No iegūtās vienādības izriet, ka $1+\lambda=2$ vai $1+\lambda=-2$. Tādējādi mums ir divas parametra $\lambda$ vērtības, proti: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Attiecīgi mēs iegūstam divus vērtību pārus $x$ un $y$:

\begin(līdzināts) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \beigas (līdzināts)

Tātad, mēs saņēmām divus iespējamās nosacījuma ekstrēma punktus, t.i. $M_1(3;-4)$ un $M_2(-3;4)$. Atrodiet funkcijas $z$ vērtības punktos $M_1$ un $M_2$:

\begin(līdzināts) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cpunkts 3+16\cpunkts (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \beigas (līdzināts)

Mums jāizvēlas lielākās un mazākās vērtības no tām, kuras ieguvām pirmajā un otrajā solī. Bet šajā gadījumā izvēle ir maza :) Mums ir:

$$z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Atbilde: $z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125$.

Bieži vien ir jāatrisina problēmas, kurās ir jāatrod lielākā vai mazākā vērtība no to vērtību kopas, ko funkcija aizņem segmentā.

Pievērsīsimies, piemēram, funkcijas f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 grafikam segmentā [-1; 2]. Lai strādātu ar funkciju, mums ir jāizveido tās grafiks.

No uzzīmētā grafika var redzēt, ka augstākā vērtībašajā segmentā, kas vienāds ar 2, funkcija ņem punktos: x = -1 un x = 1; mazākā vērtība, vienāds ar -7, funkcijai ir x = 2.

Punkts x \u003d 0 ir funkcijas f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 minimālais punkts. Tas nozīmē, ka ir punkta x \u003d 0 apkārtne, piemēram, intervāls (-1/2; 1/2) - tā, ka šajā apkārtnē funkcijai ir mazākā vērtība pie x \u003d 0. Tomēr, lielākā intervālā, piemēram, segmentā [ -one; 2], funkcija iegūst mazāko vērtību segmenta beigās, nevis minimālajā punktā.

Tādējādi, lai noteiktā segmentā atrastu mazāko funkcijas vērtību, ir jāsalīdzina tās vērtības segmenta galos un minimālajos punktos.

Kopumā pieņemsim, ka funkcija f(x) ir nepārtraukta segmentā un ka funkcijai ir atvasinājums katrā šī segmenta iekšējā punktā.

Lai segmentā atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības, ir nepieciešams:

1) atrodiet funkcijas vērtības segmenta galos, t.i. skaitļi f(a) un f(b);

2) atrast funkcijas vērtības stacionārajos punktos, kas ietilpst intervālā (a; b);

3) izvēlieties lielāko un mazāko no atrastajām vērtībām.

Pielietosim iegūtās zināšanas praksē un apsvērsim problēmu.

Atrodiet segmentā funkcijas f (x) \u003d x 3 + x / 3 lielāko un mazāko vērtību.

Lēmums.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

Intervāls (1/2; 2) satur vienu stacionāru punktu x 1 = 1, f(1) = 4.

3) No skaitļiem 6 1/8, 9 ½ un 4 lielākais ir 9 ½, mazākais ir 4.

Atbilde. Lielākā objekta vērtība ir 9½, mazākā objekta vērtība ir 4.

Bieži vien, risinot uzdevumus, ir jāatrod lielākā un mazākā funkcijas vērtība nevis segmentā, bet gan intervālā.

Praktiskos uzdevumos funkcijai f(x) parasti ir tikai viens stacionārs punkts dotajā intervālā: vai nu maksimālais punkts, vai minimālais punkts. Šādos gadījumos funkcija f(x) iegūst lielāko vērtību noteiktā intervālā maksimālajā punktā un minimālajā punktā - mazāko vērtību šajā intervālā. Pievērsīsimies problēmai.

Skaitli 36 raksta kā divu pozitīvu skaitļu reizinājumu, kuru summa ir mazākā.

Lēmums.

1) Lai pirmais koeficients ir x, tad otrais koeficients ir 36/x.

2) Šo skaitļu summa ir x + 36/x.

3) Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem x ir pozitīvs skaitlis. Tātad problēma tiek samazināta līdz x vērtības atrašanai - tā, ka funkcija f (x) \u003d x + 36 / x ņem mazāko vērtību intervālā x > 0.

4) Atrodiet atvasinājumu: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) Stacionārie punkti x 1 = 6, x 2 = -6. Intervālā x > 0 ir tikai viens stacionārs punkts x = 6. Izejot caur punktu x = 6, atvasinājums maina zīmi “–” pret zīmi “+”, un tāpēc x = 6 ir minimālais punkts. Līdz ar to funkcija f(x) = x + 36/x iegūst mazāko vērtību intervālā x > 0 punktā x = 6 (tā ir vērtība f(6) = 12).

Atbilde. 36 = 6 ∙ 6.

Risinot dažas problēmas, kurās jāatrod lielākās un mazākās funkcijas vērtības, ir lietderīgi izmantot šādu paziņojumu:

ja funkcijas f(x) vērtības ir nenegatīvas kādā intervālā, tad šī funkcija un funkcija (f(x)) n , kur n ir dabiskais skaitlis, ņemiet lielāko (mazāko) vērtību tajā pašā punktā.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

2020. gada jūlijā NASA uzsāk ekspedīciju uz Marsu. Kosmosa kuģis uz Marsu nogādās elektronisku nesēju ar visu reģistrēto ekspedīcijas dalībnieku vārdiem.

Ja šī ziņa atrisināja jūsu problēmu vai jums tas vienkārši patika, kopīgojiet saiti uz to ar draugiem sociālajos tīklos.

Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem un vai tieši aiz atzīmes . Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski izseko un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ielīmēsit otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.

Vienkāršākais veids, kā izveidot savienojumu ar MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro ielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas ir viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs iegult matemātikas formulas savās tīmekļa lapās.

Kārtējais Vecgada vakars... sals un sniegpārslas uz loga rūts... Tas viss pamudināja vēlreiz rakstīt par... fraktāļiem, un ko par to zina Volframs Alfa. Šajā gadījumā ir interesants raksts, kurā ir divdimensiju fraktāļu struktūru piemēri. Šeit mēs apskatīsim vairāk sarežģīti piemēri trīsdimensiju fraktāļi.

Fraktāli var vizuāli attēlot (aprakstīt) kā ģeometrisku figūru vai ķermeni (tas nozīmē, ka abi ir kopa, šajā gadījumā punktu kopa), kuras detaļām ir tāda pati forma kā pašai oriģinālajai figūrai. Tas ir, tā ir sev līdzīga struktūra, kuras detaļas, ņemot vērā tās palielinājumu, mēs redzēsim tādu pašu formu kā bez palielinājuma. Savukārt parastā gadījumā ģeometriskā figūra(nevis fraktālis), pietuvinot, mēs redzēsim detaļas, kurām ir vienkāršāka forma nekā pašai oriģinālajai figūrai. Piemēram, ar pietiekami lielu palielinājumu daļa elipses izskatās kā taisnas līnijas segments. Ar fraktāļiem tas nenotiek: ar to pieaugumu mēs atkal redzēsim to pašu sarežģīto formu, kas ar katru palielinājumu atkārtosies atkal un atkal.

Fraktāļu zinātnes pamatlicējs Benuā Mandelbrots savā rakstā Fractals and Art for Science rakstīja: "Fraktāļi ir ģeometriskas formas, kuru detaļās ir tikpat sarežģītas kā savās detaļās. vispārējā forma. Tas ir, ja fraktāļa daļa tiek palielināta līdz veseluma izmēram, tā izskatīsies kā veselums vai nu precīzi, vai varbūt ar nelielu deformāciju.

Funkcijas lielākās un mazākās vērtības

jēdzieni matemātiskā analīze. Vērtību, ko funkcija ieņem kādā kopas punktā, kurā šī funkcija ir definēta, sauc par lielāko (mazāko) vērtību šajā kopā, ja funkcijai nav lielākas (mazākas) vērtības nevienā citā kopas punktā. N. un n. h. f. salīdzinājumā ar tā vērtībām visos pietiekami tuvos punktos sauc par funkcijas galējībām (attiecīgi maksimumiem un minimumiem). N. un n. h. f., kas norādīts segmentā, var sasniegt vai nu punktos, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, vai punktos, kur tā nepastāv, vai segmenta galos. Nepārtraukta funkcija, kas dota segmentam, noteikti sasniedz maksimālo un minimālo vērtību; ja intervālā tiek aplūkota nepārtraukta funkcija (tas ir, segments ar izslēgtiem galiem), tad starp tās vērtībām šajā intervālā var nebūt maksimuma vai minimuma. Piemēram, funkcija plkst = x, kas norādīts intervālā , sasniedz attiecīgi lielāko un mazāko vērtību plkst x= 1 un x= 0 (t.i., segmenta galos); ja ņemam vērā šo funkciju intervālā (0; 1), tad starp tās vērtībām šajā intervālā nav ne lielākā, ne mazākā, jo katram x0 vienmēr ir šī intervāla punkts, kas atrodas pa labi (pa kreisi) x0, un tā, lai funkcijas vērtība šajā punktā būtu lielāka (attiecīgi mazāka) nekā punktā x0. Līdzīgi apgalvojumi ir derīgi vairāku mainīgo funkcijām. Skatīt arī Extreme.

Liels padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir "Funkciju lielākās un mazākās vērtības" citās vārdnīcās:

Liels enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātiskās analīzes jēdzieni. Vērtību, ko funkcija ieņem kādā kopas punktā, kurā šī funkcija ir dota, sauc par lielāko (mazāko) šajā kopā, ja nevienā citā punktā funkcijai nav lielāka (mazāka) ... ... enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas jēdzieni. analīze. Vērtība, ko funkcija ieņem noteiktā kopas punktā, pa rum šī funkcija tiek dota, izsaukta. lielākā (mazākā) šajā kopā, ja nevienā citā punktā funkcijai nav lielāka (mazāka) vērtība ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

MAKSIMĀLĀ UN MINIMĀLĀ FUNKCIJA- attiecīgi lielākās un mazākās funkcijas vērtības salīdzinājumā ar tās vērtībām visos pietiekami tuvu punktos. Augstos un zemākos punktus sauc par galējiem... Lielā Politehniskā enciklopēdija

Lielākās un attiecīgi mazākās funkcijas vērtības, kas ņem reālās vērtības. Tiek izsaukts attiecīgās funkcijas definīcijas apgabala punkts, kurā tai ir maksimums vai minimums. attiecīgi maksimālais punkts vai minimālais punkts ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Trīskāršā funkcija funkcionālo sistēmu un trīskāršās loģikas teorijā ir tipa funkcija, kur ir trīskārša kopa un ir nenegatīvs vesels skaitlis, ko sauc par funkcijas aritāti vai lokalizāciju. Komplekta elementi ir digitāli ... ... Wikipedia

Būla funkciju attēlojums ar normālām formām (sk. Būla funkciju normālās formas). visvienkāršākā attiecībā uz kādu sarežģītības pakāpi. Parasti ar parastās formas sarežģītību saprot burtu skaitu tajā. Šajā gadījumā vienkāršāko formu sauc par ...... Matemātiskā enciklopēdija

Funkcija, kas saņem bezgalīgi mazus pieaugumus, jo arguments palielinās bezgalīgi. Vienas vērtības funkciju f (x) sauc par nepārtrauktu argumenta x0 vērtībai, ja visām argumenta x vērtībām, kas pietiekami maz atšķiras no x0 ... Lielā padomju enciklopēdija

- (Latīņu maksimums un minimums, burtiski lielākā un mazākā) (matemātika), lielākās un mazākās funkcijas vērtības, salīdzinot ar tās vērtībām pietiekami tuvu punktos. Attēlā funkcijai y \u003d f (x) ir maksimums punktos x1 un x3, un punktā x2 ... ... enciklopēdiskā vārdnīca

- (no latīņu maksimālā un minimālā, lielākā un mazākā) (matemātiskā), lielākās un mazākās funkcijas vērtības, salīdzinot ar tās vērtībām pietiekami tuvu punktos. Augstos un zemākos punktus sauc par galējiem... Mūsdienu enciklopēdija

\(\blacktriangleright\) Lai segmentā \(\) atrastu funkcijas lielāko/mazāko vērtību, ir nepieciešams shematiski attēlot funkcijas grafiku uz šī segmenta.
Šīs apakštēmas uzdevumos to var izdarīt, izmantojot atvasinājumu: atrodiet pieauguma (\(f">0\) ) un samazinājuma (\(f) intervālus<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Neaizmirstiet, ka funkcija var iegūt maksimālo/mazāko vērtību ne tikai segmenta \(\) iekšējos punktos, bet arī tā galos.

\(\blacktriangleright\) Funkcijas lielākā/mazākā vērtība ir koordinātes vērtība \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Sarežģītas funkcijas \(f(t(x))\) atvasinājums tiek meklēts saskaņā ar noteikumu: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(masīvs)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkcija ) f(x) & \text(Atvasinājums ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(masīvs) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkcija ) f(x) & \text(Atvasinājums ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(masīvs)\]

1. uzdevums #2357

Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu

Atrodiet funkcijas \(y = e^(x^2 - 4)\) mazāko vērtību intervālā \([-10; -2]\) .

ODZ: \(x\) - patvaļīgs.

1) \

\ Tātad \(y" = 0\), kad \(x = 0\) .

3) Atradīsim konstantes zīmes \(y"\) intervālus aplūkotajā segmentā \([-10; -2]\) :

4) Diagrammas skice segmentā \([-10; -2]\) :

Tādējādi funkcija sasniedz mazāko vērtību \([-10; -2]\) pie \(x = -2\) .

\ Kopā: \(1\) ir mazākā funkcijas \(y\) vērtība \([-10; -2]\) .

Atbilde: 1

2. uzdevums #2355

Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) segmentā \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - patvaļīgs.

1) \

Atradīsim kritiskos punktus (tas ir, funkcijas domēna iekšējos punktus, kuros tās atvasinājums ir vienāds ar \(0\) vai neeksistē): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftright arrow\qquad x = 0\,.\] Atvasinājums pastāv jebkuram \(x\) .

2) Atrodiet konstantes zīmes \(y"\) intervālus:

3) Atradīsim aplūkotajā segmentā \([-1; 1]\) konstantes zīmes \(y"\) intervālus:

4) Diagrammas skice segmentā \([-1; 1]\) :

Tādējādi funkcija sasniedz maksimālo vērtību \([-1; 1]\) \(x = -1\) vai \(x = 1\) . Salīdzināsim funkcijas vērtības šajos punktos.

\ Kopā: \(2\) ir lielākā funkcijas \(y\) vērtība \([-1; 1]\) .

Atbilde: 2

3. uzdevums #2356

Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu

Atrodiet mazāko funkcijas \(y = \cos 2x\) vērtību intervālā \(\) .

ODZ: \(x\) - patvaļīgs.

1) \

Atradīsim kritiskos punktus (tas ir, funkcijas domēna iekšējos punktus, kuros tās atvasinājums ir vienāds ar \(0\) vai neeksistē): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Atvasinājums pastāv jebkuram \(x\) .

2) Atrodiet konstantes zīmes \(y"\) intervālus:

(šeit ir bezgalīgs skaits intervālu, kuros mijas atvasinājuma zīmes).

3) Atradīsim noturības \(y"\) intervālus aplūkotajā segmentā \(\) :

4) Diagrammas skice segmentā \(\) :

Tādējādi funkcija sasniedz mazāko vērtību \(\) pie \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Kopā: \(-1\) ir funkcijas \(y\) mazākā vērtība \(\) .

Atbilde: -1

4. uzdevums #915

Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Izlemsim par ODZ:

1) Apzīmējiet \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , tad \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Atradīsim kritiskos punktus (tas ir, funkcijas domēna iekšējos punktus, kuros tās atvasinājums ir vienāds ar \(0\) vai neeksistē): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftright bultiņa\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ, no kurienes atrodam sakni \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Funkcijas \(y\) atvasinājums neeksistē \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , bet dots vienādojums negatīvs diskriminants, tāpēc tam nav risinājumu. Lai atrastu funkcijas lielāko/mazāko vērtību, ir jāsaprot, kā shematiski izskatās tās grafiks.

2) Atrodiet konstantes zīmes \(y"\) intervālus:

3) Grafiskā skice:

Tādējādi funkcija sasniedz maksimālo vērtību pie \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

Kopā: \(0\) ir funkcijas \(y\) lielākā vērtība.

Atbilde: 0

5. uzdevums #2344

Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu

Atrodiet funkcijas mazāko vērtību

\(y = \log_(3) (x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Izlemsim par ODZ:

1) Apzīmējiet \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , tad \(y(t)=\log_(3)t\) .

Atradīsim kritiskos punktus (tas ir, funkcijas domēna iekšējos punktus, kuros tās atvasinājums ir vienāds ar \(0\) vai neeksistē): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftright arrow\qquad 2x+8 = 0\]- ODZ, no kurienes mēs atrodam sakni \ (x \u003d -4 \) . Funkcijas \(y\) atvasinājums neeksistē \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , taču šim vienādojumam ir negatīvs diskriminants, tāpēc tam nav atrisinājumu. Lai atrastu funkcijas lielāko/mazāko vērtību, ir jāsaprot, kā shematiski izskatās tās grafiks.

2) Atrodiet konstantes zīmes \(y"\) intervālus:

3) Grafiskā skice:

Tādējādi \(x = -4\) ir funkcijas \(y\) minimālais punkts, un tajā tiek sasniegta mazākā vērtība:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Kopā: \(1\) ir funkcijas \(y\) mazākā vērtība.

Atbilde: 1

6. uzdevums #917

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā eksāmens

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).