Daudzstūra laukuma īpašības Kongruentiem daudzstūriem ir vienādi laukumi. Ja daudzstūris sastāv no vairākiem daudzstūriem, tad tā laukums. 1 visiem kvadrātiem ir vienāda platība

VIII klase: 3. tēma. Figūru laukumi. Pitagora teorēma.

1. Platības jēdziens. Vienlīdzīgi skaitļi.

Ja garums ir līnijas skaitlisks raksturlielums, tad laukums ir slēgtas figūras skaitlisks raksturlielums. Lai gan mēs esam pazīstami ar apgabala jēdzienu no Ikdiena Nav viegli sniegt precīzu šī jēdziena definīciju. Izrādās, ka slēgtas figūras laukumu var saukt par jebkuru nenegatīvu lielumu, kam ir sekojošais īpašības figūru laukumu mērīšanai:

Vienādiem cipariem ir vienādas platības. Ja šo slēgto figūru sadala vairākās slēgtās figūrās, tad figūras laukums ir vienāds ar to veidojošo figūru laukumu summu (1. attēlā redzamais skaitlis ir sadalīts n figūras; šajā gadījumā figūras laukums, kur Si- kvadrāts i attēls).

Principā varētu nākt klajā ar daudzumu kopumu, kam ir formulētās īpašības, un tādējādi tas raksturo figūras laukumu. Bet vispazīstamākā un ērtākā ir vērtība, kas raksturo kvadrāta laukumu kā tā malas kvadrātu. Sauksim šo "izkārtojumu" par trešo figūru laukumu mērīšanas īpašību:

Kvadrāta laukums ir vienāds ar tā malas kvadrātu (2. attēls).

Izmantojot šo definīciju, skaitļu laukums tiek mērīts kvadrāta vienībās ( cm 2, km 2, ha=100m 2).

figūras ar vienādām platībām sauc vienāda izmēra .

komentēt: Vienādām figūrām ir vienādas platības, tas ir, vienādas figūras ir vienāda izmēra. Taču vienāda izmēra skaitļi ne vienmēr ir vienādi (piemēram, 3. attēlā ir parādīts kvadrāts un vienādsānu trīsstūris, kas sastāv no vienādiem taisnleņķa trijstūriem (starp citu, tādi figūras sauca vienādi sastādīts ); ir skaidrs, ka kvadrāts un trīsstūris ir vienādi pēc izmēra, bet ne vienādi, jo tie nav uzlikti).

Tālāk mēs iegūstam formulas visu galveno daudzstūru veidu laukumu aprēķināšanai (ieskaitot labi zināmo formulu taisnstūra laukuma atrašanai), pamatojoties uz formulētajām īpašībām figūru laukumu mērīšanai.

2. Taisnstūra laukums. Paralelograma laukums.

Formula taisnstūra laukuma aprēķināšanai: Taisnstūra laukums ir vienāds ar tā divu blakus esošo malu reizinājumu (4. attēls).

Ņemot vērā:

ABCD- taisnstūris;

AD=a, AB=b.

Pierādīt: SABCD=a× b.

Pierādījums:

1. Pagariniet sānu malu AB segmentam BP=a, un sānu AD- segmentam DV=b. Veidosim paralelogramu APRV(4. attēls). Kopš R A=90°, APRV- taisnstūris. Kurā AP=a+b=AV, Þ APRV ir kvadrāts ar malu ( a+b).

2. Apzīmē BCÇ R.V.=T, CDÇ PR=J. Tad BCQP- kvadrāts ar malu a, CDVT- kvadrāts ar malu b, CQRT- taisnstūris ar malām a un b.

Formula paralelograma laukuma aprēķināšanai: Paralelograma laukums ir vienāds ar tā augstuma un pamatnes reizinājumu (5. attēls).

komentēt: Paralelograma pamatu sauc par malu, uz kuru novilkts augstums; skaidrs, ka par pamatu var kalpot jebkura paralelograma mala.

Ņemot vērā:

ABCD– p/g;

BH^AD, HÎ AD.

Pierādīt: SABCD=AD× BH.

Pierādījums:

1. Novadiet uz pamatni AD augstums CF(5. attēls).

2. BCïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p / g pēc definīcijas. R H=90°, Þ BCFH- taisnstūris.

3. BCFH– p/g, Þ pēc īpašības p/g BH=CF, Þ D BAH=D CDF gar hipotenūzu un kāju ( AB=CD saskaņā ar St. p/g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× BC=BH× AD. #

3. Trijstūra laukums.

Formula trīsstūra laukuma aprēķināšanai: Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā augstuma un pamatnes reizinājuma (6. attēls).

komentēt: Trijstūra pamatni šajā gadījumā sauc par malu, uz kuru tiek novilkts augstums. Jebkura no trim trijstūra malām var kalpot par tā pamatu.

Ņemot vērā:

BD^AC, DÎ AC.

Pierādīt: .

Pierādījums:

1. Aizpildiet D ABC pirms p/g ABKC izejot cauri augšai B taisni BKïê AC, un caur augšpusi C- taisni CKïê AB(6. attēls).

2. D ABC=D KCB no trim pusēm ( BC- vispārīgi, AB=KC un AC=KB saskaņā ar St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

2. seka: Ja ņemam vērā p / y D ABC ar augstumu AH velk uz hipotenūzu BC, tad. Pa šo ceļu, gadā p / g D-ke hipotenūzas augstums ir vienāds ar tās kāju reizinājuma attiecību pret hipotenūzu . Šo attiecību bieži izmanto problēmu risināšanā.

4. Sekas no formulas trijstūra laukuma atrašanai: trijstūri ar vienādiem augstumiem vai pamatnēm laukumu attiecība; vienādi trīsstūri skaitļos; īpašība trijstūriem, ko veido izliekta četrstūra diagonāles.

No formulas trijstūra laukuma aprēķināšanai elementāri izriet divas sekas:

1. Trīsstūru ar vienādu augstumu laukumu attiecība ir vienāds ar to bāzu attiecību (8. attēlā ).

2. Trīsstūru laukumu attiecība ar vienādi pamatojumi ir vienāds ar to augstumu attiecību (9. attēlā ).

komentēt: Risinot uzdevumus, ļoti bieži sastopami trijstūri ar kopīgu augstumu. Šajā gadījumā to pamatnes parasti atrodas uz vienas taisnas līnijas, un virsotne, kas atrodas pretī bāzēm, ir kopīga (piemēram, 10. attēlā S 1:S 2:S 3=a:b:c). Jums vajadzētu iemācīties redzēt šādu trīsstūru kopējo augstumu.

No trijstūra laukuma aprēķināšanas formulas izriet arī noderīgi fakti, kas ļauj jums atrast vienāda laukuma trīsstūri skaitļos:

1. Patvaļīga trīsstūra mediāna to sadala divos vienāda laukuma trīsstūros (11. attēlā pie D ABM un D ACM augstums AH- vispārīgi un pamati BM un CM vienāds pēc mediānas definīcijas; no tā izriet, ka D ABM un D ACM ir vienādi).

2. Paralelograma diagonāles sadala to četros vienāda laukuma trīsstūros. (12. attēlā AO ir trijstūra mediāna ABD ar diagonāļu p/g, z īpašību iepriekšējo St trīsstūru dēļ ABO un ADO ir vienādi; jo BO ir trijstūra mediāna ABC, trijstūri ABO un BCO ir vienādi; jo CO ir trijstūra mediāna BCD, trijstūri BCO un DCO ir vienādi; tātad, S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Trapeces diagonāles sadala to četros trīsstūros; divi no tiem, kas atrodas blakus malām, ir vienādi (13. attēls).

Ņemot vērā:

ABCD- trapecveida;

BCïê AD; ACÇ BD=O.

Pierādīt: S D ABO=S D DCO.

Pierādījums:

1. Zīmēsim augstumus bf un CH(13. attēls). Tad D ABD un D ACD bāze AD- vispārīgi un augstumi bf un CH ir vienādi; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Ja zīmē izliekta četrstūra diagonāles (14. attēls), veidojas četri trīsstūri, kuru laukumus savieno ļoti viegli iegaumējama attiecība. Šīs attiecības atvasināšana balstās tikai uz trijstūra laukuma aprēķināšanas formulu; tomēr literatūrā tas atrodams reti. Tā kā sakarība, kas tiks formulēta un pierādīta tālāk, ir noderīga problēmu risināšanā, ir pelnījusi īpašu uzmanību:

Trīsstūru laukumu īpašība, ko veido izliekta četrstūra diagonāles: Ja izliekta četrstūra diagonāles ABCD krustojas punktā O, pēc tam (14. attēls).

ABCD- izliekts četrstūris;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Pierādījums:

1. bf– kopējais augstums D AOB un D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.

2. D.H.– kopējais augstums D AOD un D COD; Þ S D AOD:S D COD=AO:CO.

5. Trīsstūru laukumu attiecība ar vienāds leņķis.

Teorēma par to trīsstūru laukumu attiecību, kuriem ir vienāds leņķis: Trīsstūru laukumi ar vienādu leņķi ir saistīti kā to malu reizinājumi, kas aptver šos leņķus (15. attēls).

Ņemot vērā:

D ABC, D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

Pierādīt:

.

Pierādījums:

1. Novietojiet malā uz sijas AB līnijas segments AB 2=A 1B 1, un uz sijas AC- līnijas segments AC 2=A 1C 1 (15. attēls). Tad D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 no divām pusēm un leņķis starp tām ( AB 2=A 1B 1 un AC 2=A 1C 1 pēc konstrukcijas, un Р B 2AC 2=Р B 1A 1C 1 pēc nosacījuma). Nozīmē,.

2. Savienojiet punktus C un B 2.

3. CH– kopējais augstums D AB 2C un D ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Trijstūra bisektrise īpašība.

Izmantojot teorēmas par trijstūri ar vienādiem leņķiem laukumu attiecību un trijstūri ar vienādu augstumu laukumu attiecību, mēs vienkārši pierādām ārkārtīgi noderīgu faktu, risinot uzdevumus, kas nav tieši saistīti ar figūru laukumiem:

Trijstūra bisektora īpašība: Trijstūra bisektrise sadala malu, uz kuru tas ir novilkts, segmentos, kas ir proporcionāli tiem blakus esošajām malām.

Ņemot vērā:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Pierādījums:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. No 1. un 2. punkta iegūstam: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

komentēt: Tā kā galējos vai vidējos locekļus var samainīt pareizajā proporcijā, ērtāk ir atcerēties trijstūra bisektrise īpašību šādā formā (16. attēls):.

7. Trapeces laukums.

Formula trapeces laukuma aprēķināšanai: Trapeces laukums ir vienāds ar tās augstuma reizinājumu ar pusi no pamatu summas.

Ņemot vērā:

ABCD- trapecveida;

BCïê AD;

BH- augstums.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Pierādījums:

1. Uzzīmējiet diagonāli BD un augstums D.F.(17. attēls). BHDF– taisnstūris, Þ BH = D.F..

Sekas: Vienāda augstuma trapecveida formu laukumu attiecība ir vienāda ar to viduslīniju attiecību (vai pamatu summu attiecību).

8. Četrstūra laukums ar savstarpēji perpendikulārām diagonālēm.

Formula četrstūra laukuma aprēķināšanai ar savstarpēji perpendikulārām diagonālēm: Četrstūra laukums ar savstarpēji perpendikulārām diagonālēm ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu reizinājuma.

ABCD- četrstūris;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Pierādījums:

1. Apzīmē ACÇ BD=O. Tāpēc ka AC^BD, AO- augstums D ABD, a CO- augstums D CBD(18.a un 18.b attēls attiecīgi izliektu un neizliektu četrstūru gadījumiem).

2.
(zīmes "+" vai "-" atbilst attiecīgi izliektu un neizliektu četrstūru gadījumiem). #

Pitagora teorēmai ir ārkārtīgi liela nozīme visdažādāko problēmu risināšanā; tas ļauj jums atrast nezināmo pusi taisnleņķa trīsstūris no divām zināmām pusēm. Pitagora teorēmai ir daudz pierādījumu. Šeit ir vienkāršākais no tiem, pamatojoties uz formulām kvadrāta un trīsstūra laukumu aprēķināšanai:

Pitagora teorēma: Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

Ņemot vērā:

D ABC- p / y;

Ð A=90°.

Pierādīt:

BC 2=AB 2+AC 2.

Pierādījums:

1. Apzīmē AC=a, AB=b. Uzliksim uz sijas AB līnijas segments BP=a, un uz sijas AC- līnijas segments CV=b(19. attēls). Iziesim cauri punktam P tiešā veidā PRïê AV, un caur punktu V- tiešs VRïê AP. Tad APRV- p / g pēc definīcijas. Tajā pašā laikā kopš Р A=90°, APRV- taisnstūris. Un kopš tā laika AV=a+b=AP, APRV- kvadrāts ar malu a+b, un SAPRV=(a+b)2. Sadalīsim pusi PR punkts J segmentos PQ=b un QR=a, un sānu R.V.- punkts T segmentos RT=b un TV=a.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT uz divām kājām, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, BC=QB=TQ=CT un https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Jo BC=QB=TQ=CT, CBQT- rombs. Tajā pašā laikā R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT ir kvadrāts, un SCBQT=BC 2.

četri.. Tātad, BC 2=AB 2+AC 2. #

Apgrieztā Pitagora teorēma ir taisnleņķa trijstūra zīme, tas ir, tā ļauj pārbaudīt, vai trijstūris ir taisnstūris ar trim zināmām trijstūra malām.

Apgrieztā Pitagora teorēma: Ja trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar tā pārējo divu malu kvadrātu summu, tad šis trīsstūris ir taisnleņķa leņķis un tā garākā mala ir hipotenūza.

Ņemot vērā:

BC 2=AB 2+AC 2.

Pierādīt: D ABC- p / y;

Ð A=90°.

Pierādījums:

1. Izveidosim taisnu leņķi A 1 un nolieciet malā segmentus A 1B 1=AB un A 1C 1=AC(20. attēls). Saņemtajā p / y D A 1B 1C 1 pēc Pitagora teorēmas B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+AC 2; bet pēc nosacījuma AB 2+AC 2=BC 2; Þ B 1C 12=BC 2, Y B 1C 1=BC.

2.D ABC=D A 1B 1C 1 no trim pusēm ( A 1B 1=AB un A 1C 1=AC pēc konstrukcijas, B 1C 1=BC no 1. punkta), Þ Ð A=Ð A 1=90°, Þ D ABC- p / a. #

Tiek saukti taisnleņķa trīsstūri, kuru malu garums ir veseli skaitļi Pitagora trīsstūri , un atbilstošā tripleti naturālie skaitļi – Pitagora trīnīši . Ir lietderīgi atcerēties Pitagora trīskāršus (lielākais no šiem skaitļiem ir vienāds ar pārējo divu kvadrātu summu). Šeit ir daži Pitagora trīskārši:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Taisnleņķa konstruēšanai Ēģiptē izmantoja taisnleņķa trīsstūri ar malām 3, 4, 5, un tāpēc trīsstūris sauca ēģiptietis .

10. Gārņa formula.

Herona formula ļauj atrast patvaļīga trīsstūra laukumu pēc tā trim zināmajām malām un ir neaizstājama daudzu problēmu risināšanā.

Gārņa formula: Trijstūra laukums ar malām a, b un c aprēķina pēc šādas formulas: , kur ir trijstūra pusperimetrs.

Ņemot vērā:

BC=a; AC=b; AB=c.). Tad .

4. Trijstūra laukuma aprēķināšanas formulā aizstājiet iegūto augstuma izteiksmi: . #

Uzdevuma avots: Lēmums 2746.-13. OGE 2017 Matemātika, I.V. Jaščenko. 36 iespējas.

11. uzdevums. Romba mala ir 12, un attālums no romba diagonāļu krustošanās punkta līdz tai ir 1. Atrodiet šī romba laukumu.

Risinājums.

Romba laukumu var aprēķināt tāpat kā paralelograma laukumu, tas ir, kā romba augstuma h un tās malas garuma reizinājumu, uz kuru tas ir novilkts:

Attēlā sarkanā līnija kopā ar melno līniju parāda romba augstumu h, kas ir vienāds (jo melnās un sarkanās līnijas garums ir vienāds). Arī malas garums a=12 ir atkarīgs no problēmas stāvokļa. Mēs iegūstam romba laukumu:

Atbilde: 24.

12. uzdevums. Rombs ir attēlots uz rūtainā papīra ar šūnas izmēru 1x1. Atrodiet tā garākās diagonāles garumu.

Risinājums.

Attēlā zilās līnijas parāda romba diagonāles. Var redzēt, ka lielā diagonāle ir 12 šūnas.

Atbilde: 12.

13. uzdevums. Kurš no šiem apgalvojumiem ir pareizs?

1) Ir taisnstūris, kura diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras.

2) Visiem kvadrātiem ir vienādi laukumi.

3) Viens no trijstūra leņķiem nekad nepārsniedz 60 grādus.

Atbildot uz to, pierakstiet atlasīto priekšrakstu numurus bez atstarpēm, komatiem vai citām papildu rakstzīmēm.

Risinājums.

1) Taisnība. Šis ir taisnstūris, kas pārvēršas kvadrātā.

Laukumu īpašības 10. Vienādiem daudzstūriem ir vienādi laukumi. D B A C N ABC = NFD F

Laukumu īpašības 20. Ja daudzstūris sastāv no vairākiem daudzstūriem, tad tā laukums ir vienāds ar šo daudzstūru laukumu summu. C B D A F

Laukumu īpašības 30. Kvadrāta laukums ir vienāds ar tā malas kvadrātu. 3 cm S \u003d 9 cm 2 Izmantojot laukumu īpašības, atrodiet figūru laukumus

Laukuma mērvienības 1 m 2 \u003d 100 dm 2 1 dm 2 \u003d 100 cm 2

Platības vienības 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Taisnstūra b S laukums Mēs pierādīsim, ka S = ab a a KVADRĀTS AR MĀNU a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a +b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Telpas grīdai, kurai ir taisnstūra forma ar malām 5, 5 m un 6 m, jābūt noklātai ar taisnstūra parketu. Katrs parketa dēlis ir 30 cm garš un 5 cm plats.Cik no šiem dēļiem būs nepieciešams grīdas segšanai? 6m 5,5m 5cm 30cm

Taisnstūra malās uzbūvēto kvadrātu laukumi ir 64 cm 2 un 121 cm 2. Atrodiet taisnstūra laukumu. 121 cm 2 S-? 64 cm2

Katra taisnstūra ABCD un ARMK malas ir 6 cm un 10 cm. Atrodiet figūras laukumu, kas sastāv no visiem punktiem, kas pieder vismaz vienam no šiem taisnstūriem. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

ABCD ir taisnstūris, AC ir diagonāle. Atrodiet trīsstūra ABC laukumu. A a D ABC = ADC b SABC = B C

ABCD ir taisnstūris. Atrast: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Atrast: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C Punkti K, M, T un E atrodas attiecīgi 5 kvadrāta E ABCD malās AD, AB, BC un DC tā, lai KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Atrodiet četrstūra KMTE laukumu. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

Piecstūra ABCD laukums ir 48 cm2. Atrodiet kvadrāta ABCD laukumu un perimetru. C IN O A 1) 48: 3 * 4 \u003d 64 (cm 2) SABCD 2) AB \u003d 8 (cm), PABCD = 8 * 4 \u003d 32 (cm) D

ABCD un MDKP ir vienādi kvadrāti. AB \u003d 8 cm. Atrodiet četrstūra ASKM laukumu. A C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD un DSMK ir kvadrāti. AB \u003d 6 cm. Atrodiet četrstūra OCPD laukumu. C H 6 cm A O M R D K

ABCD ir taisnstūris; M, K, P, T ir tā malu viduspunkti, AB = 6 cm, AD = 12 cm. Atrodiet MKRT četrstūra laukumu. A K 6 cm M A C R T 12 cm D

ABCD ir taisnstūris; M, K, P, T ir tā malu viduspunkti, AB = 16 cm, BC = 10 cm. Atrodiet sešstūra AMKSRT laukumu. C P 10 cm K B D T M 16 cm A