Kur ir lielākais atvasinājums? Funkcijas atvasinājums. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Uzdevumi atvasinājuma raksturlielumu noteikšanai no funkcijas grafika
Funkcijas atvasinājums ir viena no grūtākajām tēmām skolas mācību programmā. Ne katrs absolvents atbildēs uz jautājumu, kas ir atvasinājums.
Šajā rakstā vienkārši un skaidri paskaidrots, kas ir atvasinājums un kāpēc tas ir vajadzīgs.. Mēs tagad necentīsimies pēc prezentācijas matemātiskas stingrības. Vissvarīgākais ir saprast nozīmi.
Atcerēsimies definīciju:
Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums.
Attēlā parādīti trīs funkciju grafiki. Kurš, jūsuprāt, aug visstraujāk?
Atbilde ir acīmredzama – trešā. Tam ir vislielākais izmaiņu ātrums, tas ir, lielākais atvasinājums.
Šeit ir vēl viens piemērs.
Kostja, Griša un Matvejs ieguva darbu vienlaikus. Apskatīsim, kā gada laikā mainījās viņu ienākumi:
Jūs varat redzēt visu diagrammā uzreiz, vai ne? Kostjas ienākumi sešu mēnešu laikā ir vairāk nekā dubultojušies. Un Grišas ienākumi arī pieauga, bet tikai nedaudz. Un Metjū ienākumi samazinājās līdz nullei. Sākuma nosacījumi ir vienādi, bet funkcijas maiņas ātrums, t.i. atvasinājums, - savādāk. Kas attiecas uz Matveju, viņa ienākumu atvasinājums kopumā ir negatīvs.
Intuitīvi mēs varam viegli novērtēt funkcijas izmaiņu ātrumu. Bet kā mēs to darām?
Tas, ko mēs patiešām skatāmies, ir tas, cik strauji funkcijas grafiks iet uz augšu (vai uz leju). Citiem vārdiem sakot, cik ātri y mainās ar x. Acīmredzot vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt atšķirīga atvasinājuma vērtība – tas ir, tā var mainīties ātrāk vai lēnāk.
Funkcijas atvasinājumu apzīmē ar .
Parādīsim, kā atrast, izmantojot grafiku.
Tiek uzzīmēts kādas funkcijas grafiks. Paņemiet punktu uz tā ar abscisu. Šajā punktā uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam. Mēs vēlamies novērtēt, cik strauji iet uz augšu funkcijas grafiks. Ērta vērtība tam ir pieskares slīpuma tangenss.
Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.
Lūdzu, ņemiet vērā - kā pieskares slīpuma leņķi mēs ņemam leņķi starp pieskares un ass pozitīvo virzienu.
Dažreiz skolēni jautā, kāda ir funkcijas grafika pieskare. Šī ir taisna līnija, kurai ir vienīgais kopīgais punkts ar grafiku šajā sadaļā, turklāt, kā parādīts mūsu attēlā. Tas izskatās kā apļa tangenss.
Atradīsim. Mēs atceramies, ka akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trijstūrī ir vienāda ar pretējās kājas attiecību pret blakus esošo. No trīsstūra:
Mēs atradām atvasinājumu, izmantojot grafiku, pat nezinot funkcijas formulu. Šādi uzdevumi bieži atrodami matemātikas eksāmenā zem numura.
Ir vēl viena svarīga korelācija. Atgādiniet, ka taisnu līniju nosaka vienādojums
Šajā vienādojumā lielumu sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar taisnes slīpuma leņķa pieskari pret asi.
.
Mēs to saņemam
Atcerēsimies šo formulu. Tas izsaka atvasinājuma ģeometrisko nozīmi.
Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.
Citiem vārdiem sakot, atvasinājums ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu.
Mēs jau teicām, ka vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt dažādi atvasinājumi. Apskatīsim, kā atvasinājums ir saistīts ar funkcijas uzvedību.
Uzzīmēsim kādas funkcijas grafiku. Ļaujiet šai funkcijai dažos apgabalos palielināties, bet citos samazināties, un ar atšķirīgu ātrumu. Un lai šai funkcijai ir maksimālais un minimālais punkts.
Kādā brīdī funkcija palielinās. Punktā uzzīmētā grafika pieskare veido akūtu leņķi ar ass pozitīvo virzienu. Tātad atvasinājums punktā ir pozitīvs.
Šobrīd mūsu funkcija samazinās. Pieskare šajā punktā veido neasu leņķi ar ass pozitīvo virzienu. Tā kā strupā leņķa tangensa ir negatīva, atvasinājums punktā ir negatīvs.
Lūk, kas notiek:
Ja funkcija palielinās, tās atvasinājums ir pozitīvs.
Ja tas samazinās, tā atvasinājums ir negatīvs.
Un kas notiks pie maksimālajiem un minimālajiem punktiem? Mēs redzam, ka (maksimālajā punktā) un (minimālajā punktā) pieskare ir horizontāla. Tāpēc pieskares slīpuma tangensa šajos punktos ir nulle, un atvasinājums arī ir nulle.
Punkts ir maksimālais punkts. Šajā brīdī funkcijas palielināšana tiek aizstāta ar samazinājumu. Līdz ar to atvasinājuma zīme mainās punktā no "plus" uz "mīnus".
Punktā - minimālajā punktā - atvasinājums arī ir vienāds ar nulli, bet tā zīme mainās no "mīnus" uz "plus".
Secinājums: ar atvasinājuma palīdzību var uzzināt visu, kas mūs interesē par funkcijas uzvedību.
Ja atvasinājums ir pozitīvs, tad funkcija palielinās.
Ja atvasinājums ir negatīvs, tad funkcija samazinās.
Maksimālajā punktā atvasinājums ir nulle un maina zīmi no plusa uz mīnusu.
Minimālajā punktā atvasinājums arī ir nulle un maina zīmi no mīnusa uz plusu.
Mēs ierakstām šos secinājumus tabulas veidā:
| palielinās | maksimālais punkts | samazinās | minimālais punkts | palielinās | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Veiksim divus nelielus precizējumus. Risinot eksāmena uzdevumus, jums būs nepieciešams viens no tiem. Cits - pirmajā kursā ar nopietnāku funkciju un atvasinājumu izpēti.
Ir iespējams gadījums, kad funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, bet funkcijai šajā punktā nav ne maksimuma, ne minimuma. Šī t.s :
Punktā grafika pieskare ir horizontāla, un atvasinājums ir nulle. Tomēr pirms punkta funkcija palielinājās - un pēc punkta tā turpina palielināties. Atvasinājuma zīme nemainās – tā ir palikusi pozitīva tāda, kāda bija.
Gadās arī tā, ka maksimuma vai minimuma punktā atvasinājums neeksistē. Grafikā tas atbilst straujam pārtraukumam, kad noteiktā punktā nav iespējams uzzīmēt pieskari.
Bet kā atrast atvasinājumu, ja funkcija ir dota nevis pēc grafika, bet ar formulu? Šajā gadījumā tas attiecas
Problēmā B9 ir dots funkcijas vai atvasinājuma grafiks, no kura nepieciešams noteikt vienu no šādiem lielumiem:
- atvasinājuma vērtība kādā punktā x 0,
- Augstākie vai zemākie punkti (ekstrēmi punkti),
- Palielinošu un samazinošu funkciju intervāli (monotoniskuma intervāli).
Šajā uzdevumā parādītās funkcijas un atvasinājumi vienmēr ir nepārtraukti, kas ievērojami vienkāršo risinājumu. Neskatoties uz to, ka uzdevums pieder matemātiskās analīzes sadaļai, tas ir diezgan pa spēkam pat vājākajiem skolēniem, jo šeit nav nepieciešamas dziļas teorētiskās zināšanas.
Lai atrastu atvasinājuma vērtību, ekstrēmuma punktus un monotonības intervālus, ir vienkārši un universāli algoritmi - tie visi tiks apspriesti tālāk.
Uzmanīgi izlasiet uzdevuma B9 nosacījumu, lai nepieļautu stulbas kļūdas: dažreiz sanāk diezgan apjomīgi teksti, taču ir maz svarīgu nosacījumu, kas ietekmē risinājuma gaitu.
Atvasinātā instrumenta vērtības aprēķins. Divu punktu metode
Ja uzdevumam ir dots funkcijas f(x) grafiks, kas pieskaras šim grafikam kādā punktā x 0 , un šajā punktā ir jāatrod atvasinājuma vērtība, tiek izmantots šāds algoritms:
- Atrodiet pieskares grafikā divus "adekvātus" punktus: to koordinātām jābūt veseliem skaitļiem. Apzīmēsim šos punktus kā A (x 1 ; y 1) un B (x 2 ; y 2). Pareizi pierakstiet koordinātas - tas ir risinājuma galvenais punkts, un jebkura kļūda šeit noved pie nepareizas atbildes.
- Zinot koordinātas, ir viegli aprēķināt argumenta Δx = x 2 − x 1 inkrementu un funkcijas Δy = y 2 − y 1 pieaugumu.
- Visbeidzot, mēs atrodam atvasinājuma D = Δy/Δx vērtību. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāsadala funkcijas pieaugums ar argumenta pieaugumu - un tā būs atbilde.
Vēlreiz jāatzīmē: punkti A un B ir jāmeklē tieši pieskares punktā, nevis funkcijas f(x) grafikā, kā tas bieži notiek. Pieskarei noteikti būs vismaz divi šādi punkti, pretējā gadījumā problēma tiek formulēta nepareizi.
Apsveriet punktus A (-3; 2) un B (-1; 6) un atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Atradīsim atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .
Apsveriet punktus A (0; 3) un B (3; 0), atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Tagad mēs atrodam atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .
Apsveriet punktus A (0; 2) un B (5; 2) un atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Atliek atrast atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
No pēdējā piemēra varam formulēt noteikumu: ja pieskare ir paralēla OX asij, funkcijas atvasinājums saskares punktā ir vienāds ar nulli. Šajā gadījumā jums pat nekas nav jāaprēķina - vienkārši skatieties grafiku.
Augsto un zemo punktu aprēķināšana
Dažkārt uzdevumā B9 funkcijas grafika vietā tiek dots atvasinātais grafiks un jāatrod funkcijas maksimālais vai minimālais punkts. Šajā scenārijā divu punktu metode ir bezjēdzīga, taču ir vēl viens, vēl vienkāršāks algoritms. Pirmkārt, definēsim terminoloģiju:
- Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) maksimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≥ f(x).
- Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) minimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≤ f(x).
Lai atvasinājuma grafikā atrastu maksimālo un minimālo punktu, pietiek veikt šādas darbības:
- Pārzīmējiet atvasinājuma grafiku, noņemot visu nevajadzīgo informāciju. Kā liecina prakse, papildu dati tikai traucē risinājumu. Tāpēc mēs atzīmējam atvasinājuma nulles uz koordinātu ass - un viss.
- Noskaidrojiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Ja kādam punktam x 0 zināms, ka f'(x 0) ≠ 0, tad ir iespējami tikai divi varianti: f'(x 0) ≥ 0 vai f'(x 0) ≤ 0. Atvasinājuma zīme ir viegli noteikt pēc sākotnējā zīmējuma: ja atvasinātais grafiks atrodas virs OX ass, tad f'(x) ≥ 0. Un otrādi, ja atvasinātais grafiks atrodas zem OX ass, tad f'(x) ≤ 0.
- Mēs vēlreiz pārbaudām atvasinājuma nulles un zīmes. Ja zīme mainās no mīnusa uz plusu, ir minimālais punkts. Un otrādi, ja atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu, tas ir maksimālais punkts. Skaitīšana vienmēr tiek veikta no kreisās uz labo pusi.
Šī shēma darbojas tikai nepārtrauktām funkcijām - problēmu B9 nav citu.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−5; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 5]. Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu šajā segmentā.
Atbrīvosimies no nevajadzīgas informācijas - atstāsim tikai robežas [−5; 5] un atvasinājuma nulles x = −3 un x = 2,5. Ņemiet vērā arī zīmes:
Acīmredzot punktā x = −3 atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Tas ir minimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu šajā segmentā.
Pārzīmēsim grafiku, atstājot tikai robežas [−3; 7] un atvasinājuma nulles x = −1,7 un x = 5. Ievērojiet atvasinājuma zīmes iegūtajā grafikā. Mums ir:
Acīmredzot punktā x = 5 atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu - tas ir maksimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−6; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; četri]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu, kas pieder intervālam [−4; 3].
No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka pietiek ņemt vērā tikai to grafa daļu, ko ierobežo segments [−4; 3]. Tāpēc veidojam jaunu grafiku, uz kura iezīmējam tikai robežas [−4; 3] un tajā esošā atvasinājuma nulles. Proti, punkti x = −3,5 un x = 2. Iegūstam:
Šajā grafikā ir tikai viens maksimālais punkts x = 2. Tieši tajā atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu.
Neliela piezīme par punktiem ar koordinātām, kas nav veseli skaitļi. Piemēram, pēdējā uzdevumā tika aplūkots punkts x = −3,5, bet ar tādiem pašiem panākumiem mēs varam ņemt x = −3,4. Ja problēma ir pareizi formulēta, šādām izmaiņām nevajadzētu ietekmēt atbildi, jo punkti "bez noteiktas dzīvesvietas" nav tieši iesaistīti problēmas risināšanā. Protams, ar veseliem skaitļiem šāds triks nedarbosies.
Funkcijas palielināšanas un samazināšanās intervālu atrašana
Šādā uzdevumā, tāpat kā maksimuma un minimuma punkti, tiek piedāvāts no atvasinājuma grafika atrast apgabalus, kuros pati funkcija palielinās vai samazinās. Vispirms definēsim, kas ir augošais un dilstošais:
- Funkciju f(x) sauc par segmentā pieaugošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Citiem vārdiem sakot, jo lielāka ir argumenta vērtība, jo lielāka ir funkcijas vērtība.
- Funkciju f(x) sauc par segmentā samazinošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.
Mēs formulējam pietiekamus nosacījumus palielināšanai un samazināšanai:
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) palielinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir pozitīvs, t.i. f'(x) ≥ 0.
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) samazinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir negatīvs, t.i. f'(x) ≤ 0.
Mēs pieņemam šos apgalvojumus bez pierādījumiem. Tādējādi mēs iegūstam pieauguma un samazinājuma intervālu atrašanas shēmu, kas daudzējādā ziņā ir līdzīga ekstremālo punktu aprēķināšanas algoritmam:
- Noņemiet visu lieko informāciju. Sākotnējā atvasinājuma grafikā mūs galvenokārt interesē funkcijas nulles, tāpēc mēs atstājam tikai tās.
- Atzīmējiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Kur f'(x) ≥ 0, funkcija palielinās, un kur f'(x) ≤ 0, tā samazinās. Ja problēmai ir ierobežojumi mainīgajam x, mēs tos papildus atzīmējam jaunajā diagrammā.
- Tagad, kad mēs zinām funkcijas darbību un ierobežojumu, atliek aprēķināt nepieciešamo vērtību uzdevumā.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7.5]. Atrodiet dilstošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu summu.
Kā parasti, mēs pārzīmējam grafiku un atzīmējam robežas [−3; 7.5], kā arī atvasinājuma x = −1,5 un x = 5,3 nulles. Pēc tam atzīmējam atvasinājuma zīmes. Mums ir:
Tā kā atvasinājums ir negatīvs intervālā (− 1,5), tas ir dilstošās funkcijas intervāls. Atliek summēt visus veselos skaitļus, kas atrodas šajā intervālā:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−10; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; četri]. Atrodiet pieaugošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu.
Atbrīvosimies no liekās informācijas. Mēs atstājam tikai robežas [−10; 4] un atvasinājuma nulles, kas šoreiz izrādījās četras: x = −8, x = −6, x = −3 un x = 2. Atzīmē atvasinājuma zīmes un iegūsti šādu attēlu:
Mūs interesē pieaugošās funkcijas intervāli, t.i. kur f'(x) ≥ 0. Grafikā ir divi šādi intervāli: (−8; −6) un (−3; 2). Aprēķināsim to garumus:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Tā kā ir jāatrod lielākā intervāla garums, atbildē rakstām vērtību l 2 = 5.
Sergejs Ņikiforovs
Ja funkcijas atvasinājums uz intervāla ir ar nemainīgu zīmi, un pati funkcija ir nepārtraukta uz tās robežām, tad robežpunkti tiek piesaistīti gan pieaugošam, gan dilstošam intervālam, kas pilnībā atbilst pieaugošo un samazinošo funkciju definīcijai.
Farits Jamajevs 26.10.2016 18:50
Sveiki. Kā (uz kāda pamata) var apgalvot, ka punktā, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, funkcija palielinās. Norādiet iemeslus. Citādi tā ir tikai kāda cilvēka iegriba. Pēc kādas teorēmas? Un arī pierādījums. Paldies.
Atbalsts
Atvasinājuma vērtība punktā nav tieši saistīta ar funkcijas palielināšanos intervālā. Apsveriet, piemēram, funkcijas - tās visas palielinās ar intervālu
Vladlens Pisarevs 02.11.2016 22:21
Ja funkcija pieaug intervālā (a;b) un ir definēta un nepārtraukta punktos a un b, tad tā palielinās segmentā . Tie. dotajā intervālā ir iekļauts punkts x=2.
Lai gan, kā likums, pieaugums un samazinājums tiek uzskatīts nevis par segmentu, bet gan uz intervālu.
Bet pašā punktā x=2 funkcijai ir lokālais minimums. Un kā izskaidrot bērniem, ka tad, kad viņi meklē pieauguma (samazināšanās) punktus, tad mēs neskaitām lokālā ekstrēma punktus, bet tie ieiet pieauguma (samazināšanās) intervālos.
Ņemot vērā, ka eksāmena pirmā daļa ir "bērnudārza vidējai grupai", tad šādas nianses, iespējams, ir pārspīlētas.
Atsevišķi liels paldies par "eksāmenu atrisināšu" visiem darbiniekiem - izcilam ceļvedim.
Sergejs Ņikiforovs
Vienkāršu skaidrojumu var iegūt, ja sākam no pieaugošas/samazinošas funkcijas definīcijas. Atgādināšu, ka tas izklausās šādi: funkciju sauc par intervāla palielināšanu/samazināšanu, ja lielākais funkcijas arguments atbilst lielākai/mazākai funkcijas vērtībai. Šāda definīcija nekādā veidā neizmanto atvasinājuma jēdzienu, tāpēc nevar rasties jautājumi par punktiem, kur atvasinājums pazūd.
Irina Išmakova 20.11.2017 11:46
Labdien. Šeit komentāros redzu uzskatus, ka robežas jāiekļauj. Pieņemsim, ka es tam piekrītu. Bet paskatieties, lūdzu, savu risinājumu uzdevumam 7089. Tur, norādot pieauguma intervālus, robežas netiek iekļautas. Un tas ietekmē reakciju. Tie. uzdevumu 6429 un 7089 risinājumi ir pretrunā viens otram. Lūdzu, precizējiet šo situāciju.
Aleksandrs Ivanovs
Uzdevumos 6429 un 7089 ir pilnīgi atšķirīgi jautājumi.
Vienā ir pieauguma intervāli, bet otrā ir intervāli ar pozitīvu atvasinājumu.
Nav nekādu pretrunu.
Ekstrēmi tiek iekļauti pieauguma un samazinājuma intervālos, bet punkti, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, neietilpst intervālos, kuros atvasinājums ir pozitīvs.
A Z 28.01.2019 19:09
Kolēģi, pastāv jēdziens palielināt vienā punktā
(skatiet, piemēram, Fichtenholtz)
un jūsu izpratne par pieaugumu punktā x=2 ir pretrunā ar klasisko definīciju.
Palielināšana un samazināšana ir process, un es gribētu pieturēties pie šī principa.
Jebkurā intervālā, kurā ir punkts x=2, funkcija nepalielinās. Tāpēc dotā punkta x=2 iekļaušana ir īpašs process.
Parasti, lai izvairītos no neskaidrībām, intervālu galu iekļaušana tiek teikta atsevišķi.
Aleksandrs Ivanovs
Funkciju y=f(x) sauc par pieaugošu kādā intervālā, ja lielākā argumenta vērtība no šī intervāla atbilst lielākajai funkcijas vērtībai.
Punktā x = 2 funkcija ir diferencējama, un intervālā (2; 6) atvasinājums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka uz intervāla )