Parastais risinājums. Vienkāršu lineāru vienādojumu risinājums. Par algebrisko summu
Šajā video mēs analizēsim veselu lineāro vienādojumu kopu, kas tiek atrisinātas, izmantojot vienu un to pašu algoritmu - tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.
Sākumā definēsim: kas ir lineārais vienādojums un kuru no tiem vajadzētu saukt par vienkāršāko?
Lineārs vienādojums ir tāds, kurā ir tikai viens mainīgais un tikai pirmajā pakāpē.
Vienkāršākais vienādojums nozīmē konstrukciju:
Visi pārējie lineārie vienādojumi tiek reducēti uz vienkāršākajiem, izmantojot algoritmu:
- Atvērtas iekavas, ja tādas ir;
- Pārvietot terminus, kas satur mainīgo uz vienu vienādības zīmes pusi, un terminus bez mainīgā uz otru;
- Novietojiet līdzīgus terminus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes;
- Sadaliet iegūto vienādojumu ar mainīgā $x$ koeficientu.
Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažreiz pēc visām šīm mahinācijām mainīgā $x$ koeficients izrādās vienāds ar nulli. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:
- Vienādojumam vispār nav atrisinājumu. Piemēram, kad iegūstat kaut ko līdzīgu $0\cdot x=8$, t.i. kreisajā pusē ir nulle, bet labajā pusē ir skaitlis, kas nav nulle. Tālāk esošajā videoklipā apskatīsim vairākus iemeslus, kāpēc šāda situācija ir iespējama.
- Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams, ir tad, kad vienādojums ir reducēts līdz konstrukcijai $0\cdot x=0$. Diezgan loģiski, ka neatkarīgi no tā, kādu $x$ mēs aizstātu, tomēr izrādīsies “nulle ir vienāda ar nulli”, t.i. pareiza skaitliskā vienādība.
Un tagad redzēsim, kā tas viss darbojas uz reālu problēmu piemēra.
Vienādojumu risināšanas piemēri
Šodien mēs nodarbojamies ar lineārajiem vienādojumiem un tikai visvienkāršākajiem. Kopumā lineārais vienādojums nozīmē jebkuru vienādību, kas satur tieši vienu mainīgo, un tas attiecas tikai uz pirmo pakāpi.
Šādas konstrukcijas tiek atrisinātas aptuveni tādā pašā veidā:
- Pirmkārt, jums ir jāatver iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā);
- Tad atnes līdzīgu
- Visbeidzot, izolējiet mainīgo, t.i. viss, kas ir saistīts ar mainīgo - termini, kuros tas ir ietverts - tiek pārnests uz vienu pusi, un viss, kas paliek bez tā, tiek pārnests uz otru pusi.
Pēc tam, kā likums, jums ir jāievieto līdzīgs iegūtās vienādības katrā pusē, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu pie "x", un mēs saņemsim galīgo atbildi.
Teorētiski tas izskatās jauki un vienkārši, taču praksē pat pieredzējuši vidusskolēni var pieļaut aizvainojošas kļūdas diezgan vienkāršos lineārajos vienādojumos. Parasti kļūdas tiek pieļautas vai nu atverot iekavas, vai arī skaitot "plusus" un "mīnusus".
Turklāt gadās, ka lineāram vienādojumam vispār nav atrisinājumu vai tā, ka atrisinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šīs smalkumus mēs analizēsim šodienas nodarbībā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar lielāko daļu vienkāršus uzdevumus.
Shēma vienkāršu lineāru vienādojumu risināšanai
Vispirms ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:
- Izvērsiet iekavas, ja tādas ir.
- Nošķirt mainīgos, t.i. viss, kas satur "x", tiek pārnests uz vienu pusi, bet bez "x" - uz otru.
- Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.
- Mēs visu sadalām ar koeficientu pie "x".
Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tai ir zināmi smalkumi un viltības, un tagad mēs tos iepazīsim.
Vienkāršu lineāro vienādojumu reālu piemēru risināšana
Uzdevums #1
Pirmajā solī mums ir jāatver kronšteini. Bet tie nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo soli. Otrajā solī mums ir jāizolē mainīgie. Piezīme: mēs runājam tikai par atsevišķām sastāvdaļām. Rakstīsim:
Mēs sniedzam līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, bet tas jau ir izdarīts šeit. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dala ar koeficientu:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Šeit mēs saņēmām atbildi.
Uzdevums #2
Šajā uzdevumā mēs varam novērot iekavas, tāpēc paplašināsim tās:
Gan pa kreisi, gan pa labi redzam aptuveni vienādu konstrukciju, bet rīkosimies pēc algoritma, t.i. sekvesteru mainīgie:
Šeit ir daži, piemēram:
Pie kādām saknēm tas darbojas? Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $x$ ir jebkurš skaitlis.
Uzdevums #3
Trešais lineārais vienādojums jau ir interesantāks:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Šeit ir vairākas iekavas, bet tās nav reizinātas ar neko, tikai tām ir dažādas zīmes priekšā. Sadalīsim tos:
Mēs veicam otro mums jau zināmo soli:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Aprēķināsim:
Mēs veicam pēdējo darbību - visu sadalām ar koeficientu pie "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Lietas, kas jāatceras, risinot lineāros vienādojumus
Ja mēs ignorējam pārāk vienkāršus uzdevumus, es gribētu teikt sekojošo:
- Kā jau teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums – dažreiz vienkārši nav sakņu;
- Pat ja ir saknes, starp tām var iekļūt nulle - tur nav nekā slikta.
Nulle ir tāds pats skaitlis kā pārējais, jums nevajadzētu to kaut kā diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jums ir nulle, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi.
Vēl viena iezīme ir saistīta ar iekavu paplašināšanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja priekšā ir “mīnuss”, mēs to noņemam, bet iekavās mainām zīmes uz pretī. Un tad mēs varam to atvērt saskaņā ar standarta algoritmiem: mēs iegūsim to, ko redzējām iepriekš minētajos aprēķinos.
Izpratne par šo vienkāršo faktu palīdzēs izvairīties no stulbām un sāpinošām kļūdām vidusskolā, kad šādas darbības tiek uzskatītas par pašsaprotamām.
Sarežģītu lineāro vienādojumu risināšana
Pāriesim pie vairāk sarežģīti vienādojumi. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas un, veicot dažādas transformācijas, parādīsies kvadrātfunkcija. Tomēr no tā nevajadzētu baidīties, jo, ja saskaņā ar autora nodomu mēs atrisināsim lineāru vienādojumu, tad transformācijas procesā noteikti tiks samazināti visi monomi, kas satur kvadrātfunkciju.
1. piemērs
Acīmredzot pirmais solis ir kronšteinu atvēršana. Darīsim to ļoti uzmanīgi:
Tagad ņemsim vērā privātumu:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Šeit ir daži, piemēram:
Ir skaidrs, ka dots vienādojums Risinājumu nav, tāpēc atbildē rakstām:
\[\variety \]
vai bez saknēm.
2. piemērs
Mēs veicam tās pašas darbības. Pirmais solis:
Pārvietosim visu ar mainīgo pa kreisi un bez tā - pa labi:
Šeit ir daži, piemēram:
Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs to rakstām šādi:
\[\varnothing\],
vai bez saknēm.
Risinājuma nianses
Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Šo divu izteiksmju piemērā mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss var nebūt tik vienkārši: var būt vai nu viens, vai neviena, vai bezgalīgi daudz. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abos vienkārši nav sakņu.
Bet es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vēl vienu faktu: kā strādāt ar iekavām un kā tās paplašināt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteiksmi:
Pirms atvēršanas viss jāreizina ar "x". Lūdzu, ņemiet vērā: reiziniet katru atsevišķu terminu. Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un tiek reizināts.
Un tikai pēc tam, kad ir pabeigtas šīs it kā elementārās, bet ļoti svarīgās un bīstamās pārvērtības, var atvērt kronšteinu no tā viedokļa, ka aiz tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad ir veiktas pārvērtības, atceramies, ka iekavās priekšā ir mīnusa zīme, kas nozīmē, ka viss zemāk tikai maina zīmes. Tajā pašā laikā pazūd paši kronšteini un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais "mīnuss".
Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:
Nav nejaušība, ka es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Jo vienādojumu risināšana vienmēr ir secība elementāras pārvērtības, kur nespēja skaidri un kompetenti veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka vidusskolēni nāk pie manis un atkal mācās atrisināt tik vienkāršus vienādojumus.
Protams, pienāks diena, kad šīs prasmes noslīpēsiet līdz automātismam. Jums vairs nav katru reizi jāveic tik daudz pārvērtību, jūs visu rakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.
Vēl sarežģītāku lineāro vienādojumu risināšana
To, ko mēs tagad risināsim, diez vai var saukt par vienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek nemainīga.
Uzdevums #1
\[\kreisais(7x+1\labais)\kreisais(3x-1\labais)-21((x)^(2))=3\]
Sareizināsim visus elementus pirmajā daļā:
Taisīsim atkāpšanos:
Šeit ir daži, piemēram:
Veiksim pēdējo darbību:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka risināšanas procesā mums bija koeficienti ar kvadrātfunkciju, tomēr tie savstarpēji iznīcinājās, kas padara vienādojumu tieši lineāru, nevis kvadrātu.
Uzdevums #2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Pirmo darbību veiksim uzmanīgi: reiziniet katru elementu pirmajā iekavā ar katru elementu otrajā. Kopumā pēc transformācijām jāiegūst četri jauni termini:
Un tagad rūpīgi veiciet reizināšanu katrā terminā:
Pārvietosim terminus ar "x" pa kreisi un bez - pa labi:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Šeit ir līdzīgi termini:
Esam saņēmuši galīgu atbildi.
Risinājuma nianses
Vissvarīgākā piezīme par šiem diviem vienādojumiem ir šāda: tiklīdz mēs sākam reizināt iekavas, kurās ir vairāk nekā vārds, tad tas tiek darīts saskaņā ar šādu noteikumu: mēs ņemam pirmo vārdu no pirmā un reizinām ar katru elementu. no otrā; tad ņemam otro elementu no pirmā un līdzīgi reizinām ar katru elementu no otrā. Rezultātā mēs iegūstam četrus terminus.
Par algebrisko summu
Ar pēdējo piemēru es vēlētos studentiem atgādināt, kas ir algebriskā summa. Klasiskajā matemātikā ar $1-7$ mēs domājam vienkāršu konstrukciju: no viena atņemam septiņus. Algebrā mēs ar to domājam sekojošo: skaitlim "viens" pievienojam citu skaitli, proti, "mīnus septiņi". Šī algebriskā summa atšķiras no parastās aritmētiskās summas.
Tiklīdz, veicot visas pārvērtības, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.
Noslēgumā apskatīsim vēl pāris piemērus, kas būs vēl sarežģītāki par tiem, kurus tikko apskatījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.
Vienādojumu risināšana ar daļskaitli
Lai atrisinātu šādus uzdevumus, mūsu algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms es atgādināšu mūsu algoritmu:
- Atveriet iekavas.
- Atsevišķi mainīgie.
- Atnesiet līdzīgus.
- Sadaliet ar koeficientu.
Diemžēl šis brīnišķīgais algoritms, neskatoties uz visu tā efektivitāti, nav pilnībā piemērots, ja mums priekšā ir daļskaitļi. Un tajā, ko mēs redzēsim tālāk, mums abos vienādojumos ir daļa pa kreisi un pa labi.
Kā šajā gadījumā strādāt? Jā, tas ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms pirmās darbības, gan pēc tās, proti, atbrīvoties no daļskaitļiem. Tādējādi algoritms būs šāds:
- Atbrīvojieties no frakcijām.
- Atveriet iekavas.
- Atsevišķi mainīgie.
- Atnesiet līdzīgus.
- Sadaliet ar koeficientu.
Ko nozīmē "atbrīvoties no frakcijām"? Un kāpēc to var izdarīt gan pēc, gan pirms pirmā standarta soļa? Faktiski mūsu gadījumā visas daļdaļas saucēja izteiksmē ir skaitliskas, t.i. visur saucējs ir tikai skaitlis. Tāpēc, ja mēs reizinām abas vienādojuma daļas ar šo skaitli, mēs atbrīvosimies no daļām.
1. piemērs
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Atbrīvosimies no daļām šajā vienādojumā:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Lūdzu, ņemiet vērā: viss tiek reizināts ar “četri”, t.i. tas, ka jums ir divas iekavas, nenozīmē, ka jums katra no tām ir jāreizina ar "četri". Rakstīsim:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Tagad atveram to:
Mēs veicam mainīgā lieluma izolāciju:
Mēs veicam līdzīgu terminu samazināšanu:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Esam saņēmuši gala risinājumu, pārejam pie otrā vienādojuma.
2. piemērs
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problēma atrisināta.
Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju pateikt.
Galvenie punkti
Galvenie atklājumi ir šādi:
- Zināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
- Spēja atvērt iekavas.
- Neuztraucieties, ja jums kaut kur ir kvadrātiskās funkcijas, visticamāk, turpmāko pārvērtību procesā tie tiks samazināti.
- Lineārajos vienādojumos, pat visvienkāršākajos, saknes ir trīs veidu: viena sakne, visa skaitļu līnija ir sakne, sakņu nav vispār.
Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu visas matemātikas tālākai izpratnei. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni, atrisiniet tur sniegtos piemērus. Sekojiet līdzi jaunumiem, jūs gaida vēl daudzas interesantas lietas!
Aizmugurisku lēmumu papildus likumā paredzētajām izņēmuma lēmumu pieņemšanas metodēm tā pati tiesa var atcelt, atsākot lietas izskatīšanu pēc būtības pēc atbildētāja lūguma, ja viņš var pierādīt, ka viņa neierašanās uz tiesas sēdi bija pamatota iemesla dēļ.
Likumā spēkā stājušos lēmumu ir iespējams pārskatīt kasācijas kārtībā, ja tiesa atjaunoja pamatota iemesla dēļ nokavēto kasācijas termiņu.
ekskluzivitātes īpašums:
Ekskluzivitātes īpašums ir neiespējamība atkārtoti vērsties tiesā ar prasību, sūdzību, paziņojumu lietā starp tām pašām pusēm vai to tiesību pārņēmējiem, par vienu un to pašu priekšmetu un pamatojoties uz tiem pašiem apstākļiem (prasības pamatojums), ja ir likumīgā spēkā stājies lēmums.
Ja pēc lēmuma, ar kuru no atbildētāja tiek iekasēti periodiski maksājumi, stāšanās spēkā mainās apstākļi, kas ietekmē maksājumu apmēra vai to ilguma noteikšanu, tad katrai pusei ir tiesības, iesniedzot jaunu prasību, pieprasīt maksājumu summas un laika maiņa.
Šajā gadījumā jaunas prasības kļūst par tiesas izskatīšanas priekšmetu, tiek pieņemts jauns lēmums, kas stājas spēkā saskaņā ar vispārējiem noteikumiem.
Identiska pieteikuma iesniegšana izskatīšanai nav pieļaujama arī tad, ja sākotnējās izskatīšanas laikā strīds starp pusēm beidzot tika novērsts ar nolēmumu par mierizlīguma apstiprināšanu vai par pieteicēja atteikšanos no saviem prasījumiem. Tiesvedības izbeigšanas gadījumā otrreizēja pārsūdzība tiesā nav pieļaujama.
Nepieciešamais īpašums:
Saistošs nozīmē, ka valsts struktūrām, amatpersonām, organizācijām un pilsoņiem ir pienākums savu darbību pakārtot lēmuma saturam.
Civilprocesa kodeksā uzsvērts, ka lēmums ir saistošs visā Krievijas Federācijas teritorijā, un likumā paredzētajos gadījumos Krievijas Federācijas tiesas var vērsties ārvalstu tiesās ar lūgumu izpildīt nolēmumus.
Valsts iestādēm un amatpersonām ir arī pienākums veikt nepieciešamās darbības, lai noformētu un reģistrētu ar likumīgā spēkā stājušos tiesas lēmumu noteiktās tiesības.
Tiesas lēmums pēc stāšanās spēkā ir jāizpilda atbildīgajām personām brīvprātīgi, bet nepieciešamības gadījumā - izpildinstitūcijām piespiedu kārtā.
Lēmumā paredzēto darbību īstenošanas nepieciešamību sauc par lēmumu iespējamību.
Tā ir daļa no pienākuma. Pienākuma jēdziens ir plašāks par izpildāmību, tas aptver arī visu personu un organizāciju, kurām šajā lietā nav tiešas tiesiskas intereses, pienākumu rēķināties ar tiesas nolēmuma autoritāti un dot savu ieguldījumu tā izpildē.
Lēmumi visos gadījumos ir saistoši, taču ne visi no tiem ir jāizpilda, jo tos nevar izpildīt. Piemēram, lēmumiem par atzīšanas prasībām nav jāveic īpašas darbības, lai aizsargātu atbildētāja apstrīdētās tiesības. Lai tie būtu saistoši, pietiek ar to, ka tiesa atzīst noteiktus apstākļus vai tiesiskās attiecības (piemēram: paternitātes noteikšana, autortiesību atzīšana u.c.).
Lēmumiem par prasījumiem par atzīšanu var būt nelabvēlīga ietekme uz prasījumu par atzīšanu. Piemēram, lēmumam par paternitātes noteikšanu ir pirmstiesas nozīme lietas izskatīšanai par prasību par alimentu piedziņu. Tāpat lēmums par autortiesību atzīšanu tiesai ir obligāts lietā par autoratlīdzības piedziņu no izdevniecības.
Krievijas Federācijas Ģimenes kodekss papildus ģimenes tiesību jautājumiem ievieš vairākus procesuālos noteikumus attiecībā uz tiesas darbībām (pienākumiem) pēc lēmuma pieņemšanas. Piemēram, Apvienotā Karaliste norāda, ka tiesai ir pienākums 3 dienu laikā no tiesas lēmuma par laulības šķiršanu spēkā stāšanās dienas nosūtīt izrakstu no šī lēmuma dzimtsarakstu iestādēm laulības valsts reģistrācijas vietā. .
Ģimenes tiesības uzliek tiesai pienākumu veikt noteiktas darbības lēmuma izpildei. Pēc stāšanās likumīgā spēkā tiesas nolēmumi iegūst īpašumus, kas izriet no juridiskā spēka būtības, aizsprieduma kvalitātes (iepriekšnoteikuma).
Aizspriedumi nozīmē, ka tiesas konstatētās attiecības un faktus, kas fiksēti ar lēmumu, nevar atspēkot to otrreizējās pārbaudes laikā, ko veic tiesu un pārvaldes institūcijas.
Aizspriedumi izriet no noteikumiem:
1. Tiesai, administratīvajām institūcijām, kas darbojas kā jurisdikcijas institūcijas, pilnībā vai daļēji atkārtoti analizējot faktus un attiecības, kuru saturu tiesa noteikusi lēmumā, kas stājies likumīgā spēkā, ir pienākums pamatot savus lēmumus par šiem faktiem un attiecībām tādā pašā formā, kādā tās tika konstatētas, tas ir, tiesas lēmumā jau konstatētie fakti netiek atkārtoti pierādīti.
2. Puse, kas savus prasījumus pamato uz tiesiskajām attiecībām, par kurām pilnībā vai daļēji bijušas likumīgā spēkā stājusies tiesas nolēmuma priekšmets, nedrīkst atkārtoti pierādīt šo tiesisko attiecību pastāvēšanu, to sastāvdaļu elementu saturu, kā arī. kā juridiskos faktus, kas ir pušu prasījumu pamatā.
Attiecības un fakti tiek uzskatīti par spēkā esošiem, nav jāpierāda, kamēr ir spēkā lēmuma juridiskais spēks, tas ir, līdz lēmuma atcelšanai. Otra puse, iebilstot pret pieteicēja prasību, nevar uzrādīt pierādījumus, kas atspēko tiesas iepriekš konstatētos faktus un apstākļus, kā arī prasīt tiesai tos izpētīt un pievienot lietai.
3. Ja pētījuma priekšmets ir attiecības, kuru saturs ir nodibināts, lēmums, kas stājies likumīgā spēkā, tad priekšnoteikums, tas ir, aizspriedums, attiecas uz tiesiskajām attiecībām pilnībā jebkurā to daļā tādā formā, kādā tas bija tiesas pētījuma priekšmets.
Lēmumam, kas stājies likumīgā spēkā, ir pirmstiesas nozīme krimināllietas izskatīšanā. Spriedums krimināllietā, kas stājies likumīgā spēkā, ir saistošs tiesai, kura izskata lietu par tās personas darbību civiltiesiskajām sekām, attiecībā uz kuru taisīts tiesas spriedums par to, vai šī darbība notikusi un vai tā bijusi izdarījusi šī persona.
Vienādojums ar vienu nezināmo, kas pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu samazināšanas iegūst formu
cirvis + b = 0, kur a un b ir patvaļīgi skaitļi, tiek izsaukts lineārais vienādojums ar vienu nezināmo. Šodien mēs izdomāsim, kā atrisināt šos lineāros vienādojumus.
Piemēram, visi vienādojumi:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineārs.
Tiek saukta nezināmā vērtība, kas vienādojumu pārvērš patiesā vienādībā lēmumu vai vienādojuma sakne .
Piemēram, ja vienādojumā 3x + 7 \u003d 13 nezināmā x vietā aizvietojam skaitli 2, tad iegūstam pareizo vienādību 3 2 + 7 \u003d 13. Tādējādi vērtība x \u003d 2 ir risinājums vai vienādojuma sakne.
Un vērtība x \u003d 3 nepārvērš vienādojumu 3x + 7 \u003d 13 par patiesu vienādību, jo 3 2 + 7 ≠ 13. Tāpēc vērtība x \u003d 3 nav vienādojuma risinājums vai sakne.
Jebkuru lineāro vienādojumu atrisinājums tiek reducēts līdz formas vienādojumu atrisinājumam
cirvis + b = 0.
Pārnesam brīvo terminu no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi b priekšā uz pretējo, iegūstam
Ja a ≠ 0, tad x = – b/a .
1. piemērs Atrisiniet vienādojumu 3x + 2 =11.
Mēs pārnesam 2 no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi 2 priekšā uz pretējo, mēs iegūstam
3x \u003d 11 - 2.
Tad veiksim atņemšanu
3x = 9.
Lai atrastu x, reizinājums ir jāsadala ar zināmu koeficientu, tas ir,
x = 9:3.
Tātad vērtība x = 3 ir vienādojuma risinājums vai sakne.
Atbilde: x = 3.
Ja a = 0 un b = 0, tad iegūstam vienādojumu 0x \u003d 0. Šim vienādojumam ir bezgala daudz atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet arī b ir 0. Šī vienādojuma risinājums ir jebkurš skaitlis.
2. piemērs Atrisiniet vienādojumu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Izvērsīsim iekavas:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
0x = 0.
Atbilde: x ir jebkurš skaitlis.
Ja a = 0 un b ≠ 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = - b. Šim vienādojumam nav atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ≠ 0.
3. piemērs Atrisiniet vienādojumu x + 8 = x + 5.
Sagrupēsim terminus, kas satur nezināmus kreisajā pusē, un brīvos terminus labajā pusē:
x - x \u003d 5 - 8.
Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
0x = - 3.
Atbilde: nav risinājumu.
Uz 1. attēls parādīta lineārā vienādojuma risināšanas shēma
Sacerēsim vispārējā shēma vienādojumu atrisinājumi ar vienu mainīgo. Apsveriet 4. piemēra risinājumu.
4. piemērs Atrisināsim vienādojumu
1) Reiziniet visus vienādojuma nosacījumus ar saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, kas vienāds ar 12.
2) Pēc samazināšanas mēs iegūstam
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Lai atdalītu dalībniekus, kas satur nezināmus un brīvus dalībniekus, atveriet iekavas:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Mēs sagrupējam vienā daļā terminus, kas satur nezināmos, bet otrā - brīvos terminus:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
- 22x = - 154.
6) Sadaliet ar - 22, mēs iegūstam
x = 7.
Kā redzat, vienādojuma sakne ir septiņi.
Vispār tādi vienādojumus var atrisināt šādi:
a) izveido vienādojumu vesela skaitļa formā;
b) atvērtas iekavas;
c) grupē vienādojuma daļā vārdus, kas satur nezināmo, bet otrā – brīvos terminus;
d) atvest līdzīgus biedrus;
e) atrisiniet vienādojumu formā aх = b, kas iegūts pēc līdzīgu terminu ienesšanas.
Tomēr šī shēma nav nepieciešama katram vienādojumam. Risinot daudzus vienkāršākus vienādojumus, jāsāk nevis no pirmā, bet gan no otrā ( Piemērs. 2), trešais ( Piemērs. trīspadsmit) un pat no piektā posma, kā 5. piemērā.
5. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2x = 1/4.
Mēs atrodam nezināmo x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Apsveriet dažu lineāro vienādojumu risinājumu, kas radās galvenajā valsts eksāmenā.
6. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Atbilde: - 0,125
7. piemērs Atrisiniet vienādojumu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Atbilde: 2.3
8. piemērs Atrisiniet vienādojumu
3 (3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9. piemērs Atrodiet f(6), ja f (x + 2) = 3 7
Risinājums
Tā kā mums ir jāatrod f (6), un mēs zinām f (x + 2),
tad x + 2 = 6.
Mēs atrisinām lineāro vienādojumu x + 2 = 6,
mēs iegūstam x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Ja x = 4, tad
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Atbilde: 27.
Ja vēl ir jautājumi, ir vēlme rūpīgāk nodarboties ar vienādojumu risināšanu, pierakstieties uz manām nodarbībām GRAFIKSĀ. Es ar prieku jums palīdzēšu!
TutorOnline arī iesaka noskatīties jaunu mūsu pasniedzējas Olgas Aleksandrovnas video pamācību, kas palīdzēs izprast gan lineāros vienādojumus, gan citus.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.