3,86 /5 (77,14%) balsoja 7

Konusa attīstība. Konusa attīstības konstrukcija.

Konusa attīstības aprēķins.

Ņemsim konusa vertikālo un horizontālo projekciju (1. att., a). Konusa vertikālā projekcija izskatīsies kā trīsstūris, kura pamatne ir vienāda ar apļa diametru, bet malas ir vienādas ar konusa ģenerātoru. Konusa horizontālā projekcija tiks attēlota kā aplis. Ja ir norādīts konusa H augstums, tad ģenerātora garumu nosaka pēc formulas:

i., kā taisnleņķa trijstūra hipotenūzu.

Aptiniet kartonu ap konusa virsmu. Atkal izvēršot kartonu vienā plaknē (1. att., b), iegūstam sektoru, kura rādiuss ir vienāds ar konusa ģenerātora garumu, bet loka garums ir vienāds ar pamatnes apkārtmēru. no konusa. Pilna konusa sānu virsmas attīstība tiek veikta šādi.

Rīsi. 1. Konusa attīstība:

a - projekcija; b - slaucīt.

Konusa leņķis.

Par rādiusu ņemot konusa ģenerātoru (1. att., b), uz metāla tiek uzvilkts loks, uz kura tad tiek uzlikts loka segments. KM , vienāds ar konusa pamatnes apkārtmēru 2 π r. loka garums collas 2 π r atbilst leņķim α , kuras vērtību nosaka pēc formulas:

r ir konusa pamatnes apkārtmēra rādiuss;

l ir konusa ģenerātora garums.

Slaucīšanas konstrukcija ir samazināta līdz šādam. Iepriekš uzzīmētā loka garumā netiek nogulsnēta daļa no loka KM , kas praktiski nav iespējams, un horda, kas savieno šī loka galus un atbilst leņķim α . Akorda vērtība noteiktam leņķim ir uzziņu grāmatā vai ir piestiprināta zīmējumam.

Atrasti punkti KM savienots ar apļa centru. Konstrukcijas rezultātā iegūtais apļveida sektors būs konusa atlocītā sānu virsma.

Daudzskaldņu virsmas attīstība lasītājam ir zināma no vidusskola. Tāpēc pie šī jautājuma pakavējamies īsi, tikai saistībā ar iepriekš zināmās informācijas atkārtošanu.

Izstrādājot daudzskaldņu virsmu, ir domāta plakana figūra, ko veido šīs virsmas sejas, kas apvienotas ar vienu plakni.

Ir trīs veidi, kā izveidot daudzskaldņu virsmu attīstību:

1) parastā griezuma metode;

* Ģeometrisko transformāciju, kas saglabā leņķus, sauc par konformālu, tāpēc izstrādņu konstrukcija ir konformāla transformācija, bet virsma un tās attīstība ir konformāla.

** Ģeodēzija ir līnija, kas pieder virsmai un savieno divus punktus, kas arī pieder virsmai, pa īsāko ceļu.

2) velmēšanas metode;

3) trijstūra metodi (trīsstūri).

Pirmie divi tiek izmantoti prizmatisku virsmu slaucīšanai, trešais - piramīdveida virsmām. Apskatīsim katru no šīm metodēm.

1. Parastās sadaļas metode.

PIEMĒRS. Izveidojiet slīpas trīsstūrveida prizmas ABCDEF skenēšanu (292. att.).

RISINĀJUMS. Krustosim prizmu ABCDEF ar plakni γ, kas ir perpendikulāra prizmas sānu malām. Uzbūvēsim dotas prizmas griezumu pa šo plakni - Δ123. Noteiksim malu garumus Δ123. Zīmējuma brīvajā vietā ievelkam taisni a (292. att. taisne a novilkta horizontāli). No patvaļīga punkta 1 0, kas ņemts uz šīs taisnes, mēs atdalām nogriežņus , [ 2 0 3 0 ], , kas sakrīt ar malām Δ123. Caur punktiem 1 0 , 2 0 , 3 0 , 1 0 novelciet taisnas līnijas,

perpendikulāri taisnei a, un uz tiem no punktiem 1 0 , 2 0 , 3 0 , 10 0 uzliek atzarus, kas sakrīt ar atbilstošajiem sānu malu garumiem (, [ ID], , [ 2E], ...). Iegūtie punkti A 0 B 0 C 0 A 0 un D 0 E 0 F 0 D 0 ir savienoti ar taisnēm. * Plakanā figūra A 0 B 0 C 0 A 0 D 0 F 0 E 0 D 0 ir prizmas sānu virsmas attīstība.

Lai iegūtu pilnīgu prizmas slaucīšanu, ir nepieciešams piestiprināt prizmas pamatnes sānu virsmas slaucīšanai - ΔА 0 В 0 С 0 un ΔD 0 E 0 F 0, iepriekš nosakot to neizkropļotos izmērus.

* Attēlā. 292 malas AD BE un CF ir paralēlas π 1 plaknei, tāpēc tās tiek projicētas uz šo plakni bez kropļojumiem. Ja prizmas malas ieņem patvaļīgu pozīciju, tad, pirms turpināt skenēšanas uzbūvi, izmantojiet transformācijas metodes, lai tās pārvietotu uz pozīciju, kas ir paralēla jebkurai projekcijas plaknei.

2. Ritināšanas metode.

Šo metodi ir lietderīgi izmantot prizmas virsmas veidojuma konstruēšanai gadījumā, ja prizmas pamatne ir paralēla jebkurai projekcijas plaknei, bet tās malas ir paralēlas citai projekcijas plaknei.

PIEMĒRS. Konstruējiet slīpas trīsstūrveida prizmas ABCDEF sānu virsmas izstrādi (293. att.).

RISINĀJUMS. Par attīstības plakni pieņemsim plakni γ, kas iet caur AD malu un ir paralēla frontālās projekcijas plaknei. Saskaņosim seju ADEB ar plakni γ. Lai to izdarītu, garīgi sagriež sānu virsma prizmu gar malu AD un pēc tam pagrieziet ADEB virsmu ap AD malu (A"D").

Lai atrastu malas pozīciju B 0 E 0, kas ir saskaņota ar plakni γ no punkta B, "uzzīmējam staru, kas ir perpendikulārs A"D" un uzzīmējam uz tā loku ar rādiusu |A"B"|, kas novilkts no centra A" , punkts B 0. Caur B 0 novelkam taisnu līniju B 0 E 0 paralēli (A "D").

Mēs ņemam malas B 0 E 0 kombinēto pozīciju kā jaunu rotācijas asi un pagriežam ap to seju BEFC, līdz tā sakrīt ar γ plakni. Lai to izdarītu, no punkta C "uzvelkam staru kūli, kas ir perpendikulāra kombinētajai malai B 0 E 0, un no punkta B 0 - apļa loku ar rādiusu, kas vienāds ar | B "C" |; loka krustpunkts ar staru noteiks punkta pozīciju C 0. Caur C 0 novelkam C 0 F 0 paralēli B 0 E 0. Līdzīgi atrodam malas pozīciju A 0 D 0. Savienojot punktus A "B 0 C 0 A 0 un D" E 0 F 0 D 0 ar taisnēm, iegūstam figūru A "B 0 C 0 A 0 D 0 F 0 E 0 D "- prizmas sānu virsmas attīstība. Lai iegūtu pilnīgu prizmas attīstīšanai pietiek ar pamatnes A 0 trijstūri piestiprināt pie jebkuras lauztās līnijas saites A" B 0 C 0 A 0 un D "E 0 F 0 D 0 B 0 C 0 un D 0 E 0 F 0 .

3. Trijstūru metode (trīsstūrēšana).

PIEMĒRS. Izveidojiet piramīdas SABC sānu virsmas attīstību (294. att.).

Piramīdas sānu virsmas attīstība ir plakana figūra, kas sastāv no trijstūriem - piramīdas skaldnēm.

Uz att. 294 piramīdas malu garumu noteikšanu veic, pagriežot tās ap asi i ∋ S un i ⊥ π 1 . Pagriežot piramīdas malas tiek izlīdzinātas ar plakni γ plakni γ || π 2 un γ ⊃ i . Pēc malu garumu noteikšanas |S "A 2 |, |S" B 2 |, |S "C 2 |, mēs pārejam pie post-

spieto. Lai to izdarītu, novelciet taisnu līniju a caur patvaļīgu punktu S 0. Novietojiet to malā no punkta S 0 ≅. No punkta A 0 mēs zīmējam loku ar rādiusu r 1 \u003d | A "B" |, un no punkta S 0 - loku ar rādiusu R 1 \u003d | S "B 2 |. Krustojums

loki norādīs virsotnes pozīciju B 0 ΔS 0 A 0 B 0 (ΔS 0 A 0 B 0 ≅ ΔSAB - piramīdas skaldnes). Līdzīgi ir punkti С 0 un A 0 . Savienojot punktus A 0 B 0 C 0 A 0, iegūstam piramīdas SABC sānu virsmas attīstību.

Mēs zinām, kas ir konuss, mēģināsim atrast tā virsmas laukumu. Kāpēc ir nepieciešams risināt šādu problēmu? Piemēram, jums ir jāsaprot, cik daudz mīklas iztērēs, lai izveidotu vafeļu konusu? Vai arī cik ķieģeļu būtu nepieciešams, lai uzliktu pils ķieģeļu jumtu?

Nav viegli izmērīt konusa sānu virsmas laukumu. Bet iedomājieties to pašu ragu, kas ietīts audumā. Lai atrastu auduma gabala laukumu, tas ir jāsagriež un jāizklāj uz galda. Mēs iegūstam plakanu figūru, mēs varam atrast tās laukumu.

Rīsi. 1. Konusa griezums gar ģenerātoru

Darīsim to pašu ar konusu. “Nogriezīsim” tā sānu virsmu pa jebkuru ģenerātoru, piemēram, (skat. 1. att.).

Tagad mēs “atritinām” sānu virsmu uz plaknes. Mēs iegūstam sektoru. Šī sektora centrs ir konusa augšdaļa, sektora rādiuss ir vienāds ar konusa ģenerātoru, un tā loka garums sakrīt ar konusa pamatnes apkārtmēru. Šādu sektoru sauc par konusa sānu virsmas attīstību (skat. 2. att.).

Rīsi. 2. Sānu virsmas attīstība

Rīsi. 3. Leņķa mērīšana radiānos

Mēģināsim atrast sektora platību pēc pieejamajiem datiem. Vispirms ieviesīsim apzīmējumu: ļaujiet sektora augšdaļas leņķim būt radiānos (skat. 3. att.).

Mēs bieži saskarsimies ar leņķi, kas atrodas uzdevumu slaucīšanas augšdaļā. Pa to laiku mēģināsim atbildēt uz jautājumu: vai šis leņķis nevar izrādīties lielāks par 360 grādiem? Tas ir, vai neizrādīsies, ka slaucīšana pati uzliksies virsū? Protams, nē. Pierādīsim to matemātiski. Lai slaucīšana "pārklājas" pati. Tas nozīmē, ka slaucīšanas loka garums ir lielāks par rādiusa apkārtmēru. Bet, kā jau minēts, slaucīšanas loka garums ir rādiusa apkārtmērs. Un konusa pamatnes rādiuss, protams, ir mazāks par ģenerātoru, piemēram, jo ​​taisnleņķa trijstūra kāja ir mazāka par hipotenūzu

Tad atcerēsimies divas formulas no planimetrijas kursa: loka garums. Nozares apgabals: .

Mūsu gadījumā lomu spēlē generatrix , un loka garums ir vienāds ar konusa pamatnes apkārtmēru, tas ir. Mums ir:

Visbeidzot mēs iegūstam:

Kopā ar sānu virsmas laukumu var atrast arī kopējo virsmas laukumu. Lai to izdarītu, pievienojiet pamatnes laukumu sānu virsmas laukumam. Bet bāze ir rādiusa aplis, kura laukums saskaņā ar formulu ir .

Beidzot mums ir: , kur ir cilindra pamatnes rādiuss, ir ģenerators.

Atrisināsim pāris uzdevumus uz dotajām formulām.

Rīsi. 4. Vēlamais leņķis

1. piemērs. Konusa sānu virsmas attīstība ir sektors ar leņķi virsotnē. Atrodiet šo leņķi, ja konusa augstums ir 4 cm un pamatnes rādiuss ir 3 cm (skat. 4. att.).

Rīsi. 5. Taisns trīsstūris veidojot konusu

Ar pirmo darbību, saskaņā ar Pitagora teorēmu, mēs atrodam ģenerātoru: 5 cm (sk. 5. att.). Turklāt mēs to zinām .

2. piemērs. Konusa aksiālās sekcijas laukums ir , augstums ir . Atrodiet kopējo virsmas laukumu (skat. 6. att.).

Īsceļš http://bibt.ru

Nocirsta cilindra un konusa izstrāde.

Lai izveidotu nošķelta cilindra skenējumu, nošķelto cilindru ievelk divās projekcijās (skatā no priekšpuses un skatā no augšas), pēc tam apli sadala vienādās daļās, piemēram, 12 (243. att.). Pirmās projekcijas labajā pusē novelciet taisnu līniju AB, kas vienāda ar iztaisnoto apkārtmēru, un sadaliet to ar to pašu skaitli vienādās daļās, ti, ar 12. No dalīšanas punktiem 1, 2, 3 utt. uz taisnes AB tiek atjaunoti perpendikuli, un no punktiem 1, 2, 3 utt., kas atrodas uz riņķa līnijas, tiek novilktas paralēlas taisnes. uz aksiālo, līdz tie krustojas ar slīpu griezuma līniju.

Rīsi. 243. Nocirsta cilindra plakana raksta konstrukcija

Tagad uz katra perpendikula ar kompasu uz augšu no līnijas AB tiek uzlikti segmenti, kuru augstums ir vienāds ar segmentiem, kas norādīti priekšējā skata projekcijā ar atbilstošo punktu numuriem. Skaidrības labad divi šādi segmenti ir atzīmēti ar cirtainiem iekavām. Iegūtos punktus uz perpendikuliem savieno gluda līkne.

Konusa sānu virsmas veidojuma konstrukcija ir parādīta att. 244, a. Atbilstoši dotajiem diametra un augstuma izmēriem tiek uzzīmēta reālā izmēra konusa sānu projekcija. Ar kompasu mēra konusa ģenerātora garumu, kas apzīmēts ar burtu R. Ar kompasu tiek novilkts loks ar fiksētu rādiusu ap centru O, kas ir patvaļīgi novilktas taisnes OA galējais punkts.

No punkta A pa loka noliek (ar kompasu mazos segmentos) nesalocītā apļa garumu, kas vienāds ar πD. Iegūtais galējais punkts B ir savienots ar loka centru O. Figūra AOB būs konusa sānu virsmas attīstība.

Nošķeltā konusa sānu virsmas attīstība ir veidota, kā parādīts attēlā. 244b. Atbilstoši nošķelta konusa augšējās un apakšējās pamatnes augstumam un diametram tiek uzzīmēts nošķeltā konusa profils dabiskajā izmērā. Konusa ģeneratori turpinās, līdz tie krustojas punktā O. Šis punkts ir centrs, no tā tiek novilkti loki, kas vienādi ar nošķeltā konusa pamatnes un virsotnes apkārtmēriem. Lai to izdarītu, sadaliet konusa pamatni septiņās daļās. Katra šāda daļa, ti, 1/7 no diametra D, tiek uzklāta pa lielu loku 22 reizes un tiek novilkta taisna līnija no iegūtā punkta B līdz loka centram O. Pēc punkta O savienošanas ar punktiem A un B , tiek iegūta nošķelta konusa sānu virsmas skenēšana.

Cilindrs (taisns apļveida cilindrs)ķermeni sauc par ķermeni, kas sastāv no diviem apļiem (cilindru pamatnēm), kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno attiecīgos šo apļu punktus paralēlās translācijas laikā. Segmentus, kas savieno atbilstošos pamatu apļu punktus, sauc par cilindra ģeneratoriem.

Šeit ir cita definīcija:

Cilindrs- ķermenis, kuru ierobežo cilindriska virsma ar slēgtu vadotni un divām paralēlām plaknēm, kas krusto šīs virsmas ģeneratorus.

Cilindriska virsma- virsma, ko veido taisnas līnijas kustība pa noteiktu līkni. Taisno līniju sauc par cilindriskās virsmas ģenerātoru, bet izliekto līniju sauc par cilindriskās virsmas vadotni.

Cilindra sānu virsma- cilindriskas virsmas daļa, ko ierobežo paralēlas plaknes.

Cilindru pamatnes- paralēlu plakņu daļas, kas nogrieztas ar cilindra sānu virsmu.

1. att. mini

Cilindrs tiek saukts tiešā veidā(cm. 1. att) ja tā ģeneratori ir perpendikulāri pamatu plaknēm. Pretējā gadījumā tiek saukts cilindrs slīps.

apļveida cilindrs- cilindrs, kura pamatnes ir apļi.

Labais apļveida cilindrs (tikai cilindrs) ir ķermenis, ko iegūst, pagriežot taisnstūri ap vienu no tā malām. Cm. 1. att.

Cilindra rādiuss ir tā pamatnes rādiuss.

Cilindra ģenerators- cilindriskas virsmas ģenerārijs.

cilindra augstums sauc par attālumu starp pamatu plaknēm. Cilindra ass sauc par taisnu līniju, kas iet caur pamatu centriem. Tiek saukts cilindra šķērsgriezums plaknē, kas iet caur cilindra asi aksiālā sekcija.

Cilindra ass ir paralēla tā ģeneratoram un ir cilindra simetrijas ass.

Lidmašīna, kas iet caur ģenerātoru taisns cilindrs un tiek saukts perpendikulāri aksiālajai sekcijai, kas novilkta caur šo ģenerātoru cilindra pieskares plakne. Cm. 2. att.

Cilindra sānu virsmas rīvēšana- taisnstūris, kura malas ir vienādas ar cilindra augstumu un pamatnes apkārtmēru.

Cilindra sānu virsmas laukums- sānu virsmas attīstības laukums. $$S_(side)=2\pi\cdot rh$$ , kur h ir cilindra augstums un r ir pamatnes rādiuss.

Pilns cilindra virsmas laukums- laukums, kas ir vienāds ar cilindra divu pamatu un tā sānu virsmas laukumu summu, t.i. tiek izteikts ar formulu: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , kur h ir cilindra augstums un r ir pamatnes rādiuss.

Jebkura cilindra tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu: $$V = S\cdot h$$ Apaļa cilindra tilpums: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , kur ( r ir pamatnes rādiuss).

Prizma ir īpaša cilindra forma (ģeneratori ir paralēli sānu malām; vadotne ir daudzstūris, kas atrodas pie pamatnes). No otras puses, patvaļīgu cilindru var uzskatīt par deģenerētu ("izlīdzinātu") prizmu ar ļoti lielu skaitu ļoti šauru skaldņu. Praktiski cilindrs nav atšķirams no šādas prizmas. Cilindrā tiek saglabātas visas prizmas īpašības.