Kā tiek aprēķināta mērījumu kļūda? Kļūdu teorija. Nejaušas kļūdas novērtējums

Lai mērījumu sistemātiskās kļūdas būtu nenozīmīgi mazas. Aplūkosim gadījumu, kad mērījums tiek veikts daudz reižu (n→∞).

Kā liecina pieredze, mērījumu rezultātu novirze no to vidējās vērtības uz augšu vai uz leju ir vienāda. Mērījumu rezultāti ar nelielu novirzi no vidējās vērtības tiek novēroti daudz biežāk nekā tie ar lielām novirzēm.

Sakārtosim visas mērījumu rezultātu skaitliskās vērtības virknē augošā secībā un sadalīsim šo sēriju vienādos intervālos
. Ļaujiet ir mērījumu skaits, kuru rezultāti ietilpst intervālā [
]. Vērtība
pastāv varbūtība ΔP i (x) iegūt rezultātu ar vērtību intervālā [
].

Grafiski attēlot
atbilst katram intervālam [
] (1. att.). Pakāpenisko līkni, kas parādīta 1. attēlā, sauc par histogrammu. Pieņemsim, ka mērinstrumentam ir ārkārtīgi augsta jutība. Tad intervāla platumu var padarīt bezgalīgi mazu par dx. Pakāpeniskā līkne šajā gadījumā tiek aizstāta ar līkni, kas attēlota ar funkciju φ(x) (2. att.). Funkciju φ(x) parasti sauc par sadalījuma blīvuma funkciju. Tā nozīme ir tāda, ka reizinājums φ(x)dx ir varbūtība dP(x) iegūt rezultātus ar vērtību diapazonā no x līdz x + dx. Grafiski varbūtības vērtība tiek attēlota kā iekrāsota taisnstūra laukums. Analītiski sadalījuma blīvuma funkciju raksta šādi:

. (5)

Funkciju φ(x), kas attēlota formā (5), sauc par Gausa funkciju, un atbilstošais mērījumu rezultātu sadalījums ir Gausa jeb normāls.

Iespējas
un σ ir šāda nozīme (2. att.).

ir mērījumu rezultātu vidējā vērtība. Plkst
=
Gausa funkcija sasniedz savu maksimālo vērtību. Ja dimensiju skaits ir bezgalīgs, tad
ir vienāds ar izmērītā daudzuma patieso vērtību.

σ - raksturo mērījumu rezultātu izplatības pakāpi no to vidējās vērtības. Parametru σ aprēķina pēc formulas:

. (6)

Šis parametrs apzīmē vidējo kvadrātisko kļūdu. Vērtību σ 2 varbūtību teorijā sauc par funkcijas φ(x) izkliedi.

Jo augstāka ir mērījumu precizitāte, jo mērījumu rezultāti ir tuvāk izmērītā daudzuma patiesajai vērtībai un līdz ar to mazāks σ.

Funkcijas φ(x) forma acīmredzot nav atkarīga no mērījumu skaita.

Varbūtību teorija rāda, ka 68% no visiem mērījumiem dos rezultātu, kas atrodas intervālā , 95% intervālā un 99,7% intervālā .

Tādējādi ar varbūtību (uzticamību) 68%, mērījuma rezultāta novirze no vidējās vērtības atrodas intervālā [
], ar varbūtību (uzticamību) 95% - intervālā [
] un ar varbūtību (uzticamību) 99,7% - intervālā [
].

Intervālu, kas atbilst vienai vai otrai novirzes varbūtībai no vidējās vērtības, sauc par ticamības intervālu.

Reālos eksperimentos mērījumu skaits acīmredzot nevar būt bezgalīgi liels, tāpēc tas ir maz ticams
sakrita ar izmērītās vērtības patieso vērtību
. Šajā sakarā ir svarīgi, pamatojoties uz varbūtības teoriju, novērtēt iespējamās novirzes lielumu.
no
.

Aprēķini liecina, ka, ja mērījumu skaits ir lielāks par 20, ar varbūtību 68%
ietilpst ticamības intervālā [
], ar varbūtību 95% - intervālā[
], ar varbūtību 99,7% - intervālā [
].

Vērtība , kas nosaka ticamības intervāla robežas, sauc par standarta novirzi vai vienkārši par standartu.

Standarta aprēķina pēc formulas:

. (7)

Ņemot vērā formulu (6), izteiksmei (7) ir šāda forma:

. (8)

Jo lielāks ir izmēru n skaits, jo tuvāk X ir
. Ja mērījumu skaits nav liels mazāks par 15, tad Gausa sadalījuma vietā tiek izmantots Stjudenta sadalījums, kas noved pie X iespējamās novirzes ticamības intervāla platuma palielināšanās.
вt n , p reizes.

Koeficientu t n , p sauc par Stjudenta koeficientu. P un n indeksi norāda, ar kādu ticamību un kādam mērījumu skaitam atbilst Studenta koeficients. Studenta koeficienta vērtība priekš dotais numurs mērījumus un norādīto ticamību nosaka no 1. tabulas.

1. tabula

Studenta koeficients.

Piemēram, ar doto ticamību 95% un mērījumu skaitu n=20 Stjudenta koeficients t 20.95 = 2.1 (ticamības intervāls
) ar mērījumu skaitu n=4, t 4,95 =3,2 (uzticamības intervāls
). Tas ir, palielinoties mērījumu skaitam no 4 līdz 20, iespējamā novirze
no X samazinās par 1,524 reizēm.

Zemāk ir absolūtās nejaušās kļūdas aprēķināšanas piemērs

		es -	(Х es - ) 2

Saskaņā ar formulu (2) mēs atrodam izmērītās vērtības vidējo vērtību
(nenorādot fiziskā daudzuma izmēru)

.

Izmantojot formulu (8), mēs aprēķinām standartnovirzes vērtību

.

Studenta koeficients noteikts n=6 un P=95%, t 6,95=2,6 gala rezultāts:

X=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (ar P=95%).

Mēs aprēķinām relatīvo kļūdu:

.

Reģistrējot galīgo mērījumu rezultātu, jāņem vērā, ka kļūdai jāsatur tikai viens zīmīgs cipars (izņemot nulli). Divi zīmīgie cipari kļūdā tiek ierakstīti tikai tad, ja priekšpēdējais cipars ir 1. Ir bezjēdzīgi pierakstīt lielāku skaitu zīmīgo ciparu, jo tie nebūs ticami. Izmērītās vērtības vidējās vērtības ierakstā pēdējam ciparam ir jāiekļaujas tajā pašā kategorijā kā kļūdas ieraksta pēdējais cipars.

X=(243±5) 10 2 ;

X=232,567±0,003.

Vairāki mērījumi var radīt vienu un to pašu rezultātu. Tas ir iespējams, ja mērierīces jutība ir zema. Ja mērījumu veic ar ierīci ar zemu jutību, pietiek ar vienu mērījumu. Nav jēgas, piemēram, atkārtoti mērīt galda garumu ar mērlenti ar centimetru dalījumiem. Mērījumu rezultāts šajā gadījumā būs vienāds. Kļūdu viena mērījuma laikā nosaka ierīces mazākā nodalījuma cena. To sauc par instrumentālo kļūdu. Tās nozīme
tiek aprēķināts, izmantojot šādu formulu:

, (10)

kur γ ir ierīces dalījuma vērtība;

t ∞, p ir Stjudenta koeficients, kas atbilst bezgalīgi liels skaits mērījumi.

Ņemot vērā instrumentālo kļūdu, absolūto kļūdu ar noteiktu ticamību nosaka pēc formulas:

, (11)

kur
.

Ņemot vērā formulas (8) un (10), (11), to raksta šādi:

. (12)

Literatūrā īsuma labad kļūdas lielums dažkārt nav norādīts. Tiek pieņemts, ka kļūda ir puse no pēdējā nozīmīgā cipara vienības. Tā, piemēram, Zemes rādiusa vērtību raksta kā
m Tas nozīmē, ka vērtība ir vienāda ar ±
m.

Fizika ir eksperimentāla zinātne, kas nozīmē, ka fizikālie likumi tiek noteikti un pārbaudīti, uzkrājot un salīdzinot eksperimentālos datus. Fizikālās darbnīcas mērķis ir skolēniem izjust fizikālās pamatparādības, iemācīties pareizi izmērīt fizikālo lielumu skaitliskās vērtības un salīdzināt tās ar teorētiskajām formulām.

Visus mērījumus var iedalīt divos veidos - taisni un netiešs.

Plkst tiešā veidā Mērījumos vēlamā daudzuma vērtību iegūst tieši no mērinstrumenta rādījumiem. Tā, piemēram, garumu mēra ar lineālu, laiku mēra ar pulksteni utt.

Ja vēlamo fizisko lielumu nevar izmērīt tieši ar ierīci, bet to izsaka caur izmērītajiem lielumiem ar formulas palīdzību, tad šādus mērījumus sauc netiešs.

Jebkura daudzuma mērīšana nedod absolūti precīzu šī daudzuma vērtību. Katrs mērījums vienmēr satur kādu kļūdu (kļūdu). Kļūda ir starpība starp izmērīto vērtību un patieso vērtību.

Kļūdas ir sadalītas sistemātiski un nejauši.

Sistemātisks sauc par kļūdu, kas paliek nemainīga visā mērījumu sērijā. Šādas kļūdas rodas mērinstrumenta (piemēram, ierīces nulles nobīdes) vai mērīšanas metodes nepilnību dēļ, un principā tās var izslēgt no gala rezultāta, ieviešot atbilstošu korekciju.

Sistemātiskās kļūdas ietver arī mērinstrumentu kļūdu. Jebkuras ierīces precizitāte ir ierobežota, un to raksturo tās precizitātes klase, ko parasti norāda uz mērīšanas skalas.

Nejauši sauc par kļūdu, kas dažādos eksperimentos atšķiras un var būt gan pozitīva, gan negatīva. Nejaušas kļūdas rodas tādu iemeslu dēļ, kas ir atkarīgi gan no mērīšanas ierīces (berze, spraugas utt.), gan no ārējiem apstākļiem (vibrācijas, sprieguma svārstības tīklā utt.).

Empīriski nevar izslēgt nejaušas kļūdas, taču to ietekmi uz rezultātu var samazināt, veicot atkārtotus mērījumus.

Kļūdas aprēķins tiešajos mērījumos, vidējās vērtības un vidējās absolūtās kļūdas.

Pieņemsim, ka mēs veicam X mērījumu sēriju. Sakarā ar nejaušu kļūdu esamību, mēs iegūstam n dažādas nozīmes:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Kā mērījumu rezultāts parasti tiek ņemta vidējā vērtība

Atšķirība starp vidējo un rezultātu es- mērījumu sauc par šī mērījuma absolūto kļūdu

Kā vidējās vērtības kļūdas mēru var ņemt viena mērījuma absolūtās kļūdas vidējo vērtību

(2)

Vērtība
sauc par vidējo aritmētisko (vai vidējo absolūto) kļūdu.

Tad mērījumu rezultāts jāieraksta formā

(3)

Mērījumu precizitātes raksturošanai izmanto relatīvo kļūdu, ko parasti izsaka procentos

(4)

Pieņemsim, ka mēs izpildām virkni n tāda paša daudzuma mērījumi X. Sakarā ar nejaušu kļūdu klātbūtni, individuālas vērtības X 1 ,X 2 ,X 3, X n nav vienādi, un vidējais aritmētiskais tiek izvēlēts kā vēlamās vērtības labākā vērtība, kas vienāda ar visu izmērīto vērtību aritmētisko summu, kas dalīta ar mērījumu skaitu:

kur å ir summas zīme, i- mērījuma numurs, n- mērījumu skaits.

Tātad, - patiesībai vistuvākā vērtība. Neviens nezina patieso nozīmi. Mēs varam aprēķināt tikai intervālu D X tuvu , kurā ar zināmu varbūtības pakāpi var atrasties patiesā vērtība R. Šo intervālu sauc ticamības intervāls. Tiek saukta varbūtība, ar kādu tajā iekrīt patiesā vērtība ticamības līmenis vai uzticamības faktors(jo zināšanas par ticamības līmeni ļauj novērtēt iegūtā rezultāta ticamības pakāpi). Aprēķinot ticamības intervālu, vajadzīgā ticamības pakāpe tiek noteikta iepriekš. To nosaka praktiskās vajadzības (piemēram, lidmašīnas dzinēja daļām tiek izvirzītas stingrākas prasības nekā laivas dzinējam). Acīmredzot, lai iegūtu lielāku uzticamību, ir nepieciešams palielināt mērījumu skaitu un to precizitāti.

Sakarā ar to, ka atsevišķu mērījumu nejaušās kļūdas ir pakļautas varbūtības likumiem, matemātiskās statistikas un varbūtību teorijas metodes ļauj aprēķināt vidējā aritmētiskā vidējā kvadrātiskā kļūda. Dx sl. Mēs bez pierādījumiem pierakstām aprēķina formulu Dx cl nelielam mērījumu skaitam ( n < 30).

Formulu sauc par Studenta formulu:

kur t n, p - Studenta koeficients, atkarībā no mērījumu skaita n un pārliecības līmenis R.

Studenta koeficients ir atrodams zemāk esošajā tabulā, iepriekš nosakot, pamatojoties uz praktiskajām vajadzībām (kā minēts iepriekš), vērtības n un R.

Apstrādājot rezultātus laboratorijas darbi pietiek veikt 3-5 mērījumus un pieņemt ticamības varbūtību, kas vienāda ar 0,68.

Bet gadās, ka ar atkārtotiem mērījumiem tiek iegūtas vienādas daudzuma vērtības X. Piemēram, stieples diametrs tika izmērīts 5 reizes un tāda pati vērtība tika iegūta 5 reizes. Tātad tas nebūt nenozīmē, ka nav kļūdu. Tas nozīmē tikai to, ka katra mērījuma nejaušā kļūda ir mazāka precizitāte ierīce d, ko arī sauc instrumentācija vai instrumentāls, kļūda. Ierīces d instrumentālo kļūdu nosaka tās pasē norādītā ierīces precizitātes klase vai norādīta uz pašas ierīces. Un dažreiz tas tiek pieņemts vienāds ar ierīces dalīšanas cenu (ierīces dalīšanas cena ir tās mazākās daļas vērtība) vai pusi no dalīšanas cenas (ja pusi no ierīces dalīšanas cenas var aptuveni noteikt ar aci).

Tā kā katra no vērtībām X es ieguvu ar kļūdu d, tad pilns ticamības intervāls Dx, jeb absolūto mērījumu kļūdu aprēķina pēc formulas:

Ņemiet vērā, ka, ja formulā (A.3) viens no daudzumiem ir vismaz 3 reizes lielāks par otru, tad mazākais tiek atstāts novārtā.

Absolūtā kļūda pati par sevi neatspoguļo mērījumu kvalitāti. Piemēram, tikai pēc informācijas absolūtā kļūda ir 0,002 m², nav iespējams spriest, cik labi šis mērījums veikts. Priekšstatu par veikto mērījumu kvalitāti sniedz relatīvā kļūda e, vienāds ar absolūtās kļūdas attiecību pret izmērītās vērtības vidējo vērtību. Relatīvā kļūda parāda, kāda absolūtās kļūdas daļa ir no izmērītās vērtības. Parasti relatīvo kļūdu izsaka procentos:

Apsveriet piemēru. Lai lodītes diametru mēra ar mikrometru, kura instrumentālā kļūda ir d = 0,01 mm. Trīs mērījumu rezultātā tika iegūtas šādas diametra vērtības:

d 1 = 2,42 mm, d 2 = 2,44 mm, d 3 = 2,48 mm.

Pēc formulas (A.1) nosaka lodītes diametra vidējo aritmētisko vērtību

Pēc tam saskaņā ar Stjudenta koeficientu tabulu tiek konstatēts, ka ticamības varbūtībai 0,68 ar trim mērījumiem t n, p = 1,3. Pēc tam pēc formulas (A.2) tiek aprēķināta nejauša mērījuma kļūda Dd sl

Tā kā iegūtā nejaušā kļūda ir tikai divas reizes lielāka par instrumentālo kļūdu, konstatējot absolūto mērījumu kļūdu Dd saskaņā ar (A.3) ir jāņem vērā gan nejaušā kļūda, gan instrumenta kļūda, t.i.

mm » ±0,03 mm.

Kļūda tika noapaļota līdz milimetra simtdaļām, jo ​​rezultāta precizitāte nedrīkst pārsniegt mērīšanas ierīces precizitāti, kas šajā gadījumā ir 0,01 mm.

Tātad stieples diametrs ir

Šis ieraksts norāda, ka lodītes diametra patiesā vērtība ar varbūtību 68% atrodas intervālā (2,42 ¸ 2,48) mm.

Iegūtās vērtības relatīvā kļūda e saskaņā ar (A.4) ir

1. Ievads

Ķīmiķu, fiziķu un citu dabaszinātņu profesiju pārstāvju darbs bieži ir saistīts ar dažādu lielumu kvantitatīvo mērījumu veikšanu. Tas rada jautājumu par iegūto vērtību ticamības analīzi, tiešo mērījumu rezultātu apstrādi un aprēķinu kļūdu novērtēšanu, kas izmanto tieši izmērīto raksturlielumu vērtības (pēdējo procesu sauc arī par rezultātu apstrādi netiešs mērījumi). Vairāku objektīvu iemeslu dēļ Maskavas Valsts universitātes Ķīmijas fakultātes absolventu zināšanas par kļūdu aprēķināšanu ne vienmēr ir pietiekamas, lai pareizi apstrādātu iegūtos datus. Viens no šiem iemesliem ir trūkums mācību programma Mērījumu rezultātu statistiskās apstrādes kursa fakultāte.

Līdz šim kļūdu aprēķināšanas jautājums, protams, ir izsmeļoši izpētīts. Ir liels skaits metodiskā attīstība, mācību grāmatas u.c., kurās var iegūt informāciju par kļūdu aprēķinu. Diemžēl lielākā daļa šo darbu ir pārslogoti ar papildu un ne vienmēr nepieciešamo informāciju. Jo īpaši lielākā daļa studentu darbnīcu darbu neprasa tādas darbības kā paraugu salīdzināšana, konverģences novērtēšana utt. Tāpēc šķiet lietderīgi izveidot īsa attīstība, kurā ir izklāstīti algoritmi visbiežāk izmantotajiem aprēķiniem, kam šī izstrāde ir veltīta.

2. Apzīmējums pieņemts šajā darbā

Izmērītā vērtība, - mērītās vērtības vidējā vērtība, - mērītās vērtības vidējās vērtības absolūtā kļūda, - mērītās vērtības vidējās vērtības relatīvā kļūda.

3. Tiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Tātad pieņemsim, ka tādi bija n viena un tā paša daudzuma mērījumi tādos pašos apstākļos. Šajā gadījumā jūs varat aprēķināt šī daudzuma vidējo vērtību mērījumos:

(1)

Kā aprēķināt kļūdu? Saskaņā ar šādu formulu:

(2)

Šī formula izmanto Studenta koeficientu. Tās vērtības dažādām ticamības varbūtībām un vērtībām ir norādītas .

3.1. Piemērs tiešo mērījumu kļūdu aprēķināšanai:

Uzdevums.

Tika izmērīts metāla stieņa garums. Tika veikti 10 mērījumi un iegūtas šādas vērtības: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Nepieciešams atrast izmērītās vērtības vidējo vērtību (stieņa garumu) un tās kļūdu.

Risinājums.

Izmantojot formulu (1), mēs atrodam:

mm

Tagad, izmantojot formulu (2), mēs atrodam vidējās vērtības absolūto kļūdu ar ticamības varbūtību un brīvības pakāpju skaitu (mēs izmantojam vērtību = 2,262, kas ņemta no):

Uzrakstīsim rezultātu:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Netiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Pieņemsim, ka eksperimenta laikā vērtības tiek izmērītas , un tad c izmantojot iegūtās vērtības, vērtību aprēķina pēc formulas . Šajā gadījumā tieši izmērīto vērtību kļūdas aprēķina, kā aprakstīts 3. punktā.

Daudzuma vidējās vērtības aprēķins tiek veikts atbilstoši atkarībai, izmantojot argumentu vidējās vērtības.

Lieluma kļūdu aprēķina, izmantojot šādu formulu:

,(3)

kur ir argumentu skaits, ir funkcijas daļējie atvasinājumi attiecībā pret argumentiem, ir argumenta vidējās vērtības absolūtā kļūda.

Absolūto kļūdu, tāpat kā tiešo mērījumu gadījumā, aprēķina pēc formulas .

4.1. Piemērs tiešo mērījumu kļūdu aprēķināšanai:

Uzdevums.

Tika veikti pieci tiešie mērījumi un. Iegūtajām vērtībām: 50, 51, 52, 50, 47; vērtībai iegūtās vērtības: 500, 510, 476, 354, 520. Nepieciešams aprēķināt pēc formulas noteiktās vērtības vērtību un atrast iegūtās vērtības kļūdu.

Mūsu laikmetā cilvēks ir izgudrojis un lieto ļoti daudz dažādus mērinstrumentus. Bet neatkarīgi no tā, cik perfekta ir to izgatavošanas tehnoloģija, tiem visiem ir lielāka vai mazāka kļūda. Šis parametrs parasti ir norādīts uz paša instrumenta, un, lai novērtētu noteiktās vērtības precizitāti, ir jāsaprot, ko nozīmē marķējumā norādītie skaitļi. Turklāt sarežģītos matemātiskajos aprēķinos neizbēgami rodas relatīvās un absolūtās kļūdas. To plaši izmanto statistikā, rūpniecībā (kvalitātes kontrole) un vairākās citās jomās. Kā šī vērtība tiek aprēķināta un kā interpretēt tās vērtību - tieši tas tiks apspriests šajā rakstā.

Absolūta kļūda

Apzīmēsim ar x aptuveno lieluma vērtību, kas iegūta, piemēram, ar vienu mērījumu, un ar x 0 tā precīzu vērtību. Tagad aprēķināsim šo divu skaitļu starpības moduli. Absolūtā kļūda ir tieši tā vērtība, ko ieguvām šīs vienkāršās darbības rezultātā. Formulu valodā, šī definīcija var uzrakstīt šādā formā: Δ x = | x - x0 |.

Relatīvā kļūda

Absolūtajai novirzei ir viens būtisks trūkums – tā neļauj novērtēt kļūdas nozīmīguma pakāpi. Piemēram, mēs pērkam tirgū 5 kg kartupeļu, un negodīgs pārdevējs, mērot svaru, kļūdījās par 50 gramiem par labu. Tas ir, absolūtā kļūda bija 50 grami. Mums tāda neuzmanība būs tīrais sīkums un mēs tam pat nepievērsīsim uzmanību. Iedomājieties, kas notiktu, ja līdzīga kļūda notiktu zāļu sagatavošanā? Šeit viss būs daudz nopietnāk. Un, iekraujot kravas vagonu, novirzes, visticamāk, notiks daudz biežāk dotā vērtība. Tāpēc pati absolūtā kļūda nav īpaši informatīva. Papildus tam ļoti bieži tiek papildus aprēķināta relatīvā novirze, vienāds ar attiecību absolūta kļūda precīzai skaitļa vērtībai. To raksta šādā formulā: δ = Δ x / x 0 .

Kļūdas īpašības

Pieņemsim, ka mums ir divi neatkarīgi lielumi: x un y. Mums jāaprēķina to summas aptuvenās vērtības novirze. Šajā gadījumā mēs varam aprēķināt absolūto kļūdu kā katras no tām iepriekš aprēķināto absolūto noviržu summu. Dažos mērījumos var gadīties, ka kļūdas, nosakot x un y vērtības, viena otru dzēš. Un var arī gadīties, ka pievienošanas rezultātā novirzes palielināsies pēc iespējas vairāk. Tāpēc, aprēķinot kopējo absolūto kļūdu, jāņem vērā sliktākais gadījums. Tas pats attiecas uz vairāku vērtību kļūdu starpību. Šī īpašība ir raksturīga tikai absolūtai kļūdai, un to nevar attiecināt uz relatīvo novirzi, jo tas neizbēgami novedīs pie nepareiza rezultāta. Apskatīsim šo situāciju nākamajā piemērā.

Pieņemsim, ka mērījumi cilindra iekšpusē parādīja, ka iekšējais rādiuss (R 1) ir 97 mm, bet ārējais (R 2) ir 100 mm. Ir nepieciešams noteikt tā sienas biezumu. Vispirms atrodiet atšķirību: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Ja uzdevumā nav norādīts, ar ko ir vienāda absolūtā kļūda, tad to ņem par pusi no mērinstrumenta skalas dalījuma. Tādējādi Δ (R 2) \u003d Δ (R 1) \u003d 0,5 mm. Kopējā absolūtā kļūda ir: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Tagad mēs aprēķinām visu daudzumu relatīvo novirzi:

δ(R 1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

δ(R 1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Kā redzams, kļūda abu rādiusu mērīšanā nepārsniedz 5,2%, un kļūda to starpības - cilindra sieniņas biezuma - aprēķinā bija pat 33.(3)%!

Šāda īpašība saka: vairāku skaitļu reizinājuma relatīvā novirze ir aptuveni vienāda ar atsevišķu faktoru relatīvo noviržu summu:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Turklāt šis noteikums ir patiess neatkarīgi no aprēķināto vērtību skaita. Trešā un pēdējā relatīvās kļūdas īpašība ir relatīvā aplēse skaitļi k-th grāds aptuveni | k | reizes lielāka nekā sākotnējā skaitļa relatīvā kļūda.