Kā atrast zonu, zinot kājas. Kā neparastā veidā atrast taisnleņķa trijstūra laukumu. Reālās dzīves piemēri

Ģeometrijas stundās vidusskola Mums visiem ir stāstīts par trīsstūri. Tomēr ietvaros skolas mācību programma mēs iegūstam tikai nepieciešamākās zināšanas un apgūstam izplatītākos un standarta skaitļošanas veidus. Vai ir neparasti veidi, kā atrast šo daudzumu?

Ievadā atcerēsimies, kurš trīsstūris tiek uzskatīts par taisnleņķa trīsstūri, kā arī apzīmēsim laukuma jēdzienu.

Taisnstūris ir slēgta ģeometriska figūra, kuras viens no leņķiem ir vienāds ar 90 0. Definīcijas neatņemamie jēdzieni ir kājas un hipotenūza. Kājas ir divas puses, kas savienojuma vietā veido taisnu leņķi. Hipotenūza atrodas pretējā pusē pareizā leņķī. Taisnmalu trīsstūris var būt vienādsānu (divas tā malas būs vienāda izmēra), bet nekad vienādmalu (visas malas ir vienāda garuma). Augstuma, mediānas, vektoru un citu matemātisko terminu definīcijas netiks detalizēti analizētas. Tos ir viegli atrast uzziņu grāmatās.

Taisnstūra trīsstūra laukums. Atšķirībā no taisnstūriem, noteikums par

pušu produkts definīcijā nav derīgs. Runājot sausā terminu valodā, tad trijstūra laukums tiek saprasts kā šīs figūras īpašība aizņemt plaknes daļu, kas izteikta ar skaitli. Diezgan grūti saprast, redziet. Mēs nemēģināsim dziļi iedziļināties definīcijā, mūsu mērķis nav šis. Pāriesim pie galvenā – kā atrast teritoriju taisnleņķa trīsstūris? Pašus aprēķinus neveiksim, norādīsim tikai formulas. Lai to izdarītu, definēsim apzīmējumu: A, B, C - trijstūra malas, kājas - AB, BC. Leņķis ACB ir taisns. S ir trīsstūra laukums, h n n ir trijstūra augstums, kur nn ir mala, uz kuras tas ir nolaists.

1. metode. Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu, ja ir zināms tā kāju izmērs

2. metode. Atrodiet vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukumu

3. metode. Laukuma aprēķināšana caur taisnstūri

Mēs pabeidzam taisnleņķa trīsstūri līdz kvadrātam (ja trijstūris

vienādsānu) vai taisnstūris. Mēs iegūstam vienkāršu četrstūri, kas sastāv no 2 identiskiem taisnleņķa trijstūriem. Šajā gadījumā viena no tām laukuma vērtība būs vienāda ar pusi no iegūtā skaitļa laukuma. Taisnstūra S aprēķina pēc malu reizinājuma. Šo vērtību apzīmējam ar M. Vēlamā laukuma vērtība būs vienāda ar pusi no M.

4. metode "Pitagora bikses". Slavenā Pitagora teorēma

Mēs visi atceramies viņas formulējumu: "kāju kvadrātu summa ...". Bet ne visi var

saki, un te dažas "bikses". Fakts ir tāds, ka sākotnēji Pitagors pētīja attiecības, kas balstītas uz taisnleņķa trīsstūra malām. Identificējis modeļus kvadrātu malu attiecībās, viņš varēja atvasināt mums visiem zināmo formulu. To var izmantot, ja vienas puses vērtība nav zināma.

5. metode. Kā atrast taisnleņķa trijstūra laukumu, izmantojot Herona formulu

Tas ir arī diezgan vienkāršs aprēķins. Formula ietver trīsstūra laukuma izteiksmi tā malu skaitlisko vērtību izteiksmē. Lai veiktu aprēķinus, jums jāzina trijstūra visu malu lielums.

S = (p-AC)*(p-BC), kur p = (AB+BC+AC)*0,5

Papildus iepriekšminētajam ir daudz citu veidu, kā atrast tik noslēpumainas figūras izmēru kā trīsstūris. Starp tiem: aprēķins ar ierakstīta vai ierobežota apļa metodi, aprēķins, izmantojot virsotņu koordinātas, vektoru, absolūto vērtību, sinusu, tangenšu izmantošana.

Elementārajā ģeometrijā taisnleņķa trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim punktos savienotiem segmentiem, no kuriem divi ir asi un viens ir taisns (tas ir, vienāds ar 90 °). Taisns trīsstūris ko raksturo virkne svarīgas īpašības, no kuriem daudzi veido trigonometrijas pamatu (piemēram, attiecības starp tās malām un leņķiem). Kopš skolas laikiem mēs visi zinām, kā rēķināt taisnleņķa trīsstūra laukums, un iekšā Ikdiena ar šo ģeometrisko figūru sastopamies diezgan bieži, dažreiz pat nemanot. Tas atrod diezgan plašu pielietojumu tehnoloģijā, un tāpēc šāds uzdevums, kas bieži vien ir jārisina inženieriem, dizaineriem un arhitektiem.

Arhitektiem šī vērtība ir jānosaka, projektējot ēkas ar frontoniem, kas ir fasāžu pabeigšana un kurām ir trīsstūra forma norobežo karnīze, bet sānos – jumta nogāzes. Bieži leņķis starp nogāzēm ir taisns, un šādos gadījumos frontonam ir taisnleņķa trīsstūra forma. Tā platība ir jānosaka tā vienkāršā iemesla dēļ, ka ir precīzi jāzina tā sakārtošanai nepieciešamais būvmateriāla daudzums. Jāņem vērā, ka frontoni ir neaizstājami mazstāvu ēku elementi (lauku mājas, kotedžas, vasarnīcas).

Taisnstūra trīsstūra laukuma atrašana

S

ab

a- kāja

b- kāja

S- taisnleņķa trīsstūra laukums

formā taisnleņķa trīsstūris ir daudz detaļu, no kurām tiek izgatavotas modernas mēbeles. Kā zināms, lai pēc iespējas racionālāk izmantotu telpas platību, tajā optimāli jāievieto visi situācijas elementi. Ir lietderīgi izmantot tādas zonas kā stūri, izmantojot trīsstūrveida galdus, kuru augšdaļas vairumā gadījumu ir taisnstūrveida trīsstūri ar kājām, kas atrodas blakus sienām. Izstrādājot un aprēķinot šos elementus, mēbeļu ražošanas dizaineri izmanto formulu, pēc kuras taisnleņķa trīsstūra laukuma atrašana pamatojoties uz tā sānu garumu. Turklāt viņiem bieži ir jāizstrādā tieši pie sienām piestiprinātu galdu dizains, kas ietver atbalsta elementus, kas arī ir taisnie trīsstūri.

Būvnieki, kas iesaistīti saskarsmē, bieži vien viņu profesionālā darbība jums ir jāizmanto keramikas flīzes, kurām ir taisnleņķa trīsstūra forma ar vienāda vai dažāda garuma kājām. Viņiem arī ir jānosaka šo elementu laukums, lai uzzinātu nepieciešamo to skaitu.

formā taisnleņķa trīsstūris Tam ir arī tik svarīgs un nepieciešams mērinstruments kā kvadrāts. Ar tās palīdzību tiek veidoti un kontrolēti taisnie leņķi, un to izmanto ļoti plaši un daudzi: no parastajiem skolēniem ģeometrijas stundās līdz ultramoderno tehnoloģiju dizaineriem.

Taisnstūris ir trīsstūris, kura viens no leņķiem ir 90°. Tās laukumu var atrast, ja ir zināmas divas kājas. Jūs, protams, varat iet garu ceļu – atrast hipotenūzu un aprēķināt laukumu no , taču vairumā gadījumu tas prasīs tikai papildu laiku. Tāpēc taisnleņķa trīsstūra laukuma formula izskatās šādi:

Taisnstūra trīsstūra laukums ir puse no kāju reizinājuma.

Taisnstūra trīsstūra laukuma aprēķināšanas piemērs.
Dots taisnleņķa trīsstūris ar kājām a= 8 cm, b= 6 cm.
Mēs aprēķinām platību:
Platība: 24 cm2

Arī taisnleņķa trijstūrī tiek piemērota Pitagora teorēma. - abu kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.
Formulu vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukumam aprēķina tāpat kā parastam taisnstūra trīsstūrim.

Piemērs vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukuma aprēķināšanai:
Dots trīsstūris ar kājām a= 4 cm, b\u003d 4 cm. Aprēķiniet laukumu:
Mēs aprēķinām laukumu: \u003d 8 cm 2

Formulu taisnleņķa trīsstūra laukumam attiecībā pret hipotenūzu var izmantot, ja stāvoklī ir norādīta viena kāja. No Pitagora teorēmas atrodam nezināmās kājas garumu. Piemēram, ņemot vērā hipotenūzu c un kāju a, kāja b būs vienāds ar:
Tālāk mēs aprēķinām laukumu, izmantojot parasto formulu. Piemērs taisnleņķa trijstūra laukuma formulas aprēķināšanai, izmantojot hipotenūzu, ir identisks iepriekš aprakstītajam.

Apsveriet interesants uzdevums, kas palīdzēs nostiprināt zināšanas par trijstūra risināšanas formulām.
Uzdevums: taisnleņķa trīsstūra laukums ir 180 kvadrātmetri. skatiet trijstūra mazākās kājas atrašanu, ja tā ir par 31 cm mazāka nekā otrā.
Risinājums: apzīmē kājas a un b. Tagad aizstāsim datus ar laukuma formulu: mēs arī zinām, ka viena kāja ir mazāka par otru a – b= 31 cm
No pirmā nosacījuma mēs to iegūstam
Mēs aizstājam šo nosacījumu ar otro vienādojumu:

Tā kā mēs atradām malas, noņemam mīnusa zīmi.
Izrādās, ka kāja a= 40 cm un b= 9 cm.

Īstenībā taisnleņķa trīsstūris ir atrodams gandrīz uz katra stūra. Zināšanas par šīs figūras īpašībām, kā arī spēja aprēķināt tās laukumu, neapšaubāmi, jums noderēs ne tikai ģeometrijas problēmu risināšanā, bet arī dzīves situācijās.

trīsstūra ģeometrija

Elementārajā ģeometrijā taisnleņķa trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim savienotiem segmentiem, kas veido trīs leņķus (divus akūtus un vienu taisnu). Taisnstūris ir oriģināla figūra, ko raksturo vairākas svarīgas īpašības, kas veido trigonometrijas pamatu. Atšķirībā no parasta trīsstūra taisnstūra figūras malām ir savi nosaukumi:

• Hipotenūza ir trijstūra garākā mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim.
• Kājas - segmenti, kas veido taisnu leņķi. Atkarībā no aplūkojamā leņķa kāja var būt tai blakus (veidojot šo leņķi ar hipotenūzu) vai pretī (atrodas pretī leņķim). Trijstūriem, kas nav taisnstūrveida, nav kāju.

Tā ir kāju un hipotenūzas attiecība, kas veido trigonometrijas pamatu: sinusus, pieskares un sekantus definē kā taisnleņķa trijstūra malu attiecību.

Taisns trīsstūris patiesībā

Šis skaitlis tiek plaši izmantots realitātē. Trīsstūri tiek izmantoti dizainā un tehnoloģijā, tāpēc figūras laukuma aprēķins jāveic inženieriem, arhitektiem un dizaineriem. Tetraedru jeb prizmu pamatnēm ir trijstūra forma - telpiskas figūras, kuras viegli satikt ikdienā. Turklāt kvadrāts ir vienkāršākais "plakana" taisnleņķa trīsstūra attēlojums realitātē. Kvadrāts ir atslēdznieku, zīmēšanas, celtniecības un galdniecības rīks, ar kuru stūrus veido gan skolēni, gan inženieri.

Trijstūra laukums

Kvadrāts ģeometriskā figūra ir kvantitatīvs aprēķins tam, cik lielu plaknes daļu ierobežo trīsstūra malas. Parasta trīsstūra laukumu var atrast piecos veidos, izmantojot Herona formulu vai aprēķinos ar tādiem mainīgajiem kā ierakstītā vai ierobežotā apļa pamatne, mala, leņķis un rādiuss. Vienkāršākā laukuma formula ir izteikta šādi:

kur a ir trijstūra mala, h ir tā augstums.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukuma aprēķināšanai ir vēl vienkāršāka:

kur a un b ir kājas.

Strādājot ar mūsu tiešsaistes kalkulatoru, varat aprēķināt trīsstūra laukumu, izmantojot trīs parametru pārus:

• divas kājas;
• kāja un blakus esošais leņķis;
• kāju un pretējo leņķi.

Uzdevumos vai ikdienas situācijās jums tiks dotas dažādas mainīgo kombinācijas, tāpēc šī kalkulatora forma ļauj aprēķināt trīsstūra laukumu vairākos veidos. Apskatīsim pāris piemērus.

Reālās dzīves piemēri

Keramikas flīze

Pieņemsim, ka vēlaties izklāt virtuves sienas ar keramikas flīzēm, kurām ir taisnleņķa trīsstūra forma. Lai noteiktu flīžu patēriņu, jānoskaidro viena apšuvuma elementa laukums un kopējais laukums apstrādāta virsma. Ļaujiet jums apstrādāt 7 kvadrātmetri. Katra elementa kāju garums ir 19 cm, tad flīzes laukums būs vienāds ar:

Tas nozīmē, ka viena elementa laukums ir 24,5 kvadrātcentimetri jeb 0,01805 kvadrātmetri. Zinot šos parametrus, varat aprēķināt, ka 7 kvadrātmetru sienas apdarei būs nepieciešamas 7 / 0,01805 = 387 apdares flīzes.

skolas uzdevums

Pieņemsim, ka skolas ģeometrijas uzdevumā ir jāatrod taisnleņķa trīsstūra laukums, zinot tikai to, ka vienas kājas mala ir 5 cm, bet pretējā leņķa vērtība ir 30 grādi. Mūsu tiešsaistes kalkulatoram ir pievienota ilustrācija, kas parāda taisnleņķa trīsstūra malas un leņķus. Ja mala a = 5 cm, tad tās pretējais leņķis ir leņķis alfa, vienāds ar 30 grādiem. Ievadiet šos datus kalkulatora formā un iegūstiet rezultātu:

Tādējādi kalkulators ne tikai aprēķina noteiktā trīsstūra laukumu, bet arī nosaka blakus esošās kājas un hipotenūzas garumu, kā arī otrā leņķa vērtību.

Secinājums

Taisnstūra trīsstūri mūsu dzīvē ir atrodami burtiski uz katra stūra. Šādu figūru laukuma noteikšana jums noderēs ne tikai, risinot skolas uzdevumus ģeometrijā, bet arī ikdienas un profesionālajā darbībā.