Leņķa sinuss ir vienāds ar attiecību. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss: definīcijas trigonometrijā, piemēri, formulas. Režģa klāja izbūve saskaņā ar šo aprēķinu

Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss

Tiek saukta tuvākās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare

Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju asā leņķa tangenss taisnleņķa trīsstūris.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss

Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kāju akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Patvaļīga leņķa sinuss

Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .

\sin \alpha=y

Patvaļīga leņķa kosinuss

Vienības apļa punktā, kuram atbilst leņķis \alpha, tiek izsaukta abscisa patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .

\cos \alpha=x

Patvaļīga leņķa tangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Patvaļīga leņķa kotangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs

Ja \alpha ir kāds leņķis AOM , kur M ir punkts uz vienības apļa, tad

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula

Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360 ^(\circ)\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Zinot vienu no taisnleņķa trijstūra kājām, jūs varat atrast otro kāju un hipotenūzu, izmantojot trigonometriskās attiecības - zināmā leņķa sinusu un tangensu. Tā kā leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu ir vienāda ar šī leņķa sinusu, tāpēc, lai atrastu hipotenūzu, kāja ir jāsadala ar leņķa sinusu. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Otro kāju var atrast no zināmā leņķa pieskares kā zināmās kājas attiecību pret tangensu. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Lai aprēķinātu nezināmo leņķi taisnleņķa trijstūrī, no 90 grādiem jāatņem leņķis α. β=90°-α

Taisnstūra trīsstūra perimetru un laukumu caur kāju un tai pretējo leņķi var izteikt, formulās aizstājot iepriekš iegūtās otrās kājas un hipotenūzas izteiksmes. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Augstumu var aprēķināt arī caur trigonometriskām attiecībām, bet jau iekšējā taisnleņķa trīsstūrī ar malu a, kuru tas veido. Lai to izdarītu, jums ir nepieciešama mala a kā šāda trīsstūra hipotenūza, kas reizināta ar leņķa β sinusu vai α kosinusu, jo saskaņā ar trigonometriskajām identitātēm tie ir līdzvērtīgi. (79.2. att.) h=a cos⁡α

Hipotenūzas mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas vai zināmās kājas a, kas dalīta ar diviem sinusiem α. Lai atrastu kāju mediānas, mēs izveidojam formulas atbilstošā formā zināmajai malai un leņķiem. (79.3. att.) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Tā kā taisnleņķa bisektrise trijstūrī ir divu malu un divu saknes reizinājums, dalīts ar šo malu summu, aizstājot vienu no kātiem ar zināmās kājas attiecību pret pieskari, mēs iegūstam sekojošo. izteiksme. Līdzīgi, aizstājot attiecību otrajā un trešajā formulā, var aprēķināt leņķu α un β bisektrise. (79.4. att.) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Vidējā līnija iet paralēli vienai no trijstūra malām, veidojot citu līdzīgu taisnleņķa trīsstūris ar vienādiem leņķiem, kuros visas malas ir uz pusi mazākas nekā oriģinālam. Pamatojoties uz to, vidējās līnijas var atrast, izmantojot šādas formulas, zinot tikai kāju un tai pretējo leņķi. (79.7. att.) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Ierakstītā apļa rādiuss ir vienāds ar starpību starp kājām un hipotenūzu, dalītu ar diviem, un, lai atrastu ierobežotā apļa rādiusu, hipotenūza jāsadala ar diviem. Otro kāju un hipotenūzu aizstājam ar kājas a attiecībām pret sinusu un tangensu. (79.5., 79.6. att.) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, palīdzēs jums saprast taisnleņķa trīsstūri.

Kā sauc taisnleņķa trijstūra malas? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (mūsu piemērā tā ir puse \ (AC \) ); kājas ir divas atlikušās puses \ (AB \) un \ (BC \) (tās, kas atrodas blakus pareizā leņķī), turklāt, ja ņemam vērā kājas attiecībā pret leņķi \ (BC \) , tad kāja \ (AB \) ir blakus esošā kāja, bet kāja \ (BC \) ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Leņķa sinuss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Mūsu trīsstūrī:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Leņķa kosinuss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Mūsu trīsstūrī:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Leņķa tangenss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret blakus esošo (tuvu).

Mūsu trīsstūrī:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Leņķa kotangenss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).

Mūsu trīsstūrī:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, ar ko kāju dalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskare un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:

kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;

Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.

Pirmkārt, jāatceras, ka sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Vai neuzticaties? Tad pārliecinieties, skatoties attēlu:

Apsveriet, piemēram, leņķa \(\beta \) kosinusu. Pēc definīcijas no trīsstūra \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet mēs varam aprēķināt leņķa \(\beta \) kosinusu no trijstūra \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.

Ja saprotat definīcijas, tad uz priekšu izlabojiet tās!

Trijstūrim \(ABC \) , kas parādīts attēlā zemāk, mēs atrodam \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(masīvs)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masīvs) \)

Nu, vai jūs to sapratāt? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu leņķim \(\beta \) .

Atbildes: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vienības (trigonometriskais) aplis

Izprotot pakāpes un radiāna jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar \ (1 \) . Tādu apli sauc viens. Tas ir ļoti noderīgi trigonometrijas izpētē. Tāpēc mēs pakavējamies pie tā nedaudz sīkāk.

Kā redzat, šis aplis ir iebūvēts Dekarta sistēma koordinātas. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, kamēr apļa centrs atrodas sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta \(x \) ass pozitīvā virzienā (mūsu piemērā tas ir rādiuss \(AB \) ).

Katrs apļa punkts atbilst diviem skaitļiem: koordinātei pa asi \(x \) un koordinātei pa asi \(y \) . Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār kāds tiem sakars ar apskatāmo tēmu? Lai to izdarītu, atcerieties par uzskatīto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri \(ACG \) . Tas ir taisnstūrveida, jo \(CG \) ir perpendikulāra \(x \) asij.

Kas ir \(\cos \ \alpha \) no trīsstūra \(ACG \)? Pareizi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Turklāt mēs zinām, ka \(AC \) ir vienības apļa rādiuss, tāpēc \(AC=1 \) . Aizstājiet šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Un kas ir \(\sin \ \alpha \) no trīsstūra \(ACG \)? Nu protams, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Aizvietojiet rādiusa vērtību \ (AC \) šajā formulā un iegūstiet:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Tātad, vai varat man pateikt, kādas ir apļa punkta \(C \) koordinātas? Nu, nekādā gadījumā? Bet ko darīt, ja saprotat, ka \(\cos \ \alpha \) un \(\sin \alpha \) ir tikai skaitļi? Kādai koordinātei atbilst \(\cos \alpha \)? Nu, protams, koordināte \(x \) ! Un kādai koordinātei atbilst \(\sin \alpha \)? Tieši tā, \(y \) koordināte! Tātad punkts \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Kas tad ir \(tg \alpha \) un \(ctg \alpha \)? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Šeit, piemēram, kā šajā attēlā:

Kas ir mainījies iekšā šis piemērs? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mēs atkal vēršamies pie taisnleņķa trīsstūra. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : leņķi (kā blakus leņķim \(\beta \) ). Kāda ir sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa vērtība leņķim \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tieši tā, mēs ievērojam attiecīgās definīcijas trigonometriskās funkcijas:

\(\begin(masīvs)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masīvs) \)

Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei \ (y \) ; leņķa kosinusa vērtība - koordināte \ (x \) ; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības ir piemērojamas jebkurai rādiusa vektora rotācijai.

Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir pa \(x \) ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, iegūsi arī noteikta izmēra leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvi leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.

Tātad, mēs zinām, ka viss rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir \(360()^\circ \) vai \(2\pi \) . Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru par \(390()^\circ \) vai par \(-1140()^\circ \)? Nu, protams, ka vari! Pirmajā gadījumā \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tāpēc rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pie \(30()^\circ \) vai \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Otrajā gadījumā \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā \(-60()^\circ \) vai \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras par \(360()^\circ \cdot m \) vai \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) ir jebkurš vesels skaitlis ) atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.

Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats attēls atbilst stūrim \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu \(\beta +360()^\circ \cdot m \) vai \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) ir jebkurš vesels skaitlis)

\(\begin(masīvs)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masīvs) \)

Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, ar ko vērtības ir vienādas:

\(\begin(masīvs)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masīvs) \)

Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:

Vai ir kādas grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:

\(\begin(masīvs)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masīvs) \)

No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: stūris iekšā \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atbilst punktam ar koordinātām \(\left(0;1 \right) \) , tāpēc:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neeksistē;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs atklājam, ka stūri ir iekšā \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atbilst punktiem ar koordinātām \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \pa labi) \), attiecīgi. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats, pēc tam pārbaudiet atbildes.

Atbildes:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\bultiņa pa labi \text(ctg)\ \pi \)- neeksistē

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\bultiņa pa labi \text(tg)\ 270()^\circ \)- neeksistē

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\bultiņa pa labi \text(ctg)\ 2\pi \)- neeksistē

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Labā bultiņa \text(tg)\ 450()^\circ \)- neeksistē

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:

Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:

\(\left. \begin(masīvs)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masīvs) \right\)\ \text(Jāatceras vai jāspēj izvadīt!! \) !}

Un šeit ir un leņķu trigonometrisko funkciju vērtības \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) norādīts zemāk esošajā tabulā, jums jāatceras:

Nav jābaidās, tagad mēs parādīsim vienu no piemēriem diezgan vienkāršai atbilstošo vērtību iegaumēšanai:

Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), kā arī leņķa pieskares vērtību \(30()^\circ \) . Zinot šīs \(4 \) vērtības, ir diezgan viegli atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:

\(\begin(masīvs)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masīvs) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), to zinot, ir iespējams atjaunot vērtības priekš \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitītājs “\(1 \) ” atbildīs \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , un saucējs “\(\sqrt(\text(3)) \) ” atbildīs \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā redzamajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties shēmu ar bultiņām, tad no tabulas pietiks atcerēties tikai \ (4 \) vērtības.

Apļa punkta koordinātas

Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātes) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi? Nu, protams, ka vari! Izcelsim vispārējā formula lai atrastu punkta koordinātas. Šeit, piemēram, ir šāds aplis:

Mums ir dots šis punkts \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir \(1,5 \) . Jāatrod punkta \(P \) koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu \(O \) par \(\delta \) grādiem.

Kā redzams no attēla, punkta \ (P \) koordināte \ (x \) atbilst segmenta \ garumam (TP=UQ=UK+KQ \) . Nozares garums \ (UK \) atbilst apļa centra koordinātei \ (x \), tas ir, tas ir vienāds ar \ (3 \) . Segmenta \(KQ \) garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tad mums ir šī punkta \(P \) koordināte \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Ar to pašu loģiku mēs atrodam punkta \(P\) y koordinātas vērtību. Pa šo ceļu,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Tātad, vispārīgi runājot, punktu koordinātas nosaka pēc formulas:

\(\begin(masīvs)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masīvs) \), kur

\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apļa centra koordinātas,

\(r\) - apļa rādiuss,

\(\delta \) - vektora rādiusa rotācijas leņķis.

Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir nulle un rādiuss ir vienāds ar vienu:

\(\begin(masīvs)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masīvs) \)

Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai veiktu aprēķinus, ir jāiespējo ActiveX vadīklas!

Sinus taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir attiecība pretī katetru hipotenūzai.
To apzīmē šādi: sin α.

Kosinuss taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
To apzīmē šādi: cos α.

Pieskares akūts leņķis α ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju.
To apzīmē šādi: tg α.

Kotangenss akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
To apzīmē šādi: ctg α.

Leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir atkarīgi tikai no leņķa lieluma.

Noteikumi:

Galvenās trigonometriskās identitātes taisnleņķa trijstūrī:

(α - akūts leņķis pretī kājai b un blakus kājai a . Sānu Ar - hipotenūza. β - otrais akūts leņķis).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Palielinoties asajam leņķimsinα untg α pieaugums, uncos α samazinās.

Jebkuram asam leņķim α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Skaidrojošs piemērs:

Ielaidiet taisnleņķa trīsstūri ABC
AB = 6,
BC = 3,
leņķis A = 30º.

Atrodiet leņķa A sinusu un leņķa B kosinusu.

Risinājums.

1) Pirmkārt, mēs atrodam leņķa B vērtību. Šeit viss ir vienkārši: tā kā taisnleņķa trijstūrī akūto leņķu summa ir 90º, tad leņķis B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Aprēķināt grēku A. Mēs zinām, ka sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim A pretējā kājiņa ir mala BC. Tātad:

BC 3 1
grēks A = -- = - = -
AB 6 2

3) Tagad mēs aprēķinām cos B. Mēs zinām, ka kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim B blakus esošā kājiņa ir tā pati mala BC. Tas nozīmē, ka mums atkal ir jāsadala BC uz AB - tas ir, jāveic tās pašas darbības, kas tiek veiktas, aprēķinot leņķa A sinusu:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultāts ir:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

No tā izriet, ka taisnleņķa trijstūrī ir viena akūta leņķa sinuss vienāds ar kosinusu cits akūts leņķis un otrādi. Tas ir tieši tas, ko nozīmē mūsu divas formulas:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pārbaudīsim vēlreiz:

1) Pieņemsim, ka α = 60º. Aizvietojot α vērtību sinusa formulā, mēs iegūstam:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Pieņemsim, ka α = 30º. Aizvietojot α vērtību kosinusa formulā, mēs iegūstam:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Papildinformāciju par trigonometriju skatiet sadaļā Algebra)

Kā redzat, šis aplis ir veidots Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, kamēr apļa centrs atrodas sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta gar ass pozitīvo virzienu (mūsu piemērā tas ir rādiuss).

Katrs apļa punkts atbilst diviem skaitļiem: koordinātei pa asi un koordinātei gar asi. Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār kāds tiem sakars ar apskatāmo tēmu? Lai to izdarītu, atcerieties par uzskatīto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri. Tas ir taisnstūrveida, jo ir perpendikulārs asij.

Kas ir vienāds ar no trīsstūra? Pareizi. Turklāt mēs zinām, ka ir vienības apļa rādiuss, un tāpēc . Aizstājiet šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:

Un kas ir vienāds ar no trīsstūra? Nu protams,! Aizvietojiet rādiusa vērtību šajā formulā un iegūstiet:

Tātad, vai varat man pateikt, kādas ir apļa punkta koordinātas? Nu, nekādā gadījumā? Un ja jūs to saprotat un esat tikai skaitļi? Kādai koordinātei tas atbilst? Nu, protams, koordināte! Kādai koordinātei tas atbilst? Pareizi, saskaņojiet! Tādējādi punkts.

Un kas tad ir vienādi un? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim, a.

Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Šeit, piemēram, kā šajā attēlā:

Kas šajā piemērā ir mainījies? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mēs atkal vēršamies pie taisnleņķa trīsstūra. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri: leņķi (kā blakus leņķim). Kāda ir leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa vērtība? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:

Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei; leņķa kosinusa vērtība - koordināte; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības ir piemērojamas jebkurai rādiusa vektora rotācijai.

Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir pa ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, iegūsi arī noteikta izmēra leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvi leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.

Tātad, mēs zinām, ka vesels rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir vai. Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru par vai par? Nu, protams, ka vari! Tāpēc pirmajā gadījumā rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pozīcijā vai.

Otrajā gadījumā, tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā vai.

Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras ar vai (kur ir jebkurš vesels skaitlis), atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.

Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis. Tas pats attēls atbilst stūrim utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu vai (kur ir vesels skaitlis)

Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, ar ko vērtības ir vienādas:

Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:

Vai ir kādas grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:

No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: stūris pie atbilst punktam ar koordinātām, tāpēc:

Neeksistē;

Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs noskaidrojam, ka stūri atbilst attiecīgi punktiem ar koordinātām. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats, pēc tam pārbaudiet atbildes.

Atbildes:

Neeksistē

Neeksistē

Neeksistē

Neeksistē

Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:

Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:

Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības un, kas norādītas zemāk esošajā tabulā, jāatceras:

Nebaidieties, tagad mēs parādīsim vienu no piemēriem diezgan vienkārša atbilstošo vērtību iegaumēšana:

Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem (), kā arī leņķa pieskares vērtību collā. Zinot šīs vērtības, ir diezgan viegli atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:

Zinot to, jūs varat atjaunot vērtības. Skaitītājs " " atbildīs un saucējs " " atbildīs. Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā redzamajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad pietiks, lai atcerētos visu vērtību no tabulas.

Apļa punkta koordinātas

Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātas) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi?

Nu, protams, ka vari! Izcelsim vispārīga formula punkta koordinātu atrašanai.

Šeit, piemēram, ir šāds aplis:

Mums ir dots, ka punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu par grādiem.

Kā redzams attēlā, punkta koordināte atbilst segmenta garumam. Segmenta garums atbilst apļa centra koordinātei, tas ir, tas ir vienāds ar. Segmenta garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:

Tad mums ir šī punkta koordināte.

Ar to pašu loģiku mēs atrodam punkta y koordinātas vērtību. Pa šo ceļu,

Tātad, vispārīgi runājot, punktu koordinātas nosaka pēc formulas:

Apļa centra koordinātas,

apļa rādiuss,

Rādiusa vektora rotācijas leņķis.

Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir nulle un rādiuss ir vienāds ar vienu:

Nu, izmēģināsim šīs formulas pēc garšas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa?

1. Atrast punktu koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, ieslēdzot punktu.

2. Atrast punktu koordinātas uz vienības apļa, kas iegūts, pagriežot punktu uz.

3. Atrodiet vienību riņķa punkta koordinātas, kas iegūtas, ieslēdzot punktu.

4. Punkts - apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.

5. Punkts - apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.

Vai jums ir grūtības atrast apļa punkta koordinātas?

Atrisiniet šos piecus piemērus (vai labi saprotiet risinājumu), un jūs uzzināsit, kā tos atrast!

1.

To var redzēt. Un mēs zinām, kas atbilst pilnam sākuma punkta pagriezienam. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā pozīcijā kā pagriežoties uz. Zinot to, mēs atrodam vajadzīgās punkta koordinātas:

2. Aplis ir vienība ar centru kādā punktā, kas nozīmē, ka varam izmantot vienkāršotas formulas:

To var redzēt. Mēs zinām, kas atbilst divām pilnām sākuma punkta rotācijām. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā pozīcijā kā pagriežoties uz. Zinot to, mēs atrodam vajadzīgās punkta koordinātas:

Sinuss un kosinuss ir tabulas vērtības. Mēs atceramies viņu vērtības un iegūstam:

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

3. Aplis ir vienība ar centru kādā punktā, kas nozīmē, ka varam izmantot vienkāršotas formulas:

To var redzēt. Aplūkoto piemēru attēlosim attēlā:

Rādiuss veido leņķus ar asi, kas vienāda ar un. Zinot, ka kosinusa un sinusa tabulas vērtības ir vienādas, un konstatējot, ka kosinusam šeit ir negatīva vērtība, bet sinusam ir pozitīva, mēs iegūstam:

Vairāk līdzīgi piemēri saprast, pētot formulas trigonometrisko funkciju samazināšanai tēmā.

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

4.

Rādiusa vektora griešanās leņķis (pēc nosacījuma)

Lai noteiktu atbilstošās sinusa un kosinusa zīmes, mēs izveidojam vienības apli un leņķi:

Kā redzat, vērtība, tas ir, ir pozitīva, un vērtība, tas ir, ir negatīva. Zinot atbilstošo trigonometrisko funkciju tabulas vērtības, mēs iegūstam, ka:

Aizstāsim iegūtās vērtības mūsu formulā un atradīsim koordinātas:

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

5. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam formulas vispārīgā formā, kur

Apļa centra koordinātas (mūsu piemērā

Apļa rādiuss (pēc nosacījuma)

Rādiusa vektora griešanās leņķis (pēc nosacījuma).

Aizstājiet visas vērtības formulā un iegūstiet:

un - tabulas vērtības. Mēs tos atceramies un aizstājam formulā:

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

Leņķa sinuss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa kosinuss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa tangenss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret blakus esošo (tuvu).

Leņķa kotangenss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).