Specificare le figure sul piano delle coordinate mediante equazioni e disuguaglianze. Sistema di coordinate cartesiane: concetti ed esempi di base Esempi di piani di coordinate

• Due linee coordinate reciprocamente perpendicolari che si intersecano nel punto O - l'origine, forma sistema di coordinate rettangolari, detto anche sistema di coordinate cartesiane.
• Viene chiamato il piano su cui viene scelto il sistema di coordinate piano delle coordinate. Vengono chiamate le linee di coordinate assi coordinati. Orizzontale - l'asse delle ascisse (Ox), verticale - l'asse delle ordinate (Oy).
• Gli assi delle coordinate dividono il piano delle coordinate in quattro parti: quarti. Numeri ordinali i quarti vengono contati in senso antiorario.
• Qualsiasi punto piano delle coordinateè data dalle sue coordinate - ascissa e ordinata. Per esempio, A(3; 4). Si leggono: punto A con coordinate 3 e 4. Qui 3 è l'ascissa, 4 è l'ordinata.

I. Costruzione del punto A(3; 4).

Ascissa 3 mostra che dall'origine - punto O deve essere posticipato a destra 3 singolo segmento, quindi mettere da parte 4 singolo segmento e metti un punto.

Questo è il punto A(3; 4).

Costruzione del punto B (-2; 5).

Mettere da parte da zero a sinistra 2 taglio singolo e poi su 5 tagli singoli.

Mettiamo fine A.

Solitamente preso come un singolo segmento 1 gabbia.

II. Costruisci punti nel piano delle coordinate xOy:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Determina le coordinate dei punti costruiti: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);IN 20);

C(3; 4);D(6;5);

FA(0;-3);K(5;-2).

Lasciati dare equazione con due variabili F(x; y). Hai già imparato a risolvere analiticamente tali equazioni. L'insieme delle soluzioni di tali equazioni può anche essere rappresentato sotto forma di grafico.

Il grafico dell'equazione F(x; y) è l'insieme dei punti del piano delle coordinate xOy le cui coordinate soddisfano l'equazione.

Per tracciare un'equazione a due variabili, esprimi prima la variabile y in termini della variabile x nell'equazione.

Sicuramente sai già come costruire vari grafici di equazioni con due variabili: ax + b \u003d c è una retta, yx \u003d k è un'iperbole, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 è una circonferenza il cui raggio è R e il centro è nel punto O(a; b).

Esempio 1

Traccia l'equazione x 2 - 9y 2 = 0.

Soluzione.

Fattorizziamo il lato sinistro dell'equazione.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, ovvero y = x/3 o y = -x/3.

Risposta: figura 1.

Un posto speciale è occupato dall'assegnazione di figure sul piano da equazioni contenenti il ​​segno del valore assoluto, su cui ci soffermeremo in dettaglio. Considera le fasi del tracciamento delle equazioni della forma |y| = f(x) e |y| = |f(x)|.

La prima equazione è equivalente al sistema

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) o y = -f(x).

Cioè, il suo grafico è costituito da grafici di due funzioni: y = f(x) e y = -f(x), dove f(x) ≥ 0.

Per tracciare il grafico della seconda equazione, vengono tracciati i grafici di due funzioni: y = f(x) e y = -f(x).

Esempio 2

Traccia l'equazione |y| = 2 + x.

Soluzione.

L'equazione data è equivalente al sistema

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 o y = -x - 2.

Costruiamo un insieme di punti.

Risposta: figura 2.

Esempio 3

Traccia l'equazione |y – x| = 1.

Soluzione.

Se y ≥ x, allora y = x + 1, se y ≤ x, allora y = x - 1.

Risposta: figura 3.

Quando si costruiscono grafici di equazioni contenenti una variabile sotto il segno del modulo, è conveniente e razionale da usare metodo dell'area, basato sulla divisione del piano delle coordinate in parti in cui ogni espressione di sottomodulo conserva il proprio segno.

Esempio 4

Traccia l'equazione x + |x| + y + |y| = 2.

Soluzione.

A questo esempio il segno di ogni espressione di sottomodulo dipende dal quadrante delle coordinate.

1) Nel primo quarto di coordinate x ≥ 0 e y ≥ 0. Dopo aver espanso il modulo, l'equazione data sarà simile a:

2x + 2y = 2, e dopo la semplificazione x + y = 1.

2) Nel secondo quarto, dove x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Nel terzo quarto x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Nel quarto trimestre, per x ≥ 0 e y< 0 получим, что x = 1.

Tracceremo questa equazione in quarti.

Risposta: figura 4.

Esempio 5

Disegna un insieme di punti le cui coordinate soddisfano l'uguaglianza |x – 1| + |y – 1| = 1.

Soluzione.

Gli zeri delle espressioni del sottomodulo x = 1 e y = 1 dividono il piano delle coordinate in quattro regioni. Analizziamo i moduli per regione. Mettiamolo sotto forma di un tavolo.

Regione	Segno di espressione del sottomodulo	L'equazione risultante dopo aver espanso il modulo
io	x ≥ 1 e y ≥ 1	x + y = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	X< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 e y< 1	x – y = 1

Risposta: figura 5.

Sul piano delle coordinate, le figure possono essere specificate e disuguaglianze.

Grafico della disuguaglianza con due variabili è l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate le cui coordinate sono soluzioni di questa disuguaglianza.

Ritenere algoritmo per costruire un modello per risolvere una disuguaglianza con due variabili:

1. Scrivi l'equazione corrispondente alla disuguaglianza.
2. Traccia l'equazione dal passaggio 1.
3. Scegli un punto arbitrario in uno dei semipiani. Verificare se le coordinate del punto selezionato soddisfano la disuguaglianza data.
4. Disegna graficamente l'insieme di tutte le soluzioni della disuguaglianza.

Consideriamo innanzitutto la disuguaglianza ax + bx + c > 0. L'equazione ax + bx + c = 0 definisce una retta che divide il piano in due semipiani. In ciascuno di essi, la funzione f(x) = ax + bx + c conserva il segno. Per determinare questo segno è sufficiente prendere un punto qualsiasi appartenente al semipiano e calcolare a questo punto il valore della funzione. Se il segno della funzione coincide con il segno della disuguaglianza, allora questo semipiano sarà la soluzione della disuguaglianza.

Considera degli esempi soluzione grafica le disuguaglianze a due variabili più comuni.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x2. Figura 9

5) xy ≤ 1. Figura 10.

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La matematica è una scienza piuttosto complessa. Studiandolo, non solo si devono risolvere esempi e problemi, ma anche lavorare con varie figure e persino piani. Uno dei più usati in matematica è il sistema di coordinate sul piano. Ai bambini è stato insegnato come lavorarci correttamente per più di un anno. Pertanto, è importante sapere di cosa si tratta e come lavorarci correttamente.

Scopriamo cos'è questo sistema, quali azioni possono essere eseguite con il suo aiuto e scopri anche le sue principali caratteristiche e caratteristiche.

Definizione del concetto

Un piano di coordinate è un piano su cui è definito un particolare sistema di coordinate. Tale piano è definito da due rette che si intersecano ad angolo retto. Il punto di intersezione di queste linee è l'origine delle coordinate. Ogni punto sul piano delle coordinate è dato da una coppia di numeri, detti coordinate.

A corso scolastico In matematica, gli scolari devono lavorare a stretto contatto con il sistema di coordinate: costruire figure e punti su di esso, determinare a quale piano appartiene una particolare coordinata e anche determinare le coordinate di un punto e scriverle o nominarle. Pertanto, parliamo più in dettaglio di tutte le caratteristiche delle coordinate. Ma prima tocchiamo la storia della creazione e poi parleremo di come lavorare sul piano delle coordinate.

Riferimento storico

Le idee sulla creazione di un sistema di coordinate erano ai tempi di Tolomeo. Già allora, astronomi e matematici stavano pensando a come imparare a impostare la posizione di un punto su un piano. Sfortunatamente, a quel tempo non c'era un sistema di coordinate a noi noto e gli scienziati dovevano usare altri sistemi.

Inizialmente, impostano i punti specificando latitudine e longitudine. Per molto tempo è stato uno dei modi più utilizzati per mappare questa o quella informazione. Ma nel 1637 René Descartes creò il proprio sistema di coordinate, in seguito intitolato a "cartesiano".

Già alla fine del XVII sec. il concetto di "piano delle coordinate" è diventato ampiamente utilizzato nel mondo della matematica. Nonostante siano trascorsi diversi secoli dalla creazione di questo sistema, è ancora ampiamente utilizzato in matematica e persino nella vita.

Esempi di piani di coordinate

Prima di parlare della teoria, diamo un'occhiata ad alcuni buoni esempi piano delle coordinate in modo da poterlo visualizzare. Il sistema di coordinate è utilizzato principalmente negli scacchi. Sulla lavagna, ogni quadrato ha le sue coordinate - una coordinata lettera, la seconda - digitale. Con il suo aiuto, puoi determinare la posizione di un particolare pezzo sul tabellone.

Il secondo esempio più eclatante è l'amato gioco "Battleship". Ricorda come, quando giochi, dai un nome a una coordinata, ad esempio B3, indicando così esattamente dove stai mirando. Allo stesso tempo, quando si posizionano le navi, si impostano i punti sul piano delle coordinate.

Questo sistema di coordinate è ampiamente utilizzato non solo in matematica, giochi di logica, ma anche negli affari militari, nell'astronomia, nella fisica e in molte altre scienze.

Coordinare gli assi

Come già accennato, nel sistema di coordinate si distinguono due assi. Parliamo un po' di loro, in quanto sono di notevole importanza.

Il primo asse - l'ascissa - è orizzontale. È indicato come ( Bue). Il secondo asse è l'ordinata, che passa verticalmente per il punto di riferimento ed è indicata come ( Ehi). Sono questi due assi che formano il sistema di coordinate, dividendo il piano in quattro quarti. L'origine si trova nel punto di intersezione di questi due assi e assume il valore 0 . Solo se il piano è formato da due assi che si intersecano perpendicolarmente, aventi un punto di riferimento, è un piano di coordinate.

Si noti inoltre che ciascuno degli assi ha la propria direzione. Di solito, quando si costruisce un sistema di coordinate, è consuetudine indicare la direzione dell'asse sotto forma di una freccia. Inoltre, quando si costruisce il piano delle coordinate, viene firmato ciascuno degli assi.

quarti

Ora diciamo alcune parole su un concetto come i quarti del piano delle coordinate. L'aereo è diviso da due assi in quattro quarti. Ognuno di essi ha il proprio numero, mentre la numerazione dei piani è in senso antiorario.

Ciascuno dei quartieri ha le sue caratteristiche. Quindi nel primo quarto l'ascissa e l'ordinata sono positive, nel secondo quarto l'ascissa è negativa, l'ordinata è positiva, nel terzo sia l'ascissa che l'ordinata sono negative, nel quarto l'ascissa è positivo e l'ordinata è negativa.

Ricordando queste caratteristiche, puoi facilmente determinare a quale quartiere appartiene un punto particolare. Inoltre, queste informazioni possono esserti utili se devi eseguire calcoli utilizzando il sistema cartesiano.

Lavorare con il piano delle coordinate

Quando abbiamo capito il concetto di piano e parlato dei suoi quarti, possiamo passare a un problema come lavorare con questo sistema e parlare anche di come inserire punti, coordinate di figure su di esso. Sul piano delle coordinate, questo non è così difficile come potrebbe sembrare a prima vista.

Prima di tutto, viene costruito il sistema stesso, ad esso vengono applicate tutte le designazioni importanti. Poi c'è il lavoro direttamente con punti o figure. In questo caso, anche quando si costruiscono figure, i punti vengono prima applicati al piano, quindi le figure sono già disegnate.

Regole per la costruzione di un aereo

Se decidi di iniziare a segnare forme e punti su carta, avrai bisogno di un piano di coordinate. Le coordinate dei punti sono tracciate su di esso. Per costruire un piano di coordinate, hai solo bisogno di un righello e una penna o una matita. Innanzitutto, viene disegnata l'ascissa orizzontale, quindi l'ordinata verticale. È importante ricordare che gli assi si intersecano ad angolo retto.

Il prossimo elemento obbligatorio è la marcatura. I segmenti di unità sono contrassegnati e firmati su ciascuno degli assi in entrambe le direzioni. Questo viene fatto in modo da poter lavorare con l'aereo con la massima comodità.

Segnare un punto

Ora parliamo di come tracciare le coordinate dei punti sul piano delle coordinate. Queste sono le basi che devi conoscere per posizionare con successo una varietà di forme sul piano e persino contrassegnare le equazioni.

Quando si costruiscono punti, è necessario ricordare come le loro coordinate vengono registrate correttamente. Quindi, di solito impostando un punto, due numeri vengono scritti tra parentesi. La prima cifra indica la coordinata del punto lungo l'asse delle ascisse, la seconda - lungo l'asse delle ordinate.

Il punto dovrebbe essere costruito in questo modo. Segnare prima sull'asse Bue dato punto, quindi segnare un punto sull'asse Ehi. Quindi, disegna linee immaginarie da queste designazioni e trova il punto della loro intersezione: questo sarà per dato punto.

Tutto quello che devi fare è contrassegnarlo e firmarlo. Come puoi vedere, tutto è abbastanza semplice e non richiede abilità speciali.

Posizionamento di una forma

Passiamo ora a una domanda come la costruzione di figure sul piano delle coordinate. Per costruire qualsiasi figura sul piano delle coordinate, dovresti sapere come posizionare i punti su di essa. Se sai come farlo, posizionare una figura su un aereo non è così difficile.

Prima di tutto, avrai bisogno delle coordinate dei punti della figura. È su di loro che applicheremo quelli che hai scelto al nostro sistema di coordinate Consideriamo di disegnare un rettangolo, un triangolo e un cerchio.

Iniziamo con un rettangolo. Applicarlo è abbastanza semplice. Innanzitutto, vengono applicati quattro punti al piano, indicando gli angoli del rettangolo. Quindi tutti i punti sono collegati in sequenza tra loro.

Disegnare un triangolo non è diverso. L'unica cosa è che ha tre angoli, il che significa che vengono applicati tre punti al piano, che denotano i suoi vertici.

Per quanto riguarda il cerchio, qui dovresti conoscere le coordinate di due punti. Il primo punto è il centro del cerchio, il secondo è il punto che ne denota il raggio. Questi due punti sono tracciati su un piano. Quindi viene presa una bussola, viene misurata la distanza tra due punti. La punta della bussola viene posta in un punto che denota il centro e viene descritto un cerchio.

Come puoi vedere, anche qui non c'è niente di complicato, la cosa principale è che c'è sempre un righello e una bussola a portata di mano.

Ora sai come tracciare le coordinate della forma. Sul piano delle coordinate, questo non è così difficile da fare, come potrebbe sembrare a prima vista.

conclusioni

Quindi, abbiamo considerato con te uno dei concetti più interessanti e basilari per la matematica con cui ogni studente deve confrontarsi.

Abbiamo scoperto che il piano delle coordinate è il piano formato dall'intersezione di due assi. Con il suo aiuto, puoi impostare le coordinate dei punti, inserire forme su di esso. L'aereo è diviso in quarti, ognuno dei quali ha le sue caratteristiche.

L'abilità principale che dovrebbe essere sviluppata quando si lavora con il piano delle coordinate è la capacità di tracciare correttamente determinati punti su di esso. Per fare ciò, dovresti conoscere la posizione corretta degli assi, le caratteristiche dei quarti e le regole con cui vengono impostate le coordinate dei punti.

Ci auguriamo che le informazioni da noi presentate siano accessibili e comprensibili, siano state utili anche per te e abbiano aiutato a comprendere meglio questo argomento.

Il sistema di coordinate rettangolari sul piano è dato da due rette reciprocamente perpendicolari. Le linee rette sono chiamate assi coordinati (o assi coordinati). Il punto di intersezione di queste linee è chiamato origine ed è indicato dalla lettera O.

Di solito una delle linee è orizzontale, l'altra è verticale. La linea orizzontale è indicata come asse x (o Ox) ed è chiamata asse delle ascisse, quella verticale è l'asse y (Oy), è chiamata asse delle ordinate. L'intero sistema di coordinate è indicato con xOy.

Il punto O divide ciascuno degli assi in due semiassi, uno dei quali è considerato positivo (è indicato da una freccia), l'altro è considerato negativo.

Ad ogni punto F del piano viene assegnata una coppia di numeri (x;y) — le sue coordinate.

La coordinata x è chiamata ascissa. È uguale a Bue preso con il segno appropriato.

La coordinata y è chiamata ordinata ed è uguale alla distanza dal punto F all'asse Oy (con il segno corrispondente).

Le distanze tra gli assi sono generalmente (ma non sempre) misurate nella stessa unità di lunghezza.

I punti a destra dell'asse y hanno ascisse positive. Per i punti che si trovano a sinistra dell'asse y, le ascisse sono negative. Per ogni punto che giace sull'asse Oy, la sua coordinata x è uguale a zero.

I punti con un'ordinata positiva si trovano sopra l'asse x, quelli con un'ordinata negativa si trovano al di sotto. Se un punto giace sull'asse x, la sua coordinata y è zero.

Gli assi delle coordinate dividono il piano in quattro parti, che sono chiamate quarti di coordinate (o angoli di coordinate o quadranti).

1 trimestre di coordinate situato nell'angolo in alto a destra del piano delle coordinate xOy. Entrambe le coordinate dei punti situati nel I quarto sono positive.

Il passaggio da un quarto all'altro avviene in senso antiorario.

2° trimestre situato nell'angolo in alto a sinistra. I punti che si trovano nel secondo quarto hanno un'ascissa negativa e un'ordinata positiva.

3° trimestre si trova nel quadrante inferiore sinistro del piano xOy. Entrambe le coordinate dei punti appartenenti all'angolo di coordinate III sono negative.

4° quarto di coordinateè l'angolo inferiore destro del piano delle coordinate. Ogni punto del quarto quarto ha una prima coordinata positiva e una seconda negativa.

Un esempio della posizione dei punti in un sistema di coordinate rettangolare:

Un sistema ordinato di due o tre assi intersecanti perpendicolari tra loro con inizio comune riferimento (origine) e viene chiamata un'unità di lunghezza comune sistema di coordinate cartesiane rettangolari .

Sistema di coordinate cartesiane generali (sistema di coordinate affine) possono comprendere anche assi non necessariamente perpendicolari. In onore del matematico francese René Descartes (1596-1662), viene chiamato un tale sistema di coordinate in cui un'unità di lunghezza comune viene contata su tutti gli assi e gli assi sono diritti.

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano ha due assi sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio - tre assi. Ogni punto su un piano o nello spazio è determinato da un insieme ordinato di coordinate - numeri in base alla lunghezza unitaria del sistema di coordinate.

Si noti che, come segue dalla definizione, esiste un sistema di coordinate cartesiane su una linea retta, cioè in una dimensione. L'introduzione delle coordinate cartesiane su una retta è uno dei modi in cui a qualsiasi punto di una retta viene assegnato un numero reale ben definito, cioè una coordinata.

Il metodo delle coordinate, sorto nelle opere di René Descartes, segnò una ristrutturazione rivoluzionaria di tutta la matematica. possibilità di interpretare equazioni algebriche(o disuguaglianze) sotto forma di immagini geometriche (grafici) e, al contrario, cercare una soluzione problemi geometrici utilizzando formule analitiche, sistemi di equazioni. Sì, disuguaglianza z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy e situato al di sopra di questo piano di 3 unità.

Con l'aiuto del sistema di coordinate cartesiane, l'appartenenza di un punto a una data curva corrisponde al fatto che i numeri X e y soddisfare qualche equazione. Quindi, le coordinate di un punto di una circonferenza centrato in un dato punto ( un; b) soddisfa l'equazione (X - un)² + ( y - b)² = R² .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano

Si formano due assi perpendicolari su un piano con un'origine comune e la stessa unità di scala Sistema di coordinate cartesiane sul piano . Uno di questi assi è chiamato asse Bue, o asse x , l'altro - l'asse Ehi, o asse y . Questi assi sono anche chiamati assi delle coordinate. Indica con MX e My rispettivamente la proiezione di un punto arbitrario M sull'asse Bue e Ehi. Come ottenere le proiezioni? Passa attraverso il punto M Bue. Questa linea interseca l'asse Bue al punto MX. Passa attraverso il punto M retta perpendicolare all'asse Ehi. Questa linea interseca l'asse Ehi al punto My. Questo è mostrato nella figura seguente.

X e y punti M chiameremo rispettivamente le grandezze dei segmenti diretti OMX e OMy. I valori di questi segmenti direzionali sono calcolati rispettivamente come X = X0 - 0 e y = y0 - 0 . coordinate cartesiane X e y punti M ascissa e ordinato . Il fatto che il punto M ha coordinate X e y, è indicato come segue: M(X, y) .

Gli assi delle coordinate dividono il piano in quattro quadrante , la cui numerazione è mostrata nella figura seguente. Indica anche la disposizione dei segni per le coordinate dei punti, a seconda della loro posizione in uno o nell'altro quadrante.

Oltre alle coordinate rettangolari cartesiane nel piano, viene spesso considerato anche il sistema di coordinate polari. Informazioni sul metodo di transizione da un sistema di coordinate all'altro - nella lezione sistema di coordinate polari .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio

Le coordinate cartesiane nello spazio sono introdotte in completa analogia con le coordinate cartesiane su un piano.

Tre assi tra loro perpendicolari nello spazio (assi coordinati) con un'origine comune o e la stessa forma dell'unità di scala Sistema di coordinate rettangolari cartesiane nello spazio .

Uno di questi assi è chiamato asse Bue, o asse x , l'altro - l'asse Ehi, o asse y , terzo asse Oz, o asse applicato . Permettere MX, My Mz- proiezioni di un punto arbitrario M spazi sull'asse Bue , Ehi e Oz rispettivamente.

Passa attraverso il punto M BueBue al punto MX. Passa attraverso il punto M piano perpendicolare all'asse Ehi. Questo piano interseca l'asse Ehi al punto My. Passa attraverso il punto M piano perpendicolare all'asse Oz. Questo piano interseca l'asse Oz al punto Mz.

Coordinate cartesiane rettangolari X , y e z punti M chiameremo rispettivamente le grandezze dei segmenti diretti OMX, OMy e OMz. I valori di questi segmenti direzionali sono calcolati rispettivamente come X = X0 - 0 , y = y0 - 0 e z = z0 - 0 .

coordinate cartesiane X , y e z punti M sono nominati di conseguenza ascissa , ordinato e applique .

Presi a coppie, gli assi delle coordinate si trovano nei piani delle coordinate xOy , yOz e zOx .

Problemi sui punti nel sistema di coordinate cartesiane

Esempio 1

UN(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse x.

Soluzione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse x si trova sull'asse x stesso, cioè l'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e un'ordinata (coordinata sull'asse Ehi, che l'asse x interseca nel punto 0), uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse x:

UNx(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Esempio 2 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse y.

Soluzione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse y si trova sull'asse y stesso, cioè l'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e un'ascissa (la coordinata sull'asse Bue, che l'asse y interseca nel punto 0), uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse y:

UNsi(0; 2);

Bsi (0; 1);

Csi(0;-2).

Esempio 3 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bue .

Bue Bue Bue, avrà la stessa ascissa del punto dato, e l'ordinata uguale in valore assoluto all'ordinata del punto dato, e di segno opposto ad essa. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Bue :

UN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Risolvi tu stesso i problemi sul sistema di coordinate cartesiane e poi guarda le soluzioni

Esempio 4 Determina in quali quadranti (quarti, figura con quadranti - alla fine del paragrafo "Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano") può essere posizionato il punto M(X; y) , Se

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − y = 0 ;

4) X + y = 0 ;

5) X + y > 0 ;

6) X + y < 0 ;

7) X − y > 0 ;

8) X − y < 0 .

Esempio 5 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(un; b) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Ehi .

Continuiamo a risolvere i problemi insieme

Esempio 6 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Ehi .

Soluzione. Ruota di 180 gradi attorno all'asse Ehi segmento di linea diretto da un asse Ehi fino a questo punto. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che il punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse Ehi, avrà la stessa ordinata del punto dato, ed un'ascissa uguale in valore assoluto all'ascissa del punto dato, e di segno opposto ad essa. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Ehi :

UN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Esempio 7 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Trova le coordinate dei punti che sono simmetrici a questi punti rispetto all'origine.

Soluzione. Ruotiamo di 180 gradi attorno all'origine del segmento diretto che va dall'origine al punto dato. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che un punto simmetrico ad uno dato rispetto all'origine delle coordinate avrà un'ascissa ed un'ordinata uguali in valore assoluto all'ascissa ed ordinata del punto dato , ma di segno opposto a loro. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'origine:

UN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Esempio 8

UN(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti:

1) su un aereo Ossi ;

2) all'aereo Oxz ;

3) all'aereo Oyz ;

4) sull'asse delle ascisse;

5) sull'asse y;

6) sull'asse dell'applicazione.

1) Proiezione di un punto su un piano Ossi situato su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e un'ordinata del punto dato, e un'applicata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Ossi :

UNxy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proiezione di un punto su un piano Oxz situata su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'applicata uguali all'ascissa e un'applicata del punto dato, e un'ordinata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oxz :

UNxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Proiezione di un punto su un piano Oyz si trova su questo piano stesso, e quindi ha un'ordinata e un'applicata uguali all'ordinata e applicata di un dato punto, e un'ascissa uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oyz :

UNyz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse x si trova sull'asse x stesso, cioè l'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e l'ordinata e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ordinata e dell'applicata intersecano l'ascissa nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse x:

UNx(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) La proiezione di un punto sull'asse y si trova sull'asse y stesso, cioè l'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e l'ascissa e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ascissa e dell'applicata intersecano l'asse delle ordinate nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse y:

UNsi(0;3;0);

Bsi(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) La proiezione di un punto sull'asse dell'applicata si trova sull'asse dell'applicata stesso, cioè l'asse Oz, e quindi ha un'applicata uguale all'applicata del punto stesso, e l'ascissa e l'ordinata della proiezione sono uguali a zero (poiché l'asse delle ascisse e delle ordinate intersecano l'asse dell'applicata nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse dell'applicata:

UNz(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Esempio 9 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane nello spazio

UN(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Trova le coordinate dei punti che sono simmetrici a questi punti rispetto a:

1) aereo Ossi ;

2) aereo Oxz ;

3) aereo Oyz ;

4) asse delle ascisse;

5) asse y;

6) asse di applicazione;

7) l'origine delle coordinate.

1) "Avanza" il punto sull'altro lato dell'asse Ossi Ossi, avrà un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e l'ordinata del punto dato, e un'applicata uguale in grandezza all'applicata del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Ossi :

UN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Avanza" il punto sull'altro lato dell'asse Oxz per la stessa distanza. Secondo la figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che il punto è simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oxz, avrà un'ascissa e applicata uguali all'ascissa e applicata del punto dato, e un'ordinata uguale in grandezza all'ordinata del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oxz :

UN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Avanza" il punto sull'altro lato dell'asse Oyz per la stessa distanza. Secondo la figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che il punto è simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oyz, avrà un'ordinata e un'applicata uguali all'ordinata e un'applicata del punto dato, e un'ascissa uguale in grandezza all'ascissa del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oyz :

UN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Per analogia con punti simmetrici sul piano e punti nello spazio simmetrici rispetto ai dati rispetto ai piani, notiamo che nel caso di simmetria attorno a qualche asse del sistema di coordinate cartesiane nello spazio, la coordinata sull'asse attorno al quale è impostata la simmetria manterrà il suo segno e le coordinate sugli altri due assi saranno le stesse in valore assoluto delle coordinate del punto dato, ma di segno opposto.

4) L'ascissa manterrà il suo segno, mentre l'ordinata e l'applicata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse x:

UN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) L'ordinata manterrà il suo segno, mentre l'ascissa e l'applicata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse y:

UN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) L'applicata manterrà il suo segno e l'ascissa e l'ordinata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse dell'applicata:

UN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Per analogia con la simmetria nel caso di punti su un piano, nel caso di simmetria sull'origine delle coordinate, tutte le coordinate di un punto simmetrico ad un dato saranno uguali in valore assoluto alle coordinate di un dato punto, ma di segno opposto a loro. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti che sono simmetrici ai dati rispetto all'origine.