Mobilais
Kā risināt uzdevumus 19 pamatlīmenis. Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas dalās ar . Cik ir trīsciparu skaitļu, kuru summa

Kā risināt uzdevumus 19 pamatlīmenis. Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas dalās ar . Cik ir trīsciparu skaitļu, kuru summa

Skaitļi un to īpašības Pamatlīmenis Uzdevums №19

Nr.1. Atrodiet mazāko četrciparu skaitli, kas ir reizināts ar 15, kura ciparu reizinājums ir lielāks par 40, bet mazāks par 50. Ciparu reizinājums ir 5 reizinājums, kas nozīmē, ka tas ir 45 Ļaujiet skaitlim izskatīties kā abcd 40 3. slaids

Nr.2. Skaitlī 123456 izsvītro trīs ciparus, lai iegūtais trīsciparu skaitlis būtu reizināts ar 35. Izsvītro skaitli 6, atstāj ciparu 5. reizināts ar 35, pēc tam reizināts ar 5, beidzas ar 0 vai 5. Atlasīsim 35 3=105 35 5=175 35 7=245 Izsvītrojiet skaitļus 1 un 3 3 x 1 0 x B 19 4 5 2

Nr.3. Skaitlī 123456 izsvītro trīs ciparus, lai iegūtais trīsciparu skaitlis būtu 27 reizināts. Pārbaudīsim, kurš no skaitļiem 126 un 135 ir 27 reizināts 3 x 1 0 x B 11 5 3 1 skaitlis ir reizināts ar 27, tad tas ir reizināts ar 9, ciparu summa ir 9 reizinātājs 1+2+6=9 1+3+5=9 nav reizināts ar 27 135 ir reizinātājs no 27

Nr.4. Atrodiet mazāko trīsciparu skaitli. Kuru, dalot ar 2, iegūst atlikumu 1, dalot ar 3, paliek 2, un, dalot ar 5, paliek 4 un kas ir ierakstīts trīs dažādos nepāra ciparos. Jebkurš nepāra skaitlis, dalot ar 2, iegūs atlikums no 1. Vēlamais skaitlis var sastāvēt no: Ciparu summas 1+5+9=15, 5+7+9=21 tiek izslēgtas kā 3 reizinātas 1+3+9 =13 13 – 2 =11 1+ 9+7 = 17 17-2=15 3+5+ 9=17 17-2=15 Izslēgta arī skaitļu grupa 1,3,9 1, 3,5 1,3,7 1, 3,9 1,5,7 1, 5,9 1,9 .7 3, 5 ,9 3.5.7 5.7.9. Skaitļi, kuru atlikums ir 4, dalot ar 5, beidzas ar 9 vai 4, bet 4 ir pāra. Apsveriet skaitļus 179, 359, 719, 539 Mazākie: 179 3 x 1 0 x B 19 7 9 1

Nr.5. Atrodiet lielāko piecciparu skaitli, kas rakstīts tikai ar skaitļiem 0, 5 un 7 un dalās ar 120 Vēlamais skaitlis beidzas ar 0. 3 x 1 0 x B 11 5 0 0 0 7 .Līdz. skaitlis ir 3 reizināts, tātad ciparu summa ir 3 reizinātājs 7+5+0+0+0 =12 ir 3 reizinātājs

Nr.6. Atrodiet četrciparu skaitli, kas ir reizināts ar 4 un kura ciparu summa ir vienāda ar to reizinājumu Tā kā bcd (10c + d) un d ir pāra Ļaujiet skaitlim būt bcd, tad a + b + c + d = abcd Starp skaitļiem a, b, c un d nevar būt trīs vieninieki, 1+1+1+ d \u003d d - vienādība nav iespējama. Starp skaitļiem a, b, c un d nav nulles, pretējā gadījumā reizinājums ir 0 Starp skaitļiem a, b, c un d nevar būt tikai viena vienība, 1+ b + c + d = b c d – vienlīdzība nav iespējama

Apsveriet skaitļa 4 divciparu reizinājumus: 12; sešpadsmit; 24 №6Atrodiet četrciparu skaitli, kas ir 4 reizināts un kura ciparu summa ir vienāda ar to reizinājumu Starp cipariem a, b, c un d divas vienības 1+c+1+2=1 s 1 2 No 1 vienādības c+4=2s , tātad c=4 1+c+1+6=1 s 1 6 1+1+2+4=1 1 2 4 3. vienādība nevar būt pareiza Nepieciešamie skaitļi: 4112, 1412 , 1124

Sniedziet sešciparu naturāla skaitļa piemēru, kuru raksta tikai kā 1 un 2 un dalās ar 72. Atbildē ierakstiet tieši vienu šādu skaitli. Skaitlis ir reizināts ar 72, kas nozīmē, ka tas ir reizināts ar 9 un reizināts ar 4 un 8. Ciparu summa ir 9 reizinātājs, kas nozīmē, ka ierakstā ir jābūt trim divniekiem un trim vieniniekiem. 1+1+1+2+2+2=9 ir 9 reizināts. Pēdējo divu ciparu skaits dalās ar 4, tātad tas ir 12. Pēdējo trīs ciparu skaits dalās ar 8, tātad tas ir 112 122112 - viens no cipariem 3 x 1 0 x B 19 2 2 1 1 2 1

Četrciparu skaitļa cipari, kas ir 5 reizināts, tika ierakstīti apgrieztā secībā un saņēma otro četrciparu skaitli. Tad no pirmā tika atņemts otrais skaitlis un iegūts 2457. Sniedziet šāda skaitļa piemēru. Pieņemsim, ka bcd - dcba = 2457 3 x 1 0 x B 19 4 0 8 5 d = 0 vai d = 5, jo skaitlis ir reizināts ar 5 d \u003d 0 - neiederas, pretējā gadījumā otrais cipars ir trīsciparu a bc 5 - 5 cba \u003d 2457 a \u003d 8 8 bc 5 - 5 cb 8 \u003d 2457 c \u003d 0; b=4

Skaitlī 53164018 izsvītrojiet trīs ciparus, lai iegūtais skaitlis dalītos ar 15. Atbildē norādiet tieši vienu iegūto skaitli. Jo skaitlis ir reizināts ar 15, tad tas ir reizināts ar 5 un 3, kas nozīmē, ka tas beidzas ar 5 vai 0, un ciparu summa ir reizināts ar 3. Izsvītrosim pēdējos divus ciparus, tad skaitlis beidzas ar skaitli 0 5+3+1+6++4+0= 19 . Varat izsvītrot 1 vai 4 3 x 1 0 x B 19 3 0 4 0 5 6

Ļoti neparasts ir matemātikas eksāmena 19. uzdevums. Lai to atrisinātu, jāpielieto zināšanas skaitļu teorijas jomā. Tomēr uzdevums ir ļoti atrisināms, tomēr skolēniem ar atzīmi labi un zemāk es ieteiktu šo uzdevumu atstāt uz pēdējo. Pāriesim pie tipiskās versijas.

Pamatlīmeņa matemātikas uzdevumu Nr.19 tipisko variantu analīze

Pirmā uzdevuma versija (2018. gada demonstrācijas versija)

Atrodiet trīsciparu skaitli, kura ciparu summa ir 20 un ciparu kvadrātu summa dalās ar 3, bet nedalās ar 9. Atbildē norādiet jebkuru šādu skaitli.

Izpildes algoritms:

Ievadiet simbolus.
Uzrakstiet nosacījumus, izmantojot konvencijas.
Konvertēt saņemtās izteiksmes.
Loģiski, atkārtojiet visas iespējamās iespējas, pārbaudiet to atbilstību nosacījumiem.

Risinājums:

Apzīmēsim skaitļa x pirmo ciparu, bet otro - y. Tad trešais skaitlis, ņemot vērā ciparu summu, kas vienāda ar 20, būs vienāds ar 20 - (x + y). (x + y) ir jābūt mazākam par 10, pretējā gadījumā summa, kas vienāda ar 20, nedarbosies.

Pēc nosacījuma ciparu kvadrātu summa dalās ar 3, bet ne ar 9. Uzrakstīsim ciparu kvadrātu summu:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2

Pārveidosim iegūto izteiksmi. Mēs pārveidojam starpības kvadrātu, ņemot vērā samazināšanas formulu.

Divu izteiksmju starpības kvadrāts ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu summu, no kuras atņemtas pirmās un otrās izteiksmes divkāršs reizinājums.

(20 - (x + y)) 2 = 400 -40 (x + y) + (x + y) 2

Aizstājot iegūto izteiksmi sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + (x + y) 2

Divu izteiksmju summas kvadrāts ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu summu plus divkāršs pirmās un otrās izteiksmes reizinājums.

(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Aizstājējs:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + x 2 + 2xy + y 2

Mēs dodam līdzīgus terminus (pievienojiet x 2 ar x 2 un y 2 ar y 2), mēs iegūstam:

x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2 + 2 200 - 2 20 (x + y) + 2xy

Izņemsim koeficientu 2 no iekavas:

2x 2 + 2y 2 + 2 200 - 2 20 (x + y) + 2xy = 2 (x 2 + y 2 + 200 - 20 (x + y) + xy)

Ērtības labad mēs apvienojam 200 un 20(x + y) un izņemam 20 no kronšteina, iegūstam:

2 (x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy)

Koeficients 2 ir pāra, tāpēc tas neietekmē dalāmību ar 3 vai 9. Varam to ignorēt un apsvērt izteiksmi:

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy

Pieņemsim, ka gan x, gan y dalās ar 3. Tad x 2 + y 2 + xy dalās ar 3, bet 20(10 - (x + y)) nedalās. Tāpēc visa summa x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy nedalās ar 3.

Pieņemsim, ka tikai viens cipars dalās ar 3. Tad, ņemot vērā, ka (x + y) noteikti ir mazāks par 10, pretējā gadījumā summa, kas vienāda ar 20, nedarbosies, mēs atlasīsim iespējamos pārus.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Izmantojot aizstāšanas metodi, mēs pārbaudām, vai šie pāri atbilst nosacījumam.

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 3 2 + 8 2 + 20 (10 - (3 + 8)) + 3 8 = 9 + 64 - 20 + 24 = 77

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 5 2 + 20 (10 - (6 + 5)) + 6 5 = 36 + 25 - 20 + 30 = 71

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 7 2 + 20 (10 - (6 + 7)) + 6 7 = 36 + 49 - 60 + 42 = 67

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 8 2 + 20 (10 - (6 + 8)) + 6 8 = 36 + 64 - 80 + 48 = 68

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 2 2 + 20 (10 - (9 + 2)) + 9 2 = 81 + 4 - 20 + 18 = 83

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 4 2 + 20 (10 - (9 + 4)) + 9 4 = 81 + 16 - 60 + 36 = 73

Neviena no iegūtajām summām neatbilst nosacījumam "ciparu kvadrātu summa dalās ar 3, bet nedalās ar 9".

Sekojošie pāri nav jāpārbauda, jo tie dod jau esošus ciparu trīskāršus.

Pieņemsim, ka neviens no skaitļa cipariem nedalās ar 3.

Iespējamie pāri:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Pārbaudīsim:

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 4 2 + 7 2 + 20 (10 - (4 + 7)) + 4 7 = 16 + 49 - 20 + 28 = 73

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy = 5 2 + 7 2 + 20 (10 - (5 + 7)) + 5 7 = 25 + 49 - 40 + 35 = 69

Summa 69 apmierina nosacījumu "ciparu kvadrātu summa dalās ar 3, bet nedalās ar 9". Tāpēc skaitļi 5,7,8 iederas jebkurā secībā.

Uzdevuma otrā versija

Cipari 1 ir uzrakstīti uz 6 kartēm; 2; 3; 6; 9; 9 (viens cipars uz katras kartes). Izteiksmē □ + □□ + □□□ katrs laukums tiek aizstāts ar kartīti no komplekta. Izrādījās, ka saņemtā summa dalās ar 10. Atrodi šo summu. Norādiet savu atbildi kā vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms:

Atgādiniet dalāmības zīmi ar 10.

Risinājums:

1. Ja summa dalās ar 10, tad pēdējam ciparam jābūt 0, pārējiem cipariem nav nozīmes.

2. Pirmajā lauciņā ievietojam skaitli 1, nākamajā ciparā pēdējā vietā - skaitli 3 (vai 6), bet trešajā - skaitli 6 (vai 3), iegūstam (summa 1+3+ 6=10):

3. Patvaļīgi ievadiet atlikušos skaitļus, piemēram, šādi:

un saņemiet summu

1+23+996 = 1020.

Atbilde: 1020

Trešā uzdevuma versija

Cipari 1 ir uzrakstīti uz 6 kartēm; 2; 2; 3; 5; 7 (viens cipars uz katras kartes). Izteiksmē □ + □□ + □□□ katrs laukums tiek aizstāts ar kartīti no komplekta. Izrādījās, ka saņemtā summa dalās ar 20. Atrodi šo summu. Norādiet savu atbildi kā vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms:

Atgādiniet dalāmības zīmi ar 10 un formulējiet dalāmības zīmi ar 20.
Sakārtojiet katra termina pēdējos ciparus tā, lai kopējā summa būtu 10.
Katra termina priekšpēdējos ciparus sakārto tā, lai summa, ņemot vērā pirmo ciparu summu, izrādītos pāra skaitlis.
Sakārtojiet atlikušās kārtis nejaušā secībā.

Risinājums:

1. Lai summa dalītos ar 20, tai jābeidzas ar 0 un otrajam ciparam no beigu jābūt pāra (dalīts ar 2). Lai summas beigās iegūtu 0, pirmās trīs kārtis jāizvēlas šādi:

2. Lai otrais cipars būtu vienāds, varat paņemt kartīti 2 un 7 (tam tiks pievienots vēl viens 1 no pirmās summas 10):

3. Pēdējā vietā ievietojam atlikušo numuru 1, kā rezultātā mums ir:

un summa ir:

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma versija (1)

Atrodiet četrciparu skaitli, kas ir 15 reizināts un kura ciparu reizinājums ir lielāks par 0, bet mazāks par 25. Atbildē norādiet vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms

Ja reizinājums ir >0, tad tas nav vienāds ar nulli. Tāpēc neviens no faktoriem nevar būt vienāds ar 0.
Ja reizinājums ir reizināts ar 15, tad tas ir reizināts ar 5 un reizināts ar 3.
Ja reizinājums ir reizināts ar 5, tad tā rezultātam jābeidzas ar 0 vai 5. Šajā gadījumā mēs ņemam 5, jo 0 nevar būt viens no faktoriem (sk. 1. punktu).
Tātad skaitļa pēdējais cipars ir 5. Tad pirmo trīs reizinājums ir 25:5=5. Tas nozīmē, ka jums ir jāiekļauj 3 cipari, lai to produkts būtu mazāks par 5.
No visām saņemtajām skaitļu kopām mēs izvēlamies tādu, lai šo skaitļu summa plus 5 (pēdējais, 4. cipars) būtu 3 reizināts.

Risinājums:

Tā kā saskaņā ar nosacījumu visu ciparu reizinājums ir 15 reizinājums, tad tas ir 5 un 3 reizinājums.

5 reizinājums nozīmē, ka skaitļa pēdējais cipars var būt tikai 0 vai 5. Bet 0 kā pēdējais cipars nozīmētu, ka visu 4 ciparu reizinājums būtu 0; un tas ir pretrunā ar nosacījumu. Tad vēlamā skaitļa pēdējais cipars ir 5.

Tad mēs iegūstam: x y z 5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Mazāk par 5 ir šādu skaitļu reizinājums: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.

Saskaņā ar dalāmības ar 3 kritēriju no šīm kopām izvēlamies tādu, lai tās ciparu summa plus 5 dalītos ar 3:

1+1+1+5=8 - nav piemērots;

1+1+3+5=10 - nav piemērots;

1+2+2+5=10 - nav piemērots

1+1+2+5=9 ir labi.

Tad problēmas stāvoklis atbilst skaitļiem: 1125 , 1215 , 2115 .

Atbilde: 1125, 1215, 2115

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma versija (2)

Skaitlī 85417627 izsvītrojiet trīs ciparus, lai iegūtais skaitlis dalītos ar 18. Atbildē norādiet jebkuru iegūto skaitli.

Izpildes algoritms

Skaitlis dalās ar 18, ja tas ir 2 un 9 reizinājums.
2 reizinājums nozīmē, ka skaitlim ir jābūt pāra. Tāpēc pēdējais - nepāra - skaitlis 7 tiek nekavējoties izmests.
9 reizinājums nozīmē, ka tā ciparu summa dalās ar 9. Tātad, mēs atrodam atlikušo ciparu summu. Tālāk nosakām saņemtajai summai piemērotu skaitli, reizināto ar 9. Skaitlim jābūt tādam, lai: a) tas būtu mazāks par ciparu summu; b) starpība starp šo summu un atrasto skaitli ļāva izdalīt 2 ciparus, kuru summa būtu vienāda ar šo starpību. Izsvītrojiet šos skaitļus.

Risinājums:

Jo Ja skaitlis ir reizināts ar 18, tad tas ir reizināts ar 2 un reizināts ar 9.

Tā kā skaitlis ir reizināts ar 2, tam jābeidzas ar pāra ciparu. 7 ir nepāra skaitlis, tāpēc to izsvītrojiet. Atlikušais: 8541762.

Jo iegūtais skaitlis ir 9 reizināts, tad tā ciparu summai jādalās ar 9. Atrodi tā ciparu kopējo summu: 8+5+4+1+7+6+2=33. Tuvākais skaitlis, kas dalās ar 9, ir 27.

33–27=6 ir divu izsvītrojamo ciparu summa. Skaitļu pāri, kuru summa ir 6, ir 5 un 1 vai 4 un 2. Tos izsvītrojot, iegūstam attiecīgi: 84762 vai 85176 .

Turklāt 18 dalās ar 9. Tad 33–18=15. Šajā gadījumā jums būs jāizsvītro 8 un 7. Mēs iegūstam: 54162 .

Arī 9 dalās ar 9, bet 33–9=24, un skaitļu pāra, kas kopā būtu 24, protams, neeksistē.

Atbilde: 84762, 85176, 54162

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma versija (3)

Cipari 3 ir uzrakstīti uz sešām kartēm; 6; 7; 7; astoņi; 9 (viens cipars uz katras kartes). Izteicienā

Katra kvadrāta vietā ielieciet karti no šī komplekta. Izrādījās, ka saņemtā summa dalās ar 10, bet nedalās ar 20.

Atbildē norādiet jebkuru šādu summu.

Izpildes algoritms

Problēmas teksta 2. teikumā faktiski ir uzrādīts nosacījums, saskaņā ar kuru summa dalās ar 10, bet nedalās ar 2.
No 1. punkta izriet, ka iegūtajam skaitlim jābeidzas ar 0 un tā priekšpēdējam ciparam jābūt nepāra.

Risinājums:

Lai atvieglotu uztveri, kartītes ievietosim kolonnā:

Ja skaitlis dalās ar 10, bet nedalās ar 20, tad bez beigu nulles tas noteikti nedalās ar 2.

Tā kā skaitlis ir reizināts ar 10, tam jābeidzas ar nulli. Tāpēc pēdējā kategorijā (vienībās) jāievieto 3 kārtis ar tādiem skaitļiem, lai to summa beigtos ar 0. Šeit der kārtis: 1) 6, 7, 7; 2) 3, 8, 9. To summas ir vienādas ar 20. Attiecīgi zem rindas ierakstām 0 un 2 pārnesam uz iepriekšējo ciparu (desmitiem):

Lai skaitlis nedalītos ar 20, pirms nulles ir jābūt nepāra ciparam. Nepāra summa šeit izrādīsies, kad viens no vārdiem ir nepāra, bet pārējie divi ir pāra. Viens no šiem (citiem) terminiem ir pārnestais 2. Tāpēc no atlikušajiem skaitļiem jāņem: 1) 3 un 8; 2) 6 un 7. Mēs iegūstam:

Simtnieku vietā liekam pēdējo (palikušo) kartiņu ar skaitli: 1) 9; 2) 7. Iegūstam attiecīgi skaitļus 1030 un 850 :

Atbilde: 1030.850

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma variants (4)

Atrodiet pāra trīsciparu skaitlinaturāls skaitlis, kura ciparu summa ir par 1 mazāka par to reizinājumu. Norādiet savu atbildi kā vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms

Mēs ievadām burtu apzīmējumus vēlamā skaitļa cipariem. Pamatojoties uz uzdevuma nosacījumiem, mēs veidojam vienādojumu.
Mēs izsakām vienu no skaitļiem, izmantojot 2 citus.
Mēs izvēlamies vērtības šiem 2 (citiem) cipariem, lai 3. (izteiktais) būtu naturāls skaitlis. Mēs aprēķinām 3. ciparu.
Mēs veidojam vēlamo skaitli, lai tas būtu pāra.

Risinājums:

Lai vēlamā skaitļa cipari ir x, y, z. Tad mēs iegūstam:

xyz–x–y–z=1

z=(x+y+1)/(xy-1)

Šīs izteiksmes saucējam ir jābūt veselam skaitlim un pozitīvam. Vienkāršības labad (un arī pareizu aprēķinu garantēšanai) pieņemam, ka tam jābūt vienādam ar 1. Tad mums ir: xy–1=1 → xy=2. Tā kā x un y ir skaitļi, to vērtības var būt vienādas tikai ar 1 un 2 (jo tikai šo viencipara naturālo skaitļu reizinājums ir 2).

Tādējādi z ir: z=(1+2+1)/(1 2–1)=4/1=4.

Tātad, mums ir skaitļi: 1, 2, 4.

Jo pēc nosacījuma gala skaitlim jābūt pāra, tad tas var beigties tikai ar 2 vai 4. Tad pareizie skaitļi būs:

124 , 142 , 214 , 412 .

Atbilde: 124, 142, 214, 412

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma variants (5)

Atrodiet sešciparu skaitli, kas rakstīts tikai ar skaitļiem 2 un 0 un dalās ar 24. Atbildē norādiet jebkuru šādu skaitli.

Izpildes algoritms

Ja skaitlis dalās ar 24, tad tas dalās ar 8 un 3.
Saskaņā ar dalāmības zīmi ar 8, tās pēdējiem 3 cipariem ir jāveido skaitlis, kas ir 8 reizināts.
Lai skaitlis dalītos ar 3, nepieciešams, lai tā ciparu summa dalītos ar 3. Ņemot vērā jau izveidoto skaitļa 2. daļu (skat. 2. punktu), mēs to attiecīgi papildinām ar pirmajiem trim cipariem. .

Risinājums:

Lai vēlamais skaitlis būtu reizināts ar 24, tam ir jādalās ar 8 un vienlaikus ar 3.

Skaitlis dalās ar 8, ja tā pēdējie 3 cipari veido skaitļa 8 daudzkārtni. Izmantojot tikai divniekus un nulles, šādu trīsciparu skaitli var izveidot šādi: 000, 002, 020, 022, 200, 202, 220, 222 No šiem skaitļiem 8 dalās tikai ar 000 un 200.

Tagad vēlamais skaitlis jāpapildina ar pirmajiem 3 cipariem, lai tas arī dalītos ar 3.

Pirmajā gadījumā šī būtu vienīgā iespēja: 222000 .

Otrajā gadījumā ir divas iespējas: 220200 , 202200 .

Atbilde: 222000, 220200, 202200

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma versija (6)

Atrodiet četrciparu skaitli, kas ir reizināts ar 15 un kura ciparu reizinājums ir lielāks par 35, bet mazāks par 45. Atbildē norādiet vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms

Ja skaitlis ir reizināts ar 15, tad tas ir 3 un 5 reizinājums.
Piemērojam dalāmības zīmi ar 5 un uzdevuma nosacījumu, saskaņā ar kuru skaitļa ciparu reizinājums ≠0. Tātad mēs iegūstam, ka vēlamā skaitļa pēdējais cipars ir tikai 5.
Sadaliet 35 ar 5 un 45 ar 5. Noskaidrojiet vērtību diapazonu, ko var iegūt skaitļa pirmo 3 ciparu reizinājums. Mēs uzzinām, ka tas var būt tikai vienāds ar 8.
Mēs nosakām skaitļu secību, kas tiek iegūta, reizinot ar 8.
Mēs pārbaudām skaitļus, kas iegūti no atrastajiem cipariem, lai iegūtu reizinājumu ar trīs.

Risinājums:

Vēlamā skaitļa 15 reizinājums dod 2 nosacījumus: tam jādalās ar 5 un ar 3.

Ja skaitlis ir reizināts ar 5, tad tam jābeidzas ar skaitli 5 vai 0. Taču 0 šajā gadījumā nevar izmantot, jo skaitļa ciparu reizinājums izrādās 0. Pēc nosacījuma šis tā nav. Tātad skaitļa pēdējais - 4. - cipars ir 5.

Stāvoklis 35< x·5 < 45, где х – произведение первых 3-х цифр числа. Тогда имеем: 7 < x < 9. Это неравенство верно только при х=8. Следовательно, для первых 3-х цифр должны выполняться равенства:

1 1 8 = 8, 1 2 4 = 8.

No šejienes mēs iegūstam skaitļus:

1185 ; 1245 .

Mēs pārbaudām tos ar reizinājumu 3:

Secinājums: abi atrastie skaitļi ir reizināti ar 3. Turklāt to kombinācijas ir daudzkārtējas:

1815 ; 8115 ; 1425 ; 2145 ; 2415 ; 4125 ; 4215 .

Atbilde: 1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma variants (7)

Atrodiet piecciparu skaitli, kas dalās ar 25, kura jebkuri divi blakus esošie cipari atšķiras ar 2. Atbildē norādiet jebkuru šādu skaitli.

Izpildes algoritms

Ņemam vērā, ka skaitļi, kas būs konsekventi divreiz jādala ar 5, dalās ar 25. Mēs nosakām, ar kuru skaitļu pāri tiem jābeidzas.
Ņemot vērā, ka nosacījuma 2. daļa ir katra blakus esošo ciparu pāra atšķirība tikai par 2 vienībām, mēs izvēlamies atbilstošo ciparu variantu (vai variantus).
Izmantojot atlases metodi, atrodam atlikušos skaitļus un attiecīgi skaitļus. Vienu no tiem mēs rakstīsim atbildē.

Risinājums:

Ja skaitlis dalās ar 25, tad tam jābeidzas ar: 00, 25, 50, 75. blakus cipariem stingri jāatšķiras par 2, tad 4. un 5. ciparam varam izmantot tikai 75. Iegūstam: ***75.

**975 vai
**575.

1) *7975 → 97975 vai 57975 ;

2) *3575 → 13575 vai 53575 , *7575 → 57575 vai 97575 .

Atbilde: 97975, 57975, 13575, 53575, 57575, 97575

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma variants (8)

Atrodiet trīsciparu naturālu skaitli, kas ir lielāks par 600 un kuru dalot ar 3, 4 un 5, paliek atlikums 1 un kura cipari ir dilstošā secībā no kreisās uz labo pusi. Norādiet savu atbildi kā skaitli.

Izpildes algoritms

Nosakiet vērtību diapazonu skaitļa pirmajam ciparam (simtiem).
Nosakām, kāds var būt pēdējais cipars (vienības), ņemot vērā: 1) dalot ar 5, tas dod atlikumu 1; 2) šajā vietā nevar būt pāra skaitlis, jo tas ir viens no nosacījumiem dalīšanai ar 4.
Izmantojot atlases metodi, mēs nosakām skaitļu kopu, kuru dalot ar 3, paliek 1.
No šīs kopas (sk. 3. punktu) mēs atmetam skaitļus, kurus dalot ar 4, tiek iegūts atlikums, kas atšķiras no 1.

Risinājums:

Jo vēlamais skaitlis ir > 600 un tajā pašā laikā ir trīsciparu, tad 1. cipars var būt tikai 6, 7, 8 vai 9. Tad mēs iegūstam vēlamo skaitli:

Ja skaitlim, dalot ar 5, vajadzētu iegūt atlikumu 1, tad tas var beigties tikai ar 0+1=1 vai 5+1=6. Šeit mēs atmetam sešus, jo šajā gadījumā skaitlis ir pāra un potenciāli var dalīties ar 4. Tāpēc mums ir:

Ja skaitlis, dalot ar 3, dod atlikumu 1, tad tā ciparu summai jābūt reizinātai ar 3 plus 1. Turklāt ņemam vērā, ka skaitļiem skaitļā jābūt dilstošā secībā. Mēs izvēlamies šādus skaitļus:

No šīs secības mēs atmetam skaitļus, kuriem nav izpildīts nosacījums, ka skaitlim, dalot ar 4, ir jādod atlikums 1.

Jo dalāmības zīme ar 4 ir tāda, ka pēdējiem 2 cipariem ir jādalās ar 4, tad mēs iegūstam:

priekš 631: 31=28+3, t.i. pārējā daļā mums ir 3; numurs neatbilst

priekš 721 : 21=20+1, t.i. pārējā daļā - 1; numurs atbilst

priekš 751: 51=48+3, t.i. pārējā daļā - 3; numurs neatbilst

priekš 841 : 41=40+1, t.i. pārējā daļā - 1; numurs atbilst

priekš 871: 71=68+3, t.i. pārējā daļā - 3; numurs neatbilst

priekš 931: 31=28+3, t.i. pārējā daļā - 3; numurs neatbilst

priekš 961 : 61=60+1, t.i. pārējā daļā - 1; numurs atbilst

Atbilde: 721, 841, 961

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma variants (9)

Atrodiet trīsciparu naturālu skaitli, kas ir lielāks par 400, bet mazāks par 650, kas dalās ar katru tā ciparu un kura visi cipari ir atšķirīgi un nav vienādi ar 0. Atbildē norādiet vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms

No nosacījuma izriet, ka skaitļi var sākties tikai ar 4,5 vai 6.
Analizējot 4. simta skaitļus, mēs atmetam skaitļus: 1) 1. desmit, jo tie satur 0; 2) 4. dekāde, jo šajā gadījumā pirmie divi cipari sakritīs; 3) 5. desmitnieka skaitlis, jo tiem jābeidzas tikai ar 5 vai 0, kas nav atļauts. Arī visiem pāra desmitiem var ņemt vērā tikai pāra skaitļus.
5. simta skaitļus atmetam pilnībā, jo lai tie dalītos ar katru to ciparu, tiem jābeidzas ar 5 vai 0.
Skaitļiem 6. simtā var uzskatīt tikai: 1) pāra; 2) 3 reizinātāji; 3) nebeidzas ar 0.

Risinājums:

Skaitļi 40 * un 4 * 0 tiek izmesti, jo tie satur 0.

Cipari 41* ir piemēroti tikai pāra vieniem, jo tas ir obligāts nosacījums reizinājumam 4. Mēs analizējam:

412 - der

414 - nav piemērots, jo cipari sakrīt

416 - nav piemērots, jo nedalās ar 6

418 - nav piemērots, jo nedalās ar 4 vai 8

No skaitļiem 42 * ir piemēroti tikai pāra skaitļi, jo tiem ir jādalās ar 2:

422 un 424 - neder, jo tie atbilst cipariem

426 - nav piemērots, jo nedalās ar 4

428 - nav piemērots, jo nedalās ar 8

Skaitļi 43* ir piemēroti tikai tad, ja tie ir pāra un reizināti ar 3. Tāpēc tikai 432 .

Cipari 44 * neatbilst pilnībā.

Cipari 45* pilnībā neatbilst, jo tiem jābeidzas tikai ar 5 (t.i., nepāra) vai 0.

Cipari 46*, 47*, 48*, 49* pilnībā neatbilst, jo katram no tiem nav izpildīts 1 vai vairāki nosacījumi.

5. simta skaitļi pilnībā neatbilst. Tiem ir jādalās ar 5, un šim nolūkam tie beidzas ar 5 vai 0, kas nav atļauts.

Cipari 60* neatbilst pilnībā.

Starp pārējiem mēs varam uzskatīt tikai tos, kas ir reizināti ar 3 un nebeidzas ar 0. Izlaižot sīkāku informāciju par skaitļu uzskaiti, mēs tikai precizēsim, kuri no tiem ir piemēroti: 612 , 624 , 648 . Pārējā daļā viens vai vairāki nosacījumi nav izpildīti.

Atbilde: 412, 432, 612, 624, 648

2019. gada deviņpadsmitā uzdevuma versija (10)

Atrodiet četrciparu skaitli, kas ir 45 reizināts un kura visi cipari ir atšķirīgi un pāra. Norādiet savu atbildi kā vienu šādu skaitli.

Izpildes algoritms

Ja skaitlis ir reizināts ar 45, tad tas dalās ar 5 un 9.
Jāņem vērā tikai pāra simti.
Cipari var beigties tikai ar 0, jo 5 ir nepāra skaitlis.
Skaitļa ciparu summai jābūt vienādai ar 18. Tikai šajā gadījumā to iespējams salikt no visiem pāra cipariem.

Risinājums:

Jo pēc nosacījuma skaitļiem jābūt pāra, tad var ņemt vērā tikai 2., 4., 6. un 8. tūkst. skaitļus. Tas nozīmē, ka tas var sākties ar 2, 4, 6 vai 8.

Ja skaitlis ir reizināts ar 45, tad tas ir reizināts ar 5 un reizināts ar 9.

Ja skaitlis ir reizināts ar 5, tad tam jābeidzas ar 5 vai 0. Bet, tā kā visiem cipariem ir jābūt pāriem, šeit ir piemērots tikai 0.

Tādējādi mēs iegūstam skaitļu modeļus: 2**0, 4**0, 6**0, 8**0. No tā izriet, ka, lai pārbaudītu 9 reizinājumu, ir nepieciešams, lai pirmo 3 ciparu summa būtu vienāda ar 9 vai 18, vai 27 utt. Bet šeit der tikai 18. Iemesli: 1) lai kopā iegūtu 9, vienam no terminiem jābūt nepāra, un tas ir pretrunā ar nosacījumu; 2) 27 neder, jo pat ja ņem lielāko 1. ciparu 8, tad 2. un 3. cipara summa būs vienāda ar 27–8=19, kas pārsniedz pieļaujamo robežu. Vēl lielākas ciparu summas, reizinātas ar 9, ir vēl jo vairāk nepiemērotas.

Apskatīsim skaitļus tūkstošos.

Skaitļi 2**0. Vidējo skaitļu summa ir: 18–2=16. Vienīgais veids, kā iegūt 16 no pāra skaitļiem, ir 8+8. Tomēr skaitļus nedrīkst atkārtot. Tāpēc šim stāvoklim nav piemērotu skaitļu.

Cipari 4**0. Vidējo skaitļu summa: 18–4=14. 14=8+6. Tāpēc mēs iegūstam: 4680 vai 4860 .

Skaitļi 6**0. Vidējo skaitļu summa: 18–6=12. 12=6+6, kas nav piemērots, jo cipari tiek atkārtoti. 12=4+8. Mēs iegūstam: 6480 vai 6840 .

Skaitļi 8**0. Vidējo skaitļu summa: 18–8=10. 10=2+8, kas nav piemērots, jo tas atkārtos 8. 10=4+6. Mēs iegūstam: 8460 vai 8640 .

Atbilde: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640

Šajā rakstā mēs pievērsīsimies 19. problēmas risināšanai no agrīnās specializētās LIETOŠANAS varianta matemātikā, kas tika piedāvāts skolēnu risināšanai 2016. gadā. 19. uzdevuma risināšana no Vienotā valsts eksāmena matemātikā (profila līmenis) absolventiem tradicionāli sagādā vislielākās grūtības, jo šis ir pēdējais un līdz ar to arī parasti grūtākais uzdevums no eksāmena. Vismaz šāds iespaids nereti veidojas skolēnu prātos, kas gatavojas eksāmenam. Bet patiesībā šajos uzdevumos nav nekā ļoti grūta. Skatiet, piemēram, cik viegli ir atrisināt šādu 19. uzdevumu no profila eksāmena matemātikā.

Lai jūs nemulsina termins "labs" komplekts. Tas ir raksturīgi USE variantu sastādītājiem matemātikā. Ja vārdu nepietiek, ir nepieciešams lietot vārdus, kas nav paredzēti paredzētajam mērķim.

19. uzdevuma risinājums no profila eksāmena matemātikā zem burta A

Pāriesim pie risinājuma. Atbildam uz jautājumu zem burta A. Vai ierakstītais komplekts ir labs? Pieņemsim, ka jā. Ja tas tā patiešām ir, tad šis mums ir visvienkāršākais gadījums. Patiešām, šajā gadījumā ir jāsniedz tikai piemērs šīs kopas sadalīšanai divās kopās, kuru elementu summas ir vienādas. Pretējā gadījumā būtu jāpierāda nepieciešamā nodalījuma principiālā neiespējamība. Un tas jau ir daudz grūtāk. Nu, tā kā tas ir tikai uzdevums zem burta A, mēs varam cerēt, ka tas ir diezgan vienkāršs. Tātad, mēģināsim sadalīt mūsu kopu divās apakškopās, kurās elementu summas būs vienādas.

Par laimi, lai to izdarītu, jums nav jābūt Einšteinam. Mēs izmantojam visredzamāko un intuitīvāko risinājumu. Mēs sagrupējam sākotnējās kopas elementus pa pāriem: pirmais ar pēdējo, otrais ar priekšpēdējo un tā tālāk:

Pēdējais pāris sastāvēs no diviem skaitļiem: 249 un 250. Tādi pāri kopā būs 50. Skaitļu summa katrā pārī ir 499. Un tad ņem jebkurus 25 pārus pirmajā komplektā, atlikušos 25 otrajā. iestatīt un iegūt nepieciešamo nodalījumu. Tātad atbilde uz jautājumu A ir jā!

Atbilde uz jautājumu zem burta B no 19. uzdevuma USE matemātikā (profila līmenis)

Mēs pievēršamies jautājumam zem burta B. Uzdevums ir viens, tikai komplekts ir atšķirīgs. Tāpēc šķiet, ka autoriem-sastādītājiem šeit vajadzēja parādīt oriģinalitāti. Tātad, visticamāk, šis komplekts vairs nebūs labs. Ja tas tā ir, tad šajā gadījumā nevarēs aprobežoties tikai ar piemēru, viss būs jāpierāda. Nu, mēģināsim.

Vispārīgi runājot, ja domājat par uzdevumu, risinājums nāk pats no sevis. Mums šī kopa jāsadala divās apakškopās, kuru elementu summas katrā no tām ir vienādas. Nu, jebkurā gadījumā, jums nav jābūt Stīvenam Hokingam, lai saprastu, ka risinājuma atslēga ir atrast, ar ko šīm summām vajadzētu būt vienādām! Un šim nolūkam mums jāaprēķina mūsu sākotnējās kopas elementu summa.

Paskaties uzmanīgi. Pirms mums ir klasiska ģeometriskā progresija ar saucēju, pirmo locekli un elementiem. Visu šādas progresēšanas elementu summu nosaka pēc labi zināmās formulas:

Tas nozīmē, ka, ja mēs sadalītu mūsu kopu divās apakškopās ar vienādu elementu summu katrā no tām, tad šī summa būtu vienāda ar . Un tas ir nepāra skaitlis! Bet galu galā visi mūsu kopas elementi ir divi pakāpes, tas ir, skaitļi ir beznosacījumu pāra. Jautājums. Vai var iegūt nepāra skaitli, saskaitot pāra skaitļus? Protams, nē. Tas ir, mēs esam pierādījuši šāda nodalījuma neiespējamību. Tātad uz jautājumu zem burta B no Vienotā valsts eksāmena matemātikā (profila līmenis) 19. uzdevuma risinājuma atbilde ir nē!

19. uzdevuma risinājums no eksāmena matemātikā (profila līmenī) zem burta B

Un visbeidzot mēs pievēršamies jautājumam zem burta B. Cik četrelementu preču kopas ir komplektā (1; 2; 4; 5; 7; 9; 11)? Jā... Te ir jāpadomā nopietnāk. Nu protams! Galu galā šis ir pēdējais, kā daži video emuāru autori saka, visvairāk grūts uzdevums profila eksāmenā matemātikā. Tātad, kā jūs to atrisināt?

Vai esat kādreiz dzirdējuši par apzinātu sagrābšanu? Šo metodi izmanto, ja nav ļoti daudz iespēju. Bet tajā pašā laikā iespējas netiek sakārtotas nejauši, bet noteiktā secībā. Tas ir nepieciešams, lai nepazaudētu nevienu iespējamo iespēju. Turklāt, kad vien iespējams, neiespējamie varianti tiek izslēgti no uzskaitīšanas. Tātad, kā mēs reducējam šo uzdevumu līdz apzinātai uzskaitei?

Ieviesīsim filtru, kas ierobežo uzskaiti:

Uzreiz atzīmējam, ka vēlamo labo četru elementu apakškopu summām jābūt pāra, pretējā gadījumā tās nevar sadalīt apakškopās ar vienādām elementu summām. Šajā gadījumā minimālā iespējamā summa ir 1+2+4+5 = 12, un maksimālā iespējamā summa ir 5+7+9+11 = 32. Šādas summas ir 11.
Ņemsim vērā arī to, ka pāra skaitļi 2 un 4 ir vai nu vienlaicīgi jāiekļauj labā četrelementu kopā, vai arī nav jāiekļauj tajā vienlaikus. Pretējā gadījumā tikai viens no četrelementu kopas skaitļiem ir pāra, tāpēc šādas kopas elementu summa nebūs pāra.
Tā kā elementu secība vēlamajās labos četru elementu kopās nav svarīga, vienosimies, ka elementi šajās kopās tiks sakārtoti augošā secībā.

Mēs ņemam vērā visas iespējamās summas:

12. summa: (1; 2; 4; 5).
14. summa: (1; 2; 4; 7).
Summa 16: nav variantu.
18. summa: (2; 4; 5; 7).
Summa 20: nav variantu.
22. summa: (2; 4; 7; 9), (2; 4; 5; 11).
24. summa: (1; 5; 7; 11).
26. summa: (2; 4; 9; 11).
Summa 28: nav variantu.
Summa 30: nav iespēju.
32. summa: (5; 7; 9; 11).

Tātad mums ir tikai 8 komplekti. Citu variantu nav. Tas ir, atbilde uz uzdevumu zem burta B ir 8.

Šeit ir matemātikas eksāmena 19. uzdevuma risinājums (profila līmenis). Tiem, kas tikai sāk gatavoties profila eksāmenam matemātikā, tas var šķist sarežģīti. Bet patiesībā, lai atrisinātu šādas problēmas, ir jāizmanto tās pašas metodes un paņēmieni. Jums tās vienkārši jāapgūst, un visas šīs problēmas jums šķitīs vienkāršas, un jūs tās bez problēmām atrisināsit eksāmenā. Es varētu tev to iemācīt. Sīkāku informāciju par mani un manām nodarbībām varat atrast vietnē.

Čitalova Svetlana Nikolajevna
Pozīcija: matemātikas skolotājs
Izglītības iestāde: MBOU 23. vidusskola ar atsevišķu priekšmetu padziļinātu apguvi
Vieta:Ņižņijnovgorodas apgabals, Dzeržinskas pilsēta
Materiāla nosaukums: prezentācija
Temats:"Uzdevums numurs 19. IZMANTOŠANA. Matemātika (pamatlīmenis)"
Publicēšanas datums: 14.05.2016
nodaļa: pilnīga izglītība

19. uzdevums.

IZMANTOT. Matemātika

(pamata līmenis)

Čitalova Svetlana Nikolajevna

matemātikas skolotājs,

MBOU vidusskola №23

ar padziļinātu indivīda izpēti

preces,

Darba apraksts

19. uzdevums (1 punkts) -

pamata līmenis.

pārvērtības.

19. uzdevums (1 punkts) -

pamata līmenis.

Pārbauda spēju veikt aprēķinus un

pārvērtības.

Laiks uzdevuma izpildei ir 16 minūtes.

Uzdevums satur uzdevumus par tēmu

"Dalāmība naturālie skaitļi».

Lai atrisinātu šo problēmu, jums jāzina

naturālu skaitļu dalāmības pazīmes,

skaitļu un citas informācijas dalāmības īpašības.

dalās ar 4.

dalās ar 11.

Ar 2: Skaitlis dalās ar 2 tad un tikai tad

tas beidzas ar pāra skaitli.

Ar 3: skaitlis dalās ar 3 tad un tikai tad

kad tā ciparu summa dalās ar 3.

Ar 4: skaitlis dalās ar 4 tad un tikai tad

skaitlis, ko veido tā pēdējie divi cipari,

dalās ar 4.

Ar 5: Skaitlis dalās ar 5 tad un tikai tad

kad tas beidzas ar 0 vai 5.

Ar 8: Skaitlis dalās ar 8 tad un tikai tad, ja skaitli veido tā trīs

pēdējie cipari, dalās ar 8.

Ar 9: Skaitlis dalās ar 9 tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar 9.

Ar 10: Skaitlis dalās ar 10 tad un tikai tad, ja tas beidzas ar 0.

Ar 11: Skaitlis dalās ar 11 tad un tikai tad, ja starpība starp summu

cipari pāra vietās un ciparu summa nepāra vietās,

dalās ar 11.

Ar 25: skaitlis dalās ar 25 tad un tikai tad, ja skaitli veido tā divi

pēdējie cipari, dalās ar 25.

Dalāmības pazīmes:

cipariem

tāds, ka

a = q + r, kur 0 ≤ r ≤ c.

Dalāmības īpašība: Ja naturāls skaitlis dalās ar katru no

divus kopskaitļus, tad tas dalās ar to reizinājumu.

Definīcija. Tiek saukti naturālie skaitļi

koprime, ja to lielākais kopīgais dalītājs ir 1.

Definīcija. Lielākais dabiskais skaitlis, bez kura var dalīt

skaitļu a un b atlikušo daļu sauc par to lielāko kopīgo dalītāju

cipariem

Dalāmības īpašība: Ja veselu skaitļu summā katrs termins

dalās ar kādu skaitli, tad summa dalās ar šo skaitli.

Dalīšana ar atlikumu teorēmu: Jebkuram veselam skaitlim a un

naturālais skaitlis ir unikāls veselu skaitļu pāris q un r

tāds, ka

a = q + r, kur 0 ≤ r ≤ c.

Definīcija. Tiek izsaukts vairāku skaitļu vidējais aritmētiskais

koeficients no šo skaitļu summas dalīšanas ar terminu skaitu.

Teorētiskā informācija:

bet nedalās ar 9.

Sniedziet trīsciparu skaitļa piemēru, ciparu summu

kas ir vienāds ar 20, un ciparu kvadrātu summa dalās ar 3,

bet nedalās ar 9.

1. uzdevums (2016. gada demonstrācijas versija)

ar 3 un nedalās ar 9.

Risinājums. Sadalīsim skaitli 20 terminos dažādos veidos:

20= 9+9+2; 2) 20= 9+8+3; 3) 20=9+7+4;

20=9+6+5; 5) 20=8+8+4; 6) 20= 8+7+5

Atrodiet kvadrātu summu katrā izvērsumā un pārbaudiet, vai tā ir dalāma

ar 3 un nedalās ar 9.

1) 81 + 81 + 4 \u003d 166, kas nav sadalīti 3; 2) 81 + 64 + 9 = 154 nav sadalīts 3;

3) 81 + 49 + 16 \u003d 146, kas nav sadalīti 3; 4) 81+36+25=142 nav sadalīts 3;

5) 64+64+16=144 gadījumi 3 un 9;

6) 64 + 49 + 25 \u003d 138 gadījumi 3, bet ne gadījumi 9

Paplašinājums (6) apmierina problēmas nosacījumu. Tādējādi nosacījums

Uzdevums apmierina jebkuru skaitli, kas ierakstīts skaitļos 5,7,8.

Atbilde. 578 587 758 785 857 875

Sniedziet trīsciparu skaitļa piemēru, ciparu summu

bet nedalās ar 4.

Sniedziet trīsciparu skaitļa piemēru, ciparu summu

kas ir vienāds ar 24, un ciparu kvadrātu summa dalās ar 2,

bet nedalās ar 4.

Uzdevums #2

dalās ar 9.

9.9.6. un 9.8.7.

Risinājums. Lai abs ir vēlamais skaitlis. Tā kā a + b + c \u003d 24,

tad starp skaitļiem a, b, c vai nu divi ir nepāra, vai arī nav neviena.

Ja visi skaitļi a, b, c ir pāra, tad to kvadrātu summa dalās ar 4, un tas ir pretrunā

uzdevuma nosacījums, kas nozīmē, ka starp skaitļiem a, b, c divi ir nepāra. Sadalīsim skaitli 24

termini: 24=9+9+6, 24=9+8+7.

Mēs atrodam kvadrātu summu katrā izvērsumā un pārbaudām, vai tā dalās ar 3 un nē

dalās ar 9.

81+81+36= 198 gadījumi pa 2, bet ne gadījumi pa 4

81+64+49= 194 gadījumi pa 2, bet ne gadījumi pa 4

Paplašinājums (1), (2) apmierina problēmas nosacījumu. Pa šo ceļu,

uzdevuma nosacījums atbilst jebkuram cipariem rakstītam skaitlim

9.9.6. un 9.8.7.

Atbilde. 996, 969, 699, 987, 978, 897, 879, 798, 789

kvadrātu cipari, kas dalās ar 5

Sniedziet trīsciparu skaitļa piemēru,

kuru ciparu summa ir 22, un summa

kvadrātu cipari, kas dalās ar 5

Uzdevums #3

Atbilde. 589 598 985 958 895 859

taisnība.

Sniedziet piemēru trīsciparu naturālam skaitlim, kas ir lielāks par

600, kas, dalot ar 3, ar 4, ar 5, dod atlikumu 1 un

kuras cipari atrodas dilstošā secībā kreisajā pusē

taisnība.

Atbildē norādiet tieši vienu šādu skaitli.

Uzdevums #4

pārbaudiet k=10.

taisnība.

Atbilde. 721

Risinājums. Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas dalās ar 3,4,5, tas dalās ar

3x4x5 = 60 un dalot iegūstat atlikumu 1, tātad A = 60k + 1. Tā kā A ir lielāks par 600, tad

pārbaudiet k=10.

Ja k \u003d 10, tad A \u003d 601, skaitļi šajā ciparā nav sakārtoti dilstošā secībā no kreisās puses

taisnība.

Ja k=11, tad A=661 cipari šajā skaitļā nav sakārtoti dilstošā secībā no kreisās

taisnība.

Ja k \u003d 12, tad A \u003d 721 cipars šajā ciparā ir sakārtoti dilstošā secībā kreisajā pusē

pa labi, kas nozīmē, ka šis skaitlis atbilst problēmas stāvoklim.

Atbilde. 721

Sniedziet piemēru trīsciparu naturālam skaitlim, kas

dalot ar 7 un ar 5, iegūst vienādus atlikumus, kas nav nulle, un pirmo pa kreisi

kura cipars ir pārējo divu ciparu vidējais aritmētiskais.

Ja šādi skaitļi ir vairāki, atbildē norādiet mazāko no tiem.

Uzdevums #5

< r < 5.

darīts.

Risinājums. Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas dalās ar 7 un 5, tas dalās ar 7x5=

35 un dalot dod vienādus atlikumus, kas nav nulle, tad A \u003d 35k + r, kur 0< r < 5.

Ja k \u003d 3, tad A \u003d 106, 107, 108, 109 pirmais cipars pa kreisi šajos skaitļos nav vienāds ar vidējo

pārējo divu ciparu aritmētika. Ja pirmais cipars ir 1, nosacījums netiks izpildīts

darīts.

Ja k \u003d 6, tad A \u003d 211, 212, 213, 214 pirmais cipars pa kreisi ciparā 213 ir vienāds ar vidējo

pārējo divu ciparu aritmētika, tad šis skaitlis atbilst dotajam nosacījumam

un ir mazākais. Atbilde. 213

Sniedziet piemēru trīsciparu naturālam skaitlim, kas

kura cipars ir pārējo divu ciparu vidējais aritmētiskais.

Sniedziet piemēru trīsciparu naturālam skaitlim, kas

dalot ar 9 un ar 10, tiek iegūts vienāds atlikums, kas nav nulle, un pirmais pa kreisi

kura cipars ir pārējo divu ciparu vidējais aritmētiskais.

Ja šādi skaitļi ir vairāki, atbildē norādiet lielāko no tiem.

Uzdevums #6

Uzdevums #7

viens šāds numurs.

Atrodiet trīsciparu naturālu skaitli, kas ir lielāks par 400

dalot ar 6 un 5, iegūst vienādus atlikumus, kas nav nulle, un

kura pirmais cipars no kreisās puses ir vidējais

pārējo divu ciparu aritmētika. Atbildē precīzi norādiet

viens šāds numurs.

Atbilde. 453

Atbilde. 546

vairāki cipari,

Sniedziet sešciparu naturāla skaitļa piemēru, kas

raksta tikai skaitļos 2 un 3 un dalās ar 24. Ja tāds

vairāki cipari,

atbildiet uz mazāko no tiem.

Uzdevums #8

Risinājums.

Atbilde. 233232

Risinājums.

Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas ir sadalīts

24 \u003d 3x8, tad tas dalās ar 3 un ar 8. Saskaņā ar dalāmības ar 8 kritēriju,

mēs iegūstam, ka pēdējie trīs cipari ir 232. Šie skaitļi summējas

Saskaņā ar dalāmības ar 3 kritēriju pirmo trīs ciparu summa var

būt 2 (nav piemērots), 5 (nav piemērots), 8 (skaitļu kombinācijas).

3,3,2). Tā kā skaitlim jābūt mazākajam, tad 233232

Atbilde. 233232

viens iegūtais skaitlis.

Skaitlī 54263027 izsvītro trīs ciparus tā, lai

iegūtais skaitlis tika dalīts ar 15. Atbildē norādiet precīzi

viens iegūtais skaitlis.

Uzdevums #8

Risinājums.

Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas ir sadalīts

skaitlis ir 5+4+2+6+3+0=20

Atbilde. 54630 vai 42630.

Risinājums.

Lai A ir vēlamais skaitlis. Tā kā tas ir sadalīts

15 \u003d 3x5, tad tas dalās ar 3 un ar 5. Saskaņā ar dalāmības ar 5 kritēriju,

mēs saņemam, ka mums ir jāizsvītro pēdējie divi cipari, mēs iegūstam numuru

542630. No šī numura jāsvītro 1 cipars. Šī ciparu summa

skaitlis ir 5+4+2+6+3+0=20

Saskaņā ar dalāmības ar 3 kritēriju ir jāizsvītro 2 (ciparu summa

būs 18) vai 5 (ciparu summa būs 15)

Atbilde. 54630 vai 42630.

Sniedziet sešciparu naturāla skaitļa piemēru, kas

rakstīts tikai ar cipariem

Sniedziet sešciparu naturāla skaitļa piemēru, kas

rakstīts tikai ar cipariem

2 un 4 un dalās ar 36. Ja ir vairāki šādi skaitļi,

atbildē norādiet lielāko no tiem.

Uzdevums #9

Atbilde. 442224

Skaitlī 84537625 izsvītro trīs ciparus tā, lai

iegūtais skaitlis tika dalīts ar 12. Atbildē norādiet

tieši viens iegūtais skaitlis.

Uzdevums #10

Atbilde. 84576

dzēst Koļu?

Uz tāfeles bija uzrakstīts piecciparu skaitlis, kas dalās ar

55 bez pēdām. Koļa paskrēja garām, izdzēsa vienu figūru un

vietā uzzīmēja *. Izrādījās 404*0. Kāda figūra

dzēst Koļu?

Uzdevums #11

Risinājums.

40400= 55x734+30, tātad

10a+30=55k

Ja k \u003d 2, tad 10a = 80, a = 8

a ≥ 13,5

(un - nav cipars)

Atbilde. astoņi.

Risinājums.

Lai a ir vēlamais skaitlis. Tad skaitli var attēlot šādi:

404a0 = 40400+10a. Tā kā atlikums no 40 400, dalīts ar 55, ir 30,

40400= 55x734+30, tātad

404a0 \u003d 40400 + 10a \u003d 55x734 + 30 + 10a, t.i., 40400 + 10a ir sadalīts

55 tad un tikai tad, ja 10a + 30 dalās ar 55, t.i.

10a+30=55k

Ja k = 1, tad 10a = 25, a = 2,5 (nevis skaitlis)

Ja k \u003d 2, tad 10a = 80, a = 8

Ja k≥3, tad 10a=55k ─30 nebūs mazāks par 135,

a ≥ 13,5

(un - nav cipars)

Atbilde. astoņi.

kura ciparu summa ir 3?

Cik ir trīsciparu skaitļu?

kura ciparu summa ir 3?

Uzdevums #12

Atbilde. 6.

Risinājums. Lai abs ir vēlamais skaitlis. Tā kā a + b + c \u003d 3,

tad ar vienkāršu iespēju uzskaitījumu (ņemot vērā

pārmaiņus gadījumi a=1, a=2, a=3), iegūstam skaitļus

120,102,111,210,201,300, t.i., to skaits ir 6.

Atbilde. 6.

dzēst Petju?

Uz tāfeles bija uzrakstīts piecciparu skaitlis, kas dalās ar

41 bez pēdām. Petja paskrēja garām, izdzēsa vienu figūru un

vietā uzzīmēja *. Izrādījās 342 * 6. Kāda figūra

dzēst Petju?

Uzdevums #13

Atbilde. 7

Uzdevums #14

cipari ir 4?

Cik ir trīsciparu skaitļu, kuru summa

cipari ir 4?

Atbilde. 10

Bibliogrāfija:

izglītība, 2016

Matemātika. Gatavošanās eksāmenam 2016.

Pamatlīmenis./ D.A. Malcevs, A.A.

Maļcevs, L.I.Maļceva / - M: Tauta

izglītība, 2016

2. Demonstrācijas versija 2016 (FIPI vietne)

Vietne "Es atrisināšu eksāmenu" Dmitrijs Guščins

Algebra 8. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības skolēniem

organizācijas / Yu.N. Makarychev un citi / - M: Mnemozina, 2015

Matemātikas 5.6 klase: vispārējās izglītības mācību grāmatas

iestādes / N.Ya. Vilenkin un citi / - M: Mnemozina, 2015

Paldies par jūsu uzmanību!!!

Uz tāfeles ir uzrakstīti 30 dažādi naturālie skaitļi, no kuriem katrs ir vai nu pāra, vai arī tā decimālzīme beidzas ar skaitli 7. Uzrakstīto skaitļu summa ir 810.

a) Vai uz tāfeles var būt tieši 24 pāra skaitļi?

Skaitliskā secība tiek dota ar vispārīgo terminu formulu: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Atrodi mazākā vērtība n , kam a_(n)< 1/2017.

B) Atrodiet mazāko n vērtību, kurai šīs secības pirmo n vārdu summa būs lielāka par 0,99.

B) Vai šajā secībā ir termini, kas veido aritmētisko progresiju?

A) Lai astoņu dažādu naturālu skaitļu reizinājums ir vienāds ar A, un to pašu skaitļu reizinājums, palielināts ar 1, ir vienāds ar B. Atrast augstākā vērtība BA.

B) Lai astoņu naturālu skaitļu (ne vienmēr atšķirīgu) reizinājums ir vienāds ar A, un to pašu skaitļu reizinājums, palielināts ar 1, ir vienāds ar B. Vai izteiksmes vērtība ir vienāda ar 210?

C) Lai astoņu naturālu skaitļu (ne vienmēr atšķirīgu) reizinājums ir vienāds ar A, un to pašu skaitļu reizinājums, palielināts ar 1, ir vienāds ar B. Vai izteiksmes B / A vērtība ir vienāda ar 63?

Ar naturālu skaitli veic šādu darbību: starp katriem diviem tā blakus cipariem ieraksta šo ciparu summu (piemēram, no skaitļa 1923 iegūst skaitli 110911253).

A) Dodiet piemēru skaitļam, no kura iegūts 4106137125

B) Vai numuru 27593118 var iegūt no jebkura numura?

C) Kāds ir lielākais skaitļa 9 daudzkārtnis, ko var iegūt no trīsciparu skaitļa, kura decimāldaļā nav devītnieku?

Grupā ir 32 skolēni. Katrs no viņiem raksta vienu vai divus pārbaudes darbus, par katru no tiem var iegūt no 0 līdz 20 punktiem ieskaitot. Turklāt katrs no diviem kontroles darbiem atsevišķi dod vidēji 14 punktus. Tālāk katrs no studentiem nosauca savu augstāko punktu skaitu (ja uzrakstīja vienu darbu, viņš to nosauca), no šiem punktiem tika atrasts vidējais aritmētiskais un tas ir vienāds ar S.

< 14.
B) Vai varētu būt, ka 28 cilvēki raksta divas vadīklas un S=11?
C) Kāds ir maksimālais skolēnu skaits, kas varētu uzrakstīt divus kontroldarbus, ja S=11?

Uz tāfeles ir uzrakstīti 100 dažādi naturālie skaitļi, kuru summa ir 5130

A) Vai var izrādīties, ka uz tāfeles ir uzrakstīts cipars 240?

B) Vai var izrādīties, ka uz tāfeles nav skaitļa 16?

J) Kāds ir mazākais skaitļa 16 reizinātāju skaits, kas var būt uz tāfeles?

Uz tāfeles ir uzrakstīti 30 dažādi naturālie skaitļi, no kuriem katrs ir vai nu pāra, vai arī tā decimālzīme beidzas ar skaitli 7. Uzrakstīto skaitļu summa ir 810.

a) Vai uz tāfeles var būt tieši 24 pāra skaitļi?

B) Vai tieši divi skaitļi uz tāfeles var beigties ar 7?

J) Kāds ir mazākais skaitļu skaits, kas beidzas ar 7, kas var atrasties uz tāfeles?

Katrs no 32 skolēniem vai nu uzrakstīja vienu no diviem kontroldarbiem, vai uzrakstīja abus kontroldarbus. Par katru darbu bija iespējams iegūt veselu punktu skaitu no 0 līdz 20 ieskaitot. Katram no diviem testiem atsevišķi GPA sastādīja 14. Pēc tam katrs students nosauca augstāko punktu skaitu (ja skolēns uzrakstīja vienu darbu, tad nosauca punktu skaitu par to). Nosaukto punktu vidējais aritmētiskais bija vienāds ar S.

A) Sniedziet piemēru, kad S< 14

B) Vai S vērtība varētu būt vienāda ar 17?

C) Kāda ir mazākā vērtība S, ko varētu iegūt, ja abus kontroldarbus būtu uzrakstījuši 12 skolēni?

19) Uz tāfeles ir uzrakstīti 30 cipari. Katrs no tiem, skaitļa pāra vai decimāldaļskaitļa attēlojums, beidzas ar 3. To summa ir 793.

A) Vai uz tāfeles var būt tieši 23 pāra skaitļi?
b) tikai viens no skaitļiem var beigties ar 3;
c) kāds ir mazākais šo skaitļu skaits, kas var beigties ar 3?

Uz tāfeles ir uzrakstīti vairāki dažādi naturālie skaitļi, no kuriem jebkuru divu reizinājums ir lielāks par 40 un mazāks par 100.

a) Vai uz tāfeles var būt 5 skaitļi?

b) Vai uz tāfeles var būt 6 skaitļi?

C) Kāda ir maksimālā vērtība, ko var iegūt uz tāfeles esošo skaitļu summa, ja tie ir četri?

Skaitļi ir doti: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Vai ir iespējams šos skaitļus sadalīt trīs grupās tā, lai

A) katrā grupā skaitļu summa dalās ar 3.
b) katrā grupā skaitļu summa dalās ar 10.
c) vienas grupas skaitļu summa dalās ar 102, otras grupas skaitļu summa dalās ar 203, bet trešās grupas skaitļu summa dalās ar 304?

a) Atrodiet naturālu skaitli n, kura summa 1+2+3+...+n ir vienāda ar trīsciparu skaitli, kura visi cipari ir vienādi.

B) Četru skaitļu summa, kas veido aritmētisko progresiju, ir 1, un šo skaitļu kubu summa ir 0,1. Atrodiet šos skaitļus.

A) Vai skaitļus 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 var sadalīt divās grupās ar vienādu šo grupu skaitļu reizinājumu?

B) Vai skaitļus 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 var sadalīt divās grupās ar vienādu šo grupu skaitļu reizinājumu?

C) Kāds ir mazākais skaitļu skaits, kas jāizslēdz no kopas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, lai atlikušos skaitļus varētu sadalīt divās grupās ar vienādu šo grupu skaitļu reizinājums? Sniedziet piemēru šādam sadalījumam grupās.

Dots rūtains kvadrāts ar izmēru 6x6.

A) Vai šo kvadrātu var sadalīt desmit pa pāriem atšķirīgos rūtainos daudzstūros?
B) Vai šo kvadrātu var sagriezt vienpadsmit pāros atšķirīgos rūtainos daudzstūros?
B) Kāds ir lielākais pa pāriem atšķirīgu rūtainu taisnstūru skaits, kurā var sagriezt šo kvadrātu?

Katra 3 x 3 tabulas šūna satur skaitļus no 1 līdz 9 (att.). Vienā kustībā tas tiek izšķirts uz diviem blakus esošajiem skaitļiem (šūnām
ir kopīga puse), pievienojiet to pašu veselo skaitli.

A) Vai šādā veidā iespējams iegūt tabulu, kuras visās šūnās būs vienādi skaitļi?

B) Vai šādā veidā ir iespējams iegūt tabulu, kas sastāv no vienas vienības (centrā) un astoņām nullēm?

C) Pēc vairākiem gājieniem tabulā parādījās astoņas nulles un kāds skaitlis, kas nav nulle. Atrodiet visus iespējamos N.

A) Katrs plaknes punkts ir nokrāsots vienā no divām krāsām. Vai plaknē obligāti ir divi vienādas krāsas punkti, kas atrodas tieši 1 m attālumā viens no otra?

B) Katrs līnijas punkts ir nokrāsots vienā no 10 krāsām. Vai ir jāatrod divi vienādas krāsas punkti uz taisnes, kas atrodas vesela skaitļa metru attālumā viens no otra?

C) Kāds ir maksimālais kuba virsotņu skaits, ko var iekrāsot zilā krāsā, lai starp zilajām virsotnēm nevarētu izvēlēties trīs, kas veido vienādmalu trīsstūri?

Ir zināms, ka piecciparu naturāls skaitlis N dalās ar 12, un tā ciparu summa dalās ar 12.

A) Vai visi pieci cipari N var atšķirties?
B) Atrodi mazāko iespējamo skaitli N;
B) Atrodi lielāko iespējamo skaitli N;
D) Kāds ir lielākais identisku ciparu skaits, ko var ietvert skaitļa N ierakstā? Cik ir šādu skaitļu N (kuru ierakstā ir vislielākais identisku ciparu skaits)?

Ir piecas nūjas ar garumu 2, 3, 4, 5, 6.

A) Vai, izmantojot visas nūjas, ir iespējams salocīt vienādsānu trīsstūri?

b) Vai, izmantojot visas nūjas, ir iespējams salocīt taisnleņķa trīsstūri?

c) Kāds ir mazākais laukums, kurā var salocīt trīsstūri, izmantojot visas nūjas? (Pārtraukums, nūjas nav atļautas)

Trīs dažādi naturālie skaitļi ir kāda strupā trijstūra malu garumi.

a) Vai lielākā no šiem skaitļiem attiecība pret mazāko no tiem var būt vienāda ar 3/2?

B) Vai lielākā no šiem skaitļiem attiecība pret mazāko no tiem var būt vienāda ar 5/4?

C) Kāda ir mazākā vērtība, ko var iegūt lielākā no šiem skaitļiem attiecība pret mazāko no tiem, ja zināms, ka vidējais skaitlis ir 18?

Galīgā secība a1,a2,...,a_(n) sastāv no n, kas ir lielāks vai vienāds ar 3, ne vienmēr atšķirīgiem naturāliem skaitļiem, un visiem dabiskajiem k, kas ir mazāki vai vienādi ar n-2, vienādība a_(k +2) = 2a_(k +1)-a_(k)-1.

A) Dodiet piemēru šādai secībai n = 5, kurā a_(5) = 4.

B) Vai šādā secībā kāds naturāls skaitlis var parādīties trīs reizes?

C) Kuram ir lielākais n šāda secība var sastāvēt tikai no trīsciparu skaitļiem?

Veseli skaitļi x, y un z šādā secībā veido ģeometrisku progresiju.

A) Vai skaitļi x+3, y^2 un z+5 var veidot aritmētisko progresiju šādā secībā?

B) Vai skaitļi 5x, y un 3z var veidot aritmētisko progresiju norādītajā secībā?

B) Atrodiet visus x, y un z tā, lai skaitļi 5x+3, y^2 un 3z+5 veidotu aritmētisko progresiju šādā secībā.

Uz tāfeles ir uzrakstīti divi naturālie skaitļi: 672 un 560. Vienā kustībā jebkuru no šiem skaitļiem var aizstāt ar to starpības moduli vai samazināt uz pusi (ja skaitlis ir pāra).

a) Vai ar dažiem gājieniem uz tāfeles var parādīties divi vienādi skaitļi?

B) Vai skaitlis 2 var parādīties uz tāfeles ar dažiem gājieniem?

C) Atrodi mazāko naturālo skaitli, kas var parādīties uz galda šādu gājienu rezultātā.

Šahu var uzvarēt, zaudēt vai neizšķirt. Šahists pieraksta katras izspēlētās partijas rezultātu un pēc katras partijas aprēķina trīs rādītājus: “uzvaras” - uzvaru procentuālo attiecību, kas noapaļota līdz tuvākajam veselam skaitlim, “neizšķirti” – neizšķirtu procentuālais daudzums noapaļots līdz tuvākajam veselam skaitlim, un “zaudējumi”, kas vienādi ar starpību 100 un “uzvaru” un “neizšķirtu” rādītāju summu. (Piemēram, 13,2 kārtas līdz 13, 14,5 kārtas līdz 15, 16,8 kārtas līdz 17).
a) Vai “uzvaru” rezultāts kādā brīdī var būt 17, ja ir aizvadītas mazāk nekā 50 spēles?
b) Vai pēc uzvarētas spēles var palielināties “zaudētāju” rādītājs?
c) Viena no spēlēm tika zaudēta. Kāds ir mazākais aizvadīto spēļu skaits, kuru rezultāts ir 1 zaudējums?

Pieņemsim, ka q ir naturālu skaitļu x un y lielākais kopīgais dalītājs, kas atbilst vienādojumam 3x=8y–29.

Rotā ir divi vadi, pirmajā pulkā ir mazāk karavīru nekā otrajā, bet vairāk nekā 50, un kopā ir mazāk par 120. Komandieris zina, ka rotu var veidot vairākus cilvēkus pēc kārtas, tāpēc ka katrā rindā būs vienāds karavīru skaits, kas lielāks par 7, un tajā pašā laikā nevienā rindā nebūs karavīru no diviem dažādiem vadiem.

A) Cik karavīru ir pirmajā un cik otrajā? Sniedziet vismaz vienu piemēru.

B) Vai norādītajā veidā var uzbūvēt rotu ar 11 karavīriem vienā rindā?

C) Cik karavīru var būt rotā?

Pieņemsim, ka q ir naturālu skaitļu x un y lielākais kopīgais dalītājs, kas atbilst vienādojumam 3x=8y-29.

A) Vai q/d - var būt vienāds ar 170?

B) Vai q/d - var būt vienāds ar 2?

C) Atrodiet mazāko q/d vērtību

Nosakiet, vai parastajiem terminiem ir divas secības

A) 3; sešpadsmit; 29; 42;... un 2; deviņpadsmit; 36; 53;...

B) 5; sešpadsmit; 27; 38;... un 8; deviņpadsmit; trīsdesmit; 41;...

B) Nosaki maksimālo kopējo terminu skaitu, kas var būt ar 1 divām aritmētiskajām progresijām; ...; 1000 un 9; ...; 999, ja ir zināms, ka katram no tiem ir atšķirība, kas atšķiras no 1.

A) Vai skaitli 2016 var attēlot kā septiņu secīgu naturālu skaitļu summu?

A) Vai skaitli 2016 var attēlot kā sešu secīgu naturālu skaitļu summu?

B) Izsakiet skaitli 2016 kā vislielākā secīgu pāra naturālu skaitļu summu.

Skaitļu kopu sauc par labu, ja to var sadalīt divās apakškopās ar vienādu skaitļu summu.

A) Vai komplekts (200;201;202;...;299) ir labs?

B) Vai komplekts (2;4;8;...;2^(100)) ir labs?

C) Cik labu četrelementu apakškopu ir kopai (1;2;4;5;7;9;11)?

Aptaujas rezultātā noskaidrojās, ka aptuveni 58% aptaujāto priekšroku dod mākslīgai eglītei, nevis dabiskai (skaitlis 58 iegūts, noapaļojot līdz veselam skaitlim). No tās pašas aptaujas izrietēja, ka aptuveni 42% aptaujāto Jauno gadu nekad nav svinējuši ārpus savām mājām.

A) Vai aptaujā varētu piedalīties tieši 40 cilvēki?
b) Vai aptaujā varēja piedalīties tieši 48 cilvēki?
c) Kāds ir mazākais cilvēku skaits, kas varētu piedalīties šajā aptaujā?

Vaņa spēlē spēli. Spēles sākumā uz tāfeles ir uzrakstīti divi dažādi naturālie skaitļi no 1 līdz 9999. Vienā spēles pagriezienā Vaņai jāatrisina kvadrātvienādojums x^2-px + q=0, kur p un q ir divi. skaitļi, kas ņemti Vaņas izvēlētajā secībā, kas ierakstīti sākumā uz tāfeles, un, ja šim vienādojumam ir divas dažādas dabiskās saknes, aizvietojiet divus skaitļus uz tāfeles ar šīm saknēm. Ja šim vienādojumam nav divu dažādu dabisko sakņu, Vaņa nevar veikt gājienu un spēle beidzas.

A) Vai ir tādi divi skaitļi, sākot spēlēt, ar kuriem Vaņa varēs izdarīt vismaz divus gājienus?
b) Vai ir divi skaitļi, kas sāk spēlēt, ar kuriem Vaņa varēs izdarīt desmit gājienus?
c) Kāds ir maksimālais kustību skaits, ko Vaņa var veikt šādos apstākļos?

Uz tāfeles tika uzrakstīti 30 naturāli skaitļi (nav obligāti atšķirīgi), no kuriem katrs ir lielāks par 14, bet nepārsniedz 54. Uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais bija 18. Katra uz tāfeles esošā skaitļa vietā viņi rakstīja skaitlis, kas bija puse no oriģināla. No tāfeles tika izdzēsti skaitļi, kas pēc tam izrādījās mazāki par 8.

Četrciparu skaitli mēs nosauksim par ļoti laimīgu, ja visi cipari tā decimāldaļās ir atšķirīgi un pirmo divu ciparu summa ir vienāda ar pēdējo divu ciparu summu. Piemēram, skaitlim 3140 ir ļoti paveicies.
a) Vai ir desmit secīgi četrciparu skaitļi, starp kuriem ir divi ļoti laimīgi?
b) Vai starpība starp diviem ļoti laimīgiem četrciparu skaitļiem var būt vienāda ar 2015. gadu?
c) Atrodiet mazāko naturālo skaitli, kuram nav daudzkārtēja ļoti laimīgam četrciparu skaitlim.

Kādas skolas skolēni rakstīja kontroldarbu. Par šo pārbaudījumu skolēns varēja iegūt veselu nenegatīvu punktu skaitu. Par ieskaiti tiek uzskatīts, ka skolēns ir ieguvis vismaz 50 punktus. Rezultātu uzlabošanai katram ieskaites dalībniekam tika piešķirti 5 punkti, līdz ar to pieauga pārbaudījumu izturējušo skaits.

A) Vai pēc tam varētu samazināties to dalībnieku vidējais punktu skaits, kuri neizturēja pārbaudi?

B) Vai tad to dalībnieku vidējais punktu skaits, kas nav pārbaudījums, varētu pazemināties, bet arī testa kārtotāju vidējais rezultāts?

C) Ieskaiti nokārtojušo dalībnieku sākotnējais vidējais vērtējums ir 60 punkti, pārbaudījumu neizturējušo – 40 punkti, un visu dalībnieku vidējais vērtējums bija 50 punkti. Pēc punktu saskaitīšanas testu nokārtojušo dalībnieku vidējais punktu skaits kļuva 63 punkti, bet pārbaudījumu neizturējušo – 43. Kāds ir mazākais dalībnieku skaits, kas varētu padarīt šo situāciju iespējamu?

Ir zināms, ka par trim dažādiem naturāliem skaitļiem tie ir kāda strupā trijstūra malu garumi.

A) Vai lielākā no šiem skaitļiem attiecība pret mazāko no tiem varētu būt vienāda ar 13/7?

B) Vai lielākā no šiem skaitļiem attiecība pret mazāko no tiem varētu būt vienāda ar 8/7?

C) Kāda ir mazākā vērtība, ko var iegūt lielākā no šiem skaitļiem attiecība pret mazāko no tiem, ja zināms, ka šo skaitļu vidējais ir 25?

Šaha turnīrā piedalās zēni un meitenes. Par uzvaru šaha spēlē tiek piešķirts 1 punkts, par neizšķirtu - 0,5 punkti, par zaudējumu - 0 punkti. Saskaņā ar turnīra noteikumiem katrs dalībnieks savā starpā izspēlē divas reizes.

A) Kāds ir maksimālais punktu skaits, ko meitenes kopā varētu iegūt, ja turnīrā piedalās pieci puiši un trīs meitenes?

B) Kāda ir visu dalībnieku iegūto punktu summa, ja kopā ir deviņi dalībnieki?

C) Cik meitenes varētu piedalīties turnīrā, ja ir zināms, ka viņu ir 9 reizes mazāk nekā zēnu un ka zēni kopā ieguva tieši četras reizes vairāk punktu nekā meitenes?

Tiek dota aritmētiskā progresija (ar atšķirību, kas nav nulle), ko veido naturāli skaitļi, kuru decimāldaļās nav cipara 9.

A) Vai šādā progresijā var būt 10 termini?
b) Pierādiet, ka tā dalībnieku skaits ir mazāks par 100.
c) Pierādiet, ka jebkuras šādas progresijas terminu skaits ir ne vairāk kā 72.
d) Sniedziet piemēru šādai progresēšanai ar 72 dalībniekiem.

Sarkans zīmulis maksā 18 rubļus, zils 14 rubļus. Jums jāiegādājas zīmuļi, kuru cena ir tikai 499 rubļi un jāievēro papildu nosacījums: zilo zīmuļu skaits nedrīkst atšķirties no sarkano zīmuļu skaita par vairāk nekā sešiem.

a) Vai ir iespējams iegādāties 30 zīmuļus?

b) Vai ir iespējams iegādāties 33 zīmuļus?

c) Kāds ir lielākais zīmuļu skaits, ko varat iegādāties?

Ir zināms, ka a, b, c un d ir pa pāriem atšķirīgi divciparu skaitļi.
a) Vai vienādība (a+c)/(b+d)=7/19
b) Vai daļa (a+c)/(b+d) var būt 11 reizes mazāka par summu (a/c)+(b/d)
c) Kāda ir mazākā vērtība, ko var iegūt daļa (a + c) / (b + d), ja a> 3b un c> 6d

Ir zināms, ka a, b, c un d ir pa pāriem atšķirīgi divciparu skaitļi.

A) Vai vienādība (3a+2c)/(b+d) = 12/19

B) Vai daļa (3a+2c)/(b+d) var būt 11 reizes mazāka par summu 3a/b + 2c/d

J) Kāda ir mazākā iespējamā daļa (3a+2c)/(b+d), ja a>3b un c>2d?

Naturālie skaitļi a, b, c un d apmierina nosacījumu a>b>c>d.

A) Atrodiet skaitļus a, b, c un d, ja a+b+c+d=15 un a2−b2+c2−d2=19.

B) Vai var būt a+b+c+d=23 un a2−b2+c2−d2=23?

C) Lai a+b+c+d=1200 un a2−b2+c2−d2=1200. Atrodiet skaitļa a iespējamo vērtību skaitu.

Vienas skolas skolēni rakstīja kontroldarbu. Katra skolēna rezultāts ir vesels skaitlis, kas nav negatīvs punktu skaits. Par ieskaiti tiek uzskatīts, ka skolēns ir ieguvis vismaz 85 punktus. Sakarā ar to, ka uzdevumi izrādījās pārāk sarežģīti, tika nolemts visiem ieskaites dalībniekiem pievienot 7 punktus, kā rezultātā palielinājās pārbaudījumu nokārtojušo skaits.
a) Vai varētu būt, ka to dalībnieku vidējais punktu skaits, kuri neizturēja testu, pēc tam samazinājās?
b) Vai varētu būt, ka pēc tam pazeminājās vidējais punktu skaits tiem, kuri kārtoja testu, un pazeminājās arī to dalībnieku vidējais punktu skaits, kuri testu nekārtoja?
c) Zināms, ka sākotnēji testa dalībnieku vidējais punktu skaits bija 85, to dalībnieku vidējais vērtējums, kuri neizturēja testu, bija 70. Pēc punktu saskaitīšanas vidējais testu nokārtojušo dalībnieku vērtējums kļuva par 100, nevis nokārtots. tests - 72. Kāds ir mazākais dalībnieku skaits pārbaude vai šāda situācija ir iespējama?

Trīs skaitļus saucam par labu trīskāršu, ja tie var būt trijstūra malu garumi.
Sauksim trīs skaitļus par lielisku trīskāršu, ja tie var būt taisnleņķa trijstūra malu garumi.
a) Jums ir doti 8 dažādi naturālie skaitļi. Tas varētu būt. ka viņu vidū nav neviena laba trijotne?
b) Doti 4 dažādi naturālie skaitļi. Vai var izrādīties, ka starp tiem var atrast trīs lieliskus trīnīšus?
c) Doti 12 dažādi skaitļi (nav obligāti naturāli skaitļi). Kāds ir lielākais perfekto trīskāršu skaits, kas varētu būt starp tiem?

Vairākās identiskās mucās ir noteikts skaits litru ūdens (ne vienmēr tas pats). Vienā reizē jūs varat ieliet jebkuru ūdens daudzumu no vienas mucas uz otru.
a) Lai ir četras mucas, kurās ir 29, 32, 40, 91 litrs. Vai ir iespējams izlīdzināt ūdens daudzumu mucās ne vairāk kā četrās pārliešanas reizēs?
b) Ceļš ir septiņas mucas. Vai vienmēr ir iespējams vienādot ūdens daudzumu visās mucās ne vairāk kā piecās pārliešanas reizēs?
c) Kāds ir minimālais pārliešanas reižu skaits, lai izlīdzinātu ūdens daudzumu 26 mucās?

Uz tāfeles ir uzrakstīti 30 naturāli skaitļi (nav obligāti atšķirīgi), no kuriem katrs ir lielāks par 4, bet nepārsniedz 44. Uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais bija 11. Katra uz tāfeles esošā skaitļa vietā tie uzrakstīja skaitli uz pusi no oriģināla. No tāfeles tika izdzēsti skaitļi, kas pēc tam izrādījās mazāki par 3.
a) Vai varētu būt, ka uz tāfeles atstāto skaitļu vidējais aritmētiskais ir lielāks par 16?
b) Vai uz tāfeles atstāto skaitļu vidējais aritmētiskais varētu būt lielāks par 14, bet mazāks par 15?
c) Atrodi lielāko iespējamo uz tāfeles atstāto skaitļu aritmētiskā vidējā vērtība.

Vienā no grāmatvedības konkursa uzdevumiem noteiktas nodaļas darbiniekiem ir jāpiešķir prēmijas par kopējo summu 800 000 rubļu (katra darbinieka prēmijas lielums ir 1000 reizināts vesels skaitlis). Grāmatvedim tiek piešķirtas prēmijas, un viņam tās jāizsniedz bez izmaiņām vai maiņas, ņemot vērā 25 banknotes 1000 rubļu un 110 5000 rubļu banknotes.
a) Vai būs iespējams izpildīt uzdevumu, ja nodaļā ir 40 darbinieki un visiem jāsaņem vienādi?
b) Vai būs iespējams izpildīt uzdevumu, ja vadošajam speciālistam ir jāpiešķir 80 000 rubļu, bet pārējā daļa tiek sadalīta vienādās daļās starp 80 darbiniekiem?
c) Ar kādu maksimālo darbinieku skaitu nodaļā var izpildīt uzdevumu jebkurai prēmiju sadalei?

Uz tāfeles ir uzrakstīts skaitlis 2045 un vairāki (vismaz divi) naturālie skaitļi, kas nepārsniedz 5000. Visi uz tāfeles uzrakstītie skaitļi ir atšķirīgi. Jebkuru divu uzrakstīto skaitļu summa dalās ar vienu no pārējiem.
a) Vai uz tāfeles var uzrakstīt tieši 1024 skaitļus?
b) Vai uz tāfeles var uzrakstīt tieši piecus skaitļus?
c) Kāds ir mazākais skaitļu skaits, ko var uzrakstīt uz tāfeles?

Uz tāfeles tika uzrakstīti vairāki ne vienmēr atšķirīgi divciparu naturāli skaitļi bez nullēm decimāldaļā. Šo skaitļu summa izrādījās vienāda ar 2970. Katrā ciparā pirmais un otrais cipars tika apmainīti (piemēram, skaitlis 16 tika aizstāts ar 61)
a) Dodiet piemēru sākotnējiem skaitļiem, kuriem iegūto skaitļu summa ir tieši 3 reizes mazāka par sākotnējo skaitļu summu.
b) Vai iegūto skaitļu summa varētu būt tieši 5 reizes mazāka par sākotnējo skaitļu summu?
c) Atrodiet iegūto skaitļu summas mazāko iespējamo vērtību.

Pieaugošā ierobežotā aritmētiskā progresija sastāv no dažādiem nenegatīviem veseliem skaitļiem. Matemātiķis aprēķināja starpību starp visu progresijas locekļu summas kvadrātu un to kvadrātu summu. Tad matemātiķis šai progresijai pievienoja nākamo terminu un atkal aprēķināja to pašu starpību.
A) Sniedziet šādas progresēšanas piemēru, ja otro reizi starpība bija par 48 lielāka nekā pirmajā reizē.
B) Otrajā reizē starpība izrādījās par 1440 lielāka nekā pirmajā reizē. Vai progresija sākotnēji varēja sastāvēt no 12 terminiem?
C) Otrajā reizē starpība bija par 1440 lielāka nekā pirmajā reizē. Kāds ir lielākais dalībnieku skaits, kas sākumā varēja būt progresā?

Cipari no 9 līdz 18 ir ierakstīti vienreiz aplī noteiktā secībā. Katram no desmit blakus esošo skaitļu pāriem tika atrasts to lielākais kopīgais dalītājs.
a) Vai varētu būt, ka visas lielākās kopīgie dalītāji vienāds ar 1? a) Uz tāfeles uzrakstīta kopa -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Kādi skaitļi tika iecerēti?
b) Dažiem dažādiem izdomātiem skaitļiem uz tāfeles uzrakstītajā kopā skaitlis 0 notiek tieši 2 reizes.
Kāds ir mazākais skaitļu skaits, ko varētu iedomāties?
c) Dažiem iecerētiem skaitļiem uz tāfeles ir uzrakstīta kopa. Vai no šīs kopas vienmēr ir iespējams unikāli noteikt paredzētos skaitļus?

Ir iecerēti vairāki (ne obligāti atšķirīgi) naturālie skaitļi. Šie skaitļi un visas to iespējamās summas (pa 2, pa 3 utt.) tiek izrakstītas uz tāfeles nesamazināmā secībā. Ja kāds uz tāfeles uzrakstīts skaitlis n tiek atkārtots vairākas reizes, tad uz tāfeles tiek atstāts viens šāds skaitlis n, bet atlikušie skaitļi, kas vienādi ar n, tiek izdzēsti. Piemēram, ja ir iecerēti skaitļi 1, 3, 3, 4, tad uz tāfeles tiks ierakstīta kopa 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
a) Dodiet piemēru izdomātiem skaitļiem, kuriem uz tāfeles tiks uzrakstīta kopa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
b) Vai ir tādu izdomātu skaitļu piemērs, kuriem uz dēlis?
c) Norādiet visus iecerēto skaitļu piemērus, kuriem uz tāfeles tiks uzrakstīta kopa 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Ir akmens bloki: 50 gabali pa 800 kg, 60 gabali pa 1000 kg un 60 gabali pa 1500 kg (nevar sadalīt blokus).
a) Vai ir iespējams visus šos blokus aizvest vienlaikus uz 60 kravas automašīnām, katra ar kravnesību 5 tonnas, pieņemot, ka izvēlētie bloki ietilps kravas automašīnā?
b) Vai ir iespējams visus šos blokus izvest vienlaicīgi uz 38 kravas automašīnām ar katra kravnesību 5 tonnas, pieņemot, ka izvēlētie bloki ietilps kravas automašīnā?
c) Kāds ir mazākais kravas automašīnu skaits ar katras kravnesību 5 tonnas, kas būs nepieciešams, lai vienlaicīgi izņemtu visus šos blokus, pieņemot, ka izvēlētie bloki iekļaujas kravas automašīnā?

Doti n dažādi naturālie skaitļi, kas veido aritmētisko progresiju (n ir lielāks vai vienāds ar 3).

a) Vai visu doto skaitļu summa var būt vienāda ar 18?

B) Kāda ir n lielākā vērtība, ja visu doto skaitļu summa ir mazāka par 800?

C) Atrodiet visas iespējamās n vērtības, ja visu doto skaitļu summa ir 111?

A) Dodiet piemēru izdomātiem skaitļiem, kuriem uz tāfeles tiks uzrakstīta kopa 2, 4, 6, 8, 10.

Kartes tiek apgrieztas un sajauktas. Uz tīrajām pusēm viņi atkal ieraksta vienu no cipariem:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
Pēc tam katras kartītes skaitļi tiek summēti, un iegūtās astoņas summas tiek reizinātas.

a) Vai rezultāts var būt 0?

B) Vai rezultāts var būt 117?

C) Kāds var būt mazākais nenegatīvais veselais skaitlis?

Ir iedomāti vairāki veseli skaitļi. Šo skaitļu kopa un visas to iespējamās summas (pa 2, pa 3 utt.) tiek izrakstītas uz tāfeles nesamazināmā secībā. Piemēram, ja ir iecerēti skaitļi 2, 3, 5, tad uz tāfeles tiks uzrakstīts kopums 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

A) Uz tāfeles ir uzrakstīts kopums -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Kādi skaitļi tika iecerēti?
b) Dažiem dažādiem izdomātiem skaitļiem uz tāfeles uzrakstītajā kopā skaitlis 0 parādās tieši 4 reizes. Kāds ir mazākais skaitļu skaits, ko varētu iedomāties? a) Cik skaitļu ir uzrakstīts uz tāfeles?
b) Kādus skaitļus raksta vairāk: pozitīvus vai negatīvus?
c) Kāds ir lielākais pozitīvo skaitļu skaits starp tiem?