Paralēlā pārsūtīšana.

PĀRVIETOŠANA PA Y-ASSI

f(x) => f(x) - b
Jāuzzīmē funkcija y \u003d f (x) - b. Ir viegli redzēt, ka šī grafika ordinātas visām x vērtībām uz |b| vienības mazākas par atbilstošām funkciju grafika ordinātām y = f(x) b>0 un |b| vienības vairāk - pie b 0 vai uz augšu pie b Lai attēlotu funkciju y + b = f(x), attēlojiet funkciju y = f(x) un pārvietojiet x asi uz |b| vienībām līdz b>0 vai par |b| vienības uz leju pie b

PĀRVIETOŠANA PA X-ASSI

f(x) => f(x + a)
Jāuzzīmē funkcija y = f(x + a). Aplūkosim funkciju y = f(x), kas kādā brīdī x = x1 iegūst vērtību y1 = f(x1). Acīmredzot funkcija y = f(x + a) iegūs tādu pašu vērtību punktā x2, kura koordinātu nosaka no vienādības x2 + a = x1, t.i. x2 = x1 - a, un aplūkotā vienādība ir derīga visu vērtību kopumam no funkcijas domēna. Tāpēc funkcijas y = f(x + a) grafiku var iegūt, paralēli pārvietojot funkcijas y = f(x) grafiku pa x asi pa kreisi par |a| tie, kuriem a > 0 vai pa labi ar |a| vienības a Lai attēlotu funkciju y = f(x + a), uzzīmējiet funkciju y = f(x) un pārvietojiet y asi uz |a| vienības pa labi, ja a>0 vai |a| vienības pa kreisi uz a

Piemēri:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Atspulgs.

SKATA FUNKCIJAS GRAFIKA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Acīmredzot, funkcijas y = f(-x) un y = f(x) iegūst vienādas vērtības punktos, kuru abscises ir vienādas absolūtā vērtībā, bet pretējās pēc zīmes. Citiem vārdiem sakot, funkcijas y = f(-x) grafika ordinātas x pozitīvo (negatīvo) vērtību apgabalā būs vienādas ar funkcijas y = f(x) grafika ordinātām. ar negatīvām (pozitīvām) x vērtībām, kas atbilst absolūtā vērtībā. Tādējādi mēs iegūstam šādu noteikumu.
Lai attēlotu funkciju y = f(-x), ir jāatzīmē funkcija y = f(x) un jāatspoguļo tā gar y asi. Iegūtais grafiks ir funkcijas y = f(-x) grafiks

SKATA FUNKCIJAS GRAFIKA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Funkcijas y = - f(x) grafika ordinātas visām argumenta vērtībām ir vienādas absolūtā vērtībā, bet pēc zīmes ir pretējas funkcijas y = f(x) grafika ordinātām. tās pašas argumenta vērtības. Tādējādi mēs iegūstam šādu noteikumu.
Lai attēlotu funkciju y = - f(x), ir jāatzīmē funkcija y = f(x) un jāatspoguļo tā ap x asi.

Piemēri:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformācija.

GRAFIKA DEFORMĀCIJA PA Y-ASSI

f(x) => kf(x)
Aplūkosim funkciju formā y = k f(x), kur k > 0. Ir viegli redzēt, ka vienādām argumenta vērtībām šīs funkcijas grafika ordinātas būs k reizes lielākas par ordinātām funkcijas y = f(x) grafiks k > 1 vai 1/k reizes mazāks par funkcijas y = f(x) grafika ordinātām k ) vai samazināt tās ordinātas par 1/k reizes, ja k )
k > 1- stiepjas no Vērša ass
0 - saspiešana uz OX asi

GRAFIKA DEFORMĀCIJA PA X-ASSI

f(x) => f(kx)
Jāuzzīmē funkcija y = f(kx), kur k>0. Aplūkosim funkciju y = f(x), kas iegūst vērtību y1 = f(x1) patvaļīgā punktā x = x1. Acīmredzot funkcija y = f(kx) iegūst tādu pašu vērtību punktā x = x2, kura koordinātu nosaka vienādība x1 = kx2, un šī vienādība ir derīga visu x vērtību kopumam no funkcijas domēns. Līdz ar to funkcijas y = f(kx) grafiks ir saspiests (par k 1) pa abscisu asi attiecībā pret funkcijas y = f(x) grafiku. Tādējādi mēs iegūstam noteikumu.
Lai attēlotu funkciju y = f(kx), uzzīmējiet funkciju y = f(x) un samaziniet tās abscisu par k reizēm, ja k>1 (samazināt grafiku gar abscisu) vai palielināt tās abscisu par 1/k reizes, ja k
k > 1- saspiešana uz Oy asi
0 - stiepjas no OY ass

Darbus veica Aleksandrs Čičkanovs, Dmitrijs Ļeonovs Tkach T.V., Vjazovova S.M., Ostroverkhova I.V uzraudzībā.
©2014

Eksponenciālā funkcija ir n skaitļu reizinājuma vispārinājums, kas vienāds ar a:
y (n) = a n = a a a a,
uz reālo skaitļu kopu x :
y (x) = x.
Šeit a ir fiksēts reālais skaitlis, ko sauc eksponenciālās funkcijas bāze.
Tiek saukta arī eksponenciāla funkcija ar bāzi a eksponenciāls a bāzei.

Vispārināšana tiek veikta šādi.
Dabiskajam x = 1, 2, 3,... , eksponenciālā funkcija ir x faktoru reizinājums:
.
Turklāt tam ir īpašības (1,5-8) (), kas izriet no skaitļu reizināšanas noteikumiem. Pie nulles un negatīvām veselu skaitļu vērtībām eksponenciālo funkciju nosaka ar formulām (1.9-10). Racionālo skaitļu daļējām vērtībām x = m/n to nosaka pēc formulas (1.11). Reāli eksponenciālā funkcija ir definēta kā secības robeža:
,
kur ir patvaļīga racionālu skaitļu secība, kas konverģē uz x : .
Izmantojot šo definīciju, eksponenciālā funkcija ir definēta visiem , un tā atbilst īpašībām (1,5-8), kā arī dabiskajam x .

Stingrs eksponenciālās funkcijas definīcijas matemātiskais formulējums un tās īpašību pierādījums ir sniegts lapā "Eksponenciālās funkcijas īpašību definīcija un pierādījums".

Eksponenciālās funkcijas īpašības

Eksponenciālajai funkcijai y = a x reālo skaitļu kopai () ir šādas īpašības:
(1.1) ir definēts un nepārtraukts , visiem ;
(1.2) kad a ≠ 1 ir daudz nozīmju;
(1.3) stingri palielinās pie , stingri samazinās pie ,
ir nemainīgs pie ;
(1.4) pie ;
pie ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Citas noderīgas formulas
.
Formula konvertēšanai uz eksponenciālu funkciju ar atšķirīgu jaudas bāzi:

Ja b = e , mēs iegūstam eksponenciālās funkcijas izteiksmi eksponenta izteiksmē:

Privātās vērtības

, , , , .

Attēlā parādīti eksponenciālās funkcijas grafiki
y (x) = x
četrām vērtībām grādu bāzes:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 un a = 1/8 . Var redzēt, ka par > 1 eksponenciālā funkcija monotoni pieaug. Jo lielāka ir pakāpes a bāze, jo spēcīgāka ir izaugsme. Plkst 0 < a < 1 eksponenciālā funkcija monotoni samazinās. Jo mazāks eksponents a, jo spēcīgāks samazinājums.

Augošā, dilstošā

Eksponenciālā funkcija pie ir stingri monotona, tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domēns	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vērtību diapazons	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotons	palielinās monotoni	monotoni samazinās
Nulles, y= 0	Nē	Nē
Krustošanās punkti ar y asi, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Apgrieztā funkcija

Eksponenciālas funkcijas apgrieztā vērtība ar pakāpes a bāzi ir logaritms pret bāzi a.

Ja tad
.
Ja tad
.

Eksponenciālās funkcijas diferenciācija

Lai diferencētu eksponenciālu funkciju, tās bāze jāsamazina līdz skaitlim e, jāpiemēro atvasinājumu tabula un kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikums.

Lai to izdarītu, jums ir jāizmanto logaritmu īpašība
un formula no atvasinājumu tabulas:
.

Dota eksponenciāla funkcija:
.
Mēs to nogādājam bāzē e:

Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu. Lai to izdarītu, mēs ieviešam mainīgo

Tad

No atvasinājumu tabulas mums ir (aizstāt mainīgo x ar z ):
.
Tā kā ir konstante, z atvasinājums attiecībā pret x ir
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
.

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Eksponenciālās funkcijas diferencēšanas piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu
y= 35 x

Risinājums

Mēs izsakām eksponenciālās funkcijas bāzi ar skaitli e.
3 = e log 3
Tad
.
Mēs ieviešam mainīgo
.
Tad

No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.
Tāpēc ka 5ln 3 ir konstante, tad z atvasinājums attiecībā pret x ir:
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu mums ir:
.

Atbilde

Integrāls

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Apsveriet kompleksā skaitļa funkciju z:
f (z) = az
kur z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Komplekso konstanti a izsakām ar moduli r un argumentu φ:
a = r e i φ
Tad


.
Arguments φ nav unikāli definēts. AT vispārējs skats
φ = φ 0 + 2 pn,
kur n ir vesels skaitlis. Tāpēc funkcija f (z) ir arī neskaidrs. Bieži tiek uzskatīts par tā galveno nozīmi
.

Sērijas paplašināšana

.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.

Atkarībā no fizisko procesu norises apstākļiem daži lielumi iegūst nemainīgas vērtības un tiek saukti par konstantēm, citi noteiktos apstākļos mainās un tiek saukti par mainīgajiem.

rūpīga izpēte vide parāda to fizikālie lielumi ir atkarīgi viens no otra, tas ir, dažu daudzumu izmaiņas izraisa izmaiņas citos.

Matemātiskā analīze pēta savstarpēji mainīgu lielumu kvantitatīvās attiecības, abstrahējoties no konkrētās fiziskās nozīmes. Viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem ir funkcijas jēdziens.

Apsveriet kopas elementus un kopas elementus
(3.1. att.).

Ja starp kopu elementiem tiek konstatēta kāda atbilstība
un parasti , tad mēs atzīmējam, ka funkcija ir definēta
.

Definīcija 3.1. Atbilstība , kas ir saistīts ar katru elementu nav tukšs komplekts
kāds labi definēts elements nav tukšs komplekts , sauc par funkciju vai kartēšanu
iekšā .

Simboliski parādīt
iekšā ir rakstīts šādi:

.

Tajā pašā laikā daudzi
tiek saukts par funkcijas domēnu un tiek apzīmēts
.

Savukārt daudzi sauc par funkcijas diapazonu un tiek apzīmēts
.

Turklāt jāņem vērā, ka komplekta elementi
tiek saukti par neatkarīgiem mainīgajiem, kopas elementiem tiek saukti par atkarīgiem mainīgajiem.

Funkcijas iestatīšanas veidi

Funkciju var definēt šādos galvenajos veidos: tabulas, grafiskā, analītiskā.

Ja, pamatojoties uz eksperimentālajiem datiem, tiek apkopotas tabulas, kurās ir funkcijas vērtības un atbilstošās argumenta vērtības, tad šo funkcijas norādīšanas metodi sauc par tabulu.

Tajā pašā laikā, ja daži eksperimenta rezultāta pētījumi tiek izvadīti uz reģistratoru (osciloskops, reģistrators utt.), Tiek atzīmēts, ka funkcija tiek iestatīta grafiski.

Visizplatītākais ir funkcijas analītiskais definēšanas veids, t.i. metode, kurā neatkarīgie un atkarīgie mainīgie tiek saistīti, izmantojot formulu. Šajā gadījumā svarīga loma ir funkcijas definīcijas domēnam:

atšķirīgi, lai gan tos nosaka vienas un tās pašas analītiskās attiecības.

Ja ir dota tikai funkcijas formula
, tad mēs uzskatām, ka šīs funkcijas definīcijas domēns sakrīt ar mainīgā lieluma vērtību kopu , kurai izteiksme
ir nozīme. Šajā sakarā īpaša loma ir problēmai atrast funkcijas domēnu.

Uzdevums 3.1. Atrodiet funkcijas darbības jomu

Risinājums

Pirmajā terminā ir reālās vērtības
, bet otrais plkst. Tādējādi, lai atrastu dotās funkcijas definīcijas apgabalu, ir jāatrisina nevienādību sistēma:

Šādas sistēmas risinājuma rezultātā iegūstam . Tāpēc funkcijas domēns ir segments
.

Vienkāršākās funkciju grafiku transformācijas

Funkciju grafiku konstruēšanu var ievērojami vienkāršot, ja izmantosim zināmos galveno elementāro funkciju grafikus. Par pamatelementārajām funkcijām sauc šādas funkcijas:

1) jaudas funkcija
kur
;

2) eksponenciālā funkcija
kur
un
;

3) logaritmiskā funkcija
, kur - jebkurš pozitīvs skaitlis, izņemot vienu:
un
;

4)trigonometriskās funkcijas




;
.

5) apgrieztās trigonometriskās funkcijas
;
;
;
.

Elementārās funkcijas sauc par funkcijām, kas iegūtas no pamata elementārfunkcijām, izmantojot četras aritmētiskās darbības un superpozīcijas, kas pielietotas ierobežotu skaitu reižu.

Vienkāršas ģeometriskas transformācijas arī vienkāršo funkciju zīmēšanas procesu. Šīs transformācijas ir balstītas uz šādiem apgalvojumiem:

Funkcijas y=f(x+a) grafiks ir grafiks y=f(x), nobīdīts (>0 pa kreisi,< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Funkcijas y=f(x) +b grafikā ir grafiki y=f(x), nobīdīti (ja b>0 uz augšu, ja b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Funkcijas y = mf(x) (m0) grafiks ir grafiks y = f(x), izstiepts (ja m>1) m reizes vai saspiests (ja 0

Funkcijas y = f(kx) grafiks ir grafiks y = f(x), saspiests (ja k > 1) k reizes vai izstiepts (ja 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

Kurai no šīm funkcijām ir apgrieztā vērtība? Šādām funkcijām atrodiet apgrieztās funkcijas:

4.12. a)	y=x;					b) y = 6 -3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. a)	y = 4x - 5;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = zīme x ;						y=1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1;
			x-2
						pie x< 0
c) y =		−x
						ja x ≥ 0

Uzziniet, kuras no šīm funkcijām ir monotoniskas, kuras ir stingri monotoniskas un kuras ir ierobežotas:

4.14. a)

f (x) = c, c R;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d arctg x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7 x .

4.15. a)

f(x) = 3−x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

x< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

− 10 plkst

f(x)=

e) f(x) =

x 2 plkst

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. elementāras funkcijas. Funkciju grafika transformācija

Atgādinām, ka funkcijas f (x) grafiks Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy ir visu plaknes punktu kopa ar koordinātām (x, f (x)).

Bieži vien funkcijas y \u003d f (x) grafiku var izveidot, izmantojot kādas jau zināmas funkcijas grafika transformācijas (nobīde, stiepšana).

Jo īpaši no funkcijas y \u003d f (x) grafika tiek iegūts funkcijas grafiks:

1) y \u003d f (x) + a - nobīde pa Oy asi par vienībām (uz augšu, ja a > 0, un uz leju, ja a< 0 ;

2) y \u003d f (x − b) - nobīde pa Ox asi par b vienībām (pa labi, ja b > 0,

un pa kreisi, ja b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - izstiepjot pa Oy asi k reizes;

4) y \u003d f (mx) - saspiešana pa Ox asi m reizes;

5) y \u003d - f (x) - simetrisks atspulgs ap asi Ox;

6) y \u003d f (-x) - simetrisks atspulgs ap asi Oy;

7) y \u003d f (x), šādi: grafika daļa, kas neatrodas

zem Vērša ass, paliek nemainīgs, un grafika “apakšējā” daļa tiek atspoguļota simetriski ap Vērša asi;

8) y = f (x ) , šādi: diagrammas labā puse (ja x ≥ 0 )

paliek nemainīgs, un "kreisā" vietā tiek uzbūvēts simetrisks "labā" atspulgs ap asi Oy.

Galvenās elementārās funkcijas sauc:

1) nemainīga funkcija y = c;

2) jaudas funkcija y = x α , α R ;

3) eksponenciālā funkcija y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) logaritmisks funkcija y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) trigonometrisks funkcijas y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (kur sec x = cos 1 x ), y = cosec x (kur cosec x = sin 1 x );

6) apgrieztās trigonometriskās funkcijas y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

elementāras funkcijas sauc par funkcijām, kas iegūtas no pamatelementārajām funkcijām ar ierobežota skaita aritmētisko darbību (+, − , ÷) un kompozīciju (t.i., komplekso funkciju f g veidošanās) palīdzību.

Piemērs 4.6. Uzzīmējiet funkciju

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = -2sin 4 x .

Risinājums: 1) izceļot pilno kvadrātu, funkcija tiek pārvērsta formā y = (x +3) 2 − 2, tātad šīs funkcijas grafiku var iegūt no funkcijas y = x 2 grafika. Pietiek vispirms nobīdīt parabolu y \u003d x 2 par trim vienībām pa kreisi (iegūstam funkcijas y \u003d (x +3) 2 grafiku) un pēc tam divas vienības uz leju (4.1. att.);

	standarta	sinusoidāls						y = grēks x	četras reizes pa asi		Vērsis,
iegūstam funkcijas y \u003d sin 4 x grafiku (4.2. att.).
										y=sin4x
										y=sin x

Divreiz izstiepjot iegūto grafiku pa Oy asi, iegūstam funkcijas y \u003d 2sin 4 x grafiku (4.3. att.). Atliek atspoguļot pēdējo grafiku attiecībā pret Vērša asi. Rezultātā tiks iegūts vēlamais grafiks (skat. 4.3. att.).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

Veidojiet grafikus šādas funkcijas, pamatojoties uz galveno elementāro funkciju grafikiem:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = -2sin(x -π ) ;

4.18. a) y = − 4 x −1 ;

4.19. a) y = log 2 (−x ) ;

4.20. a) y = x +5;

4.21. a) y \u003d tg x;

4.22. a) y = zīme x ;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 - 2 x - x 2 .

y = 2 cos 2 x .

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Funkciju grafiku pārveidošana ir viens no matemātiskajiem pamatjēdzieniem, kas ir tieši saistīts ar praktiskās aktivitātes. Funkciju grafiku transformācija pirmo reizi sastopama algebras 9. klasē, apgūstot tēmu “ kvadrātiskā funkcija". Kvadrātfunkcija tiek ieviesta un pētīta ciešā saistībā ar kvadrātvienādojumi un nevienlīdzības. Tāpat daudzi matemātiskie jēdzieni tiek aplūkoti ar grafiskām metodēm, piemēram, 10.-11.klasē funkcijas izpēte ļauj atrast definīcijas jomu un funkcijas darbības jomu, samazinājuma vai pieauguma apgabalus, asimptotus, nemainīgas zīmes intervāli utt. Šis svarīgais jautājums tiek iesniegts arī GIA. No tā izriet, ka funkciju grafiku konstruēšana un pārveidošana ir viens no galvenajiem matemātikas mācīšanas uzdevumiem skolā.

Tomēr, lai attēlotu daudzas funkcijas, būvniecības atvieglošanai var izmantot vairākas metodes. Iepriekš minētais definē atbilstība pētniecības tēmas.

Pētījuma objekts ir pētījums par grafiku transformāciju skolas matemātikā.

Studiju priekšmets - funkciju grafiku konstruēšanas un pārveidošanas process vidusskolā.

problēmas jautājums: vai ir iespējams izveidot nepazīstamas funkcijas grafiku, ja ir prasme pārveidot elementāru funkciju grafikus?

Mērķis: funkcijas zīmēšana nepazīstamā situācijā.

Uzdevumi:

1. Analizējiet izglītojošs materiāls par pētāmo problēmu. 2. Identificējiet shēmas funkciju grafiku pārveidošanai par skolas kurss matemātika. 3. Atlasiet visvairāk efektīvas metodes un rīki funkciju grafiku zīmēšanai un pārveidošanai. 4. Prast pielietot šo teoriju problēmu risināšanā.

Nepieciešamās pamatzināšanas, prasmes, iemaņas:

Nosakiet funkcijas vērtību pēc argumenta vērtības kad dažādi veidi funkciju piešķiršana;

Veidot pētāmo funkciju grafikus;

Aprakstiet funkciju uzvedību un īpašības no grafika un, vienkāršākajos gadījumos, no formulas, atrodiet lielākās un mazākās vērtības no funkcijas grafika;

Apraksti ar dažādu atkarību funkciju palīdzību, to attēlošana grafiski, grafiku interpretācija.

Galvenā daļa

Teorētiskā daļa

Kā funkcijas y = f(x) sākotnējo grafiku es izvēlēšos kvadrātfunkciju y=x 2 . Apskatīšu šī grafika transformācijas gadījumus, kas saistīti ar izmaiņām formulā, kas definē šo funkciju, un izdarīšu secinājumus par jebkuru funkciju.

1. Funkcija y = f(x) + a

Jaunajā formulā funkciju vērtības (grafika punktu koordinātas) tiek mainītas ar skaitli a, salīdzinot ar "veco" funkcijas vērtību. Tas noved pie funkcijas grafika paralēlas tulkošanas pa OY asi:

uz augšu, ja a > 0; uz leju, ja a< 0.

SECINĀJUMS

Tādējādi funkcijas y=f(x)+a grafiku iegūst no funkcijas y=f(x) grafika, veicot paralēlu translāciju pa ordinātu asi par vienībām uz augšu, ja a > 0, un ar a vienības uz leju, ja a< 0.

2. Funkcija y = f(x-a),

Jaunajā formulā argumentu vērtības (grafa punktu abscises) tiek mainītas ar skaitli a, salīdzinot ar "veco" argumenta vērtību. Tas noved pie funkcijas grafika paralēlas pārsūtīšanas pa OX asi: pa labi, ja a< 0, влево, если a >0.

SECINĀJUMS

Tātad funkcijas y= f(x - a) grafiks tiek iegūts no funkcijas y=f(x) grafika, paralēli pārvēršot pa abscisu asi par vienībām pa kreisi, ja a > 0, un ar vienībām. pa labi, ja a< 0.

3. Funkcija y = k f(x), kur k > 0 un k ≠ 1

Jaunajā formulā funkciju vērtības (grafika punktu koordinātas) mainās k reizes, salīdzinot ar "veco" funkcijas vērtību. Tas noved pie: 1) "izstiepšanās" no punkta (0; 0) pa OY asi k reizes, ja k > 1, 2) "saspiešana" līdz punktam (0; 0) pa OY asi ar koeficientu. no 0, ja 0< k < 1.

SECINĀJUMS

Tāpēc: lai izveidotu funkcijas y = kf(x), kur k > 0 un k ≠ 1, grafiku, jāreizina funkcijas y = f(x) dotā grafika punktu ordinātas ar k. Šādu pārveidojumu sauc par stiepšanos no punkta (0; 0) pa OY asi k reizes, ja k > 1; saraušanās līdz punktam (0; 0) pa OY asi ar koeficientu, ja 0< k < 1.

4. Funkcija y = f(kx), kur k > 0 un k ≠ 1

Jaunajā formulā argumenta vērtības (grafa punktu abscises) mainās k reizes, salīdzinot ar argumenta "veco" vērtību. Tas noved pie: 1) “izstiepšanās” no punkta (0; 0) pa OX asi 1/k reizes, ja 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

SECINĀJUMS

Un tā: lai izveidotu funkcijas y = f(kx) grafiku, kur k > 0 un k ≠ 1, jāreizina funkcijas y=f(x) dotā grafika punktu abscises ar k . Šādu transformāciju sauc par stiepšanos no punkta (0; 0) pa OX asi 1/k reizes, ja 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funkcija y = - f (x).

Šajā formulā funkcijas vērtības (grafika punktu koordinātas) ir apgrieztas. Šīs izmaiņas rada simetrisku funkcijas sākotnējā grafika attēlojumu ap x asi.

SECINĀJUMS

Lai izveidotu funkcijas y = - f (x) grafiku, ir nepieciešams funkcijas y = f (x) grafiks.

simetriski atspoguļojas ap OX asi. Šādu transformāciju sauc par simetrijas transformāciju ap OX asi.

6. Funkcija y = f (-x).

Šajā formulā argumenta vērtības (grafa punktu abscises) ir apgrieztas. Šīs izmaiņas rada simetrisku sākotnējās funkcijas grafika attēlojumu attiecībā pret OY asi.

Piemērs funkcijai y \u003d - x² šī transformācija nav pamanāma, jo šī funkcija ir vienmērīga un grafiks pēc transformācijas nemainās. Šī transformācija ir redzama, ja funkcija ir nepāra un ja nav ne pāra, ne nepāra.

7. Funkcija y = |f(x)|.

Jaunajā formulā funkciju vērtības (grafa punktu koordinātas) atrodas zem moduļa zīmes. Tas noved pie tā, ka sākotnējās funkcijas diagrammā pazūd daļas ar negatīvām ordinātām (tas ir, tās, kas atrodas apakšējā pusplaknē attiecībā pret Vērša asi) un šo daļu simetrisks attēlojums attiecībā pret Vērša asi.

8. Funkcija y= f (|x|).

Jaunajā formulā argumentu vērtības (grafa punktu abscises) atrodas zem moduļa zīmes. Tas noved pie tā, ka sākotnējās funkcijas diagrammā pazūd daļas ar negatīvām abscisēm (tas ir, tās, kas atrodas kreisajā pusplaknē attiecībā pret OY asi) un tiek aizstātas ar sākotnējā grafika daļām, kas ir simetriskas pret OY. ass.

Praktiskā daļa

Apsveriet dažus iepriekš minētās teorijas piemērošanas piemērus.

1. PIEMĒRS.

Risinājums. Pārveidosim šo formulu:

1) Izveidosim funkcijas grafiku

2. PIEMĒRS.

Uzzīmējiet ar formulu doto funkciju

Risinājums. Pārveidosim šo formulu, izceļot to kvadrātveida trinomāls binominālais kvadrāts:

1) Izveidosim funkcijas grafiku

2) Veikt konstruētā grafa paralēlu pārnešanu uz vektoru

3. PIEMĒRS.

UZDEVUMI NO LIETOŠANAS Pa daļām funkcijas attēlošana

Funkciju grafiks Funkciju grafiks y=|2(x-3)2-2|; viens