Come risolvere l'equazione 5 6. Risolvere equazioni lineari con esempi. Trovare il termine sconosciuto della proporzione
Risolviamo l'equazione razionale frazionaria 5/x = 100. Questa equazione può essere risolta in due modi. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi.
Piano per risolvere l'equazione 5/x = 100
- trova l'intervallo di valori ammissibili per l'equazione data;
- il primo modo per risolvere un'equazione è considerarla come una proporzione;
- il secondo modo per risolvere l'equazione è trovare il divisore incognito.
Trovare il termine sconosciuto della proporzione
Per prima cosa, troviamo l'equazione ODZ. C'è un segno di frazione sul lato sinistro dell'equazione ed è equivalente al segno di divisione. Sappiamo che non puoi dividere per zero. Quindi dalla ODZ dobbiamo escludere i valori che portano il denominatore a zero.
ODZ: x appartiene a R\(0).
Ora diamo un'occhiata alla nostra equazione come proporzione.
Proprietà di base della proporzione.
Il prodotto dei termini estremi di una proporzione è uguale al prodotto dei suoi termini medi.
Per proporzione a:b = c:d o a/b = c/d la proprietà principale è scritta così: un d = b c.
Applichiamolo e otteniamo un'equazione lineare:
100 * x = 5 * 1;
Dividi entrambi i membri dell'equazione per 100, eliminando così il coefficiente davanti alla variabile x:
Trovare il divisore sconosciuto
Diamo un'occhiata all'equazione come privata. Dove il dividendo è 5, il divisore è x e il risultato della divisione è il quoziente è 100.
Ricorda la regola su come trovare un divisore sconosciuto: devi dividere il dividendo per il quoziente.
La radice trovata appartiene all'equazione ODZ.
Verifichiamo la soluzione trovata dell'equazione. Per fare ciò, sostituiamo la radice trovata nell'equazione originale ed eseguiamo i calcoli:
La soluzione è stata trovata correttamente.
Un'equazione è un'uguaglianza in cui esiste un termine sconosciuto - x. Il suo significato va trovato.
L'incognita è chiamata radice dell'equazione. Risolvere un'equazione significa trovarne la radice, e per questo è necessario conoscere le proprietà delle equazioni. Le equazioni per il grado 5 non sono difficili, ma se impari a risolverle correttamente, non avrai problemi con esse in futuro.
La proprietà principale delle equazioni
Quando entrambi i lati dell'equazione vengono modificati della stessa quantità, continua a essere la stessa equazione con la stessa radice. Risolviamo alcuni esempi per comprendere meglio questa regola.
Come risolvere le equazioni: addizione o sottrazione
Supponiamo di avere un'equazione della forma:
- a + x = b - qui aeb sono numeri e x è il termine sconosciuto dell'equazione.
Se aggiungiamo (o sottraiamo da essi) il valore di c ad entrambe le parti dell'equazione, non cambierà:
- a + x + c = b + c
- a + x - c = b - c.
Esempio 1
Usiamo questa proprietà per risolvere l'equazione:
- 37+x=51
Sottrarre il numero 37 da entrambe le parti:
- 37+x-37=51-37
noi abbiamo:
- x=51-37.
La radice dell'equazione è x=14.
Se osserviamo da vicino l'ultima equazione, vediamo che è la stessa della prima. Abbiamo semplicemente spostato il termine 37 da un lato all'altro dell'equazione, sostituendo il più con un meno.
Si scopre che qualsiasi numero può essere trasferito da una parte dell'equazione all'altra con il segno opposto.
Esempio 2
- 37+x=37+22
Eseguiamo la stessa azione, trasferiamo il numero 37 dal lato sinistro dell'equazione a destra:
- x=37-37+22
Poiché 37-37=0, lo riduciamo semplicemente e otteniamo:
- x = 22.
Gli stessi termini dell'equazione con lo stesso segno, che sono in parti differenti le equazioni possono essere abbreviate (cancellate).
Equazioni di moltiplicazione e divisione
Entrambi i lati dell'equazione possono anche essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero:
Se l'uguaglianza a = b è divisa o moltiplicata per c, non cambierà:
- a/c = b/c,
- ac = bc.
Esempio 3
- 5x = 20
Dividi entrambi i membri dell'equazione per 5:
- 5x/5 = 20/5.
Da 5/5 \u003d 1, riduciamo questi moltiplicatori e divisori sul lato sinistro dell'equazione e otteniamo:
- x=20/5, x=4
Esempio 4
- 5x = 5a
Se entrambi i membri dell'equazione sono divisi per 5, otteniamo:
- 5x/5 = 5a/5.
5 nel numeratore e il denominatore delle parti sinistra e destra sono ridotti, risulta x \u003d a. Ciò significa che gli stessi fattori sui lati sinistro e destro delle equazioni si annullano.
Risolviamo un altro esempio:
- 13 + 2x = 21
Trasferiamo il termine 13 dal lato sinistro dell'equazione al lato destro con il segno opposto:
- 2x = 21 - 13
- 2x = 8.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 2, otteniamo:
- x = 4.
Un'equazione con un'incognita, che, dopo aver aperto le parentesi e aver ridotto i termini simili, prende forma
ax + b = 0, dove aeb sono numeri arbitrari, viene chiamato equazione lineare con uno sconosciuto. Oggi scopriremo come risolvere queste equazioni lineari.
Ad esempio, tutte le equazioni:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineare.
Viene chiamato il valore dell'incognita che trasforma l'equazione in una vera uguaglianza decisione o la radice dell'equazione .
Ad esempio, se nell'equazione 3x + 7 \u003d 13 sostituiamo il numero 2 invece dell'incognita x, otteniamo l'uguaglianza corretta 3 2 + 7 \u003d 13. Quindi, il valore x \u003d 2 è la soluzione o la radice dell'equazione.
E il valore x \u003d 3 non trasforma l'equazione 3x + 7 \u003d 13 in una vera uguaglianza, poiché 3 2 + 7 ≠ 13. Pertanto, il valore x \u003d 3 non è una soluzione o una radice dell'equazione.
Soluzione di qualsiasi equazioni lineari si riduce a risolvere le equazioni della forma
ax + b = 0.
Trasferiamo il termine libero dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a b al contrario, otteniamo
Se a ≠ 0, allora x = – b/a .
Esempio 1 Risolvi l'equazione 3x + 2 =11.
Trasferiamo 2 dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a 2 al contrario, otteniamo
3x \u003d 11 - 2.
Facciamo la sottrazione, allora
3x = 9.
Per trovare x, devi dividere il prodotto per un fattore noto, ovvero
x = 9:3.
Quindi il valore x = 3 è la soluzione o la radice dell'equazione.
Risposta: x = 3.
Se a = 0 e b = 0, quindi otteniamo l'equazione 0x \u003d 0. Questa equazione ha infinite soluzioni, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0, otteniamo 0, ma b è anche 0. La soluzione di questa equazione è qualsiasi numero.
Esempio 2 Risolvi l'equazione 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Espandiamo le parentesi:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Ecco membri simili:
0x = 0.
Risposta: x è un numero qualsiasi.
Se a = 0 e b ≠ 0, quindi otteniamo l'equazione 0x = - b. Questa equazione non ha soluzioni, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0, otteniamo 0, ma b ≠ 0.
Esempio 3 Risolvi l'equazione x + 8 = x + 5.
Raggruppiamo i termini contenenti incognite sul lato sinistro e i termini liberi sul lato destro:
x - x \u003d 5 - 8.
Ecco membri simili:
0x = - 3.
Risposta: nessuna soluzione.
Sul Figura 1 viene mostrato lo schema per risolvere l'equazione lineare
Componiamo schema generale soluzioni di equazioni con una variabile. Considera la soluzione dell'esempio 4.
Esempio 4 Risolviamo l'equazione
1) Moltiplicare tutti i termini dell'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori, pari a 12.
2) Dopo la riduzione otteniamo
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Per separare i membri che contengono membri sconosciuti e membri liberi, aprire le parentesi:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Raggruppiamo in una parte i termini contenenti incognite e nell'altra i termini liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Ecco i membri simili:
- 22x = - 154.
6) Dividi per - 22 , otteniamo
x = 7.
Come puoi vedere, la radice dell'equazione è sette.
In generale, tale le equazioni possono essere risolte come segue:
a) portare l'equazione a una forma intera;
b) parentesi aperte;
c) raggruppare i termini contenenti l'incognita in una parte dell'equazione, ei termini liberi nell'altra;
d) portare soci simili;
e) risolvere un'equazione della forma aх = b, che è stata ottenuta portando termini simili.
Tuttavia, questo schema non è richiesto per ogni equazione. Quando si risolvono molte equazioni più semplici, non si deve partire dalla prima, ma dalla seconda ( Esempio. 2), Terzo ( Esempio. 13) e anche dal quinto stadio, come nell'esempio 5.
Esempio 5 Risolvi l'equazione 2x = 1/4.
Troviamo l'ignoto x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Si consideri la soluzione di alcune equazioni lineari incontrate nell'esame di stato principale.
Esempio 6 Risolvi l'equazione 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Risposta: - 0,125
Esempio 7 Risolvi l'equazione - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Risposta: 2.3
Esempio 8 Risolvi l'equazione
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Esempio 9 Trova f(6) se f (x + 2) = 3 7
Soluzione
Poiché dobbiamo trovare f(6), e sappiamo f (x + 2),
allora x + 2 = 6.
Risolviamo l'equazione lineare x + 2 = 6,
otteniamo x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Se x = 4 allora
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Risposta: 27.
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