Tiešsaistē atrodiet trīs skaitļu piesitienu ar risinājumu. Lielākais kopīgais dalītājs (GCD): definīcija, piemēri un īpašības. Kas ir NOC

Mēs saucam skaitļus, kas dalās ar 10 reizinātājiem ar 10. Piemēram, 30 vai 50 ir 10 reizinātāji. 28 ir 14 reizinātājs. Skaitļus, kas dalās gan ar 10, gan ar 14, dabiski sauc par 10 un 14 kopējiem daudzkārtņiem.

Mēs varam atrast jebkuru kopējo daudzkārtņu skaitu. Piemēram, 140, 280 utt.

Dabisks jautājums ir: kā atrast mazāko kopējo daudzkārtni, mazāko kopējo daudzkārtni?

No skaitļiem 10 un 14 atrastajiem reizinātājiem mazākais līdz šim ir 140. Bet vai tas ir mazākais kopīgais daudzkārtnis?

Aprēķināsim savus skaitļus:

Konstruēsim skaitli, kas dalās ar 10 un 14. Lai dalītos ar 10, ir jābūt koeficientiem 2 un 5. Lai dalītos ar 14, ir jābūt 2 un 7. Bet 2 jau ir, tas paliek. lai pievienotu 7. Rezultātā iegūtais skaitlis 70 ir skaitļu 10 un 14 kopīgs daudzkārtnis. Šajā gadījumā nevarēs izveidot skaitli, kas ir mazāks par šo, lai tas būtu arī kopīgs daudzkārtnis.

Tātad tas ir tas, kas tas ir vismazākais daudzkārtnis. Mēs tam izmantojam apzīmējumu LCM.

Atradīsim GCD un LCM skaitļiem 182 un 70.

Aprēķiniet paši:

3.

Mēs pārbaudām:

Lai saprastu, kas ir GCD un LCM, nevar iztikt bez faktoringa. Bet, kad mēs jau sapratām, kas tas ir, vairs nav nepieciešams to katru reizi ņemt vērā.

Piemēram:

Var viegli redzēt, ka diviem skaitļiem, kur viens dalās ar otru, mazākais ir to GCD un lielākais ir to LCM. Mēģiniet izskaidrot, kāpēc tas tā ir.

Tēta soļa garums ir 70 cm, bet mazajai meitai 15 cm.Viņi sāk staigāt ar kājām uz vienas atzīmes. Cik tālu viņi noies, pirms viņu kājas atkal būs vienā līmenī?

Tētis un meita sāk kustēties. Pirmkārt, kājas atrodas uz vienas atzīmes. Nogājuši dažus soļus, viņu kājas atkal nostājās uz tās pašas zīmes. Tas nozīmē, ka gan tētim, gan meitai līdz šai atzīmei tika veikts vesels soļu skaits. Tas nozīmē, ka attālums līdz viņai jādala gan ar tēta, gan meitas soļa garumu.

Tas ir, mums jāatrod:

Tas ir, tas notiks 210 cm = 2 m 10 cm.

Ir viegli saprast, ka tēvs veiks 3 soļus, bet meita - 14 (1. att.).

Rīsi. 1. Problēmas ilustrācija

1. uzdevums

Petijai VKontakte ir 100 draugu, bet Vaņai 200. Cik draugu Petijai un Vaņai ir kopā, ja ir 30 kopīgi draugi?

Atbilde 300 ir nepareiza, jo viņiem var būt kopīgi draugi.

Atrisināsim šo problēmu šādi. Attēlosim visu Petijas draugu kopu. Daudzus Vaņas draugus attēlosim citā lokā, vairāk.

Šiem lokiem ir kopīga daļa. Tur ir kopīgi draugi. Šo kopīgo daļu sauc par abu kopu "krustošanos". Tas ir, savstarpējo draugu kopums ir katra draugu kopu krustpunkts.

Rīsi. 2. Daudzu draugu loki

Ja ir 30 kopīgi draugi, tad kreisajā pusē 70 ir tikai Petīnas draugi, bet 170 ir tikai Vaņina (skat. 2. att.).

Cik daudz?

Visu lielu kopu, kas sastāv no diviem apļiem, sauc par abu kopu savienību.

Faktiski VK pats mums atrisina divu komplektu šķērsošanas problēmu, tas uzreiz norāda uz daudz kopīgu draugu, kad dodaties uz citas personas lapu.

Situācija ar divu skaitļu GCD un LCM ir ļoti līdzīga.

2. uzdevums

Apsveriet divus skaitļus: 126 un 132.

Mēs attēlosim to pirmfaktorus apļos (sk. 3. att.).

Rīsi. 3. Apļi ar pirmfaktoriem

Kopu krustpunkts ir kopīgi dalītāji. No tiem NOD sastāv.

Abu kopu savienība dod mums LCM.

Bibliogrāfija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S. I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.

2. Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija. 2006. gads.

3. Depman I.Ya., Viļenkin N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - M.: Apgaismība, 1989.

4. Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursam 5.-6.klasei. - M.: ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata MEPhI neklātienes skolas 6. klases skolēniem. - M.: ZSh MEPhI, 2011.

6. Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Sarunu biedru mācību grāmata 5.-6.klasei vidusskola. - M .: Izglītība, matemātikas skolotāju bibliotēka, 1989.

3. Tīmekļa vietne "Skolas palīgs" ()

Mājasdarbs

1. Ostas pilsētā sākas trīs tūristu laivu braucieni, no kuriem pirmais ilgst 15 dienas, otrais - 20 un trešais - 12 dienas. Atgriežoties ostā, kuģi tajā pašā dienā atkal dodas reisā. Šodien no ostas visos trīs maršrutos izbrauca motorkuģi. Pēc cik dienām viņi pirmo reizi kuģos kopā? Cik reisus veiks katrs kuģis?

2. Atrodiet skaitļu LCM:

3. Atrodiet skaitļu mazākā kopīgā daudzkārtņa galvenos faktorus:

Un ja: , , .

Apsveriet divus veidus, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju.

Meklēšana pēc Faktoringa

Pirmais veids ir atrast lielāko kopīgo dalītāju, faktorējot dotos skaitļus primārajos faktoros.

Lai atrastu vairāku skaitļu GCD, pietiek tos sadalīt primārajos faktoros un reizināt savā starpā tos, kas ir kopīgi visiem dotajiem skaitļiem.

1. piemērs Atradīsim GCD (84, 90).

Mēs sadalām skaitļus 84 un 90 galvenajos faktoros:

Tātad, mēs esam pasvītrojuši visus izplatītos primāros faktorus, atliek tos reizināt savā starpā: 1 2 3 = 6.

Tātad gcd(84, 90) = 6.

2. piemērs Atradīsim GCD (15, 28).

Mēs sadalām 15 un 28 galvenajos faktoros:

Skaitļi 15 un 28 ir pirmskaitļi, jo tie ir lielākie kopīgs dalītājs- vienība.

gcd (15, 28) = 1.

Eiklida algoritms

Otrā metode (citādi saukta par Eiklida metodi) ir GCD atrašana ar secīgu dalīšanu.

Pirmkārt, mēs aplūkosim šo metodi, kas piemērota tikai diviem dotajiem skaitļiem, un pēc tam izdomāsim, kā to piemērot trīs vai vairāk skaitļiem.

Ja lielākais no diviem dotajiem skaitļiem dalās ar mazāko, tad skaitlis, kas ir mazāks, būs to lielākais kopējais dalītājs.

1. piemērsŅemam divus skaitļus 27 un 9. Tā kā 27 dalās ar 9 un 9 dalās ar 9, tad 9 ir kopīgs skaitļu 27 un 9 dalītājs. Šis dalītājs arī ir lielākais, jo 9 nevar dalīties ar nevienu skaitli, lielāks nekā 9. Tāpēc gcd (27, 9) = 9.

Citos gadījumos, lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, tiek izmantota šāda procedūra:

1. No diviem dotajiem skaitļiem lielākais skaitlis tiek dalīts ar mazāko.
2. Pēc tam mazākais skaitlis tiek dalīts ar atlikumu, kas iegūts, dalot lielāko skaitli ar mazāko.
3. Tālāk pirmo atlikumu dala ar otro atlikumu, ko iegūst, dalot mazāko skaitli ar pirmo atlikumu.
4. Otro atlikumu dala ar trešo, ko iegūst, dalot pirmo atlikumu ar otro utt.
5. Tādējādi sadalīšana turpinās, līdz atlikums ir nulle. Pēdējais dalītājs būs lielākais kopējais dalītājs.

2. piemērs Atradīsim lielāko kopējo skaitļu 140 un 96 dalītāju:

1) 140: 96 = 1 (atlikušais 44)

2) 96: 44 = 2 (atlikušais 8)

3) 44: 8 = 5 (atlikušais 4)

Pēdējais dalītājs ir 4, kas nozīmē gcd(140, 96) = 4.

Secīgo dalījumu var ierakstīt arī kolonnā:

Lai atrastu trīs vai vairāk norādīto skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, izmantojiet šādu procedūru:

1. Vispirms no vairākām datu kopām atrodiet jebkuru divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju.
2. Tad atrodam atrastā dalītāja GCD un kādu trešo dotais numurs.
3. Tad atrodam pēdējā atrastā dalītāja GCD un ceturto doto skaitli utt.

3. piemērs Atradīsim skaitļu 140, 96 un 48 lielāko kopīgo dalītāju. Mēs jau esam atraduši skaitļu 140 un 96 GCD iepriekšējā piemērā (tas ir skaitlis 4). Atliek atrast skaitļa 4 un trešā dotā skaitļa lielāko kopīgo dalītāju - 48:

48 dalās ar 4 bez atlikuma. Tātad gcd(140, 96, 48) = 4.

LCM ir mazākais kopīgais daudzkārtnis. Skaitlis, ar kuru visi dotie skaitļi dalīsies bez atlikuma.

Piemēram, ja norādītie skaitļi ir 2, 3, 5, tad LCM=2*3*5=30

Un, ja norādītie skaitļi ir 2,4,8, tad LCM \u003d 8

kas ir NOD?

GCD ir lielākais kopīgais dalītājs. Skaitlis, ar kuru var dalīt katru no dotajiem skaitļiem bez atlikuma.

Loģiski, ja dotie skaitļi ir pirmskaitļi, tad GCD ir vienāds ar vienu.

Un, ja ir doti skaitļi 2, 4, 8, tad GCD ir 2.

Ieplānojiet to vispārējs skats Mēs to nedarīsim, bet vienkārši parādīsim risinājumu ar piemēru.

Doti divi skaitļi 126 un 44. Atrodiet GCD.

Tad, ja mums ir doti divi formas skaitļi

Tad GCD tiek aprēķināts kā

kur min ir visu pn pakāpju vērtību minimālā vērtība

un NOC kā

kur max ir visu skaitļa pn pakāpju vērtību maksimālā vērtība

Aplūkojot iepriekš minētās formulas, var viegli pierādīt, ka divu vai vairāku skaitļu GCD būs vienāds ar vienu, tad, ja starp vismaz vienu doto vērtību pāri ir arī pirmskaitļi.

Tāpēc uz jautājumu, kāds ir šādu skaitļu 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 GCD, ir viegli atbildēt, neko nerēķinot.

skaitļi 3 un 7 ir pirmskaitļi, un tāpēc gcd=1

Apsveriet piemēru.

Doti trīs skaitļi 24654, 25473 un 954

Katrs skaitlis ir sadalīts šādos faktoros

Vai arī, ja mēs rakstām alternatīvā formā

Tas ir, šo trīs skaitļu GCD ir vienāds ar trīs

Nu, mēs varam aprēķināt LCM līdzīgi, un tas ir vienāds ar

Mūsu robots palīdzēs jums aprēķināt GCD un LCM jebkuriem veseliem skaitļiem — divi, trīs vai desmit.

Kopsavilkuma atslēgvārdi:Veseli skaitļi. Aritmētiskās darbības ar naturāliem skaitļiem. Dalāmība naturālie skaitļi. Pirmskaitļi un saliktie skaitļi. Naturāla skaitļa sadalīšana pirmfaktoros. Pazīmes par dalāmību ar 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Lielākais kopīgais dalītājs (GCD), kā arī mazākais kopīgais reizinātājs (LCM). Sadaliet ar atlikumu.

Veseli skaitļi ir skaitļi, kurus izmanto objektu skaitīšanai - 1, 2, 3, 4 , … Bet numurs 0 nav dabiski!

Naturālo skaitļu kopa ir N. Ierakstīšana "3∈ N" nozīmē, ka skaitlis trīs pieder naturālo skaitļu kopai, un apzīmējums "0 ∉ N" nozīmē, ka skaitlis nulle nepieder šai kopai.

Decimālskaitļu sistēma- pozicionālā skaitļu sistēma, kuras pamatā ir 10 .

Aritmētiskās darbības ar naturāliem skaitļiem

Dabiskajiem skaitļiem ir definētas šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, kāpināšana, sakņu ekstrakcija. Pirmie četri soļi ir aritmētika.

Lai a, b un c ir naturāli skaitļi

1. PAPILDINĀJUMS. Termiņš + Termiņš = summa

Papildinājuma īpašības
1. Komutatīvais a + b = b + a.
2. Kombinatīvs a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ATŅEMT. Samazināts - atņemts = starpība

atņemšanas īpašības
1. Summas atņemšana no skaitļa a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Skaitļa atņemšana no summas (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a — a \u003d 0.

3. REIZINĀŠANA. Reizinātājs * Reizinātājs = Produkts

Reizināšanas īpašības
1. Komutatīvais a * b \u003d b * a.
2. Kombinatīvs a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Sadalījums (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. NODAĻA. Dividende: dalītājs = koeficients

sadalījuma īpašības
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Jūs nevarat dalīt ar nulli!
3. 0: a=0.

Procedūra

1. Pirmkārt, darbības iekavās.
2. Tad reizināšana, dalīšana.
3. Un tikai saskaitīšanas, atņemšanas beigās.

Naturālo skaitļu dalāmība. Pirmskaitļi un saliktie skaitļi.

Dabiska skaitļa dalītājs a sauc par naturālo skaitli, ar kuru a sadalīts bez atlikuma. Numurs 1 ir jebkura naturāla skaitļa dalītājs.

Tiek izsaukts naturālais skaitlis vienkārši ja tikai tā ir divi dalītājs: viens un pats skaitlis. Piemēram, skaitļi 2, 3, 11, 23 ir pirmskaitļi.

Tiek izsaukts skaitlis ar vairāk nekā diviem dalītājiem salikts. Piemēram, skaitļi 4, 8, 15, 27 ir salikti skaitļi.

dalāmības zīme darbojas vairāki skaitļi: ja vismaz viens no faktoriem dalās ar kādu skaitli, tad arī reizinājums dalās ar šo skaitli. Darbs 24 15 77 dalīts ar 12 , kopš šī skaitļa koeficienta 24 dalīts ar 12 .

Summas dalāmības zīme (starpība) skaitļi: ja katrs vārds dalās ar kādu skaitli, tad visa summa dalās ar šo skaitli. Ja a:b un c:b, tad (a + c) : b. Kā būtu, ja a:b, a c nav dalāms ar b, tad a+c nav dalāms ar skaitli b.

Ja a:c un c:b, tad a:b. Pamatojoties uz to, ka 72:24 un 24:12, mēs secinām, ka 72:12.

Tiek saukts skaitļa attēlojums kā pirmskaitļu pakāpju reizinājums skaitļa sadalīšana pirmfaktoros.

Aritmētikas pamatteorēma: jebkurš naturāls skaitlis (izņemot 1 ) vai ir vienkārši, vai arī to var sadalīt galvenajos faktoros tikai vienā veidā.

Skaitli sadalot pirmfaktoros, tiek izmantotas dalāmības zīmes un apzīmējums “kolonna”, kurā dalītājs atrodas pa labi no vertikālās joslas, un koeficientu raksta zem dividendes.

Piemēram, uzdevums: sadaliet skaitli galvenajos faktoros 330 . Risinājums:

Pazīmes par dalāmību ar 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 un 11.

Ir dalāmības pazīmes 6, 15, 45 utt., tas ir, skaitļos, kuru reizinājumu var ņemt vērā 2, 3, 5, 9 un 10 .

Lielākais kopīgais dalītājs

Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru dalās katrs no diviem dotajiem naturālajiem skaitļiem lielākais kopīgais dalītājsšie cipari ( GCD). Piemēram, gcd (10; 25) = 5; un GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Ja divu naturālu skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir 1 , tad šie numuri tiek izsaukti koprime.

Algoritms lielākā kopīgā dalītāja atrašanai(GCD)

GCD bieži izmanto problēmu risināšanā. Piemēram, vienas klases skolēniem vienādās daļās tika sadalītas 155 burtnīcas un 62 pildspalvas. Cik skolēnu ir šajā klasē?

Risinājums: Skolēnu skaita atrašana šajā klasē tiek samazināta līdz skaitļu 155 un 62 lielākā kopīgā dalītāja atrašanai, jo piezīmju grāmatiņas un pildspalvas tika sadalītas vienādi. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.

Atbilde: klasē 31 skolēns.

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis

Dabiska skaitļa daudzkārtnis a ir naturāls skaitlis, kas dalās ar a bez pēdām. Piemēram, numurs 8 ir daudzkārtēji: 8, 16, 24, 32 , … Jebkurš naturāls skaitlis ir bezgala daudzkārtēji.

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis(LCM) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas ir šo skaitļu reizinājums.

Algoritms mazākā kopīgā daudzskaitļa atrašanai ( NOC):

LCM bieži tiek izmantots arī problēmu gadījumos. Piemēram, velotrasē vienā virzienā vienlaicīgi startēja divi riteņbraucēji. Viens veic apli 1 minūtē, bet otrs 45 s. Pēc cik minūtēm pēc kustības sākuma viņi tiksies startā?

Risinājums: Minūšu skaitam, pēc kura viņi atkal tiekas startā, ir jādalās ar 1 minūte, kā arī tālāk 45 s. 1 minūtē = 60 s. Tas ir, ir jāatrod LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
NOC (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Rezultātā sanāk, ka riteņbraucēji uz starta tiksies pēc 180 s = 3 min.

Atbilde: 3 min.

Sadaliet ar atlikumu

Ja naturāls skaitlis a nedalās ar naturālu skaitli b, tad var darīt sadalīšana ar atlikumu. Šajā gadījumā tiek izsaukts iegūtais koeficients nepilnīgs. Pareizā vienlīdzība ir:

a = b n + r,

kur a- dalāms b- dalītājs, n- nepilnīgs koeficients, r- atlikums. Piemēram, ļaujiet dividendēm būt 243 , dalītājs - 4 , tad 243: 4 = 60 (atlikušais 3). Tas ir, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, tad 243 = 60 4 + 3 .

Skaitļi, kas dalās ar 2 bez pēdām, tiek saukti pat: a = 2n,n ∈ N.

Pārējie numuri tiek izsaukti nepāra: b = 2n + 1,n ∈ N.

Šis ir konspekts par šo tēmu. "Veseli skaitļi. Dalāmības pazīmes». Lai turpinātu, atlasiet nākamās darbības:

• Pārejiet uz nākamo kopsavilkumu:

Lielākais kopīgais dalītājs

2. definīcija

Ja naturāls skaitlis a dalās ar naturālu skaitli $b$, tad $b$ sauc par $a$ dalītāju, bet skaitli $a$ sauc par $b$ daudzkārtni.

Lai $a$ un $b$ ir naturāli skaitļi. Skaitli $c$ sauc par kopējo dalītāju gan $a$, gan $b$.

Skaitļu $a$ un $b$ kopējo dalītāju kopa ir ierobežota, jo neviens no šiem dalītājiem nevar būt lielāks par $a$. Tas nozīmē, ka starp šiem dalītājiem ir lielākais, ko sauc par lielāko kopējo skaitļu $a$ un $b$ dalītāju, un tā apzīmēšanai izmanto apzīmējumu:

$gcd \ (a; b) \ ​​vai \ D \ (a; b) $

Lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju:

1. Atrodiet 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs.

1. piemērs

Atrodiet skaitļu $121$ un $132.$ gcd

242 $=2\cdot 11\cdot 11 $

132 $=2\cpunkts 2\cpunkts 3\cpunkts 11 $

Izvēlieties skaitļus, kas ir iekļauti šo skaitļu paplašinājumā

242 $=2\cdot 11\cdot 11 $

132 $=2\cpunkts 2\cpunkts 3\cpunkts 11 $

Atrodiet 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs.

$gcd=2\cdot 11=22$

2. piemērs

Atrodiet monomālu GCD $63 un $81.

Atradīsim pēc piedāvātā algoritma. Priekš šī:

Sadalīsim skaitļus pirmfaktoros

63 ASV dolāri=3\cdot 3\cdot 7 $

81 $=3\cdots 3\cdots 3\cdot 3 $

Mēs izvēlamies skaitļus, kas ir iekļauti šo skaitļu paplašinājumā

63 ASV dolāri=3\cdot 3\cdot 7 $

81 $=3\cdots 3\cdots 3\cdot 3 $

Atradīsim 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs.

$gcd=3\cdot 3=9$

Divu skaitļu GCD var atrast citā veidā, izmantojot skaitļu dalītāju kopu.

3. piemērs

Atrodiet skaitļu $48$ un $60$ gcd.

Risinājums:

Atrodiet dalītāju kopu $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Tagad atradīsim dalītāju kopu $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Atradīsim šo kopu krustpunktu: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - šī kopa noteiks skaitļu $48$ un $60 kopīgo dalītāju kopu. $. Lielākais elements šajā komplektā būs skaitlis $12$. Tātad lielākais kopīgais dalītājs 48$ un 60$ ir 12$.

NOC definīcija

3. definīcija

naturālu skaitļu kopīgs daudzkārtnis$a$ un $b$ ir naturāls skaitlis, kas ir gan $a$, gan $b$ reizinājums.

Kopējie skaitļu reizinātāji ir skaitļi, kas dalās ar oriģinālu bez atlikuma. Piemēram, skaitļiem $25$ un $50$ kopējie reizinātāji būs skaitļi $50,100,150,200 $ utt.

Mazākais kopējais daudzkārtnis tiks saukts par mazāko kopējo daudzkārtni un apzīmēts ar LCM$(a;b)$ vai K$(a;b).$

Lai atrastu divu skaitļu LCM, jums ir nepieciešams:

1. Sadaliet skaitļus primārajos faktoros
2. Uzrakstiet faktorus, kas ir daļa no pirmā skaitļa, un pievienojiet tiem faktorus, kas ir daļa no otrā un nepāriet uz pirmo

4. piemērs

Atrodiet LCM no skaitļiem $99$ un $77$.

Atradīsim pēc piedāvātā algoritma. Priekš šī

Sadaliet skaitļus primārajos faktoros

99 ASV dolāri = 3\cdot 3\cdot 11 $

Pierakstiet pirmajā iekļautos faktorus

pievienojiet tiem faktorus, kas ir daļa no otrā un neiet uz pirmo

Atrodiet 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais mazākais kopējais reizinājums

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Skaitļu dalītāju sarakstu sastādīšana bieži vien ir ļoti laikietilpīga. Ir veids, kā atrast GCD, ko sauc par Eiklida algoritmu.

Paziņojumi, uz kuriem balstās Eiklida algoritms:

Ja $a$ un $b$ ir naturāli skaitļi un $a\vdots b$, tad $D(a;b)=b$

Ja $a$ un $b$ ir naturāli skaitļi, piemēram, $b

Izmantojot $D(a;b)= D(a-b;b)$, mēs varam secīgi samazināt aplūkojamos skaitļus, līdz sasniedzam tādu skaitļu pāri, ka viens no tiem dalās ar otru. Tad mazākais no šiem skaitļiem būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs skaitļiem $a$ un $b$.

GCD un LCM īpašības

1. Jebkurš $a$ un $b$ kopīgs daudzkārtnis dalās ar K$(a;b)$
2. Ja $a\vdots b$ , tad K$(a;b)=a$

Ja K$(a;b)=k$ un $m$-dabisks skaitlis, tad K$(am;bm)=km$

Ja $d$ ir kopīgs dalītājs vērtībām $a$ un $b$, tad K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ja $a\vdots c$ un $b\vdots c$ , tad $\frac(ab)(c)$ ir $a$ un $b$ kopīgs daudzkārtnis

Jebkuriem naturāliem skaitļiem $a$ un $b$ ir vienādība

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Jebkurš $a$ un $b$ kopīgs dalītājs ir $D(a;b)$ dalītājs