Storia dell'analisi matematica dello sviluppo. Analisi matematica. definizione - Analisi_matematica

Il XIX secolo segna l'inizio di un nuovo, quarto periodo nella storia della matematica: il periodo della matematica moderna.

Sappiamo già che una delle direzioni principali nello sviluppo della matematica nel quarto periodo è il rafforzamento del rigore delle dimostrazioni in tutta la matematica, in particolare la ristrutturazione dell'analisi matematica su base logica. Nella seconda metà del XVIII secolo. numerosi sono stati i tentativi di ricostruire l'analisi matematica: l'introduzione della definizione di limite (D'Alembert et al.), la definizione di derivata come limite di un rapporto (Eulero et al.), i risultati di Lagrange e Carnot , ecc., ma questi lavori erano privi di sistema e talvolta fallivano. Tuttavia, prepararono il terreno per la perestrojka nel XIX secolo. potrebbe essere implementato. Nel 19 ° secolo Questa direzione di sviluppo dell'analisi matematica divenne la principale. Fu ripreso da O. Cauchy, B. Bolzano, K. Weierstrass ed altri.

1. Augustin Louis Cauchy (1789−1857) si laureò all'Ecole Polytechnique e all'Istituto delle comunicazioni di Parigi. Dal 1816, membro dell'Accademia di Parigi e professore all'Ecole Polytechnique. Nel 1830-1838 Durante gli anni della repubblica fu in esilio a causa delle sue convinzioni monarchiche. Dal 1848 Cauchy divenne professore alla Sorbona - Università di Parigi. Ha pubblicato più di 800 articoli su analisi matematica, equazioni differenziali, teoria delle funzioni di una variabile complessa, algebra, teoria dei numeri, geometria, meccanica, ottica, ecc. Le sue aree principali erano interessi scientifici erano l'analisi matematica e la teoria delle funzioni di una variabile complessa.

Cauchy pubblicò le sue lezioni sull'analisi, tenute all'Ecole Polytechnique, in tre opere: “Course of Analysis” (1821), “Summary of Lectures on Infinitesimal Calculus” (1823), “Lecture on Applications of Analysis to Geometry”, 2 volumi (1826, 1828). In questi libri, per la prima volta, l'analisi matematica è costruita sulla base della teoria dei limiti. segnarono l'inizio di una radicale ristrutturazione dell'analisi matematica.

Cauchy dà la seguente definizione del limite di una variabile: “Se i valori successivamente assegnati alla stessa variabile si avvicinano indefinitamente ad un valore fisso, in modo che alla fine differiscono da esso il meno possibile, allora quest’ultimo è chiamato limite limite di tutti gli altri”. L'essenza della questione è espressa bene qui, ma le stesse parole "tanto quanto desiderato" necessitano di definizione e inoltre qui viene formulata la definizione del limite di una variabile, e non del limite di una funzione. Successivamente l'autore dimostra varie proprietà dei limiti.

Allora Cauchy dà la seguente definizione della continuità di una funzione: una funzione si dice continua (in un punto) se un incremento infinitesimo nell'argomento genera un incremento infinitesimo nella funzione, cioè, nel linguaggio moderno

Poi ha varie proprietà delle funzioni continue.

Il primo libro esamina anche la teoria delle serie: dà la definizione di somma di una serie di numeri come limite della sua somma parziale, introduce una serie di criteri sufficienti per la convergenza delle serie di numeri, nonché di serie di potenze e di regione della loro convergenza – tutto questo sia nel dominio reale che in quello complesso.

Presenta il calcolo differenziale e integrale nel suo secondo libro.

Cauchy definisce la derivata di una funzione come il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'incremento dell'argomento tende a zero, e il differenziale come limite del rapporto Da ciò consegue che. Successivamente vengono discusse le solite formule derivate; in questo caso l'autore utilizza spesso il teorema del valore medio di Lagrange.

Nel calcolo integrale, Cauchy propone innanzitutto l'integrale definito come concetto base. Lo introduce per la prima volta anche come limite delle somme intere. Qui dimostriamo un importante teorema sull'integrabilità di una funzione continua. Il suo integrale indefinito è definito come una funzione dell'argomento che. Inoltre, qui vengono considerati gli sviluppi delle funzioni nelle serie di Taylor e Maclaurin.

Nella seconda metà del XIX secolo. alcuni scienziati: B. Riemann, G. Darboux e altri trovarono nuove condizioni per l'integrabilità di una funzione e modificarono persino la definizione stessa di integrale definito in modo che potesse essere applicato all'integrazione di alcune funzioni discontinue.

Nella teoria delle equazioni differenziali, Cauchy si occupò principalmente di dimostrazioni di teoremi di esistenza di fondamentale importanza: l'esistenza di una soluzione di un'equazione differenziale ordinaria, prima del primo e poi del th ordine; Esistenza di una soluzione per un sistema lineare di equazioni alle derivate parziali.

Nella teoria delle funzioni di variabile complessa Cauchy è il fondatore; Molti dei suoi articoli sono dedicati ad esso. Nel XVIII secolo Eulero e d'Alembert posero solo l'inizio di questa teoria. Nel corso universitario sulla teoria delle funzioni di variabile complessa incontriamo costantemente il nome di Cauchy: le condizioni di Cauchy - Riemann per l'esistenza di una derivata, l'integrale di Cauchy, la formula integrale di Cauchy, ecc.; anche molti teoremi sui residui di una funzione sono dovuti a Cauchy. Anche B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent ed altri ottennero risultati molto importanti in questo ambito.

Torniamo ai concetti base dell'analisi matematica. Nella seconda metà del secolo divenne chiaro che lo scienziato ceco Bernard Bolzano (1781 - 1848) aveva fatto molto nel campo dell'analisi fondativa prima di Cauchy e Weierschtrass. Prima di Cauchy, egli diede le definizioni di limite, continuità di una funzione e convergenza di una serie di numeri, dimostrò un criterio per la convergenza di una sequenza di numeri e anche, molto prima che apparisse in Weierstrass, il teorema: se un numero è insieme è limitato sopra (sotto), allora ha un bordo superiore esatto ( bordo inferiore esatto. Considerò una serie di proprietà delle funzioni continue; Ricordiamo che nel corso universitario di Analisi matematica sono presenti i teoremi di Bolzano–Cauchy e Bolzano–Weierstrass sulle funzioni continue su un intervallo. Bolzano investigò anche alcuni problemi di analisi matematica, ad esempio costruì il primo esempio di una funzione che è continua su un segmento, ma non ha una derivata in nessun punto del segmento. Durante la sua vita Bolzano riuscì a pubblicare solo cinque piccole opere, quindi i suoi risultati divennero noti troppo tardi.

2. Nell'analisi matematica si avvertiva sempre più chiaramente la mancanza di una definizione chiara di funzione. Un contributo significativo alla risoluzione della controversia su cosa si intende per funzione è stato dato dallo scienziato francese Jean Fourier. Ha studiato la teoria matematica della conducibilità termica nei solidi e, in relazione a ciò, ha utilizzato le serie trigonometriche (serie di Fourier)

queste serie in seguito divennero ampiamente utilizzate nella fisica matematica, una scienza che si occupa di metodi matematici per lo studio delle equazioni differenziali parziali incontrate in fisica. Fourier dimostrò che qualsiasi curva continua, indipendentemente dalle parti dissimili di cui è composta, può essere definita da un'unica espressione analitica - una serie trigonometrica, e che ciò può essere fatto anche per alcune curve con discontinuità. Lo studio di Fourier su tali serie ha sollevato ancora una volta la questione di cosa si intenda per funzione. Si può considerare una curva del genere per definire una funzione? (Si tratta di un rinnovamento del vecchio dibattito del XVIII secolo sulla relazione tra funzione e formula a un nuovo livello.)

Nel 1837, il matematico tedesco P. Direchle diede per primo una definizione moderna di funzione: “è una funzione di una variabile (su un intervallo se ciascun valore (su questo intervallo) corrisponde a un valore completamente specifico, e non importa quanto questa corrispondenza è stabilita - da una formula analitica, da un grafico, da una tabella o anche solo da parole." Degna di nota è l'aggiunta: "non importa come viene stabilita questa corrispondenza". La definizione di Direchle ha ricevuto un riconoscimento generale abbastanza rapidamente. Tuttavia, è ormai consuetudine chiamare la corrispondenza stessa una funzione.

3. Il moderno standard di rigore nell'analisi matematica apparve per la prima volta nelle opere di Weierstrass (1815-1897), che lavorò a lungo come insegnante di matematica nelle palestre e nel 1856 divenne professore all'Università di Berlino. Gli ascoltatori delle sue lezioni le pubblicarono gradualmente sotto forma di libri separati, grazie ai quali il contenuto delle lezioni di Weierstrass divenne noto in Europa. Fu Weierstrass che cominciò a usare sistematicamente il linguaggio nell'analisi matematica: diede una definizione del limite di una successione, una definizione del limite di una funzione nel linguaggio (che spesso viene erroneamente chiamata definizione di Cauchy), dimostrò rigorosamente teoremi sui limiti e il cosiddetto teorema di Weierstrass sul limite di una successione monotona: una successione crescente (decrescente), limitata dall'alto (dal basso), ha un limite finito. Iniziò a utilizzare i concetti dei limiti esatti superiori e inferiori esatti di un insieme numerico, il concetto di punto limite di un insieme, dimostrò il teorema (che ha un altro autore - Bolzano): un insieme numerico limitato ha un punto limite, ed esaminato alcune proprietà delle funzioni continue. Weierstrass ha dedicato molti lavori alla teoria delle funzioni di una variabile complessa, confermandola con l'aiuto delle serie di potenze. Studiò inoltre il calcolo delle variazioni, la geometria differenziale e l'algebra lineare.

4. Soffermiamoci sulla teoria degli insiemi infiniti. Il suo creatore fu il matematico tedesco Cantor. Georg Kantor (1845-1918) lavorò per molti anni come professore all'Università di Halle. Pubblicò lavori sulla teoria degli insiemi a partire dal 1870. Dimostrò l'innumerevolezza dell'insieme dei numeri reali, stabilendo così l'esistenza degli insiemi infiniti non equivalenti, introdotti concetto generale Potenze di un insieme, scoprì i principi del confronto delle potenze. Cantor ha costruito una teoria dei numeri transfiniti, “impropri”, attribuendo il numero transfinito più basso e più piccolo alla potenza di un insieme numerabile (in particolare, l'insieme numeri naturali), cardinalità dell'insieme dei numeri reali – un numero transfinito più alto, più grande, ecc.; questo gli diede l'opportunità di costruire un'aritmetica dei numeri transfiniti, simile all'aritmetica ordinaria dei numeri naturali. Cantor applicò sistematicamente l’infinito attuale, ad esempio la possibilità di “esaurire” completamente la serie naturale dei numeri, già prima di lui nella matematica del XIX secolo. è stato utilizzato solo il potenziale infinito.

La teoria degli insiemi di Cantor suscitò obiezioni da parte di molti matematici quando apparve, ma il riconoscimento arrivò gradualmente quando divenne chiara la sua enorme importanza per la giustificazione della topologia e la teoria delle funzioni di una variabile reale. Ma nella teoria stessa rimanevano lacune logiche; in particolare, furono scoperti i paradossi della teoria degli insiemi. Ecco uno dei paradossi più famosi. Indichiamo con insieme tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Vale anche l'inclusione e non è un elemento poiché, per condizione, solo tali insiemi sono inclusi come elementi che non sono elementi di se stessi; se la condizione vale, l'inclusione è una contraddizione in entrambi i casi.

Questi paradossi erano associati all'incoerenza interna di alcuni insiemi. È diventato chiaro che non tutti gli insiemi possono essere utilizzati in matematica. L'esistenza dei paradossi è stata superata dalla creazione già all'inizio del XX secolo. teoria assiomatica degli insiemi (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann, ecc.), che, in particolare, rispondeva alla domanda: quali insiemi possono essere utilizzati in matematica? Si scopre che è possibile utilizzare l'insieme vuoto, l'unione di insiemi dati, l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme, ecc.

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L'analisi matematica è un insieme di rami della matematica dedicati allo studio delle funzioni e delle loro generalizzazioni mediante metodi di calcolo differenziale e integrale.

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Metodo di esaurimento

Un metodo antico per studiare l'area o il volume delle figure curve.

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Il metodo era il seguente: per trovare l'area (o volume) di una certa figura, una sequenza monotona di altre figure è stata inserita in questa figura e si è dimostrato che le loro aree (volumi) si avvicinano indefinitamente all'area (volume) della figura desiderata figura.

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Nel 1696 L'Hopital scrisse il primo libro di testo, esponendo un nuovo metodo applicato alla teoria delle curve piane. Lo chiamò Analisi degli Infinitesimi, dando così uno dei nomi alla nuova branca della matematica. Nell'introduzione, L'Hopital delinea la storia dell'emergere della nuova analisi, soffermandosi sulle opere di Cartesio, Huygens, Leibniz, ed esprime la sua gratitudine anche a quest'ultimo e ai fratelli Bernoulli.

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Il termine “funzione” compare per la prima volta solo nel 1692 in Leibniz, ma fu Eulero a portarlo alla ribalta. L'interpretazione originale del concetto di funzione era che una funzione è un'espressione per contare o un'espressione analitica.

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“Teoria delle funzioni analitiche” (“Th.orie des fonctions analytiques”, 1797). Nella Teoria delle funzioni analitiche, Lagrange espone la sua famosa formula di interpolazione, che ispirò Cauchy a sviluppare una base rigorosa per l'analisi.

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L'importante lemma di Fermat può essere trovato nei libri di testo di calcolo. Ha anche formulato la legge generale della differenziazione dei poteri frazionari.

Pierre de Fermat (17 agosto 1601 - 12 gennaio 1665) è stato un matematico francese, uno dei creatori della geometria analitica, dell'analisi matematica, della teoria della probabilità e della teoria dei numeri. Fermat, utilizzando regole quasi moderne, trovò le tangenti alle curve algebriche.

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Rene Descartes (31 marzo 1596 - 11 febbraio 1650) - matematico, filosofo, fisico e fisiologo francese, creatore della geometria analitica e del simbolismo algebrico moderno. Nel 1637 fu pubblicata la principale opera matematica di Cartesio, Il Discorso sul metodo, che presentava la geometria analitica e nelle sue appendici numerosi risultati di algebra, geometria, ottica e molto altro. Particolarmente degno di nota è il simbolismo matematico di Vieta che rielaborò: introdusse i segni ormai generalmente accettati per le variabili e le quantità richieste (x, y, z, ...) e per i coefficienti delle lettere. (a, b, c, ...)

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François Viête (1540 -1603) - matematico francese, fondatore dell'algebra simbolica. Per istruzione e professione principale: avvocato. Nel 1591 introdusse la notazione alfabetica non solo per le quantità sconosciute, ma anche per i coefficienti delle equazioni e fu responsabile della definizione di un metodo uniforme per la risoluzione delle equazioni di 2°, 3° e 4° grado. Tra le scoperte, lo stesso Viète apprezzò particolarmente l'istituzione del rapporto tra le radici e i coefficienti delle equazioni.

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GalileoGalilei (15 febbraio 1564, Pisa - 8 gennaio 1642) - fisico, meccanico, astronomo, filosofo e matematico italiano, che ebbe un'influenza significativa sulla scienza del suo tempo Formulò il “paradosso di Galileo”: ci sono tanti numeri naturali poiché ci sono i loro quadrati, sebbene la maggior parte dei numeri non siano quadrati. Ciò ha spinto a ulteriori ricerche sulla natura degli insiemi infiniti e sulla loro classificazione; Il processo si è concluso con la creazione della teoria degli insiemi.

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"Nuova stereometria delle botti di vino"

Quando Keplero acquistò del vino, rimase stupito dal modo in cui il commerciante determinava la capacità della botte. Il venditore ha preso lo stickus per divisioni e con il suo aiuto ha determinato la distanza dal foro di riempimento al punto più lontano botti. Fatto ciò, disse subito quanti litri di vino c'erano in questa botte. COSÌ innanzitutto lo scienziato ha attirato l'attenzione sulla classe di problemi, il cui studio ha portato alla creazione del calcolo integrale.

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Così, ad esempio, per trovare la formula del volume di un toro, Keplero lo divise con sezioni meridionali in un numero infinito di cerchi, il cui spessore all'esterno era leggermente maggiore che all'interno. Il volume di un tale cerchio è uguale al volume di un cilindro con una base, uguale alla sezione toro e un'altezza pari allo spessore del cerchio nella sua parte centrale. Da qui si è subito scoperto che il volume del toro è uguale al volume di un cilindro, la cui area di base è uguale all'area della sezione trasversale del toro e l'altezza è uguale alla lunghezza del cerchio, che è descritto dal punto F - il centro della sezione trasversale del toro.

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Metodo indivisibile

La giustificazione teorica del nuovo metodo di determinazione delle aree e dei volumi fu proposta nel 1635 da Cavalieri. Egli avanzò la seguente tesi: le figure stanno tra loro come tutte le loro linee, prese secondo qualsiasi regolare [base delle parallele], e i corpi - come tutti i loro piani, presi secondo qualsiasi regolare.

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Ad esempio, calcoliamo l'area di un cerchio. Formula per la circonferenza: considerata nota. Dividiamo il cerchio (a sinistra in Fig. 1) in anelli infinitesimi. Consideriamo anche un triangolo (a destra in Fig. 1) con base lunga L e altezza R, anch'esso diviso in sezioni parallele alla base. Ad ogni anello di raggio R e lunghezza può essere associata una delle sezioni di un triangolo della stessa lunghezza. Allora, secondo il principio di Cavalieri, le loro aree sono uguali. E l'area di un triangolo è facile da trovare: .

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Ha lavorato alla presentazione:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mikhail Cherednichenko Alina

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Durante il periodo antico apparvero alcune idee che in seguito portarono al calcolo integrale, ma a quell'epoca queste idee non furono sviluppate in modo rigoroso e sistematico. Calcoli di volumi e aree, uno degli scopi del calcolo integrale, si trovano nel papiro matematico di Mosca proveniente dall'Egitto (1820 a.C. circa), ma le formule sono più simili a istruzioni, senza alcuna indicazione del metodo, e alcune sono semplicemente errato. Nell'epoca della matematica greca, Eudosso (408-355 a.C. circa) utilizzò per calcolare aree e volumi il metodo dell'esaurimento, che anticipa il concetto di limite, idea poi sviluppata ulteriormente da Archimede (287-212 a.C. circa) , inventando euristiche che assomigliano a metodi di calcolo integrale. Il metodo di esaurimento fu successivamente inventato in Cina da Liu Hui nel III secolo d.C., che utilizzò per calcolare l'area di un cerchio. Nel V d.C. Zu Chongzhi sviluppò un metodo per calcolare il volume di una sfera, che in seguito sarebbe stato chiamato principio di Cavalieri.

Medioevo

Nel XIV secolo, il matematico indiano Madhava Sangamagrama e la Scuola di Astronomia e Matematica del Kerala introdussero molte componenti del calcolo infinitesimale, come le serie di Taylor, l'approssimazione delle serie infinite, il test integrale di convergenza, prime forme differenziazione, integrazione termine per termine, metodi iterativi per risolvere equazioni non lineari e determinare che l'area sotto una curva è il suo integrale. Alcuni considerano Yuktibhāṣā la prima opera di analisi matematica.

Era moderna

In Europa l'opera fondamentale fu il trattato di Bonaventura Cavalieri, in cui sostenne che volumi e aree possono essere calcolati come la somma dei volumi e delle aree di una sezione infinitamente sottile. Le idee erano simili a quelle delineate da Archimede nel suo Metodo, ma questo trattato di Archimede andò perduto fino alla prima metà del XX secolo. Il lavoro di Cavalieri non fu riconosciuto perché i suoi metodi potevano portare a risultati errati e diede agli infinitesimi una dubbia reputazione.

In questo periodo si svolgeva in Europa la ricerca formale sul calcolo infinitesimale, che Cavalieri combinò con il calcolo alle differenze finite. Pierre Fermat, sostenendo di averlo preso in prestito da Diofanto, introdusse il concetto di "quasi-uguaglianza" (inglese: adequality), che era l'uguaglianza fino a un errore infinitesimale. Anche John Wallis, Isaac Barrow e James Gregory hanno dato un contributo importante. Gli ultimi due, intorno al 1675, dimostrarono il secondo teorema fondamentale del calcolo infinitesimale.

Motivi

In matematica, i fondamenti si riferiscono a una definizione rigorosa di una materia, a partire da assiomi e definizioni precise. Nella fase iniziale dello sviluppo del calcolo infinitesimale, l'uso delle quantità infinitesimali era considerato lassista e fu severamente criticato da numerosi autori, in particolare Michel Rolle e Bishop Berkeley. Berkeley descrisse in modo eccellente gli infinitesimi come "fantasmi di quantità morte" nel suo libro The Analyst nel 1734. Lo sviluppo di una base rigorosa per il calcolo infinitesimale ha impegnato i matematici per più di un secolo dopo Newton e Leibniz, ed è ancora in una certa misura un'area di ricerca attiva oggi.

Diversi matematici, tra cui Maclaurin, tentarono di dimostrare la validità dell’uso degli infinitesimi, ma ciò fu fatto solo 150 anni dopo con il lavoro di Cauchy e Weierstrass, che trovarono finalmente il modo di eludere le semplici “piccole cose” degli infinitesimi, e gli inizi furono fatti calcolo differenziale e integrale. Negli scritti di Cauchy troviamo una gamma universale di approcci fondamentali, inclusa la definizione di continuità in termini di infinitesimi e il prototipo (alquanto impreciso) della definizione (ε, δ) di limite nella definizione di differenziazione. Nella sua opera Weierstrass formalizza il concetto di limite ed elimina le quantità infinitesimali. Dopo quest'opera di Weierstrass, la base generale del calcolo diventarono i limiti, e non le quantità infinitesimali. Bernhard Riemann utilizzò queste idee per dare una definizione precisa dell'integrale. Inoltre, durante questo periodo, le idee del calcolo infinitesimale furono generalizzate allo spazio euclideo e al piano complesso.

Nella matematica moderna, le basi del calcolo infinitesimale sono incluse nel ramo dell'analisi reale, che contiene definizioni e dimostrazioni complete dei teoremi del calcolo infinitesimale. L’ambito della ricerca sul calcolo infinitesimale è diventato molto più ampio. Henri Lebesgue sviluppò la teoria delle misure insiemistiche e la usò per determinare gli integrali di tutte le funzioni tranne quelle più esotiche. Laurent Schwartz ha introdotto le funzioni generalizzate, che possono essere utilizzate per calcolare le derivate di qualsiasi funzione in generale.

L'introduzione dei limiti determinò non l'unico approccio rigoroso alle basi del calcolo. Un'alternativa potrebbe essere, ad esempio, l'analisi non standard di Abraham Robinson. L'approccio di Robinson, sviluppato negli anni '60, utilizza strumenti tecnici della logica matematica per estendere il sistema dei numeri reali ai numeri infinitesimi e infinitamente grandi, come nel concetto originale di Newton-Leibniz. Questi numeri, chiamati iperreali, possono essere utilizzati nelle regole ordinarie del calcolo infinitesimale, proprio come fece Leibniz.

Importanza

Sebbene alcune idee di calcolo fossero state precedentemente sviluppate in Egitto, Grecia, Cina, India, Iraq, Persia e Giappone, uso moderno Il calcolo infinitesimale iniziò in Europa nel XVII secolo, quando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz si basarono sul lavoro di matematici precedenti per svilupparne i principi di base. Lo sviluppo del calcolo infinitesimale si basava su concetti precedenti di movimento istantaneo e area sotto una curva.

Il calcolo differenziale viene utilizzato nei calcoli relativi a velocità e accelerazione, pendenza della curva e ottimizzazione. Le applicazioni del calcolo integrale includono calcoli che coinvolgono aree, volumi, lunghezze d'arco, centri di massa, lavoro e pressione. Applicazioni più complesse includono i calcoli delle serie di potenze e delle serie di Fourier.

Calcolo [ ] viene utilizzato anche per acquisire una comprensione più accurata della natura dello spazio, del tempo e del movimento. Per secoli, matematici e filosofi hanno lottato con i paradossi associati alla divisione per zero o alla somma di una serie infinita di numeri. Queste domande sorgono quando si studia il movimento e si calcolano le aree. L'antico filosofo greco Zenone di Elea fornì diversi famosi esempi di tali paradossi. Il calcolo fornisce strumenti per risolvere questi paradossi, in particolare i limiti e le serie infinite.

Limiti e infinitesimi

Appunti

1. Morris Kline, Il pensiero matematico dall'antichità all'età moderna, vol. IO
2. Archimede, Metodo, In Le Opere di Archimede ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Ventaglio, Dainian; Cohen, figlio Robertne. Un confronto tra gli studi sui cerchi di Archimde" e Liu Hui (inglese): diario. - Springer, 1966. - Vol. 130. - Pag. 279. - ISBN 0-792-33463-9., Capitolo, pag. 279
4. Zill, Dennis G. Calcolo: i primi trascendentali / Dennis G. Zill, Scott Wright, Warren S. Wright. - 3. - Jones & Bartlett Learning, 2009. - P. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3.,Estratto di pagina 27
5. Matematica indiana
6. von Neumann, J., "Il matematico", in Heywood, R. B., ed., Le opere della mente, University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Ristampato in Bródy, F., Vámos, T., a cura di, Il Compendio Neumann, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, pp. 618-626.
7. André Weil: Teoria dei numeri. Un approccio attraverso la storia. Da Hammurapi a Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, pag. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. I primi manoscritti matematici di Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Pagina 228. Copia
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (non definito) . Agnes Scott College (aprile 1995). Archiviata dall'originale il 5 settembre 2012.

Collegamenti

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• McQuarrie, Donald A. (2003). Metodi matematici per scienziati e ingegneri, Libri di scienze universitarie.

L'obiettivo generale del corso è quello di rivelare agli studenti che completano l'educazione matematica generale alcuni aspetti storici della matematica e di mostrare, in una certa misura, la natura della creatività matematica. Viene esaminato in forma concisa il panorama generale dello sviluppo delle idee e delle teorie matematiche, dal periodo babilonese ed egiziano fino all'inizio del XX secolo. Il corso prevede una sezione “Matematica e Informatica”, che fornisce una panoramica delle tappe fondamentali della storia informatica, frammenti della storia dello sviluppo dei computer in Russia, frammenti della storia dell'informatica. COME materiale didattico C'è un elenco abbastanza ampio di riferimenti e del materiale di riferimento per il lavoro indipendente e per la preparazione degli abstract.

• Il periodo di accumulo della conoscenza matematica.
  Formazione dei concetti primari: numeri e figure geometriche. La matematica nei paesi delle antiche civiltà - in Antico Egitto, Babilonia, Cina, India. Tipi fondamentali di sistemi numerici. Le prime conquiste dell'aritmetica, della geometria, dell'algebra.
• Matematica delle quantità costanti.
  Formazione delle scienze matematiche (VI secolo a.C. – VI secolo d.C.). La creazione della matematica come scienza deduttiva astratta nell'antica Grecia. Condizioni per lo sviluppo della matematica nell'antica Grecia. Scuola di Pitagora. Scoperta dell'incommensurabilità e creazione dell'algebra geometrica. Famosi problemi dell'antichità. Metodo dell'esaurimento, metodi infinitesimi di Eudosso e Archimede. Costruzione assiomatica della matematica negli Elementi di Euclide. "Sezioni coniche" di Apollonio. Scienza dei primi secoli della nostra era: "Meccanica" di Airone, "Almagesto" di Tolomeo, la sua "Geografia", l'emergere di una nuova algebra delle lettere nelle opere di Diofanto e l'inizio dello studio delle equazioni indefinite. Il declino della scienza antica.
  Matematica delle Nazioni Asia centrale e l'Oriente arabo nei secoli VII-XVI. Separazione dell'algebra in un campo indipendente della matematica. Formazione della trigonometria nelle applicazioni della matematica all'astronomia. Stato delle conoscenze matematiche nei paesi Europa occidentale e in Russia nel Medioevo. "Il Libro dell'Abaco" di Leonardo da Pisa. Apertura delle prime università. Progressi della matematica nel Rinascimento.
• Panorama dello sviluppo della matematica nei secoli XVII-XIX.
  Rivoluzione scientifica del XVII secolo. e la creazione della matematica delle variabili. Le prime accademie delle scienze. Analisi matematica e il suo legame con la meccanica nei secoli XVII-XVIII. Opere di Eulero, Lagrange, Laplace. Il periodo di massimo splendore della matematica in Francia durante la Rivoluzione e l'apertura della Scuola Politecnica.
• Algebra secoli XVI-XIX.
  Progressi dell'algebra nel XVI secolo: risoluzione di equazioni algebriche di terzo e quarto grado e introduzione dei numeri complessi. La creazione del calcolo letterale da parte di F. Viète e l'inizio della teoria generale delle equazioni (Viète, Cartesio). Teorema fondamentale dell'algebra di Eulero e sua dimostrazione. Il problema della risoluzione di equazioni in radicali. Teorema di Abel sull'insolubilità delle equazioni di grado n > 4 in radicali. I risultati di Abele. Teoria di Galois; introduzione del gruppo e del campo. La marcia trionfante della teoria dei gruppi: il suo ruolo nell'algebra, nella geometria, nell'analisi e nelle scienze matematiche. Il concetto di spazio vettoriale n-dimensionale. L'approccio assiomatico di Dedekind e la creazione dell'algebra astratta.
• Sviluppo dell'analisi matematica.
  La formazione della matematica delle quantità variabili nel XVII secolo, il collegamento con l'astronomia: le leggi di Keplero e le opere di Galileo, lo sviluppo delle idee di Copernico. Invenzione dei logaritmi. Forme differenziali e metodi di integrazione nelle opere di Keplero, Cavalieri, Fermat, Cartesio, Pascal, Wallis, N. Mercatore. Creazione dell'analisi matematica da parte di Newton e Leibniz. Analisi matematica nel XVIII secolo. e il suo legame con le scienze naturali. Il lavoro di Eulero. La dottrina delle funzioni. Creazione e sviluppo del calcolo delle variazioni, della teoria delle equazioni differenziali e della teoria delle equazioni integrali. Serie di potenze e serie trigonometriche. Teoria generale funzioni di variabile complessa in Riemann e Weierstrass. Formazione dell'analisi funzionale. Problemi di fondatezza dell'analisi matematica. La sua costruzione si basa sulla dottrina dei limiti. Opere di Cauchy, Bolzano e Weierstrass. Teorie del numero reale (da Eudosso a Dedekind). Creazione della teoria degli insiemi infiniti da parte di Cantor e Dedekind. I primi paradossi e problemi dei fondamenti della matematica.
• Matematica in Russia (recensione).
  La conoscenza matematica prima del XVII secolo. Riforme di Pietro I. Fondazione dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo e dell'Università di Mosca. Scuola di matematica di San Pietroburgo (M.V. Ostrogradsky, P.L. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov). Le direzioni principali della creatività di Chebyshev. Vita e opere di S.V. Kovalevskaya. Organizzazione di una società matematica. Collezione matematica. Primo scuole scientifiche nell'URSS. Scuola di teoria delle funzioni di Mosca (N.N. Luzin, D.F. Egorov e i loro studenti). Matematica all'Università di Mosca. Matematica all'Università degli Urali, scuole di matematica degli Urali (P.G. Kontorovich, G.I. Malkin, E.A. Barbashin, V.K. Ivanov, S.B. Stechkin, A.F. Sidorov).
• Matematica e Informatica (panoramica)
  Pietre miliari dell'informatica dalla macchina da disegno di Leonardo da Vinci ai primi computer.
  Frammenti di storia dei computer. Il problema dell'automazione di calcoli complessi (progettazione di aeromobili, fisica atomica, ecc.). Connettere elettronica e logica: il sistema binario di Leibniz, l'algebra della logica di J. Boole. "Informatica" e "Informatica". Informatica teorica e applicata. Nuovo tecnologie dell'informazione: direzione scientifica– intelligenza artificiale e sue applicazioni (utilizzando metodi logici per dimostrare la correttezza dei programmi, fornendo un'interfaccia in linguaggio naturale professionale con pacchetti software applicativi, ecc.).
  Frammenti della storia dello sviluppo dei computer in Russia. Sviluppi di S.A. Lebedev e dei suoi studenti, loro applicazione (calcolo delle orbite di piccoli pianeti, elaborazione di mappe da rilievi geodetici, creazione di dizionari e programmi di traduzione, ecc.). La creazione di macchine domestiche (A.A. Lyapunov, A.P. Ershov, B.I. Rameev, M.R. Shura-Bura, G.P. Lopato, M.A. Kartsev e molti altri), l'emergere dei personal computer. Utilizzo multiforme delle macchine: controllo del volo spaziale, sorveglianza spaziale, lavori scientifici, per il controllo dei processi tecnologici, l'elaborazione dei dati sperimentali, i dizionari-traduttori elettronici, obiettivi economici, automobili degli insegnanti e degli studenti, computer domestici, ecc.).

SOGGETTI DEGLI ASTRATTI

1. Serie biografiche.
2. La storia della formazione e dello sviluppo di una branca specifica della matematica in un periodo specifico. La storia della formazione e dello sviluppo della matematica nel concreto periodo storico in uno stato specifico.
3. Storia dell'origine centri scientifici e il loro ruolo nello sviluppo di rami specifici della matematica.
4. Storia della formazione e dello sviluppo dell'informatica in periodi di tempo specifici.
5. I fondatori di alcune aree dell'informatica.
6. Scienziati eccezionali specifici e cultura mondiale in periodi diversi.
7. Dalla storia della matematica russa (un'epoca storica specifica e individui specifici).

1. Meccanica antica ("Equipaggiamento militare dell'antichità").
2. La matematica durante il califfato arabo.
3. Fondamenti della geometria: da Euclide a Hilbert.
4. Lo straordinario matematico Niels Henrik Abel.
5. L'enciclopedista del XV secolo Gerolamo Cardano.
6. La grande famiglia Bernoulli.
7. Figure di spicco nello sviluppo della teoria della probabilità (da Laplace a Kolmogorov).
8. Il periodo del precursore della creazione del calcolo differenziale e integrale.
9. Newton e Leibniz sono i creatori del calcolo differenziale e integrale.
10. Alexey Andreevich Lyapunov è il creatore del primo computer in Russia.
11. "Passione per la scienza" (S.V. Kovalevskaya).
12. Blaise Pascal.
13. Dall'abaco al computer.
14. “Essere in grado di dare una direzione è un segno di genialità.” Sergei Alekseevich Lebedev. Sviluppatore e progettista del primo computer nell'Unione Sovietica.
15. Orgoglio scienza russa- Pafnuty Lvovich Chebyshev.
16. François Viète è il padre dell'algebra moderna e un brillante crittografo.
17. Andrei Nikolaevich Kolmogorov e Pavel Sergeevich Alexandrov sono fenomeni unici della cultura russa, il suo tesoro nazionale.
18. Cibernetica: neuroni – automi – percettroni.
19. Leonhard Eulero e la Russia.
20. La matematica in Russia da Pietro I a Lobachevskij.
21. Pierre Fermat e René Descartes.
22. Come è stato inventato il personal computer.
23. Dalla storia della crittografia.
24. Generalizzazione del concetto di spazio geometrico. Storia della creazione e dello sviluppo della topologia.
25. La sezione aurea nella musica, nell'astronomia, nella combinatoria e nella pittura.
26. Sezione aurea nel sistema solare.
27. Linguaggi di programmazione, loro classificazione e sviluppo.
28. Teoria della probabilità. Aspetto della storia.
29. Storia dello sviluppo della geometria non euclidea (Lobachevskij, Gauss, Bolyai, Riemann).
30. Il re della teoria dei numeri è Carl Friedrich Gauss.
31. Tre famosi problemi dell'antichità come stimolo per la nascita e lo sviluppo di vari rami della matematica.
32. Aryabhata, "Copernico d'Oriente".
33. David Gilbert. 23 Problemi di Hilbert.
34. Sviluppo del concetto di numero da Eudosso a Dedekind.
35. Metodi integrali in Eudosso e Archimede.
36. Domande di metodologia matematica. Ipotesi, leggi e fatti.
37. Domande di metodologia matematica. Metodi della matematica.
38. Domande di metodologia matematica. Struttura, forze motrici, principi e modelli.
39. Pitagora è un filosofo e matematico.
40. Galileo Galilei. Formazione della meccanica classica.
41. Percorso di vita E attività scientifica MV Ostrogradsky.
42. Contributo degli scienziati russi alla teoria della probabilità.
43. Sviluppo della matematica in Russia nei secoli XVIII e XIX.
44. La storia della scoperta dei logaritmi e la loro connessione con le aree.
45. Dalla storia dello sviluppo della tecnologia informatica.
46. I computer prima dell’era elettronica. I primi computer.
47. Pietre miliari nella storia della tecnologia informatica e della matematica informatica russa.
48. Storia dello sviluppo dei sistemi operativi. Cronologia dell'apparizione di WINDOWS 98.
49. B. Pascal, G. Leibniz, P. Chebyshev.
50. Norbert Wiener, Claude Shannon e la teoria dell'informatica.
51. Dalla storia della matematica in Russia.
52. Vita e opera di Gauss.
53. Formazione e sviluppo della topologia.
54. Évariste Galois - matematico e rivoluzionario.
55. La sezione aurea da Leonardo Fibonacci e Leonardo da Vinci al 21° secolo.
56. Matematica dentro Russia XVIII-XIX secoli.
57. Informatica, problemi di storia.
58. Dalla storia della matematica russa: N.I. Lobachevskij, M.V. Ostrogradsky, S.V. Kovalevskaya.
59. Matematica antica secoli VI-IV. AVANTI CRISTO.
60. Linguaggi di programmazione: questioni storiche.
61. Pierre Fermat e René Descartes.
62. Leonardo Eulero.
63. La storia della creazione del calcolo integrale e differenziale di I. Newton e G. Leibniz.
64. La matematica del XVII secolo come precursore della creazione dell'analisi matematica.
65. L'analisi matematica dopo Newton e Leibniz: critica e giustificazione.
66. Matematica dei secoli XVII, XVIII: la formazione delle geometrie analitiche, proiettive e differenziali.

La filosofia è considerata il fulcro di tutte le scienze, poiché comprendeva i primi germogli di letteratura, astronomia, letteratura, scienze naturali, matematica e altre aree. Nel corso del tempo, ogni campo si è sviluppato in modo indipendente e la matematica non ha fatto eccezione. Il primo "accenno" all'analisi è considerato la teoria della scomposizione in quantità infinitesimali, alla quale molte menti hanno cercato di avvicinarsi, ma era vaga e priva di basi. Ciò è dovuto all'attaccamento alla vecchia scuola scientifica, che era rigorosa nelle sue formulazioni. Isaac Newton arrivò molto vicino a gettare le basi, ma era troppo tardi. Di conseguenza, l’analisi matematica deve la sua nascita come sistema separato al filosofo Gottfried Leibniz. È stato lui a presentarlo nelle sue opere mondo scientifico concetti come minimo e massimo, punti di flesso e convessità del grafico di una funzione, formularono i fondamenti del calcolo differenziale. Da questo momento in poi la matematica viene ufficialmente divisa in elementare e superiore.

Analisi matematica. I nostri giorni

Qualsiasi specialità, sia tecnica che umanitaria, include l'analisi nel corso di studi. La profondità di studio varia, ma l'essenza rimane la stessa. Nonostante tutta la sua “astrattezza”, è uno dei pilastri su cui poggia la scienza naturale nella sua comprensione moderna. Con il suo aiuto si sono sviluppate la fisica e l'economia; è in grado di descrivere e prevedere le attività Borsa valori, aiutano a costruire un portafoglio azionario ottimale. L'introduzione all'analisi matematica si basa su concetti elementari:

• moltitudini;
• operazioni di base sugli insiemi;
• proprietà delle operazioni sugli insiemi;
• funzioni (altrimenti note come mappature);
• tipi di funzioni;
• sequenze;
• linee numeriche;
• limite di sequenza;
• proprietà dei limiti;
• continuità della funzione.

Vale la pena evidenziare separatamente concetti come insieme, punto, retta, piano. Tutti loro non hanno definizioni, poiché sono i concetti di base su cui è costruita tutta la matematica. Tutto ciò che si può fare nel processo è spiegare cosa significano esattamente nei singoli casi.

Limite come continuazione

I fondamenti dell'analisi matematica includono il limite. In pratica rappresenta il valore al quale una sequenza o una funzione tende, si avvicina quanto desiderato, ma non lo raggiunge. È indicato come lim, considera caso speciale limite della funzione: lim (x-1)= 0 in x→1. Da questo semplicissimo esempio è chiaro che per x→1 l'intera funzione tende a 0, poiché se sostituiamo il limite nella funzione stessa, otteniamo (1-1)=0. Informazioni più dettagliate, dai casi speciali elementari a quelli complessi, sono presentate in una sorta di "Bibbia" di analisi: le opere di Fichtenholtz. Esamina l'analisi matematica, i limiti, la loro derivazione e ulteriore applicazione. Ad esempio, la derivazione del numero e (costante di Eulero) sarebbe impossibile senza la teoria dei limiti. Nonostante l’astrattezza dinamica della teoria, i limiti vengono utilizzati attivamente nella pratica in economia e sociologia. Ad esempio, non puoi farne a meno quando calcoli gli interessi su un deposito bancario.