Attēlā av ir diametrs. Aplis. Tipiski uzdevumi. Perpendikulāru līniju konstrukcija

Tiek izsaukts teikums, kas izskaidro konkrēta izteiciena vai vārda nozīmi definīcija. Mēs jau esam tikušies ar definīcijām, piemēram, ar leņķa definīciju, blakus esošajiem leņķiem, vienādsānu trīsstūris un tā tālāk Dosim definīciju citai ģeometriskai figūrai - aplim.

Definīcija

Šo punktu sauc apļa centrs, un segments, kas savieno centru ar jebkuru apļa punktu, ir apļa rādiuss(77. att.). No apļa definīcijas izriet, ka visiem rādiusiem ir vienāds garums.

Rīsi. 77

Līnijas segmentu, kas savieno divus riņķa punktus, sauc par tā hordu. Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc par akordu diametrs.

78. attēlā segmenti AB un EF ir apļa hordas, segments CD ir apļa diametrs. Acīmredzot apļa diametrs ir divreiz lielāks par tā rādiusu. Apļa centrs ir jebkura diametra viduspunkts.

Rīsi. 78

Jebkuri divi punkti uz riņķa sadala to divās daļās. Katru no šīm daļām sauc par apļa loku. 79. attēlā ALB un AMB ir loki, ko ierobežo punkti A un B.

Rīsi. 79

Lai zīmējumā attēlotu apli, izmantojiet kompass(80. att.).

Rīsi. 80

Lai uzzīmētu apli uz zemes, var izmantot virvi (81. att.).

Rīsi. 81

Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc par apli (82. att.).

Rīsi. 82

Konstrukcijas ar kompasu un lineālu

Mēs jau esam tikuši galā ar ģeometriskās konstrukcijas: zīmējiet taisnas līnijas, atlieciet segmentus, kas vienādi ar datiem, zīmējiet leņķus, trīsstūrus un citas figūras. Tajā pašā laikā mēs izmantojām mēroga lineālu, kompasu, transportieri, zīmēšanas kvadrātu.

Izrādās, ka daudzas konstrukcijas var veikt, izmantojot tikai kompasu un taisngriezi bez mēroga dalījumiem. Tāpēc ģeometrijā īpaši tiek izdalīti tie būvniecības uzdevumi, kas tiek risināti, izmantojot tikai šos divus rīkus.

Ko ar tiem var darīt? Ir skaidrs, ka lineāls ļauj novilkt patvaļīgu līniju, kā arī konstruēt taisni, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Izmantojot kompasu, varat uzzīmēt apli ar patvaļīgu rādiusu, kā arī apli ar centru noteiktā punktā un rādiusu, kas vienāds ar noteiktu segmentu. Veicot šīs vienkāršās darbības, mēs varam atrisināt daudz interesanti uzdevumiēkai:

izveidot leņķi, kas vienāds ar doto;
caur doto punktu novelk taisni, kas ir perpendikulāra dotajai taisnei;
sadaliet šo segmentu uz pusēm un veiciet citus uzdevumus.

Sāksim ar vienkāršu uzdevumu.

Uzdevums

Uz dotā stara no tā sākuma novietojiet malā segmentu, kas vienāds ar doto.

Risinājums

Attēlosim uzdevuma nosacījumā dotos skaitļus: staru OS un segmentu AB (83. att., a). Pēc tam ar kompasu konstruējam apli ar rādiusu AB ar centru O (83. att., b). Šis aplis krustos staru OS kādā punktā D. Nepieciešamais ir segments OD.

Rīsi. 83

Būvniecības uzdevumu piemēri

Leņķa konstruēšana, kas vienāda ar doto leņķi

Uzdevums

No dotā stara novietojiet leņķi, kas vienāds ar doto staru.

Risinājums

Šis leņķis ar virsotni A un staru OM parādīts 84. attēlā. Jākonstruē leņķis, kas vienāds ar leņķi A, lai viena no tā malām sakristu ar staru OM.

Rīsi. 84

Uzzīmēsim patvaļīga rādiusa apli, kura centrs atrodas dotā leņķa virsotnē A. Šis aplis krusto stūra malas punktos B un C (85. att., a). Tad uzzīmējam tāda paša rādiusa apli ar centru dotā stara OM sākumā. Tas šķērso staru punktā D (85. att., b). Pēc tam mēs izveidojam apli ar centru D, kura rādiuss ir vienāds ar BC. Apļi ar centriem O un D krustojas divos punktos. Apzīmēsim vienu no šiem punktiem ar burtu E. Pierādīsim, ka leņķis MOE ir nepieciešamais.

Rīsi. 85

Apsveriet trīsstūrus ABC un ODE. Nogriežņi AB un AC ir riņķa rādiusi ar centru A, bet segmenti OD un OE ir riņķa rādiusi ar centru O (sk. 85. att., b). Tā kā pēc konstrukcijas šiem apļiem ir vienādi rādiusi, tad AB = OD, AC = OE. Arī pēc konstrukcijas BC = DE.

Tāpēc Δ ABC = Δ ODE no trim pusēm. Tāpēc ∠DOE = ∠BAC, t.i., konstruētais leņķis MOE ir vienāds ar doto leņķi A.

Tādu pašu konstrukciju var veikt uz zemes, ja kompasa vietā izmantojam virvi.

Leņķa bisektrise konstruēšana

Uzdevums

Konstruējiet dotā leņķa bisektrisi.

Risinājums

Šis leņķis BAC parādīts 86. attēlā. Uzzīmēsim patvaļīga rādiusa apli ar centru virsotnē A. Tas krustos leņķa malas punktos B un C.

Rīsi. 86

Pēc tam uzzīmējam divus apļus ar tādu pašu rādiusu BC ar centriem punktos B un C (attēlā parādītas tikai šo apļu daļas). Tie krustojas divos punktos, no kuriem vismaz viens atrodas stūra iekšpusē. Mēs to apzīmējam ar burtu E. Pierādīsim, ka stars AE ir dotā leņķa BAC bisektrise.

Apsveriet trīsstūrus ACE un ABE. Tie ir vienādi no trim pusēm. Patiešām, AE ir kopējā puse; AC un AB ir vienādi ar viena apļa rādiusiem; CE = BE pēc konstrukcijas.

No trijstūra ACE un ABE vienādības izriet, ka ∠CAE = ∠BAE, t.i., stars AE ir dotā leņķa BAC bisektrise.

komentēt

Vai ir iespējams sadalīt doto leņķi divās daļās, izmantojot kompasu un taisngriezi? vienādi leņķi? Ir skaidrs, ka tas ir iespējams - šim nolūkam ir jāuzzīmē šī leņķa bisektrise.

Šo leņķi var arī sadalīt četros vienādos leņķos. Lai to izdarītu, jums tas ir jāsadala uz pusēm un pēc tam atkal sadaliet katru pusi uz pusēm.

Vai ir iespējams sadalīt doto leņķi trīs vienādos leņķos, izmantojot kompasu un taisngriezi? Šis uzdevums, saukts leņķa trisekcijas problēmas, daudzus gadsimtus ir piesaistījis matemātiķu uzmanību. Tikai 19. gadsimtā tika pierādīts, ka patvaļīgam leņķim šāda konstrukcija nav iespējama.

Perpendikulāru līniju konstrukcija

Uzdevums

Dota līnija un punkts uz tās. Izveidojiet taisni, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra noteiktai taisnei.

Risinājums

Šī līnija a un dots punktsŠai līnijai piederošais M ir parādīts 87. attēlā.

Rīsi. 87

Uz taisnās līnijas a stariem, kas izplūst no punkta M, mēs noliekam vienādus segmentus MA un MB. Pēc tam izveidojam divus apļus ar centriem A un B ar rādiusu AB. Tie krustojas divos punktos: P un Q.

Novelkam līniju caur punktu M un vienu no šiem punktiem, piemēram, taisni MP (skat. 87. att.), un pierādīsim, ka šī taisne ir vēlamā, tas ir, ka tā ir perpendikulāra dotajai taisnei a. .

Patiešām, tā kā vienādsānu trijstūra PAB mediāna PM ir arī augstums virs jūras līmeņa, tad PM ⊥ a.

Segmenta vidusdaļas izbūve

Uzdevums

Izveidojiet šī segmenta viduspunktu.

Risinājums

Dotais segments ir AB. Konstruējam divus apļus ar centriem A un B ar rādiusu AB. Tie krustojas punktos P un Q. Novelciet taisni PQ. Šīs taisnes krustpunkta punkts ar nogriezni AB ir vēlamais nogriežņa AB viduspunkts.

Patiešām, trijstūri APQ un BPQ ir vienādi trīs malās, tātad ∠1 = ∠2 (89. att.).

Rīsi. 89

Līdz ar to segments RO ir vienādsānu trijstūra ARV bisektrise un līdz ar to mediāna, tas ir, punkts O ir segmenta AB viduspunkts.

Uzdevumi

143. Kuri no 90. attēlā redzamajiem posmiem ir: a) riņķa hordas; b) apļa diametri; c) riņķa rādiusi?

Rīsi. 90

144. Segmenti AB un CD ir apļa diametri. Pierādīt, ka: a) akordi BD un AC ir vienādi; b) akordi AD un BC ir vienādi; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Segments MK ir apļa diametrs ar centru O, un MR un RK ir šī riņķa vienādas hordas. Atrodiet ∠POM.

146. Nogriežņi AB un CD ir apļa diametri ar centru O. Atrodi trijstūra AOD perimetru, ja zināms, ka CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Punkti A un B ir atzīmēti uz riņķa līnijas ar centru O tā, lai leņķis AOB būtu taisns. Segments BC ir apļa diametrs. Pierādīt, ka akordi AB un AC ir vienādi.

148. Uz taisnes ir doti divi punkti A un B. Sijas BA turpinājumā nogriež nogriezni BC tā, lai BC \u003d 2AB.

149. Dota taisne a, uz tās neguļošs punkts B un nogrieznis PQ. Izveidojiet punktu M uz taisnes a tā, lai BM = PQ. Vai problēmai vienmēr ir risinājums?

150. Dots aplis, uz tā neguļošs punkts A un nogrieznis PQ. Izveidojiet punktu M uz apļa tā, lai AM = PQ. Vai problēmai vienmēr ir risinājums?

151. Dots akūts leņķis BAC un stars XY. Konstruējiet leņķi YXZ tā, lai ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Ir dots strupais leņķis AOB. Konstruējiet staru OX tā, lai leņķi XOA un XOB būtu vienādi strupi leņķi.

153. Dota taisne a un punkts M, kas neatrodas uz tās. Izveidojiet taisni, kas iet caur punktu M un ir perpendikulāra taisnei a.

Risinājums

Konstruēsim apli ar centru dotajā punktā M, krustojot doto taisni a divos punktos, ko apzīmējam ar burtiem A un B (91. att.). Pēc tam konstruējam divus apļus ar centriem A un B, kas iet caur punktu M. Šie apļi krustojas punktā M un vēl vienā punktā, ko apzīmējam ar burtu N. Nozīmēsim līniju MN un pierādīsim, ka šī taisne ir vēlamā. viens, t.i., tas ir perpendikulārs taisnei a.

Rīsi. 91

Patiešām, trijstūriem AMN un BMN ir vienādas trīs malas, tāpēc ∠1 = ∠2. No tā izriet, ka segments MC (C ir taisnes a un MN krustošanās punkts) ir vienādsānu trīsstūra AMB bisektrise un līdz ar to arī augstums. Tādējādi MN ⊥ AB, t.i., MN ⊥ a.

154. Trijstūris ABC ir dots. Konstruēt: a) bisektrise AK; b) VM mediāna; c) trijstūra augstums CH. 155. Izmantojot kompasu un lineālu, izveidojiet leņķi, kas vienāds ar: a) 45°; b) 22°30".

Atbildes uz uzdevumiem

152. Instrukcija. Vispirms konstruējiet leņķa AOB bisektrisi.

"Datorzīmēšana" - Datorgrafika. Lūka. šeit ir mākslinieka ierocis. Uzdevumi: Krustvārdu mīklas “Dzirnavas” rezultāts. Gravēšana. Galvenais izteiksmes līdzekļi zīmējums- līnija. Mācījies Maskavas glezniecības skolā, pēc tam Stroganova skolā. Zīmulis. Ilustrācija grāmatai. Integrētā nodarbība: tēlotājmāksla + informātika.

"Zīmējumu saglabāšana" — kuru komandu izvēlēties? Visi jūsu faili tiek piedāvāti glabāšanai īpašā mapē "Mani dokumenti". Pārvietošana ar peli, kopēšana (CTRL), dzēšana (DELETE). Praktiskais darbs "Attēla saglabāšana cietajā diskā." Informācijas glabāšanai datorā tiek izmantota ilgtermiņa atmiņa – cietais disks.

"Attēlu rediģēšana" - 1. Atlasiet patvaļīga apgabala vajadzīgo apgabala atlasi 2. Kopējiet. Apļa, kvadrāta, taisnas līnijas zīmēšana. Attēls notīrīt Izvēlieties apgabalu, ko dzēst Dzēst. Aplis Kvadrāts Taisna līnija. Kopēt. Iestatiet zīmēšanas opcijas. Zīmējuma izveide un rediģēšana. Zīmējuma veidošana.

"3D zīmējumi uz asfalta" - Filips Kozlovs - pirmais krievu madonārs. Kā jauns vīrietis Kurts Venners strādāja par NASA ilustratoru, kur veidoja sākotnējos nākotnes attēlus kosmosa kuģi. 3D zīmējumi uz asfalta. Kurts Venners ir viens no slavenākajiem ielu māksliniekiem, kurš zīmē 3D zīmējumus uz asfalta, izmantojot parastos krītiņus.

"Ray line line segments" - punkts O - stara sākums. Punkti C un D ir segmenta SD gali. S. punkts. Taisna līnija, segments, stars. Punkts, segments. Taisni. Skaitļi - punktu koordinātas: Beam PM. Koordināts. Nosauciet attēlā redzamos segmentus, līnijas un starus. Segment OE — viens segments, OE=1. Sija FR.

"Apkārtmērs" - diametrs. Atrodiet šī diska apkārtmēru. Atrodiet ciparnīcas laukumu. Apkārtmērs. Kāds ir mēness diametrs. Skaitli "pi" sauc par Arhimēda skaitli. Atrodiet riteņa diametru. Atrodiet arēnas diametru un laukumu. Atrodiet lokomotīves riteņa diametru. Maskava. Lielais sengrieķu matemātiķis Arhimēds.

Šī video apmācība tika izveidota īpaši pašmācība tēma "Apkārtmērs". Skolēni varēs apgūt stingru apļa ģeometrisko definīciju. Skolotājs detalizēti analizēs vairāku tipisku apļa konstruēšanas problēmu risinājumu.

Aplis- tas ir ģeometriskā figūra, kas sastāv no punktu kopas, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta.

1. attēlā parādīts aplis.

Rīsi. 1. Aplis

Dotā apļa saīsināts apzīmējums ir Okr (O, r), kas skan: "Aplis, kura centrs ir punktā O un rādiuss r." Tiek saukts punkts, no kura visi pārējie punkti atrodas vienādā attālumā centrs aprindās. Tiek saukts līnijas segments, kas savieno centru un punktu uz apļa rādiuss. Ja savienojat divus punktus uz apļa, varat uzzīmēt līnijas segmentu, ko sauc akords. Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc diametrs.

Tādējādi ir šādi apzīmējumi:

Par - apļa centrs;

OM = r - apļa rādiuss;

OM = ON = r - apļa rādiusi;

MN - akords;

AM - diametrs;

AM = 2r - saistība starp rādiusu un diametru.

Jebkuri divi punkti sagriež apli divos lokos, piemēram: loki NLM un NAM dotajiem punktiem N un M.

1. piemērs: 2. attēlā parādīts aplis. Nosakiet centru, rādiusu, akordus, diametru un iespējamos lokus.

Risinājums:

Rīsi. 2. Zīmējums, piemēram, 1

Definēsim šī apļa galvenos elementus:

Par - apļa centrs;

OE = OD = OA = OC - apļa rādiusi;

EF, BA - akordi;

DC - diametrs.

Pagaidām atcerēsimies apļa definīciju. Aplis ir plaknes daļa, ko ierobežo aplis. Ir pilnīgi skaidrs, ka atšķirība starp apli un apli ir šāda: aplis ir līnija, un aplis ir plaknes daļa, kuru šī līnija ierobežo. Piemēram, 3. attēlā ir parādīts aplis.

Rīsi. 3. Aplis

2. piemērs: attēlā parādīts aplis ar diametru AB un CD. Pierādīt, ka akordi AC un BD ir vienādi. Pierādīt, ka akordi BC un AD ir vienādi. Pierādīt, ka leņķi BAD un BCD ir vienādi.

Rīsi. 4. Zīmējums, piemēram, 2

Risinājums:

Vispirms noskaidrosim, ka CO \u003d OD \u003d OB \u003d OA, jo norādītie segmenti ir viena un tā paša apļa rādiusi. Mēs pierādīsim šos apgalvojumus ar trīsstūru ķēdēm. Piemēram, saskaņā ar pirmo pazīmi, jo OB = OA kā rādiusi, CO = OD līdzīgi, kā vertikāli. No trīsstūru vienādības izriet, ka AC \u003d BD.

Tālāk mēs pierādīsim, ka tas ir līdzīgs pirmajā kritērijā. OD = OA, CO = OB kā rādiusi un kā vertikāli. No trīsstūru vienādības izriet, ka AD = BC.

Tālāk mēs to pierādīsim trešajā zīmē. BD ir trijstūra kopējā mala, AD = CB saskaņā ar pierādīto apgalvojumu 2. punktā, AB = CD kā apļa diametri. No trīsstūru vienādības izriet, ka .

Q.E.D.

3. piemērs: segments MK ir apļa diametrs, un PM un RK ir vienādas hordas. Atrodiet leņķa ROM.

Rīsi. 5. Zīmējums, piemēram, 3

Risinājums:

Pēc definīcijas vienādsānu, jo RK = RM. Tā kā OK - OM ir apļu rādiusi, tad RO ir mediāna, kas novilkta uz pamatni. Pēc vienādsānu trīsstūra īpašību mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir attiecīgi augstums.

1. Atsauces portāls calc.ru ().

1. Nr.99. Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Prasolova V.V. Ģeometrija 7 / V.F. Butuzovs, S.B. Kadomcevs, V.V. Prasolova, red. Sadovnichy V.A. - M.: Izglītība, 2010.
2. No šī apļa punkta tiek novilktas divas hordas, kas vienādas ar rādiusu. Atrodiet leņķi starp tiem.
3. Pierādīt, ka jebkurš stars, kas izplūst no apļa centra, krusto apli vienā punktā.
4. Pierādīt, ka apļa diametrs, kas iet caur hordas viduspunktu, ir tai perpendikulārs.